Theorem gsumwmhm 18955

Description: Behavior of homomorphisms on finite monoidal sums. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
gsumwmhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
gsumwmhm	⊢ ((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → (𝐻‘(𝑀 Σg 𝑊)) = (𝑁 Σg (𝐻 ∘ 𝑊)))

Proof of Theorem gsumwmhm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7422	. . . . 5 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑀 Σg 𝑊) = (𝑀 Σg ∅))
2		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
3	2	gsum0 18787	. . . . 5 ⊢ (𝑀 Σg ∅) = (0g‘𝑀)
4	1, 3	eqtrdi 2811	. . . 4 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑀 Σg 𝑊) = (0g‘𝑀))
5	4	fveq2d 6883	. . 3 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝐻‘(𝑀 Σg 𝑊)) = (𝐻‘(0g‘𝑀)))
6		coeq2 5838	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝐻 ∘ 𝑊) = (𝐻 ∘ ∅))
7		co02 6257	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∘ ∅) = ∅
8	6, 7	eqtrdi 2811	. . . . 5 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝐻 ∘ 𝑊) = ∅)
9	8	oveq2d 7430	. . . 4 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑁 Σg (𝐻 ∘ 𝑊)) = (𝑁 Σg ∅))
10		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑁) = (0g‘𝑁)
11	10	gsum0 18787	. . . 4 ⊢ (𝑁 Σg ∅) = (0g‘𝑁)
12	9, 11	eqtrdi 2811	. . 3 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑁 Σg (𝐻 ∘ 𝑊)) = (0g‘𝑁))
13	5, 12	eqeq12d 2776	. 2 ⊢ (𝑊 = ∅ → ((𝐻‘(𝑀 Σg 𝑊)) = (𝑁 Σg (𝐻 ∘ 𝑊)) ↔ (𝐻‘(0g‘𝑀)) = (0g‘𝑁)))
14		mhmrcl1 18896	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) → 𝑀 ∈ Mnd)
15	14	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑀 ∈ Mnd)
16		gsumwmhm.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
17		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
18	16, 17	mndcl 18845	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐵)
19	18	3expb 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐵)
20	15, 19	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐵)
21		wrdf 14584	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐵 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐵)
22	21	ad2antlr 740	. . . . . 6 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐵)
23		wrdfin 14598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐵 → 𝑊 ∈ Fin)
24	23	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → 𝑊 ∈ Fin)
25		hashnncl 14431	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ Fin → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ 𝑊 ≠ ∅))
26	24, 25	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ 𝑊 ≠ ∅))
27	26	biimpar 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
28	27	nnzd 12642	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
29		fzoval 13716	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
30	28, 29	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
31	30	feq2d 6687	. . . . . 6 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐵 ↔ 𝑊:(0...((♯‘𝑊) − 1))⟶𝐵))
32	22, 31	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊:(0...((♯‘𝑊) − 1))⟶𝐵)
33	32	ffvelcdmda 7078	. . . 4 ⊢ ((((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1))) → (𝑊‘𝑥) ∈ 𝐵)
34		nnm1nn0 12570	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
35	27, 34	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
36		nn0uz 12926	. . . . 5 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
37	35, 36	eleqtrdi 2870	. . . 4 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
