MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumwmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumwmhm 18006
Description: Behavior of homomorphisms on finite monoidal sums. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
gsumwmhm.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
Assertion
Ref Expression
gsumwmhm ((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → (𝐻‘(𝑀 Σg 𝑊)) = (𝑁 Σg (𝐻𝑊)))

Proof of Theorem gsumwmhm
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7147 . . . . 5 (𝑊 = ∅ → (𝑀 Σg 𝑊) = (𝑀 Σg ∅))
2 eqid 2801 . . . . . 6 (0g𝑀) = (0g𝑀)
32gsum0 17890 . . . . 5 (𝑀 Σg ∅) = (0g𝑀)
41, 3eqtrdi 2852 . . . 4 (𝑊 = ∅ → (𝑀 Σg 𝑊) = (0g𝑀))
54fveq2d 6653 . . 3 (𝑊 = ∅ → (𝐻‘(𝑀 Σg 𝑊)) = (𝐻‘(0g𝑀)))
6 coeq2 5697 . . . . . 6 (𝑊 = ∅ → (𝐻𝑊) = (𝐻 ∘ ∅))
7 co02 6084 . . . . . 6 (𝐻 ∘ ∅) = ∅
86, 7eqtrdi 2852 . . . . 5 (𝑊 = ∅ → (𝐻𝑊) = ∅)
98oveq2d 7155 . . . 4 (𝑊 = ∅ → (𝑁 Σg (𝐻𝑊)) = (𝑁 Σg ∅))
10 eqid 2801 . . . . 5 (0g𝑁) = (0g𝑁)
1110gsum0 17890 . . . 4 (𝑁 Σg ∅) = (0g𝑁)
129, 11eqtrdi 2852 . . 3 (𝑊 = ∅ → (𝑁 Σg (𝐻𝑊)) = (0g𝑁))
135, 12eqeq12d 2817 . 2 (𝑊 = ∅ → ((𝐻‘(𝑀 Σg 𝑊)) = (𝑁 Σg (𝐻𝑊)) ↔ (𝐻‘(0g𝑀)) = (0g𝑁)))
14 mhmrcl1 17955 . . . . . 6 (𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) → 𝑀 ∈ Mnd)
1514ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑀 ∈ Mnd)
16 gsumwmhm.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑀)
17 eqid 2801 . . . . . . 7 (+g𝑀) = (+g𝑀)
1816, 17mndcl 17915 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝐵)
19183expb 1117 . . . . 5 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝐵)
2015, 19sylan 583 . . . 4 ((((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝐵)
21 wrdf 13866 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word 𝐵𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐵)
2221ad2antlr 726 . . . . . 6 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐵)
23 wrdfin 13879 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ Word 𝐵𝑊 ∈ Fin)
2423adantl 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → 𝑊 ∈ Fin)
25 hashnncl 13727 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ Fin → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ 𝑊 ≠ ∅))
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ 𝑊 ≠ ∅))
2726biimpar 481 . . . . . . . . 9 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
2827nnzd 12078 . . . . . . . 8 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
29 fzoval 13038 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
3028, 29syl 17 . . . . . . 7 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
3130feq2d 6477 . . . . . 6 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐵𝑊:(0...((♯‘𝑊) − 1))⟶𝐵))
3222, 31mpbid 235 . . . . 5 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊:(0...((♯‘𝑊) − 1))⟶𝐵)
3332ffvelrnda 6832 . . . 4 ((((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1))) → (𝑊𝑥) ∈ 𝐵)
34 nnm1nn0 11930 . . . . . 6 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
3527, 34syl 17 . . . . 5 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
36 nn0uz 12272 . . . . 5 0 = (ℤ‘0)
3735, 36eleqtrdi 2903 . . . 4 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ‘0))
