Theorem pwsco2mhm 18868

Description: Left composition with a monoid homomorphism yields a monoid homomorphism of structure powers. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsco2mhm.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐴)
pwsco2mhm.z	⊢ 𝑍 = (𝑆 ↑s 𝐴)
pwsco2mhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwsco2mhm.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
pwsco2mhm.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))

Assertion

Ref	Expression
pwsco2mhm	⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)) ∈ (𝑌 MndHom 𝑍))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑔   𝑔,𝐹   𝑔,𝑌   𝑔,𝑍   𝜑,𝑔

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑔)   𝑅(𝑔)   𝑆(𝑔)   𝑉(𝑔)

Proof of Theorem pwsco2mhm

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwsco2mhm.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
2		mhmrcl1 18822	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆) → 𝑅 ∈ Mnd)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
4		pwsco2mhm.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		pwsco2mhm.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐴)
6	5	pwsmnd 18807	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ Mnd)
7	3, 4, 6	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Mnd)
8		mhmrcl2 18823	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆) → 𝑆 ∈ Mnd)
9	1, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Mnd)
10		pwsco2mhm.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (𝑆 ↑s 𝐴)
11	10	pwsmnd 18807	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑍 ∈ Mnd)
12	9, 4, 11	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ Mnd)
13		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
14		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
15	13, 14	mhmf 18824	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆) → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
16	1, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
17		pwsco2mhm.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
18	3	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Mnd)
19	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑉)
20		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → 𝑔 ∈ 𝐵)
21	5, 13, 17, 18, 19, 20	pwselbas 17549	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → 𝑔:𝐴⟶(Base‘𝑅))
22		fco 6771	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆) ∧ 𝑔:𝐴⟶(Base‘𝑅)) → (𝐹 ∘ 𝑔):𝐴⟶(Base‘𝑆))
23	16, 21, 22	syl2an2r 684	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → (𝐹 ∘ 𝑔):𝐴⟶(Base‘𝑆))
24		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
25	10, 14, 24	pwselbasb 17548	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((𝐹 ∘ 𝑔) ∈ (Base‘𝑍) ↔ (𝐹 ∘ 𝑔):𝐴⟶(Base‘𝑆)))
26	9, 19, 25	syl2an2r 684	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ∘ 𝑔) ∈ (Base‘𝑍) ↔ (𝐹 ∘ 𝑔):𝐴⟶(Base‘𝑆)))
27	23, 26	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → (𝐹 ∘ 𝑔) ∈ (Base‘𝑍))
28	27	fmpttd 7149	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)):𝐵⟶(Base‘𝑍))
29	1	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝐹 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
30	29	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝐹 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
31	29, 2	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Mnd)
32	4	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
33		simprl 770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
34	5, 13, 17, 31, 32, 33	pwselbas 17549	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥:𝐴⟶(Base‘𝑅))
35	34	ffvelcdmda 7118	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑥‘𝑤) ∈ (Base‘𝑅))
36		simprr 772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
37	5, 13, 17, 31, 32, 36	pwselbas 17549	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑦:𝐴⟶(Base‘𝑅))
38	37	ffvelcdmda 7118	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑦‘𝑤) ∈ (Base‘𝑅))
39		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
40		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
41	13, 39, 40	mhmlin 18828	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆) ∧ (𝑥‘𝑤) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑦‘𝑤) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹‘((𝑥‘𝑤)(+g‘𝑅)(𝑦‘𝑤))) = ((𝐹‘(𝑥‘𝑤))(+g‘𝑆)(𝐹‘(𝑦‘𝑤))))
42	30, 35, 38, 41	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝐹‘((𝑥‘𝑤)(+g‘𝑅)(𝑦‘𝑤))) = ((𝐹‘(𝑥‘𝑤))(+g‘𝑆)(𝐹‘(𝑦‘𝑤))))
43	42	mpteq2dva 5266	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘((𝑥‘𝑤)(+g‘𝑅)(𝑦‘𝑤)))) = (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘(𝑥‘𝑤))(+g‘𝑆)(𝐹‘(𝑦‘𝑤)))))
44		fvexd 6935	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝑥‘𝑤)) ∈ V)
45		fvexd 6935	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝑦‘𝑤)) ∈ V)
46	34	feqmptd 6990	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 = (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ (𝑥‘𝑤)))
47	29, 15	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
48	47	feqmptd 6990	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝐹 = (𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ↦ (𝐹‘𝑧)))
