Theorem ioonct 40508

Description: A nonempty open interval is uncountable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ioonct.b	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
ioonct.c	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
ioonct.l	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
ioonct.a	⊢ 𝐶 = (𝐴(,)𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ioonct	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ≼ ω)

Proof of Theorem ioonct

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioontr 40482	. . . 4 ⊢ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐴(,)𝐵)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≼ ω) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
3		ioossre 12484	. . . . 5 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≼ ω) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
5		ioonct.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (𝐴(,)𝐵)
6	5	breq1i 4850	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ≼ ω ↔ (𝐴(,)𝐵) ≼ ω)
7	6	biimpi 208	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ≼ ω → (𝐴(,)𝐵) ≼ ω)
8		nnenom 13034	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ≈ ω
9	8	ensymi 8245	. . . . . . 7 ⊢ ω ≈ ℕ
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ≼ ω → ω ≈ ℕ)
11		domentr 8254	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴(,)𝐵) ≼ ω ∧ ω ≈ ℕ) → (𝐴(,)𝐵) ≼ ℕ)
12	7, 10, 11	syl2anc 580	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ≼ ω → (𝐴(,)𝐵) ≼ ℕ)
13	12	adantl 474	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≼ ω) → (𝐴(,)𝐵) ≼ ℕ)
14		rectbntr0 22963	. . . 4 ⊢ (((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ ∧ (𝐴(,)𝐵) ≼ ℕ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)) = ∅)
15	4, 13, 14	syl2anc 580	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≼ ω) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)) = ∅)
16	2, 15	eqtr3d 2835	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≼ ω) → (𝐴(,)𝐵) = ∅)
17		ioonct.l	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
18		ioonct.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
19		ioonct.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
20		ioon0 12450	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ ↔ 𝐴 < 𝐵))
21	18, 19, 20	syl2anc 580	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ ↔ 𝐴 < 𝐵))
22	17, 21	mpbird 249	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅)
23	22	neneqd 2976	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴(,)𝐵) = ∅)
24	23	adantr 473	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≼ ω) → ¬ (𝐴(,)𝐵) = ∅)
25	16, 24	pm2.65da 852	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ≼ ω)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 385   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   ≠ wne 2971   ⊆ wss 3769  ∅c0 4115   class class class wbr 4843  ran crn 5313  ‘cfv 6101  (class class class)co 6878  ωcom 7299   ≈ cen 8192   ≼ cdom 8193  ℝcr 10223  ℝ^*cxr 10362   < clt 10363  ℕcn 11312  (,)cioo 12424  topGenctg 16413  intcnt 21150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-inf2 8788  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-2o 7800  df-oadd 7803  df-omul 7804  df-er 7982  df-map 8097  df-pm 8098  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-sup 8590  df-inf 8591  df-oi 8657  df-card 9051  df-acn 9054  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-q 12034  df-rp 12075  df-xneg 12193  df-xadd 12194  df-xmul 12195  df-ioo 12428  df-ico 12430  df-icc 12431  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-fl 12848  df-seq 13056  df-exp 13115  df-hash 13371  df-cj 14180  df-re 14181  df-im 14182  df-sqrt 14316  df-abs 14317  df-limsup 14543  df-clim 14560  df-rlim 14561  df-sum 14758  df-topgen 16419  df-psmet 20060  df-xmet 20061  df-met 20062  df-bl 20063  df-mopn 20064  df-top 21027  df-topon 21044  df-bases 21079  df-ntr 21153

This theorem is referenced by:  iocnct  40511  iccnct  40512