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Theorem lgsval2lem 27046
Description: Lemma for lgsval2 27052. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
lgsval.1 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, (if(𝑛 = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) βˆ’ 1))↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
Assertion
Ref Expression
lgsval2lem ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (𝐴 /L 𝑁) = if(𝑁 = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) βˆ’ 1)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑛,𝑁
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem lgsval2lem
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmz 16616 . . 3 (𝑁 ∈ β„™ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
2 lgsval.1 . . . 4 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, (if(𝑛 = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) βˆ’ 1))↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
32lgsval 27040 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 /L 𝑁) = if(𝑁 = 0, if((𝐴↑2) = 1, 1, 0), (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) Β· (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(absβ€˜π‘)))))
41, 3sylan2 591 . 2 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (𝐴 /L 𝑁) = if(𝑁 = 0, if((𝐴↑2) = 1, 1, 0), (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) Β· (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(absβ€˜π‘)))))
5 prmnn 16615 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„™ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
65adantl 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
76nnne0d 12266 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ 𝑁 β‰  0)
87neneqd 2943 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ Β¬ 𝑁 = 0)
98iffalsed 4538 . 2 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ if(𝑁 = 0, if((𝐴↑2) = 1, 1, 0), (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) Β· (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(absβ€˜π‘)))) = (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) Β· (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(absβ€˜π‘))))
106nnnn0d 12536 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
1110nn0ge0d 12539 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ 0 ≀ 𝑁)
12 0re 11220 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
136nnred 12231 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
14 lenlt 11296 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) β†’ (0 ≀ 𝑁 ↔ Β¬ 𝑁 < 0))
1512, 13, 14sylancr 585 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (0 ≀ 𝑁 ↔ Β¬ 𝑁 < 0))
1611, 15mpbid 231 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ Β¬ 𝑁 < 0)
1716intnanrd 488 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ Β¬ (𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0))
1817iffalsed 4538 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) = 1)
1913, 11absidd 15373 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (absβ€˜π‘) = 𝑁)
2019fveq2d 6894 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(absβ€˜π‘)) = (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘))
21 1z 12596 . . . . . . 7 1 ∈ β„€
22 prmuz2 16637 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„™ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
2322adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
24 df-2 12279 . . . . . . . . 9 2 = (1 + 1)
2524fveq2i 6893 . . . . . . . 8 (β„€β‰₯β€˜2) = (β„€β‰₯β€˜(1 + 1))
2623, 25eleqtrdi 2841 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(1 + 1)))
27 seqm1 13989 . . . . . . 7 ((1 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(1 + 1))) β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘) = ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) Β· (πΉβ€˜π‘)))
2821, 26, 27sylancr 585 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘) = ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) Β· (πΉβ€˜π‘)))
29 1t1e1 12378 . . . . . . . . 9 (1 Β· 1) = 1
3029a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (1 Β· 1) = 1)
31 uz2m1nn 12911 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„•)
3223, 31syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„•)
33 nnuz 12869 . . . . . . . . 9 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
3432, 33eleqtrdi 2841 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
35 elfznn 13534 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ π‘₯ ∈ β„•)
3635adantl 480 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ π‘₯ ∈ β„•)
372lgsfval 27041 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ β„• β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = if(π‘₯ ∈ β„™, (if(π‘₯ = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((π‘₯ βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod π‘₯) βˆ’ 1))↑(π‘₯ pCnt 𝑁)), 1))
