MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mhmima Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mhmima 18640
Description: The homomorphic image of a submonoid is a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
mhmima ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) β†’ (𝐹 β€œ 𝑋) ∈ (SubMndβ€˜π‘))

Proof of Theorem mhmima
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imassrn 6025 . . 3 (𝐹 β€œ 𝑋) βŠ† ran 𝐹
2 eqid 2733 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘€)
3 eqid 2733 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘)
42, 3mhmf 18612 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘€)⟢(Baseβ€˜π‘))
54adantr 482 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘€)⟢(Baseβ€˜π‘))
65frnd 6677 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) β†’ ran 𝐹 βŠ† (Baseβ€˜π‘))
71, 6sstrid 3956 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) β†’ (𝐹 β€œ 𝑋) βŠ† (Baseβ€˜π‘))
8 eqid 2733 . . . . 5 (0gβ€˜π‘€) = (0gβ€˜π‘€)
9 eqid 2733 . . . . 5 (0gβ€˜π‘) = (0gβ€˜π‘)
108, 9mhm0 18615 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) β†’ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘€)) = (0gβ€˜π‘))
1110adantr 482 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) β†’ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘€)) = (0gβ€˜π‘))
125ffnd 6670 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) β†’ 𝐹 Fn (Baseβ€˜π‘€))
132submss 18625 . . . . 5 (𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘€) β†’ 𝑋 βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
1413adantl 483 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) β†’ 𝑋 βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
158subm0cl 18627 . . . . 5 (𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘€) β†’ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝑋)
1615adantl 483 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) β†’ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝑋)
17 fnfvima 7184 . . . 4 ((𝐹 Fn (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑋 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘€)) ∈ (𝐹 β€œ 𝑋))
1812, 14, 16, 17syl3anc 1372 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) β†’ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘€)) ∈ (𝐹 β€œ 𝑋))
1911, 18eqeltrrd 2835 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) β†’ (0gβ€˜π‘) ∈ (𝐹 β€œ 𝑋))
20 simpll 766 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)) β†’ 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁))
2114adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)) β†’ 𝑋 βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
22 simprl 770 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)) β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
2321, 22sseldd 3946 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)) β†’ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€))
24 simprr 772 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
2521, 24sseldd 3946 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€))
26 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘€)
27 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (+gβ€˜π‘) = (+gβ€˜π‘)
282, 26, 27mhmlin 18614 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (πΉβ€˜(𝑧(+gβ€˜π‘€)π‘₯)) = ((πΉβ€˜π‘§)(+gβ€˜π‘)(πΉβ€˜π‘₯)))
2920, 23, 25, 28syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜(𝑧(+gβ€˜π‘€)π‘₯)) = ((πΉβ€˜π‘§)(+gβ€˜π‘)(πΉβ€˜π‘₯)))
3012adantr 482 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)) β†’ 𝐹 Fn (Baseβ€˜π‘€))
3126submcl 18628 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑧(+gβ€˜π‘€)π‘₯) ∈ 𝑋)
32313expb 1121 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘€) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)) β†’ (𝑧(+gβ€˜π‘€)π‘₯) ∈ 𝑋)
3332adantll 713 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)) β†’ (𝑧(+gβ€˜π‘€)π‘₯) ∈ 𝑋)
34 fnfvima 7184 . . . . . . . . 9 ((𝐹 Fn (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑋 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (𝑧(+gβ€˜π‘€)π‘₯) ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜(𝑧(+gβ€˜π‘€)π‘₯)) ∈ (𝐹 β€œ 𝑋))
3530, 21, 33, 34syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜(𝑧(+gβ€˜π‘€)π‘₯)) ∈ (𝐹 β€œ 𝑋))
