Theorem grpbn0 18898

Description: The base set of a group is not empty. (Contributed by Szymon Jaroszewicz, 3-Apr-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
grpbn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpbn0	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)

Proof of Theorem grpbn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpbn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2729	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
3	1, 2	grpidcl 18897	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
4	3	ne0d 4305	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∅c0 4296  ‘cfv 6511  Basecbs 17179  0_gc0g 17402  Grpcgrp 18865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-dif 3917  df-un 3919  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-0g 17404  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18868

This theorem is referenced by:  grpn0  18903  dfgrp3  18971  issubg2  19073  grpissubg  19078  ghmrn  19161  gexcl3  19517  gexcl2  19519  sylow1lem1  19528  sylow1lem3  19530  sylow1lem5  19532  pgpfi  19535  pgpfi2  19536  sylow2blem3  19552  slwhash  19554  fislw  19555  gexex  19783  lt6abl  19825  ablfac1lem  20000  ablfac1b  20002  ablfac1c  20003  ablfac1eu  20005  pgpfac1lem2  20007  pgpfac1lem3a  20008  ablfaclem3  20019  dvdsr02  20281  0ringnnzr  20434  lmodbn0  20777  lmodsn0  20780  rmodislmodlem  20835  rmodislmod  20836  islss3  20865  rnglidl1  21142  isclmp  24997  qustriv  33335  dfacbasgrp  43097