Theorem resmgmhm2 18725

Description: One direction of resmgmhm2b 18726. (Contributed by AV, 26-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
resmgmhm2.u	⊢ 𝑈 = (𝑇 ↾s 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
resmgmhm2	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMgm‘𝑇)) → 𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑇))

Proof of Theorem resmgmhm2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgmhmrcl 18707	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑈) → (𝑆 ∈ Mgm ∧ 𝑈 ∈ Mgm))
2	1	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑈) → 𝑆 ∈ Mgm)
3		submgmrcl 18708	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (SubMgm‘𝑇) → 𝑇 ∈ Mgm)
4	2, 3	anim12i 613	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMgm‘𝑇)) → (𝑆 ∈ Mgm ∧ 𝑇 ∈ Mgm))
5		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
6		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
7	5, 6	mgmhmf 18710	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑈) → 𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑈))
8		resmgmhm2.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (𝑇 ↾s 𝑋)
9	8	submgmbas 18722	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (SubMgm‘𝑇) → 𝑋 = (Base‘𝑈))
10		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
11	10	submgmss 18718	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (SubMgm‘𝑇) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝑇))
12	9, 11	eqsstrrd 4019	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (SubMgm‘𝑇) → (Base‘𝑈) ⊆ (Base‘𝑇))
13		fss 6752	. . . 4 ⊢ ((𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑈) ∧ (Base‘𝑈) ⊆ (Base‘𝑇)) → 𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇))
14	7, 12, 13	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMgm‘𝑇)) → 𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇))
15		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
16		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
17	5, 15, 16	mgmhmlin 18712	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑈)(𝐹‘𝑦)))
18	17	3expb 1121	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑈) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑈)(𝐹‘𝑦)))
19	18	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMgm‘𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑈)(𝐹‘𝑦)))
20		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑇) = (+g‘𝑇)
21	8, 20	ressplusg 17334	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ (SubMgm‘𝑇) → (+g‘𝑇) = (+g‘𝑈))
22	21	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMgm‘𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → (+g‘𝑇) = (+g‘𝑈))
23	22	oveqd 7448	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMgm‘𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑈)(𝐹‘𝑦)))
24	19, 23	eqtr4d 2780	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMgm‘𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑦)))
25	24	ralrimivva 3202	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMgm‘𝑇)) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑦)))
26	14, 25	jca 511	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMgm‘𝑇)) → (𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑦))))
27	5, 10, 15, 20	ismgmhm 18709	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Mgm ∧ 𝑇 ∈ Mgm) ∧ (𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑦)))))
28	4, 26, 27	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMgm‘𝑇)) → 𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061   ⊆ wss 3951  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247   ↾_s cress 17274  +_gcplusg 17297  Mgmcmgm 18651   MgmHom cmgmhm 18703  SubMgmcsubmgm 18704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mgm 18653  df-mgmhm 18705  df-submgm 18706

This theorem is referenced by:  resmgmhm2b  18726