Theorem pwsco2mhm 17989

Description: Left composition with a monoid homomorphism yields a monoid homomorphism of structure powers. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsco2mhm.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐴)
pwsco2mhm.z	⊢ 𝑍 = (𝑆 ↑s 𝐴)
pwsco2mhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwsco2mhm.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
pwsco2mhm.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))

Assertion

Ref	Expression
pwsco2mhm	⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)) ∈ (𝑌 MndHom 𝑍))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑔   𝑔,𝐹   𝑔,𝑌   𝑔,𝑍   𝜑,𝑔

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑔)   𝑅(𝑔)   𝑆(𝑔)   𝑉(𝑔)

Proof of Theorem pwsco2mhm

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwsco2mhm.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
2		mhmrcl1 17951	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆) → 𝑅 ∈ Mnd)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
4		pwsco2mhm.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		pwsco2mhm.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐴)
6	5	pwsmnd 17938	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ Mnd)
7	3, 4, 6	syl2anc 587	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Mnd)
8		mhmrcl2 17952	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆) → 𝑆 ∈ Mnd)
9	1, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Mnd)
10		pwsco2mhm.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (𝑆 ↑s 𝐴)
11	10	pwsmnd 17938	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑍 ∈ Mnd)
12	9, 4, 11	syl2anc 587	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ Mnd)
13		eqid 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
14		eqid 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
15	13, 14	mhmf 17953	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆) → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
16	1, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
17		pwsco2mhm.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
18	3	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Mnd)
19	4	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑉)
20		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → 𝑔 ∈ 𝐵)
21	5, 13, 17, 18, 19, 20	pwselbas 16754	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → 𝑔:𝐴⟶(Base‘𝑅))
22		fco 6505	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆) ∧ 𝑔:𝐴⟶(Base‘𝑅)) → (𝐹 ∘ 𝑔):𝐴⟶(Base‘𝑆))
23	16, 21, 22	syl2an2r 684	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → (𝐹 ∘ 𝑔):𝐴⟶(Base‘𝑆))
24		eqid 2798	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
25	10, 14, 24	pwselbasb 16753	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((𝐹 ∘ 𝑔) ∈ (Base‘𝑍) ↔ (𝐹 ∘ 𝑔):𝐴⟶(Base‘𝑆)))
26	9, 19, 25	syl2an2r 684	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ∘ 𝑔) ∈ (Base‘𝑍) ↔ (𝐹 ∘ 𝑔):𝐴⟶(Base‘𝑆)))
27	23, 26	mpbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → (𝐹 ∘ 𝑔) ∈ (Base‘𝑍))
28	27	fmpttd 6856	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)):𝐵⟶(Base‘𝑍))
29	1	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝐹 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
30	29	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝐹 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
31	29, 2	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Mnd)
32	4	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
33		simprl 770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
34	5, 13, 17, 31, 32, 33	pwselbas 16754	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥:𝐴⟶(Base‘𝑅))
35	34	ffvelrnda 6828	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑥‘𝑤) ∈ (Base‘𝑅))
36		simprr 772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
