Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lenelioc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lenelioc 43669
Description: A real number smaller than or equal to the lower bound of a left-open right-closed interval is not an element of the interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Jan-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
lenelioc.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
lenelioc.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
lenelioc.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
lenelioc.4 (𝜑𝐶𝐴)
Assertion
Ref Expression
lenelioc (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵))

Proof of Theorem lenelioc
StepHypRef Expression
1 lenelioc.4 . . . 4 (𝜑𝐶𝐴)
2 lenelioc.3 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
3 lenelioc.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
42, 3xrlenltd 11180 . . . 4 (𝜑 → (𝐶𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐶))
51, 4mpbid 231 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐴 < 𝐶)
65intn3an2d 1481 . 2 (𝜑 → ¬ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵))
7 lenelioc.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
8 elioc1 13261 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)))
93, 7, 8syl2anc 585 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)))
106, 9mtbird 325 1 (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  w3a 1088  wcel 2107   class class class wbr 5104  (class class class)co 7352  *cxr 11147   < clt 11148  cle 11149  (,]cioc 13220
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pr 5383  ax-un 7665  ax-cnex 11066  ax-resscn 11067
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-br 5105  df-opab 5167  df-id 5530  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fv 6502  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-xr 11152  df-le 11154  df-ioc 13224
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator