MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islmhm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islmhm2 19310
Description: A one-equation proof of linearity of a left module homomorphism, similar to df-lss 19202. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islmhm2.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
islmhm2.c 𝐶 = (Base‘𝑇)
islmhm2.k 𝐾 = (Scalar‘𝑆)
islmhm2.l 𝐿 = (Scalar‘𝑇)
islmhm2.e 𝐸 = (Base‘𝐾)
islmhm2.p + = (+g𝑆)
islmhm2.q = (+g𝑇)
islmhm2.m · = ( ·𝑠𝑆)
islmhm2.n × = ( ·𝑠𝑇)
Assertion
Ref Expression
islmhm2 ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) → (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ↔ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ ∀𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝑥,𝐸,𝑦,𝑧   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧   𝑥, + ,𝑦,𝑧   𝑥,𝐾,𝑦,𝑧   𝑥,𝐿,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝑥,𝑇,𝑦,𝑧   𝑥, · ,𝑧   𝑥, × ,𝑧
Allowed substitution hints:   · (𝑦)   × (𝑦)

Proof of Theorem islmhm2
StepHypRef Expression
1 islmhm2.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑆)
2 islmhm2.c . . . . 5 𝐶 = (Base‘𝑇)
31, 2lmhmf 19306 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹:𝐵𝐶)
4 islmhm2.k . . . . 5 𝐾 = (Scalar‘𝑆)
5 islmhm2.l . . . . 5 𝐿 = (Scalar‘𝑇)
64, 5lmhmsca 19302 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐿 = 𝐾)
7 lmghm 19303 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
87adantr 472 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
9 lmhmlmod1 19305 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ LMod)
109adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑆 ∈ LMod)
11 simpr1 1248 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑥𝐸)
12 simpr2 1250 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑦𝐵)
13 islmhm2.m . . . . . . . . 9 · = ( ·𝑠𝑆)
14 islmhm2.e . . . . . . . . 9 𝐸 = (Base‘𝐾)
151, 4, 13, 14lmodvscl 19149 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑥𝐸𝑦𝐵) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵)
1610, 11, 12, 15syl3anc 1490 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵)
17 simpr3 1252 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑧𝐵)
18 islmhm2.p . . . . . . . 8 + = (+g𝑆)
19 islmhm2.q . . . . . . . 8 = (+g𝑇)
201, 18, 19ghmlin 17931 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵𝑧𝐵) → (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) (𝐹𝑧)))
218, 16, 17, 20syl3anc 1490 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) (𝐹𝑧)))
22 islmhm2.n . . . . . . . . 9 × = ( ·𝑠𝑇)
234, 14, 1, 13, 22lmhmlin 19307 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑥𝐸𝑦𝐵) → (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = (𝑥 × (𝐹𝑦)))
24233adant3r3 1235 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = (𝑥 × (𝐹𝑦)))
2524oveq1d 6857 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) (𝐹𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)))
2621, 25eqtrd 2799 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)))
2726ralrimivvva 3119 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → ∀𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)))
283, 6, 273jca 1158 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ ∀𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧))))
2928adantl 473 . 2 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇)) → (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ ∀𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧))))
30 lmodgrp 19139 . . . . . 6 (𝑆 ∈ LMod → 𝑆 ∈ Grp)
31 lmodgrp 19139 . . . . . 6 (𝑇 ∈ LMod → 𝑇 ∈ Grp)
3230, 31anim12i 606 . . . . 5 ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) → (𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp))
3332adantr 472 . . . 4 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ ∀𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)))) → (𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp))
34 simpr1 1248 . . . . 5 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ ∀𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)))) → 𝐹:𝐵𝐶)
354lmodring 19140 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ LMod → 𝐾 ∈ Ring)
3635ad2antrr 717 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾)) → 𝐾 ∈ Ring)
37 eqid 2765 . . . . . . . . . 10 (1r𝐾) = (1r𝐾)
3814, 37ringidcl 18835 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ Ring → (1r𝐾) ∈ 𝐸)
39 oveq1 6849 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (1r𝐾) → (𝑥 · 𝑦) = ((1r𝐾) · 𝑦))
4039fvoveq1d 6864 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (1r𝐾) → (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = (𝐹‘(((1r𝐾) · 𝑦) + 𝑧)))
41 oveq1 6849 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (1r𝐾) → (𝑥 × (𝐹𝑦)) = ((1r𝐾) × (𝐹𝑦)))
4241oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (1r𝐾) → ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)) = (((1r𝐾) × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)))
4340, 42eqeq12d 2780 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (1r𝐾) → ((𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)) ↔ (𝐹‘(((1r𝐾) · 𝑦) + 𝑧)) = (((1r𝐾) × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧))))
44432ralbidv 3136 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (1r𝐾) → (∀𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)) ↔ ∀𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘(((1r𝐾) · 𝑦) + 𝑧)) = (((1r𝐾) × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧))))
4544rspcv 3457 . . . . . . . . 9 ((1r𝐾) ∈ 𝐸 → (∀𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)) → ∀𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘(((1r𝐾) · 𝑦) + 𝑧)) = (((1r𝐾) × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧))))
4636, 38, 453syl 18 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾)) → (∀𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)) → ∀𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘(((1r𝐾) · 𝑦) + 𝑧)) = (((1r𝐾) × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧))))
