Theorem grpbn0 19034

Description: The base set of a group is not empty. (Contributed by Szymon Jaroszewicz, 3-Apr-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
grpbn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpbn0	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)

Proof of Theorem grpbn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpbn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2763	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
3	1, 2	grpidcl 19033	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
4	3	ne0d 4296	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∅c0 4287  ‘cfv 6538  Basecbs 17270  0_gc0g 17493  Grpcgrp 19001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pr 5406

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-0g 17495  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-grp 19004

This theorem is referenced by:  grpn0  19039  dfgrp3  19106  issubg2  19209  grpissubg  19214  qustriv  19253  ghmrn  19300  gexcl3  19658  gexcl2  19660  sylow1lem1  19669  sylow1lem3  19671  sylow1lem5  19673  pgpfi  19676  pgpfi2  19677  sylow2blem3  19693  slwhash  19695  fislw  19696  gexex  19924  lt6abl  19966  ablfac1lem  20141  ablfac1b  20143  ablfac1c  20144  ablfac1eu  20146  pgpfac1lem2  20148  pgpfac1lem3a  20149  ablfaclem3  20160  dvdsr02  20455  0ringnnzr  20610  lmodbn0  20973  lmodsn0  20976  rmodislmodlem  21031  rmodislmod  21032  islss3  21061  rnglidl1  21339  isclmp  25237  dfacbasgrp  43818