49		fveq2 6920	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑥‘𝑤) → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘(𝑥‘𝑤)))
50	35, 46, 48, 49	fmptco 7163	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹 ∘ 𝑥) = (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘(𝑥‘𝑤))))
51	37	feqmptd 6990	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑦 = (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ (𝑦‘𝑤)))
52		fveq2 6920	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑦‘𝑤) → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘(𝑦‘𝑤)))
53	38, 51, 48, 52	fmptco 7163	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹 ∘ 𝑦) = (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘(𝑦‘𝑤))))
54	32, 44, 45, 50, 53	offval2 7734	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝐹 ∘ 𝑥) ∘f (+g‘𝑆)(𝐹 ∘ 𝑦)) = (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘(𝑥‘𝑤))(+g‘𝑆)(𝐹‘(𝑦‘𝑤)))))
55	43, 54	eqtr4d 2783	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘((𝑥‘𝑤)(+g‘𝑅)(𝑦‘𝑤)))) = ((𝐹 ∘ 𝑥) ∘f (+g‘𝑆)(𝐹 ∘ 𝑦)))
56	31	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑅 ∈ Mnd)
57	13, 39	mndcl 18780	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑥‘𝑤) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑦‘𝑤) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑥‘𝑤)(+g‘𝑅)(𝑦‘𝑤)) ∈ (Base‘𝑅))
58	56, 35, 38, 57	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ((𝑥‘𝑤)(+g‘𝑅)(𝑦‘𝑤)) ∈ (Base‘𝑅))
59		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝑌) = (+g‘𝑌)
60	5, 17, 31, 32, 33, 36, 39, 59	pwsplusgval 17550	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝑌)𝑦) = (𝑥 ∘f (+g‘𝑅)𝑦))
61		fvexd 6935	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑥‘𝑤) ∈ V)
62		fvexd 6935	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑦‘𝑤) ∈ V)
63	32, 61, 62, 46, 51	offval2 7734	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∘f (+g‘𝑅)𝑦) = (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥‘𝑤)(+g‘𝑅)(𝑦‘𝑤))))
64	60, 63	eqtrd 2780	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝑌)𝑦) = (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ((𝑥‘𝑤)(+g‘𝑅)(𝑦‘𝑤))))
65		fveq2 6920	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = ((𝑥‘𝑤)(+g‘𝑅)(𝑦‘𝑤)) → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘((𝑥‘𝑤)(+g‘𝑅)(𝑦‘𝑤))))
66	58, 64, 48, 65	fmptco 7163	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹 ∘ (𝑥(+g‘𝑌)𝑦)) = (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘((𝑥‘𝑤)(+g‘𝑅)(𝑦‘𝑤)))))
67	29, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑆 ∈ Mnd)
68		fco 6771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆) ∧ 𝑥:𝐴⟶(Base‘𝑅)) → (𝐹 ∘ 𝑥):𝐴⟶(Base‘𝑆))
69	47, 34, 68	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹 ∘ 𝑥):𝐴⟶(Base‘𝑆))
70	10, 14, 24	pwselbasb 17548	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((𝐹 ∘ 𝑥) ∈ (Base‘𝑍) ↔ (𝐹 ∘ 𝑥):𝐴⟶(Base‘𝑆)))
71	67, 32, 70	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝐹 ∘ 𝑥) ∈ (Base‘𝑍) ↔ (𝐹 ∘ 𝑥):𝐴⟶(Base‘𝑆)))
72	69, 71	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹 ∘ 𝑥) ∈ (Base‘𝑍))
73		fco 6771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆) ∧ 𝑦:𝐴⟶(Base‘𝑅)) → (𝐹 ∘ 𝑦):𝐴⟶(Base‘𝑆))
74	47, 37, 73	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹 ∘ 𝑦):𝐴⟶(Base‘𝑆))
75	10, 14, 24	pwselbasb 17548	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((𝐹 ∘ 𝑦) ∈ (Base‘𝑍) ↔ (𝐹 ∘ 𝑦):𝐴⟶(Base‘𝑆)))
76	67, 32, 75	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝐹 ∘ 𝑦) ∈ (Base‘𝑍) ↔ (𝐹 ∘ 𝑦):𝐴⟶(Base‘𝑆)))
77	74, 76	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹 ∘ 𝑦) ∈ (Base‘𝑍))
78		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑍) = (+g‘𝑍)
79	10, 24, 67, 32, 72, 77, 40, 78	pwsplusgval 17550	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝐹 ∘ 𝑥)(+g‘𝑍)(𝐹 ∘ 𝑦)) = ((𝐹 ∘ 𝑥) ∘f (+g‘𝑆)(𝐹 ∘ 𝑦)))
80	55, 66, 79	3eqtr4d 2790	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹 ∘ (𝑥(+g‘𝑌)𝑦)) = ((𝐹 ∘ 𝑥)(+g‘𝑍)(𝐹 ∘ 𝑦)))
81		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)) = (𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))
82		coeq2 5883	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = (𝑥(+g‘𝑌)𝑦) → (𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐹 ∘ (𝑥(+g‘𝑌)𝑦)))
83	17, 59	mndcl 18780	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝑌)𝑦) ∈ 𝐵)
84	83	3expb 1120	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝑌)𝑦) ∈ 𝐵)
85	7, 84	sylan 579	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝑌)𝑦) ∈ 𝐵)
86		coexg 7969	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆) ∧ (𝑥(+g‘𝑌)𝑦) ∈ 𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑥(+g‘𝑌)𝑦)) ∈ V)
87	1, 85, 86	syl2an2r 684	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹 ∘ (𝑥(+g‘𝑌)𝑦)) ∈ V)
88	81, 82, 85, 87	fvmptd3 7052	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))‘(𝑥(+g‘𝑌)𝑦)) = (𝐹 ∘ (𝑥(+g‘𝑌)𝑦)))
89		coeq2 5883	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝑥 → (𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐹 ∘ 𝑥))
