Theorem qinioo 45516

Description: The rational numbers are dense in ℝ. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
qinioo.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
qinioo.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
qinioo	⊢ (𝜑 → ((ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅ ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem qinioo

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 768	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴) → (ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅)
2		qinioo.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		qinioo.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
4	2, 3	xrltnled 11183	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))
5	4	biimpar 477	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴) → 𝐴 < 𝐵)
6	2	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
7	3	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
8		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
9		qbtwnxr 13102	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ∃𝑞 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑞 ∧ 𝑞 < 𝐵))
10	6, 7, 8, 9	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → ∃𝑞 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑞 ∧ 𝑞 < 𝐵))
11	2	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑞 ∧ 𝑞 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
12	3	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑞 ∧ 𝑞 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
13		qre 12854	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑞 ∈ ℚ → 𝑞 ∈ ℝ)
14	13	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑞 ∧ 𝑞 < 𝐵)) → 𝑞 ∈ ℝ)
15		simprl 770	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑞 ∧ 𝑞 < 𝐵)) → 𝐴 < 𝑞)
16		simprr 772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑞 ∧ 𝑞 < 𝐵)) → 𝑞 < 𝐵)
17	11, 12, 14, 15, 16	eliood 45479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑞 ∧ 𝑞 < 𝐵)) → 𝑞 ∈ (𝐴(,)𝐵))
18	17	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((𝐴 < 𝑞 ∧ 𝑞 < 𝐵) → 𝑞 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
19	18	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((𝐴 < 𝑞 ∧ 𝑞 < 𝐵) → 𝑞 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
20	19	reximdva 3142	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → (∃𝑞 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑞 ∧ 𝑞 < 𝐵) → ∃𝑞 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
21	10, 20	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → ∃𝑞 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐴(,)𝐵))
22		inn0 4323	. . . . . . 7 ⊢ ((ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) ≠ ∅ ↔ ∃𝑞 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐴(,)𝐵))
23	21, 22	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → (ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) ≠ ∅)
24	5, 23	syldan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴) → (ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) ≠ ∅)
25	24	neneqd 2930	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴) → ¬ (ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅)
26	25	adantlr 715	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴) → ¬ (ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅)
27	1, 26	condan 817	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅) → 𝐵 ≤ 𝐴)
28		ioo0 13273	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,)𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
29	2, 3, 28	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
30	29	biimpar 477	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (𝐴(,)𝐵) = ∅)
31		ineq2 4165	. . . 4 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) = ∅ → (ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) = (ℚ ∩ ∅))
32		in0 4346	. . . 4 ⊢ (ℚ ∩ ∅) = ∅
33	31, 32	eqtrdi 2780	. . 3 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) = ∅ → (ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅)
34	30, 33	syl 17	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅)
35	27, 34	impbida 800	1 ⊢ (𝜑 → ((ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅ ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053   ∩ cin 3902  ∅c0 4284   class class class wbr 5092  (class class class)co 7349  ℝcr 11008  ℝ^*cxr 11148   < clt 11149   ≤ cle 11150  ℚcq 12849  (,)cioo 13248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-sup 9332  df-inf 9333  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-q 12850  df-ioo 13252

This theorem is referenced by:  hoiqssbllem3  46605