MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pj1lmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pj1lmhm 19801
Description: The left projection function is a linear operator. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pj1lmhm.l 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
pj1lmhm.s = (LSSum‘𝑊)
pj1lmhm.z 0 = (0g𝑊)
pj1lmhm.p 𝑃 = (proj1𝑊)
pj1lmhm.1 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
pj1lmhm.2 (𝜑𝑇𝐿)
pj1lmhm.3 (𝜑𝑈𝐿)
pj1lmhm.4 (𝜑 → (𝑇𝑈) = { 0 })
Assertion
Ref Expression
pj1lmhm (𝜑 → (𝑇𝑃𝑈) ∈ ((𝑊s (𝑇 𝑈)) LMHom 𝑊))

Proof of Theorem pj1lmhm
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2818 . . 3 (+g𝑊) = (+g𝑊)
2 pj1lmhm.s . . 3 = (LSSum‘𝑊)
3 pj1lmhm.z . . 3 0 = (0g𝑊)
4 eqid 2818 . . 3 (Cntz‘𝑊) = (Cntz‘𝑊)
5 pj1lmhm.1 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
6 pj1lmhm.l . . . . . 6 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
76lsssssubg 19659 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → 𝐿 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
85, 7syl 17 . . . 4 (𝜑𝐿 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
9 pj1lmhm.2 . . . 4 (𝜑𝑇𝐿)
108, 9sseldd 3965 . . 3 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
11 pj1lmhm.3 . . . 4 (𝜑𝑈𝐿)
128, 11sseldd 3965 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
13 pj1lmhm.4 . . 3 (𝜑 → (𝑇𝑈) = { 0 })
14 lmodabl 19610 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
155, 14syl 17 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ Abel)
164, 15, 10, 12ablcntzd 18906 . . 3 (𝜑𝑇 ⊆ ((Cntz‘𝑊)‘𝑈))
17 pj1lmhm.p . . 3 𝑃 = (proj1𝑊)
181, 2, 3, 4, 10, 12, 13, 16, 17pj1ghm 18758 . 2 (𝜑 → (𝑇𝑃𝑈) ∈ ((𝑊s (𝑇 𝑈)) GrpHom 𝑊))
19 eqid 2818 . . 3 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
2019a1i 11 . 2 (𝜑 → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊))
211, 2, 3, 4, 10, 12, 13, 16, 17pj1id 18754 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑇 𝑈)) → 𝑦 = (((𝑇𝑃𝑈)‘𝑦)(+g𝑊)((𝑈𝑃𝑇)‘𝑦)))
2221adantrl 712 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑇 𝑈))) → 𝑦 = (((𝑇𝑃𝑈)‘𝑦)(+g𝑊)((𝑈𝑃𝑇)‘𝑦)))
2322oveq2d 7161 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑇 𝑈))) → (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) = (𝑥( ·𝑠𝑊)(((𝑇𝑃𝑈)‘𝑦)(+g𝑊)((𝑈𝑃𝑇)‘𝑦))))
245adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑇 𝑈))) → 𝑊 ∈ LMod)
25 simprl 767 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑇 𝑈))) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
269adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑇 𝑈))) → 𝑇𝐿)
27 eqid 2818 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2827, 6lssss 19637 . . . . . . . . . 10 (𝑇𝐿𝑇 ⊆ (Base‘𝑊))
2926, 28syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑇 𝑈))) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝑊))
3010adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑇 𝑈))) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
3112adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑇 𝑈))) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
3213adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑇 𝑈))) → (𝑇𝑈) = { 0 })
3316adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑇 𝑈))) → 𝑇 ⊆ ((Cntz‘𝑊)‘𝑈))
341, 2, 3, 4, 30, 31, 32, 33, 17pj1f 18752 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑇 𝑈))) → (𝑇𝑃𝑈):(𝑇 𝑈)⟶𝑇)
35 simprr 769 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑇 𝑈))) → 𝑦 ∈ (𝑇 𝑈))
3634, 35ffvelrnd 6844 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑇 𝑈))) → ((𝑇𝑃𝑈)‘𝑦) ∈ 𝑇)
