MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumwmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumwmhm 18762
Description: Behavior of homomorphisms on finite monoidal sums. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
gsumwmhm.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
Assertion
Ref Expression
gsumwmhm ((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → (𝐻‘(𝑀 Σg 𝑊)) = (𝑁 Σg (𝐻𝑊)))

Proof of Theorem gsumwmhm
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7419 . . . . 5 (𝑊 = ∅ → (𝑀 Σg 𝑊) = (𝑀 Σg ∅))
2 eqid 2730 . . . . . 6 (0g𝑀) = (0g𝑀)
32gsum0 18609 . . . . 5 (𝑀 Σg ∅) = (0g𝑀)
41, 3eqtrdi 2786 . . . 4 (𝑊 = ∅ → (𝑀 Σg 𝑊) = (0g𝑀))
54fveq2d 6894 . . 3 (𝑊 = ∅ → (𝐻‘(𝑀 Σg 𝑊)) = (𝐻‘(0g𝑀)))
6 coeq2 5857 . . . . . 6 (𝑊 = ∅ → (𝐻𝑊) = (𝐻 ∘ ∅))
7 co02 6258 . . . . . 6 (𝐻 ∘ ∅) = ∅
86, 7eqtrdi 2786 . . . . 5 (𝑊 = ∅ → (𝐻𝑊) = ∅)
98oveq2d 7427 . . . 4 (𝑊 = ∅ → (𝑁 Σg (𝐻𝑊)) = (𝑁 Σg ∅))
10 eqid 2730 . . . . 5 (0g𝑁) = (0g𝑁)
1110gsum0 18609 . . . 4 (𝑁 Σg ∅) = (0g𝑁)
129, 11eqtrdi 2786 . . 3 (𝑊 = ∅ → (𝑁 Σg (𝐻𝑊)) = (0g𝑁))
135, 12eqeq12d 2746 . 2 (𝑊 = ∅ → ((𝐻‘(𝑀 Σg 𝑊)) = (𝑁 Σg (𝐻𝑊)) ↔ (𝐻‘(0g𝑀)) = (0g𝑁)))
14 mhmrcl1 18709 . . . . . 6 (𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) → 𝑀 ∈ Mnd)
1514ad2antrr 722 . . . . 5 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑀 ∈ Mnd)
16 gsumwmhm.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑀)
17 eqid 2730 . . . . . . 7 (+g𝑀) = (+g𝑀)
1816, 17mndcl 18667 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝐵)
19183expb 1118 . . . . 5 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝐵)
2015, 19sylan 578 . . . 4 ((((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝐵)
21 wrdf 14473 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word 𝐵𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐵)
2221ad2antlr 723 . . . . . 6 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐵)
23 wrdfin 14486 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ Word 𝐵𝑊 ∈ Fin)
2423adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → 𝑊 ∈ Fin)
25 hashnncl 14330 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ Fin → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ 𝑊 ≠ ∅))
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ 𝑊 ≠ ∅))
2726biimpar 476 . . . . . . . . 9 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
2827nnzd 12589 . . . . . . . 8 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
29 fzoval 13637 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
3028, 29syl 17 . . . . . . 7 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
3130feq2d 6702 . . . . . 6 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐵𝑊:(0...((♯‘𝑊) − 1))⟶𝐵))
3222, 31mpbid 231 . . . . 5 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊:(0...((♯‘𝑊) − 1))⟶𝐵)
3332ffvelcdmda 7085 . . . 4 ((((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1))) → (𝑊𝑥) ∈ 𝐵)
34 nnm1nn0 12517 . . . . . 6 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
3527, 34syl 17 . . . . 5 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
36 nn0uz 12868 . . . . 5 0 = (ℤ‘0)
3735, 36eleqtrdi 2841 . . . 4 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ‘0))
