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Theorem lgsval2lem 26655

Description: Lemma for lgsval2 26661. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
lgsval.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))

**Assertion**
Ref	Expression
lgsval2lem	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝐴 /_L 𝑁) = if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1)))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑛 𝑛,𝑁 Allowed substitution hint: 𝐹(𝑛)

Proof of Theorem lgsval2lem Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmz 16551	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ ℤ)
2		lgsval.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
3	2	lgsval 26649	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /_L 𝑁) = if(𝑁 = 0, if((𝐴↑2) = 1, 1, 0), (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁)))))
4	1, 3	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝐴 /_L 𝑁) = if(𝑁 = 0, if((𝐴↑2) = 1, 1, 0), (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁)))))
5		prmnn 16550	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ ℕ)
6	5	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
7	6	nnne0d 12203	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝑁 ≠ 0)
8	7	neneqd 2948	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → ¬ 𝑁 = 0)
9	8	iffalsed 4497	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → if(𝑁 = 0, if((𝐴↑2) = 1, 1, 0), (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁)))) = (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁))))
10	6	nnnn0d 12473	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
11	10	nn0ge0d 12476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 0 ≤ 𝑁)
12		0re 11157	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
13	6	nnred 12168	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℝ)
14		lenlt 11233	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 0))
15	12, 13, 14	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 0))
16	11, 15	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → ¬ 𝑁 < 0)
17	16	intnanrd 490	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → ¬ (𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0))
18	17	iffalsed 4497	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) = 1)
19	13, 11	absidd 15307	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (abs‘𝑁) = 𝑁)
20	19	fveq2d 6846	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁)) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))
21		1z 12533	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℤ
22		prmuz2 16572	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2))
23	22	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2))
24		df-2 12216	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 = (1 + 1)
25	24	fveq2i 6845	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ_≥‘2) = (ℤ_≥‘(1 + 1))
26	23, 25	eleqtrdi 2848	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)))
27		seqm1 13925	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) = ((seq1( · , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) · (𝐹‘𝑁)))
28	21, 26, 27	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) = ((seq1( · , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) · (𝐹‘𝑁)))
29		1t1e1 12315	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · 1) = 1
30	29	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (1 · 1) = 1)
31		uz2m1nn 12848	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
32	23, 31	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
33		nnuz 12806	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
34	32, 33	eleqtrdi 2848	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ_≥‘1))
35		elfznn 13470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝑥 ∈ ℕ)
36	35	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑥 ∈ ℕ)
37	2	lgsfval 26650	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 ∈ ℙ, (if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1))↑(𝑥 pCnt 𝑁)), 1))
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 ∈ ℙ, (if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1))↑(𝑥 pCnt 𝑁)), 1))
39		elfzelz 13441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
40	39	zred 12607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝑁 ∈ ℝ)
41	40	ltm1d 12087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → (𝑁 − 1) < 𝑁)
42		peano2rem 11468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
43	40, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
44		elfzle2 13445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝑁 ≤ (𝑁 − 1))
45	40, 43, 44	lensymd 11306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → ¬ (𝑁 − 1) < 𝑁)
46	41, 45	pm2.65i 193	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ¬ 𝑁 ∈ (1...(𝑁 − 1))
47		eleq1 2825	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ↔ 𝑁 ∈ (1...(𝑁 − 1))))
48	46, 47	mtbiri 326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ¬ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1)))
49	48	con2i 139	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → ¬ 𝑥 = 𝑁)
50	49	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → ¬ 𝑥 = 𝑁)
51		prmuz2 16572	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℙ → 𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2))
52		simpllr 774	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℙ)
53		dvdsprm 16579	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝑥 ∥ 𝑁 ↔ 𝑥 = 𝑁))
54	51, 52, 53	syl2an2 684	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → (𝑥 ∥ 𝑁 ↔ 𝑥 = 𝑁))
55	50, 54	mtbird 324	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁)
56		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → 𝑥 ∈ ℙ)
57	6	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
58		pceq0 16743	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑥 pCnt 𝑁) = 0 ↔ ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
59	56, 57, 58	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → ((𝑥 pCnt 𝑁) = 0 ↔ ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
60	55, 59	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → (𝑥 pCnt 𝑁) = 0)
61	60	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → (if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1))↑(𝑥 pCnt 𝑁)) = (if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1))↑0))
62		0z 12510	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 ∈ ℤ
63		neg1z 12539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ -1 ∈ ℤ
64	21, 63	ifcli 4533	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) ∈ ℤ
65	62, 64	ifcli 4533	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) ∈ ℤ
66	65	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 = 2) → if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) ∈ ℤ)
67		simpl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℤ)
68	67	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑥 = 2) → 𝐴 ∈ ℤ)
69		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑥 = 2) → 𝑥 ∈ ℙ)
70		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑥 = 2) → ¬ 𝑥 = 2)
71	70	neqned 2950	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑥 = 2) → 𝑥 ≠ 2)
72		eldifsn 4747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ≠ 2))
73	69, 71, 72	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑥 = 2) → 𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}))
74		oddprm 16682	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑥 − 1) / 2) ∈ ℕ)
