MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsval 26804
Description: Value of the Legendre symbol at an arbitrary integer. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
lgsval.1 ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (if(๐‘› = 2, if(2 โˆฅ ๐ด, 0, if((๐ด mod 8) โˆˆ {1, 7}, 1, -1)), ((((๐ดโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘›) โˆ’ 1))โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1))
Assertion
Ref Expression
lgsval ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด /L ๐‘) = if(๐‘ = 0, if((๐ดโ†‘2) = 1, 1, 0), (if((๐‘ < 0 โˆง ๐ด < 0), -1, 1) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(absโ€˜๐‘)))))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘›   ๐‘›,๐‘
Allowed substitution hint:   ๐น(๐‘›)

Proof of Theorem lgsval
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 486 . . . 4 ((๐‘Ž = ๐ด โˆง ๐‘š = ๐‘) โ†’ ๐‘š = ๐‘)
21eqeq1d 2735 . . 3 ((๐‘Ž = ๐ด โˆง ๐‘š = ๐‘) โ†’ (๐‘š = 0 โ†” ๐‘ = 0))
3 simpl 484 . . . . . 6 ((๐‘Ž = ๐ด โˆง ๐‘š = ๐‘) โ†’ ๐‘Ž = ๐ด)
43oveq1d 7424 . . . . 5 ((๐‘Ž = ๐ด โˆง ๐‘š = ๐‘) โ†’ (๐‘Žโ†‘2) = (๐ดโ†‘2))
54eqeq1d 2735 . . . 4 ((๐‘Ž = ๐ด โˆง ๐‘š = ๐‘) โ†’ ((๐‘Žโ†‘2) = 1 โ†” (๐ดโ†‘2) = 1))
65ifbid 4552 . . 3 ((๐‘Ž = ๐ด โˆง ๐‘š = ๐‘) โ†’ if((๐‘Žโ†‘2) = 1, 1, 0) = if((๐ดโ†‘2) = 1, 1, 0))
71breq1d 5159 . . . . . 6 ((๐‘Ž = ๐ด โˆง ๐‘š = ๐‘) โ†’ (๐‘š < 0 โ†” ๐‘ < 0))
83breq1d 5159 . . . . . 6 ((๐‘Ž = ๐ด โˆง ๐‘š = ๐‘) โ†’ (๐‘Ž < 0 โ†” ๐ด < 0))
97, 8anbi12d 632 . . . . 5 ((๐‘Ž = ๐ด โˆง ๐‘š = ๐‘) โ†’ ((๐‘š < 0 โˆง ๐‘Ž < 0) โ†” (๐‘ < 0 โˆง ๐ด < 0)))
109ifbid 4552 . . . 4 ((๐‘Ž = ๐ด โˆง ๐‘š = ๐‘) โ†’ if((๐‘š < 0 โˆง ๐‘Ž < 0), -1, 1) = if((๐‘ < 0 โˆง ๐ด < 0), -1, 1))
113breq2d 5161 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘Ž = ๐ด โˆง ๐‘š = ๐‘) โ†’ (2 โˆฅ ๐‘Ž โ†” 2 โˆฅ ๐ด))
123oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘Ž = ๐ด โˆง ๐‘š = ๐‘) โ†’ (๐‘Ž mod 8) = (๐ด mod 8))
1312eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘Ž = ๐ด โˆง ๐‘š = ๐‘) โ†’ ((๐‘Ž mod 8) โˆˆ {1, 7} โ†” (๐ด mod 8) โˆˆ {1, 7}))
1413ifbid 4552 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘Ž = ๐ด โˆง ๐‘š = ๐‘) โ†’ if((๐‘Ž mod 8) โˆˆ {1, 7}, 1, -1) = if((๐ด mod 8) โˆˆ {1, 7}, 1, -1))
1511, 14ifbieq2d 4555 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘Ž = ๐ด โˆง ๐‘š = ๐‘) โ†’ if(2 โˆฅ ๐‘Ž, 0, if((๐‘Ž mod 8) โˆˆ {1, 7}, 1, -1)) = if(2 โˆฅ ๐ด, 0, if((๐ด mod 8) โˆˆ {1, 7}, 1, -1)))
163oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘Ž = ๐ด โˆง ๐‘š = ๐‘) โ†’ (๐‘Žโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) = (๐ดโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)))
1716oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘Ž = ๐ด โˆง ๐‘š = ๐‘) โ†’ ((๐‘Žโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1) = ((๐ดโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1))
1817oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘Ž = ๐ด โˆง ๐‘š = ๐‘) โ†’ (((๐‘Žโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘›) = (((๐ดโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘›))
1918oveq1d 7424 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘Ž = ๐ด โˆง ๐‘š = ๐‘) โ†’ ((((๐‘Žโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘›) โˆ’ 1) = ((((๐ดโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘›) โˆ’ 1))
