Theorem cvrlt 39762

Description: The covers relation implies the less-than relation. (cvpss 32374 analog.) (Contributed by NM, 8-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvrfval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrfval.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
cvrfval.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cvrlt	⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑋 < 𝑌)

Proof of Theorem cvrlt

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvrfval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		cvrfval.s	. . 3 ⊢ < = (lt‘𝐾)
3		cvrfval.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
4	1, 2, 3	cvrval 39761	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝑋 < 𝑌 ∧ ¬ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌))))
5	4	simprbda 499	1 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑋 < 𝑌)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∃wrex 3063   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  Basecbs 17170  ltcplt 18265   ⋖ ccvr 39754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fv 6493  df-covers 39758

This theorem is referenced by:  ncvr1  39764  cvrletrN  39765  cvrnbtwn2  39767  cvrnbtwn3  39768  cvrle  39770  cvrnle  39772  cvrne  39773  0ltat  39783  atlen0  39802  atcvreq0  39806  cvlcvr1  39831  cvrval3  39905  cvrval4N  39906  cvrexchlem  39911  ltcvrntr  39916  cvrntr  39917  cvrat2  39921  atltcvr  39927  1cvratex  39965  ps-2  39970  llnnleat  40005  lplnnle2at  40033  lvolnle3at  40074  lhp0lt  40495