Theorem grpbn0 18949

Description: The base set of a group is not empty. (Contributed by Szymon Jaroszewicz, 3-Apr-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
grpbn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpbn0	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)

Proof of Theorem grpbn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpbn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2735	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
3	1, 2	grpidcl 18948	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
4	3	ne0d 4317	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∅c0 4308  ‘cfv 6531  Basecbs 17228  0_gc0g 17453  Grpcgrp 18916

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-dif 3929  df-un 3931  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-0g 17455  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-grp 18919

This theorem is referenced by:  grpn0  18954  dfgrp3  19022  issubg2  19124  grpissubg  19129  ghmrn  19212  gexcl3  19568  gexcl2  19570  sylow1lem1  19579  sylow1lem3  19581  sylow1lem5  19583  pgpfi  19586  pgpfi2  19587  sylow2blem3  19603  slwhash  19605  fislw  19606  gexex  19834  lt6abl  19876  ablfac1lem  20051  ablfac1b  20053  ablfac1c  20054  ablfac1eu  20056  pgpfac1lem2  20058  pgpfac1lem3a  20059  ablfaclem3  20070  dvdsr02  20332  0ringnnzr  20485  lmodbn0  20828  lmodsn0  20831  rmodislmodlem  20886  rmodislmod  20887  islss3  20916  rnglidl1  21193  isclmp  25048  qustriv  33379  dfacbasgrp  43132