Theorem qinioo 44922

Description: The rational numbers are dense in ℝ. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
qinioo.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
qinioo.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
qinioo	⊢ (𝜑 → ((ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅ ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem qinioo

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 767	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴) → (ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅)
2		qinioo.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		qinioo.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
4	2, 3	xrltnled 44747	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))
5	4	biimpar 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴) → 𝐴 < 𝐵)
6	2	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
7	3	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
8		simpr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
9		qbtwnxr 13217	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ∃𝑞 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑞 ∧ 𝑞 < 𝐵))
10	6, 7, 8, 9	syl3anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → ∃𝑞 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑞 ∧ 𝑞 < 𝐵))
11	2	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑞 ∧ 𝑞 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
12	3	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑞 ∧ 𝑞 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
13		qre 12973	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑞 ∈ ℚ → 𝑞 ∈ ℝ)
14	13	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑞 ∧ 𝑞 < 𝐵)) → 𝑞 ∈ ℝ)
15		simprl 769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑞 ∧ 𝑞 < 𝐵)) → 𝐴 < 𝑞)
16		simprr 771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑞 ∧ 𝑞 < 𝐵)) → 𝑞 < 𝐵)
17	11, 12, 14, 15, 16	eliood 44885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑞 ∧ 𝑞 < 𝐵)) → 𝑞 ∈ (𝐴(,)𝐵))
18	17	ex 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((𝐴 < 𝑞 ∧ 𝑞 < 𝐵) → 𝑞 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
19	18	adantlr 713	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((𝐴 < 𝑞 ∧ 𝑞 < 𝐵) → 𝑞 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
20	19	reximdva 3164	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → (∃𝑞 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑞 ∧ 𝑞 < 𝐵) → ∃𝑞 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
21	10, 20	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → ∃𝑞 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐴(,)𝐵))
22		inn0 44442	. . . . . . 7 ⊢ ((ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) ≠ ∅ ↔ ∃𝑞 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐴(,)𝐵))
23	21, 22	sylibr 233	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → (ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) ≠ ∅)
24	5, 23	syldan 589	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴) → (ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) ≠ ∅)
25	24	neneqd 2941	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴) → ¬ (ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅)
26	25	adantlr 713	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴) → ¬ (ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅)
27	1, 26	condan 816	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅) → 𝐵 ≤ 𝐴)
28		ioo0 13387	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,)𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
29	2, 3, 28	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
30	29	biimpar 476	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (𝐴(,)𝐵) = ∅)
31		ineq2 4206	. . . 4 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) = ∅ → (ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) = (ℚ ∩ ∅))
32		in0 4393	. . . 4 ⊢ (ℚ ∩ ∅) = ∅
33	31, 32	eqtrdi 2783	. . 3 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) = ∅ → (ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅)
34	30, 33	syl 17	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅)
35	27, 34	impbida 799	1 ⊢ (𝜑 → ((ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅ ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2936  ∃wrex 3066   ∩ cin 3946  ∅c0 4324   class class class wbr 5150  (class class class)co 7424  ℝcr 11143  ℝ^*cxr 11283   < clt 11284   ≤ cle 11285  ℚcq 12968  (,)cioo 13362

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-n0 12509  df-z 12595  df-uz 12859  df-q 12969  df-ioo 13366

This theorem is referenced by:  hoiqssbllem3  46014