Theorem ioonct 46367

Description: A nonempty open interval is uncountable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ioonct.b	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
ioonct.c	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
ioonct.l	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
ioonct.a	⊢ 𝐶 = (𝐴(,)𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ioonct	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ≼ ω)

Proof of Theorem ioonct

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioontr 46341	. . . 4 ⊢ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐴(,)𝐵)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≼ ω) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
3		ioossre 13460	. . . . 5 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≼ ω) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
5		ioonct.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (𝐴(,)𝐵)
6	5	breq1i 5110	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ≼ ω ↔ (𝐴(,)𝐵) ≼ ω)
7	6	biimpi 219	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ≼ ω → (𝐴(,)𝐵) ≼ ω)
8		nnenom 14044	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ≈ ω
9	8	ensymi 9010	. . . . . . 7 ⊢ ω ≈ ℕ
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ≼ ω → ω ≈ ℕ)
11		domentr 9019	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴(,)𝐵) ≼ ω ∧ ω ≈ ℕ) → (𝐴(,)𝐵) ≼ ℕ)
12	7, 10, 11	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ≼ ω → (𝐴(,)𝐵) ≼ ℕ)
13	12	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≼ ω) → (𝐴(,)𝐵) ≼ ℕ)
14		rectbntr0 25059	. . . 4 ⊢ (((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ ∧ (𝐴(,)𝐵) ≼ ℕ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)) = ∅)
15	4, 13, 14	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≼ ω) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)) = ∅)
16	2, 15	eqtr3d 2797	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≼ ω) → (𝐴(,)𝐵) = ∅)
17		ioonct.l	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
18		ioonct.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
19		ioonct.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
20		ioon0 13424	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ ↔ 𝐴 < 𝐵))
21	18, 19, 20	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ ↔ 𝐴 < 𝐵))
22	17, 21	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅)
23	22	neneqd 2960	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴(,)𝐵) = ∅)
24	23	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≼ ω) → ¬ (𝐴(,)𝐵) = ∅)
25	16, 24	pm2.65da 829	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ≼ ω)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279   class class class wbr 5103  ran crn 5656  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  ωcom 7862   ≈ cen 8949   ≼ cdom 8950  ℝcr 11123  ℝ^*cxr 11266   < clt 11267  ℕcn 12257  (,)cioo 13398  topGenctg 17522  intcnt 23242

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-inf2 9620  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-oadd 8459  df-omul 8460  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9944  df-acn 9947  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-q 12998  df-rp 13043  df-xneg 13163  df-xadd 13164  df-xmul 13165  df-ioo 13402  df-ico 13404  df-icc 13405  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-fl 13853  df-seq 14066  df-exp 14126  df-hash 14395  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-limsup 15558  df-clim 15575  df-rlim 15576  df-sum 15774  df-topgen 17528  df-psmet 21577  df-xmet 21578  df-met 21579  df-bl 21580  df-mopn 21581  df-top 23119  df-topon 23136  df-bases 23171  df-ntr 23245

This theorem is used by:  iocnct  46370  iccnct  46371