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Theorem lgsval2lem 27043
Description: Lemma for lgsval2 27049. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
lgsval.1 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, (if(𝑛 = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) βˆ’ 1))↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
Assertion
Ref Expression
lgsval2lem ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (𝐴 /L 𝑁) = if(𝑁 = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) βˆ’ 1)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑛,𝑁
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem lgsval2lem
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmz 16617 . . 3 (𝑁 ∈ β„™ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
2 lgsval.1 . . . 4 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, (if(𝑛 = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) βˆ’ 1))↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
32lgsval 27037 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 /L 𝑁) = if(𝑁 = 0, if((𝐴↑2) = 1, 1, 0), (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) Β· (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(absβ€˜π‘)))))
41, 3sylan2 592 . 2 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (𝐴 /L 𝑁) = if(𝑁 = 0, if((𝐴↑2) = 1, 1, 0), (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) Β· (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(absβ€˜π‘)))))
5 prmnn 16616 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„™ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
65adantl 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
76nnne0d 12267 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ 𝑁 β‰  0)
87neneqd 2944 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ Β¬ 𝑁 = 0)
98iffalsed 4540 . 2 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ if(𝑁 = 0, if((𝐴↑2) = 1, 1, 0), (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) Β· (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(absβ€˜π‘)))) = (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) Β· (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(absβ€˜π‘))))
106nnnn0d 12537 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
1110nn0ge0d 12540 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ 0 ≀ 𝑁)
12 0re 11221 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
136nnred 12232 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
14 lenlt 11297 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) β†’ (0 ≀ 𝑁 ↔ Β¬ 𝑁 < 0))
1512, 13, 14sylancr 586 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (0 ≀ 𝑁 ↔ Β¬ 𝑁 < 0))
1611, 15mpbid 231 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ Β¬ 𝑁 < 0)
1716intnanrd 489 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ Β¬ (𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0))
1817iffalsed 4540 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) = 1)
1913, 11absidd 15374 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (absβ€˜π‘) = 𝑁)
2019fveq2d 6896 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(absβ€˜π‘)) = (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘))
21 1z 12597 . . . . . . 7 1 ∈ β„€
22 prmuz2 16638 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„™ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
2322adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
24 df-2 12280 . . . . . . . . 9 2 = (1 + 1)
2524fveq2i 6895 . . . . . . . 8 (β„€β‰₯β€˜2) = (β„€β‰₯β€˜(1 + 1))
2623, 25eleqtrdi 2842 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(1 + 1)))
27 seqm1 13990 . . . . . . 7 ((1 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(1 + 1))) β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘) = ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) Β· (πΉβ€˜π‘)))
2821, 26, 27sylancr 586 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘) = ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) Β· (πΉβ€˜π‘)))
29 1t1e1 12379 . . . . . . . . 9 (1 Β· 1) = 1
3029a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (1 Β· 1) = 1)
31 uz2m1nn 12912 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„•)
3223, 31syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„•)
33 nnuz 12870 . . . . . . . . 9 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
3432, 33eleqtrdi 2842 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
35 elfznn 13535 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ π‘₯ ∈ β„•)
3635adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ π‘₯ ∈ β„•)
372lgsfval 27038 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ β„• β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = if(π‘₯ ∈ β„™, (if(π‘₯ = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((π‘₯ βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod π‘₯) βˆ’ 1))↑(π‘₯ pCnt 𝑁)), 1))
