Theorem grpbn0 18350

Description: The base set of a group is not empty. (Contributed by Szymon Jaroszewicz, 3-Apr-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
grpbn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpbn0	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)

Proof of Theorem grpbn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpbn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2736	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
3	1, 2	grpidcl 18349	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
4	3	ne0d 4236	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1543   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2932  ∅c0 4223  ‘cfv 6358  Basecbs 16666  0_gc0g 16898  Grpcgrp 18319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pr 5307

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-id 5440  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-0g 16900  df-mgm 18068  df-sgrp 18117  df-mnd 18128  df-grp 18322

This theorem is referenced by:  grpn0  18353  dfgrp3  18416  issubg2  18512  grpissubg  18517  ghmrn  18589  gexcl3  18930  gexcl2  18932  sylow1lem1  18941  sylow1lem3  18943  sylow1lem5  18945  pgpfi  18948  pgpfi2  18949  sylow2blem3  18965  slwhash  18967  fislw  18968  gexex  19192  lt6abl  19234  ablfac1lem  19409  ablfac1b  19411  ablfac1c  19412  ablfac1eu  19414  pgpfac1lem2  19416  pgpfac1lem3a  19417  ablfaclem3  19428  dvdsr02  19628  lmodbn0  19863  lmodsn0  19866  rmodislmodlem  19920  rmodislmod  19921  islss3  19950  0ringnnzr  20261  isclmp  23948  qustriv  31228  dfacbasgrp  40577