MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsval 26665
Description: Value of the Legendre symbol at an arbitrary integer. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
lgsval.1 ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (if(๐‘› = 2, if(2 โˆฅ ๐ด, 0, if((๐ด mod 8) โˆˆ {1, 7}, 1, -1)), ((((๐ดโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘›) โˆ’ 1))โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1))
Assertion
Ref Expression
lgsval ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด /L ๐‘) = if(๐‘ = 0, if((๐ดโ†‘2) = 1, 1, 0), (if((๐‘ < 0 โˆง ๐ด < 0), -1, 1) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(absโ€˜๐‘)))))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘›   ๐‘›,๐‘
Allowed substitution hint:   ๐น(๐‘›)

Proof of Theorem lgsval
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 486 . . . 4 ((๐‘Ž = ๐ด โˆง ๐‘š = ๐‘) โ†’ ๐‘š = ๐‘)
21eqeq1d 2739 . . 3 ((๐‘Ž = ๐ด โˆง ๐‘š = ๐‘) โ†’ (๐‘š = 0 โ†” ๐‘ = 0))
3 simpl 484 . . . . . 6 ((๐‘Ž = ๐ด โˆง ๐‘š = ๐‘) โ†’ ๐‘Ž = ๐ด)
43oveq1d 7377 . . . . 5 ((๐‘Ž = ๐ด โˆง ๐‘š = ๐‘) โ†’ (๐‘Žโ†‘2) = (๐ดโ†‘2))
54eqeq1d 2739 . . . 4 ((๐‘Ž = ๐ด โˆง ๐‘š = ๐‘) โ†’ ((๐‘Žโ†‘2) = 1 โ†” (๐ดโ†‘2) = 1))
65ifbid 4514 . . 3 ((๐‘Ž = ๐ด โˆง ๐‘š = ๐‘) โ†’ if((๐‘Žโ†‘2) = 1, 1, 0) = if((๐ดโ†‘2) = 1, 1, 0))
71breq1d 5120 . . . . . 6 ((๐‘Ž = ๐ด โˆง ๐‘š = ๐‘) โ†’ (๐‘š < 0 โ†” ๐‘ < 0))
83breq1d 5120 . . . . . 6 ((๐‘Ž = ๐ด โˆง ๐‘š = ๐‘) โ†’ (๐‘Ž < 0 โ†” ๐ด < 0))
97, 8anbi12d 632 . . . . 5 ((๐‘Ž = ๐ด โˆง ๐‘š = ๐‘) โ†’ ((๐‘š < 0 โˆง ๐‘Ž < 0) โ†” (๐‘ < 0 โˆง ๐ด < 0)))
109ifbid 4514 . . . 4 ((๐‘Ž = ๐ด โˆง ๐‘š = ๐‘) โ†’ if((๐‘š < 0 โˆง ๐‘Ž < 0), -1, 1) = if((๐‘ < 0 โˆง ๐ด < 0), -1, 1))
113breq2d 5122 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘Ž = ๐ด โˆง ๐‘š = ๐‘) โ†’ (2 โˆฅ ๐‘Ž โ†” 2 โˆฅ ๐ด))
123oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘Ž = ๐ด โˆง ๐‘š = ๐‘) โ†’ (๐‘Ž mod 8) = (๐ด mod 8))
1312eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘Ž = ๐ด โˆง ๐‘š = ๐‘) โ†’ ((๐‘Ž mod 8) โˆˆ {1, 7} โ†” (๐ด mod 8) โˆˆ {1, 7}))
1413ifbid 4514 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘Ž = ๐ด โˆง ๐‘š = ๐‘) โ†’ if((๐‘Ž mod 8) โˆˆ {1, 7}, 1, -1) = if((๐ด mod 8) โˆˆ {1, 7}, 1, -1))
1511, 14ifbieq2d 4517 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘Ž = ๐ด โˆง ๐‘š = ๐‘) โ†’ if(2 โˆฅ ๐‘Ž, 0, if((๐‘Ž mod 8) โˆˆ {1, 7}, 1, -1)) = if(2 โˆฅ ๐ด, 0, if((๐ด mod 8) โˆˆ {1, 7}, 1, -1)))
163oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘Ž = ๐ด โˆง ๐‘š = ๐‘) โ†’ (๐‘Žโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) = (๐ดโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)))
1716oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘Ž = ๐ด โˆง ๐‘š = ๐‘) โ†’ ((๐‘Žโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1) = ((๐ดโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1))
1817oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘Ž = ๐ด โˆง ๐‘š = ๐‘) โ†’ (((๐‘Žโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘›) = (((๐ดโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘›))
1918oveq1d 7377 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘Ž = ๐ด โˆง ๐‘š = ๐‘) โ†’ ((((๐‘Žโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘›) โˆ’ 1) = ((((๐ดโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘›) โˆ’ 1))
