MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsfcl2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsfcl2 26667
Description: The function ๐น is closed in integers with absolute value less than 1 (namely {-1, 0, 1}, see zabsle1 26660). (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsval.1 ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (if(๐‘› = 2, if(2 โˆฅ ๐ด, 0, if((๐ด mod 8) โˆˆ {1, 7}, 1, -1)), ((((๐ดโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘›) โˆ’ 1))โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1))
lgsfcl2.z ๐‘ = {๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ (absโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1}
Assertion
Ref Expression
lgsfcl2 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ ๐น:โ„•โŸถ๐‘)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘›,๐ด   ๐‘ฅ,๐น   ๐‘›,๐‘,๐‘ฅ   ๐‘›,๐‘
Allowed substitution hints:   ๐น(๐‘›)   ๐‘(๐‘ฅ)

Proof of Theorem lgsfcl2
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0z 12517 . . . . . . . 8 0 โˆˆ โ„ค
2 0le1 11685 . . . . . . . 8 0 โ‰ค 1
3 fveq2 6847 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (absโ€˜๐‘ฅ) = (absโ€˜0))
4 abs0 15177 . . . . . . . . . . 11 (absโ€˜0) = 0
53, 4eqtrdi 2793 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (absโ€˜๐‘ฅ) = 0)
65breq1d 5120 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = 0 โ†’ ((absโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โ†” 0 โ‰ค 1))
7 lgsfcl2.z . . . . . . . . 9 ๐‘ = {๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ (absโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1}
86, 7elrab2 3653 . . . . . . . 8 (0 โˆˆ ๐‘ โ†” (0 โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค 1))
91, 2, 8mpbir2an 710 . . . . . . 7 0 โˆˆ ๐‘
10 1z 12540 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„ค
11 1le1 11790 . . . . . . . . 9 1 โ‰ค 1
12 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (absโ€˜๐‘ฅ) = (absโ€˜1))
13 abs1 15189 . . . . . . . . . . . 12 (absโ€˜1) = 1
1412, 13eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (absโ€˜๐‘ฅ) = 1)
1514breq1d 5120 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ((absโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โ†” 1 โ‰ค 1))
1615, 7elrab2 3653 . . . . . . . . 9 (1 โˆˆ ๐‘ โ†” (1 โˆˆ โ„ค โˆง 1 โ‰ค 1))
1710, 11, 16mpbir2an 710 . . . . . . . 8 1 โˆˆ ๐‘
18 neg1z 12546 . . . . . . . . 9 -1 โˆˆ โ„ค
19 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = -1 โ†’ (absโ€˜๐‘ฅ) = (absโ€˜-1))
20 ax-1cn 11116 . . . . . . . . . . . . . 14 1 โˆˆ โ„‚
2120absnegi 15292 . . . . . . . . . . . . 13 (absโ€˜-1) = (absโ€˜1)
2221, 13eqtri 2765 . . . . . . . . . . . 12 (absโ€˜-1) = 1
2319, 22eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = -1 โ†’ (absโ€˜๐‘ฅ) = 1)
2423breq1d 5120 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = -1 โ†’ ((absโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โ†” 1 โ‰ค 1))
2524, 7elrab2 3653 . . . . . . . . 9 (-1 โˆˆ ๐‘ โ†” (-1 โˆˆ โ„ค โˆง 1 โ‰ค 1))
2618, 11, 25mpbir2an 710 . . . . . . . 8 -1 โˆˆ ๐‘
2717, 26ifcli 4538 . . . . . . 7 if((๐ด mod 8) โˆˆ {1, 7}, 1, -1) โˆˆ ๐‘
289, 27ifcli 4538 . . . . . 6 if(2 โˆฅ ๐ด, 0, if((๐ด mod 8) โˆˆ {1, 7}, 1, -1)) โˆˆ ๐‘
2928a1i 11 . . . . 5 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘› = 2) โ†’ if(2 โˆฅ ๐ด, 0, if((๐ด mod 8) โˆˆ {1, 7}, 1, -1)) โˆˆ ๐‘)
30 simpl1 1192 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
3130ad2antrr 725 . . . . . 6 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ยฌ ๐‘› = 2) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
32 simplr 768 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ยฌ ๐‘› = 2) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„™)
33 simpr 486 . . . . . . . 8 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ยฌ ๐‘› = 2) โ†’ ยฌ ๐‘› = 2)