37	5, 13, 17, 31, 32, 36	pwselbas 16754	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑦:𝐴⟶(Base‘𝑅))
38	37	ffvelrnda 6828	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑦‘𝑤) ∈ (Base‘𝑅))
39		eqid 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
40		eqid 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
41	13, 39, 40	mhmlin 17955	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆) ∧ (𝑥‘𝑤) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑦‘𝑤) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹‘((𝑥‘𝑤)(+g‘𝑅)(𝑦‘𝑤))) = ((𝐹‘(𝑥‘𝑤))(+g‘𝑆)(𝐹‘(𝑦‘𝑤))))
42	30, 35, 38, 41	syl3anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝐹‘((𝑥‘𝑤)(+g‘𝑅)(𝑦‘𝑤))) = ((𝐹‘(𝑥‘𝑤))(+g‘𝑆)(𝐹‘(𝑦‘𝑤))))
43	42	mpteq2dva 5125	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘((𝑥‘𝑤)(+g‘𝑅)(𝑦‘𝑤)))) = (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘(𝑥‘𝑤))(+g‘𝑆)(𝐹‘(𝑦‘𝑤)))))
44		fvexd 6660	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝑥‘𝑤)) ∈ V)
45		fvexd 6660	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝑦‘𝑤)) ∈ V)
46	34	feqmptd 6708	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 = (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ (𝑥‘𝑤)))
47	29, 15	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
48	47	feqmptd 6708	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝐹 = (𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ↦ (𝐹‘𝑧)))
49		fveq2 6645	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑥‘𝑤) → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘(𝑥‘𝑤)))
50	35, 46, 48, 49	fmptco 6868	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹 ∘ 𝑥) = (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘(𝑥‘𝑤))))
51	37	feqmptd 6708	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑦 = (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦‘𝑤)))
52		fveq2 6645	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑦‘𝑤) → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘(𝑦‘𝑤)))
53	38, 51, 48, 52	fmptco 6868	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹 ∘ 𝑦) = (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘(𝑦‘𝑤))))
54	32, 44, 45, 50, 53	offval2 7406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝐹 ∘ 𝑥) ∘f (+g‘𝑆)(𝐹 ∘ 𝑦)) = (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘(𝑥‘𝑤))(+g‘𝑆)(𝐹‘(𝑦‘𝑤)))))
55	43, 54	eqtr4d 2836	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘((𝑥‘𝑤)(+g‘𝑅)(𝑦‘𝑤)))) = ((𝐹 ∘ 𝑥) ∘f (+g‘𝑆)(𝐹 ∘ 𝑦)))
56	31	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑅 ∈ Mnd)
57	13, 39	mndcl 17911	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑥‘𝑤) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑦‘𝑤) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑥‘𝑤)(+g‘𝑅)(𝑦‘𝑤)) ∈ (Base‘𝑅))
58	56, 35, 38, 57	syl3anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ((𝑥‘𝑤)(+g‘𝑅)(𝑦‘𝑤)) ∈ (Base‘𝑅))
59		eqid 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝑌) = (+g‘𝑌)
60	5, 17, 31, 32, 33, 36, 39, 59	pwsplusgval 16755	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝑌)𝑦) = (𝑥 ∘f (+g‘𝑅)𝑦))
61		fvexd 6660	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑥‘𝑤) ∈ V)
62		fvexd 6660	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑦‘𝑤) ∈ V)
63	32, 61, 62, 46, 51	offval2 7406	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∘f (+g‘𝑅)𝑦) = (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥‘𝑤)(+g‘𝑅)(𝑦‘𝑤))))
64	60, 63	eqtrd 2833	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝑌)𝑦) = (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥‘𝑤)(+g‘𝑅)(𝑦‘𝑤))))
65		fveq2 6645	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = ((𝑥‘𝑤)(+g‘𝑅)(𝑦‘𝑤)) → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘((𝑥‘𝑤)(+g‘𝑅)(𝑦‘𝑤))))
66	58, 64, 48, 65	fmptco 6868	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹 ∘ (𝑥(+g‘𝑌)𝑦)) = (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘((𝑥‘𝑤)(+g‘𝑅)(𝑦‘𝑤)))))
