MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumwmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumwmhm 18871
Description: Behavior of homomorphisms on finite monoidal sums. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
gsumwmhm.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
Assertion
Ref Expression
gsumwmhm ((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → (𝐻‘(𝑀 Σg 𝑊)) = (𝑁 Σg (𝐻𝑊)))

Proof of Theorem gsumwmhm
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7439 . . . . 5 (𝑊 = ∅ → (𝑀 Σg 𝑊) = (𝑀 Σg ∅))
2 eqid 2735 . . . . . 6 (0g𝑀) = (0g𝑀)
32gsum0 18710 . . . . 5 (𝑀 Σg ∅) = (0g𝑀)
41, 3eqtrdi 2791 . . . 4 (𝑊 = ∅ → (𝑀 Σg 𝑊) = (0g𝑀))
54fveq2d 6911 . . 3 (𝑊 = ∅ → (𝐻‘(𝑀 Σg 𝑊)) = (𝐻‘(0g𝑀)))
6 coeq2 5872 . . . . . 6 (𝑊 = ∅ → (𝐻𝑊) = (𝐻 ∘ ∅))
7 co02 6282 . . . . . 6 (𝐻 ∘ ∅) = ∅
86, 7eqtrdi 2791 . . . . 5 (𝑊 = ∅ → (𝐻𝑊) = ∅)
98oveq2d 7447 . . . 4 (𝑊 = ∅ → (𝑁 Σg (𝐻𝑊)) = (𝑁 Σg ∅))
10 eqid 2735 . . . . 5 (0g𝑁) = (0g𝑁)
1110gsum0 18710 . . . 4 (𝑁 Σg ∅) = (0g𝑁)
129, 11eqtrdi 2791 . . 3 (𝑊 = ∅ → (𝑁 Σg (𝐻𝑊)) = (0g𝑁))
135, 12eqeq12d 2751 . 2 (𝑊 = ∅ → ((𝐻‘(𝑀 Σg 𝑊)) = (𝑁 Σg (𝐻𝑊)) ↔ (𝐻‘(0g𝑀)) = (0g𝑁)))
14 mhmrcl1 18813 . . . . . 6 (𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) → 𝑀 ∈ Mnd)
1514ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑀 ∈ Mnd)
16 gsumwmhm.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑀)
17 eqid 2735 . . . . . . 7 (+g𝑀) = (+g𝑀)
1816, 17mndcl 18768 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝐵)
19183expb 1119 . . . . 5 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝐵)
2015, 19sylan 580 . . . 4 ((((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝐵)
21 wrdf 14554 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word 𝐵𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐵)
2221ad2antlr 727 . . . . . 6 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐵)
23 wrdfin 14567 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ Word 𝐵𝑊 ∈ Fin)
2423adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → 𝑊 ∈ Fin)
25 hashnncl 14402 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ Fin → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ 𝑊 ≠ ∅))
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ 𝑊 ≠ ∅))
2726biimpar 477 . . . . . . . . 9 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
2827nnzd 12638 . . . . . . . 8 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
29 fzoval 13697 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
3028, 29syl 17 . . . . . . 7 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
3130feq2d 6723 . . . . . 6 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐵𝑊:(0...((♯‘𝑊) − 1))⟶𝐵))
3222, 31mpbid 232 . . . . 5 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊:(0...((♯‘𝑊) − 1))⟶𝐵)
3332ffvelcdmda 7104 . . . 4 ((((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1))) → (𝑊𝑥) ∈ 𝐵)
34 nnm1nn0 12565 . . . . . 6 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
3527, 34syl 17 . . . . 5 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
36 nn0uz 12918 . . . . 5 0 = (ℤ‘0)
3735, 36eleqtrdi 2849 . . . 4 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ‘0))
