MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpbn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grpbn0 18786
Description: The base set of a group is not empty. (Contributed by Szymon Jaroszewicz, 3-Apr-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
grpbn0.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
grpbn0 (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)

Proof of Theorem grpbn0
StepHypRef Expression
1 grpbn0.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2737 . . 3 (0g𝐺) = (0g𝐺)
31, 2grpidcl 18785 . 2 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
43ne0d 4300 1 (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2944  c0 4287  cfv 6501  Basecbs 17090  0gc0g 17328  Grpcgrp 18755
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-0g 17330  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-grp 18758
This theorem is referenced by:  grpn0  18789  dfgrp3  18853  issubg2  18950  grpissubg  18955  ghmrn  19028  gexcl3  19376  gexcl2  19378  sylow1lem1  19387  sylow1lem3  19389  sylow1lem5  19391  pgpfi  19394  pgpfi2  19395  sylow2blem3  19411  slwhash  19413  fislw  19414  gexex  19638  lt6abl  19679  ablfac1lem  19854  ablfac1b  19856  ablfac1c  19857  ablfac1eu  19859  pgpfac1lem2  19861  pgpfac1lem3a  19862  ablfaclem3  19873  dvdsr02  20092  lmodbn0  20348  lmodsn0  20351  rmodislmodlem  20405  rmodislmod  20406  rmodislmodOLD  20407  islss3  20436  0ringnnzr  20755  isclmp  24476  qustriv  32192  dfacbasgrp  41464
  Copyright terms: Public domain W3C validator