Theorem grpbn0 19183

Description: The base set of a group is not empty. (Contributed by Szymon Jaroszewicz, 3-Apr-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
grpbn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpbn0	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)

Proof of Theorem grpbn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpbn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2760	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
3	1, 2	grpidcl 19182	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
4	3	ne0d 4287	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∅c0 4278  ‘cfv 6539  Basecbs 17393  0_gc0g 17616  Grpcgrp 19150

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-0g 17618  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-grp 19153

This theorem is used by:  grpn0  19188  dfgrp3  19255  issubg2  19358  grpissubg  19363  qustriv  19402  ghmrn  19449  gexcl3  19807  gexcl2  19809  sylow1lem1  19818  sylow1lem3  19820  sylow1lem5  19822  pgpfi  19825  pgpfi2  19826  sylow2blem3  19842  slwhash  19844  fislw  19845  gexex  20073  lt6abl  20115  ablfac1lem  20290  ablfac1b  20292  ablfac1c  20293  ablfac1eu  20295  pgpfac1lem2  20297  pgpfac1lem3a  20298  ablfaclem3  20309  ringbn0  20474  dvdsr02  20608  0ringnnzr  20782  lmodbn0  21152  lmodsn0  21155  rmodislmodlem  21210  rmodislmod  21211  islss3  21240  rnglidl1  21518  isclmp  25424  dfacbasgrp  44204