Theorem resmgmhm2 18615

Description: One direction of resmgmhm2b 18616. (Contributed by AV, 26-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
resmgmhm2.u	⊢ 𝑈 = (𝑇 ↾s 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
resmgmhm2	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMgm‘𝑇)) → 𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑇))

Proof of Theorem resmgmhm2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgmhmrcl 18597	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑈) → (𝑆 ∈ Mgm ∧ 𝑈 ∈ Mgm))
2	1	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑈) → 𝑆 ∈ Mgm)
3		submgmrcl 18598	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (SubMgm‘𝑇) → 𝑇 ∈ Mgm)
4	2, 3	anim12i 613	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMgm‘𝑇)) → (𝑆 ∈ Mgm ∧ 𝑇 ∈ Mgm))
5		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
6		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
7	5, 6	mgmhmf 18600	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑈) → 𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑈))
8		resmgmhm2.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (𝑇 ↾s 𝑋)
9	8	submgmbas 18612	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (SubMgm‘𝑇) → 𝑋 = (Base‘𝑈))
10		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
11	10	submgmss 18608	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (SubMgm‘𝑇) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝑇))
12	9, 11	eqsstrrd 3979	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (SubMgm‘𝑇) → (Base‘𝑈) ⊆ (Base‘𝑇))
13		fss 6686	. . . 4 ⊢ ((𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑈) ∧ (Base‘𝑈) ⊆ (Base‘𝑇)) → 𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇))
14	7, 12, 13	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMgm‘𝑇)) → 𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇))
15		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
16		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
17	5, 15, 16	mgmhmlin 18602	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑈)(𝐹‘𝑦)))
18	17	3expb 1120	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑈) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑈)(𝐹‘𝑦)))
19	18	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMgm‘𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑈)(𝐹‘𝑦)))
20		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑇) = (+g‘𝑇)
21	8, 20	ressplusg 17230	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ (SubMgm‘𝑇) → (+g‘𝑇) = (+g‘𝑈))
22	21	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMgm‘𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → (+g‘𝑇) = (+g‘𝑈))
23	22	oveqd 7386	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMgm‘𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑈)(𝐹‘𝑦)))
24	19, 23	eqtr4d 2767	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMgm‘𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑦)))
25	24	ralrimivva 3178	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMgm‘𝑇)) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑦)))
26	14, 25	jca 511	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMgm‘𝑇)) → (𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑦))))
27	5, 10, 15, 20	ismgmhm 18599	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Mgm ∧ 𝑇 ∈ Mgm) ∧ (𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑦)))))
28	4, 26, 27	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMgm‘𝑇)) → 𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ⊆ wss 3911  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155   ↾_s cress 17176  +_gcplusg 17196  Mgmcmgm 18541   MgmHom cmgmhm 18593  SubMgmcsubmgm 18594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mgm 18543  df-mgmhm 18595  df-submgm 18596

This theorem is referenced by:  resmgmhm2b  18616