47 simplll 791 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾)) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑆 ∈ LMod)
48 simprl 787 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾)) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑦𝐵)
491, 4, 13, 37lmodvs1 19160 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑦𝐵) → ((1r𝐾) · 𝑦) = 𝑦)
5047, 48, 49syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾)) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((1r𝐾) · 𝑦) = 𝑦)
5150fvoveq1d 6864 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾)) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝐹‘(((1r𝐾) · 𝑦) + 𝑧)) = (𝐹‘(𝑦 + 𝑧)))
52 simplrr 796 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾)) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝐿 = 𝐾)
5352fveq2d 6379 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾)) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (1r𝐿) = (1r𝐾))
5453oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾)) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((1r𝐿) × (𝐹𝑦)) = ((1r𝐾) × (𝐹𝑦)))
55 simpllr 793 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾)) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑇 ∈ LMod)
56 simplrl 795 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾)) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝐹:𝐵𝐶)
5756, 48ffvelrnd 6550 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾)) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝐶)
58 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . 14 (1r𝐿) = (1r𝐿)
592, 5, 22, 58lmodvs1 19160 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐶) → ((1r𝐿) × (𝐹𝑦)) = (𝐹𝑦))
6055, 57, 59syl2anc 579 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾)) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((1r𝐿) × (𝐹𝑦)) = (𝐹𝑦))
6154, 60eqtr3d 2801 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾)) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((1r𝐾) × (𝐹𝑦)) = (𝐹𝑦))
6261oveq1d 6857 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾)) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (((1r𝐾) × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)) = ((𝐹𝑦) (𝐹𝑧)))
6351, 62eqeq12d 2780 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾)) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝐹‘(((1r𝐾) · 𝑦) + 𝑧)) = (((1r𝐾) × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)) ↔ (𝐹‘(𝑦 + 𝑧)) = ((𝐹𝑦) (𝐹𝑧))))
64632ralbidva 3135 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾)) → (∀𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘(((1r𝐾) · 𝑦) + 𝑧)) = (((1r𝐾) × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)) ↔ ∀𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘(𝑦 + 𝑧)) = ((𝐹𝑦) (𝐹𝑧))))
6546, 64sylibd 230 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾)) → (∀𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)) → ∀𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘(𝑦 + 𝑧)) = ((𝐹𝑦) (𝐹𝑧))))
6665exp32 411 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) → (𝐹:𝐵𝐶 → (𝐿 = 𝐾 → (∀𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)) → ∀𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘(𝑦 + 𝑧)) = ((𝐹𝑦) (𝐹𝑧))))))
67663imp2 1458 . . . . 5 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ ∀𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)))) → ∀𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘(𝑦 + 𝑧)) = ((𝐹𝑦) (𝐹𝑧)))
6834, 67jca 507 . . . 4 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ ∀𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)))) → (𝐹:𝐵𝐶 ∧ ∀𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘(𝑦 + 𝑧)) = ((𝐹𝑦) (𝐹𝑧))))
691, 2, 18, 19isghm 17926 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp) ∧ (𝐹:𝐵𝐶 ∧ ∀𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘(𝑦 + 𝑧)) = ((𝐹𝑦) (𝐹𝑧)))))
7033, 68, 69sylanbrc 578 . . 3 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ ∀𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)))) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
71 simpr2 1250 . . 3 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ ∀𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)))) → 𝐿 = 𝐾)
72 eqid 2765 . . . . . 6 (0g𝑆) = (0g𝑆)
73 eqid 2765 . . . . . 6 (0g𝑇) = (0g𝑇)
7472, 73ghmid 17932 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))
7570, 74syl 17 . . . 4 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ ∀𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)))) → (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))
7630ad3antrrr 721 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵)) → 𝑆 ∈ Grp)
771, 72grpidcl 17719 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ Grp → (0g𝑆) ∈ 𝐵)
78 oveq2 6850 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (0g𝑆) → ((𝑥 · 𝑦) + 𝑧) = ((𝑥 · 𝑦) + (0g𝑆)))
7978fveq2d 6379 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (0g𝑆) → (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + (0g𝑆))))
80 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (0g𝑆) → (𝐹𝑧) = (𝐹‘(0g𝑆)))
8180oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (0g𝑆) → ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹‘(0g𝑆))))
8279, 81eqeq12d 2780 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (0g𝑆) → ((𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)) ↔ (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + (0g𝑆))) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹‘(0g𝑆)))))
8382rspcv 3457 . . . . . . . . . 10 ((0g𝑆) ∈ 𝐵 → (∀𝑧𝐵 (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)) → (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + (0g𝑆))) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹‘(0g𝑆)))))
8476, 77, 833syl 18 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵)) → (∀𝑧𝐵 (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)) → (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + (0g𝑆))) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹‘(0g𝑆)))))
85 simplll 791 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵)) → 𝑆 ∈ LMod)
