Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lenelioc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lenelioc 45489
Description: A real number smaller than or equal to the lower bound of a left-open right-closed interval is not an element of the interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Jan-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
lenelioc.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
lenelioc.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
lenelioc.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
lenelioc.4 (𝜑𝐶𝐴)
Assertion
Ref Expression
lenelioc (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵))

Proof of Theorem lenelioc
StepHypRef Expression
1 lenelioc.4 . . . 4 (𝜑𝐶𝐴)
2 lenelioc.3 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
3 lenelioc.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
42, 3xrlenltd 11325 . . . 4 (𝜑 → (𝐶𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐶))
51, 4mpbid 232 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐴 < 𝐶)
65intn3an2d 1479 . 2 (𝜑 → ¬ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵))
7 lenelioc.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
8 elioc1 13426 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)))
93, 7, 8syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)))
106, 9mtbird 325 1 (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  w3a 1086  wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  (,]cioc 13385
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-xr 11297  df-le 11299  df-ioc 13389
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator