Theorem grpbn0 18883

Description: The base set of a group is not empty. (Contributed by Szymon Jaroszewicz, 3-Apr-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
grpbn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpbn0	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)

Proof of Theorem grpbn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpbn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2733	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
3	1, 2	grpidcl 18882	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
4	3	ne0d 4291	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∅c0 4282  ‘cfv 6488  Basecbs 17124  0_gc0g 17347  Grpcgrp 18850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-dif 3901  df-un 3903  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-0g 17349  df-mgm 18552  df-sgrp 18631  df-mnd 18647  df-grp 18853

This theorem is referenced by:  grpn0  18888  dfgrp3  18956  issubg2  19058  grpissubg  19063  ghmrn  19145  gexcl3  19503  gexcl2  19505  sylow1lem1  19514  sylow1lem3  19516  sylow1lem5  19518  pgpfi  19521  pgpfi2  19522  sylow2blem3  19538  slwhash  19540  fislw  19541  gexex  19769  lt6abl  19811  ablfac1lem  19986  ablfac1b  19988  ablfac1c  19989  ablfac1eu  19991  pgpfac1lem2  19993  pgpfac1lem3a  19994  ablfaclem3  20005  dvdsr02  20294  0ringnnzr  20444  lmodbn0  20808  lmodsn0  20811  rmodislmodlem  20866  rmodislmod  20867  islss3  20896  rnglidl1  21173  isclmp  25027  qustriv  33338  dfacbasgrp  43228