MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pj1lmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pj1lmhm 21117
Description: The left projection function is a linear operator. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pj1lmhm.l 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
pj1lmhm.s = (LSSum‘𝑊)
pj1lmhm.z 0 = (0g𝑊)
pj1lmhm.p 𝑃 = (proj1𝑊)
pj1lmhm.1 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
pj1lmhm.2 (𝜑𝑇𝐿)
pj1lmhm.3 (𝜑𝑈𝐿)
pj1lmhm.4 (𝜑 → (𝑇𝑈) = { 0 })
Assertion
Ref Expression
pj1lmhm (𝜑 → (𝑇𝑃𝑈) ∈ ((𝑊s (𝑇 𝑈)) LMHom 𝑊))

Proof of Theorem pj1lmhm
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2735 . . 3 (+g𝑊) = (+g𝑊)
2 pj1lmhm.s . . 3 = (LSSum‘𝑊)
3 pj1lmhm.z . . 3 0 = (0g𝑊)
4 eqid 2735 . . 3 (Cntz‘𝑊) = (Cntz‘𝑊)
5 pj1lmhm.1 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
6 pj1lmhm.l . . . . . 6 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
76lsssssubg 20974 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → 𝐿 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
85, 7syl 17 . . . 4 (𝜑𝐿 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
9 pj1lmhm.2 . . . 4 (𝜑𝑇𝐿)
108, 9sseldd 3996 . . 3 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
11 pj1lmhm.3 . . . 4 (𝜑𝑈𝐿)
128, 11sseldd 3996 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
13 pj1lmhm.4 . . 3 (𝜑 → (𝑇𝑈) = { 0 })
14 lmodabl 20924 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
155, 14syl 17 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ Abel)
164, 15, 10, 12ablcntzd 19890 . . 3 (𝜑𝑇 ⊆ ((Cntz‘𝑊)‘𝑈))
17 pj1lmhm.p . . 3 𝑃 = (proj1𝑊)
181, 2, 3, 4, 10, 12, 13, 16, 17pj1ghm 19736 . 2 (𝜑 → (𝑇𝑃𝑈) ∈ ((𝑊s (𝑇 𝑈)) GrpHom 𝑊))
19 eqid 2735 . . 3 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
2019a1i 11 . 2 (𝜑 → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊))
211, 2, 3, 4, 10, 12, 13, 16, 17pj1id 19732 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑇 𝑈)) → 𝑦 = (((𝑇𝑃𝑈)‘𝑦)(+g𝑊)((𝑈𝑃𝑇)‘𝑦)))
2221adantrl 716 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑇 𝑈))) → 𝑦 = (((𝑇𝑃𝑈)‘𝑦)(+g𝑊)((𝑈𝑃𝑇)‘𝑦)))
2322oveq2d 7447 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑇 𝑈))) → (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) = (𝑥( ·𝑠𝑊)(((𝑇𝑃𝑈)‘𝑦)(+g𝑊)((𝑈𝑃𝑇)‘𝑦))))
245adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑇 𝑈))) → 𝑊 ∈ LMod)
25 simprl 771 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑇 𝑈))) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
269adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑇 𝑈))) → 𝑇𝐿)
27 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2827, 6lssss 20952 . . . . . . . . . 10 (𝑇𝐿𝑇 ⊆ (Base‘𝑊))
2926, 28syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑇 𝑈))) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝑊))
3010adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑇 𝑈))) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
3112adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑇 𝑈))) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
3213adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑇 𝑈))) → (𝑇𝑈) = { 0 })
3316adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑇 𝑈))) → 𝑇 ⊆ ((Cntz‘𝑊)‘𝑈))
341, 2, 3, 4, 30, 31, 32, 33, 17pj1f 19730 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑇 𝑈))) → (𝑇𝑃𝑈):(𝑇 𝑈)⟶𝑇)
35 simprr 773 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑇 𝑈))) → 𝑦 ∈ (𝑇 𝑈))
3634, 35ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑇 𝑈))) → ((𝑇𝑃𝑈)‘𝑦) ∈ 𝑇)
