Theorem submgmrcl 18733

Description: Reverse closure for submagmas. (Contributed by AV, 24-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
submgmrcl	⊢ (𝑆 ∈ (SubMgm‘𝑀) → 𝑀 ∈ Mgm)

Proof of Theorem submgmrcl

Dummy variables 𝑡 𝑠 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-submgm 18731	. . 3 ⊢ SubMgm = (𝑠 ∈ Mgm ↦ {𝑡 ∈ 𝒫 (Base‘𝑠) ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑡 ∀𝑦 ∈ 𝑡 (𝑥(+g‘𝑠)𝑦) ∈ 𝑡})
2	1	dmmptss 6272	. 2 ⊢ dom SubMgm ⊆ Mgm
3		elfvdm 6957	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMgm‘𝑀) → 𝑀 ∈ dom SubMgm)
4	2, 3	sselid 4006	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMgm‘𝑀) → 𝑀 ∈ Mgm)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  {crab 3443  𝒫 cpw 4622  dom cdm 5700  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  +_gcplusg 17311  Mgmcmgm 18676  SubMgmcsubmgm 18729

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fv 6581  df-submgm 18731

This theorem is referenced by:  submgmss  18743  submgmcl  18745  submgmmgm  18746  subsubmgm  18748  resmgmhm2  18750