67	29, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑆 ∈ Mnd)
68		fco 6505	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆) ∧ 𝑥:𝐴⟶(Base‘𝑅)) → (𝐹 ∘ 𝑥):𝐴⟶(Base‘𝑆))
69	47, 34, 68	syl2anc 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹 ∘ 𝑥):𝐴⟶(Base‘𝑆))
70	10, 14, 24	pwselbasb 16753	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((𝐹 ∘ 𝑥) ∈ (Base‘𝑍) ↔ (𝐹 ∘ 𝑥):𝐴⟶(Base‘𝑆)))
71	67, 32, 70	syl2anc 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝐹 ∘ 𝑥) ∈ (Base‘𝑍) ↔ (𝐹 ∘ 𝑥):𝐴⟶(Base‘𝑆)))
72	69, 71	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹 ∘ 𝑥) ∈ (Base‘𝑍))
73		fco 6505	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆) ∧ 𝑦:𝐴⟶(Base‘𝑅)) → (𝐹 ∘ 𝑦):𝐴⟶(Base‘𝑆))
74	47, 37, 73	syl2anc 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹 ∘ 𝑦):𝐴⟶(Base‘𝑆))
75	10, 14, 24	pwselbasb 16753	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((𝐹 ∘ 𝑦) ∈ (Base‘𝑍) ↔ (𝐹 ∘ 𝑦):𝐴⟶(Base‘𝑆)))
76	67, 32, 75	syl2anc 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝐹 ∘ 𝑦) ∈ (Base‘𝑍) ↔ (𝐹 ∘ 𝑦):𝐴⟶(Base‘𝑆)))
77	74, 76	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹 ∘ 𝑦) ∈ (Base‘𝑍))
78		eqid 2798	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑍) = (+g‘𝑍)
79	10, 24, 67, 32, 72, 77, 40, 78	pwsplusgval 16755	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝐹 ∘ 𝑥)(+g‘𝑍)(𝐹 ∘ 𝑦)) = ((𝐹 ∘ 𝑥) ∘f (+g‘𝑆)(𝐹 ∘ 𝑦)))
80	55, 66, 79	3eqtr4d 2843	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹 ∘ (𝑥(+g‘𝑌)𝑦)) = ((𝐹 ∘ 𝑥)(+g‘𝑍)(𝐹 ∘ 𝑦)))
81		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)) = (𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))
82		coeq2 5693	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = (𝑥(+g‘𝑌)𝑦) → (𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐹 ∘ (𝑥(+g‘𝑌)𝑦)))
83	17, 59	mndcl 17911	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝑌)𝑦) ∈ 𝐵)
84	83	3expb 1117	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝑌)𝑦) ∈ 𝐵)
85	7, 84	sylan 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝑌)𝑦) ∈ 𝐵)
86		coexg 7616	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆) ∧ (𝑥(+g‘𝑌)𝑦) ∈ 𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑥(+g‘𝑌)𝑦)) ∈ V)
87	1, 85, 86	syl2an2r 684	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹 ∘ (𝑥(+g‘𝑌)𝑦)) ∈ V)
88	81, 82, 85, 87	fvmptd3 6768	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))‘(𝑥(+g‘𝑌)𝑦)) = (𝐹 ∘ (𝑥(+g‘𝑌)𝑦)))
89		coeq2 5693	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐹 ∘ 𝑥))
90	81, 89, 33, 72	fvmptd3 6768	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))‘𝑥) = (𝐹 ∘ 𝑥))
91		coeq2 5693	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝑦 → (𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐹 ∘ 𝑦))
92	81, 91, 36, 77	fvmptd3 6768	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))‘𝑦) = (𝐹 ∘ 𝑦))
93	90, 92	oveq12d 7153	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (((𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))‘𝑥)(+g‘𝑍)((𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))‘𝑦)) = ((𝐹 ∘ 𝑥)(+g‘𝑍)(𝐹 ∘ 𝑦)))
94	80, 88, 93	3eqtr4d 2843	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))‘(𝑥(+g‘𝑌)𝑦)) = (((𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))‘𝑥)(+g‘𝑍)((𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))‘𝑦)))
95	94	ralrimivva 3156	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))‘(𝑥(+g‘𝑌)𝑦)) = (((𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))‘𝑥)(+g‘𝑍)((𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))‘𝑦)))
96		coeq2 5693	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = (0g‘𝑌) → (𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐹 ∘ (0g‘𝑌)))
97		eqid 2798	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑌) = (0g‘𝑌)
