MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodsn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmodsn0 20350
Description: The set of scalars in a left module is nonempty. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodsn0.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lmodsn0.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
lmodsn0 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐡 β‰  βˆ…)

Proof of Theorem lmodsn0
StepHypRef Expression
1 lmodsn0.f . . 3 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
21lmodfgrp 20345 . 2 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐹 ∈ Grp)
3 lmodsn0.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
43grpbn0 18784 . 2 (𝐹 ∈ Grp β†’ 𝐡 β‰  βˆ…)
52, 4syl 17 1 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐡 β‰  βˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ…c0 4283  β€˜cfv 6497  Basecbs 17088  Scalarcsca 17141  Grpcgrp 18753  LModclmod 20336
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-0g 17328  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-grp 18756  df-ring 19971  df-lmod 20338
This theorem is referenced by:  lindsrng01  46635
  Copyright terms: Public domain W3C validator