75	73, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑥 = 2) → ((𝑥 − 1) / 2) ∈ ℕ)
76	75	nnnn0d 12473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑥 = 2) → ((𝑥 − 1) / 2) ∈ ℕ₀)
77		zexpcl 13982	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝑥 − 1) / 2) ∈ ℕ₀) → (𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
78	68, 76, 77	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑥 = 2) → (𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
79	78	peano2zd 12610	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑥 = 2) → ((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) ∈ ℤ)
80		prmnn 16550	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ ℙ → 𝑥 ∈ ℕ)
81	80	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑥 = 2) → 𝑥 ∈ ℕ)
82	79, 81	zmodcld 13797	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑥 = 2) → (((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) ∈ ℕ₀)
83	82	nn0zd 12525	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑥 = 2) → (((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) ∈ ℤ)
84		peano2zm 12546	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) ∈ ℤ → ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1) ∈ ℤ)
85	83, 84	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑥 = 2) → ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1) ∈ ℤ)
86	66, 85	ifclda 4521	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1)) ∈ ℤ)
87	86	zcnd 12608	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1)) ∈ ℂ)
88	87	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1)) ∈ ℂ)
89	88	exp0d 14045	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → (if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1))↑0) = 1)
90	61, 89	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → (if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1))↑(𝑥 pCnt 𝑁)) = 1)
91	90	ifeq1da 4517	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → if(𝑥 ∈ ℙ, (if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1))↑(𝑥 pCnt 𝑁)), 1) = if(𝑥 ∈ ℙ, 1, 1))
92		ifid 4526	. . . . . . . . . 10 ⊢ if(𝑥 ∈ ℙ, 1, 1) = 1
93	91, 92	eqtrdi 2792	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → if(𝑥 ∈ ℙ, (if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1))↑(𝑥 pCnt 𝑁)), 1) = 1)
94	38, 93	eqtrd 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘𝑥) = 1)
95	30, 34, 94	seqid3 13952	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) = 1)
96	95	oveq1d 7372	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → ((seq1( · , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) · (𝐹‘𝑁)) = (1 · (𝐹‘𝑁)))
97	1	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
98	2	lgsfcl 26653	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝐹:ℕ⟶ℤ)
99	67, 97, 7, 98	syl3anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝐹:ℕ⟶ℤ)
100	99, 6	ffvelcdmd 7036	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℤ)
101	100	zcnd 12608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℂ)
102	101	mulid2d 11173	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (1 · (𝐹‘𝑁)) = (𝐹‘𝑁))
103	28, 96, 102	3eqtrd 2780	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹‘𝑁))
104	20, 103	eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁)) = (𝐹‘𝑁))
105	18, 104	oveq12d 7375	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁))) = (1 · (𝐹‘𝑁)))
106	2	lgsfval 26650	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑁) = if(𝑁 ∈ ℙ, (if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1))↑(𝑁 pCnt 𝑁)), 1))
107	6, 106	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝐹‘𝑁) = if(𝑁 ∈ ℙ, (if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1))↑(𝑁 pCnt 𝑁)), 1))
108		iftrue 4492	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → if(𝑁 ∈ ℙ, (if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1))↑(𝑁 pCnt 𝑁)), 1) = (if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1))↑(𝑁 pCnt 𝑁)))
109	108	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → if(𝑁 ∈ ℙ, (if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1))↑(𝑁 pCnt 𝑁)), 1) = (if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1))↑(𝑁 pCnt 𝑁)))
110	6	nncnd 12169	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℂ)
111	110	exp1d 14046	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝑁↑1) = 𝑁)
112	111	oveq2d 7373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝑁 pCnt (𝑁↑1)) = (𝑁 pCnt 𝑁))
113		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℙ)
114		pcid 16745	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑁 pCnt (𝑁↑1)) = 1)
115	113, 21, 114	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝑁 pCnt (𝑁↑1)) = 1)
116	112, 115	eqtr3d 2778	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝑁 pCnt 𝑁) = 1)
117	116	oveq2d 7373	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1))↑(𝑁 pCnt 𝑁)) = (if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1))↑1))
118		eqeq1 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 = 2 ↔ 𝑁 = 2))
119		oveq1 7364	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 − 1) = (𝑁 − 1))
120	119	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 − 1) / 2) = ((𝑁 − 1) / 2))
121	120	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) = (𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)))
122	121	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) = ((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1))
123		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → 𝑥 = 𝑁)
124	122, 123	oveq12d 7375	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) = (((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁))
125	124	oveq1d 7372	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1) = ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1))
126	118, 125	ifbieq2d 4512	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1)) = if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1)))
127	126	eleq1d 2822	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1)) ∈ ℂ ↔ if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1)) ∈ ℂ))
128	87	ralrimiva 3143	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → ∀𝑥 ∈ ℙ if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1)) ∈ ℂ)
129	127, 128, 113	rspcdva 3582	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1)) ∈ ℂ)
130	129	exp1d 14046	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1))↑1) = if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1)))
131	117, 130	eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1))↑(𝑁 pCnt 𝑁)) = if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1)))
132	107, 109, 131	3eqtrd 2780	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝐹‘𝑁) = if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1)))
133	105, 102, 132	3eqtrd 2780	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁))) = if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1)))
134	4, 9, 133	3eqtrd 2780	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝐴 /_L 𝑁) = if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 396 = wceq 1541 ∈ wcel 2106 ≠ wne 2943 ∖ cdif 3907 ifcif 4486 {csn 4586 {cpr 4588 class class class wbr 5105 ↦ cmpt 5188 ⟶wf 6492 ‘cfv 6496 (class class class)co 7357 ℂcc 11049 ℝcr 11050 0cc0 11051 1c1 11052 + caddc 11054 · cmul 11056 < clt 11189 ≤ cle 11190 − cmin 11385 -cneg 11386 / cdiv 11812 ℕcn 12153 2c2 12208 7c7 12213 8c8 12214 ℕ₀cn0 12413 ℤcz 12499 ℤ_≥cuz 12763 ...cfz 13424 mod cmo 13774 seqcseq 13906 ↑cexp 13967 abscabs 15119 ∥ cdvds 16136 ℙcprime 16547 pCnt cpc 16708 /_L clgs 26642