3836, 37syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = if(π‘₯ ∈ β„™, (if(π‘₯ = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((π‘₯ βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod π‘₯) βˆ’ 1))↑(π‘₯ pCnt 𝑁)), 1))
39 elfzelz 13506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
4039zred 12671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
4140ltm1d 12151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) < 𝑁)
42 peano2rem 11532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℝ β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ ℝ)
4340, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ ℝ)
44 elfzle2 13510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ 𝑁 ≀ (𝑁 βˆ’ 1))
4540, 43, 44lensymd 11370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ Β¬ (𝑁 βˆ’ 1) < 𝑁)
4641, 45pm2.65i 193 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Β¬ 𝑁 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))
47 eleq1 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (π‘₯ ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) ↔ 𝑁 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))))
4846, 47mtbiri 326 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑁 β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)))
4948con2i 139 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ Β¬ π‘₯ = 𝑁)
5049ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) ∧ π‘₯ ∈ β„™) β†’ Β¬ π‘₯ = 𝑁)
51 prmuz2 16638 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ β„™ β†’ π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
52 simpllr 773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) ∧ π‘₯ ∈ β„™) β†’ 𝑁 ∈ β„™)
53 dvdsprm 16645 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (π‘₯ βˆ₯ 𝑁 ↔ π‘₯ = 𝑁))
5451, 52, 53syl2an2 683 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) ∧ π‘₯ ∈ β„™) β†’ (π‘₯ βˆ₯ 𝑁 ↔ π‘₯ = 𝑁))
5550, 54mtbird 324 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) ∧ π‘₯ ∈ β„™) β†’ Β¬ π‘₯ βˆ₯ 𝑁)
56 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) ∧ π‘₯ ∈ β„™) β†’ π‘₯ ∈ β„™)
576ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) ∧ π‘₯ ∈ β„™) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
58 pceq0 16809 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ β„™ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((π‘₯ pCnt 𝑁) = 0 ↔ Β¬ π‘₯ βˆ₯ 𝑁))
5956, 57, 58syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) ∧ π‘₯ ∈ β„™) β†’ ((π‘₯ pCnt 𝑁) = 0 ↔ Β¬ π‘₯ βˆ₯ 𝑁))
6055, 59mpbird 256 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) ∧ π‘₯ ∈ β„™) β†’ (π‘₯ pCnt 𝑁) = 0)
6160oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) ∧ π‘₯ ∈ β„™) β†’ (if(π‘₯ = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((π‘₯ βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod π‘₯) βˆ’ 1))↑(π‘₯ pCnt 𝑁)) = (if(π‘₯ = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((π‘₯ βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod π‘₯) βˆ’ 1))↑0))
62 0z 12574 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ β„€
63 neg1z 12603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 -1 ∈ β„€
6421, 63ifcli 4576 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) ∈ β„€
6562, 64ifcli 4576 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) ∈ β„€
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ β„™) ∧ π‘₯ = 2) β†’ if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) ∈ β„€)
67 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
6867ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ β„™) ∧ Β¬ π‘₯ = 2) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
69 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ β„™) ∧ Β¬ π‘₯ = 2) β†’ π‘₯ ∈ β„™)
70 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ β„™) ∧ Β¬ π‘₯ = 2) β†’ Β¬ π‘₯ = 2)
7170neqned 2946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ β„™) ∧ Β¬ π‘₯ = 2) β†’ π‘₯ β‰  2)
72 eldifsn 4791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘₯ ∈ (β„™ βˆ– {2}) ↔ (π‘₯ ∈ β„™ ∧ π‘₯ β‰  2))
7369, 71, 72sylanbrc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ β„™) ∧ Β¬ π‘₯ = 2) β†’ π‘₯ ∈ (β„™ βˆ– {2}))
74 oddprm 16748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘₯ ∈ (β„™ βˆ– {2}) β†’ ((π‘₯ βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•)
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ β„™) ∧ Β¬ π‘₯ = 2) β†’ ((π‘₯ βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•)
7675nnnn0d 12537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ β„™) ∧ Β¬ π‘₯ = 2) β†’ ((π‘₯ βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•0)
77 zexpcl 14047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ ((π‘₯ βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ (𝐴↑((π‘₯ βˆ’ 1) / 2)) ∈ β„€)
7868, 76, 77syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ β„™) ∧ Β¬ π‘₯ = 2) β†’ (𝐴↑((π‘₯ βˆ’ 1) / 2)) ∈ β„€)
