Theorem lmodsn0 20787

Description: The set of scalars in a left module is nonempty. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodsn0.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodsn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lmodsn0	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐵 ≠ ∅)

Proof of Theorem lmodsn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodsn0.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2	1	lmodfgrp 20782	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)
3		lmodsn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
4	3	grpbn0 18905	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)
5	2, 4	syl 17	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐵 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∅c0 4299  ‘cfv 6514  Basecbs 17186  Scalarcsca 17230  Grpcgrp 18872  LModclmod 20773

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-dif 3920  df-un 3922  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-0g 17411  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-grp 18875  df-ring 20151  df-lmod 20775

This theorem is referenced by:  lindsrng01  48461