Theorem grpbn0 18998

Description: The base set of a group is not empty. (Contributed by Szymon Jaroszewicz, 3-Apr-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
grpbn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpbn0	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)

Proof of Theorem grpbn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpbn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2761	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
3	1, 2	grpidcl 18997	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
4	3	ne0d 4292	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∅c0 4283  ‘cfv 6515  Basecbs 17235  0_gc0g 17458  Grpcgrp 18965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-0g 17460  df-mgm 18664  df-sgrp 18743  df-mnd 18759  df-grp 18968

This theorem is referenced by:  grpn0  19003  dfgrp3  19071  issubg2  19173  grpissubg  19178  ghmrn  19259  gexcl3  19617  gexcl2  19619  sylow1lem1  19628  sylow1lem3  19630  sylow1lem5  19632  pgpfi  19635  pgpfi2  19636  sylow2blem3  19652  slwhash  19654  fislw  19655  gexex  19883  lt6abl  19925  ablfac1lem  20100  ablfac1b  20102  ablfac1c  20103  ablfac1eu  20105  pgpfac1lem2  20107  pgpfac1lem3a  20108  ablfaclem3  20119  dvdsr02  20407  0ringnnzr  20561  lmodbn0  20925  lmodsn0  20928  rmodislmodlem  20983  rmodislmod  20984  islss3  21013  rnglidl1  21289  isclmp  25146  qustriv  33510  dfacbasgrp  43645