Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qinioo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qinioo 44801
Description: The rational numbers are dense in . (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
qinioo.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
qinioo.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
qinioo (𝜑 → ((ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅ ↔ 𝐵𝐴))

Proof of Theorem qinioo
Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 766 . . 3 (((𝜑 ∧ (ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → (ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅)
2 qinioo.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
3 qinioo.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
42, 3xrltnled 44626 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
54biimpar 477 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵𝐴) → 𝐴 < 𝐵)
62adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
73adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
8 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
9 qbtwnxr 13182 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ∃𝑞 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑞𝑞 < 𝐵))
106, 7, 8, 9syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 < 𝐵) → ∃𝑞 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑞𝑞 < 𝐵))
112ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑞 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑞𝑞 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
123ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑞 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑞𝑞 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
13 qre 12938 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑞 ∈ ℚ → 𝑞 ∈ ℝ)
1413ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑞 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑞𝑞 < 𝐵)) → 𝑞 ∈ ℝ)
15 simprl 768 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑞 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑞𝑞 < 𝐵)) → 𝐴 < 𝑞)
16 simprr 770 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑞 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑞𝑞 < 𝐵)) → 𝑞 < 𝐵)
1711, 12, 14, 15, 16eliood 44764 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑞 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑞𝑞 < 𝐵)) → 𝑞 ∈ (𝐴(,)𝐵))
1817ex 412 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞 ∈ ℚ) → ((𝐴 < 𝑞𝑞 < 𝐵) → 𝑞 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
1918adantlr 712 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((𝐴 < 𝑞𝑞 < 𝐵) → 𝑞 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
2019reximdva 3162 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 < 𝐵) → (∃𝑞 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑞𝑞 < 𝐵) → ∃𝑞 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
2110, 20mpd 15 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 < 𝐵) → ∃𝑞 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐴(,)𝐵))
22 inn0 44318 . . . . . . 7 ((ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) ≠ ∅ ↔ ∃𝑞 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐴(,)𝐵))
2321, 22sylibr 233 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 < 𝐵) → (ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) ≠ ∅)
245, 23syldan 590 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵𝐴) → (ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) ≠ ∅)
2524neneqd 2939 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵𝐴) → ¬ (ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅)
2625adantlr 712 . . 3 (((𝜑 ∧ (ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → ¬ (ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅)
271, 26condan 815 . 2 ((𝜑 ∧ (ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅) → 𝐵𝐴)
28 ioo0 13352 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,)𝐵) = ∅ ↔ 𝐵𝐴))
292, 3, 28syl2anc 583 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) = ∅ ↔ 𝐵𝐴))
3029biimpar 477 . . 3 ((𝜑𝐵𝐴) → (𝐴(,)𝐵) = ∅)
31 ineq2 4201 . . . 4 ((𝐴(,)𝐵) = ∅ → (ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) = (ℚ ∩ ∅))
32 in0 4386 . . . 4 (ℚ ∩ ∅) = ∅
3331, 32eqtrdi 2782 . . 3 ((𝐴(,)𝐵) = ∅ → (ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅)
3430, 33syl 17 . 2 ((𝜑𝐵𝐴) → (ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅)
3527, 34impbida 798 1 (𝜑 → ((ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅ ↔ 𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2934  wrex 3064  cin 3942  c0 4317   class class class wbr 5141  (class class class)co 7404  cr 11108  *cxr 11248   < clt 11249  cle 11250  cq 12933  (,)cioo 13327
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-q 12934  df-ioo 13331
This theorem is referenced by:  hoiqssbllem3  45893
  Copyright terms: Public domain W3C validator