Theorem grpbn0 19021

Description: The base set of a group is not empty. (Contributed by Szymon Jaroszewicz, 3-Apr-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
grpbn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpbn0	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)

Proof of Theorem grpbn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpbn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2765	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
3	1, 2	grpidcl 19020	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
4	3	ne0d 4297	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ∅c0 4288  ‘cfv 6525  Basecbs 17257  0_gc0g 17480  Grpcgrp 18988

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pr 5394

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-0g 17482  df-mgm 18686  df-sgrp 18765  df-mnd 18781  df-grp 18991

This theorem is referenced by:  grpn0  19026  dfgrp3  19093  issubg2  19196  grpissubg  19201  qustriv  19240  ghmrn  19287  gexcl3  19645  gexcl2  19647  sylow1lem1  19656  sylow1lem3  19658  sylow1lem5  19660  pgpfi  19663  pgpfi2  19664  sylow2blem3  19680  slwhash  19682  fislw  19683  gexex  19911  lt6abl  19953  ablfac1lem  20128  ablfac1b  20130  ablfac1c  20131  ablfac1eu  20133  pgpfac1lem2  20135  pgpfac1lem3a  20136  ablfaclem3  20147  dvdsr02  20442  0ringnnzr  20597  lmodbn0  20958  lmodsn0  20961  rmodislmodlem  21016  rmodislmod  21017  islss3  21046  rnglidl1  21324  isclmp  25213  dfacbasgrp  43692