3836, 37syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = if(π‘₯ ∈ β„™, (if(π‘₯ = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((π‘₯ βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod π‘₯) βˆ’ 1))↑(π‘₯ pCnt 𝑁)), 1))
39 elfzelz 13505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
4039zred 12670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
4140ltm1d 12150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) < 𝑁)
42 peano2rem 11531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℝ β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ ℝ)
4340, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ ℝ)
44 elfzle2 13509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ 𝑁 ≀ (𝑁 βˆ’ 1))
4540, 43, 44lensymd 11369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ Β¬ (𝑁 βˆ’ 1) < 𝑁)
4641, 45pm2.65i 193 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Β¬ 𝑁 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))
47 eleq1 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (π‘₯ ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) ↔ 𝑁 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))))
4846, 47mtbiri 326 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑁 β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)))
4948con2i 139 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ Β¬ π‘₯ = 𝑁)
5049ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) ∧ π‘₯ ∈ β„™) β†’ Β¬ π‘₯ = 𝑁)
51 prmuz2 16637 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ β„™ β†’ π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
52 simpllr 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) ∧ π‘₯ ∈ β„™) β†’ 𝑁 ∈ β„™)
53 dvdsprm 16644 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (π‘₯ βˆ₯ 𝑁 ↔ π‘₯ = 𝑁))
5451, 52, 53syl2an2 682 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) ∧ π‘₯ ∈ β„™) β†’ (π‘₯ βˆ₯ 𝑁 ↔ π‘₯ = 𝑁))
5550, 54mtbird 324 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) ∧ π‘₯ ∈ β„™) β†’ Β¬ π‘₯ βˆ₯ 𝑁)
56 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) ∧ π‘₯ ∈ β„™) β†’ π‘₯ ∈ β„™)
576ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) ∧ π‘₯ ∈ β„™) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
58 pceq0 16808 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ β„™ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((π‘₯ pCnt 𝑁) = 0 ↔ Β¬ π‘₯ βˆ₯ 𝑁))
5956, 57, 58syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) ∧ π‘₯ ∈ β„™) β†’ ((π‘₯ pCnt 𝑁) = 0 ↔ Β¬ π‘₯ βˆ₯ 𝑁))
6055, 59mpbird 256 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) ∧ π‘₯ ∈ β„™) β†’ (π‘₯ pCnt 𝑁) = 0)
6160oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) ∧ π‘₯ ∈ β„™) β†’ (if(π‘₯ = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((π‘₯ βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod π‘₯) βˆ’ 1))↑(π‘₯ pCnt 𝑁)) = (if(π‘₯ = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((π‘₯ βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod π‘₯) βˆ’ 1))↑0))
62 0z 12573 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ β„€
63 neg1z 12602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 -1 ∈ β„€
6421, 63ifcli 4574 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) ∈ β„€
6562, 64ifcli 4574 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) ∈ β„€
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ β„™) ∧ π‘₯ = 2) β†’ if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) ∈ β„€)
67 simpl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
6867ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ β„™) ∧ Β¬ π‘₯ = 2) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
69 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ β„™) ∧ Β¬ π‘₯ = 2) β†’ π‘₯ ∈ β„™)
70 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ β„™) ∧ Β¬ π‘₯ = 2) β†’ Β¬ π‘₯ = 2)
7170neqned 2945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ β„™) ∧ Β¬ π‘₯ = 2) β†’ π‘₯ β‰  2)
72 eldifsn 4789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘₯ ∈ (β„™ βˆ– {2}) ↔ (π‘₯ ∈ β„™ ∧ π‘₯ β‰  2))
7369, 71, 72sylanbrc 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ β„™) ∧ Β¬ π‘₯ = 2) β†’ π‘₯ ∈ (β„™ βˆ– {2}))
74 oddprm 16747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘₯ ∈ (β„™ βˆ– {2}) β†’ ((π‘₯ βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•)
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ β„™) ∧ Β¬ π‘₯ = 2) β†’ ((π‘₯ βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•)
7675nnnn0d 12536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ β„™) ∧ Β¬ π‘₯ = 2) β†’ ((π‘₯ βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•0)
77 zexpcl 14046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ ((π‘₯ βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ (𝐴↑((π‘₯ βˆ’ 1) / 2)) ∈ β„€)
7868, 76, 77syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ β„™) ∧ Β¬ π‘₯ = 2) β†’ (𝐴↑((π‘₯ βˆ’ 1) / 2)) ∈ β„€)