98	17, 97	mndidcl 17918	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ Mnd → (0g‘𝑌) ∈ 𝐵)
99	7, 98	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑌) ∈ 𝐵)
100		coexg 7616	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆) ∧ (0g‘𝑌) ∈ 𝐵) → (𝐹 ∘ (0g‘𝑌)) ∈ V)
101	1, 99, 100	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ (0g‘𝑌)) ∈ V)
102	81, 96, 99, 101	fvmptd3 6768	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))‘(0g‘𝑌)) = (𝐹 ∘ (0g‘𝑌)))
103	16	ffnd 6488	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn (Base‘𝑅))
104		eqid 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
105	13, 104	mndidcl 17918	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
106	3, 105	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
107		fcoconst 6873	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 Fn (Base‘𝑅) ∧ (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹 ∘ (𝐴 × {(0g‘𝑅)})) = (𝐴 × {(𝐹‘(0g‘𝑅))}))
108	103, 106, 107	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ (𝐴 × {(0g‘𝑅)})) = (𝐴 × {(𝐹‘(0g‘𝑅))}))
109	5, 104	pws0g 17939	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 × {(0g‘𝑅)}) = (0g‘𝑌))
110	3, 4, 109	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {(0g‘𝑅)}) = (0g‘𝑌))
111	110	coeq2d 5697	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ (𝐴 × {(0g‘𝑅)})) = (𝐹 ∘ (0g‘𝑌)))
112		eqid 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
113	104, 112	mhm0 17956	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆) → (𝐹‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑆))
114	1, 113	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑆))
115	114	sneqd 4537	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {(𝐹‘(0g‘𝑅))} = {(0g‘𝑆)})
116	115	xpeq2d 5549	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {(𝐹‘(0g‘𝑅))}) = (𝐴 × {(0g‘𝑆)}))
117	108, 111, 116	3eqtr3d 2841	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ (0g‘𝑌)) = (𝐴 × {(0g‘𝑆)}))
118	10, 112	pws0g 17939	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 × {(0g‘𝑆)}) = (0g‘𝑍))
119	9, 4, 118	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {(0g‘𝑆)}) = (0g‘𝑍))
120	102, 117, 119	3eqtrd 2837	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))‘(0g‘𝑌)) = (0g‘𝑍))
121	28, 95, 120	3jca 1125	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)):𝐵⟶(Base‘𝑍) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))‘(𝑥(+g‘𝑌)𝑦)) = (((𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))‘𝑥)(+g‘𝑍)((𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))‘𝑦)) ∧ ((𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))‘(0g‘𝑌)) = (0g‘𝑍)))
122		eqid 2798	. . 3 ⊢ (0g‘𝑍) = (0g‘𝑍)
123	17, 24, 59, 78, 97, 122	ismhm 17950	. 2 ⊢ ((𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)) ∈ (𝑌 MndHom 𝑍) ↔ ((𝑌 ∈ Mnd ∧ 𝑍 ∈ Mnd) ∧ ((𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)):𝐵⟶(Base‘𝑍) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))‘(𝑥(+g‘𝑌)𝑦)) = (((𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))‘𝑥)(+g‘𝑍)((𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))‘𝑦)) ∧ ((𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))‘(0g‘𝑌)) = (0g‘𝑍))))
124	7, 12, 121, 123	syl21anbrc 1341	1 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)) ∈ (𝑌 MndHom 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  Vcvv 3441  {csn 4525   ↦ cmpt 5110   × cxp 5517   ∘ ccom 5523   Fn wfn 6319  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ∘_f cof 7387  Basecbs 16475  +_gcplusg 16557  0_gc0g 16705   ↑_s cpws 16712  Mndcmnd 17903   MndHom cmhm 17946

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12886  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-hom 16581  df-cco 16582  df-0g 16707  df-prds 16713  df-pws 16715  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-mhm 17948

This theorem is referenced by:  pwsco2rhm  19487