Theorem lmodvacl 20486

Description: Closure of vector addition for a left module. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvacl.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodvacl.a	⊢ + = (+g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lmodvacl	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉)

Proof of Theorem lmodvacl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodgrp 20478	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
2		lmodvacl.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		lmodvacl.a	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑊)
4	2, 3	grpcl 18827	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉)
5	1, 4	syl3an1 1164	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  +_gcplusg 17197  Grpcgrp 18819  LModclmod 20471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-nul 5307

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-iota 6496  df-fv 6552  df-ov 7412  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-lmod 20473

This theorem is referenced by:  lmodcom  20518  lmodvsghm  20533  lss1  20549  lspprabs  20706  lspabs2  20733  lspabs3  20734  lspfixed  20741  lspexch  20742  lspsolvlem  20755  ipdir  21192  ipdi  21193  ip2di  21194  ocvlss  21225  frlmphl  21336  frlmup1  21353  nmparlem  24756  minveclem2  24943  lsatfixedN  37879  lfl0f  37939  lfladdcl  37941  lflnegcl  37945  lflvscl  37947  lkrlss  37965  lshpkrlem5  37984  lshpkrlem6  37985  dvh3dim2  40319  dvh3dim3N  40320  lcfrlem17  40430  lcfrlem19  40432  lcfrlem20  40433  lcfrlem23  40436  baerlem3lem1  40578  baerlem5alem1  40579  baerlem5blem1  40580  baerlem5alem2  40582  baerlem5blem2  40583  mapdindp0  40590  mapdindp2  40592  mapdindp4  40594  mapdh6lem2N  40605  mapdh6aN  40606  mapdh6dN  40610  mapdh6eN  40611  mapdh6hN  40614  hdmap1l6lem2  40679  hdmap1l6a  40680  hdmap1l6d  40684  hdmap1l6e  40685  hdmap1l6h  40688  hdmap11lem1  40712  hdmap11lem2  40713  hdmapneg  40717  hdmaprnlem3N  40721  hdmaprnlem3uN  40722  hdmaprnlem6N  40725  hdmaprnlem7N  40726  hdmaprnlem9N  40728  hdmaprnlem3eN  40729  hdmap14lem10  40748  hdmapinvlem3  40791  hdmapinvlem4  40792  hdmapglem7b  40799  hlhilphllem  40834  frlmsnic  41110  lincsumcl  47112