3729, 36sseldd 3965 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑇 𝑈))) → ((𝑇𝑃𝑈)‘𝑦) ∈ (Base‘𝑊))
3811adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑇 𝑈))) → 𝑈𝐿)
3927, 6lssss 19637 . . . . . . . . . 10 (𝑈𝐿𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
4038, 39syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑇 𝑈))) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
411, 2, 3, 4, 30, 31, 32, 33, 17pj2f 18753 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑇 𝑈))) → (𝑈𝑃𝑇):(𝑇 𝑈)⟶𝑈)
4241, 35ffvelrnd 6844 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑇 𝑈))) → ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑦) ∈ 𝑈)
4340, 42sseldd 3965 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑇 𝑈))) → ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑦) ∈ (Base‘𝑊))
44 eqid 2818 . . . . . . . . 9 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
45 eqid 2818 . . . . . . . . 9 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
4627, 1, 19, 44, 45lmodvsdi 19586 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ ((𝑇𝑃𝑈)‘𝑦) ∈ (Base‘𝑊) ∧ ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑦) ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑥( ·𝑠𝑊)(((𝑇𝑃𝑈)‘𝑦)(+g𝑊)((𝑈𝑃𝑇)‘𝑦))) = ((𝑥( ·𝑠𝑊)((𝑇𝑃𝑈)‘𝑦))(+g𝑊)(𝑥( ·𝑠𝑊)((𝑈𝑃𝑇)‘𝑦))))
4724, 25, 37, 43, 46syl13anc 1364 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑇 𝑈))) → (𝑥( ·𝑠𝑊)(((𝑇𝑃𝑈)‘𝑦)(+g𝑊)((𝑈𝑃𝑇)‘𝑦))) = ((𝑥( ·𝑠𝑊)((𝑇𝑃𝑈)‘𝑦))(+g𝑊)(𝑥( ·𝑠𝑊)((𝑈𝑃𝑇)‘𝑦))))
4823, 47eqtrd 2853 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑇 𝑈))) → (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) = ((𝑥( ·𝑠𝑊)((𝑇𝑃𝑈)‘𝑦))(+g𝑊)(𝑥( ·𝑠𝑊)((𝑈𝑃𝑇)‘𝑦))))
496, 2lsmcl 19784 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝐿𝑈𝐿) → (𝑇 𝑈) ∈ 𝐿)
505, 9, 11, 49syl3anc 1363 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑇 𝑈) ∈ 𝐿)
5150adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑇 𝑈))) → (𝑇 𝑈) ∈ 𝐿)
5219, 44, 45, 6lssvscl 19656 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑇 𝑈) ∈ 𝐿) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑇 𝑈))) → (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ (𝑇 𝑈))
5324, 51, 25, 35, 52syl22anc 834 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑇 𝑈))) → (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ (𝑇 𝑈))
5419, 44, 45, 6lssvscl 19656 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ ((𝑇𝑃𝑈)‘𝑦) ∈ 𝑇)) → (𝑥( ·𝑠𝑊)((𝑇𝑃𝑈)‘𝑦)) ∈ 𝑇)
5524, 26, 25, 36, 54syl22anc 834 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑇 𝑈))) → (𝑥( ·𝑠𝑊)((𝑇𝑃𝑈)‘𝑦)) ∈ 𝑇)
5619, 44, 45, 6lssvscl 19656 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑦) ∈ 𝑈)) → (𝑥( ·𝑠𝑊)((𝑈𝑃𝑇)‘𝑦)) ∈ 𝑈)
5724, 38, 25, 42, 56syl22anc 834 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑇 𝑈))) → (𝑥( ·𝑠𝑊)((𝑈𝑃𝑇)‘𝑦)) ∈ 𝑈)
581, 2, 3, 4, 30, 31, 32, 33, 17, 53, 55, 57pj1eq 18755 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑇 𝑈))) → ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) = ((𝑥( ·𝑠𝑊)((𝑇𝑃𝑈)‘𝑦))(+g𝑊)(𝑥( ·𝑠𝑊)((𝑈𝑃𝑇)‘𝑦))) ↔ (((𝑇𝑃𝑈)‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)) = (𝑥( ·𝑠𝑊)((𝑇𝑃𝑈)‘𝑦)) ∧ ((𝑈𝑃𝑇)‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)) = (𝑥( ·𝑠𝑊)((𝑈𝑃𝑇)‘𝑦)))))
5948, 58mpbid 233 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑇 𝑈))) → (((𝑇𝑃𝑈)‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)) = (𝑥( ·𝑠𝑊)((𝑇𝑃𝑈)‘𝑦)) ∧ ((𝑈𝑃𝑇)‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)) = (𝑥( ·𝑠𝑊)((𝑈𝑃𝑇)‘𝑦))))
6059simpld 495 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑇 𝑈))) → ((𝑇𝑃𝑈)‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)) = (𝑥( ·𝑠𝑊)((𝑇𝑃𝑈)‘𝑦)))