3729, 36sseldd 3996 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑇 𝑈))) → ((𝑇𝑃𝑈)‘𝑦) ∈ (Base‘𝑊))
3811adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑇 𝑈))) → 𝑈𝐿)
3927, 6lssss 20952 . . . . . . . . . 10 (𝑈𝐿𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
4038, 39syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑇 𝑈))) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
411, 2, 3, 4, 30, 31, 32, 33, 17pj2f 19731 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑇 𝑈))) → (𝑈𝑃𝑇):(𝑇 𝑈)⟶𝑈)
4241, 35ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑇 𝑈))) → ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑦) ∈ 𝑈)
4340, 42sseldd 3996 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑇 𝑈))) → ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑦) ∈ (Base‘𝑊))
44 eqid 2735 . . . . . . . . 9 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
45 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
4627, 1, 19, 44, 45lmodvsdi 20900 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ ((𝑇𝑃𝑈)‘𝑦) ∈ (Base‘𝑊) ∧ ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑦) ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑥( ·𝑠𝑊)(((𝑇𝑃𝑈)‘𝑦)(+g𝑊)((𝑈𝑃𝑇)‘𝑦))) = ((𝑥( ·𝑠𝑊)((𝑇𝑃𝑈)‘𝑦))(+g𝑊)(𝑥( ·𝑠𝑊)((𝑈𝑃𝑇)‘𝑦))))
4724, 25, 37, 43, 46syl13anc 1371 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑇 𝑈))) → (𝑥( ·𝑠𝑊)(((𝑇𝑃𝑈)‘𝑦)(+g𝑊)((𝑈𝑃𝑇)‘𝑦))) = ((𝑥( ·𝑠𝑊)((𝑇𝑃𝑈)‘𝑦))(+g𝑊)(𝑥( ·𝑠𝑊)((𝑈𝑃𝑇)‘𝑦))))
4823, 47eqtrd 2775 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑇 𝑈))) → (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) = ((𝑥( ·𝑠𝑊)((𝑇𝑃𝑈)‘𝑦))(+g𝑊)(𝑥( ·𝑠𝑊)((𝑈𝑃𝑇)‘𝑦))))
496, 2lsmcl 21100 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝐿𝑈𝐿) → (𝑇 𝑈) ∈ 𝐿)
505, 9, 11, 49syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑇 𝑈) ∈ 𝐿)
5150adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑇 𝑈))) → (𝑇 𝑈) ∈ 𝐿)
5219, 44, 45, 6lssvscl 20971 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑇 𝑈) ∈ 𝐿) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑇 𝑈))) → (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ (𝑇 𝑈))
5324, 51, 25, 35, 52syl22anc 839 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑇 𝑈))) → (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ (𝑇 𝑈))
5419, 44, 45, 6lssvscl 20971 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ ((𝑇𝑃𝑈)‘𝑦) ∈ 𝑇)) → (𝑥( ·𝑠𝑊)((𝑇𝑃𝑈)‘𝑦)) ∈ 𝑇)
5524, 26, 25, 36, 54syl22anc 839 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑇 𝑈))) → (𝑥( ·𝑠𝑊)((𝑇𝑃𝑈)‘𝑦)) ∈ 𝑇)
5619, 44, 45, 6lssvscl 20971 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑦) ∈ 𝑈)) → (𝑥( ·𝑠𝑊)((𝑈𝑃𝑇)‘𝑦)) ∈ 𝑈)
5724, 38, 25, 42, 56syl22anc 839 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑇 𝑈))) → (𝑥( ·𝑠𝑊)((𝑈𝑃𝑇)‘𝑦)) ∈ 𝑈)
581, 2, 3, 4, 30, 31, 32, 33, 17, 53, 55, 57pj1eq 19733 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑇 𝑈))) → ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) = ((𝑥( ·𝑠𝑊)((𝑇𝑃𝑈)‘𝑦))(+g𝑊)(𝑥( ·𝑠𝑊)((𝑈𝑃𝑇)‘𝑦))) ↔ (((𝑇𝑃𝑈)‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)) = (𝑥( ·𝑠𝑊)((𝑇𝑃𝑈)‘𝑦)) ∧ ((𝑈𝑃𝑇)‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)) = (𝑥( ·𝑠𝑊)((𝑈𝑃𝑇)‘𝑦)))))
5948, 58mpbid 232 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑇 𝑈))) → (((𝑇𝑃𝑈)‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)) = (𝑥( ·𝑠𝑊)((𝑇𝑃𝑈)‘𝑦)) ∧ ((𝑈𝑃𝑇)‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)) = (𝑥( ·𝑠𝑊)((𝑈𝑃𝑇)‘𝑦))))
6059simpld 494 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑇 𝑈))) → ((𝑇𝑃𝑈)‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)) = (𝑥( ·𝑠𝑊)((𝑇𝑃𝑈)‘𝑦)))
