Theorem lgsfval 27538

Description: Value of the function 𝐹 which defines the Legendre symbol at the primes. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
lgsval.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))

Assertion

Ref	Expression
lgsfval	⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑀) = if(𝑀 ∈ ℙ, (if(𝑀 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀) − 1))↑(𝑀 pCnt 𝑁)), 1))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem lgsfval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2848	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑛 ∈ ℙ ↔ 𝑀 ∈ ℙ))
2		eqeq1 2764	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑛 = 2 ↔ 𝑀 = 2))
3		oveq1 7420	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑛 − 1) = (𝑀 − 1))
4	3	oveq1d 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ((𝑛 − 1) / 2) = ((𝑀 − 1) / 2))
5	4	oveq2d 7429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) = (𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)))
6	5	oveq1d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) = ((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1))
7		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → 𝑛 = 𝑀)
8	6, 7	oveq12d 7431	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) = (((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀))
9	8	oveq1d 7428	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1) = ((((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀) − 1))
10	2, 9	ifbieq2d 4509	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1)) = if(𝑀 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀) − 1)))
11		oveq1 7420	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑛 pCnt 𝑁) = (𝑀 pCnt 𝑁))
12	10, 11	oveq12d 7431	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑁)) = (if(𝑀 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀) − 1))↑(𝑀 pCnt 𝑁)))
13	1, 12	ifbieq1d 4507	. 2 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → if(𝑛 ∈ ℙ, (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1) = if(𝑀 ∈ ℙ, (if(𝑀 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀) − 1))↑(𝑀 pCnt 𝑁)), 1))
14		lgsval.1	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
15		ovex 7446	. . 3 ⊢ (if(𝑀 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀) − 1))↑(𝑀 pCnt 𝑁)) ∈ V
16		1ex 11227	. . 3 ⊢ 1 ∈ V
17	15, 16	ifex 4533	. 2 ⊢ if(𝑀 ∈ ℙ, (if(𝑀 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀) − 1))↑(𝑀 pCnt 𝑁)), 1) ∈ V
18	13, 14, 17	fvmpt 6986	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑀) = if(𝑀 ∈ ℙ, (if(𝑀 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑀 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑀) − 1))↑(𝑀 pCnt 𝑁)), 1))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ifcif 4482  {cpr 4586   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   − cmin 11465  -cneg 11466   / cdiv 11895  ℕcn 12257  2c2 12319  7c7 12324  8c8 12325   mod cmo 13930  ↑cexp 14125   ∥ cdvds 16342  ℙcprime 16761   pCnt cpc 16928

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398  ax-1cn 11182

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fv 6541  df-ov 7416

This theorem is used by:  lgsval2lem  27543