Theorem ltltncvr 39390

Description: A chained strong ordering is not a covers relation. (Contributed by NM, 18-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltltncvr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
ltltncvr.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
ltltncvr.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
ltltncvr	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑍) → ¬ 𝑋𝐶𝑍))

Proof of Theorem ltltncvr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 766	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋𝐶𝑍) → 𝐾 ∈ 𝐴)
2		simplr1 1216	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋𝐶𝑍) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		simplr3 1218	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋𝐶𝑍) → 𝑍 ∈ 𝐵)
4		simplr2 1217	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋𝐶𝑍) → 𝑌 ∈ 𝐵)
5		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋𝐶𝑍) → 𝑋𝐶𝑍)
6		ltltncvr.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
7		ltltncvr.s	. . . . 5 ⊢ < = (lt‘𝐾)
8		ltltncvr.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
9	6, 7, 8	cvrnbtwn 39237	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑍) → ¬ (𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑍))
10	1, 2, 3, 4, 5, 9	syl131anc 1385	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋𝐶𝑍) → ¬ (𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑍))
11	10	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋𝐶𝑍 → ¬ (𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑍)))
12	11	con2d 134	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑍) → ¬ 𝑋𝐶𝑍))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  Basecbs 17155  ltcplt 18245   ⋖ ccvr 39228

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fv 6507  df-covers 39232

This theorem is referenced by:  ltcvrntr  39391