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Theorem lgsval2lem 27270

Description: Lemma for lgsval2 27276. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
lgsval.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))

**Assertion**
Ref	Expression
lgsval2lem	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝐴 /_L 𝑁) = if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1)))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑛 𝑛,𝑁 Allowed substitution hint: 𝐹(𝑛)

Proof of Theorem lgsval2lem Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmz 16644	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ ℤ)
2		lgsval.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
3	2	lgsval 27264	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /_L 𝑁) = if(𝑁 = 0, if((𝐴↑2) = 1, 1, 0), (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁)))))
4	1, 3	sylan2 594	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝐴 /_L 𝑁) = if(𝑁 = 0, if((𝐴↑2) = 1, 1, 0), (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁)))))
5		prmnn 16643	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ ℕ)
6	5	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
7	6	nnne0d 12227	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝑁 ≠ 0)
8	7	neneqd 2937	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → ¬ 𝑁 = 0)
9	8	iffalsed 4477	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → if(𝑁 = 0, if((𝐴↑2) = 1, 1, 0), (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁)))) = (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁))))
10	6	nnnn0d 12498	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
11	10	nn0ge0d 12501	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 0 ≤ 𝑁)
12		0re 11146	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
13	6	nnred 12189	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℝ)
14		lenlt 11224	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 0))
15	12, 13, 14	sylancr 588	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 0))
16	11, 15	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → ¬ 𝑁 < 0)
17	16	intnanrd 489	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → ¬ (𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0))
18	17	iffalsed 4477	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) = 1)
19	13, 11	absidd 15385	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (abs‘𝑁) = 𝑁)
20	19	fveq2d 6844	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁)) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))
21		1z 12557	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℤ
22		prmuz2 16665	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2))
23	22	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2))
24		df-2 12244	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 = (1 + 1)
25	24	fveq2i 6843	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ_≥‘2) = (ℤ_≥‘(1 + 1))
26	23, 25	eleqtrdi 2846	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)))
27		seqm1 13981	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) = ((seq1( · , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) · (𝐹‘𝑁)))
28	21, 26, 27	sylancr 588	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) = ((seq1( · , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) · (𝐹‘𝑁)))
29		1t1e1 12338	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · 1) = 1
30	29	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (1 · 1) = 1)
31		uz2m1nn 12873	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
32	23, 31	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
33		nnuz 12827	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
34	32, 33	eleqtrdi 2846	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ_≥‘1))
35		elfznn 13507	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝑥 ∈ ℕ)
36	35	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑥 ∈ ℕ)
37	2	lgsfval 27265	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 ∈ ℙ, (if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1))↑(𝑥 pCnt 𝑁)), 1))
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 ∈ ℙ, (if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1))↑(𝑥 pCnt 𝑁)), 1))
39		elfzelz 13478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
40	39	zred 12633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝑁 ∈ ℝ)
41	40	ltm1d 12088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → (𝑁 − 1) < 𝑁)
42		peano2rem 11461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
43	40, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
44		elfzle2 13482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝑁 ≤ (𝑁 − 1))
45	40, 43, 44	lensymd 11297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → ¬ (𝑁 − 1) < 𝑁)
46	41, 45	pm2.65i 194	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ¬ 𝑁 ∈ (1...(𝑁 − 1))
47		eleq1 2824	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ↔ 𝑁 ∈ (1...(𝑁 − 1))))
48	46, 47	mtbiri 327	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ¬ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1)))
49	48	con2i 139	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → ¬ 𝑥 = 𝑁)
50	49	ad2antlr 728	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → ¬ 𝑥 = 𝑁)
51		prmuz2 16665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℙ → 𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2))
52		simpllr 776	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℙ)
53		dvdsprm 16673	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝑥 ∥ 𝑁 ↔ 𝑥 = 𝑁))
54	51, 52, 53	syl2an2 687	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → (𝑥 ∥ 𝑁 ↔ 𝑥 = 𝑁))
55	50, 54	mtbird 325	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁)
56		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → 𝑥 ∈ ℙ)
57	6	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
58		pceq0 16842	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑥 pCnt 𝑁) = 0 ↔ ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
59	56, 57, 58	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → ((𝑥 pCnt 𝑁) = 0 ↔ ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
60	55, 59	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → (𝑥 pCnt 𝑁) = 0)
61	60	oveq2d 7383	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → (if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1))↑(𝑥 pCnt 𝑁)) = (if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1))↑0))
62		0z 12535	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 ∈ ℤ
63		neg1z 12563	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ -1 ∈ ℤ
64	21, 63	ifcli 4514	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) ∈ ℤ
65	62, 64	ifcli 4514	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) ∈ ℤ
66	65	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 = 2) → if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) ∈ ℤ)
67		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℤ)
68	67	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑥 = 2) → 𝐴 ∈ ℤ)
69		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑥 = 2) → 𝑥 ∈ ℙ)
70		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑥 = 2) → ¬ 𝑥 = 2)
71	70	neqned 2939	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑥 = 2) → 𝑥 ≠ 2)
72		eldifsn 4731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ≠ 2))
73	69, 71, 72	sylanbrc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑥 = 2) → 𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}))
74		oddprm 16781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑥 − 1) / 2) ∈ ℕ)