6160ralrimivva 3188 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ (𝑇 𝑈)((𝑇𝑃𝑈)‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)) = (𝑥( ·𝑠𝑊)((𝑇𝑃𝑈)‘𝑦)))
628, 50sseldd 3965 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑇 𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑊))
63 eqid 2818 . . . . . . 7 (𝑊s (𝑇 𝑈)) = (𝑊s (𝑇 𝑈))
6463subgbas 18221 . . . . . 6 ((𝑇 𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑊) → (𝑇 𝑈) = (Base‘(𝑊s (𝑇 𝑈))))
6562, 64syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑇 𝑈) = (Base‘(𝑊s (𝑇 𝑈))))
6665raleqdv 3413 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ (𝑇 𝑈)((𝑇𝑃𝑈)‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)) = (𝑥( ·𝑠𝑊)((𝑇𝑃𝑈)‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘(𝑊s (𝑇 𝑈)))((𝑇𝑃𝑈)‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)) = (𝑥( ·𝑠𝑊)((𝑇𝑃𝑈)‘𝑦))))
6766ralbidv 3194 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ (𝑇 𝑈)((𝑇𝑃𝑈)‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)) = (𝑥( ·𝑠𝑊)((𝑇𝑃𝑈)‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝑊s (𝑇 𝑈)))((𝑇𝑃𝑈)‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)) = (𝑥( ·𝑠𝑊)((𝑇𝑃𝑈)‘𝑦))))
6861, 67mpbid 233 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝑊s (𝑇 𝑈)))((𝑇𝑃𝑈)‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)) = (𝑥( ·𝑠𝑊)((𝑇𝑃𝑈)‘𝑦)))
6963, 6lsslmod 19661 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑇 𝑈) ∈ 𝐿) → (𝑊s (𝑇 𝑈)) ∈ LMod)
705, 50, 69syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝑊s (𝑇 𝑈)) ∈ LMod)
71 ovex 7178 . . . . 5 (𝑇 𝑈) ∈ V
7263, 19resssca 16638 . . . . 5 ((𝑇 𝑈) ∈ V → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘(𝑊s (𝑇 𝑈))))
7371, 72ax-mp 5 . . . 4 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘(𝑊s (𝑇 𝑈)))
74 eqid 2818 . . . 4 (Base‘(𝑊s (𝑇 𝑈))) = (Base‘(𝑊s (𝑇 𝑈)))
7563, 44ressvsca 16639 . . . . 5 ((𝑇 𝑈) ∈ V → ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠 ‘(𝑊s (𝑇 𝑈))))
7671, 75ax-mp 5 . . . 4 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠 ‘(𝑊s (𝑇 𝑈)))
7773, 19, 45, 74, 76, 44islmhm3 19729 . . 3 (((𝑊s (𝑇 𝑈)) ∈ LMod ∧ 𝑊 ∈ LMod) → ((𝑇𝑃𝑈) ∈ ((𝑊s (𝑇 𝑈)) LMHom 𝑊) ↔ ((𝑇𝑃𝑈) ∈ ((𝑊s (𝑇 𝑈)) GrpHom 𝑊) ∧ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝑊s (𝑇 𝑈)))((𝑇𝑃𝑈)‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)) = (𝑥( ·𝑠𝑊)((𝑇𝑃𝑈)‘𝑦)))))
7870, 5, 77syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ((𝑇𝑃𝑈) ∈ ((𝑊s (𝑇 𝑈)) LMHom 𝑊) ↔ ((𝑇𝑃𝑈) ∈ ((𝑊s (𝑇 𝑈)) GrpHom 𝑊) ∧ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝑊s (𝑇 𝑈)))((𝑇𝑃𝑈)‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)) = (𝑥( ·𝑠𝑊)((𝑇𝑃𝑈)‘𝑦)))))
7918, 20, 68, 78mpbir3and 1334 1 (𝜑 → (𝑇𝑃𝑈) ∈ ((𝑊s (𝑇 𝑈)) LMHom 𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  Vcvv 3492  cin 3932  wss 3933  {csn 4557  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  s cress 16472  +gcplusg 16553  Scalarcsca 16556   ·𝑠 cvsca 16557  0gc0g 16701  SubGrpcsubg 18211   GrpHom cghm 18293  Cntzccntz 18383  LSSumclsm 18688  proj1cpj1 18689  Abelcabl 18836  LModclmod 19563  LSubSpclss 19632   LMHom clmhm 19720
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-0g 16703  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-subg 18214  df-ghm 18294  df-cntz 18385  df-lsm 18690  df-pj1 18691  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-lmod 19565  df-lss 19633  df-lmhm 19723
This theorem is referenced by:  pj1lmhm2  19802  pjff  20784
  Copyright terms: Public domain W3C validator