Theorem ioonct 46286

Description: A nonempty open interval is uncountable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ioonct.b	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
ioonct.c	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
ioonct.l	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
ioonct.a	⊢ 𝐶 = (𝐴(,)𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ioonct	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ≼ ω)

Proof of Theorem ioonct

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioontr 46260	. . . 4 ⊢ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐴(,)𝐵)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≼ ω) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
3		ioossre 13446	. . . . 5 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≼ ω) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
5		ioonct.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (𝐴(,)𝐵)
6	5	breq1i 5118	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ≼ ω ↔ (𝐴(,)𝐵) ≼ ω)
7	6	biimpi 219	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ≼ ω → (𝐴(,)𝐵) ≼ ω)
8		nnenom 14030	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ≈ ω
9	8	ensymi 9003	. . . . . . 7 ⊢ ω ≈ ℕ
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ≼ ω → ω ≈ ℕ)
11		domentr 9012	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴(,)𝐵) ≼ ω ∧ ω ≈ ℕ) → (𝐴(,)𝐵) ≼ ℕ)
12	7, 10, 11	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ≼ ω → (𝐴(,)𝐵) ≼ ℕ)
13	12	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≼ ω) → (𝐴(,)𝐵) ≼ ℕ)
14		rectbntr0 25021	. . . 4 ⊢ (((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ ∧ (𝐴(,)𝐵) ≼ ℕ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)) = ∅)
15	4, 13, 14	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≼ ω) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)) = ∅)
16	2, 15	eqtr3d 2802	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≼ ω) → (𝐴(,)𝐵) = ∅)
17		ioonct.l	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
18		ioonct.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
19		ioonct.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
20		ioon0 13410	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ ↔ 𝐴 < 𝐵))
21	18, 19, 20	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ ↔ 𝐴 < 𝐵))
22	17, 21	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅)
23	22	neneqd 2965	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴(,)𝐵) = ∅)
24	23	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≼ ω) → ¬ (𝐴(,)𝐵) = ∅)
25	16, 24	pm2.65da 829	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ≼ ω)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960   ⊆ wss 3906  ∅c0 4286   class class class wbr 5111  ran crn 5664  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  ωcom 7864   ≈ cen 8942   ≼ cdom 8943  ℝcr 11110  ℝ^*cxr 11253   < clt 11254  ℕcn 12244  (,)cioo 13384  topGenctg 17508  intcnt 23204

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-inf2 9613  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-oadd 8459  df-omul 8460  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9405  df-inf 9406  df-oi 9475  df-card 9937  df-acn 9940  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-xneg 13149  df-xadd 13150  df-xmul 13151  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13548  df-fzo 13696  df-fl 13839  df-seq 14052  df-exp 14112  df-hash 14381  df-cj 15170  df-re 15171  df-im 15172  df-sqrt 15306  df-abs 15307  df-limsup 15542  df-clim 15559  df-rlim 15560  df-sum 15758  df-topgen 17514  df-psmet 21544  df-xmet 21545  df-met 21546  df-bl 21547  df-mopn 21548  df-top 23081  df-topon 23098  df-bases 23133  df-ntr 23207

This theorem is used by:  iocnct  46289  iccnct  46290