Theorem mgmhmrcl 18732

Description: Reverse closure of a magma homomorphism. (Contributed by AV, 24-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
mgmhmrcl	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑇) → (𝑆 ∈ Mgm ∧ 𝑇 ∈ Mgm))

Proof of Theorem mgmhmrcl

Dummy variables 𝑡 𝑠 𝑓 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mgmhm 18730	. 2 ⊢ MgmHom = (𝑠 ∈ Mgm, 𝑡 ∈ Mgm ↦ {𝑓 ∈ ((Base‘𝑡) ↑m (Base‘𝑠)) ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑠)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑠)(𝑓‘(𝑥(+g‘𝑠)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥)(+g‘𝑡)(𝑓‘𝑦))})
2	1	elmpocl 7691	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑇) → (𝑆 ∈ Mgm ∧ 𝑇 ∈ Mgm))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  {crab 3443  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ↑_m cmap 8884  Basecbs 17258  +_gcplusg 17311  Mgmcmgm 18676   MgmHom cmgmhm 18728

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-xp 5706  df-dm 5710  df-iota 6525  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-mgmhm 18730

This theorem is referenced by:  ismgmhm  18734  mgmhmf1o  18738  resmgmhm  18749  resmgmhm2  18750  resmgmhm2b  18751  mgmhmco  18752  mgmhmima  18753  mgmhmeql  18754