Theorem qinioo 45533

Description: The rational numbers are dense in ℝ. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
qinioo.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
qinioo.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
qinioo	⊢ (𝜑 → ((ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅ ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem qinioo

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 768	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴) → (ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅)
2		qinioo.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		qinioo.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
4	2, 3	xrltnled 45359	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))
5	4	biimpar 477	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴) → 𝐴 < 𝐵)
6	2	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
7	3	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
8		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
9		qbtwnxr 13160	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ∃𝑞 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑞 ∧ 𝑞 < 𝐵))
10	6, 7, 8, 9	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → ∃𝑞 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑞 ∧ 𝑞 < 𝐵))
11	2	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑞 ∧ 𝑞 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
12	3	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑞 ∧ 𝑞 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
13		qre 12912	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑞 ∈ ℚ → 𝑞 ∈ ℝ)
14	13	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑞 ∧ 𝑞 < 𝐵)) → 𝑞 ∈ ℝ)
15		simprl 770	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑞 ∧ 𝑞 < 𝐵)) → 𝐴 < 𝑞)
16		simprr 772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑞 ∧ 𝑞 < 𝐵)) → 𝑞 < 𝐵)
17	11, 12, 14, 15, 16	eliood 45496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑞 ∧ 𝑞 < 𝐵)) → 𝑞 ∈ (𝐴(,)𝐵))
18	17	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((𝐴 < 𝑞 ∧ 𝑞 < 𝐵) → 𝑞 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
19	18	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((𝐴 < 𝑞 ∧ 𝑞 < 𝐵) → 𝑞 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
20	19	reximdva 3146	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → (∃𝑞 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑞 ∧ 𝑞 < 𝐵) → ∃𝑞 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
21	10, 20	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → ∃𝑞 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐴(,)𝐵))
22		inn0 4335	. . . . . . 7 ⊢ ((ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) ≠ ∅ ↔ ∃𝑞 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐴(,)𝐵))
23	21, 22	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → (ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) ≠ ∅)
24	5, 23	syldan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴) → (ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) ≠ ∅)
25	24	neneqd 2930	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴) → ¬ (ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅)
26	25	adantlr 715	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴) → ¬ (ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅)
27	1, 26	condan 817	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅) → 𝐵 ≤ 𝐴)
28		ioo0 13331	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,)𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
29	2, 3, 28	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
30	29	biimpar 477	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (𝐴(,)𝐵) = ∅)
31		ineq2 4177	. . . 4 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) = ∅ → (ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) = (ℚ ∩ ∅))
32		in0 4358	. . . 4 ⊢ (ℚ ∩ ∅) = ∅
33	31, 32	eqtrdi 2780	. . 3 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) = ∅ → (ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅)
34	30, 33	syl 17	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅)
35	27, 34	impbida 800	1 ⊢ (𝜑 → ((ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅ ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053   ∩ cin 3913  ∅c0 4296   class class class wbr 5107  (class class class)co 7387  ℝcr 11067  ℝ^*cxr 11207   < clt 11208   ≤ cle 11209  ℚcq 12907  (,)cioo 13306

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-sup 9393  df-inf 9394  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-q 12908  df-ioo 13310

This theorem is referenced by:  hoiqssbllem3  46622