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Theorem islmhm2 20514
Description: A one-equation proof of linearity of a left module homomorphism, similar to df-lss 20408. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islmhm2.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
islmhm2.c 𝐢 = (Baseβ€˜π‘‡)
islmhm2.k 𝐾 = (Scalarβ€˜π‘†)
islmhm2.l 𝐿 = (Scalarβ€˜π‘‡)
islmhm2.e 𝐸 = (Baseβ€˜πΎ)
islmhm2.p + = (+gβ€˜π‘†)
islmhm2.q ⨣ = (+gβ€˜π‘‡)
islmhm2.m Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘†)
islmhm2.n Γ— = ( ·𝑠 β€˜π‘‡)
Assertion
Ref Expression
islmhm2 ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) β†’ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ↔ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐸 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜((π‘₯ Β· 𝑦) + 𝑧)) = ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝑧, ⨣   π‘₯,𝐡,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐢,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐸,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐹,𝑦,𝑧   π‘₯, + ,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐾,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐿,𝑦,𝑧   π‘₯,𝑆,𝑦,𝑧   π‘₯,𝑇,𝑦,𝑧   π‘₯, Β· ,𝑧   π‘₯, Γ— ,𝑧
Allowed substitution hints:   Β· (𝑦)   Γ— (𝑦)

Proof of Theorem islmhm2
StepHypRef Expression
1 islmhm2.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
2 islmhm2.c . . . . 5 𝐢 = (Baseβ€˜π‘‡)
31, 2lmhmf 20510 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ 𝐹:𝐡⟢𝐢)
4 islmhm2.k . . . . 5 𝐾 = (Scalarβ€˜π‘†)
5 islmhm2.l . . . . 5 𝐿 = (Scalarβ€˜π‘‡)
64, 5lmhmsca 20506 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ 𝐿 = 𝐾)
7 lmghm 20507 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
87adantr 482 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
9 lmhmlmod1 20509 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ 𝑆 ∈ LMod)
109adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑆 ∈ LMod)
11 simpr1 1195 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐸)
12 simpr2 1196 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
13 islmhm2.m . . . . . . . . 9 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘†)
14 islmhm2.e . . . . . . . . 9 𝐸 = (Baseβ€˜πΎ)
151, 4, 13, 14lmodvscl 20354 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ LMod ∧ π‘₯ ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝐡)
1610, 11, 12, 15syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝐡)
17 simpr3 1197 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
18 islmhm2.p . . . . . . . 8 + = (+gβ€˜π‘†)
19 islmhm2.q . . . . . . . 8 ⨣ = (+gβ€˜π‘‡)
201, 18, 19ghmlin 19018 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜((π‘₯ Β· 𝑦) + 𝑧)) = ((πΉβ€˜(π‘₯ Β· 𝑦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)))
218, 16, 17, 20syl3anc 1372 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜((π‘₯ Β· 𝑦) + 𝑧)) = ((πΉβ€˜(π‘₯ Β· 𝑦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)))
22 islmhm2.n . . . . . . . . 9 Γ— = ( ·𝑠 β€˜π‘‡)
234, 14, 1, 13, 22lmhmlin 20511 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘₯ ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ Β· 𝑦)) = (π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)))
24233adant3r3 1185 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ Β· 𝑦)) = (π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)))
2524oveq1d 7373 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜(π‘₯ Β· 𝑦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)) = ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)))
2621, 25eqtrd 2773 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜((π‘₯ Β· 𝑦) + 𝑧)) = ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)))
2726ralrimivvva 3197 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐸 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜((π‘₯ Β· 𝑦) + 𝑧)) = ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)))
283, 6, 273jca 1129 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐸 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜((π‘₯ Β· 𝑦) + 𝑧)) = ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§))))
2928adantl 483 . 2 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇)) β†’ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐸 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜((π‘₯ Β· 𝑦) + 𝑧)) = ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§))))
30 lmodgrp 20343 . . . . . 6 (𝑆 ∈ LMod β†’ 𝑆 ∈ Grp)
31 lmodgrp 20343 . . . . . 6 (𝑇 ∈ LMod β†’ 𝑇 ∈ Grp)
3230, 31anim12i 614 . . . . 5 ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) β†’ (𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp))
3332adantr 482 . . . 4 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐸 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜((π‘₯ Β· 𝑦) + 𝑧)) = ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)))) β†’ (𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp))
34 simpr1 1195 . . . . 5 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐸 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜((π‘₯ Β· 𝑦) + 𝑧)) = ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)))) β†’ 𝐹:𝐡⟢𝐢)
