Theorem grpbn0 18942

Description: The base set of a group is not empty. (Contributed by Szymon Jaroszewicz, 3-Apr-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
grpbn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpbn0	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)

Proof of Theorem grpbn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpbn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2736	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
3	1, 2	grpidcl 18941	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
4	3	ne0d 4282	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∅c0 4273  ‘cfv 6498  Basecbs 17179  0_gc0g 17402  Grpcgrp 18909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912

This theorem is referenced by:  grpn0  18947  dfgrp3  19015  issubg2  19117  grpissubg  19122  ghmrn  19204  gexcl3  19562  gexcl2  19564  sylow1lem1  19573  sylow1lem3  19575  sylow1lem5  19577  pgpfi  19580  pgpfi2  19581  sylow2blem3  19597  slwhash  19599  fislw  19600  gexex  19828  lt6abl  19870  ablfac1lem  20045  ablfac1b  20047  ablfac1c  20048  ablfac1eu  20050  pgpfac1lem2  20052  pgpfac1lem3a  20053  ablfaclem3  20064  dvdsr02  20352  0ringnnzr  20502  lmodbn0  20866  lmodsn0  20869  rmodislmodlem  20924  rmodislmod  20925  islss3  20954  rnglidl1  21230  isclmp  25064  qustriv  33424  dfacbasgrp  43536