Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvrlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvrlt 36907
Description: The covers relation implies the less-than relation. (cvpss 30220 analog.) (Contributed by NM, 8-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrfval.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrfval.s < = (lt‘𝐾)
cvrfval.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cvrlt (((𝐾𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑋 < 𝑌)

Proof of Theorem cvrlt
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvrfval.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 cvrfval.s . . 3 < = (lt‘𝐾)
3 cvrfval.c . . 3 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
41, 2, 3cvrval 36906 . 2 ((𝐾𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝑋 < 𝑌 ∧ ¬ ∃𝑧𝐵 (𝑋 < 𝑧𝑧 < 𝑌))))
54simprbda 502 1 (((𝐾𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑋 < 𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  wrex 3054   class class class wbr 5030  cfv 6339  Basecbs 16586  ltcplt 17667  ccvr 36899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ral 3058  df-rex 3059  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-op 4523  df-uni 4797  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5429  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fv 6347  df-covers 36903
This theorem is referenced by:  ncvr1  36909  cvrletrN  36910  cvrnbtwn2  36912  cvrnbtwn3  36913  cvrle  36915  cvrnle  36917  cvrne  36918  0ltat  36928  atlen0  36947  atcvreq0  36951  cvlcvr1  36976  cvrval3  37050  cvrval4N  37051  cvrexchlem  37056  ltcvrntr  37061  cvrntr  37062  cvrat2  37066  atltcvr  37072  1cvratex  37110  ps-2  37115  llnnleat  37150  lplnnle2at  37178  lvolnle3at  37219  lhp0lt  37640
  Copyright terms: Public domain W3C validator