Theorem mhmima 19026

Description: The homomorphic image of a submonoid is a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 8-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
mhmima	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑀)) → (𝐹 “ 𝑋) ∈ (SubMnd‘𝑁))

Proof of Theorem mhmima

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imassrn 6197	. . 3 ⊢ (𝐹 “ 𝑋) ⊆ ran 𝐹
2		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
3		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑁) = (Base‘𝑁)
4	2, 3	mhmf 18989	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) → 𝐹:(Base‘𝑀)⟶(Base‘𝑁))
5	4	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑀)) → 𝐹:(Base‘𝑀)⟶(Base‘𝑁))
6	5	frnd 6718	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑀)) → ran 𝐹 ⊆ (Base‘𝑁))
7	1, 6	sstrid 3919	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑀)) → (𝐹 “ 𝑋) ⊆ (Base‘𝑁))
8		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
9		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑁) = (0g‘𝑁)
10	8, 9	mhm0 18994	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) → (𝐹‘(0g‘𝑀)) = (0g‘𝑁))
11	10	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑀)) → (𝐹‘(0g‘𝑀)) = (0g‘𝑁))
12	5	ffnd 6710	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑀)) → 𝐹 Fn (Base‘𝑀))
13	2	submss 19009	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑀) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝑀))
14	13	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑀)) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝑀))
15	8	subm0cl 19011	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑀) → (0g‘𝑀) ∈ 𝑋)
16	15	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑀)) → (0g‘𝑀) ∈ 𝑋)
17		fnfvima 7239	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn (Base‘𝑀) ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ (0g‘𝑀) ∈ 𝑋) → (𝐹‘(0g‘𝑀)) ∈ (𝐹 “ 𝑋))
18	12, 14, 16, 17	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑀)) → (𝐹‘(0g‘𝑀)) ∈ (𝐹 “ 𝑋))
19	11, 18	eqeltrrd 2861	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑀)) → (0g‘𝑁) ∈ (𝐹 “ 𝑋))
20		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑀)) → 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁))
21		eqidd 2761	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑀)) → (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀))
22		eqidd 2761	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑀)) → (+g‘𝑁) = (+g‘𝑁))
23		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
24	23	submcl 19012	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑧(+g‘𝑀)𝑥) ∈ 𝑋)
25	24	3adant1l 1195	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑧(+g‘𝑀)𝑥) ∈ 𝑋)
26	20, 14, 21, 22, 25	mhmimalem 19025	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑀)) → ∀𝑥 ∈ (𝐹 “ 𝑋)∀𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝑋)(𝑥(+g‘𝑁)𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑋))
27		mhmrcl2 18988	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) → 𝑁 ∈ Mnd)
28	27	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑀)) → 𝑁 ∈ Mnd)
29		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑁) = (+g‘𝑁)
30	3, 9, 29	issubm 19003	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ Mnd → ((𝐹 “ 𝑋) ∈ (SubMnd‘𝑁) ↔ ((𝐹 “ 𝑋) ⊆ (Base‘𝑁) ∧ (0g‘𝑁) ∈ (𝐹 “ 𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐹 “ 𝑋)∀𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝑋)(𝑥(+g‘𝑁)𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑋))))
31	28, 30	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑀)) → ((𝐹 “ 𝑋) ∈ (SubMnd‘𝑁) ↔ ((𝐹 “ 𝑋) ⊆ (Base‘𝑁) ∧ (0g‘𝑁) ∈ (𝐹 “ 𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐹 “ 𝑋)∀𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝑋)(𝑥(+g‘𝑁)𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑋))))
32	7, 19, 26, 31	mpbir3and 1361	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑀)) → (𝐹 “ 𝑋) ∈ (SubMnd‘𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076   ⊆ wss 3895  ran crn 5651   “ cima 5653   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17392  +_gcplusg 17433  0_gc0g 17615  Mndcmnd 18928   MndHom cmhm 18981  SubMndcsubmnd 18982

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-map 8852  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-2 12408  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-ress 17414  df-plusg 17446  df-0g 17617  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-mhm 18983  df-submnd 18984

This theorem is used by:  rhmima  20861