2015, 19ifeq12d 4550 . . . . . . . . . 10 ((๐‘Ž = ๐ด โˆง ๐‘š = ๐‘) โ†’ if(๐‘› = 2, if(2 โˆฅ ๐‘Ž, 0, if((๐‘Ž mod 8) โˆˆ {1, 7}, 1, -1)), ((((๐‘Žโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘›) โˆ’ 1)) = if(๐‘› = 2, if(2 โˆฅ ๐ด, 0, if((๐ด mod 8) โˆˆ {1, 7}, 1, -1)), ((((๐ดโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘›) โˆ’ 1)))
211oveq2d 7425 . . . . . . . . . 10 ((๐‘Ž = ๐ด โˆง ๐‘š = ๐‘) โ†’ (๐‘› pCnt ๐‘š) = (๐‘› pCnt ๐‘))
2220, 21oveq12d 7427 . . . . . . . . 9 ((๐‘Ž = ๐ด โˆง ๐‘š = ๐‘) โ†’ (if(๐‘› = 2, if(2 โˆฅ ๐‘Ž, 0, if((๐‘Ž mod 8) โˆˆ {1, 7}, 1, -1)), ((((๐‘Žโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘›) โˆ’ 1))โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘š)) = (if(๐‘› = 2, if(2 โˆฅ ๐ด, 0, if((๐ด mod 8) โˆˆ {1, 7}, 1, -1)), ((((๐ดโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘›) โˆ’ 1))โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)))
2322ifeq1d 4548 . . . . . . . 8 ((๐‘Ž = ๐ด โˆง ๐‘š = ๐‘) โ†’ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (if(๐‘› = 2, if(2 โˆฅ ๐‘Ž, 0, if((๐‘Ž mod 8) โˆˆ {1, 7}, 1, -1)), ((((๐‘Žโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘›) โˆ’ 1))โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘š)), 1) = if(๐‘› โˆˆ โ„™, (if(๐‘› = 2, if(2 โˆฅ ๐ด, 0, if((๐ด mod 8) โˆˆ {1, 7}, 1, -1)), ((((๐ดโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘›) โˆ’ 1))โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1))
2423mpteq2dv 5251 . . . . . . 7 ((๐‘Ž = ๐ด โˆง ๐‘š = ๐‘) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (if(๐‘› = 2, if(2 โˆฅ ๐‘Ž, 0, if((๐‘Ž mod 8) โˆˆ {1, 7}, 1, -1)), ((((๐‘Žโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘›) โˆ’ 1))โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘š)), 1)) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (if(๐‘› = 2, if(2 โˆฅ ๐ด, 0, if((๐ด mod 8) โˆˆ {1, 7}, 1, -1)), ((((๐ดโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘›) โˆ’ 1))โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1)))
25 lgsval.1 . . . . . . 7 ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (if(๐‘› = 2, if(2 โˆฅ ๐ด, 0, if((๐ด mod 8) โˆˆ {1, 7}, 1, -1)), ((((๐ดโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘›) โˆ’ 1))โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1))
2624, 25eqtr4di 2791 . . . . . 6 ((๐‘Ž = ๐ด โˆง ๐‘š = ๐‘) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (if(๐‘› = 2, if(2 โˆฅ ๐‘Ž, 0, if((๐‘Ž mod 8) โˆˆ {1, 7}, 1, -1)), ((((๐‘Žโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘›) โˆ’ 1))โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘š)), 1)) = ๐น)
2726seqeq3d 13974 . . . . 5 ((๐‘Ž = ๐ด โˆง ๐‘š = ๐‘) โ†’ seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (if(๐‘› = 2, if(2 โˆฅ ๐‘Ž, 0, if((๐‘Ž mod 8) โˆˆ {1, 7}, 1, -1)), ((((๐‘Žโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘›) โˆ’ 1))โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘š)), 1))) = seq1( ยท , ๐น))
281fveq2d 6896 . . . . 5 ((๐‘Ž = ๐ด โˆง ๐‘š = ๐‘) โ†’ (absโ€˜๐‘š) = (absโ€˜๐‘))
