Theorem grpbn0 18851

Description: The base set of a group is not empty. (Contributed by Szymon Jaroszewicz, 3-Apr-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
grpbn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpbn0	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)

Proof of Theorem grpbn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpbn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2733	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
3	1, 2	grpidcl 18850	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
4	3	ne0d 4336	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ∅c0 4323  ‘cfv 6544  Basecbs 17144  0_gc0g 17385  Grpcgrp 18819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822

This theorem is referenced by:  grpn0  18856  dfgrp3  18922  issubg2  19021  grpissubg  19026  ghmrn  19105  gexcl3  19455  gexcl2  19457  sylow1lem1  19466  sylow1lem3  19468  sylow1lem5  19470  pgpfi  19473  pgpfi2  19474  sylow2blem3  19490  slwhash  19492  fislw  19493  gexex  19721  lt6abl  19763  ablfac1lem  19938  ablfac1b  19940  ablfac1c  19941  ablfac1eu  19943  pgpfac1lem2  19945  pgpfac1lem3a  19946  ablfaclem3  19957  dvdsr02  20186  0ringnnzr  20302  lmodbn0  20482  lmodsn0  20485  rmodislmodlem  20539  rmodislmod  20540  rmodislmodOLD  20541  islss3  20570  isclmp  24613  qustriv  32507  dfacbasgrp  41898  rnglidl1  46801