Theorem mhmrcl1 18755

Description: Reverse closure of a monoid homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mhmrcl1	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) → 𝑆 ∈ Mnd)

Proof of Theorem mhmrcl1

Dummy variables 𝑓 𝑠 𝑡 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mhm 18751	. 2 ⊢ MndHom = (𝑠 ∈ Mnd, 𝑡 ∈ Mnd ↦ {𝑓 ∈ ((Base‘𝑡) ↑m (Base‘𝑠)) ∣ (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑠)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑠)(𝑓‘(𝑥(+g‘𝑠)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥)(+g‘𝑡)(𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(0g‘𝑠)) = (0g‘𝑡))})
2	1	elmpocl1 7609	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) → 𝑆 ∈ Mnd)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  {crab 3389  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ↑_m cmap 8773  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  0_gc0g 17402  Mndcmnd 18702   MndHom cmhm 18749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-xp 5637  df-dm 5641  df-iota 6454  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-mhm 18751

This theorem is referenced by:  mhmf1o  18764  mhmvlin  18769  resmhm2  18789  resmhm2b  18790  mhmco  18791  mhmeql  18794  pwsco2mhm  18801  gsumwmhm  18813  mhmmulg  19091  mhmcompl  22345  mhmimasplusg  33098  fxpsubm  33233  mhmhmeotmd  34071