Theorem resmgmhm2 18690

Description: One direction of resmgmhm2b 18691. (Contributed by AV, 26-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
resmgmhm2.u	⊢ 𝑈 = (𝑇 ↾s 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
resmgmhm2	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMgm‘𝑇)) → 𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑇))

Proof of Theorem resmgmhm2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgmhmrcl 18672	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑈) → (𝑆 ∈ Mgm ∧ 𝑈 ∈ Mgm))
2	1	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑈) → 𝑆 ∈ Mgm)
3		submgmrcl 18673	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (SubMgm‘𝑇) → 𝑇 ∈ Mgm)
4	2, 3	anim12i 613	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMgm‘𝑇)) → (𝑆 ∈ Mgm ∧ 𝑇 ∈ Mgm))
5		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
6		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
7	5, 6	mgmhmf 18675	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑈) → 𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑈))
8		resmgmhm2.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (𝑇 ↾s 𝑋)
9	8	submgmbas 18687	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (SubMgm‘𝑇) → 𝑋 = (Base‘𝑈))
10		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
11	10	submgmss 18683	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (SubMgm‘𝑇) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝑇))
12	9, 11	eqsstrrd 3994	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (SubMgm‘𝑇) → (Base‘𝑈) ⊆ (Base‘𝑇))
13		fss 6722	. . . 4 ⊢ ((𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑈) ∧ (Base‘𝑈) ⊆ (Base‘𝑇)) → 𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇))
14	7, 12, 13	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMgm‘𝑇)) → 𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇))
15		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
16		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
17	5, 15, 16	mgmhmlin 18677	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑈)(𝐹‘𝑦)))
18	17	3expb 1120	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑈) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑈)(𝐹‘𝑦)))
19	18	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMgm‘𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑈)(𝐹‘𝑦)))
20		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑇) = (+g‘𝑇)
21	8, 20	ressplusg 17305	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ (SubMgm‘𝑇) → (+g‘𝑇) = (+g‘𝑈))
22	21	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMgm‘𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → (+g‘𝑇) = (+g‘𝑈))
23	22	oveqd 7422	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMgm‘𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑈)(𝐹‘𝑦)))
24	19, 23	eqtr4d 2773	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMgm‘𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑦)))
25	24	ralrimivva 3187	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMgm‘𝑇)) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑦)))
26	14, 25	jca 511	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMgm‘𝑇)) → (𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑦))))
27	5, 10, 15, 20	ismgmhm 18674	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Mgm ∧ 𝑇 ∈ Mgm) ∧ (𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑦)))))
28	4, 26, 27	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMgm‘𝑇)) → 𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051   ⊆ wss 3926  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  Basecbs 17228   ↾_s cress 17251  +_gcplusg 17271  Mgmcmgm 18616   MgmHom cmgmhm 18668  SubMgmcsubmgm 18669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mgm 18618  df-mgmhm 18670  df-submgm 18671

This theorem is referenced by:  resmgmhm2b  18691