38 eqid 2801 . . . . . . 7 (+g𝑁) = (+g𝑁)
3916, 17, 38mhmlin 17959 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝐻‘(𝑥(+g𝑀)𝑦)) = ((𝐻𝑥)(+g𝑁)(𝐻𝑦)))
40393expb 1117 . . . . 5 ((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐻‘(𝑥(+g𝑀)𝑦)) = ((𝐻𝑥)(+g𝑁)(𝐻𝑦)))
4140ad4ant14 751 . . . 4 ((((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐻‘(𝑥(+g𝑀)𝑦)) = ((𝐻𝑥)(+g𝑁)(𝐻𝑦)))
4232ffnd 6492 . . . . . 6 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊 Fn (0...((♯‘𝑊) − 1)))
43 fvco2 6739 . . . . . 6 ((𝑊 Fn (0...((♯‘𝑊) − 1)) ∧ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1))) → ((𝐻𝑊)‘𝑥) = (𝐻‘(𝑊𝑥)))
4442, 43sylan 583 . . . . 5 ((((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1))) → ((𝐻𝑊)‘𝑥) = (𝐻‘(𝑊𝑥)))
4544eqcomd 2807 . . . 4 ((((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1))) → (𝐻‘(𝑊𝑥)) = ((𝐻𝑊)‘𝑥))
4620, 33, 37, 41, 45seqhomo 13417 . . 3 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐻‘(seq0((+g𝑀), 𝑊)‘((♯‘𝑊) − 1))) = (seq0((+g𝑁), (𝐻𝑊))‘((♯‘𝑊) − 1)))
4716, 17, 15, 37, 32gsumval2 17892 . . . 4 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑀 Σg 𝑊) = (seq0((+g𝑀), 𝑊)‘((♯‘𝑊) − 1)))
4847fveq2d 6653 . . 3 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐻‘(𝑀 Σg 𝑊)) = (𝐻‘(seq0((+g𝑀), 𝑊)‘((♯‘𝑊) − 1))))
49 eqid 2801 . . . 4 (Base‘𝑁) = (Base‘𝑁)
50 mhmrcl2 17956 . . . . 5 (𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) → 𝑁 ∈ Mnd)
5150ad2antrr 725 . . . 4 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑁 ∈ Mnd)
5216, 49mhmf 17957 . . . . . 6 (𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) → 𝐻:𝐵⟶(Base‘𝑁))
5352ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝐻:𝐵⟶(Base‘𝑁))
54 fco 6509 . . . . 5 ((𝐻:𝐵⟶(Base‘𝑁) ∧ 𝑊:(0...((♯‘𝑊) − 1))⟶𝐵) → (𝐻𝑊):(0...((♯‘𝑊) − 1))⟶(Base‘𝑁))
5553, 32, 54syl2anc 587 . . . 4 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐻𝑊):(0...((♯‘𝑊) − 1))⟶(Base‘𝑁))
5649, 38, 51, 37, 55gsumval2 17892 . . 3 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑁 Σg (𝐻𝑊)) = (seq0((+g𝑁), (𝐻𝑊))‘((♯‘𝑊) − 1)))
5746, 48, 563eqtr4d 2846 . 2 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐻‘(𝑀 Σg 𝑊)) = (𝑁 Σg (𝐻𝑊)))
582, 10mhm0 17960 . . 3 (𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) → (𝐻‘(0g𝑀)) = (0g𝑁))
5958adantr 484 . 2 ((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → (𝐻‘(0g𝑀)) = (0g𝑁))
6013, 57, 59pm2.61ne 3075 1 ((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → (𝐻‘(𝑀 Σg 𝑊)) = (𝑁 Σg (𝐻𝑊)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990  c0 4246  ccom 5527   Fn wfn 6323  wf 6324  cfv 6328  (class class class)co 7139  Fincfn 8496  0cc0 10530  1c1 10531  cmin 10863  cn 11629  0cn0 11889  cz 11973  cuz 12235  ...cfz 12889  ..^cfzo 13032  seqcseq 13368  chash 13690  Word cword 13861  Basecbs 16479  +gcplusg 16561  0gc0g 16709   Σg cgsu 16710  Mndcmnd 17907   MndHom cmhm 17950
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-hash 13691  df-word 13862  df-0g 16711  df-gsum 16712  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-mhm 17952
This theorem is referenced by:  frmdup3lem  18027  symgtrinv  18596  frgpup3lem  18899
  Copyright terms: Public domain W3C validator