Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ioonct Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioonct 43782
Description: A nonempty open interval is uncountable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Jan-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ioonct.b (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
ioonct.c (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
ioonct.l (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
ioonct.a 𝐢 = (𝐴(,)𝐡)
Assertion
Ref Expression
ioonct (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐢 β‰Ό Ο‰)

Proof of Theorem ioonct
StepHypRef Expression
1 ioontr 43756 . . . 4 ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴(,)𝐡)) = (𝐴(,)𝐡)
21a1i 11 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐢 β‰Ό Ο‰) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴(,)𝐡)) = (𝐴(,)𝐡))
3 ioossre 13326 . . . . 5 (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ
43a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐢 β‰Ό Ο‰) β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ)
5 ioonct.a . . . . . . . 8 𝐢 = (𝐴(,)𝐡)
65breq1i 5113 . . . . . . 7 (𝐢 β‰Ό Ο‰ ↔ (𝐴(,)𝐡) β‰Ό Ο‰)
76biimpi 215 . . . . . 6 (𝐢 β‰Ό Ο‰ β†’ (𝐴(,)𝐡) β‰Ό Ο‰)
8 nnenom 13886 . . . . . . . 8 β„• β‰ˆ Ο‰
98ensymi 8945 . . . . . . 7 Ο‰ β‰ˆ β„•
109a1i 11 . . . . . 6 (𝐢 β‰Ό Ο‰ β†’ Ο‰ β‰ˆ β„•)
11 domentr 8954 . . . . . 6 (((𝐴(,)𝐡) β‰Ό Ο‰ ∧ Ο‰ β‰ˆ β„•) β†’ (𝐴(,)𝐡) β‰Ό β„•)
127, 10, 11syl2anc 585 . . . . 5 (𝐢 β‰Ό Ο‰ β†’ (𝐴(,)𝐡) β‰Ό β„•)
1312adantl 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐢 β‰Ό Ο‰) β†’ (𝐴(,)𝐡) β‰Ό β„•)
14 rectbntr0 24198 . . . 4 (((𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ ∧ (𝐴(,)𝐡) β‰Ό β„•) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴(,)𝐡)) = βˆ…)
154, 13, 14syl2anc 585 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐢 β‰Ό Ο‰) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴(,)𝐡)) = βˆ…)
162, 15eqtr3d 2779 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐢 β‰Ό Ο‰) β†’ (𝐴(,)𝐡) = βˆ…)
17 ioonct.l . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
18 ioonct.b . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
19 ioonct.c . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
20 ioon0 13291 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) β†’ ((𝐴(,)𝐡) β‰  βˆ… ↔ 𝐴 < 𝐡))
2118, 19, 20syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴(,)𝐡) β‰  βˆ… ↔ 𝐴 < 𝐡))
2217, 21mpbird 257 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) β‰  βˆ…)
2322neneqd 2949 . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ (𝐴(,)𝐡) = βˆ…)
2423adantr 482 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐢 β‰Ό Ο‰) β†’ Β¬ (𝐴(,)𝐡) = βˆ…)
2516, 24pm2.65da 816 1 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐢 β‰Ό Ο‰)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283   class class class wbr 5106  ran crn 5635  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Ο‰com 7803   β‰ˆ cen 8881   β‰Ό cdom 8882  β„cr 11051  β„*cxr 11189   < clt 11190  β„•cn 12154  (,)cioo 13265  topGenctg 17320  intcnt 22371
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9578  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-omul 8418  df-er 8649  df-map 8768  df-pm 8769  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9379  df-inf 9380  df-oi 9447  df-card 9876  df-acn 9879  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-q 12875  df-rp 12917  df-xneg 13034  df-xadd 13035  df-xmul 13036  df-ioo 13269  df-ico 13271  df-icc 13272  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-fl 13698  df-seq 13908  df-exp 13969  df-hash 14232  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-limsup 15354  df-clim 15371  df-rlim 15372  df-sum 15572  df-topgen 17326  df-psmet 20791  df-xmet 20792  df-met 20793  df-bl 20794  df-mopn 20795  df-top 22246  df-topon 22263  df-bases 22299  df-ntr 22374
This theorem is referenced by:  iocnct  43785  iccnct  43786
  Copyright terms: Public domain W3C validator