MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islmhm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islmhm2 20499
Description: A one-equation proof of linearity of a left module homomorphism, similar to df-lss 20393. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islmhm2.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
islmhm2.c 𝐶 = (Base‘𝑇)
islmhm2.k 𝐾 = (Scalar‘𝑆)
islmhm2.l 𝐿 = (Scalar‘𝑇)
islmhm2.e 𝐸 = (Base‘𝐾)
islmhm2.p + = (+g𝑆)
islmhm2.q = (+g𝑇)
islmhm2.m · = ( ·𝑠𝑆)
islmhm2.n × = ( ·𝑠𝑇)
Assertion
Ref Expression
islmhm2 ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) → (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ↔ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ ∀𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝑥,𝐸,𝑦,𝑧   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧   𝑥, + ,𝑦,𝑧   𝑥,𝐾,𝑦,𝑧   𝑥,𝐿,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝑥,𝑇,𝑦,𝑧   𝑥, · ,𝑧   𝑥, × ,𝑧
Allowed substitution hints:   · (𝑦)   × (𝑦)

Proof of Theorem islmhm2
StepHypRef Expression
1 islmhm2.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑆)
2 islmhm2.c . . . . 5 𝐶 = (Base‘𝑇)
31, 2lmhmf 20495 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹:𝐵𝐶)
4 islmhm2.k . . . . 5 𝐾 = (Scalar‘𝑆)
5 islmhm2.l . . . . 5 𝐿 = (Scalar‘𝑇)
64, 5lmhmsca 20491 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐿 = 𝐾)
7 lmghm 20492 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
87adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
9 lmhmlmod1 20494 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ LMod)
109adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑆 ∈ LMod)
11 simpr1 1194 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑥𝐸)
12 simpr2 1195 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑦𝐵)
13 islmhm2.m . . . . . . . . 9 · = ( ·𝑠𝑆)
14 islmhm2.e . . . . . . . . 9 𝐸 = (Base‘𝐾)
151, 4, 13, 14lmodvscl 20339 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑥𝐸𝑦𝐵) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵)
1610, 11, 12, 15syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵)
17 simpr3 1196 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑧𝐵)
18 islmhm2.p . . . . . . . 8 + = (+g𝑆)
19 islmhm2.q . . . . . . . 8 = (+g𝑇)
201, 18, 19ghmlin 19013 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵𝑧𝐵) → (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) (𝐹𝑧)))
218, 16, 17, 20syl3anc 1371 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) (𝐹𝑧)))
22 islmhm2.n . . . . . . . . 9 × = ( ·𝑠𝑇)
234, 14, 1, 13, 22lmhmlin 20496 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑥𝐸𝑦𝐵) → (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = (𝑥 × (𝐹𝑦)))
24233adant3r3 1184 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = (𝑥 × (𝐹𝑦)))
2524oveq1d 7372 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) (𝐹𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)))
2621, 25eqtrd 2776 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)))
2726ralrimivvva 3200 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → ∀𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)))
283, 6, 273jca 1128 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ ∀𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧))))
2928adantl 482 . 2 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇)) → (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ ∀𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧))))
30 lmodgrp 20329 . . . . . 6 (𝑆 ∈ LMod → 𝑆 ∈ Grp)
31 lmodgrp 20329 . . . . . 6 (𝑇 ∈ LMod → 𝑇 ∈ Grp)
3230, 31anim12i 613 . . . . 5 ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) → (𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp))
3332adantr 481 . . . 4 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ ∀𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)))) → (𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp))
34 simpr1 1194 . . . . 5 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ ∀𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)))) → 𝐹:𝐵𝐶)
354lmodring 20330 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ LMod → 𝐾 ∈ Ring)
3635ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾)) → 𝐾 ∈ Ring)
37 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (1r𝐾) = (1r𝐾)
3814, 37ringidcl 19989 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ Ring → (1r𝐾) ∈ 𝐸)
39 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (1r𝐾) → (𝑥 · 𝑦) = ((1r𝐾) · 𝑦))
4039fvoveq1d 7379 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (1r𝐾) → (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = (𝐹‘(((1r𝐾) · 𝑦) + 𝑧)))
41 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (1r𝐾) → (𝑥 × (𝐹𝑦)) = ((1r𝐾) × (𝐹𝑦)))
4241oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (1r𝐾) → ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)) = (((1r𝐾) × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)))
4340, 42eqeq12d 2752 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (1r𝐾) → ((𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)) ↔ (𝐹‘(((1r𝐾) · 𝑦) + 𝑧)) = (((1r𝐾) × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧))))
44432ralbidv 3212 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (1r𝐾) → (∀𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)) ↔ ∀𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘(((1r𝐾) · 𝑦) + 𝑧)) = (((1r𝐾) × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧))))
4544rspcv 3577 . . . . . . . . 9 ((1r𝐾) ∈ 𝐸 → (∀𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)) → ∀𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘(((1r𝐾) · 𝑦) + 𝑧)) = (((1r𝐾) × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧))))
4636, 38, 453syl 18 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾)) → (∀𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)) → ∀𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘(((1r𝐾) · 𝑦) + 𝑧)) = (((1r𝐾) × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧))))
