Theorem mhmrcl1 18846

Description: Reverse closure of a monoid homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mhmrcl1	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) → 𝑆 ∈ Mnd)

Proof of Theorem mhmrcl1

Dummy variables 𝑓 𝑠 𝑡 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mhm 18842	. 2 ⊢ MndHom = (𝑠 ∈ Mnd, 𝑡 ∈ Mnd ↦ {𝑓 ∈ ((Base‘𝑡) ↑m (Base‘𝑠)) ∣ (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑠)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑠)(𝑓‘(𝑥(+g‘𝑠)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥)(+g‘𝑡)(𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(0g‘𝑠)) = (0g‘𝑡))})
2	1	elmpocl1 7654	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) → 𝑆 ∈ Mnd)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  {crab 3416  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412   ↑_m cmap 8825  Basecbs 17270  +_gcplusg 17311  0_gc0g 17493  Mndcmnd 18793   MndHom cmhm 18840

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pr 5406

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-xp 5669  df-dm 5673  df-iota 6494  df-fv 6546  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-mhm 18842

This theorem is referenced by:  mhmf1o  18855  mhmvlin  18860  resmhm2  18881  resmhm2b  18882  mhmco  18883  mhmeql  18886  pwsco2mhm  18893  gsumwmhm  18905  mhmmulg  19182  mhmcompl  22253  mhmimasplusg  33335  fxpsubm  33470  mhmhmeotmd  34295