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Theorem lgsval2lem 27351
Description: Lemma for lgsval2 27357. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
lgsval.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
Assertion
Ref Expression
lgsval2lem ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝐴 /L 𝑁) = if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑛,𝑁
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem lgsval2lem
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmz 16712 . . 3 (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ ℤ)
2 lgsval.1 . . . 4 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
32lgsval 27345 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑁) = if(𝑁 = 0, if((𝐴↑2) = 1, 1, 0), (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁)))))
41, 3sylan2 593 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝐴 /L 𝑁) = if(𝑁 = 0, if((𝐴↑2) = 1, 1, 0), (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁)))))
5 prmnn 16711 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ ℕ)
65adantl 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
76nnne0d 12316 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝑁 ≠ 0)
87neneqd 2945 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → ¬ 𝑁 = 0)
98iffalsed 4536 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → if(𝑁 = 0, if((𝐴↑2) = 1, 1, 0), (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁)))) = (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁))))
106nnnn0d 12587 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
1110nn0ge0d 12590 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 0 ≤ 𝑁)
12 0re 11263 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
136nnred 12281 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℝ)
14 lenlt 11339 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 0))
1512, 13, 14sylancr 587 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 0))
1611, 15mpbid 232 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → ¬ 𝑁 < 0)
1716intnanrd 489 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → ¬ (𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0))
1817iffalsed 4536 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) = 1)
1913, 11absidd 15461 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (abs‘𝑁) = 𝑁)
2019fveq2d 6910 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁)) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))
21 1z 12647 . . . . . . 7 1 ∈ ℤ
22 prmuz2 16733 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
2322adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
24 df-2 12329 . . . . . . . . 9 2 = (1 + 1)
2524fveq2i 6909 . . . . . . . 8 (ℤ‘2) = (ℤ‘(1 + 1))
2623, 25eleqtrdi 2851 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(1 + 1)))
27 seqm1 14060 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) = ((seq1( · , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) · (𝐹𝑁)))
2821, 26, 27sylancr 587 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) = ((seq1( · , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) · (𝐹𝑁)))
29 1t1e1 12428 . . . . . . . . 9 (1 · 1) = 1
3029a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (1 · 1) = 1)
31 uz2m1nn 12965 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
3223, 31syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
33 nnuz 12921 . . . . . . . . 9 ℕ = (ℤ‘1)
3432, 33eleqtrdi 2851 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘1))
35 elfznn 13593 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝑥 ∈ ℕ)
3635adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑥 ∈ ℕ)
372lgsfval 27346 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℕ → (𝐹𝑥) = if(𝑥 ∈ ℙ, (if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1))↑(𝑥 pCnt 𝑁)), 1))
3836, 37syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝐹𝑥) = if(𝑥 ∈ ℙ, (if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1))↑(𝑥 pCnt 𝑁)), 1))
39 elfzelz 13564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
4039zred 12722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝑁 ∈ ℝ)
4140ltm1d 12200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → (𝑁 − 1) < 𝑁)
42 peano2rem 11576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
4340, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
44 elfzle2 13568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝑁 ≤ (𝑁 − 1))
4540, 43, 44lensymd 11412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → ¬ (𝑁 − 1) < 𝑁)
4641, 45pm2.65i 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ¬ 𝑁 ∈ (1...(𝑁 − 1))
47 eleq1 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ↔ 𝑁 ∈ (1...(𝑁 − 1))))
4846, 47mtbiri 327 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑁 → ¬ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1)))
4948con2i 139 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → ¬ 𝑥 = 𝑁)
5049ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → ¬ 𝑥 = 𝑁)
51 prmuz2 16733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℙ → 𝑥 ∈ (ℤ‘2))
52 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℙ)
53 dvdsprm 16740 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝑥𝑁𝑥 = 𝑁))
5451, 52, 53syl2an2 686 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → (𝑥𝑁𝑥 = 𝑁))
5550, 54mtbird 325 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → ¬ 𝑥𝑁)
56 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → 𝑥 ∈ ℙ)
576ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
58 pceq0 16909 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑥 pCnt 𝑁) = 0 ↔ ¬ 𝑥𝑁))
5956, 57, 58syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → ((𝑥 pCnt 𝑁) = 0 ↔ ¬ 𝑥𝑁))
6055, 59mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → (𝑥 pCnt 𝑁) = 0)
6160oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → (if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1))↑(𝑥 pCnt 𝑁)) = (if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1))↑0))
62 0z 12624 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ ℤ
63 neg1z 12653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 -1 ∈ ℤ
6421, 63ifcli 4573 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) ∈ ℤ
6562, 64ifcli 4573 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) ∈ ℤ
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 = 2) → if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) ∈ ℤ)
67 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℤ)
6867ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑥 = 2) → 𝐴 ∈ ℤ)
69 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑥 = 2) → 𝑥 ∈ ℙ)
70 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑥 = 2) → ¬ 𝑥 = 2)
7170neqned 2947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑥 = 2) → 𝑥 ≠ 2)
72 eldifsn 4786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ≠ 2))
7369, 71, 72sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑥 = 2) → 𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}))
74 oddprm 16848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑥 − 1) / 2) ∈ ℕ)
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑥 = 2) → ((𝑥 − 1) / 2) ∈ ℕ)
7675nnnn0d 12587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑥 = 2) → ((𝑥 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
77 zexpcl 14117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝑥 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
7868, 76, 77syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑥 = 2) → (𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
