MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mgmhmrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mgmhmrcl 18720
Description: Reverse closure of a magma homomorphism. (Contributed by AV, 24-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
mgmhmrcl (𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑇) → (𝑆 ∈ Mgm ∧ 𝑇 ∈ Mgm))

Proof of Theorem mgmhmrcl
Dummy variables 𝑡 𝑠 𝑓 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-mgmhm 18718 . 2 MgmHom = (𝑠 ∈ Mgm, 𝑡 ∈ Mgm ↦ {𝑓 ∈ ((Base‘𝑡) ↑m (Base‘𝑠)) ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑠)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑠)(𝑓‘(𝑥(+g𝑠)𝑦)) = ((𝑓𝑥)(+g𝑡)(𝑓𝑦))})
21elmpocl 7674 1 (𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑇) → (𝑆 ∈ Mgm ∧ 𝑇 ∈ Mgm))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  {crab 3433  cfv 6563  (class class class)co 7431  m cmap 8865  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  Mgmcmgm 18664   MgmHom cmgmhm 18716
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-xp 5695  df-dm 5699  df-iota 6516  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-mgmhm 18718
This theorem is referenced by:  ismgmhm  18722  mgmhmf1o  18726  resmgmhm  18737  resmgmhm2  18738  resmgmhm2b  18739  mgmhmco  18740  mgmhmima  18741  mgmhmeql  18742
  Copyright terms: Public domain W3C validator