75	73, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑥 = 2) → ((𝑥 − 1) / 2) ∈ ℕ)
76	75	nnnn0d 12498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑥 = 2) → ((𝑥 − 1) / 2) ∈ ℕ₀)
77		zexpcl 14038	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝑥 − 1) / 2) ∈ ℕ₀) → (𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
78	68, 76, 77	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑥 = 2) → (𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
79	78	peano2zd 12636	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑥 = 2) → ((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) ∈ ℤ)
80		prmnn 16643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ ℙ → 𝑥 ∈ ℕ)
81	80	ad2antlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑥 = 2) → 𝑥 ∈ ℕ)
82	79, 81	zmodcld 13851	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑥 = 2) → (((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) ∈ ℕ₀)
83	82	nn0zd 12549	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑥 = 2) → (((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) ∈ ℤ)
84		peano2zm 12570	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) ∈ ℤ → ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1) ∈ ℤ)
85	83, 84	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑥 = 2) → ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1) ∈ ℤ)
86	66, 85	ifclda 4502	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1)) ∈ ℤ)
87	86	zcnd 12634	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1)) ∈ ℂ)
88	87	adantlr 716	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1)) ∈ ℂ)
89	88	exp0d 14102	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → (if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1))↑0) = 1)
90	61, 89	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → (if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1))↑(𝑥 pCnt 𝑁)) = 1)
91	90	ifeq1da 4498	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → if(𝑥 ∈ ℙ, (if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1))↑(𝑥 pCnt 𝑁)), 1) = if(𝑥 ∈ ℙ, 1, 1))
92		ifid 4507	. . . . . . . . . 10 ⊢ if(𝑥 ∈ ℙ, 1, 1) = 1
93	91, 92	eqtrdi 2787	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → if(𝑥 ∈ ℙ, (if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1))↑(𝑥 pCnt 𝑁)), 1) = 1)
94	38, 93	eqtrd 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘𝑥) = 1)
95	30, 34, 94	seqid3 14008	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) = 1)
96	95	oveq1d 7382	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → ((seq1( · , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) · (𝐹‘𝑁)) = (1 · (𝐹‘𝑁)))
97	1	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
98	2	lgsfcl 27268	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝐹:ℕ⟶ℤ)
99	67, 97, 7, 98	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝐹:ℕ⟶ℤ)
100	99, 6	ffvelcdmd 7037	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℤ)
101	100	zcnd 12634	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℂ)
102	101	mullidd 11163	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (1 · (𝐹‘𝑁)) = (𝐹‘𝑁))
103	28, 96, 102	3eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹‘𝑁))
104	20, 103	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁)) = (𝐹‘𝑁))
105	18, 104	oveq12d 7385	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁))) = (1 · (𝐹‘𝑁)))
106	2	lgsfval 27265	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑁) = if(𝑁 ∈ ℙ, (if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1))↑(𝑁 pCnt 𝑁)), 1))
107	6, 106	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝐹‘𝑁) = if(𝑁 ∈ ℙ, (if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1))↑(𝑁 pCnt 𝑁)), 1))
108		iftrue 4472	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → if(𝑁 ∈ ℙ, (if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1))↑(𝑁 pCnt 𝑁)), 1) = (if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1))↑(𝑁 pCnt 𝑁)))
109	108	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → if(𝑁 ∈ ℙ, (if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1))↑(𝑁 pCnt 𝑁)), 1) = (if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1))↑(𝑁 pCnt 𝑁)))
110	6	nncnd 12190	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℂ)
111	110	exp1d 14103	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝑁↑1) = 𝑁)
112	111	oveq2d 7383	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝑁 pCnt (𝑁↑1)) = (𝑁 pCnt 𝑁))
113		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℙ)
114		pcid 16844	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑁 pCnt (𝑁↑1)) = 1)
115	113, 21, 114	sylancl 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝑁 pCnt (𝑁↑1)) = 1)
116	112, 115	eqtr3d 2773	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝑁 pCnt 𝑁) = 1)
117	116	oveq2d 7383	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1))↑(𝑁 pCnt 𝑁)) = (if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1))↑1))
118		eqeq1 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 = 2 ↔ 𝑁 = 2))
119		oveq1 7374	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 − 1) = (𝑁 − 1))
120	119	oveq1d 7382	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 − 1) / 2) = ((𝑁 − 1) / 2))
121	120	oveq2d 7383	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) = (𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)))
122	121	oveq1d 7382	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) = ((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1))
123		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → 𝑥 = 𝑁)
124	122, 123	oveq12d 7385	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) = (((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁))
125	124	oveq1d 7382	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1) = ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1))
126	118, 125	ifbieq2d 4493	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1)) = if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1)))
127	126	eleq1d 2821	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1)) ∈ ℂ ↔ if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1)) ∈ ℂ))
128	87	ralrimiva 3129	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → ∀𝑥 ∈ ℙ if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1)) ∈ ℂ)
129	127, 128, 113	rspcdva 3565	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1)) ∈ ℂ)
130	129	exp1d 14103	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1))↑1) = if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1)))
131	117, 130	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1))↑(𝑁 pCnt 𝑁)) = if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1)))
132	107, 109, 131	3eqtrd 2775	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝐹‘𝑁) = if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1)))
133	105, 102, 132	3eqtrd 2775	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁))) = if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1)))
134	4, 9, 133	3eqtrd 2775	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝐴 /_L 𝑁) = if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 = wceq 1542 ∈ wcel 2114 ≠ wne 2932 ∖ cdif 3886 ifcif 4466 {csn 4567 {cpr 4569 class class class wbr 5085 ↦ cmpt 5166 ⟶wf 6494 ‘cfv 6498 (class class class)co 7367 ℂcc 11036 ℝcr 11037 0cc0 11038 1c1 11039 + caddc 11041 · cmul 11043 < clt 11179 ≤ cle 11180 − cmin 11377 -cneg 11378 / cdiv 11807 ℕcn 12174 2c2 12236 7c7 12241 8c8 12242 ℕ₀cn0 12437 ℤcz 12524 ℤ_≥cuz 12788 ...cfz 13461 mod cmo 13828 seqcseq 13963 ↑cexp 14023 abscabs 15196 ∥ cdvds 16221 ℙcprime 16640 pCnt cpc 16807 /_L clgs 27257

