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Theorem lgsval2lem 27270

Description: Lemma for lgsval2 27276. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
lgsval.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))

**Assertion**
Ref	Expression
lgsval2lem	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝐴 /_L 𝑁) = if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1)))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑛 𝑛,𝑁 Allowed substitution hint: 𝐹(𝑛)

Proof of Theorem lgsval2lem Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmz 16694	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ ℤ)
2		lgsval.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
3	2	lgsval 27264	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /_L 𝑁) = if(𝑁 = 0, if((𝐴↑2) = 1, 1, 0), (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁)))))
4	1, 3	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝐴 /_L 𝑁) = if(𝑁 = 0, if((𝐴↑2) = 1, 1, 0), (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁)))))
5		prmnn 16693	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ ℕ)
6	5	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
7	6	nnne0d 12290	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝑁 ≠ 0)
8	7	neneqd 2937	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → ¬ 𝑁 = 0)
9	8	iffalsed 4511	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → if(𝑁 = 0, if((𝐴↑2) = 1, 1, 0), (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁)))) = (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁))))
10	6	nnnn0d 12562	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
11	10	nn0ge0d 12565	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 0 ≤ 𝑁)
12		0re 11237	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
13	6	nnred 12255	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℝ)
14		lenlt 11313	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 0))
15	12, 13, 14	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 0))
16	11, 15	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → ¬ 𝑁 < 0)
17	16	intnanrd 489	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → ¬ (𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0))
18	17	iffalsed 4511	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) = 1)
19	13, 11	absidd 15441	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (abs‘𝑁) = 𝑁)
20	19	fveq2d 6880	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁)) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))
21		1z 12622	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℤ
22		prmuz2 16715	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2))
23	22	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2))
24		df-2 12303	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 = (1 + 1)
25	24	fveq2i 6879	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ_≥‘2) = (ℤ_≥‘(1 + 1))
26	23, 25	eleqtrdi 2844	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)))
27		seqm1 14037	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) = ((seq1( · , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) · (𝐹‘𝑁)))
28	21, 26, 27	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) = ((seq1( · , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) · (𝐹‘𝑁)))
29		1t1e1 12402	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · 1) = 1
30	29	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (1 · 1) = 1)
31		uz2m1nn 12939	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
32	23, 31	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
33		nnuz 12895	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
34	32, 33	eleqtrdi 2844	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ_≥‘1))
35		elfznn 13570	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝑥 ∈ ℕ)
36	35	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑥 ∈ ℕ)
37	2	lgsfval 27265	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 ∈ ℙ, (if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1))↑(𝑥 pCnt 𝑁)), 1))
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 ∈ ℙ, (if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1))↑(𝑥 pCnt 𝑁)), 1))
39		elfzelz 13541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
40	39	zred 12697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝑁 ∈ ℝ)
41	40	ltm1d 12174	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → (𝑁 − 1) < 𝑁)
42		peano2rem 11550	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
43	40, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
44		elfzle2 13545	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝑁 ≤ (𝑁 − 1))
45	40, 43, 44	lensymd 11386	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → ¬ (𝑁 − 1) < 𝑁)
46	41, 45	pm2.65i 194	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ¬ 𝑁 ∈ (1...(𝑁 − 1))
47		eleq1 2822	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ↔ 𝑁 ∈ (1...(𝑁 − 1))))
48	46, 47	mtbiri 327	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ¬ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1)))
49	48	con2i 139	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → ¬ 𝑥 = 𝑁)
50	49	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → ¬ 𝑥 = 𝑁)
51		prmuz2 16715	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℙ → 𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2))
52		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℙ)
53		dvdsprm 16722	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝑥 ∥ 𝑁 ↔ 𝑥 = 𝑁))
54	51, 52, 53	syl2an2 686	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → (𝑥 ∥ 𝑁 ↔ 𝑥 = 𝑁))
55	50, 54	mtbird 325	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁)
56		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → 𝑥 ∈ ℙ)
57	6	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
58		pceq0 16891	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑥 pCnt 𝑁) = 0 ↔ ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
59	56, 57, 58	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → ((𝑥 pCnt 𝑁) = 0 ↔ ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
60	55, 59	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → (𝑥 pCnt 𝑁) = 0)
61	60	oveq2d 7421	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → (if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1))↑(𝑥 pCnt 𝑁)) = (if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1))↑0))
62		0z 12599	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 ∈ ℤ
63		neg1z 12628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ -1 ∈ ℤ
64	21, 63	ifcli 4548	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) ∈ ℤ
65	62, 64	ifcli 4548	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) ∈ ℤ
66	65	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 = 2) → if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) ∈ ℤ)
67		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℤ)
68	67	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑥 = 2) → 𝐴 ∈ ℤ)
69		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑥 = 2) → 𝑥 ∈ ℙ)
70		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑥 = 2) → ¬ 𝑥 = 2)
71	70	neqned 2939	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑥 = 2) → 𝑥 ≠ 2)
72		eldifsn 4762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ≠ 2))
73	69, 71, 72	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑥 = 2) → 𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}))
74		oddprm 16830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑥 − 1) / 2) ∈ ℕ)
75	73, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑥 = 2) → ((𝑥 − 1) / 2) ∈ ℕ)
