Theorem elioc1 13444

Description: Membership in an open-below, closed-above interval of extended reals. (Contributed by NM, 24-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elioc1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))

Proof of Theorem elioc1

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ioc 13407	. 2 ⊢ (,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
2	1	elixx1 13411	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  (class class class)co 7417  ℝ^*cxr 11270   < clt 11271   ≤ cle 11272  (,]cioc 13403

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-xr 11275  df-ioc 13407

This theorem is used by:  ubioc1  13456  elioc2  13466  leordtvallem1  23441  pnfnei  23451  mnfnei  23452  xrge0tsms  25067  lhop1  26248  xrlimcnp  27213  iocinioc2  33258  xrge0tsmsd  33521  xrge0iifcnv  34451  lmxrge0  34470  readvrec2  43244  iocinico  44061  rfcnpre4  45876  iocgtlb  46340  iocleub  46341  eliocd  46345  lenelioc  46374  eenglngeehlnmlem1  49675