354lmodring 20344 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ LMod β†’ 𝐾 ∈ Ring)
3635ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾)) β†’ 𝐾 ∈ Ring)
37 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (1rβ€˜πΎ) = (1rβ€˜πΎ)
3814, 37ringidcl 19994 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜πΎ) ∈ 𝐸)
39 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = (1rβ€˜πΎ) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) = ((1rβ€˜πΎ) Β· 𝑦))
4039fvoveq1d 7380 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = (1rβ€˜πΎ) β†’ (πΉβ€˜((π‘₯ Β· 𝑦) + 𝑧)) = (πΉβ€˜(((1rβ€˜πΎ) Β· 𝑦) + 𝑧)))
41 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = (1rβ€˜πΎ) β†’ (π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) = ((1rβ€˜πΎ) Γ— (πΉβ€˜π‘¦)))
4241oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = (1rβ€˜πΎ) β†’ ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)) = (((1rβ€˜πΎ) Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)))
4340, 42eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = (1rβ€˜πΎ) β†’ ((πΉβ€˜((π‘₯ Β· 𝑦) + 𝑧)) = ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)) ↔ (πΉβ€˜(((1rβ€˜πΎ) Β· 𝑦) + 𝑧)) = (((1rβ€˜πΎ) Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§))))
44432ralbidv 3209 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = (1rβ€˜πΎ) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜((π‘₯ Β· 𝑦) + 𝑧)) = ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜(((1rβ€˜πΎ) Β· 𝑦) + 𝑧)) = (((1rβ€˜πΎ) Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§))))
4544rspcv 3576 . . . . . . . . 9 ((1rβ€˜πΎ) ∈ 𝐸 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐸 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜((π‘₯ Β· 𝑦) + 𝑧)) = ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜(((1rβ€˜πΎ) Β· 𝑦) + 𝑧)) = (((1rβ€˜πΎ) Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§))))
4636, 38, 453syl 18 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐸 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜((π‘₯ Β· 𝑦) + 𝑧)) = ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜(((1rβ€˜πΎ) Β· 𝑦) + 𝑧)) = (((1rβ€˜πΎ) Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§))))
47 simplll 774 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑆 ∈ LMod)
48 simprl 770 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
491, 4, 13, 37lmodvs1 20365 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ((1rβ€˜πΎ) Β· 𝑦) = 𝑦)
5047, 48, 49syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ ((1rβ€˜πΎ) Β· 𝑦) = 𝑦)
5150fvoveq1d 7380 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(((1rβ€˜πΎ) Β· 𝑦) + 𝑧)) = (πΉβ€˜(𝑦 + 𝑧)))
52 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐿 = 𝐾)
5352fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (1rβ€˜πΏ) = (1rβ€˜πΎ))
5453oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ ((1rβ€˜πΏ) Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) = ((1rβ€˜πΎ) Γ— (πΉβ€˜π‘¦)))
55 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑇 ∈ LMod)
56 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐹:𝐡⟢𝐢)
5756, 48ffvelcdmd 7037 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ 𝐢)
58 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (1rβ€˜πΏ) = (1rβ€˜πΏ)
592, 5, 22, 58lmodvs1 20365 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ LMod ∧ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ 𝐢) β†’ ((1rβ€˜πΏ) Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) = (πΉβ€˜π‘¦))
6055, 57, 59syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ ((1rβ€˜πΏ) Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) = (πΉβ€˜π‘¦))
6154, 60eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ ((1rβ€˜πΎ) Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) = (πΉβ€˜π‘¦))
6261oveq1d 7373 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (((1rβ€˜πΎ) Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)) = ((πΉβ€˜π‘¦) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)))
6351, 62eqeq12d 2749 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜(((1rβ€˜πΎ) Β· 𝑦) + 𝑧)) = (((1rβ€˜πΎ) Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)) ↔ (πΉβ€˜(𝑦 + 𝑧)) = ((πΉβ€˜π‘¦) ⨣ (πΉβ€˜π‘§))))
64632ralbidva 3207 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜(((1rβ€˜πΎ) Β· 𝑦) + 𝑧)) = (((1rβ€˜πΎ) Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜(𝑦 + 𝑧)) = ((πΉβ€˜π‘¦) ⨣ (πΉβ€˜π‘§))))
6546, 64sylibd 238 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐸 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜((π‘₯ Β· 𝑦) + 𝑧)) = ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜(𝑦 + 𝑧)) = ((πΉβ€˜π‘¦) ⨣ (πΉβ€˜π‘§))))
6665exp32 422 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) β†’ (𝐹:𝐡⟢𝐢 β†’ (𝐿 = 𝐾 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐸 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜((π‘₯ Β· 𝑦) + 𝑧)) = ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜(𝑦 + 𝑧)) = ((πΉβ€˜π‘¦) ⨣ (πΉβ€˜π‘§))))))
67663imp2 1350 . . . . 5 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐸 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜((π‘₯ Β· 𝑦) + 𝑧)) = ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜(𝑦 + 𝑧)) = ((πΉβ€˜π‘¦) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)))
6834, 67jca 513 . . . 4 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐸 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜((π‘₯ Β· 𝑦) + 𝑧)) = ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)))) β†’ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜(𝑦 + 𝑧)) = ((πΉβ€˜π‘¦) ⨣ (πΉβ€˜π‘§))))
691, 2, 18, 19isghm 19013 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜(𝑦 + 𝑧)) = ((πΉβ€˜π‘¦) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)))))
7033, 68, 69sylanbrc 584 . . 3 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐸 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜((π‘₯ Β· 𝑦) + 𝑧)) = ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)))) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
71 simpr2 1196 . . 3 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐸 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜((π‘₯ Β· 𝑦) + 𝑧)) = ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)))) β†’ 𝐿 = 𝐾)
72 eqid 2733 . . . . . 6 (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘†)
73 eqid 2733 . . . . . 6 (0gβ€˜π‘‡) = (0gβ€˜π‘‡)
7472, 73ghmid 19019 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) β†’ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡))
7570, 74syl 17 . . . 4 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐸 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜((π‘₯ Β· 𝑦) + 𝑧)) = ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)))) β†’ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡))
7630ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑆 ∈ Grp)
771, 72grpidcl 18783 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ Grp β†’ (0gβ€˜π‘†) ∈ 𝐡)
78 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (0gβ€˜π‘†) β†’ ((π‘₯ Β· 𝑦) + 𝑧) = ((π‘₯ Β· 𝑦) + (0gβ€˜π‘†)))
7978fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (0gβ€˜π‘†) β†’ (πΉβ€˜((π‘₯ Β· 𝑦) + 𝑧)) = (πΉβ€˜((π‘₯ Β· 𝑦) + (0gβ€˜π‘†))))
80 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (0gβ€˜π‘†) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)))
8180oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (0gβ€˜π‘†) β†’ ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)) = ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†))))
8279, 81eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (0gβ€˜π‘†) β†’ ((πΉβ€˜((π‘₯ Β· 𝑦) + 𝑧)) = ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)) ↔ (πΉβ€˜((π‘₯ Β· 𝑦) + (0gβ€˜π‘†))) = ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)))))
8382rspcv 3576 . . . . . . . . . 10 ((0gβ€˜π‘†) ∈ 𝐡 β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜((π‘₯ Β· 𝑦) + 𝑧)) = ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)) β†’ (πΉβ€˜((π‘₯ Β· 𝑦) + (0gβ€˜π‘†))) = ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)))))
8476, 77, 833syl 18 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜((π‘₯ Β· 𝑦) + 𝑧)) = ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)) β†’ (πΉβ€˜((π‘₯ Β· 𝑦) + (0gβ€˜π‘†))) = ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)))))
85 simplll 774 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑆 ∈ LMod)
86 simprl 770 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐸)
87 simprr 772 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
8885, 86, 87, 15syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝐡)
891, 18, 72grprid 18786 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ Grp ∧ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝐡) β†’ ((π‘₯ Β· 𝑦) + (0gβ€˜π‘†)) = (π‘₯ Β· 𝑦))
9076, 88, 89syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘₯ Β· 𝑦) + (0gβ€˜π‘†)) = (π‘₯ Β· 𝑦))
9190fveq2d 6847 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜((π‘₯ Β· 𝑦) + (0gβ€˜π‘†))) = (πΉβ€˜(π‘₯ Β· 𝑦)))
92 simplr3 1218 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡))
9392oveq2d 7374 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†))) = ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (0gβ€˜π‘‡)))
94 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑇 ∈ LMod)
9594, 31syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑇 ∈ Grp)
96 simplr2 1217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐿 = 𝐾)
9796fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (Baseβ€˜πΏ) = (Baseβ€˜πΎ))
9897, 14eqtr4di 2791 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (Baseβ€˜πΏ) = 𝐸)
9986, 98eleqtrrd 2837 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΏ))
100 simplr1 1216 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐹:𝐡⟢𝐢)
101100, 87ffvelcdmd 7037 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ 𝐢)
102 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (Baseβ€˜πΏ) = (Baseβ€˜πΏ)
1032, 5, 22, 102lmodvscl 20354 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ LMod ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΏ) ∧ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ 𝐢) β†’ (π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ∈ 𝐢)
10494, 99, 101, 103syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ∈ 𝐢)
1052, 19, 73grprid 18786 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ Grp ∧ (π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ∈ 𝐢) β†’ ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (0gβ€˜π‘‡)) = (π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)))
10695, 104, 105syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (0gβ€˜π‘‡)) = (π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)))
10793, 106eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†))) = (π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)))
10891, 107eqeq12d 2749 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜((π‘₯ Β· 𝑦) + (0gβ€˜π‘†))) = ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†))) ↔ (πΉβ€˜(π‘₯ Β· 𝑦)) = (π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦))))
10984, 108sylibd 238 . . . . . . . 8 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜((π‘₯ Β· 𝑦) + 𝑧)) = ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ Β· 𝑦)) = (π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦))))
110109ralimdvva 3198 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡))) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐸 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜((π‘₯ Β· 𝑦) + 𝑧)) = ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐸 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜(π‘₯ Β· 𝑦)) = (π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦))))
1111103exp2 1355 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) β†’ (𝐹:𝐡⟢𝐢 β†’ (𝐿 = 𝐾 β†’ ((πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐸 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜((π‘₯ Β· 𝑦) + 𝑧)) = ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐸 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜(π‘₯ Β· 𝑦)) = (π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)))))))
112111com45 97 . . . . 5 ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) β†’ (𝐹:𝐡⟢𝐢 β†’ (𝐿 = 𝐾 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐸 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜((π‘₯ Β· 𝑦) + 𝑧)) = ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)) β†’ ((πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐸 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜(π‘₯ Β· 𝑦)) = (π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)))))))
1131123imp2 1350 . . . 4 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐸 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜((π‘₯ Β· 𝑦) + 𝑧)) = ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)))) β†’ ((πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐸 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜(π‘₯ Β· 𝑦)) = (π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦))))
11475, 113mpd 15 . . 3 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐸 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜((π‘₯ Β· 𝑦) + 𝑧)) = ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐸 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜(π‘₯ Β· 𝑦)) = (π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)))
1154, 5, 14, 1, 13, 22islmhm3 20504 . . . 4 ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) β†’ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ↔ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐸 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜(π‘₯ Β· 𝑦)) = (π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)))))
116115adantr 482 . . 3 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐸 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜((π‘₯ Β· 𝑦) + 𝑧)) = ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)))) β†’ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ↔ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐸 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜(π‘₯ Β· 𝑦)) = (π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)))))
11770, 71, 114, 116mpbir3and 1343 . 2 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐸 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜((π‘₯ Β· 𝑦) + 𝑧)) = ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)))) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
11829, 117impbida 800 1 ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) β†’ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ↔ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐸 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜((π‘₯ Β· 𝑦) + 𝑧)) = ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  +gcplusg 17138  Scalarcsca 17141   ·𝑠 cvsca 17142  0gc0g 17326  Grpcgrp 18753   GrpHom cghm 19010  1rcur 19918  Ringcrg 19969  LModclmod 20336   LMHom clmhm 20495
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-plusg 17151  df-0g 17328  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-grp 18756  df-ghm 19011  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-lmod 20338  df-lmhm 20498
This theorem is referenced by:  isphld  21074
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