7978peano2zd 12674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ β„™) ∧ Β¬ π‘₯ = 2) β†’ ((𝐴↑((π‘₯ βˆ’ 1) / 2)) + 1) ∈ β„€)
80 prmnn 16616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ ∈ β„™ β†’ π‘₯ ∈ β„•)
8180ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ β„™) ∧ Β¬ π‘₯ = 2) β†’ π‘₯ ∈ β„•)
8279, 81zmodcld 13862 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ β„™) ∧ Β¬ π‘₯ = 2) β†’ (((𝐴↑((π‘₯ βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod π‘₯) ∈ β„•0)
8382nn0zd 12589 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ β„™) ∧ Β¬ π‘₯ = 2) β†’ (((𝐴↑((π‘₯ βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod π‘₯) ∈ β„€)
84 peano2zm 12610 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴↑((π‘₯ βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod π‘₯) ∈ β„€ β†’ ((((𝐴↑((π‘₯ βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod π‘₯) βˆ’ 1) ∈ β„€)
8583, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ β„™) ∧ Β¬ π‘₯ = 2) β†’ ((((𝐴↑((π‘₯ βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod π‘₯) βˆ’ 1) ∈ β„€)
8666, 85ifclda 4564 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ β„™) β†’ if(π‘₯ = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((π‘₯ βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod π‘₯) βˆ’ 1)) ∈ β„€)
8786zcnd 12672 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ β„™) β†’ if(π‘₯ = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((π‘₯ βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod π‘₯) βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
8887adantlr 712 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) ∧ π‘₯ ∈ β„™) β†’ if(π‘₯ = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((π‘₯ βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod π‘₯) βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
8988exp0d 14110 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) ∧ π‘₯ ∈ β„™) β†’ (if(π‘₯ = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((π‘₯ βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod π‘₯) βˆ’ 1))↑0) = 1)
9061, 89eqtrd 2771 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) ∧ π‘₯ ∈ β„™) β†’ (if(π‘₯ = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((π‘₯ βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod π‘₯) βˆ’ 1))↑(π‘₯ pCnt 𝑁)) = 1)
9190ifeq1da 4560 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ if(π‘₯ ∈ β„™, (if(π‘₯ = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((π‘₯ βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod π‘₯) βˆ’ 1))↑(π‘₯ pCnt 𝑁)), 1) = if(π‘₯ ∈ β„™, 1, 1))
92 ifid 4569 . . . . . . . . . 10 if(π‘₯ ∈ β„™, 1, 1) = 1
9391, 92eqtrdi 2787 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ if(π‘₯ ∈ β„™, (if(π‘₯ = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((π‘₯ βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod π‘₯) βˆ’ 1))↑(π‘₯ pCnt 𝑁)), 1) = 1)
9438, 93eqtrd 2771 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 1)
9530, 34, 94seqid3 14017 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = 1)
9695oveq1d 7427 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) Β· (πΉβ€˜π‘)) = (1 Β· (πΉβ€˜π‘)))
971adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
982lgsfcl 27041 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„€)
9967, 97, 7, 98syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„€)
10099, 6ffvelcdmd 7088 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„€)
101100zcnd 12672 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„‚)
102101mullidd 11237 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (1 Β· (πΉβ€˜π‘)) = (πΉβ€˜π‘))
10328, 96, 1023eqtrd 2775 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘))
10420, 103eqtrd 2771 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(absβ€˜π‘)) = (πΉβ€˜π‘))
10518, 104oveq12d 7430 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) Β· (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(absβ€˜π‘))) = (1 Β· (πΉβ€˜π‘)))
1062lgsfval 27038 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (πΉβ€˜π‘) = if(𝑁 ∈ β„™, (if(𝑁 = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) βˆ’ 1))↑(𝑁 pCnt 𝑁)), 1))
1076, 106syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (πΉβ€˜π‘) = if(𝑁 ∈ β„™, (if(𝑁 = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) βˆ’ 1))↑(𝑁 pCnt 𝑁)), 1))
108 iftrue 4535 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„™ β†’ if(𝑁 ∈ β„™, (if(𝑁 = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) βˆ’ 1))↑(𝑁 pCnt 𝑁)), 1) = (if(𝑁 = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) βˆ’ 1))↑(𝑁 pCnt 𝑁)))
109108adantl 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ if(𝑁 ∈ β„™, (if(𝑁 = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) βˆ’ 1))↑(𝑁 pCnt 𝑁)), 1) = (if(𝑁 = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) βˆ’ 1))↑(𝑁 pCnt 𝑁)))
