Theorem grpbn0 19170

Description: The base set of a group is not empty. (Contributed by Szymon Jaroszewicz, 3-Apr-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
grpbn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpbn0	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)

Proof of Theorem grpbn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpbn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2761	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
3	1, 2	grpidcl 19169	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
4	3	ne0d 4288	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∅c0 4279  ‘cfv 6537  Basecbs 17380  0_gc0g 17603  Grpcgrp 19137

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-0g 17605  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-grp 19140

This theorem is used by:  grpn0  19175  dfgrp3  19242  issubg2  19345  grpissubg  19350  qustriv  19389  ghmrn  19436  gexcl3  19794  gexcl2  19796  sylow1lem1  19805  sylow1lem3  19807  sylow1lem5  19809  pgpfi  19812  pgpfi2  19813  sylow2blem3  19829  slwhash  19831  fislw  19832  gexex  20060  lt6abl  20102  ablfac1lem  20277  ablfac1b  20279  ablfac1c  20280  ablfac1eu  20282  pgpfac1lem2  20284  pgpfac1lem3a  20285  ablfaclem3  20296  ringbn0  20461  dvdsr02  20595  0ringnnzr  20769  lmodbn0  21139  lmodsn0  21142  rmodislmodlem  21197  rmodislmod  21198  islss3  21227  rnglidl1  21505  isclmp  25411  dfacbasgrp  44094