Theorem mgmhmrcl 44898

Description: Reverse closure of a magma homomorphism. (Contributed by AV, 24-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
mgmhmrcl	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑇) → (𝑆 ∈ Mgm ∧ 𝑇 ∈ Mgm))

Proof of Theorem mgmhmrcl

Dummy variables 𝑡 𝑠 𝑓 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mgmhm 44896	. 2 ⊢ MgmHom = (𝑠 ∈ Mgm, 𝑡 ∈ Mgm ↦ {𝑓 ∈ ((Base‘𝑡) ↑m (Base‘𝑠)) ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑠)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑠)(𝑓‘(𝑥(+g‘𝑠)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥)(+g‘𝑡)(𝑓‘𝑦))})
2	1	elmpocl 7405	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑇) → (𝑆 ∈ Mgm ∧ 𝑇 ∈ Mgm))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3053  {crab 3057  ‘cfv 6339  (class class class)co 7172   ↑_m cmap 8439  Basecbs 16588  +_gcplusg 16670  Mgmcmgm 17968   MgmHom cmgmhm 44894

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5296

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-ral 3058  df-rex 3059  df-v 3400  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-nul 4212  df-if 4415  df-sn 4517  df-pr 4519  df-op 4523  df-uni 4797  df-br 5031  df-opab 5093  df-xp 5531  df-dm 5535  df-iota 6297  df-fv 6347  df-ov 7175  df-oprab 7176  df-mpo 7177  df-mgmhm 44896

This theorem is referenced by:  ismgmhm  44900  mgmhmf1o  44904  resmgmhm  44915  resmgmhm2  44916  resmgmhm2b  44917  mgmhmco  44918  mgmhmima  44919  mgmhmeql  44920