Theorem gsumwmhm 18762

Description: Behavior of homomorphisms on finite monoidal sums. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
gsumwmhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
gsumwmhm	⊢ ((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → (𝐻‘(𝑀 Σg 𝑊)) = (𝑁 Σg (𝐻 ∘ 𝑊)))

Proof of Theorem gsumwmhm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7419	. . . . 5 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑀 Σg 𝑊) = (𝑀 Σg ∅))
2		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
3	2	gsum0 18609	. . . . 5 ⊢ (𝑀 Σg ∅) = (0g‘𝑀)
4	1, 3	eqtrdi 2786	. . . 4 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑀 Σg 𝑊) = (0g‘𝑀))
5	4	fveq2d 6894	. . 3 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝐻‘(𝑀 Σg 𝑊)) = (𝐻‘(0g‘𝑀)))
6		coeq2 5857	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝐻 ∘ 𝑊) = (𝐻 ∘ ∅))
7		co02 6258	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∘ ∅) = ∅
8	6, 7	eqtrdi 2786	. . . . 5 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝐻 ∘ 𝑊) = ∅)
9	8	oveq2d 7427	. . . 4 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑁 Σg (𝐻 ∘ 𝑊)) = (𝑁 Σg ∅))
10		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑁) = (0g‘𝑁)
11	10	gsum0 18609	. . . 4 ⊢ (𝑁 Σg ∅) = (0g‘𝑁)
12	9, 11	eqtrdi 2786	. . 3 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑁 Σg (𝐻 ∘ 𝑊)) = (0g‘𝑁))
13	5, 12	eqeq12d 2746	. 2 ⊢ (𝑊 = ∅ → ((𝐻‘(𝑀 Σg 𝑊)) = (𝑁 Σg (𝐻 ∘ 𝑊)) ↔ (𝐻‘(0g‘𝑀)) = (0g‘𝑁)))
14		mhmrcl1 18709	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) → 𝑀 ∈ Mnd)
15	14	ad2antrr 722	. . . . 5 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑀 ∈ Mnd)
16		gsumwmhm.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
17		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
18	16, 17	mndcl 18667	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐵)
19	18	3expb 1118	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐵)
20	15, 19	sylan 578	. . . 4 ⊢ ((((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐵)
21		wrdf 14473	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐵 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐵)
22	21	ad2antlr 723	. . . . . 6 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐵)
23		wrdfin 14486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐵 → 𝑊 ∈ Fin)
24	23	adantl 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → 𝑊 ∈ Fin)
25		hashnncl 14330	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ Fin → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ 𝑊 ≠ ∅))
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ 𝑊 ≠ ∅))
27	26	biimpar 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
28	27	nnzd 12589	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
29		fzoval 13637	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
30	28, 29	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
31	30	feq2d 6702	. . . . . 6 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐵 ↔ 𝑊:(0...((♯‘𝑊) − 1))⟶𝐵))
32	22, 31	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊:(0...((♯‘𝑊) − 1))⟶𝐵)
33	32	ffvelcdmda 7085	. . . 4 ⊢ ((((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1))) → (𝑊‘𝑥) ∈ 𝐵)
34		nnm1nn0 12517	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
35	27, 34	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
36		nn0uz 12868	. . . . 5 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
