Theorem grpbn0 18863

Description: The base set of a group is not empty. (Contributed by Szymon Jaroszewicz, 3-Apr-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
grpbn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpbn0	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)

Proof of Theorem grpbn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpbn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2729	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
3	1, 2	grpidcl 18862	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
4	3	ne0d 4295	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∅c0 4286  ‘cfv 6486  Basecbs 17138  0_gc0g 17361  Grpcgrp 18830

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-dif 3908  df-un 3910  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-0g 17363  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-grp 18833

This theorem is referenced by:  grpn0  18868  dfgrp3  18936  issubg2  19038  grpissubg  19043  ghmrn  19126  gexcl3  19484  gexcl2  19486  sylow1lem1  19495  sylow1lem3  19497  sylow1lem5  19499  pgpfi  19502  pgpfi2  19503  sylow2blem3  19519  slwhash  19521  fislw  19522  gexex  19750  lt6abl  19792  ablfac1lem  19967  ablfac1b  19969  ablfac1c  19970  ablfac1eu  19972  pgpfac1lem2  19974  pgpfac1lem3a  19975  ablfaclem3  19986  dvdsr02  20275  0ringnnzr  20428  lmodbn0  20792  lmodsn0  20795  rmodislmodlem  20850  rmodislmod  20851  islss3  20880  rnglidl1  21157  isclmp  25013  qustriv  33314  dfacbasgrp  43084