76	75	nnnn0d 12562	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑥 = 2) → ((𝑥 − 1) / 2) ∈ ℕ₀)
77		zexpcl 14094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝑥 − 1) / 2) ∈ ℕ₀) → (𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
78	68, 76, 77	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑥 = 2) → (𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
79	78	peano2zd 12700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑥 = 2) → ((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) ∈ ℤ)
80		prmnn 16693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ ℙ → 𝑥 ∈ ℕ)
81	80	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑥 = 2) → 𝑥 ∈ ℕ)
82	79, 81	zmodcld 13909	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑥 = 2) → (((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) ∈ ℕ₀)
83	82	nn0zd 12614	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑥 = 2) → (((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) ∈ ℤ)
84		peano2zm 12635	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) ∈ ℤ → ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1) ∈ ℤ)
85	83, 84	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑥 = 2) → ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1) ∈ ℤ)
86	66, 85	ifclda 4536	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1)) ∈ ℤ)
87	86	zcnd 12698	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1)) ∈ ℂ)
88	87	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1)) ∈ ℂ)
89	88	exp0d 14158	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → (if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1))↑0) = 1)
90	61, 89	eqtrd 2770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → (if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1))↑(𝑥 pCnt 𝑁)) = 1)
91	90	ifeq1da 4532	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → if(𝑥 ∈ ℙ, (if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1))↑(𝑥 pCnt 𝑁)), 1) = if(𝑥 ∈ ℙ, 1, 1))
92		ifid 4541	. . . . . . . . . 10 ⊢ if(𝑥 ∈ ℙ, 1, 1) = 1
93	91, 92	eqtrdi 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → if(𝑥 ∈ ℙ, (if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1))↑(𝑥 pCnt 𝑁)), 1) = 1)
94	38, 93	eqtrd 2770	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘𝑥) = 1)
95	30, 34, 94	seqid3 14064	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) = 1)
96	95	oveq1d 7420	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → ((seq1( · , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) · (𝐹‘𝑁)) = (1 · (𝐹‘𝑁)))
97	1	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
98	2	lgsfcl 27268	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝐹:ℕ⟶ℤ)
99	67, 97, 7, 98	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝐹:ℕ⟶ℤ)
100	99, 6	ffvelcdmd 7075	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℤ)
101	100	zcnd 12698	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℂ)
102	101	mullidd 11253	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (1 · (𝐹‘𝑁)) = (𝐹‘𝑁))
103	28, 96, 102	3eqtrd 2774	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹‘𝑁))
104	20, 103	eqtrd 2770	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁)) = (𝐹‘𝑁))
105	18, 104	oveq12d 7423	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁))) = (1 · (𝐹‘𝑁)))
106	2	lgsfval 27265	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑁) = if(𝑁 ∈ ℙ, (if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1))↑(𝑁 pCnt 𝑁)), 1))
107	6, 106	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝐹‘𝑁) = if(𝑁 ∈ ℙ, (if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1))↑(𝑁 pCnt 𝑁)), 1))
108		iftrue 4506	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → if(𝑁 ∈ ℙ, (if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1))↑(𝑁 pCnt 𝑁)), 1) = (if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1))↑(𝑁 pCnt 𝑁)))
109	108	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → if(𝑁 ∈ ℙ, (if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1))↑(𝑁 pCnt 𝑁)), 1) = (if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1))↑(𝑁 pCnt 𝑁)))
110	6	nncnd 12256	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℂ)
111	110	exp1d 14159	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝑁↑1) = 𝑁)
112	111	oveq2d 7421	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝑁 pCnt (𝑁↑1)) = (𝑁 pCnt 𝑁))
113		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℙ)
114		pcid 16893	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑁 pCnt (𝑁↑1)) = 1)
115	113, 21, 114	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝑁 pCnt (𝑁↑1)) = 1)
116	112, 115	eqtr3d 2772	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝑁 pCnt 𝑁) = 1)
117	116	oveq2d 7421	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1))↑(𝑁 pCnt 𝑁)) = (if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1))↑1))
118		eqeq1 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 = 2 ↔ 𝑁 = 2))
119		oveq1 7412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 − 1) = (𝑁 − 1))
120	119	oveq1d 7420	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 − 1) / 2) = ((𝑁 − 1) / 2))
121	120	oveq2d 7421	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) = (𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)))
122	121	oveq1d 7420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) = ((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1))
123		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → 𝑥 = 𝑁)
124	122, 123	oveq12d 7423	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) = (((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁))
125	124	oveq1d 7420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1) = ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1))
126	118, 125	ifbieq2d 4527	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1)) = if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1)))
127	126	eleq1d 2819	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1)) ∈ ℂ ↔ if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1)) ∈ ℂ))
128	87	ralrimiva 3132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → ∀𝑥 ∈ ℙ if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1)) ∈ ℂ)
129	127, 128, 113	rspcdva 3602	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1)) ∈ ℂ)
130	129	exp1d 14159	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1))↑1) = if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1)))
131	117, 130	eqtrd 2770	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1))↑(𝑁 pCnt 𝑁)) = if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1)))
132	107, 109, 131	3eqtrd 2774	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝐹‘𝑁) = if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1)))
133	105, 102, 132	3eqtrd 2774	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁))) = if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1)))
134	4, 9, 133	3eqtrd 2774	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝐴 /_L 𝑁) = if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 = wceq 1540 ∈ wcel 2108 ≠ wne 2932 ∖ cdif 3923 ifcif 4500 {csn 4601 {cpr 4603 class class class wbr 5119 ↦ cmpt 5201 ⟶wf 6527 ‘cfv 6531 (class class class)co 7405 ℂcc 11127 ℝcr 11128 0cc0 11129 1c1 11130 + caddc 11132 · cmul 11134 < clt 11269 ≤ cle 11270 − cmin 11466 -cneg 11467 / cdiv 11894 ℕcn 12240 2c2 12295 7c7 12300 8c8 12301 ℕ₀cn0 12501 ℤcz 12588 ℤ_≥cuz 12852 ...cfz 13524 mod cmo 13886 seqcseq 14019 ↑cexp 14079 abscabs 15253 ∥ cdvds 16272 ℙcprime 16690 pCnt cpc 16856 /_L clgs 27257