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2707 ax-rep 5242 ax-sep 5256 ax-nul 5263 ax-pow 5320 ax-pr 5384 ax-un 7672 ax-cnex 11107 ax-resscn 11108 ax-1cn 11109 ax-icn 11110 ax-addcl 11111 ax-addrcl 11112 ax-mulcl 11113 ax-mulrcl 11114 ax-mulcom 11115 ax-addass 11116 ax-mulass 11117 ax-distr 11118 ax-i2m1 11119 ax-1ne0 11120 ax-1rid 11121 ax-rnegex 11122 ax-rrecex 11123 ax-cnre 11124 ax-pre-lttri 11125 ax-pre-lttrn 11126 ax-pre-ltadd 11127 ax-pre-mulgt0 11128 ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2538 df-eu 2567 df-clab 2714 df-cleq 2728 df-clel 2814 df-nfc 2889 df-ne 2944 df-nel 3050 df-ral 3065 df-rex 3074 df-rmo 3353 df-reu 3354 df-rab 3408 df-v 3447 df-sbc 3740 df-csb 3856 df-dif 3913 df-un 3915 df-in 3917 df-ss 3927 df-pss 3929 df-nul 4283 df-if 4487 df-pw 4562 df-sn 4587 df-pr 4589 df-op 4593 df-uni 4866 df-int 4908 df-iun 4956 df-br 5106 df-opab 5168 df-mpt 5189 df-tr 5223 df-id 5531 df-eprel 5537 df-po 5545 df-so 5546 df-fr 5588 df-we 5590 df-xp 5639 df-rel 5640 df-cnv 5641 df-co 5642 df-dm 5643 df-rn 5644 df-res 5645 df-ima 5646 df-pred 6253 df-ord 6320 df-on 6321 df-lim 6322 df-suc 6323 df-iota 6448 df-fun 6498 df-fn 6499 df-f 6500 df-f1 6501 df-fo 6502 df-f1o 6503 df-fv 6504 df-riota 7313 df-ov 7360 df-oprab 7361 df-mpo 7362 df-om 7803 df-1st 7921 df-2nd 7922 df-frecs 8212 df-wrecs 8243 df-recs 8317 df-rdg 8356 df-1o 8412 df-2o 8413 df-oadd 8416 df-er 8648 df-en 8884 df-dom 8885 df-sdom 8886 df-fin 8887 df-sup 9378 df-inf 9379 df-dju 9837 df-card 9875 df-pnf 11191 df-mnf 11192 df-xr 11193 df-ltxr 11194 df-le 11195 df-sub 11387 df-neg 11388 df-div 11813 df-nn 12154 df-2 12216 df-3 12217 df-n0 12414 df-xnn0 12486 df-z 12500 df-uz 12764 df-q 12874 df-rp 12916 df-fz 13425 df-fzo 13568 df-fl 13697 df-mod 13775 df-seq 13907 df-exp 13968 df-hash 14231 df-cj 14984 df-re 14985 df-im 14986 df-sqrt 15120 df-abs 15121 df-dvds 16137 df-gcd 16375 df-prm 16548 df-phi 16638 df-pc 16709 df-lgs 26643

This theorem is referenced by: lgsval4lem 26656 lgsval2 26661

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