37	35, 36	eleqtrdi 2841	. . . 4 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
38		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑁) = (+g‘𝑁)
39	16, 17, 38	mhmlin 18715	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐻‘(𝑥(+g‘𝑀)𝑦)) = ((𝐻‘𝑥)(+g‘𝑁)(𝐻‘𝑦)))
40	39	3expb 1118	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐻‘(𝑥(+g‘𝑀)𝑦)) = ((𝐻‘𝑥)(+g‘𝑁)(𝐻‘𝑦)))
41	40	ad4ant14 748	. . . 4 ⊢ ((((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐻‘(𝑥(+g‘𝑀)𝑦)) = ((𝐻‘𝑥)(+g‘𝑁)(𝐻‘𝑦)))
42	32	ffnd 6717	. . . . . 6 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊 Fn (0...((♯‘𝑊) − 1)))
43		fvco2 6987	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 Fn (0...((♯‘𝑊) − 1)) ∧ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1))) → ((𝐻 ∘ 𝑊)‘𝑥) = (𝐻‘(𝑊‘𝑥)))
44	42, 43	sylan 578	. . . . 5 ⊢ ((((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1))) → ((𝐻 ∘ 𝑊)‘𝑥) = (𝐻‘(𝑊‘𝑥)))
45	44	eqcomd 2736	. . . 4 ⊢ ((((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1))) → (𝐻‘(𝑊‘𝑥)) = ((𝐻 ∘ 𝑊)‘𝑥))
46	20, 33, 37, 41, 45	seqhomo 14019	. . 3 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐻‘(seq0((+g‘𝑀), 𝑊)‘((♯‘𝑊) − 1))) = (seq0((+g‘𝑁), (𝐻 ∘ 𝑊))‘((♯‘𝑊) − 1)))
47	16, 17, 15, 37, 32	gsumval2 18611	. . . 4 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑀 Σg 𝑊) = (seq0((+g‘𝑀), 𝑊)‘((♯‘𝑊) − 1)))
48	47	fveq2d 6894	. . 3 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐻‘(𝑀 Σg 𝑊)) = (𝐻‘(seq0((+g‘𝑀), 𝑊)‘((♯‘𝑊) − 1))))
49		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑁) = (Base‘𝑁)
50		mhmrcl2 18710	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) → 𝑁 ∈ Mnd)
51	50	ad2antrr 722	. . . 4 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑁 ∈ Mnd)
52	16, 49	mhmf 18711	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) → 𝐻:𝐵⟶(Base‘𝑁))
53	52	ad2antrr 722	. . . . 5 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝐻:𝐵⟶(Base‘𝑁))
54		fco 6740	. . . . 5 ⊢ ((𝐻:𝐵⟶(Base‘𝑁) ∧ 𝑊:(0...((♯‘𝑊) − 1))⟶𝐵) → (𝐻 ∘ 𝑊):(0...((♯‘𝑊) − 1))⟶(Base‘𝑁))
55	53, 32, 54	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐻 ∘ 𝑊):(0...((♯‘𝑊) − 1))⟶(Base‘𝑁))
56	49, 38, 51, 37, 55	gsumval2 18611	. . 3 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑁 Σg (𝐻 ∘ 𝑊)) = (seq0((+g‘𝑁), (𝐻 ∘ 𝑊))‘((♯‘𝑊) − 1)))
57	46, 48, 56	3eqtr4d 2780	. 2 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐻‘(𝑀 Σg 𝑊)) = (𝑁 Σg (𝐻 ∘ 𝑊)))
58	2, 10	mhm0 18716	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) → (𝐻‘(0g‘𝑀)) = (0g‘𝑁))
59	58	adantr 479	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → (𝐻‘(0g‘𝑀)) = (0g‘𝑁))
60	13, 57, 59	pm2.61ne 3025	1 ⊢ ((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → (𝐻‘(𝑀 Σg 𝑊)) = (𝑁 Σg (𝐻 ∘ 𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2938  ∅c0 4321   ∘ ccom 5679   Fn wfn 6537  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  0cc0 11112  1c1 11113   − cmin 11448  ℕcn 12216  ℕ₀cn0 12476  ℤcz 12562  ℤ_≥cuz 12826  ...cfz 13488  ..^cfzo 13631  seqcseq 13970  ♯chash 14294  Word cword 14468  Basecbs 17148  +_gcplusg 17201  0_gc0g 17389   Σ_g cgsu 17390  Mndcmnd 18659   MndHom cmhm 18703

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-hash 14295  df-word 14469  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705

This theorem is referenced by:  frmdup3lem  18783  symgtrinv  19381  frgpup3lem  19686