Theorem grpbn0 19090

Description: The base set of a group is not empty. (Contributed by Szymon Jaroszewicz, 3-Apr-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
grpbn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpbn0	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)

Proof of Theorem grpbn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpbn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2760	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
3	1, 2	grpidcl 19089	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
4	3	ne0d 4288	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∅c0 4279  ‘cfv 6533  Basecbs 17301  0_gc0g 17524  Grpcgrp 19057

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-0g 17526  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-grp 19060

This theorem is used by:  grpn0  19095  dfgrp3  19162  issubg2  19265  grpissubg  19270  qustriv  19309  ghmrn  19356  gexcl3  19714  gexcl2  19716  sylow1lem1  19725  sylow1lem3  19727  sylow1lem5  19729  pgpfi  19732  pgpfi2  19733  sylow2blem3  19749  slwhash  19751  fislw  19752  gexex  19980  lt6abl  20022  ablfac1lem  20197  ablfac1b  20199  ablfac1c  20200  ablfac1eu  20202  pgpfac1lem2  20204  pgpfac1lem3a  20205  ablfaclem3  20216  dvdsr02  20513  0ringnnzr  20686  lmodbn0  21055  lmodsn0  21058  rmodislmodlem  21113  rmodislmod  21114  islss3  21143  rnglidl1  21421  isclmp  25325  dfacbasgrp  43949