MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mhmrcl1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mhmrcl1 18712
Description: Reverse closure of a monoid homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
mhmrcl1 (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) → 𝑆 ∈ Mnd)

Proof of Theorem mhmrcl1
Dummy variables 𝑓 𝑠 𝑡 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-mhm 18708 . 2 MndHom = (𝑠 ∈ Mnd, 𝑡 ∈ Mnd ↦ {𝑓 ∈ ((Base‘𝑡) ↑m (Base‘𝑠)) ∣ (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑠)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑠)(𝑓‘(𝑥(+g𝑠)𝑦)) = ((𝑓𝑥)(+g𝑡)(𝑓𝑦)) ∧ (𝑓‘(0g𝑠)) = (0g𝑡))})
21elmpocl1 7653 1 (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) → 𝑆 ∈ Mnd)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3060  {crab 3431  cfv 6543  (class class class)co 7412  m cmap 8826  Basecbs 17151  +gcplusg 17204  0gc0g 17392  Mndcmnd 18662   MndHom cmhm 18706
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-xp 5682  df-dm 5686  df-iota 6495  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-mhm 18708
This theorem is referenced by:  mhmf1o  18721  resmhm2  18741  resmhm2b  18742  mhmco  18743  mhmeql  18746  pwsco2mhm  18753  gsumwmhm  18765  mhmmulg  19035  mhmvlin  22132  mhmimasplusg  32481  mhmhmeotmd  33220  mhmcompl  41435
  Copyright terms: Public domain W3C validator