38 eqid 2735 . . . . . . 7 (+g𝑁) = (+g𝑁)
3916, 17, 38mhmlin 18819 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝐻‘(𝑥(+g𝑀)𝑦)) = ((𝐻𝑥)(+g𝑁)(𝐻𝑦)))
40393expb 1119 . . . . 5 ((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐻‘(𝑥(+g𝑀)𝑦)) = ((𝐻𝑥)(+g𝑁)(𝐻𝑦)))
4140ad4ant14 752 . . . 4 ((((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐻‘(𝑥(+g𝑀)𝑦)) = ((𝐻𝑥)(+g𝑁)(𝐻𝑦)))
4232ffnd 6738 . . . . . 6 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊 Fn (0...((♯‘𝑊) − 1)))
43 fvco2 7006 . . . . . 6 ((𝑊 Fn (0...((♯‘𝑊) − 1)) ∧ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1))) → ((𝐻𝑊)‘𝑥) = (𝐻‘(𝑊𝑥)))
4442, 43sylan 580 . . . . 5 ((((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1))) → ((𝐻𝑊)‘𝑥) = (𝐻‘(𝑊𝑥)))
4544eqcomd 2741 . . . 4 ((((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1))) → (𝐻‘(𝑊𝑥)) = ((𝐻𝑊)‘𝑥))
4620, 33, 37, 41, 45seqhomo 14087 . . 3 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐻‘(seq0((+g𝑀), 𝑊)‘((♯‘𝑊) − 1))) = (seq0((+g𝑁), (𝐻𝑊))‘((♯‘𝑊) − 1)))
4716, 17, 15, 37, 32gsumval2 18712 . . . 4 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑀 Σg 𝑊) = (seq0((+g𝑀), 𝑊)‘((♯‘𝑊) − 1)))
4847fveq2d 6911 . . 3 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐻‘(𝑀 Σg 𝑊)) = (𝐻‘(seq0((+g𝑀), 𝑊)‘((♯‘𝑊) − 1))))
49 eqid 2735 . . . 4 (Base‘𝑁) = (Base‘𝑁)
50 mhmrcl2 18814 . . . . 5 (𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) → 𝑁 ∈ Mnd)
5150ad2antrr 726 . . . 4 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑁 ∈ Mnd)
5216, 49mhmf 18815 . . . . . 6 (𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) → 𝐻:𝐵⟶(Base‘𝑁))
5352ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝐻:𝐵⟶(Base‘𝑁))
54 fco 6761 . . . . 5 ((𝐻:𝐵⟶(Base‘𝑁) ∧ 𝑊:(0...((♯‘𝑊) − 1))⟶𝐵) → (𝐻𝑊):(0...((♯‘𝑊) − 1))⟶(Base‘𝑁))
5553, 32, 54syl2anc 584 . . . 4 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐻𝑊):(0...((♯‘𝑊) − 1))⟶(Base‘𝑁))
5649, 38, 51, 37, 55gsumval2 18712 . . 3 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑁 Σg (𝐻𝑊)) = (seq0((+g𝑁), (𝐻𝑊))‘((♯‘𝑊) − 1)))
5746, 48, 563eqtr4d 2785 . 2 (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐻‘(𝑀 Σg 𝑊)) = (𝑁 Σg (𝐻𝑊)))
582, 10mhm0 18820 . . 3 (𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) → (𝐻‘(0g𝑀)) = (0g𝑁))
5958adantr 480 . 2 ((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → (𝐻‘(0g𝑀)) = (0g𝑁))
6013, 57, 59pm2.61ne 3025 1 ((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → (𝐻‘(𝑀 Σg 𝑊)) = (𝑁 Σg (𝐻𝑊)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  c0 4339  ccom 5693   Fn wfn 6558  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  0cc0 11153  1c1 11154  cmin 11490  cn 12264  0cn0 12524  cz 12611  cuz 12876  ...cfz 13544  ..^cfzo 13691  seqcseq 14039  chash 14366  Word cword 14549  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  0gc0g 17486   Σg cgsu 17487  Mndcmnd 18760   MndHom cmhm 18807
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-word 14550  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809
This theorem is referenced by:  frmdup3lem  18892  symgtrinv  19505  frgpup3lem  19810
  Copyright terms: Public domain W3C validator