Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvrlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvrlt 38140
Description: The covers relation implies the less-than relation. (cvpss 31538 analog.) (Contributed by NM, 8-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrfval.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrfval.s < = (lt‘𝐾)
cvrfval.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cvrlt (((𝐾𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑋 < 𝑌)

Proof of Theorem cvrlt
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvrfval.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 cvrfval.s . . 3 < = (lt‘𝐾)
3 cvrfval.c . . 3 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
41, 2, 3cvrval 38139 . 2 ((𝐾𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝑋 < 𝑌 ∧ ¬ ∃𝑧𝐵 (𝑋 < 𝑧𝑧 < 𝑌))))
54simprbda 500 1 (((𝐾𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑋 < 𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wrex 3071   class class class wbr 5149  cfv 6544  Basecbs 17144  ltcplt 18261  ccvr 38132
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-covers 38136
This theorem is referenced by:  ncvr1  38142  cvrletrN  38143  cvrnbtwn2  38145  cvrnbtwn3  38146  cvrle  38148  cvrnle  38150  cvrne  38151  0ltat  38161  atlen0  38180  atcvreq0  38184  cvlcvr1  38209  cvrval3  38284  cvrval4N  38285  cvrexchlem  38290  ltcvrntr  38295  cvrntr  38296  cvrat2  38300  atltcvr  38306  1cvratex  38344  ps-2  38349  llnnleat  38384  lplnnle2at  38412  lvolnle3at  38453  lhp0lt  38874
  Copyright terms: Public domain W3C validator