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2007 ax-8 2110 ax-9 2118 ax-10 2141 ax-11 2157 ax-12 2177 ax-ext 2707 ax-rep 5249 ax-sep 5266 ax-nul 5276 ax-pow 5335 ax-pr 5402 ax-un 7729 ax-cnex 11185 ax-resscn 11186 ax-1cn 11187 ax-icn 11188 ax-addcl 11189 ax-addrcl 11190 ax-mulcl 11191 ax-mulrcl 11192 ax-mulcom 11193 ax-addass 11194 ax-mulass 11195 ax-distr 11196 ax-i2m1 11197 ax-1ne0 11198 ax-1rid 11199 ax-rnegex 11200 ax-rrecex 11201 ax-cnre 11202 ax-pre-lttri 11203 ax-pre-lttrn 11204 ax-pre-ltadd 11205 ax-pre-mulgt0 11206 ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2065 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2714 df-cleq 2727 df-clel 2809 df-nfc 2885 df-ne 2933 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3061 df-rmo 3359 df-reu 3360 df-rab 3416 df-v 3461 df-sbc 3766 df-csb 3875 df-dif 3929 df-un 3931 df-in 3933 df-ss 3943 df-pss 3946 df-nul 4309 df-if 4501 df-pw 4577 df-sn 4602 df-pr 4604 df-op 4608 df-uni 4884 df-int 4923 df-iun 4969 df-br 5120 df-opab 5182 df-mpt 5202 df-tr 5230 df-id 5548 df-eprel 5553 df-po 5561 df-so 5562 df-fr 5606 df-we 5608 df-xp 5660 df-rel 5661 df-cnv 5662 df-co 5663 df-dm 5664 df-rn 5665 df-res 5666 df-ima 5667 df-pred 6290 df-ord 6355 df-on 6356 df-lim 6357 df-suc 6358 df-iota 6484 df-fun 6533 df-fn 6534 df-f 6535 df-f1 6536 df-fo 6537 df-f1o 6538 df-fv 6539 df-riota 7362 df-ov 7408 df-oprab 7409 df-mpo 7410 df-om 7862 df-1st 7988 df-2nd 7989 df-frecs 8280 df-wrecs 8311 df-recs 8385 df-rdg 8424 df-1o 8480 df-2o 8481 df-oadd 8484 df-er 8719 df-en 8960 df-dom 8961 df-sdom 8962 df-fin 8963 df-sup 9454 df-inf 9455 df-dju 9915 df-card 9953 df-pnf 11271 df-mnf 11272 df-xr 11273 df-ltxr 11274 df-le 11275 df-sub 11468 df-neg 11469 df-div 11895 df-nn 12241 df-2 12303 df-3 12304 df-n0 12502 df-xnn0 12575 df-z 12589 df-uz 12853 df-q 12965 df-rp 13009 df-fz 13525 df-fzo 13672 df-fl 13809 df-mod 13887 df-seq 14020 df-exp 14080 df-hash 14349 df-cj 15118 df-re 15119 df-im 15120 df-sqrt 15254 df-abs 15255 df-dvds 16273 df-gcd 16514 df-prm 16691 df-phi 16785 df-pc 16857 df-lgs 27258

This theorem is referenced by: lgsval4lem 27271 lgsval2 27276

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