Theorem mhmrcl1 18987

Description: Reverse closure of a monoid homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mhmrcl1	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) → 𝑆 ∈ Mnd)

Proof of Theorem mhmrcl1

Dummy variables 𝑓 𝑠 𝑡 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mhm 18983	. 2 ⊢ MndHom = (𝑠 ∈ Mnd, 𝑡 ∈ Mnd ↦ {𝑓 ∈ ((Base‘𝑡) ↑m (Base‘𝑠)) ∣ (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑠)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑠)(𝑓‘(𝑥(+g‘𝑠)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥)(+g‘𝑡)(𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(0g‘𝑠)) = (0g‘𝑡))})
2	1	elmpocl1 7663	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) → 𝑆 ∈ Mnd)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  {crab 3412  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ↑_m cmap 8850  Basecbs 17392  +_gcplusg 17433  0_gc0g 17615  Mndcmnd 18928   MndHom cmhm 18981

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-xp 5656  df-dm 5660  df-iota 6494  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-mhm 18983

This theorem is used by:  mhmf1o  18996  mhmvlin  19001  resmhm2  19022  resmhm2b  19023  mhmco  19024  mhmeql  19027  pwsco2mhm  19034  gsumwmhm  19046  mhmmulg  19330  mhmcompl  22435  mhmimasplusg  33644  fxpsubm  33779  mhmhmeotmd  34605