Theorem ltltncvr 40122

Description: A chained strong ordering is not a covers relation. (Contributed by NM, 18-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltltncvr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
ltltncvr.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
ltltncvr.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
ltltncvr	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑍) → ¬ 𝑋𝐶𝑍))

Proof of Theorem ltltncvr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 778	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋𝐶𝑍) → 𝐾 ∈ 𝐴)
2		simplr1 1232	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋𝐶𝑍) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		simplr3 1234	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋𝐶𝑍) → 𝑍 ∈ 𝐵)
4		simplr2 1233	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋𝐶𝑍) → 𝑌 ∈ 𝐵)
5		simpr 489	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋𝐶𝑍) → 𝑋𝐶𝑍)
6		ltltncvr.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
7		ltltncvr.s	. . . . 5 ⊢ < = (lt‘𝐾)
8		ltltncvr.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
9	6, 7, 8	cvrnbtwn 39970	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑍) → ¬ (𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑍))
10	1, 2, 3, 4, 5, 9	syl131anc 1408	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋𝐶𝑍) → ¬ (𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑍))
11	10	ex 417	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋𝐶𝑍 → ¬ (𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑍)))
12	11	con2d 135	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑍) → ¬ 𝑋𝐶𝑍))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5111  ‘cfv 6537  Basecbs 17269  ltcplt 18364   ⋖ ccvr 39961

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3423  df-v 3463  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545  df-covers 39965

This theorem is referenced by:  ltcvrntr  40123