47 simplll 773 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾)) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑆 ∈ LMod)
48 simprl 769 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾)) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑦𝐵)
491, 4, 13, 37lmodvs1 20350 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑦𝐵) → ((1r𝐾) · 𝑦) = 𝑦)
5047, 48, 49syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾)) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((1r𝐾) · 𝑦) = 𝑦)
5150fvoveq1d 7379 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾)) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝐹‘(((1r𝐾) · 𝑦) + 𝑧)) = (𝐹‘(𝑦 + 𝑧)))
52 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾)) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝐿 = 𝐾)
5352fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾)) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (1r𝐿) = (1r𝐾))
5453oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾)) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((1r𝐿) × (𝐹𝑦)) = ((1r𝐾) × (𝐹𝑦)))
55 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾)) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑇 ∈ LMod)
56 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾)) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝐹:𝐵𝐶)
5756, 48ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾)) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝐶)
58 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (1r𝐿) = (1r𝐿)
592, 5, 22, 58lmodvs1 20350 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐶) → ((1r𝐿) × (𝐹𝑦)) = (𝐹𝑦))
6055, 57, 59syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾)) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((1r𝐿) × (𝐹𝑦)) = (𝐹𝑦))
6154, 60eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾)) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((1r𝐾) × (𝐹𝑦)) = (𝐹𝑦))
6261oveq1d 7372 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾)) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (((1r𝐾) × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)) = ((𝐹𝑦) (𝐹𝑧)))
6351, 62eqeq12d 2752 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾)) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝐹‘(((1r𝐾) · 𝑦) + 𝑧)) = (((1r𝐾) × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)) ↔ (𝐹‘(𝑦 + 𝑧)) = ((𝐹𝑦) (𝐹𝑧))))
64632ralbidva 3210 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾)) → (∀𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘(((1r𝐾) · 𝑦) + 𝑧)) = (((1r𝐾) × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)) ↔ ∀𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘(𝑦 + 𝑧)) = ((𝐹𝑦) (𝐹𝑧))))
6546, 64sylibd 238 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾)) → (∀𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)) → ∀𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘(𝑦 + 𝑧)) = ((𝐹𝑦) (𝐹𝑧))))
6665exp32 421 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) → (𝐹:𝐵𝐶 → (𝐿 = 𝐾 → (∀𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)) → ∀𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘(𝑦 + 𝑧)) = ((𝐹𝑦) (𝐹𝑧))))))
67663imp2 1349 . . . . 5 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ ∀𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)))) → ∀𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘(𝑦 + 𝑧)) = ((𝐹𝑦) (𝐹𝑧)))
6834, 67jca 512 . . . 4 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ ∀𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)))) → (𝐹:𝐵𝐶 ∧ ∀𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘(𝑦 + 𝑧)) = ((𝐹𝑦) (𝐹𝑧))))
691, 2, 18, 19isghm 19008 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp) ∧ (𝐹:𝐵𝐶 ∧ ∀𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘(𝑦 + 𝑧)) = ((𝐹𝑦) (𝐹𝑧)))))
7033, 68, 69sylanbrc 583 . . 3 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ ∀𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)))) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
71 simpr2 1195 . . 3 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ ∀𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)))) → 𝐿 = 𝐾)
72 eqid 2736 . . . . . 6 (0g𝑆) = (0g𝑆)
73 eqid 2736 . . . . . 6 (0g𝑇) = (0g𝑇)
7472, 73ghmid 19014 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))
7570, 74syl 17 . . . 4 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ ∀𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)))) → (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))
7630ad3antrrr 728 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵)) → 𝑆 ∈ Grp)
771, 72grpidcl 18778 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ Grp → (0g𝑆) ∈ 𝐵)
78 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (0g𝑆) → ((𝑥 · 𝑦) + 𝑧) = ((𝑥 · 𝑦) + (0g𝑆)))
7978fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (0g𝑆) → (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + (0g𝑆))))
80 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (0g𝑆) → (𝐹𝑧) = (𝐹‘(0g𝑆)))
8180oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (0g𝑆) → ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹‘(0g𝑆))))
8279, 81eqeq12d 2752 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (0g𝑆) → ((𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)) ↔ (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + (0g𝑆))) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹‘(0g𝑆)))))
8382rspcv 3577 . . . . . . . . . 10 ((0g𝑆) ∈ 𝐵 → (∀𝑧𝐵 (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)) → (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + (0g𝑆))) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹‘(0g𝑆)))))
8476, 77, 833syl 18 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵)) → (∀𝑧𝐵 (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)) → (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + (0g𝑆))) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹‘(0g𝑆)))))
85 simplll 773 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵)) → 𝑆 ∈ LMod)
