MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mhmima Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mhmima 18742
Description: The homomorphic image of a submonoid is a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 8-Mar-2025.)
Assertion
Ref Expression
mhmima ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) β†’ (𝐹 β€œ 𝑋) ∈ (SubMndβ€˜π‘))

Proof of Theorem mhmima
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imassrn 6069 . . 3 (𝐹 β€œ 𝑋) βŠ† ran 𝐹
2 eqid 2730 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘€)
3 eqid 2730 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘)
42, 3mhmf 18711 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘€)⟢(Baseβ€˜π‘))
54adantr 479 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘€)⟢(Baseβ€˜π‘))
65frnd 6724 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) β†’ ran 𝐹 βŠ† (Baseβ€˜π‘))
71, 6sstrid 3992 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) β†’ (𝐹 β€œ 𝑋) βŠ† (Baseβ€˜π‘))
8 eqid 2730 . . . . 5 (0gβ€˜π‘€) = (0gβ€˜π‘€)
9 eqid 2730 . . . . 5 (0gβ€˜π‘) = (0gβ€˜π‘)
108, 9mhm0 18716 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) β†’ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘€)) = (0gβ€˜π‘))
1110adantr 479 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) β†’ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘€)) = (0gβ€˜π‘))
125ffnd 6717 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) β†’ 𝐹 Fn (Baseβ€˜π‘€))
132submss 18726 . . . . 5 (𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘€) β†’ 𝑋 βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
1413adantl 480 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) β†’ 𝑋 βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
158subm0cl 18728 . . . . 5 (𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘€) β†’ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝑋)
1615adantl 480 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) β†’ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝑋)
17 fnfvima 7236 . . . 4 ((𝐹 Fn (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑋 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘€)) ∈ (𝐹 β€œ 𝑋))
1812, 14, 16, 17syl3anc 1369 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) β†’ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘€)) ∈ (𝐹 β€œ 𝑋))
1911, 18eqeltrrd 2832 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) β†’ (0gβ€˜π‘) ∈ (𝐹 β€œ 𝑋))
20 simpl 481 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) β†’ 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁))
21 eqidd 2731 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) β†’ (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘€))
22 eqidd 2731 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) β†’ (+gβ€˜π‘) = (+gβ€˜π‘))
23 eqid 2730 . . . . 5 (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘€)
2423submcl 18729 . . . 4 ((𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑧(+gβ€˜π‘€)π‘₯) ∈ 𝑋)
25243adant1l 1174 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑧(+gβ€˜π‘€)π‘₯) ∈ 𝑋)
2620, 14, 21, 22, 25mhmimalem 18741 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐹 β€œ 𝑋)βˆ€π‘¦ ∈ (𝐹 β€œ 𝑋)(π‘₯(+gβ€˜π‘)𝑦) ∈ (𝐹 β€œ 𝑋))
27 mhmrcl2 18710 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) β†’ 𝑁 ∈ Mnd)
2827adantr 479 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) β†’ 𝑁 ∈ Mnd)
29 eqid 2730 . . . 4 (+gβ€˜π‘) = (+gβ€˜π‘)
303, 9, 29issubm 18720 . . 3 (𝑁 ∈ Mnd β†’ ((𝐹 β€œ 𝑋) ∈ (SubMndβ€˜π‘) ↔ ((𝐹 β€œ 𝑋) βŠ† (Baseβ€˜π‘) ∧ (0gβ€˜π‘) ∈ (𝐹 β€œ 𝑋) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐹 β€œ 𝑋)βˆ€π‘¦ ∈ (𝐹 β€œ 𝑋)(π‘₯(+gβ€˜π‘)𝑦) ∈ (𝐹 β€œ 𝑋))))
3128, 30syl 17 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) β†’ ((𝐹 β€œ 𝑋) ∈ (SubMndβ€˜π‘) ↔ ((𝐹 β€œ 𝑋) βŠ† (Baseβ€˜π‘) ∧ (0gβ€˜π‘) ∈ (𝐹 β€œ 𝑋) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐹 β€œ 𝑋)βˆ€π‘¦ ∈ (𝐹 β€œ 𝑋)(π‘₯(+gβ€˜π‘)𝑦) ∈ (𝐹 β€œ 𝑋))))
327, 19, 26, 31mpbir3and 1340 1 ((𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)) β†’ (𝐹 β€œ 𝑋) ∈ (SubMndβ€˜π‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059   βŠ† wss 3947  ran crn 5676   β€œ cima 5678   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  +gcplusg 17201  0gc0g 17389  Mndcmnd 18659   MndHom cmhm 18703  SubMndcsubmnd 18704
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-0g 17391  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-submnd 18706
This theorem is referenced by:  rhmima  20494
  Copyright terms: Public domain W3C validator