7978peano2zd 12673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ β„™) ∧ Β¬ π‘₯ = 2) β†’ ((𝐴↑((π‘₯ βˆ’ 1) / 2)) + 1) ∈ β„€)
80 prmnn 16615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ ∈ β„™ β†’ π‘₯ ∈ β„•)
8180ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ β„™) ∧ Β¬ π‘₯ = 2) β†’ π‘₯ ∈ β„•)
8279, 81zmodcld 13861 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ β„™) ∧ Β¬ π‘₯ = 2) β†’ (((𝐴↑((π‘₯ βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod π‘₯) ∈ β„•0)
8382nn0zd 12588 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ β„™) ∧ Β¬ π‘₯ = 2) β†’ (((𝐴↑((π‘₯ βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod π‘₯) ∈ β„€)
84 peano2zm 12609 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴↑((π‘₯ βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod π‘₯) ∈ β„€ β†’ ((((𝐴↑((π‘₯ βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod π‘₯) βˆ’ 1) ∈ β„€)
8583, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ β„™) ∧ Β¬ π‘₯ = 2) β†’ ((((𝐴↑((π‘₯ βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod π‘₯) βˆ’ 1) ∈ β„€)
8666, 85ifclda 4562 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ β„™) β†’ if(π‘₯ = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((π‘₯ βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod π‘₯) βˆ’ 1)) ∈ β„€)
8786zcnd 12671 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ β„™) β†’ if(π‘₯ = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((π‘₯ βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod π‘₯) βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
8887adantlr 711 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) ∧ π‘₯ ∈ β„™) β†’ if(π‘₯ = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((π‘₯ βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod π‘₯) βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
8988exp0d 14109 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) ∧ π‘₯ ∈ β„™) β†’ (if(π‘₯ = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((π‘₯ βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod π‘₯) βˆ’ 1))↑0) = 1)
9061, 89eqtrd 2770 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) ∧ π‘₯ ∈ β„™) β†’ (if(π‘₯ = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((π‘₯ βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod π‘₯) βˆ’ 1))↑(π‘₯ pCnt 𝑁)) = 1)
9190ifeq1da 4558 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ if(π‘₯ ∈ β„™, (if(π‘₯ = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((π‘₯ βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod π‘₯) βˆ’ 1))↑(π‘₯ pCnt 𝑁)), 1) = if(π‘₯ ∈ β„™, 1, 1))
92 ifid 4567 . . . . . . . . . 10 if(π‘₯ ∈ β„™, 1, 1) = 1
9391, 92eqtrdi 2786 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ if(π‘₯ ∈ β„™, (if(π‘₯ = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((π‘₯ βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod π‘₯) βˆ’ 1))↑(π‘₯ pCnt 𝑁)), 1) = 1)
9438, 93eqtrd 2770 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) ∧ π‘₯ ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 1)
9530, 34, 94seqid3 14016 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = 1)
9695oveq1d 7426 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) Β· (πΉβ€˜π‘)) = (1 Β· (πΉβ€˜π‘)))
971adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
982lgsfcl 27044 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0) β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„€)
9967, 97, 7, 98syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„€)
10099, 6ffvelcdmd 7086 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„€)
101100zcnd 12671 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„‚)
102101mullidd 11236 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (1 Β· (πΉβ€˜π‘)) = (πΉβ€˜π‘))
10328, 96, 1023eqtrd 2774 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘))
10420, 103eqtrd 2770 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(absβ€˜π‘)) = (πΉβ€˜π‘))
10518, 104oveq12d 7429 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) Β· (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(absβ€˜π‘))) = (1 Β· (πΉβ€˜π‘)))
1062lgsfval 27041 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (πΉβ€˜π‘) = if(𝑁 ∈ β„™, (if(𝑁 = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) βˆ’ 1))↑(𝑁 pCnt 𝑁)), 1))
1076, 106syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (πΉβ€˜π‘) = if(𝑁 ∈ β„™, (if(𝑁 = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) βˆ’ 1))↑(𝑁 pCnt 𝑁)), 1))
108 iftrue 4533 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„™ β†’ if(𝑁 ∈ β„™, (if(𝑁 = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) βˆ’ 1))↑(𝑁 pCnt 𝑁)), 1) = (if(𝑁 = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) βˆ’ 1))↑(𝑁 pCnt 𝑁)))