3629, 35eqeltrrd 2835 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜π‘§)(+gβ€˜π‘)(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ (𝐹 β€œ 𝑋))
3736anassrs 469 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘§)(+gβ€˜π‘)(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ (𝐹 β€œ 𝑋))
3837ralrimiva 3140 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 ((πΉβ€˜π‘§)(+gβ€˜π‘)(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ (𝐹 β€œ 𝑋))
39 oveq2 7366 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘₯) β†’ ((πΉβ€˜π‘§)(+gβ€˜π‘)𝑦) = ((πΉβ€˜π‘§)(+gβ€˜π‘)(πΉβ€˜π‘₯)))
4039eleq1d 2819 . . . . . . . 8 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘₯) β†’ (((πΉβ€˜π‘§)(+gβ€˜π‘)𝑦) ∈ (𝐹 β€œ 𝑋) ↔ ((πΉβ€˜π‘§)(+gβ€˜π‘)(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ (𝐹 β€œ 𝑋)))
4140ralima 7189 . . . . . . 7 ((𝐹 Fn (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑋 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐹 β€œ 𝑋)((πΉβ€˜π‘§)(+gβ€˜π‘)𝑦) ∈ (𝐹 β€œ 𝑋) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 ((πΉβ€˜π‘§)(+gβ€˜π‘)(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ (𝐹 β€œ 𝑋)))
4212, 14, 41syl2anc 585 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐹 β€œ 𝑋)((πΉβ€˜π‘§)(+gβ€˜π‘)𝑦) ∈ (𝐹 β€œ 𝑋) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 ((πΉβ€˜π‘§)(+gβ€˜π‘)(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ (𝐹 β€œ 𝑋)))
4342adantr 482 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐹 β€œ 𝑋)((πΉβ€˜π‘§)(+gβ€˜π‘)𝑦) ∈ (𝐹 β€œ 𝑋) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 ((πΉβ€˜π‘§)(+gβ€˜π‘)(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ (𝐹 β€œ 𝑋)))
4438, 43mpbird 257 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐹 β€œ 𝑋)((πΉβ€˜π‘§)(+gβ€˜π‘)𝑦) ∈ (𝐹 β€œ 𝑋))
4544ralrimiva 3140 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ (𝐹 β€œ 𝑋)((πΉβ€˜π‘§)(+gβ€˜π‘)𝑦) ∈ (𝐹 β€œ 𝑋))
46 oveq1 7365 . . . . . . 7 (π‘₯ = (πΉβ€˜π‘§) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘)𝑦) = ((πΉβ€˜π‘§)(+gβ€˜π‘)𝑦))
4746eleq1d 2819 . . . . . 6 (π‘₯ = (πΉβ€˜π‘§) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜π‘)𝑦) ∈ (𝐹 β€œ 𝑋) ↔ ((πΉβ€˜π‘§)(+gβ€˜π‘)𝑦) ∈ (𝐹 β€œ 𝑋)))
4847ralbidv 3171 . . . . 5 (π‘₯ = (πΉβ€˜π‘§) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐹 β€œ 𝑋)(π‘₯(+gβ€˜π‘)𝑦) ∈ (𝐹 β€œ 𝑋) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐹 β€œ 𝑋)((πΉβ€˜π‘§)(+gβ€˜π‘)𝑦) ∈ (𝐹 β€œ 𝑋)))
4948ralima 7189 . . . 4 ((𝐹 Fn (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑋 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐹 β€œ 𝑋)βˆ€π‘¦ ∈ (𝐹 β€œ 𝑋)(π‘₯(+gβ€˜π‘)𝑦) ∈ (𝐹 β€œ 𝑋) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ (𝐹 β€œ 𝑋)((πΉβ€˜π‘§)(+gβ€˜π‘)𝑦) ∈ (𝐹 β€œ 𝑋)))
5012, 14, 49syl2anc 585 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐹 β€œ 𝑋)βˆ€π‘¦ ∈ (𝐹 β€œ 𝑋)(π‘₯(+gβ€˜π‘)𝑦) ∈ (𝐹 β€œ 𝑋) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ (𝐹 β€œ 𝑋)((πΉβ€˜π‘§)(+gβ€˜π‘)𝑦) ∈ (𝐹 β€œ 𝑋)))
5145, 50mpbird 257 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐹 β€œ 𝑋)βˆ€π‘¦ ∈ (𝐹 β€œ 𝑋)(π‘₯(+gβ€˜π‘)𝑦) ∈ (𝐹 β€œ 𝑋))
52 mhmrcl2 18611 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) β†’ 𝑁 ∈ Mnd)
5352adantr 482 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) β†’ 𝑁 ∈ Mnd)
543, 9, 27issubm 18619 . . 3 (𝑁 ∈ Mnd β†’ ((𝐹 β€œ 𝑋) ∈ (SubMndβ€˜π‘) ↔ ((𝐹 β€œ 𝑋) βŠ† (Baseβ€˜π‘) ∧ (0gβ€˜π‘) ∈ (𝐹 β€œ 𝑋) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐹 β€œ 𝑋)βˆ€π‘¦ ∈ (𝐹 β€œ 𝑋)(π‘₯(+gβ€˜π‘)𝑦) ∈ (𝐹 β€œ 𝑋))))
5553, 54syl 17 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) β†’ ((𝐹 β€œ 𝑋) ∈ (SubMndβ€˜π‘) ↔ ((𝐹 β€œ 𝑋) βŠ† (Baseβ€˜π‘) ∧ (0gβ€˜π‘) ∈ (𝐹 β€œ 𝑋) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐹 β€œ 𝑋)βˆ€π‘¦ ∈ (𝐹 β€œ 𝑋)(π‘₯(+gβ€˜π‘)𝑦) ∈ (𝐹 β€œ 𝑋))))
567, 19, 51, 55mpbir3and 1343 1 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) β†’ (𝐹 β€œ 𝑋) ∈ (SubMndβ€˜π‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061   βŠ† wss 3911  ran crn 5635   β€œ cima 5637   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  +gcplusg 17138  0gc0g 17326  Mndcmnd 18561   MndHom cmhm 18604  SubMndcsubmnd 18605
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-0g 17328  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-mhm 18606  df-submnd 18607
This theorem is referenced by:  rhmima  20267
  Copyright terms: Public domain W3C validator