90	81, 89, 33, 72	fvmptd3 7052	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))‘𝑥) = (𝐹 ∘ 𝑥))
91		coeq2 5883	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝑦 → (𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐹 ∘ 𝑦))
92	81, 91, 36, 77	fvmptd3 7052	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))‘𝑦) = (𝐹 ∘ 𝑦))
93	90, 92	oveq12d 7466	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (((𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))‘𝑥)(+g‘𝑍)((𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))‘𝑦)) = ((𝐹 ∘ 𝑥)(+g‘𝑍)(𝐹 ∘ 𝑦)))
94	80, 88, 93	3eqtr4d 2790	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))‘(𝑥(+g‘𝑌)𝑦)) = (((𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))‘𝑥)(+g‘𝑍)((𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))‘𝑦)))
95	94	ralrimivva 3208	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))‘(𝑥(+g‘𝑌)𝑦)) = (((𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))‘𝑥)(+g‘𝑍)((𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))‘𝑦)))
96		coeq2 5883	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = (0g‘𝑌) → (𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐹 ∘ (0g‘𝑌)))
97		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑌) = (0g‘𝑌)
98	17, 97	mndidcl 18787	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ Mnd → (0g‘𝑌) ∈ 𝐵)
99	7, 98	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑌) ∈ 𝐵)
100		coexg 7969	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆) ∧ (0g‘𝑌) ∈ 𝐵) → (𝐹 ∘ (0g‘𝑌)) ∈ V)
101	1, 99, 100	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ (0g‘𝑌)) ∈ V)
102	81, 96, 99, 101	fvmptd3 7052	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))‘(0g‘𝑌)) = (𝐹 ∘ (0g‘𝑌)))
103	16	ffnd 6748	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn (Base‘𝑅))
104		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
105	13, 104	mndidcl 18787	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
106	3, 105	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
107		fcoconst 7168	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 Fn (Base‘𝑅) ∧ (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹 ∘ (𝐴 × {(0g‘𝑅)})) = (𝐴 × {(𝐹‘(0g‘𝑅))}))
108	103, 106, 107	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ (𝐴 × {(0g‘𝑅)})) = (𝐴 × {(𝐹‘(0g‘𝑅))}))
109	5, 104	pws0g 18808	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 × {(0g‘𝑅)}) = (0g‘𝑌))
110	3, 4, 109	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {(0g‘𝑅)}) = (0g‘𝑌))
111	110	coeq2d 5887	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ (𝐴 × {(0g‘𝑅)})) = (𝐹 ∘ (0g‘𝑌)))
112		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
113	104, 112	mhm0 18829	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆) → (𝐹‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑆))
114	1, 113	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑆))
115	114	sneqd 4660	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {(𝐹‘(0g‘𝑅))} = {(0g‘𝑆)})
116	115	xpeq2d 5730	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {(𝐹‘(0g‘𝑅))}) = (𝐴 × {(0g‘𝑆)}))
117	108, 111, 116	3eqtr3d 2788	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ (0g‘𝑌)) = (𝐴 × {(0g‘𝑆)}))
118	10, 112	pws0g 18808	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 × {(0g‘𝑆)}) = (0g‘𝑍))
119	9, 4, 118	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {(0g‘𝑆)}) = (0g‘𝑍))
120	102, 117, 119	3eqtrd 2784	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))‘(0g‘𝑌)) = (0g‘𝑍))
121	28, 95, 120	3jca 1128	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)):𝐵⟶(Base‘𝑍) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))‘(𝑥(+g‘𝑌)𝑦)) = (((𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))‘𝑥)(+g‘𝑍)((𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))‘𝑦)) ∧ ((𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))‘(0g‘𝑌)) = (0g‘𝑍)))
122		eqid 2740	. . 3 ⊢ (0g‘𝑍) = (0g‘𝑍)
123	17, 24, 59, 78, 97, 122	ismhm 18820	. 2 ⊢ ((𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)) ∈ (𝑌 MndHom 𝑍) ↔ ((𝑌 ∈ Mnd ∧ 𝑍 ∈ Mnd) ∧ ((𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)):𝐵⟶(Base‘𝑍) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))‘(𝑥(+g‘𝑌)𝑦)) = (((𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))‘𝑥)(+g‘𝑍)((𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))‘𝑦)) ∧ ((𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))‘(0g‘𝑌)) = (0g‘𝑍))))
124	7, 12, 121, 123	syl21anbrc 1344	1 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)) ∈ (𝑌 MndHom 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  Vcvv 3488  {csn 4648   ↦ cmpt 5249   × cxp 5698   ∘ ccom 5704   Fn wfn 6568  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ∘_f cof 7712  Basecbs 17258  +_gcplusg 17311  0_gc0g 17499   ↑_s cpws 17506  Mndcmnd 18772   MndHom cmhm 18816

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-struct 17194  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-hom 17335  df-cco 17336  df-0g 17501  df-prds 17507  df-pws 17509  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mhm 18818

This theorem is referenced by:  pwsco2rhm  20529