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Theorem islmhm2 20793
Description: A one-equation proof of linearity of a left module homomorphism, similar to df-lss 20687. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islmhm2.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
islmhm2.c 𝐢 = (Baseβ€˜π‘‡)
islmhm2.k 𝐾 = (Scalarβ€˜π‘†)
islmhm2.l 𝐿 = (Scalarβ€˜π‘‡)
islmhm2.e 𝐸 = (Baseβ€˜πΎ)
islmhm2.p + = (+gβ€˜π‘†)
islmhm2.q ⨣ = (+gβ€˜π‘‡)
islmhm2.m Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘†)
islmhm2.n Γ— = ( ·𝑠 β€˜π‘‡)
Assertion
Ref Expression
islmhm2 ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) β†’ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ↔ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐸 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜((π‘₯ Β· 𝑦) + 𝑧)) = ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝑧, ⨣   π‘₯,𝐡,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐢,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐸,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐹,𝑦,𝑧   π‘₯, + ,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐾,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐿,𝑦,𝑧   π‘₯,𝑆,𝑦,𝑧   π‘₯,𝑇,𝑦,𝑧   π‘₯, Β· ,𝑧   π‘₯, Γ— ,𝑧
Allowed substitution hints:   Β· (𝑦)   Γ— (𝑦)

Proof of Theorem islmhm2
StepHypRef Expression
1 islmhm2.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
2 islmhm2.c . . . . 5 𝐢 = (Baseβ€˜π‘‡)
31, 2lmhmf 20789 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ 𝐹:𝐡⟢𝐢)
4 islmhm2.k . . . . 5 𝐾 = (Scalarβ€˜π‘†)
5 islmhm2.l . . . . 5 𝐿 = (Scalarβ€˜π‘‡)
64, 5lmhmsca 20785 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ 𝐿 = 𝐾)
7 lmghm 20786 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
87adantr 479 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
9 lmhmlmod1 20788 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ 𝑆 ∈ LMod)
109adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑆 ∈ LMod)
11 simpr1 1192 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐸)
12 simpr2 1193 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
13 islmhm2.m . . . . . . . . 9 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘†)
14 islmhm2.e . . . . . . . . 9 𝐸 = (Baseβ€˜πΎ)
151, 4, 13, 14lmodvscl 20632 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ LMod ∧ π‘₯ ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝐡)
1610, 11, 12, 15syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝐡)
17 simpr3 1194 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
18 islmhm2.p . . . . . . . 8 + = (+gβ€˜π‘†)
19 islmhm2.q . . . . . . . 8 ⨣ = (+gβ€˜π‘‡)
201, 18, 19ghmlin 19135 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜((π‘₯ Β· 𝑦) + 𝑧)) = ((πΉβ€˜(π‘₯ Β· 𝑦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)))
218, 16, 17, 20syl3anc 1369 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜((π‘₯ Β· 𝑦) + 𝑧)) = ((πΉβ€˜(π‘₯ Β· 𝑦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)))
22 islmhm2.n . . . . . . . . 9 Γ— = ( ·𝑠 β€˜π‘‡)
234, 14, 1, 13, 22lmhmlin 20790 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘₯ ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ Β· 𝑦)) = (π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)))
24233adant3r3 1182 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ Β· 𝑦)) = (π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)))
2524oveq1d 7426 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜(π‘₯ Β· 𝑦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)) = ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)))
2621, 25eqtrd 2770 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜((π‘₯ Β· 𝑦) + 𝑧)) = ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)))
2726ralrimivvva 3201 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐸 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜((π‘₯ Β· 𝑦) + 𝑧)) = ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)))
283, 6, 273jca 1126 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐸 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜((π‘₯ Β· 𝑦) + 𝑧)) = ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§))))
2928adantl 480 . 2 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇)) β†’ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐸 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜((π‘₯ Β· 𝑦) + 𝑧)) = ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§))))
30 lmodgrp 20621 . . . . . 6 (𝑆 ∈ LMod β†’ 𝑆 ∈ Grp)
31 lmodgrp 20621 . . . . . 6 (𝑇 ∈ LMod β†’ 𝑇 ∈ Grp)
3230, 31anim12i 611 . . . . 5 ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) β†’ (𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp))
3332adantr 479 . . . 4 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐸 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜((π‘₯ Β· 𝑦) + 𝑧)) = ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)))) β†’ (𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp))
34 simpr1 1192 . . . . 5 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐸 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜((π‘₯ Β· 𝑦) + 𝑧)) = ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)))) β†’ 𝐹:𝐡⟢𝐢)
