Theorem mhmrcl1 18765

Description: Reverse closure of a monoid homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mhmrcl1	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) → 𝑆 ∈ Mnd)

Proof of Theorem mhmrcl1

Dummy variables 𝑓 𝑠 𝑡 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mhm 18761	. 2 ⊢ MndHom = (𝑠 ∈ Mnd, 𝑡 ∈ Mnd ↦ {𝑓 ∈ ((Base‘𝑡) ↑m (Base‘𝑠)) ∣ (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑠)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑠)(𝑓‘(𝑥(+g‘𝑠)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥)(+g‘𝑡)(𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(0g‘𝑠)) = (0g‘𝑡))})
2	1	elmpocl1 7649	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) → 𝑆 ∈ Mnd)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  {crab 3415  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405   ↑_m cmap 8840  Basecbs 17228  +_gcplusg 17271  0_gc0g 17453  Mndcmnd 18712   MndHom cmhm 18759

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-dif 3929  df-un 3931  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-xp 5660  df-dm 5664  df-iota 6484  df-fv 6539  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-mhm 18761

This theorem is referenced by:  mhmf1o  18774  mhmvlin  18779  resmhm2  18799  resmhm2b  18800  mhmco  18801  mhmeql  18804  pwsco2mhm  18811  gsumwmhm  18823  mhmmulg  19098  mhmcompl  22318  mhmimasplusg  33033  mhmhmeotmd  33958