Theorem grpbn0 18887

Description: The base set of a group is not empty. (Contributed by Szymon Jaroszewicz, 3-Apr-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
grpbn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpbn0	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)

Proof of Theorem grpbn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpbn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2730	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
3	1, 2	grpidcl 18886	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
4	3	ne0d 4334	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2938  ∅c0 4321  ‘cfv 6542  Basecbs 17148  0_gc0g 17389  Grpcgrp 18855

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-0g 17391  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858

This theorem is referenced by:  grpn0  18892  dfgrp3  18958  issubg2  19057  grpissubg  19062  ghmrn  19143  gexcl3  19496  gexcl2  19498  sylow1lem1  19507  sylow1lem3  19509  sylow1lem5  19511  pgpfi  19514  pgpfi2  19515  sylow2blem3  19531  slwhash  19533  fislw  19534  gexex  19762  lt6abl  19804  ablfac1lem  19979  ablfac1b  19981  ablfac1c  19982  ablfac1eu  19984  pgpfac1lem2  19986  pgpfac1lem3a  19987  ablfaclem3  19998  dvdsr02  20263  0ringnnzr  20414  lmodbn0  20625  lmodsn0  20628  rmodislmodlem  20683  rmodislmod  20684  rmodislmodOLD  20685  islss3  20714  rnglidl1  21033  isclmp  24844  qustriv  32750  dfacbasgrp  42152