Theorem mgmhmrcl 46486

Description: Reverse closure of a magma homomorphism. (Contributed by AV, 24-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
mgmhmrcl	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑇) → (𝑆 ∈ Mgm ∧ 𝑇 ∈ Mgm))

Proof of Theorem mgmhmrcl

Dummy variables 𝑡 𝑠 𝑓 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mgmhm 46484	. 2 ⊢ MgmHom = (𝑠 ∈ Mgm, 𝑡 ∈ Mgm ↦ {𝑓 ∈ ((Base‘𝑡) ↑m (Base‘𝑠)) ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑠)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑠)(𝑓‘(𝑥(+g‘𝑠)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥)(+g‘𝑡)(𝑓‘𝑦))})
2	1	elmpocl 7643	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑇) → (𝑆 ∈ Mgm ∧ 𝑇 ∈ Mgm))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062  {crab 3433  ‘cfv 6540  (class class class)co 7404   ↑_m cmap 8816  Basecbs 17140  +_gcplusg 17193  Mgmcmgm 18555   MgmHom cmgmhm 46482

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-xp 5681  df-dm 5685  df-iota 6492  df-fv 6548  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-mgmhm 46484

This theorem is referenced by:  ismgmhm  46488  mgmhmf1o  46492  resmgmhm  46503  resmgmhm2  46504  resmgmhm2b  46505  mgmhmco  46506  mgmhmima  46507  mgmhmeql  46508