3433neqned 2951 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ยฌ ๐‘› = 2) โ†’ ๐‘› โ‰  2)
35 eldifsn 4752 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†” (๐‘› โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘› โ‰  2))
3632, 34, 35sylanbrc 584 . . . . . 6 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ยฌ ๐‘› = 2) โ†’ ๐‘› โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
377lgslem4 26664 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})) โ†’ ((((๐ดโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘›) โˆ’ 1) โˆˆ ๐‘)
3831, 36, 37syl2anc 585 . . . . 5 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โˆง ยฌ ๐‘› = 2) โ†’ ((((๐ดโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘›) โˆ’ 1) โˆˆ ๐‘)
3929, 38ifclda 4526 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โ†’ if(๐‘› = 2, if(2 โˆฅ ๐ด, 0, if((๐ด mod 8) โˆˆ {1, 7}, 1, -1)), ((((๐ดโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘›) โˆ’ 1)) โˆˆ ๐‘)
40 simpr 486 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„™)
41 simpll2 1214 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
42 simpll3 1215 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ โ‰  0)
43 pczcl 16727 . . . . 5 ((๐‘› โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0)) โ†’ (๐‘› pCnt ๐‘) โˆˆ โ„•0)
4440, 41, 42, 43syl12anc 836 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘› pCnt ๐‘) โˆˆ โ„•0)
457ssrab3 4045 . . . . . 6 ๐‘ โŠ† โ„ค
46 zsscn 12514 . . . . . 6 โ„ค โŠ† โ„‚
4745, 46sstri 3958 . . . . 5 ๐‘ โŠ† โ„‚
487lgslem3 26663 . . . . 5 ((๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘Ž ยท ๐‘) โˆˆ ๐‘)
4947, 48, 17expcllem 13985 . . . 4 ((if(๐‘› = 2, if(2 โˆฅ ๐ด, 0, if((๐ด mod 8) โˆˆ {1, 7}, 1, -1)), ((((๐ดโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘›) โˆ’ 1)) โˆˆ ๐‘ โˆง (๐‘› pCnt ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ (if(๐‘› = 2, if(2 โˆฅ ๐ด, 0, if((๐ด mod 8) โˆˆ {1, 7}, 1, -1)), ((((๐ดโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘›) โˆ’ 1))โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)) โˆˆ ๐‘)
5039, 44, 49syl2anc 585 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„™) โ†’ (if(๐‘› = 2, if(2 โˆฅ ๐ด, 0, if((๐ด mod 8) โˆˆ {1, 7}, 1, -1)), ((((๐ดโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘›) โˆ’ 1))โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)) โˆˆ ๐‘)
5117a1i 11 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ ๐‘› โˆˆ โ„™) โ†’ 1 โˆˆ ๐‘)
5250, 51ifclda 4526 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (if(๐‘› = 2, if(2 โˆฅ ๐ด, 0, if((๐ด mod 8) โˆˆ {1, 7}, 1, -1)), ((((๐ดโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘›) โˆ’ 1))โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1) โˆˆ ๐‘)
53 lgsval.1 . 2 ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (if(๐‘› = 2, if(2 โˆฅ ๐ด, 0, if((๐ด mod 8) โˆˆ {1, 7}, 1, -1)), ((((๐ดโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘›) โˆ’ 1))โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1))
5452, 53fmptd 7067 1 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ ๐น:โ„•โŸถ๐‘)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944  {crab 3410   โˆ– cdif 3912  ifcif 4491  {csn 4591  {cpr 4593   class class class wbr 5110   โ†ฆ cmpt 5193  โŸถwf 6497  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   โ‰ค cle 11197   โˆ’ cmin 11392  -cneg 11393   / cdiv 11819  โ„•cn 12160  2c2 12215  7c7 12220  8c8 12221  โ„•0cn0 12420  โ„คcz 12506   mod cmo 13781  โ†‘cexp 13974  abscabs 15126   โˆฅ cdvds 16143  โ„™cprime 16554   pCnt cpc 16715
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-prm 16555  df-phi 16645  df-pc 16716
This theorem is referenced by:  lgscllem  26668  lgsfcl  26669  lgsfle1  26670
  Copyright terms: Public domain W3C validator