Theorem qinioo 45548

Description: The rational numbers are dense in ℝ. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
qinioo.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
qinioo.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
qinioo	⊢ (𝜑 → ((ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅ ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem qinioo

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 769	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴) → (ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅)
2		qinioo.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		qinioo.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
4	2, 3	xrltnled 45374	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))
5	4	biimpar 477	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴) → 𝐴 < 𝐵)
6	2	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
7	3	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
8		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
9		qbtwnxr 13242	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ∃𝑞 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑞 ∧ 𝑞 < 𝐵))
10	6, 7, 8, 9	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → ∃𝑞 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑞 ∧ 𝑞 < 𝐵))
11	2	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑞 ∧ 𝑞 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
12	3	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑞 ∧ 𝑞 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
13		qre 12995	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑞 ∈ ℚ → 𝑞 ∈ ℝ)
14	13	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑞 ∧ 𝑞 < 𝐵)) → 𝑞 ∈ ℝ)
15		simprl 771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑞 ∧ 𝑞 < 𝐵)) → 𝐴 < 𝑞)
16		simprr 773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑞 ∧ 𝑞 < 𝐵)) → 𝑞 < 𝐵)
17	11, 12, 14, 15, 16	eliood 45511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ (𝐴 < 𝑞 ∧ 𝑞 < 𝐵)) → 𝑞 ∈ (𝐴(,)𝐵))
18	17	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((𝐴 < 𝑞 ∧ 𝑞 < 𝐵) → 𝑞 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
19	18	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((𝐴 < 𝑞 ∧ 𝑞 < 𝐵) → 𝑞 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
20	19	reximdva 3168	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → (∃𝑞 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑞 ∧ 𝑞 < 𝐵) → ∃𝑞 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
21	10, 20	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → ∃𝑞 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐴(,)𝐵))
22		inn0 4372	. . . . . . 7 ⊢ ((ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) ≠ ∅ ↔ ∃𝑞 ∈ ℚ 𝑞 ∈ (𝐴(,)𝐵))
23	21, 22	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → (ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) ≠ ∅)
24	5, 23	syldan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴) → (ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) ≠ ∅)
25	24	neneqd 2945	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴) → ¬ (ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅)
26	25	adantlr 715	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴) → ¬ (ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅)
27	1, 26	condan 818	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅) → 𝐵 ≤ 𝐴)
28		ioo0 13412	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,)𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
29	2, 3, 28	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
30	29	biimpar 477	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (𝐴(,)𝐵) = ∅)
31		ineq2 4214	. . . 4 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) = ∅ → (ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) = (ℚ ∩ ∅))
32		in0 4395	. . . 4 ⊢ (ℚ ∩ ∅) = ∅
33	31, 32	eqtrdi 2793	. . 3 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) = ∅ → (ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅)
34	30, 33	syl 17	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅)
35	27, 34	impbida 801	1 ⊢ (𝜑 → ((ℚ ∩ (𝐴(,)𝐵)) = ∅ ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∃wrex 3070   ∩ cin 3950  ∅c0 4333   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  ℝ^*cxr 11294   < clt 11295   ≤ cle 11296  ℚcq 12990  (,)cioo 13387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-ioo 13391

This theorem is referenced by:  hoiqssbllem3  46639