38 eqid 2730 . . . . . . 7 (+g𝑁) = (+g𝑁)
3916, 17, 38mhmlin 18715 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝐻‘(𝑥(+g𝑀)𝑦)) = ((𝐻𝑥)(+g𝑁)(𝐻𝑦)))
40393expb 1118 . . . . 5 ((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐻‘(𝑥(+g𝑀)𝑦)) = ((𝐻𝑥)(+g𝑁)(𝐻𝑦)))
4140ad4ant14 748 . . . 4 ((((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐻‘(𝑥(+g𝑀)𝑦)) = ((𝐻𝑥)(+g𝑁)(𝐻𝑦)))
4232ffnd 6717 . . . . . 6 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊 Fn (0...((♯‘𝑊) − 1)))
43 fvco2 6987 . . . . . 6 ((𝑊 Fn (0...((♯‘𝑊) − 1)) ∧ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1))) → ((𝐻𝑊)‘𝑥) = (𝐻‘(𝑊𝑥)))
4442, 43sylan 578 . . . . 5 ((((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1))) → ((𝐻𝑊)‘𝑥) = (𝐻‘(𝑊𝑥)))
4544eqcomd 2736 . . . 4 ((((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1))) → (𝐻‘(𝑊𝑥)) = ((𝐻𝑊)‘𝑥))
4620, 33, 37, 41, 45seqhomo 14019 . . 3 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐻‘(seq0((+g𝑀), 𝑊)‘((♯‘𝑊) − 1))) = (seq0((+g𝑁), (𝐻𝑊))‘((♯‘𝑊) − 1)))
4716, 17, 15, 37, 32gsumval2 18611 . . . 4 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑀 Σg 𝑊) = (seq0((+g𝑀), 𝑊)‘((♯‘𝑊) − 1)))
4847fveq2d 6894 . . 3 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐻‘(𝑀 Σg 𝑊)) = (𝐻‘(seq0((+g𝑀), 𝑊)‘((♯‘𝑊) − 1))))
49 eqid 2730 . . . 4 (Base‘𝑁) = (Base‘𝑁)
50 mhmrcl2 18710 . . . . 5 (𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) → 𝑁 ∈ Mnd)
5150ad2antrr 722 . . . 4 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑁 ∈ Mnd)
5216, 49mhmf 18711 . . . . . 6 (𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) → 𝐻:𝐵⟶(Base‘𝑁))
5352ad2antrr 722 . . . . 5 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝐻:𝐵⟶(Base‘𝑁))
54 fco 6740 . . . . 5 ((𝐻:𝐵⟶(Base‘𝑁) ∧ 𝑊:(0...((♯‘𝑊) − 1))⟶𝐵) → (𝐻𝑊):(0...((♯‘𝑊) − 1))⟶(Base‘𝑁))
5553, 32, 54syl2anc 582 . . . 4 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐻𝑊):(0...((♯‘𝑊) − 1))⟶(Base‘𝑁))
5649, 38, 51, 37, 55gsumval2 18611 . . 3 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑁 Σg (𝐻𝑊)) = (seq0((+g𝑁), (𝐻𝑊))‘((♯‘𝑊) − 1)))
5746, 48, 563eqtr4d 2780 . 2 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐻‘(𝑀 Σg 𝑊)) = (𝑁 Σg (𝐻𝑊)))
582, 10mhm0 18716 . . 3 (𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) → (𝐻‘(0g𝑀)) = (0g𝑁))
5958adantr 479 . 2 ((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → (𝐻‘(0g𝑀)) = (0g𝑁))
6013, 57, 59pm2.61ne 3025 1 ((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → (𝐻‘(𝑀 Σg 𝑊)) = (𝑁 Σg (𝐻𝑊)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1539  wcel 2104  wne 2938  c0 4321  ccom 5679   Fn wfn 6537  wf 6538  cfv 6542  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  0cc0 11112  1c1 11113  cmin 11448  cn 12216  0cn0 12476  cz 12562  cuz 12826  ...cfz 13488  ..^cfzo 13631  seqcseq 13970  chash 14294  Word cword 14468  Basecbs 17148  +gcplusg 17201  0gc0g 17389   Σg cgsu 17390  Mndcmnd 18659   MndHom cmhm 18703
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-hash 14295  df-word 14469  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705
This theorem is referenced by:  frmdup3lem  18783  symgtrinv  19381  frgpup3lem  19686
  Copyright terms: Public domain W3C validator