Theorem gsumwmhm 18813

Description: Behavior of homomorphisms on finite monoidal sums. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
gsumwmhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
gsumwmhm	⊢ ((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → (𝐻‘(𝑀 Σg 𝑊)) = (𝑁 Σg (𝐻 ∘ 𝑊)))

Proof of Theorem gsumwmhm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7375	. . . . 5 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑀 Σg 𝑊) = (𝑀 Σg ∅))
2		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
3	2	gsum0 18652	. . . . 5 ⊢ (𝑀 Σg ∅) = (0g‘𝑀)
4	1, 3	eqtrdi 2787	. . . 4 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑀 Σg 𝑊) = (0g‘𝑀))
5	4	fveq2d 6844	. . 3 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝐻‘(𝑀 Σg 𝑊)) = (𝐻‘(0g‘𝑀)))
6		coeq2 5813	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝐻 ∘ 𝑊) = (𝐻 ∘ ∅))
7		co02 6225	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∘ ∅) = ∅
8	6, 7	eqtrdi 2787	. . . . 5 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝐻 ∘ 𝑊) = ∅)
9	8	oveq2d 7383	. . . 4 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑁 Σg (𝐻 ∘ 𝑊)) = (𝑁 Σg ∅))
10		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑁) = (0g‘𝑁)
11	10	gsum0 18652	. . . 4 ⊢ (𝑁 Σg ∅) = (0g‘𝑁)
12	9, 11	eqtrdi 2787	. . 3 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑁 Σg (𝐻 ∘ 𝑊)) = (0g‘𝑁))
13	5, 12	eqeq12d 2752	. 2 ⊢ (𝑊 = ∅ → ((𝐻‘(𝑀 Σg 𝑊)) = (𝑁 Σg (𝐻 ∘ 𝑊)) ↔ (𝐻‘(0g‘𝑀)) = (0g‘𝑁)))
14		mhmrcl1 18755	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) → 𝑀 ∈ Mnd)
15	14	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑀 ∈ Mnd)
16		gsumwmhm.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
17		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
18	16, 17	mndcl 18710	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐵)
19	18	3expb 1121	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐵)
20	15, 19	sylan 581	. . . 4 ⊢ ((((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐵)
21		wrdf 14480	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐵 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐵)
22	21	ad2antlr 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐵)
23		wrdfin 14494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐵 → 𝑊 ∈ Fin)
24	23	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → 𝑊 ∈ Fin)
25		hashnncl 14328	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ Fin → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ 𝑊 ≠ ∅))
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ 𝑊 ≠ ∅))
27	26	biimpar 477	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
28	27	nnzd 12550	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
29		fzoval 13614	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
30	28, 29	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
31	30	feq2d 6652	. . . . . 6 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐵 ↔ 𝑊:(0...((♯‘𝑊) − 1))⟶𝐵))
32	22, 31	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊:(0...((♯‘𝑊) − 1))⟶𝐵)
33	32	ffvelcdmda 7036	. . . 4 ⊢ ((((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1))) → (𝑊‘𝑥) ∈ 𝐵)
34		nnm1nn0 12478	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
35	27, 34	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
36		nn0uz 12826	. . . . 5 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