6160ralrimivva 3200 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ (𝑇 𝑈)((𝑇𝑃𝑈)‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)) = (𝑥( ·𝑠𝑊)((𝑇𝑃𝑈)‘𝑦)))
628, 50sseldd 3996 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑇 𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑊))
63 eqid 2735 . . . . . . 7 (𝑊s (𝑇 𝑈)) = (𝑊s (𝑇 𝑈))
6463subgbas 19161 . . . . . 6 ((𝑇 𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑊) → (𝑇 𝑈) = (Base‘(𝑊s (𝑇 𝑈))))
6562, 64syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑇 𝑈) = (Base‘(𝑊s (𝑇 𝑈))))
6665raleqdv 3324 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ (𝑇 𝑈)((𝑇𝑃𝑈)‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)) = (𝑥( ·𝑠𝑊)((𝑇𝑃𝑈)‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘(𝑊s (𝑇 𝑈)))((𝑇𝑃𝑈)‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)) = (𝑥( ·𝑠𝑊)((𝑇𝑃𝑈)‘𝑦))))
6766ralbidv 3176 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ (𝑇 𝑈)((𝑇𝑃𝑈)‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)) = (𝑥( ·𝑠𝑊)((𝑇𝑃𝑈)‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝑊s (𝑇 𝑈)))((𝑇𝑃𝑈)‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)) = (𝑥( ·𝑠𝑊)((𝑇𝑃𝑈)‘𝑦))))
6861, 67mpbid 232 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝑊s (𝑇 𝑈)))((𝑇𝑃𝑈)‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)) = (𝑥( ·𝑠𝑊)((𝑇𝑃𝑈)‘𝑦)))
6963, 6lsslmod 20976 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑇 𝑈) ∈ 𝐿) → (𝑊s (𝑇 𝑈)) ∈ LMod)
705, 50, 69syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝑊s (𝑇 𝑈)) ∈ LMod)
71 ovex 7464 . . . . 5 (𝑇 𝑈) ∈ V
7263, 19resssca 17389 . . . . 5 ((𝑇 𝑈) ∈ V → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘(𝑊s (𝑇 𝑈))))
7371, 72ax-mp 5 . . . 4 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘(𝑊s (𝑇 𝑈)))
74 eqid 2735 . . . 4 (Base‘(𝑊s (𝑇 𝑈))) = (Base‘(𝑊s (𝑇 𝑈)))
7563, 44ressvsca 17390 . . . . 5 ((𝑇 𝑈) ∈ V → ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠 ‘(𝑊s (𝑇 𝑈))))
7671, 75ax-mp 5 . . . 4 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠 ‘(𝑊s (𝑇 𝑈)))
7773, 19, 45, 74, 76, 44islmhm3 21045 . . 3 (((𝑊s (𝑇 𝑈)) ∈ LMod ∧ 𝑊 ∈ LMod) → ((𝑇𝑃𝑈) ∈ ((𝑊s (𝑇 𝑈)) LMHom 𝑊) ↔ ((𝑇𝑃𝑈) ∈ ((𝑊s (𝑇 𝑈)) GrpHom 𝑊) ∧ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝑊s (𝑇 𝑈)))((𝑇𝑃𝑈)‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)) = (𝑥( ·𝑠𝑊)((𝑇𝑃𝑈)‘𝑦)))))
7870, 5, 77syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ((𝑇𝑃𝑈) ∈ ((𝑊s (𝑇 𝑈)) LMHom 𝑊) ↔ ((𝑇𝑃𝑈) ∈ ((𝑊s (𝑇 𝑈)) GrpHom 𝑊) ∧ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝑊s (𝑇 𝑈)))((𝑇𝑃𝑈)‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)) = (𝑥( ·𝑠𝑊)((𝑇𝑃𝑈)‘𝑦)))))
7918, 20, 68, 78mpbir3and 1341 1 (𝜑 → (𝑇𝑃𝑈) ∈ ((𝑊s (𝑇 𝑈)) LMHom 𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  Vcvv 3478  cin 3962  wss 3963  {csn 4631  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  s cress 17274  +gcplusg 17298  Scalarcsca 17301   ·𝑠 cvsca 17302  0gc0g 17486  SubGrpcsubg 19151   GrpHom cghm 19243  Cntzccntz 19346  LSSumclsm 19667  proj1cpj1 19668  Abelcabl 19814  LModclmod 20875  LSubSpclss 20947   LMHom clmhm 21036
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-lsm 19669  df-pj1 19670  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-ur 20200  df-ring 20253  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lmhm 21039
This theorem is referenced by:  pj1lmhm2  21118  pjff  21750
  Copyright terms: Public domain W3C validator