Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qinioo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qinioo 40558
 Description: The rational numbers are dense in ℝ. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
qinioo.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
qinioo.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
qinioo (𝜑 → ((ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅ ↔ 𝐵𝐴))

Proof of Theorem qinioo
Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 787 . . 3 (((𝜑 ∧ (ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → (ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅)
2 qinioo.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
3 qinioo.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
42, 3xrltnled 40377 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
54biimpar 471 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵𝐴) → 𝐴 < 𝐵)
62adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
73adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
8 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
9 qbtwnxr 12320 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ∃𝑞 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑞𝑞 < 𝐵))
106, 7, 8, 9syl3anc 1496 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 < 𝐵) → ∃𝑞 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑞𝑞 < 𝐵))
112ad2antrr 719 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑞 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑞𝑞 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
123ad2antrr 719 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑞 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑞𝑞 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
13 qre 12077 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑞 ∈ ℚ → 𝑞 ∈ ℝ)
1413ad2antlr 720 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑞 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑞𝑞 < 𝐵)) → 𝑞 ∈ ℝ)
15 simprl 789 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑞 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑞𝑞 < 𝐵)) → 𝐴 < 𝑞)
16 simprr 791 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑞 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑞𝑞 < 𝐵)) → 𝑞 < 𝐵)
1711, 12, 14, 15, 16eliood 40520 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑞 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑞𝑞 < 𝐵)) → 𝑞 ∈ (𝐴(,)𝐵))
1817ex 403 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞 ∈ ℚ) → ((𝐴 < 𝑞𝑞 < 𝐵) → 𝑞 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
1918adantlr 708 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((𝐴 < 𝑞𝑞 < 𝐵) → 𝑞 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
2019reximdva 3226 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 < 𝐵) → (∃𝑞 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑞𝑞 < 𝐵) → ∃𝑞 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
2110, 20mpd 15 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 < 𝐵) → ∃𝑞 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐴(,)𝐵))
22 inn0 40062 . . . . . . 7 ((ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) ≠ ∅ ↔ ∃𝑞 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐴(,)𝐵))
2321, 22sylibr 226 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 < 𝐵) → (ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) ≠ ∅)
245, 23syldan 587 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵𝐴) → (ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) ≠ ∅)
2524neneqd 3005 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵𝐴) → ¬ (ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅)
2625adantlr 708 . . 3 (((𝜑 ∧ (ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → ¬ (ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅)
271, 26condan 854 . 2 ((𝜑 ∧ (ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅) → 𝐵𝐴)
28 ioo0 12489 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,)𝐵) = ∅ ↔ 𝐵𝐴))
292, 3, 28syl2anc 581 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) = ∅ ↔ 𝐵𝐴))
3029biimpar 471 . . 3 ((𝜑𝐵𝐴) → (𝐴(,)𝐵) = ∅)
31 ineq2 4036 . . . 4 ((𝐴(,)𝐵) = ∅ → (ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) = (ℚ ∩ ∅))
32 in0 4194 . . . 4 (ℚ ∩ ∅) = ∅
3331, 32syl6eq 2878 . . 3 ((𝐴(,)𝐵) = ∅ → (ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅)
3430, 33syl 17 . 2 ((𝜑𝐵𝐴) → (ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅)
3527, 34impbida 837 1 (𝜑 → ((ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅ ↔ 𝐵𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ≠ wne 3000  ∃wrex 3119   ∩ cin 3798  ∅c0 4145   class class class wbr 4874  (class class class)co 6906  ℝcr 10252  ℝ*cxr 10391   < clt 10392   ≤ cle 10393  ℚcq 12072  (,)cioo 12464 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330  ax-pre-sup 10331 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-er 8010  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-sup 8618  df-inf 8619  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-div 11011  df-nn 11352  df-n0 11620  df-z 11706  df-uz 11970  df-q 12073  df-ioo 12468 This theorem is referenced by:  hoiqssbllem3  41633
 Copyright terms: Public domain W3C validator