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1912 ax-6 1969 ax-7 2010 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2147 ax-11 2163 ax-12 2185 ax-ext 2708 ax-rep 5212 ax-sep 5231 ax-nul 5241 ax-pow 5307 ax-pr 5375 ax-un 7689 ax-cnex 11094 ax-resscn 11095 ax-1cn 11096 ax-icn 11097 ax-addcl 11098 ax-addrcl 11099 ax-mulcl 11100 ax-mulrcl 11101 ax-mulcom 11102 ax-addass 11103 ax-mulass 11104 ax-distr 11105 ax-i2m1 11106 ax-1ne0 11107 ax-1rid 11108 ax-rnegex 11109 ax-rrecex 11110 ax-cnre 11111 ax-pre-lttri 11112 ax-pre-lttrn 11113 ax-pre-ltadd 11114 ax-pre-mulgt0 11115 ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2069 df-mo 2539 df-eu 2569 df-clab 2715 df-cleq 2728 df-clel 2811 df-nfc 2885 df-ne 2933 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3062 df-rmo 3342 df-reu 3343 df-rab 3390 df-v 3431 df-sbc 3729 df-csb 3838 df-dif 3892 df-un 3894 df-in 3896 df-ss 3906 df-pss 3909 df-nul 4274 df-if 4467 df-pw 4543 df-sn 4568 df-pr 4570 df-op 4574 df-uni 4851 df-int 4890 df-iun 4935 df-br 5086 df-opab 5148 df-mpt 5167 df-tr 5193 df-id 5526 df-eprel 5531 df-po 5539 df-so 5540 df-fr 5584 df-we 5586 df-xp 5637 df-rel 5638 df-cnv 5639 df-co 5640 df-dm 5641 df-rn 5642 df-res 5643 df-ima 5644 df-pred 6265 df-ord 6326 df-on 6327 df-lim 6328 df-suc 6329 df-iota 6454 df-fun 6500 df-fn 6501 df-f 6502 df-f1 6503 df-fo 6504 df-f1o 6505 df-fv 6506 df-riota 7324 df-ov 7370 df-oprab 7371 df-mpo 7372 df-om 7818 df-1st 7942 df-2nd 7943 df-frecs 8231 df-wrecs 8262 df-recs 8311 df-rdg 8349 df-1o 8405 df-2o 8406 df-oadd 8409 df-er 8643 df-en 8894 df-dom 8895 df-sdom 8896 df-fin 8897 df-sup 9355 df-inf 9356 df-dju 9825 df-card 9863 df-pnf 11181 df-mnf 11182 df-xr 11183 df-ltxr 11184 df-le 11185 df-sub 11379 df-neg 11380 df-div 11808 df-nn 12175 df-2 12244 df-3 12245 df-n0 12438 df-xnn0 12511 df-z 12525 df-uz 12789 df-q 12899 df-rp 12943 df-fz 13462 df-fzo 13609 df-fl 13751 df-mod 13829 df-seq 13964 df-exp 14024 df-hash 14293 df-cj 15061 df-re 15062 df-im 15063 df-sqrt 15197 df-abs 15198 df-dvds 16222 df-gcd 16464 df-prm 16641 df-phi 16736 df-pc 16808 df-lgs 27258

This theorem is referenced by: lgsval4lem 27271 lgsval2 27276

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