38		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑁) = (+g‘𝑁)
39	16, 17, 38	mhmlin 18902	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐻‘(𝑥(+g‘𝑀)𝑦)) = ((𝐻‘𝑥)(+g‘𝑁)(𝐻‘𝑦)))
40	39	3expb 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐻‘(𝑥(+g‘𝑀)𝑦)) = ((𝐻‘𝑥)(+g‘𝑁)(𝐻‘𝑦)))
41	40	ad4ant14 765	. . . 4 ⊢ ((((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐻‘(𝑥(+g‘𝑀)𝑦)) = ((𝐻‘𝑥)(+g‘𝑁)(𝐻‘𝑦)))
42	32	ffnd 6704	. . . . . 6 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊 Fn (0...((♯‘𝑊) − 1)))
43		fvco2 6976	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 Fn (0...((♯‘𝑊) − 1)) ∧ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1))) → ((𝐻 ∘ 𝑊)‘𝑥) = (𝐻‘(𝑊‘𝑥)))
44	42, 43	sylan 592	. . . . 5 ⊢ ((((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1))) → ((𝐻 ∘ 𝑊)‘𝑥) = (𝐻‘(𝑊‘𝑥)))
45	44	eqcomd 2766	. . . 4 ⊢ ((((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1))) → (𝐻‘(𝑊‘𝑥)) = ((𝐻 ∘ 𝑊)‘𝑥))
46	20, 33, 37, 41, 45	seqhomo 14114	. . 3 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐻‘(seq0((+g‘𝑀), 𝑊)‘((♯‘𝑊) − 1))) = (seq0((+g‘𝑁), (𝐻 ∘ 𝑊))‘((♯‘𝑊) − 1)))
47	16, 17, 15, 37, 32	gsumval2 18789	. . . 4 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑀 Σg 𝑊) = (seq0((+g‘𝑀), 𝑊)‘((♯‘𝑊) − 1)))
48	47	fveq2d 6883	. . 3 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐻‘(𝑀 Σg 𝑊)) = (𝐻‘(seq0((+g‘𝑀), 𝑊)‘((♯‘𝑊) − 1))))
49		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑁) = (Base‘𝑁)
50		mhmrcl2 18897	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) → 𝑁 ∈ Mnd)
51	50	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑁 ∈ Mnd)
52	16, 49	mhmf 18898	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) → 𝐻:𝐵⟶(Base‘𝑁))
53	52	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝐻:𝐵⟶(Base‘𝑁))
54		fco 6728	. . . . 5 ⊢ ((𝐻:𝐵⟶(Base‘𝑁) ∧ 𝑊:(0...((♯‘𝑊) − 1))⟶𝐵) → (𝐻 ∘ 𝑊):(0...((♯‘𝑊) − 1))⟶(Base‘𝑁))
55	53, 32, 54	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐻 ∘ 𝑊):(0...((♯‘𝑊) − 1))⟶(Base‘𝑁))
56	49, 38, 51, 37, 55	gsumval2 18789	. . 3 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑁 Σg (𝐻 ∘ 𝑊)) = (seq0((+g‘𝑁), (𝐻 ∘ 𝑊))‘((♯‘𝑊) − 1)))
57	46, 48, 56	3eqtr4d 2805	. 2 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐻‘(𝑀 Σg 𝑊)) = (𝑁 Σg (𝐻 ∘ 𝑊)))
58	2, 10	mhm0 18903	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) → (𝐻‘(0g‘𝑀)) = (0g‘𝑁))
59	58	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → (𝐻‘(0g‘𝑀)) = (0g‘𝑁))
60	13, 57, 59	pm2.61ne 3040	1 ⊢ ((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → (𝐻‘(𝑀 Σg 𝑊)) = (𝑁 Σg (𝐻 ∘ 𝑊)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∅c0 4279   ∘ ccom 5659   Fn wfn 6528  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Fincfn 8953  0cc0 11125  1c1 11126   − cmin 11466  ℕcn 12258  ℕ₀cn0 12529  ℤcz 12616  ℤ_≥cuz 12888  ...cfz 13562  ..^cfzo 13710  seqcseq 14066  ♯chash 14395  Word cword 14579  Basecbs 17302  +_gcplusg 17343  0_gc0g 17525   Σ_g cgsu 17526  Mndcmnd 18837   MndHom cmhm 18890

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-er 8697  df-map 8829  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-card 9945  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-fz 13563  df-fzo 13711  df-seq 14067  df-hash 14396  df-word 14580  df-0g 17527  df-gsum 17528  df-mgm 18731  df-sgrp 18822  df-mnd 18838  df-mhm 18892

This theorem is used by:  frmdup3lem  18976  symgtrinv  19600  frgpup3lem  19905