86 simprl 769 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵)) → 𝑥𝐸)
87 simprr 771 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵)) → 𝑦𝐵)
8885, 86, 87, 15syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵)
891, 18, 72grprid 18781 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ Grp ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵) → ((𝑥 · 𝑦) + (0g𝑆)) = (𝑥 · 𝑦))
9076, 88, 89syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵)) → ((𝑥 · 𝑦) + (0g𝑆)) = (𝑥 · 𝑦))
9190fveq2d 6846 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵)) → (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + (0g𝑆))) = (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)))
92 simplr3 1217 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵)) → (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))
9392oveq2d 7373 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵)) → ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹‘(0g𝑆))) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (0g𝑇)))
94 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵)) → 𝑇 ∈ LMod)
9594, 31syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵)) → 𝑇 ∈ Grp)
96 simplr2 1216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵)) → 𝐿 = 𝐾)
9796fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵)) → (Base‘𝐿) = (Base‘𝐾))
9897, 14eqtr4di 2794 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵)) → (Base‘𝐿) = 𝐸)
9986, 98eleqtrrd 2841 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐿))
100 simplr1 1215 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵)) → 𝐹:𝐵𝐶)
101100, 87ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝐶)
102 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
1032, 5, 22, 102lmodvscl 20339 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐿) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐶) → (𝑥 × (𝐹𝑦)) ∈ 𝐶)
10494, 99, 101, 103syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵)) → (𝑥 × (𝐹𝑦)) ∈ 𝐶)
1052, 19, 73grprid 18781 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ Grp ∧ (𝑥 × (𝐹𝑦)) ∈ 𝐶) → ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (0g𝑇)) = (𝑥 × (𝐹𝑦)))
10695, 104, 105syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵)) → ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (0g𝑇)) = (𝑥 × (𝐹𝑦)))
10793, 106eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵)) → ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹‘(0g𝑆))) = (𝑥 × (𝐹𝑦)))
10891, 107eqeq12d 2752 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵)) → ((𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + (0g𝑆))) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹‘(0g𝑆))) ↔ (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = (𝑥 × (𝐹𝑦))))
10984, 108sylibd 238 . . . . . . . 8 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))) ∧ (𝑥𝐸𝑦𝐵)) → (∀𝑧𝐵 (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)) → (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = (𝑥 × (𝐹𝑦))))
110109ralimdvva 3201 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))) → (∀𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)) → ∀𝑥𝐸𝑦𝐵 (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = (𝑥 × (𝐹𝑦))))
1111103exp2 1354 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) → (𝐹:𝐵𝐶 → (𝐿 = 𝐾 → ((𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇) → (∀𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)) → ∀𝑥𝐸𝑦𝐵 (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = (𝑥 × (𝐹𝑦)))))))
112111com45 97 . . . . 5 ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) → (𝐹:𝐵𝐶 → (𝐿 = 𝐾 → (∀𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)) → ((𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇) → ∀𝑥𝐸𝑦𝐵 (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = (𝑥 × (𝐹𝑦)))))))
1131123imp2 1349 . . . 4 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ ∀𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)))) → ((𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇) → ∀𝑥𝐸𝑦𝐵 (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = (𝑥 × (𝐹𝑦))))
11475, 113mpd 15 . . 3 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ ∀𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)))) → ∀𝑥𝐸𝑦𝐵 (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = (𝑥 × (𝐹𝑦)))
1154, 5, 14, 1, 13, 22islmhm3 20489 . . . 4 ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) → (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ↔ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ ∀𝑥𝐸𝑦𝐵 (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = (𝑥 × (𝐹𝑦)))))
116115adantr 481 . . 3 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ ∀𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)))) → (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ↔ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ ∀𝑥𝐸𝑦𝐵 (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = (𝑥 × (𝐹𝑦)))))
11770, 71, 114, 116mpbir3and 1342 . 2 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ ∀𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)))) → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
11829, 117impbida 799 1 ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) → (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ↔ (𝐹:𝐵𝐶𝐿 = 𝐾 ∧ ∀𝑥𝐸𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝐹‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 × (𝐹𝑦)) (𝐹𝑧)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  +gcplusg 17133  Scalarcsca 17136   ·𝑠 cvsca 17137  0gc0g 17321  Grpcgrp 18748   GrpHom cghm 19005  1rcur 19913  Ringcrg 19964  LModclmod 20322   LMHom clmhm 20480
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-plusg 17146  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-ghm 19006  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-lmod 20324  df-lmhm 20483
This theorem is referenced by:  isphld  21058
  Copyright terms: Public domain W3C validator