2015, 19ifeq12d 4512 . . . . . . . . . 10 ((๐‘Ž = ๐ด โˆง ๐‘š = ๐‘) โ†’ if(๐‘› = 2, if(2 โˆฅ ๐‘Ž, 0, if((๐‘Ž mod 8) โˆˆ {1, 7}, 1, -1)), ((((๐‘Žโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘›) โˆ’ 1)) = if(๐‘› = 2, if(2 โˆฅ ๐ด, 0, if((๐ด mod 8) โˆˆ {1, 7}, 1, -1)), ((((๐ดโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘›) โˆ’ 1)))
211oveq2d 7378 . . . . . . . . . 10 ((๐‘Ž = ๐ด โˆง ๐‘š = ๐‘) โ†’ (๐‘› pCnt ๐‘š) = (๐‘› pCnt ๐‘))
2220, 21oveq12d 7380 . . . . . . . . 9 ((๐‘Ž = ๐ด โˆง ๐‘š = ๐‘) โ†’ (if(๐‘› = 2, if(2 โˆฅ ๐‘Ž, 0, if((๐‘Ž mod 8) โˆˆ {1, 7}, 1, -1)), ((((๐‘Žโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘›) โˆ’ 1))โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘š)) = (if(๐‘› = 2, if(2 โˆฅ ๐ด, 0, if((๐ด mod 8) โˆˆ {1, 7}, 1, -1)), ((((๐ดโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘›) โˆ’ 1))โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)))
2322ifeq1d 4510 . . . . . . . 8 ((๐‘Ž = ๐ด โˆง ๐‘š = ๐‘) โ†’ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (if(๐‘› = 2, if(2 โˆฅ ๐‘Ž, 0, if((๐‘Ž mod 8) โˆˆ {1, 7}, 1, -1)), ((((๐‘Žโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘›) โˆ’ 1))โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘š)), 1) = if(๐‘› โˆˆ โ„™, (if(๐‘› = 2, if(2 โˆฅ ๐ด, 0, if((๐ด mod 8) โˆˆ {1, 7}, 1, -1)), ((((๐ดโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘›) โˆ’ 1))โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1))
2423mpteq2dv 5212 . . . . . . 7 ((๐‘Ž = ๐ด โˆง ๐‘š = ๐‘) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (if(๐‘› = 2, if(2 โˆฅ ๐‘Ž, 0, if((๐‘Ž mod 8) โˆˆ {1, 7}, 1, -1)), ((((๐‘Žโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘›) โˆ’ 1))โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘š)), 1)) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (if(๐‘› = 2, if(2 โˆฅ ๐ด, 0, if((๐ด mod 8) โˆˆ {1, 7}, 1, -1)), ((((๐ดโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘›) โˆ’ 1))โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1)))
25 lgsval.1 . . . . . . 7 ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (if(๐‘› = 2, if(2 โˆฅ ๐ด, 0, if((๐ด mod 8) โˆˆ {1, 7}, 1, -1)), ((((๐ดโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘›) โˆ’ 1))โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘)), 1))
2624, 25eqtr4di 2795 . . . . . 6 ((๐‘Ž = ๐ด โˆง ๐‘š = ๐‘) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (if(๐‘› = 2, if(2 โˆฅ ๐‘Ž, 0, if((๐‘Ž mod 8) โˆˆ {1, 7}, 1, -1)), ((((๐‘Žโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘›) โˆ’ 1))โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘š)), 1)) = ๐น)
2726seqeq3d 13921 . . . . 5 ((๐‘Ž = ๐ด โˆง ๐‘š = ๐‘) โ†’ seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (if(๐‘› = 2, if(2 โˆฅ ๐‘Ž, 0, if((๐‘Ž mod 8) โˆˆ {1, 7}, 1, -1)), ((((๐‘Žโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘›) โˆ’ 1))โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘š)), 1))) = seq1( ยท , ๐น))
281fveq2d 6851 . . . . 5 ((๐‘Ž = ๐ด โˆง ๐‘š = ๐‘) โ†’ (absโ€˜๐‘š) = (absโ€˜๐‘))