1106nncnd 12233 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
111110exp1d 14111 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (𝑁↑1) = 𝑁)
112111oveq2d 7428 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (𝑁 pCnt (𝑁↑1)) = (𝑁 pCnt 𝑁))
113 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ 𝑁 ∈ β„™)
114 pcid 16811 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„™ ∧ 1 ∈ β„€) β†’ (𝑁 pCnt (𝑁↑1)) = 1)
115113, 21, 114sylancl 585 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (𝑁 pCnt (𝑁↑1)) = 1)
116112, 115eqtr3d 2773 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (𝑁 pCnt 𝑁) = 1)
117116oveq2d 7428 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (if(𝑁 = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) βˆ’ 1))↑(𝑁 pCnt 𝑁)) = (if(𝑁 = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) βˆ’ 1))↑1))
118 eqeq1 2735 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (π‘₯ = 2 ↔ 𝑁 = 2))
119 oveq1 7419 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (π‘₯ βˆ’ 1) = (𝑁 βˆ’ 1))
120119oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((π‘₯ βˆ’ 1) / 2) = ((𝑁 βˆ’ 1) / 2))
121120oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (𝐴↑((π‘₯ βˆ’ 1) / 2)) = (𝐴↑((𝑁 βˆ’ 1) / 2)))
122121oveq1d 7427 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((𝐴↑((π‘₯ βˆ’ 1) / 2)) + 1) = ((𝐴↑((𝑁 βˆ’ 1) / 2)) + 1))
123 id 22 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑁 β†’ π‘₯ = 𝑁)
124122, 123oveq12d 7430 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (((𝐴↑((π‘₯ βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod π‘₯) = (((𝐴↑((𝑁 βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod 𝑁))
125124oveq1d 7427 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((((𝐴↑((π‘₯ βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod π‘₯) βˆ’ 1) = ((((𝐴↑((𝑁 βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) βˆ’ 1))
126118, 125ifbieq2d 4555 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑁 β†’ if(π‘₯ = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((π‘₯ βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod π‘₯) βˆ’ 1)) = if(𝑁 = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) βˆ’ 1)))
127126eleq1d 2817 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (if(π‘₯ = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((π‘₯ βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod π‘₯) βˆ’ 1)) ∈ β„‚ ↔ if(𝑁 = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) βˆ’ 1)) ∈ β„‚))
12887ralrimiva 3145 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„™ if(π‘₯ = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((π‘₯ βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod π‘₯) βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
129127, 128, 113rspcdva 3614 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ if(𝑁 = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
130129exp1d 14111 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (if(𝑁 = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) βˆ’ 1))↑1) = if(𝑁 = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) βˆ’ 1)))
131117, 130eqtrd 2771 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (if(𝑁 = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) βˆ’ 1))↑(𝑁 pCnt 𝑁)) = if(𝑁 = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) βˆ’ 1)))
132107, 109, 1313eqtrd 2775 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (πΉβ€˜π‘) = if(𝑁 = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) βˆ’ 1)))
133105, 102, 1323eqtrd 2775 . 2 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) Β· (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(absβ€˜π‘))) = if(𝑁 = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) βˆ’ 1)))
1344, 9, 1333eqtrd 2775 1 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (𝐴 /L 𝑁) = if(𝑁 = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) βˆ’ 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939   βˆ– cdif 3946  ifcif 4529  {csn 4629  {cpr 4631   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  β„‚cc 11111  β„cr 11112  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116   Β· cmul 11118   < clt 11253   ≀ cle 11254   βˆ’ cmin 11449  -cneg 11450   / cdiv 11876  β„•cn 12217  2c2 12272  7c7 12277  8c8 12278  β„•0cn0 12477  β„€cz 12563  β„€β‰₯cuz 12827  ...cfz 13489   mod cmo 13839  seqcseq 13971  β†‘cexp 14032  abscabs 15186   βˆ₯ cdvds 16202  β„™cprime 16613   pCnt cpc 16774   /L clgs 27030
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-oadd 8473  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9440  df-inf 9441  df-dju 9899  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-dvds 16203  df-gcd 16441  df-prm 16614  df-phi 16704  df-pc 16775  df-lgs 27031
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