2927, 28fveq12d 6899 . . . 4 ((๐‘Ž = ๐ด โˆง ๐‘š = ๐‘) โ†’ (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (if(๐‘› = 2, if(2 โˆฅ ๐‘Ž, 0, if((๐‘Ž mod 8) โˆˆ {1, 7}, 1, -1)), ((((๐‘Žโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘›) โˆ’ 1))โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘š)), 1)))โ€˜(absโ€˜๐‘š)) = (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(absโ€˜๐‘)))
3010, 29oveq12d 7427 . . 3 ((๐‘Ž = ๐ด โˆง ๐‘š = ๐‘) โ†’ (if((๐‘š < 0 โˆง ๐‘Ž < 0), -1, 1) ยท (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (if(๐‘› = 2, if(2 โˆฅ ๐‘Ž, 0, if((๐‘Ž mod 8) โˆˆ {1, 7}, 1, -1)), ((((๐‘Žโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘›) โˆ’ 1))โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘š)), 1)))โ€˜(absโ€˜๐‘š))) = (if((๐‘ < 0 โˆง ๐ด < 0), -1, 1) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(absโ€˜๐‘))))
312, 6, 30ifbieq12d 4557 . 2 ((๐‘Ž = ๐ด โˆง ๐‘š = ๐‘) โ†’ if(๐‘š = 0, if((๐‘Žโ†‘2) = 1, 1, 0), (if((๐‘š < 0 โˆง ๐‘Ž < 0), -1, 1) ยท (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (if(๐‘› = 2, if(2 โˆฅ ๐‘Ž, 0, if((๐‘Ž mod 8) โˆˆ {1, 7}, 1, -1)), ((((๐‘Žโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘›) โˆ’ 1))โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘š)), 1)))โ€˜(absโ€˜๐‘š)))) = if(๐‘ = 0, if((๐ดโ†‘2) = 1, 1, 0), (if((๐‘ < 0 โˆง ๐ด < 0), -1, 1) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(absโ€˜๐‘)))))
32 df-lgs 26798 . 2 /L = (๐‘Ž โˆˆ โ„ค, ๐‘š โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘š = 0, if((๐‘Žโ†‘2) = 1, 1, 0), (if((๐‘š < 0 โˆง ๐‘Ž < 0), -1, 1) ยท (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (if(๐‘› = 2, if(2 โˆฅ ๐‘Ž, 0, if((๐‘Ž mod 8) โˆˆ {1, 7}, 1, -1)), ((((๐‘Žโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘›) โˆ’ 1))โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘š)), 1)))โ€˜(absโ€˜๐‘š)))))
33 1nn0 12488 . . . . 5 1 โˆˆ โ„•0
34 0nn0 12487 . . . . 5 0 โˆˆ โ„•0
3533, 34ifcli 4576 . . . 4 if((๐ดโ†‘2) = 1, 1, 0) โˆˆ โ„•0
3635elexi 3494 . . 3 if((๐ดโ†‘2) = 1, 1, 0) โˆˆ V
37 ovex 7442 . . 3 (if((๐‘ < 0 โˆง ๐ด < 0), -1, 1) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(absโ€˜๐‘))) โˆˆ V
3836, 37ifex 4579 . 2 if(๐‘ = 0, if((๐ดโ†‘2) = 1, 1, 0), (if((๐‘ < 0 โˆง ๐ด < 0), -1, 1) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(absโ€˜๐‘)))) โˆˆ V
3931, 32, 38ovmpoa 7563 1 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด /L ๐‘) = if(๐‘ = 0, if((๐ดโ†‘2) = 1, 1, 0), (if((๐‘ < 0 โˆง ๐ด < 0), -1, 1) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(absโ€˜๐‘)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  ifcif 4529  {cpr 4631   class class class wbr 5149   โ†ฆ cmpt 5232  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115   < clt 11248   โˆ’ cmin 11444  -cneg 11445   / cdiv 11871  โ„•cn 12212  2c2 12267  7c7 12272  8c8 12273  โ„•0cn0 12472  โ„คcz 12558   mod cmo 13834  seqcseq 13966  โ†‘cexp 14027  abscabs 15181   โˆฅ cdvds 16197  โ„™cprime 16608   pCnt cpc 16769   /L clgs 26797
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-mulcl 11172  ax-i2m1 11178
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-nn 12213  df-n0 12473  df-seq 13967  df-lgs 26798
This theorem is referenced by:  lgscllem  26807  lgsval2lem  26810  lgs0  26813  lgsval4  26820
  Copyright terms: Public domain W3C validator