354lmodring 20622 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ LMod β†’ 𝐾 ∈ Ring)
3635ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾)) β†’ 𝐾 ∈ Ring)
37 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (1rβ€˜πΎ) = (1rβ€˜πΎ)
3814, 37ringidcl 20154 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜πΎ) ∈ 𝐸)
39 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = (1rβ€˜πΎ) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) = ((1rβ€˜πΎ) Β· 𝑦))
4039fvoveq1d 7433 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = (1rβ€˜πΎ) β†’ (πΉβ€˜((π‘₯ Β· 𝑦) + 𝑧)) = (πΉβ€˜(((1rβ€˜πΎ) Β· 𝑦) + 𝑧)))
41 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = (1rβ€˜πΎ) β†’ (π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) = ((1rβ€˜πΎ) Γ— (πΉβ€˜π‘¦)))
4241oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = (1rβ€˜πΎ) β†’ ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)) = (((1rβ€˜πΎ) Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)))
4340, 42eqeq12d 2746 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = (1rβ€˜πΎ) β†’ ((πΉβ€˜((π‘₯ Β· 𝑦) + 𝑧)) = ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)) ↔ (πΉβ€˜(((1rβ€˜πΎ) Β· 𝑦) + 𝑧)) = (((1rβ€˜πΎ) Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§))))
44432ralbidv 3216 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = (1rβ€˜πΎ) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜((π‘₯ Β· 𝑦) + 𝑧)) = ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜(((1rβ€˜πΎ) Β· 𝑦) + 𝑧)) = (((1rβ€˜πΎ) Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§))))
4544rspcv 3607 . . . . . . . . 9 ((1rβ€˜πΎ) ∈ 𝐸 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐸 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜((π‘₯ Β· 𝑦) + 𝑧)) = ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜(((1rβ€˜πΎ) Β· 𝑦) + 𝑧)) = (((1rβ€˜πΎ) Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§))))
4636, 38, 453syl 18 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐸 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜((π‘₯ Β· 𝑦) + 𝑧)) = ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜(((1rβ€˜πΎ) Β· 𝑦) + 𝑧)) = (((1rβ€˜πΎ) Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§))))
47 simplll 771 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑆 ∈ LMod)
48 simprl 767 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
491, 4, 13, 37lmodvs1 20644 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ((1rβ€˜πΎ) Β· 𝑦) = 𝑦)
5047, 48, 49syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ ((1rβ€˜πΎ) Β· 𝑦) = 𝑦)
5150fvoveq1d 7433 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(((1rβ€˜πΎ) Β· 𝑦) + 𝑧)) = (πΉβ€˜(𝑦 + 𝑧)))
52 simplrr 774 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐿 = 𝐾)
5352fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (1rβ€˜πΏ) = (1rβ€˜πΎ))
5453oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ ((1rβ€˜πΏ) Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) = ((1rβ€˜πΎ) Γ— (πΉβ€˜π‘¦)))
55 simpllr 772 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑇 ∈ LMod)
56 simplrl 773 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐹:𝐡⟢𝐢)
5756, 48ffvelcdmd 7086 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ 𝐢)
58 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . 14 (1rβ€˜πΏ) = (1rβ€˜πΏ)
592, 5, 22, 58lmodvs1 20644 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ LMod ∧ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ 𝐢) β†’ ((1rβ€˜πΏ) Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) = (πΉβ€˜π‘¦))
6055, 57, 59syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ ((1rβ€˜πΏ) Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) = (πΉβ€˜π‘¦))
6154, 60eqtr3d 2772 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ ((1rβ€˜πΎ) Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) = (πΉβ€˜π‘¦))
6261oveq1d 7426 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (((1rβ€˜πΎ) Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)) = ((πΉβ€˜π‘¦) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)))
6351, 62eqeq12d 2746 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜(((1rβ€˜πΎ) Β· 𝑦) + 𝑧)) = (((1rβ€˜πΎ) Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)) ↔ (πΉβ€˜(𝑦 + 𝑧)) = ((πΉβ€˜π‘¦) ⨣ (πΉβ€˜π‘§))))
64632ralbidva 3214 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜(((1rβ€˜πΎ) Β· 𝑦) + 𝑧)) = (((1rβ€˜πΎ) Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜(𝑦 + 𝑧)) = ((πΉβ€˜π‘¦) ⨣ (πΉβ€˜π‘§))))
6546, 64sylibd 238 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐸 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜((π‘₯ Β· 𝑦) + 𝑧)) = ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜(𝑦 + 𝑧)) = ((πΉβ€˜π‘¦) ⨣ (πΉβ€˜π‘§))))
6665exp32 419 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) β†’ (𝐹:𝐡⟢𝐢 β†’ (𝐿 = 𝐾 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐸 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜((π‘₯ Β· 𝑦) + 𝑧)) = ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜(𝑦 + 𝑧)) = ((πΉβ€˜π‘¦) ⨣ (πΉβ€˜π‘§))))))
