Theorem ltcvrntr 38295

Description: Non-transitive condition for the covers relation. (Contributed by NM, 18-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltltncvr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
ltltncvr.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
ltltncvr.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
ltcvrntr	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌𝐶𝑍) → ¬ 𝑋𝐶𝑍))

Proof of Theorem ltcvrntr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltltncvr.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		ltltncvr.s	. . . . 5 ⊢ < = (lt‘𝐾)
3		ltltncvr.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
4	1, 2, 3	cvrlt 38140	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑌𝐶𝑍) → 𝑌 < 𝑍)
5	4	ex 414	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌𝐶𝑍 → 𝑌 < 𝑍))
6	5	3adant3r1 1183	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌𝐶𝑍 → 𝑌 < 𝑍))
7	1, 2, 3	ltltncvr 38294	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑍) → ¬ 𝑋𝐶𝑍))
8	6, 7	sylan2d 606	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌𝐶𝑍) → ¬ 𝑋𝐶𝑍))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544  Basecbs 17144  ltcplt 18261   ⋖ ccvr 38132

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-covers 38136

This theorem is referenced by:  cvrntr  38296