Theorem lgsfcl2 27284

Description: The function 𝐹 is closed in integers with absolute value less than 1 (namely {-1, 0, 1}, see zabsle1 27277). (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgsval.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
lgsfcl2.z	⊢ 𝑍 = {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1}

Assertion

Ref	Expression
lgsfcl2	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝐹:ℕ⟶𝑍)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝑥,𝐹   𝑛,𝑁,𝑥   𝑛,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑛)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem lgsfcl2

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12526	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		0le1 11664	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 1
3		fveq2 6827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 0 → (abs‘𝑥) = (abs‘0))
4		abs0 15238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (abs‘0) = 0
5	3, 4	eqtrdi 2790	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 0 → (abs‘𝑥) = 0)
6	5	breq1d 5082	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → ((abs‘𝑥) ≤ 1 ↔ 0 ≤ 1))
7		lgsfcl2.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1}
8	6, 7	elrab2 3632	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ 𝑍 ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 1))
9	1, 2, 8	mpbir2an 717	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ 𝑍
10		1z 12548	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
11		1le1 11769	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ≤ 1
12		fveq2 6827	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 1 → (abs‘𝑥) = (abs‘1))
13		abs1 15250	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (abs‘1) = 1
14	12, 13	eqtrdi 2790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 1 → (abs‘𝑥) = 1)
15	14	breq1d 5082	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 1 → ((abs‘𝑥) ≤ 1 ↔ 1 ≤ 1))
16	15, 7	elrab2 3632	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ 𝑍 ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 1))
17	10, 11, 16	mpbir2an 717	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ 𝑍
18		neg1z 12554	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℤ
19		fveq2 6827	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = -1 → (abs‘𝑥) = (abs‘-1))
20		ax-1cn 11087	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℂ
21	20	absnegi 15354	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (abs‘-1) = (abs‘1)
22	21, 13	eqtri 2762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (abs‘-1) = 1
23	19, 22	eqtrdi 2790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = -1 → (abs‘𝑥) = 1)
24	23	breq1d 5082	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = -1 → ((abs‘𝑥) ≤ 1 ↔ 1 ≤ 1))
25	24, 7	elrab2 3632	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1 ∈ 𝑍 ↔ (-1 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 1))
26	18, 11, 25	mpbir2an 717	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ 𝑍
27	17, 26	ifcli 4502	. . . . . . 7 ⊢ if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) ∈ 𝑍
28	9, 27	ifcli 4502	. . . . . 6 ⊢ if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) ∈ 𝑍
29	28	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛 = 2) → if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) ∈ 𝑍)
30		simpl1 1198	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
31	30	ad2antrr 732	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛 = 2) → 𝐴 ∈ ℤ)
32		simplr 774	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛 = 2) → 𝑛 ∈ ℙ)
33		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛 = 2) → ¬ 𝑛 = 2)
34	33	neqned 2941	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛 = 2) → 𝑛 ≠ 2)
35		eldifsn 4719	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ≠ 2))
36	32, 34, 35	sylanbrc 589	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛 = 2) → 𝑛 ∈ (ℙ ∖ {2}))
37	7	lgslem4 27281	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1) ∈ 𝑍)
38	31, 36, 37	syl2anc 590	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛 = 2) → ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1) ∈ 𝑍)
39	29, 38	ifclda 4490	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1)) ∈ 𝑍)
40		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → 𝑛 ∈ ℙ)
41		simpll2 1220	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
42		simpll3 1221	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → 𝑁 ≠ 0)
43		pczcl 16810	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑛 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
44	40, 41, 42, 43	syl12anc 842	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → (𝑛 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
45	7	ssrab3 4013	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
46		zsscn 12523	. . . . . 6 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
47	45, 46	sstri 3924	. . . . 5 ⊢ 𝑍 ⊆ ℂ
48	7	lgslem3 27280	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑍 ∧ 𝑏 ∈ 𝑍) → (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑍)
49	47, 48, 17	expcllem 14025	. . . 4 ⊢ ((if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1)) ∈ 𝑍 ∧ (𝑛 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0) → (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑁)) ∈ 𝑍)
50	39, 44, 49	syl2anc 590	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑁)) ∈ 𝑍)
51	17	a1i 11	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑛 ∈ ℙ) → 1 ∈ 𝑍)
52	50, 51	ifclda 4490	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → if(𝑛 ∈ ℙ, (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1) ∈ 𝑍)
53		lgsval.1	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
54	52, 53	fmptd 7055	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝐹:ℕ⟶𝑍)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  {crab 3391   ∖ cdif 3880  ifcif 4454  {csn 4555  {cpr 4557   class class class wbr 5072   ↦ cmpt 5153  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℂcc 11027  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   ≤ cle 11171   − cmin 11368  -cneg 11369   / cdiv 11798  ℕcn 12165  2c2 12227  7c7 12232  8c8 12233  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515   mod cmo 13819  ↑cexp 14014  abscabs 15187   ∥ cdvds 16212  ℙcprime 16631   pCnt cpc 16798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16213  df-gcd 16455  df-prm 16632  df-phi 16727  df-pc 16799

This theorem is referenced by:  lgscllem  27285  lgsfcl  27286  lgsfle1  27287