Theorem mhmrcl2 18715

Description: Reverse closure of a monoid homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mhmrcl2	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) → 𝑇 ∈ Mnd)

Proof of Theorem mhmrcl2

Dummy variables 𝑓 𝑠 𝑡 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mhm 18710	. 2 ⊢ MndHom = (𝑠 ∈ Mnd, 𝑡 ∈ Mnd ↦ {𝑓 ∈ ((Base‘𝑡) ↑m (Base‘𝑠)) ∣ (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑠)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑠)(𝑓‘(𝑥(+g‘𝑠)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥)(+g‘𝑡)(𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(0g‘𝑠)) = (0g‘𝑡))})
2	1	elmpocl2 7632	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) → 𝑇 ∈ Mnd)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  {crab 3405  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ↑_m cmap 8799  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  0_gc0g 17402  Mndcmnd 18661   MndHom cmhm 18708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-xp 5644  df-dm 5648  df-iota 6464  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-mhm 18710

This theorem is referenced by:  mhmf1o  18723  resmhm  18747  mhmco  18750  mhmima  18752  pwsco2mhm  18760  gsumwmhm  18772  mhmmulg  19047  mhmhmeotmd  33917