109108adantl 480 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ if(𝑁 ∈ β„™, (if(𝑁 = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) βˆ’ 1))↑(𝑁 pCnt 𝑁)), 1) = (if(𝑁 = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) βˆ’ 1))↑(𝑁 pCnt 𝑁)))
1106nncnd 12232 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
111110exp1d 14110 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (𝑁↑1) = 𝑁)
112111oveq2d 7427 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (𝑁 pCnt (𝑁↑1)) = (𝑁 pCnt 𝑁))
113 simpr 483 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ 𝑁 ∈ β„™)
114 pcid 16810 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„™ ∧ 1 ∈ β„€) β†’ (𝑁 pCnt (𝑁↑1)) = 1)
115113, 21, 114sylancl 584 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (𝑁 pCnt (𝑁↑1)) = 1)
116112, 115eqtr3d 2772 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (𝑁 pCnt 𝑁) = 1)
117116oveq2d 7427 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (if(𝑁 = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) βˆ’ 1))↑(𝑁 pCnt 𝑁)) = (if(𝑁 = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) βˆ’ 1))↑1))
118 eqeq1 2734 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (π‘₯ = 2 ↔ 𝑁 = 2))
119 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (π‘₯ βˆ’ 1) = (𝑁 βˆ’ 1))
120119oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((π‘₯ βˆ’ 1) / 2) = ((𝑁 βˆ’ 1) / 2))
121120oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (𝐴↑((π‘₯ βˆ’ 1) / 2)) = (𝐴↑((𝑁 βˆ’ 1) / 2)))
122121oveq1d 7426 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((𝐴↑((π‘₯ βˆ’ 1) / 2)) + 1) = ((𝐴↑((𝑁 βˆ’ 1) / 2)) + 1))
123 id 22 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑁 β†’ π‘₯ = 𝑁)
124122, 123oveq12d 7429 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (((𝐴↑((π‘₯ βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod π‘₯) = (((𝐴↑((𝑁 βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod 𝑁))
125124oveq1d 7426 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((((𝐴↑((π‘₯ βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod π‘₯) βˆ’ 1) = ((((𝐴↑((𝑁 βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) βˆ’ 1))
126118, 125ifbieq2d 4553 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑁 β†’ if(π‘₯ = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((π‘₯ βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod π‘₯) βˆ’ 1)) = if(𝑁 = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) βˆ’ 1)))
127126eleq1d 2816 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (if(π‘₯ = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((π‘₯ βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod π‘₯) βˆ’ 1)) ∈ β„‚ ↔ if(𝑁 = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) βˆ’ 1)) ∈ β„‚))
12887ralrimiva 3144 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„™ if(π‘₯ = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((π‘₯ βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod π‘₯) βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
129127, 128, 113rspcdva 3612 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ if(𝑁 = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
130129exp1d 14110 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (if(𝑁 = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) βˆ’ 1))↑1) = if(𝑁 = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) βˆ’ 1)))
131117, 130eqtrd 2770 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (if(𝑁 = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) βˆ’ 1))↑(𝑁 pCnt 𝑁)) = if(𝑁 = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) βˆ’ 1)))
132107, 109, 1313eqtrd 2774 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (πΉβ€˜π‘) = if(𝑁 = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) βˆ’ 1)))
133105, 102, 1323eqtrd 2774 . 2 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) Β· (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(absβ€˜π‘))) = if(𝑁 = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) βˆ’ 1)))
1344, 9, 1333eqtrd 2774 1 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„™) β†’ (𝐴 /L 𝑁) = if(𝑁 = 2, if(2 βˆ₯ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 βˆ’ 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) βˆ’ 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938   βˆ– cdif 3944  ifcif 4527  {csn 4627  {cpr 4629   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   < clt 11252   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448  -cneg 11449   / cdiv 11875  β„•cn 12216  2c2 12271  7c7 12276  8c8 12277  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  ...cfz 13488   mod cmo 13838  seqcseq 13970  β†‘cexp 14031  abscabs 15185   βˆ₯ cdvds 16201  β„™cprime 16612   pCnt cpc 16773   /L clgs 27033
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-dvds 16202  df-gcd 16440  df-prm 16613  df-phi 16703  df-pc 16774  df-lgs 27034
This theorem is referenced by:  lgsval4lem  27047  lgsval2  27052
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