37	35, 36	eleqtrdi 2846	. . . 4 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
38		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑁) = (+g‘𝑁)
39	16, 17, 38	mhmlin 18761	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐻‘(𝑥(+g‘𝑀)𝑦)) = ((𝐻‘𝑥)(+g‘𝑁)(𝐻‘𝑦)))
40	39	3expb 1121	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐻‘(𝑥(+g‘𝑀)𝑦)) = ((𝐻‘𝑥)(+g‘𝑁)(𝐻‘𝑦)))
41	40	ad4ant14 753	. . . 4 ⊢ ((((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐻‘(𝑥(+g‘𝑀)𝑦)) = ((𝐻‘𝑥)(+g‘𝑁)(𝐻‘𝑦)))
42	32	ffnd 6669	. . . . . 6 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊 Fn (0...((♯‘𝑊) − 1)))
43		fvco2 6937	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 Fn (0...((♯‘𝑊) − 1)) ∧ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1))) → ((𝐻 ∘ 𝑊)‘𝑥) = (𝐻‘(𝑊‘𝑥)))
44	42, 43	sylan 581	. . . . 5 ⊢ ((((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1))) → ((𝐻 ∘ 𝑊)‘𝑥) = (𝐻‘(𝑊‘𝑥)))
45	44	eqcomd 2742	. . . 4 ⊢ ((((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1))) → (𝐻‘(𝑊‘𝑥)) = ((𝐻 ∘ 𝑊)‘𝑥))
46	20, 33, 37, 41, 45	seqhomo 14011	. . 3 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐻‘(seq0((+g‘𝑀), 𝑊)‘((♯‘𝑊) − 1))) = (seq0((+g‘𝑁), (𝐻 ∘ 𝑊))‘((♯‘𝑊) − 1)))
47	16, 17, 15, 37, 32	gsumval2 18654	. . . 4 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑀 Σg 𝑊) = (seq0((+g‘𝑀), 𝑊)‘((♯‘𝑊) − 1)))
48	47	fveq2d 6844	. . 3 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐻‘(𝑀 Σg 𝑊)) = (𝐻‘(seq0((+g‘𝑀), 𝑊)‘((♯‘𝑊) − 1))))
49		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑁) = (Base‘𝑁)
50		mhmrcl2 18756	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) → 𝑁 ∈ Mnd)
51	50	ad2antrr 727	. . . 4 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑁 ∈ Mnd)
52	16, 49	mhmf 18757	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) → 𝐻:𝐵⟶(Base‘𝑁))
53	52	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝐻:𝐵⟶(Base‘𝑁))
54		fco 6692	. . . . 5 ⊢ ((𝐻:𝐵⟶(Base‘𝑁) ∧ 𝑊:(0...((♯‘𝑊) − 1))⟶𝐵) → (𝐻 ∘ 𝑊):(0...((♯‘𝑊) − 1))⟶(Base‘𝑁))
55	53, 32, 54	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐻 ∘ 𝑊):(0...((♯‘𝑊) − 1))⟶(Base‘𝑁))
56	49, 38, 51, 37, 55	gsumval2 18654	. . 3 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑁 Σg (𝐻 ∘ 𝑊)) = (seq0((+g‘𝑁), (𝐻 ∘ 𝑊))‘((♯‘𝑊) − 1)))
57	46, 48, 56	3eqtr4d 2781	. 2 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐻‘(𝑀 Σg 𝑊)) = (𝑁 Σg (𝐻 ∘ 𝑊)))
58	2, 10	mhm0 18762	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) → (𝐻‘(0g‘𝑀)) = (0g‘𝑁))
59	58	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → (𝐻‘(0g‘𝑀)) = (0g‘𝑁))
60	13, 57, 59	pm2.61ne 3017	1 ⊢ ((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → (𝐻‘(𝑀 Σg 𝑊)) = (𝑁 Σg (𝐻 ∘ 𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∅c0 4273   ∘ ccom 5635   Fn wfn 6493  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Fincfn 8893  0cc0 11038  1c1 11039   − cmin 11377  ℕcn 12174  ℕ₀cn0 12437  ℤcz 12524  ℤ_≥cuz 12788  ...cfz 13461  ..^cfzo 13608  seqcseq 13963  ♯chash 14292  Word cword 14475  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  0_gc0g 17402   Σ_g cgsu 17403  Mndcmnd 18702   MndHom cmhm 18749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-hash 14293  df-word 14476  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-mhm 18751

This theorem is referenced by:  frmdup3lem  18834  symgtrinv  19447  frgpup3lem  19752