Theorem grpbn0 18937

Description: The base set of a group is not empty. (Contributed by Szymon Jaroszewicz, 3-Apr-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
grpbn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpbn0	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)

Proof of Theorem grpbn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpbn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2741	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
3	1, 2	grpidcl 18936	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
4	3	ne0d 4272	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936  ∅c0 4263  ‘cfv 6488  Basecbs 17174  0_gc0g 17397  Grpcgrp 18904

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pr 5364

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4264  df-if 4457  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-id 5515  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-0g 17399  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-grp 18907

This theorem is referenced by:  grpn0  18942  dfgrp3  19010  issubg2  19112  grpissubg  19117  ghmrn  19198  gexcl3  19556  gexcl2  19558  sylow1lem1  19567  sylow1lem3  19569  sylow1lem5  19571  pgpfi  19574  pgpfi2  19575  sylow2blem3  19591  slwhash  19593  fislw  19594  gexex  19822  lt6abl  19864  ablfac1lem  20039  ablfac1b  20041  ablfac1c  20042  ablfac1eu  20044  pgpfac1lem2  20046  pgpfac1lem3a  20047  ablfaclem3  20058  dvdsr02  20346  0ringnnzr  20500  lmodbn0  20864  lmodsn0  20867  rmodislmodlem  20922  rmodislmod  20923  islss3  20952  rnglidl1  21228  isclmp  25085  qustriv  33449  dfacbasgrp  43566