Theorem lgsfcl2 27285

Description: The function 𝐹 is closed in integers with absolute value less than 1 (namely {-1, 0, 1}, see zabsle1 27278). (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgsval.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
lgsfcl2.z	⊢ 𝑍 = {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1}

Assertion

Ref	Expression
lgsfcl2	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝐹:ℕ⟶𝑍)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝑥,𝐹   𝑛,𝑁,𝑥   𝑛,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑛)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem lgsfcl2

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12524	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		0le1 11662	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 1
3		fveq2 6832	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 0 → (abs‘𝑥) = (abs‘0))
4		abs0 15236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (abs‘0) = 0
5	3, 4	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 0 → (abs‘𝑥) = 0)
6	5	breq1d 5096	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → ((abs‘𝑥) ≤ 1 ↔ 0 ≤ 1))
7		lgsfcl2.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1}
8	6, 7	elrab2 3638	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ 𝑍 ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 1))
9	1, 2, 8	mpbir2an 712	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ 𝑍
10		1z 12546	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
11		1le1 11767	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ≤ 1
12		fveq2 6832	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 1 → (abs‘𝑥) = (abs‘1))
13		abs1 15248	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (abs‘1) = 1
14	12, 13	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 1 → (abs‘𝑥) = 1)
15	14	breq1d 5096	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 1 → ((abs‘𝑥) ≤ 1 ↔ 1 ≤ 1))
16	15, 7	elrab2 3638	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ 𝑍 ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 1))
17	10, 11, 16	mpbir2an 712	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ 𝑍
18		neg1z 12552	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℤ
19		fveq2 6832	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = -1 → (abs‘𝑥) = (abs‘-1))
20		ax-1cn 11085	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℂ
21	20	absnegi 15352	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (abs‘-1) = (abs‘1)
22	21, 13	eqtri 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (abs‘-1) = 1
23	19, 22	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = -1 → (abs‘𝑥) = 1)
24	23	breq1d 5096	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = -1 → ((abs‘𝑥) ≤ 1 ↔ 1 ≤ 1))
25	24, 7	elrab2 3638	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1 ∈ 𝑍 ↔ (-1 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 1))
26	18, 11, 25	mpbir2an 712	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ 𝑍
27	17, 26	ifcli 4515	. . . . . . 7 ⊢ if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) ∈ 𝑍
28	9, 27	ifcli 4515	. . . . . 6 ⊢ if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) ∈ 𝑍
29	28	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛 = 2) → if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) ∈ 𝑍)
30		simpl1 1193	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
31	30	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛 = 2) → 𝐴 ∈ ℤ)
32		simplr 769	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛 = 2) → 𝑛 ∈ ℙ)
33		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛 = 2) → ¬ 𝑛 = 2)
34	33	neqned 2940	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛 = 2) → 𝑛 ≠ 2)
35		eldifsn 4730	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ≠ 2))
36	32, 34, 35	sylanbrc 584	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛 = 2) → 𝑛 ∈ (ℙ ∖ {2}))
37	7	lgslem4 27282	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1) ∈ 𝑍)
38	31, 36, 37	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛 = 2) → ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1) ∈ 𝑍)
39	29, 38	ifclda 4503	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1)) ∈ 𝑍)
40		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → 𝑛 ∈ ℙ)
41		simpll2 1215	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
42		simpll3 1216	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → 𝑁 ≠ 0)
43		pczcl 16808	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑛 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
44	40, 41, 42, 43	syl12anc 837	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → (𝑛 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
45	7	ssrab3 4023	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
46		zsscn 12521	. . . . . 6 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
47	45, 46	sstri 3932	. . . . 5 ⊢ 𝑍 ⊆ ℂ
48	7	lgslem3 27281	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑍 ∧ 𝑏 ∈ 𝑍) → (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑍)
49	47, 48, 17	expcllem 14023	. . . 4 ⊢ ((if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1)) ∈ 𝑍 ∧ (𝑛 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0) → (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑁)) ∈ 𝑍)
50	39, 44, 49	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑁)) ∈ 𝑍)
51	17	a1i 11	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑛 ∈ ℙ) → 1 ∈ 𝑍)
52	50, 51	ifclda 4503	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → if(𝑛 ∈ ℙ, (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1) ∈ 𝑍)
53		lgsval.1	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
54	52, 53	fmptd 7058	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝐹:ℕ⟶𝑍)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  {crab 3390   ∖ cdif 3887  ifcif 4467  {csn 4568  {cpr 4570   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  ℂcc 11025  0cc0 11027  1c1 11028   + caddc 11030   ≤ cle 11169   − cmin 11366  -cneg 11367   / cdiv 11796  ℕcn 12163  2c2 12225  7c7 12230  8c8 12231  ℕ₀cn0 12426  ℤcz 12513   mod cmo 13817  ↑cexp 14012  abscabs 15185   ∥ cdvds 16210  ℙcprime 16629   pCnt cpc 16796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-oadd 8400  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9346  df-inf 9347  df-dju 9814  df-card 9852  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-n0 12427  df-xnn0 12500  df-z 12514  df-uz 12778  df-q 12888  df-rp 12932  df-fz 13451  df-fzo 13598  df-fl 13740  df-mod 13818  df-seq 13953  df-exp 14013  df-hash 14282  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-dvds 16211  df-gcd 16453  df-prm 16630  df-phi 16725  df-pc 16797

This theorem is referenced by:  lgscllem  27286  lgsfcl  27287  lgsfle1  27288