Theorem mhmrcl2 18822

Description: Reverse closure of a monoid homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mhmrcl2	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) → 𝑇 ∈ Mnd)

Proof of Theorem mhmrcl2

Dummy variables 𝑓 𝑠 𝑡 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mhm 18817	. 2 ⊢ MndHom = (𝑠 ∈ Mnd, 𝑡 ∈ Mnd ↦ {𝑓 ∈ ((Base‘𝑡) ↑m (Base‘𝑠)) ∣ (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑠)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑠)(𝑓‘(𝑥(+g‘𝑠)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥)(+g‘𝑡)(𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(0g‘𝑠)) = (0g‘𝑡))})
2	1	elmpocl2 7639	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) → 𝑇 ∈ Mnd)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ∀wral 3076  {crab 3414  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396   ↑_m cmap 8808  Basecbs 17245  +_gcplusg 17286  0_gc0g 17468  Mndcmnd 18768   MndHom cmhm 18815

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-xp 5653  df-dm 5657  df-iota 6477  df-fv 6529  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-mhm 18817

This theorem is referenced by:  mhmf1o  18830  resmhm  18854  mhmco  18857  mhmima  18859  pwsco2mhm  18867  gsumwmhm  18879  mhmmulg  19157  mhmhmeotmd  34224