Theorem ioonct 43045

Description: A nonempty open interval is uncountable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ioonct.b	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
ioonct.c	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
ioonct.l	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
ioonct.a	⊢ 𝐶 = (𝐴(,)𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ioonct	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ≼ ω)

Proof of Theorem ioonct

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioontr 43019	. . . 4 ⊢ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐴(,)𝐵)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≼ ω) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
3		ioossre 13138	. . . . 5 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≼ ω) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
5		ioonct.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (𝐴(,)𝐵)
6	5	breq1i 5083	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ≼ ω ↔ (𝐴(,)𝐵) ≼ ω)
7	6	biimpi 215	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ≼ ω → (𝐴(,)𝐵) ≼ ω)
8		nnenom 13698	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ≈ ω
9	8	ensymi 8788	. . . . . . 7 ⊢ ω ≈ ℕ
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ≼ ω → ω ≈ ℕ)
11		domentr 8797	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴(,)𝐵) ≼ ω ∧ ω ≈ ℕ) → (𝐴(,)𝐵) ≼ ℕ)
12	7, 10, 11	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ≼ ω → (𝐴(,)𝐵) ≼ ℕ)
13	12	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≼ ω) → (𝐴(,)𝐵) ≼ ℕ)
14		rectbntr0 23993	. . . 4 ⊢ (((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ ∧ (𝐴(,)𝐵) ≼ ℕ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)) = ∅)
15	4, 13, 14	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≼ ω) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)) = ∅)
16	2, 15	eqtr3d 2780	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≼ ω) → (𝐴(,)𝐵) = ∅)
17		ioonct.l	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
18		ioonct.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
19		ioonct.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
20		ioon0 13103	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ ↔ 𝐴 < 𝐵))
21	18, 19, 20	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ ↔ 𝐴 < 𝐵))
22	17, 21	mpbird 256	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅)
23	22	neneqd 2948	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴(,)𝐵) = ∅)
24	23	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≼ ω) → ¬ (𝐴(,)𝐵) = ∅)
25	16, 24	pm2.65da 814	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ≼ ω)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   ⊆ wss 3888  ∅c0 4258   class class class wbr 5076  ran crn 5592  ‘cfv 6435  (class class class)co 7277  ωcom 7712   ≈ cen 8728   ≼ cdom 8729  ℝcr 10868  ℝ^*cxr 11006   < clt 11007  ℕcn 11971  (,)cioo 13077  topGenctg 17146  intcnt 22166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5211  ax-sep 5225  ax-nul 5232  ax-pow 5290  ax-pr 5354  ax-un 7588  ax-inf2 9397  ax-cnex 10925  ax-resscn 10926  ax-1cn 10927  ax-icn 10928  ax-addcl 10929  ax-addrcl 10930  ax-mulcl 10931  ax-mulrcl 10932  ax-mulcom 10933  ax-addass 10934  ax-mulass 10935  ax-distr 10936  ax-i2m1 10937  ax-1ne0 10938  ax-1rid 10939  ax-rnegex 10940  ax-rrecex 10941  ax-cnre 10942  ax-pre-lttri 10943  ax-pre-lttrn 10944  ax-pre-ltadd 10945  ax-pre-mulgt0 10946  ax-pre-sup 10947

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3433  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4842  df-int 4882  df-iun 4928  df-br 5077  df-opab 5139  df-mpt 5160  df-tr 5194  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-se 5547  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6204  df-ord 6271  df-on 6272  df-lim 6273  df-suc 6274  df-iota 6393  df-fun 6437  df-fn 6438  df-f 6439  df-f1 6440  df-fo 6441  df-f1o 6442  df-fv 6443  df-isom 6444  df-riota 7234  df-ov 7280  df-oprab 7281  df-mpo 7282  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8095  df-wrecs 8126  df-recs 8200  df-rdg 8239  df-1o 8295  df-2o 8296  df-oadd 8299  df-omul 8300  df-er 8496  df-map 8615  df-pm 8616  df-en 8732  df-dom 8733  df-sdom 8734  df-fin 8735  df-sup 9199  df-inf 9200  df-oi 9267  df-card 9695  df-acn 9698  df-pnf 11009  df-mnf 11010  df-xr 11011  df-ltxr 11012  df-le 11013  df-sub 11205  df-neg 11206  df-div 11631  df-nn 11972  df-2 12034  df-3 12035  df-n0 12232  df-z 12318  df-uz 12581  df-q 12687  df-rp 12729  df-xneg 12846  df-xadd 12847  df-xmul 12848  df-ioo 13081  df-ico 13083  df-icc 13084  df-fz 13238  df-fzo 13381  df-fl 13510  df-seq 13720  df-exp 13781  df-hash 14043  df-cj 14808  df-re 14809  df-im 14810  df-sqrt 14944  df-abs 14945  df-limsup 15178  df-clim 15195  df-rlim 15196  df-sum 15396  df-topgen 17152  df-psmet 20587  df-xmet 20588  df-met 20589  df-bl 20590  df-mopn 20591  df-top 22041  df-topon 22058  df-bases 22094  df-ntr 22169

This theorem is referenced by:  iocnct  43048  iccnct  43049