86 simprl 787 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵)) → 𝑥𝐸)
87 simprr 789 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵)) → 𝑦𝐵)
8885, 86, 87, 15syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵)
891, 18, 72grprid 17722 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ Grp ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵) → ((𝑥 · 𝑦) + (0g𝑆)) = (𝑥 · 𝑦))
9076, 88, 89syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵)) → ((𝑥 · 𝑦) + (0g𝑆)) = (𝑥 · 𝑦))
9190fveq2d 6379 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵)) → (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + (0g𝑆))) = (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)))
92 simplr3 1279 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵)) → (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))
9392oveq2d 6858 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵)) → ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹‘(0g𝑆))) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (0g𝑇)))
94 simpllr 793 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵)) → 𝑇 ∈ LMod)
9594, 31syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵)) → 𝑇 ∈ Grp)
96 simplr2 1277 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵)) → 𝐿 = 𝐾)
9796fveq2d 6379 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵)) → (Base‘𝐿) = (Base‘𝐾))
9897, 14syl6eqr 2817 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵)) → (Base‘𝐿) = 𝐸)
9986, 98eleqtrrd 2847 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐿))
100 simplr1 1275 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵)) → 𝐹:𝐵𝐶)
101100, 87ffvelrnd 6550 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝐶)
102 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . 14 (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
1032, 5, 22, 102lmodvscl 19149 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐶) → (𝑥 × (𝐹𝑦)) ∈ 𝐶)
10494, 99, 101, 103syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵)) → (𝑥 × (𝐹𝑦)) ∈ 𝐶)
1052, 19, 73grprid 17722 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ Grp ∧ (𝑥 × (𝐹𝑦)) ∈ 𝐶) → ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (0g𝑇)) = (𝑥 × (𝐹𝑦)))
10695, 104, 105syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵)) → ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (0g𝑇)) = (𝑥 × (𝐹𝑦)))
10793, 106eqtrd 2799 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵)) → ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹‘(0g𝑆))) = (𝑥 × (𝐹𝑦)))
10891, 107eqeq12d 2780 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵)) → ((𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + (0g𝑆))) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹‘(0g𝑆))) ↔ (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = (𝑥 × (𝐹𝑦))))
10984, 108sylibd 230 . . . . . . . 8 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵)) → (∀𝑧𝐵 (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)) → (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = (𝑥 × (𝐹𝑦))))
110109ralimdvva 3111 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))) → (∀𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)) → ∀𝑥𝐸𝑦𝐵 (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = (𝑥 × (𝐹𝑦))))
1111103exp2 1463 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) → (𝐹:𝐵𝐶 → (𝐿 = 𝐾 → ((𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇) → (∀𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)) → ∀𝑥𝐸𝑦𝐵 (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = (𝑥 × (𝐹𝑦)))))))
112111com45 97 . . . . 5 ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) → (𝐹:𝐵𝐶 → (𝐿 = 𝐾 → (∀𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)) → ((𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇) → ∀𝑥𝐸𝑦𝐵 (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = (𝑥 × (𝐹𝑦)))))))
1131123imp2 1458 . . . 4 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ ∀𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)))) → ((𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇) → ∀𝑥𝐸𝑦𝐵 (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = (𝑥 × (𝐹𝑦))))
11475, 113mpd 15 . . 3 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ ∀𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)))) → ∀𝑥𝐸𝑦𝐵 (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = (𝑥 × (𝐹𝑦)))
1154, 5, 14, 1, 13, 22islmhm3 19300 . . . 4 ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) → (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ↔ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ ∀𝑥𝐸𝑦𝐵 (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = (𝑥 × (𝐹𝑦)))))
116115adantr 472 . . 3 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ ∀𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)))) → (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ↔ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ ∀𝑥𝐸𝑦𝐵 (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = (𝑥 × (𝐹𝑦)))))
11770, 71, 114, 116mpbir3and 1442 . 2 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ ∀𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)))) → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
11829, 117impbida 835 1 ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) → (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ↔ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ ∀𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  Basecbs 16132  +gcplusg 16216  Scalarcsca 16219   ·𝑠 cvsca 16220  0gc0g 16368  Grpcgrp 17691   GrpHom cghm 17923  1rcur 18768  Ringcrg 18814  LModclmod 19132   LMHom clmhm 19291
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-2 11335  df-ndx 16135  df-slot 16136  df-base 16138  df-sets 16139  df-plusg 16229  df-0g 16370  df-mgm 17510  df-sgrp 17552  df-mnd 17563  df-grp 17694  df-ghm 17924  df-mgp 18757  df-ur 18769  df-ring 18816  df-lmod 19134  df-lmhm 19294
This theorem is referenced by:  isphld  20274
  Copyright terms: Public domain W3C validator