Theorem ioonct 40682

Description: A nonempty open interval is uncountable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ioonct.b	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
ioonct.c	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
ioonct.l	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
ioonct.a	⊢ 𝐶 = (𝐴(,)𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ioonct	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ≼ ω)

Proof of Theorem ioonct

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioontr 40656	. . . 4 ⊢ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐴(,)𝐵)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≼ ω) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
3		ioossre 12551	. . . . 5 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≼ ω) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
5		ioonct.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (𝐴(,)𝐵)
6	5	breq1i 4895	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ≼ ω ↔ (𝐴(,)𝐵) ≼ ω)
7	6	biimpi 208	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ≼ ω → (𝐴(,)𝐵) ≼ ω)
8		nnenom 13102	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ≈ ω
9	8	ensymi 8293	. . . . . . 7 ⊢ ω ≈ ℕ
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ≼ ω → ω ≈ ℕ)
11		domentr 8302	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴(,)𝐵) ≼ ω ∧ ω ≈ ℕ) → (𝐴(,)𝐵) ≼ ℕ)
12	7, 10, 11	syl2anc 579	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ≼ ω → (𝐴(,)𝐵) ≼ ℕ)
13	12	adantl 475	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≼ ω) → (𝐴(,)𝐵) ≼ ℕ)
14		rectbntr0 23047	. . . 4 ⊢ (((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ ∧ (𝐴(,)𝐵) ≼ ℕ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)) = ∅)
15	4, 13, 14	syl2anc 579	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≼ ω) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)) = ∅)
16	2, 15	eqtr3d 2816	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≼ ω) → (𝐴(,)𝐵) = ∅)
17		ioonct.l	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
18		ioonct.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
19		ioonct.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
20		ioon0 12517	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ ↔ 𝐴 < 𝐵))
21	18, 19, 20	syl2anc 579	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ ↔ 𝐴 < 𝐵))
22	17, 21	mpbird 249	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅)
23	22	neneqd 2974	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴(,)𝐵) = ∅)
24	23	adantr 474	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≼ ω) → ¬ (𝐴(,)𝐵) = ∅)
25	16, 24	pm2.65da 807	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ≼ ω)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2969   ⊆ wss 3792  ∅c0 4141   class class class wbr 4888  ran crn 5358  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924  ωcom 7345   ≈ cen 8240   ≼ cdom 8241  ℝcr 10273  ℝ^*cxr 10412   < clt 10413  ℕcn 11378  (,)cioo 12491  topGenctg 16488  intcnt 21233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-inf2 8837  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-se 5317  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-isom 6146  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-2o 7846  df-oadd 7849  df-omul 7850  df-er 8028  df-map 8144  df-pm 8145  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-sup 8638  df-inf 8639  df-oi 8706  df-card 9100  df-acn 9103  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11035  df-nn 11379  df-2 11442  df-3 11443  df-n0 11647  df-z 11733  df-uz 11997  df-q 12100  df-rp 12142  df-xneg 12261  df-xadd 12262  df-xmul 12263  df-ioo 12495  df-ico 12497  df-icc 12498  df-fz 12648  df-fzo 12789  df-fl 12916  df-seq 13124  df-exp 13183  df-hash 13440  df-cj 14250  df-re 14251  df-im 14252  df-sqrt 14386  df-abs 14387  df-limsup 14614  df-clim 14631  df-rlim 14632  df-sum 14829  df-topgen 16494  df-psmet 20138  df-xmet 20139  df-met 20140  df-bl 20141  df-mopn 20142  df-top 21110  df-topon 21127  df-bases 21162  df-ntr 21236

This theorem is referenced by:  iocnct  40685  iccnct  40686