7978peano2zd 12725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑥 = 2) → ((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) ∈ ℤ)
80 prmnn 16711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℙ → 𝑥 ∈ ℕ)
8180ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑥 = 2) → 𝑥 ∈ ℕ)
8279, 81zmodcld 13932 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑥 = 2) → (((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) ∈ ℕ0)
8382nn0zd 12639 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑥 = 2) → (((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) ∈ ℤ)
84 peano2zm 12660 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) ∈ ℤ → ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1) ∈ ℤ)
8583, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑥 = 2) → ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1) ∈ ℤ)
8666, 85ifclda 4561 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1)) ∈ ℤ)
8786zcnd 12723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1)) ∈ ℂ)
8887adantlr 715 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1)) ∈ ℂ)
8988exp0d 14180 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → (if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1))↑0) = 1)
9061, 89eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → (if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1))↑(𝑥 pCnt 𝑁)) = 1)
9190ifeq1da 4557 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → if(𝑥 ∈ ℙ, (if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1))↑(𝑥 pCnt 𝑁)), 1) = if(𝑥 ∈ ℙ, 1, 1))
92 ifid 4566 . . . . . . . . . 10 if(𝑥 ∈ ℙ, 1, 1) = 1
9391, 92eqtrdi 2793 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → if(𝑥 ∈ ℙ, (if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1))↑(𝑥 pCnt 𝑁)), 1) = 1)
9438, 93eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝐹𝑥) = 1)
9530, 34, 94seqid3 14087 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) = 1)
9695oveq1d 7446 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → ((seq1( · , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) · (𝐹𝑁)) = (1 · (𝐹𝑁)))
971adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
982lgsfcl 27349 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝐹:ℕ⟶ℤ)
9967, 97, 7, 98syl3anc 1373 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝐹:ℕ⟶ℤ)
10099, 6ffvelcdmd 7105 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝐹𝑁) ∈ ℤ)
101100zcnd 12723 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝐹𝑁) ∈ ℂ)
102101mullidd 11279 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (1 · (𝐹𝑁)) = (𝐹𝑁))
10328, 96, 1023eqtrd 2781 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹𝑁))
10420, 103eqtrd 2777 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁)) = (𝐹𝑁))
10518, 104oveq12d 7449 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁))) = (1 · (𝐹𝑁)))
1062lgsfval 27346 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐹𝑁) = if(𝑁 ∈ ℙ, (if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1))↑(𝑁 pCnt 𝑁)), 1))
1076, 106syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝐹𝑁) = if(𝑁 ∈ ℙ, (if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1))↑(𝑁 pCnt 𝑁)), 1))
108 iftrue 4531 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℙ → if(𝑁 ∈ ℙ, (if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1))↑(𝑁 pCnt 𝑁)), 1) = (if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1))↑(𝑁 pCnt 𝑁)))
109108adantl 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → if(𝑁 ∈ ℙ, (if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1))↑(𝑁 pCnt 𝑁)), 1) = (if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1))↑(𝑁 pCnt 𝑁)))
1106nncnd 12282 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℂ)
111110exp1d 14181 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝑁↑1) = 𝑁)
112111oveq2d 7447 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝑁 pCnt (𝑁↑1)) = (𝑁 pCnt 𝑁))
113 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℙ)
114 pcid 16911 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑁 pCnt (𝑁↑1)) = 1)
115113, 21, 114sylancl 586 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝑁 pCnt (𝑁↑1)) = 1)
116112, 115eqtr3d 2779 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝑁 pCnt 𝑁) = 1)
117116oveq2d 7447 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1))↑(𝑁 pCnt 𝑁)) = (if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1))↑1))
118 eqeq1 2741 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 = 2 ↔ 𝑁 = 2))
119 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 − 1) = (𝑁 − 1))
120119oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 − 1) / 2) = ((𝑁 − 1) / 2))
121120oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑁 → (𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) = (𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)))
122121oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑁 → ((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) = ((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1))
123 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑁𝑥 = 𝑁)
124122, 123oveq12d 7449 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑁 → (((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) = (((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁))
125124oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑁 → ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1) = ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1))
126118, 125ifbieq2d 4552 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑁 → if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1)) = if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1)))
127126eleq1d 2826 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → (if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1)) ∈ ℂ ↔ if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1)) ∈ ℂ))
12887ralrimiva 3146 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → ∀𝑥 ∈ ℙ if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1)) ∈ ℂ)
129127, 128, 113rspcdva 3623 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1)) ∈ ℂ)
130129exp1d 14181 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1))↑1) = if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1)))
131117, 130eqtrd 2777 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1))↑(𝑁 pCnt 𝑁)) = if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1)))
132107, 109, 1313eqtrd 2781 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝐹𝑁) = if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1)))
133105, 102, 1323eqtrd 2781 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁))) = if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1)))
1344, 9, 1333eqtrd 2781 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝐴 /L 𝑁) = if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  cdif 3948  ifcif 4525  {csn 4626  {cpr 4628   class class class wbr 5143  cmpt 5225  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  -cneg 11493   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  7c7 12326  8c8 12327  0cn0 12526  cz 12613  cuz 12878  ...cfz 13547   mod cmo 13909  seqcseq 14042  cexp 14102  abscabs 15273  cdvds 16290  cprime 16708   pCnt cpc 16874   /L clgs 27338
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-prm 16709  df-phi 16803  df-pc 16875  df-lgs 27339
This theorem is referenced by:  lgsval4lem  27352  lgsval2  27357
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