67663imp2 1347 . . . . 5 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐸 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜((π‘₯ Β· 𝑦) + 𝑧)) = ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜(𝑦 + 𝑧)) = ((πΉβ€˜π‘¦) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)))
6834, 67jca 510 . . . 4 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐸 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜((π‘₯ Β· 𝑦) + 𝑧)) = ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)))) β†’ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜(𝑦 + 𝑧)) = ((πΉβ€˜π‘¦) ⨣ (πΉβ€˜π‘§))))
691, 2, 18, 19isghm 19130 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜(𝑦 + 𝑧)) = ((πΉβ€˜π‘¦) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)))))
7033, 68, 69sylanbrc 581 . . 3 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐸 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜((π‘₯ Β· 𝑦) + 𝑧)) = ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)))) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
71 simpr2 1193 . . 3 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐸 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜((π‘₯ Β· 𝑦) + 𝑧)) = ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)))) β†’ 𝐿 = 𝐾)
72 eqid 2730 . . . . . 6 (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘†)
73 eqid 2730 . . . . . 6 (0gβ€˜π‘‡) = (0gβ€˜π‘‡)
7472, 73ghmid 19136 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) β†’ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡))
7570, 74syl 17 . . . 4 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐸 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜((π‘₯ Β· 𝑦) + 𝑧)) = ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)))) β†’ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡))
7630ad3antrrr 726 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑆 ∈ Grp)
771, 72grpidcl 18886 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ Grp β†’ (0gβ€˜π‘†) ∈ 𝐡)
78 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (0gβ€˜π‘†) β†’ ((π‘₯ Β· 𝑦) + 𝑧) = ((π‘₯ Β· 𝑦) + (0gβ€˜π‘†)))
7978fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (0gβ€˜π‘†) β†’ (πΉβ€˜((π‘₯ Β· 𝑦) + 𝑧)) = (πΉβ€˜((π‘₯ Β· 𝑦) + (0gβ€˜π‘†))))
80 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (0gβ€˜π‘†) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)))
8180oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (0gβ€˜π‘†) β†’ ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)) = ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†))))
8279, 81eqeq12d 2746 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (0gβ€˜π‘†) β†’ ((πΉβ€˜((π‘₯ Β· 𝑦) + 𝑧)) = ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)) ↔ (πΉβ€˜((π‘₯ Β· 𝑦) + (0gβ€˜π‘†))) = ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)))))
8382rspcv 3607 . . . . . . . . . 10 ((0gβ€˜π‘†) ∈ 𝐡 β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜((π‘₯ Β· 𝑦) + 𝑧)) = ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)) β†’ (πΉβ€˜((π‘₯ Β· 𝑦) + (0gβ€˜π‘†))) = ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)))))
8476, 77, 833syl 18 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜((π‘₯ Β· 𝑦) + 𝑧)) = ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)) β†’ (πΉβ€˜((π‘₯ Β· 𝑦) + (0gβ€˜π‘†))) = ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)))))
85 simplll 771 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑆 ∈ LMod)
86 simprl 767 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐸)
87 simprr 769 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
8885, 86, 87, 15syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝐡)
891, 18, 72grprid 18889 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ Grp ∧ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝐡) β†’ ((π‘₯ Β· 𝑦) + (0gβ€˜π‘†)) = (π‘₯ Β· 𝑦))
9076, 88, 89syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘₯ Β· 𝑦) + (0gβ€˜π‘†)) = (π‘₯ Β· 𝑦))
9190fveq2d 6894 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜((π‘₯ Β· 𝑦) + (0gβ€˜π‘†))) = (πΉβ€˜(π‘₯ Β· 𝑦)))
92 simplr3 1215 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡))
9392oveq2d 7427 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†))) = ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (0gβ€˜π‘‡)))
94 simpllr 772 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑇 ∈ LMod)
9594, 31syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑇 ∈ Grp)
96 simplr2 1214 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐿 = 𝐾)
9796fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (Baseβ€˜πΏ) = (Baseβ€˜πΎ))
9897, 14eqtr4di 2788 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (Baseβ€˜πΏ) = 𝐸)
9986, 98eleqtrrd 2834 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΏ))
100 simplr1 1213 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐹:𝐡⟢𝐢)
101100, 87ffvelcdmd 7086 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ 𝐢)
102 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . 14 (Baseβ€˜πΏ) = (Baseβ€˜πΏ)
1032, 5, 22, 102lmodvscl 20632 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ LMod ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΏ) ∧ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ 𝐢) β†’ (π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ∈ 𝐢)