2927, 28fveq12d 6854 . . . 4 ((๐‘Ž = ๐ด โˆง ๐‘š = ๐‘) โ†’ (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (if(๐‘› = 2, if(2 โˆฅ ๐‘Ž, 0, if((๐‘Ž mod 8) โˆˆ {1, 7}, 1, -1)), ((((๐‘Žโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘›) โˆ’ 1))โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘š)), 1)))โ€˜(absโ€˜๐‘š)) = (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(absโ€˜๐‘)))
3010, 29oveq12d 7380 . . 3 ((๐‘Ž = ๐ด โˆง ๐‘š = ๐‘) โ†’ (if((๐‘š < 0 โˆง ๐‘Ž < 0), -1, 1) ยท (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (if(๐‘› = 2, if(2 โˆฅ ๐‘Ž, 0, if((๐‘Ž mod 8) โˆˆ {1, 7}, 1, -1)), ((((๐‘Žโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘›) โˆ’ 1))โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘š)), 1)))โ€˜(absโ€˜๐‘š))) = (if((๐‘ < 0 โˆง ๐ด < 0), -1, 1) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(absโ€˜๐‘))))
312, 6, 30ifbieq12d 4519 . 2 ((๐‘Ž = ๐ด โˆง ๐‘š = ๐‘) โ†’ if(๐‘š = 0, if((๐‘Žโ†‘2) = 1, 1, 0), (if((๐‘š < 0 โˆง ๐‘Ž < 0), -1, 1) ยท (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (if(๐‘› = 2, if(2 โˆฅ ๐‘Ž, 0, if((๐‘Ž mod 8) โˆˆ {1, 7}, 1, -1)), ((((๐‘Žโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘›) โˆ’ 1))โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘š)), 1)))โ€˜(absโ€˜๐‘š)))) = if(๐‘ = 0, if((๐ดโ†‘2) = 1, 1, 0), (if((๐‘ < 0 โˆง ๐ด < 0), -1, 1) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(absโ€˜๐‘)))))
32 df-lgs 26659 . 2 /L = (๐‘Ž โˆˆ โ„ค, ๐‘š โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘š = 0, if((๐‘Žโ†‘2) = 1, 1, 0), (if((๐‘š < 0 โˆง ๐‘Ž < 0), -1, 1) ยท (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (if(๐‘› = 2, if(2 โˆฅ ๐‘Ž, 0, if((๐‘Ž mod 8) โˆˆ {1, 7}, 1, -1)), ((((๐‘Žโ†‘((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘›) โˆ’ 1))โ†‘(๐‘› pCnt ๐‘š)), 1)))โ€˜(absโ€˜๐‘š)))))
33 1nn0 12436 . . . . 5 1 โˆˆ โ„•0
34 0nn0 12435 . . . . 5 0 โˆˆ โ„•0
3533, 34ifcli 4538 . . . 4 if((๐ดโ†‘2) = 1, 1, 0) โˆˆ โ„•0
3635elexi 3467 . . 3 if((๐ดโ†‘2) = 1, 1, 0) โˆˆ V
37 ovex 7395 . . 3 (if((๐‘ < 0 โˆง ๐ด < 0), -1, 1) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(absโ€˜๐‘))) โˆˆ V
3836, 37ifex 4541 . 2 if(๐‘ = 0, if((๐ดโ†‘2) = 1, 1, 0), (if((๐‘ < 0 โˆง ๐ด < 0), -1, 1) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(absโ€˜๐‘)))) โˆˆ V
3931, 32, 38ovmpoa 7515 1 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด /L ๐‘) = if(๐‘ = 0, if((๐ดโ†‘2) = 1, 1, 0), (if((๐‘ < 0 โˆง ๐ด < 0), -1, 1) ยท (seq1( ยท , ๐น)โ€˜(absโ€˜๐‘)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  ifcif 4491  {cpr 4593   class class class wbr 5110   โ†ฆ cmpt 5193  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063   < clt 11196   โˆ’ cmin 11392  -cneg 11393   / cdiv 11819  โ„•cn 12160  2c2 12215  7c7 12220  8c8 12221  โ„•0cn0 12420  โ„คcz 12506   mod cmo 13781  seqcseq 13913  โ†‘cexp 13974  abscabs 15126   โˆฅ cdvds 16143  โ„™cprime 16554   pCnt cpc 16715   /L clgs 26658
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-mulcl 11120  ax-i2m1 11126
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-nn 12161  df-n0 12421  df-seq 13914  df-lgs 26659
This theorem is referenced by:  lgscllem  26668  lgsval2lem  26671  lgs0  26674  lgsval4  26681
  Copyright terms: Public domain W3C validator