Theorem grpbn0 18879

Description: The base set of a group is not empty. (Contributed by Szymon Jaroszewicz, 3-Apr-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
grpbn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpbn0	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)

Proof of Theorem grpbn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpbn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2731	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
3	1, 2	grpidcl 18878	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
4	3	ne0d 4292	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∅c0 4283  ‘cfv 6481  Basecbs 17120  0_gc0g 17343  Grpcgrp 18846

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-dif 3905  df-un 3907  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-0g 17345  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-grp 18849

This theorem is referenced by:  grpn0  18884  dfgrp3  18952  issubg2  19054  grpissubg  19059  ghmrn  19142  gexcl3  19500  gexcl2  19502  sylow1lem1  19511  sylow1lem3  19513  sylow1lem5  19515  pgpfi  19518  pgpfi2  19519  sylow2blem3  19535  slwhash  19537  fislw  19538  gexex  19766  lt6abl  19808  ablfac1lem  19983  ablfac1b  19985  ablfac1c  19986  ablfac1eu  19988  pgpfac1lem2  19990  pgpfac1lem3a  19991  ablfaclem3  20002  dvdsr02  20291  0ringnnzr  20441  lmodbn0  20805  lmodsn0  20808  rmodislmodlem  20863  rmodislmod  20864  islss3  20893  rnglidl1  21170  isclmp  25025  qustriv  33327  dfacbasgrp  43147