10494, 99, 101, 103syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ∈ 𝐢)
1052, 19, 73grprid 18889 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ Grp ∧ (π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ∈ 𝐢) β†’ ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (0gβ€˜π‘‡)) = (π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)))
10695, 104, 105syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (0gβ€˜π‘‡)) = (π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)))
10793, 106eqtrd 2770 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†))) = (π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)))
10891, 107eqeq12d 2746 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜((π‘₯ Β· 𝑦) + (0gβ€˜π‘†))) = ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†))) ↔ (πΉβ€˜(π‘₯ Β· 𝑦)) = (π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦))))
10984, 108sylibd 238 . . . . . . . 8 ((((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜((π‘₯ Β· 𝑦) + 𝑧)) = ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ Β· 𝑦)) = (π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦))))
110109ralimdvva 3202 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡))) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐸 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜((π‘₯ Β· 𝑦) + 𝑧)) = ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐸 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜(π‘₯ Β· 𝑦)) = (π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦))))
1111103exp2 1352 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) β†’ (𝐹:𝐡⟢𝐢 β†’ (𝐿 = 𝐾 β†’ ((πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐸 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜((π‘₯ Β· 𝑦) + 𝑧)) = ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐸 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜(π‘₯ Β· 𝑦)) = (π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)))))))
112111com45 97 . . . . 5 ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) β†’ (𝐹:𝐡⟢𝐢 β†’ (𝐿 = 𝐾 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐸 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜((π‘₯ Β· 𝑦) + 𝑧)) = ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)) β†’ ((πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐸 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜(π‘₯ Β· 𝑦)) = (π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)))))))
1131123imp2 1347 . . . 4 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐸 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜((π‘₯ Β· 𝑦) + 𝑧)) = ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)))) β†’ ((πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐸 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜(π‘₯ Β· 𝑦)) = (π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦))))
11475, 113mpd 15 . . 3 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐸 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜((π‘₯ Β· 𝑦) + 𝑧)) = ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐸 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜(π‘₯ Β· 𝑦)) = (π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)))
1154, 5, 14, 1, 13, 22islmhm3 20783 . . . 4 ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) β†’ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ↔ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐸 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜(π‘₯ Β· 𝑦)) = (π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)))))
116115adantr 479 . . 3 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐸 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜((π‘₯ Β· 𝑦) + 𝑧)) = ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)))) β†’ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ↔ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐸 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜(π‘₯ Β· 𝑦)) = (π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)))))
11770, 71, 114, 116mpbir3and 1340 . 2 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐸 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜((π‘₯ Β· 𝑦) + 𝑧)) = ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)))) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
11829, 117impbida 797 1 ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) β†’ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ↔ (𝐹:𝐡⟢𝐢 ∧ 𝐿 = 𝐾 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐸 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜((π‘₯ Β· 𝑦) + 𝑧)) = ((π‘₯ Γ— (πΉβ€˜π‘¦)) ⨣ (πΉβ€˜π‘§)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  +gcplusg 17201  Scalarcsca 17204   ·𝑠 cvsca 17205  0gc0g 17389  Grpcgrp 18855   GrpHom cghm 19127  1rcur 20075  Ringcrg 20127  LModclmod 20614   LMHom clmhm 20774
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-plusg 17214  df-0g 17391  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-ghm 19128  df-mgp 20029  df-ur 20076  df-ring 20129  df-lmod 20616  df-lmhm 20777
This theorem is referenced by:  isphld  21426
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