Theorem grpbn0 18126

Description: The base set of a group is not empty. (Contributed by Szymon Jaroszewicz, 3-Apr-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
grpbn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpbn0	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)

Proof of Theorem grpbn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpbn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2821	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
3	1, 2	grpidcl 18125	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
4	3	ne0d 4301	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  ∅c0 4291  ‘cfv 6350  Basecbs 16477  0_gc0g 16707  Grpcgrp 18097

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4833  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-id 5455  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-0g 16709  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-grp 18100

This theorem is referenced by:  grpn0  18129  dfgrp3  18192  issubg2  18288  grpissubg  18293  ghmrn  18365  gexcl3  18706  gexcl2  18708  sylow1lem1  18717  sylow1lem3  18719  sylow1lem5  18721  pgpfi  18724  pgpfi2  18725  sylow2blem3  18741  slwhash  18743  fislw  18744  gexex  18967  lt6abl  19009  ablfac1lem  19184  ablfac1b  19186  ablfac1c  19187  ablfac1eu  19189  pgpfac1lem2  19191  pgpfac1lem3a  19192  ablfaclem3  19203  dvdsr02  19400  lmodbn0  19638  lmodsn0  19641  rmodislmodlem  19695  rmodislmod  19696  islss3  19725  0ringnnzr  20036  isclmp  23695  qustriv  30924  dfacbasgrp  39701