Theorem grpbn0 18997

Description: The base set of a group is not empty. (Contributed by Szymon Jaroszewicz, 3-Apr-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
grpbn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpbn0	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)

Proof of Theorem grpbn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpbn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2735	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
3	1, 2	grpidcl 18996	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
4	3	ne0d 4348	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∅c0 4339  ‘cfv 6563  Basecbs 17245  0_gc0g 17486  Grpcgrp 18964

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967

This theorem is referenced by:  grpn0  19002  dfgrp3  19070  issubg2  19172  grpissubg  19177  ghmrn  19260  gexcl3  19620  gexcl2  19622  sylow1lem1  19631  sylow1lem3  19633  sylow1lem5  19635  pgpfi  19638  pgpfi2  19639  sylow2blem3  19655  slwhash  19657  fislw  19658  gexex  19886  lt6abl  19928  ablfac1lem  20103  ablfac1b  20105  ablfac1c  20106  ablfac1eu  20108  pgpfac1lem2  20110  pgpfac1lem3a  20111  ablfaclem3  20122  dvdsr02  20389  0ringnnzr  20542  lmodbn0  20886  lmodsn0  20889  rmodislmodlem  20944  rmodislmod  20945  rmodislmodOLD  20946  islss3  20975  rnglidl1  21260  isclmp  25144  qustriv  33372  dfacbasgrp  43097