MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsfcl2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsfcl2 27347
Description: The function 𝐹 is closed in integers with absolute value less than 1 (namely {-1, 0, 1}, see zabsle1 27340). (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsval.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
lgsfcl2.z 𝑍 = {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1}
Assertion
Ref Expression
lgsfcl2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝐹:ℕ⟶𝑍)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝑥,𝐹   𝑛,𝑁,𝑥   𝑛,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑛)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem lgsfcl2
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0z 12624 . . . . . . . 8 0 ∈ ℤ
2 0le1 11786 . . . . . . . 8 0 ≤ 1
3 fveq2 6906 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 0 → (abs‘𝑥) = (abs‘0))
4 abs0 15324 . . . . . . . . . . 11 (abs‘0) = 0
53, 4eqtrdi 2793 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 0 → (abs‘𝑥) = 0)
65breq1d 5153 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → ((abs‘𝑥) ≤ 1 ↔ 0 ≤ 1))
7 lgsfcl2.z . . . . . . . . 9 𝑍 = {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1}
86, 7elrab2 3695 . . . . . . . 8 (0 ∈ 𝑍 ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 1))
91, 2, 8mpbir2an 711 . . . . . . 7 0 ∈ 𝑍
10 1z 12647 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
11 1le1 11891 . . . . . . . . 9 1 ≤ 1
12 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 1 → (abs‘𝑥) = (abs‘1))
13 abs1 15336 . . . . . . . . . . . 12 (abs‘1) = 1
1412, 13eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 1 → (abs‘𝑥) = 1)
1514breq1d 5153 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 1 → ((abs‘𝑥) ≤ 1 ↔ 1 ≤ 1))
1615, 7elrab2 3695 . . . . . . . . 9 (1 ∈ 𝑍 ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 1))
1710, 11, 16mpbir2an 711 . . . . . . . 8 1 ∈ 𝑍
18 neg1z 12653 . . . . . . . . 9 -1 ∈ ℤ
19 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = -1 → (abs‘𝑥) = (abs‘-1))
20 ax-1cn 11213 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℂ
2120absnegi 15439 . . . . . . . . . . . . 13 (abs‘-1) = (abs‘1)
2221, 13eqtri 2765 . . . . . . . . . . . 12 (abs‘-1) = 1
2319, 22eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = -1 → (abs‘𝑥) = 1)
2423breq1d 5153 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = -1 → ((abs‘𝑥) ≤ 1 ↔ 1 ≤ 1))
2524, 7elrab2 3695 . . . . . . . . 9 (-1 ∈ 𝑍 ↔ (-1 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 1))
2618, 11, 25mpbir2an 711 . . . . . . . 8 -1 ∈ 𝑍
2717, 26ifcli 4573 . . . . . . 7 if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) ∈ 𝑍
289, 27ifcli 4573 . . . . . 6 if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) ∈ 𝑍
2928a1i 11 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ 𝑛 = 2) → if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) ∈ 𝑍)
30 simpl1 1192 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
3130ad2antrr 726 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛 = 2) → 𝐴 ∈ ℤ)
32 simplr 769 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛 = 2) → 𝑛 ∈ ℙ)
33 simpr 484 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛 = 2) → ¬ 𝑛 = 2)
3433neqned 2947 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛 = 2) → 𝑛 ≠ 2)
35 eldifsn 4786 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ≠ 2))
3632, 34, 35sylanbrc 583 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛 = 2) → 𝑛 ∈ (ℙ ∖ {2}))
377lgslem4 27344 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1) ∈ 𝑍)
3831, 36, 37syl2anc 584 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑛 = 2) → ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1) ∈ 𝑍)
3929, 38ifclda 4561 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1)) ∈ 𝑍)
40 simpr 484 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → 𝑛 ∈ ℙ)
41 simpll2 1214 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
42 simpll3 1215 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → 𝑁 ≠ 0)
43 pczcl 16886 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑛 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
4440, 41, 42, 43syl12anc 837 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → (𝑛 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
457ssrab3 4082 . . . . . 6 𝑍 ⊆ ℤ
46 zsscn 12621 . . . . . 6 ℤ ⊆ ℂ
4745, 46sstri 3993 . . . . 5 𝑍 ⊆ ℂ
487lgslem3 27343 . . . . 5 ((𝑎𝑍𝑏𝑍) → (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑍)
4947, 48, 17expcllem 14113 . . . 4 ((if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1)) ∈ 𝑍 ∧ (𝑛 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0) → (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑁)) ∈ 𝑍)
5039, 44, 49syl2anc 584 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑁)) ∈ 𝑍)
5117a1i 11 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑛 ∈ ℙ) → 1 ∈ 𝑍)
5250, 51ifclda 4561 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → if(𝑛 ∈ ℙ, (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1) ∈ 𝑍)
53 lgsval.1 . 2 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
5452, 53fmptd 7134 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝐹:ℕ⟶𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  {crab 3436  cdif 3948  ifcif 4525  {csn 4626  {cpr 4628   class class class wbr 5143  cmpt 5225  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158  cle 11296  cmin 11492  -cneg 11493   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  7c7 12326  8c8 12327  0cn0 12526  cz 12613   mod cmo 13909  cexp 14102  abscabs 15273  cdvds 16290  cprime 16708   pCnt cpc 16874
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-prm 16709  df-phi 16803  df-pc 16875
This theorem is referenced by:  lgscllem  27348  lgsfcl  27349  lgsfle1  27350
  Copyright terms: Public domain W3C validator