Theorem resmgmhm2 18738

Description: One direction of resmgmhm2b 18739. (Contributed by AV, 26-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
resmgmhm2.u	⊢ 𝑈 = (𝑇 ↾s 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
resmgmhm2	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMgm‘𝑇)) → 𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑇))

Proof of Theorem resmgmhm2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgmhmrcl 18720	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑈) → (𝑆 ∈ Mgm ∧ 𝑈 ∈ Mgm))
2	1	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑈) → 𝑆 ∈ Mgm)
3		submgmrcl 18721	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (SubMgm‘𝑇) → 𝑇 ∈ Mgm)
4	2, 3	anim12i 613	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMgm‘𝑇)) → (𝑆 ∈ Mgm ∧ 𝑇 ∈ Mgm))
5		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
6		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
7	5, 6	mgmhmf 18723	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑈) → 𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑈))
8		resmgmhm2.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (𝑇 ↾s 𝑋)
9	8	submgmbas 18735	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (SubMgm‘𝑇) → 𝑋 = (Base‘𝑈))
10		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
11	10	submgmss 18731	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (SubMgm‘𝑇) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝑇))
12	9, 11	eqsstrrd 4035	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (SubMgm‘𝑇) → (Base‘𝑈) ⊆ (Base‘𝑇))
13		fss 6753	. . . 4 ⊢ ((𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑈) ∧ (Base‘𝑈) ⊆ (Base‘𝑇)) → 𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇))
14	7, 12, 13	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMgm‘𝑇)) → 𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇))
15		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
16		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
17	5, 15, 16	mgmhmlin 18725	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑈)(𝐹‘𝑦)))
18	17	3expb 1119	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑈) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑈)(𝐹‘𝑦)))
19	18	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMgm‘𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑈)(𝐹‘𝑦)))
20		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑇) = (+g‘𝑇)
21	8, 20	ressplusg 17336	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ (SubMgm‘𝑇) → (+g‘𝑇) = (+g‘𝑈))
22	21	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMgm‘𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → (+g‘𝑇) = (+g‘𝑈))
23	22	oveqd 7448	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMgm‘𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑈)(𝐹‘𝑦)))
24	19, 23	eqtr4d 2778	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMgm‘𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑦)))
25	24	ralrimivva 3200	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMgm‘𝑇)) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑦)))
26	14, 25	jca 511	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMgm‘𝑇)) → (𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑦))))
27	5, 10, 15, 20	ismgmhm 18722	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Mgm ∧ 𝑇 ∈ Mgm) ∧ (𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑦)))))
28	4, 26, 27	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMgm‘𝑇)) → 𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059   ⊆ wss 3963  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245   ↾_s cress 17274  +_gcplusg 17298  Mgmcmgm 18664   MgmHom cmgmhm 18716  SubMgmcsubmgm 18717

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mgm 18666  df-mgmhm 18718  df-submgm 18719

This theorem is referenced by:  resmgmhm2b  18739