Theorem grpbn0 18604

Description: The base set of a group is not empty. (Contributed by Szymon Jaroszewicz, 3-Apr-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
grpbn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpbn0	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)

Proof of Theorem grpbn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpbn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2740	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
3	1, 2	grpidcl 18603	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
4	3	ne0d 4275	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2945  ∅c0 4262  ‘cfv 6431  Basecbs 16908  0_gc0g 17146  Grpcgrp 18573

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pr 5356

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fv 6439  df-riota 7226  df-ov 7272  df-0g 17148  df-mgm 18322  df-sgrp 18371  df-mnd 18382  df-grp 18576

This theorem is referenced by:  grpn0  18607  dfgrp3  18670  issubg2  18766  grpissubg  18771  ghmrn  18843  gexcl3  19188  gexcl2  19190  sylow1lem1  19199  sylow1lem3  19201  sylow1lem5  19203  pgpfi  19206  pgpfi2  19207  sylow2blem3  19223  slwhash  19225  fislw  19226  gexex  19450  lt6abl  19492  ablfac1lem  19667  ablfac1b  19669  ablfac1c  19670  ablfac1eu  19672  pgpfac1lem2  19674  pgpfac1lem3a  19675  ablfaclem3  19686  dvdsr02  19894  lmodbn0  20129  lmodsn0  20132  rmodislmodlem  20186  rmodislmod  20187  rmodislmodOLD  20188  islss3  20217  0ringnnzr  20536  isclmp  24256  qustriv  31554  dfacbasgrp  40928