Theorem gsumwmhm 18879

Description: Behavior of homomorphisms on finite monoidal sums. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
gsumwmhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
gsumwmhm	⊢ ((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → (𝐻‘(𝑀 Σg 𝑊)) = (𝑁 Σg (𝐻 ∘ 𝑊)))

Proof of Theorem gsumwmhm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7404	. . . . 5 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑀 Σg 𝑊) = (𝑀 Σg ∅))
2		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
3	2	gsum0 18718	. . . . 5 ⊢ (𝑀 Σg ∅) = (0g‘𝑀)
4	1, 3	eqtrdi 2813	. . . 4 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑀 Σg 𝑊) = (0g‘𝑀))
5	4	fveq2d 6871	. . 3 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝐻‘(𝑀 Σg 𝑊)) = (𝐻‘(0g‘𝑀)))
6		coeq2 5830	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝐻 ∘ 𝑊) = (𝐻 ∘ ∅))
7		co02 6248	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∘ ∅) = ∅
8	6, 7	eqtrdi 2813	. . . . 5 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝐻 ∘ 𝑊) = ∅)
9	8	oveq2d 7412	. . . 4 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑁 Σg (𝐻 ∘ 𝑊)) = (𝑁 Σg ∅))
10		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑁) = (0g‘𝑁)
11	10	gsum0 18718	. . . 4 ⊢ (𝑁 Σg ∅) = (0g‘𝑁)
12	9, 11	eqtrdi 2813	. . 3 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑁 Σg (𝐻 ∘ 𝑊)) = (0g‘𝑁))
13	5, 12	eqeq12d 2778	. 2 ⊢ (𝑊 = ∅ → ((𝐻‘(𝑀 Σg 𝑊)) = (𝑁 Σg (𝐻 ∘ 𝑊)) ↔ (𝐻‘(0g‘𝑀)) = (0g‘𝑁)))
14		mhmrcl1 18821	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) → 𝑀 ∈ Mnd)
15	14	ad2antrr 736	. . . . 5 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑀 ∈ Mnd)
16		gsumwmhm.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
17		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
18	16, 17	mndcl 18776	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐵)
19	18	3expb 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐵)
20	15, 19	sylan 589	. . . 4 ⊢ ((((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝐵)
21		wrdf 14531	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐵 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐵)
22	21	ad2antlr 737	. . . . . 6 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐵)
23		wrdfin 14545	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐵 → 𝑊 ∈ Fin)
24	23	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → 𝑊 ∈ Fin)
25		hashnncl 14379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ Fin → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ 𝑊 ≠ ∅))
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ 𝑊 ≠ ∅))
27	26	biimpar 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
28	27	nnzd 12594	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
29		fzoval 13665	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
30	28, 29	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
31	30	feq2d 6675	. . . . . 6 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐵 ↔ 𝑊:(0...((♯‘𝑊) − 1))⟶𝐵))
32	22, 31	mpbid 234	. . . . 5 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊:(0...((♯‘𝑊) − 1))⟶𝐵)
33	32	ffvelcdmda 7065	. . . 4 ⊢ ((((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1))) → (𝑊‘𝑥) ∈ 𝐵)
34		nnm1nn0 12522	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
35	27, 34	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
36		nn0uz 12877	. . . . 5 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
37	35, 36	eleqtrdi 2872	. . . 4 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
38		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑁) = (+g‘𝑁)
39	16, 17, 38	mhmlin 18827	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐻‘(𝑥(+g‘𝑀)𝑦)) = ((𝐻‘𝑥)(+g‘𝑁)(𝐻‘𝑦)))
40	39	3expb 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐻‘(𝑥(+g‘𝑀)𝑦)) = ((𝐻‘𝑥)(+g‘𝑁)(𝐻‘𝑦)))
41	40	ad4ant14 762	. . . 4 ⊢ ((((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐻‘(𝑥(+g‘𝑀)𝑦)) = ((𝐻‘𝑥)(+g‘𝑁)(𝐻‘𝑦)))
42	32	ffnd 6692	. . . . . 6 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊 Fn (0...((♯‘𝑊) − 1)))
43		fvco2 6964	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 Fn (0...((♯‘𝑊) − 1)) ∧ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1))) → ((𝐻 ∘ 𝑊)‘𝑥) = (𝐻‘(𝑊‘𝑥)))
44	42, 43	sylan 589	. . . . 5 ⊢ ((((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1))) → ((𝐻 ∘ 𝑊)‘𝑥) = (𝐻‘(𝑊‘𝑥)))
45	44	eqcomd 2768	. . . 4 ⊢ ((((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1))) → (𝐻‘(𝑊‘𝑥)) = ((𝐻 ∘ 𝑊)‘𝑥))
46	20, 33, 37, 41, 45	seqhomo 14062	. . 3 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐻‘(seq0((+g‘𝑀), 𝑊)‘((♯‘𝑊) − 1))) = (seq0((+g‘𝑁), (𝐻 ∘ 𝑊))‘((♯‘𝑊) − 1)))
47	16, 17, 15, 37, 32	gsumval2 18720	. . . 4 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑀 Σg 𝑊) = (seq0((+g‘𝑀), 𝑊)‘((♯‘𝑊) − 1)))
48	47	fveq2d 6871	. . 3 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐻‘(𝑀 Σg 𝑊)) = (𝐻‘(seq0((+g‘𝑀), 𝑊)‘((♯‘𝑊) − 1))))
49		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑁) = (Base‘𝑁)
50		mhmrcl2 18822	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) → 𝑁 ∈ Mnd)
51	50	ad2antrr 736	. . . 4 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑁 ∈ Mnd)
52	16, 49	mhmf 18823	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) → 𝐻:𝐵⟶(Base‘𝑁))
53	52	ad2antrr 736	. . . . 5 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝐻:𝐵⟶(Base‘𝑁))
54		fco 6716	. . . . 5 ⊢ ((𝐻:𝐵⟶(Base‘𝑁) ∧ 𝑊:(0...((♯‘𝑊) − 1))⟶𝐵) → (𝐻 ∘ 𝑊):(0...((♯‘𝑊) − 1))⟶(Base‘𝑁))
55	53, 32, 54	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐻 ∘ 𝑊):(0...((♯‘𝑊) − 1))⟶(Base‘𝑁))
56	49, 38, 51, 37, 55	gsumval2 18720	. . 3 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑁 Σg (𝐻 ∘ 𝑊)) = (seq0((+g‘𝑁), (𝐻 ∘ 𝑊))‘((♯‘𝑊) − 1)))
57	46, 48, 56	3eqtr4d 2807	. 2 ⊢ (((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐻‘(𝑀 Σg 𝑊)) = (𝑁 Σg (𝐻 ∘ 𝑊)))
58	2, 10	mhm0 18828	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) → (𝐻‘(0g‘𝑀)) = (0g‘𝑁))
59	58	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → (𝐻‘(0g‘𝑀)) = (0g‘𝑁))
60	13, 57, 59	pm2.61ne 3042	1 ⊢ ((𝐻 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵) → (𝐻‘(𝑀 Σg 𝑊)) = (𝑁 Σg (𝐻 ∘ 𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∅c0 4285   ∘ ccom 5651   Fn wfn 6516  ⟶wf 6517  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  Fincfn 8927  0cc0 11073  1c1 11074   − cmin 11414  ℕcn 12210  ℕ₀cn0 12481  ℤcz 12568  ℤ_≥cuz 12839  ...cfz 13512  ..^cfzo 13659  seqcseq 14014  ♯chash 14343  Word cword 14526  Basecbs 17245  +_gcplusg 17286  0_gc0g 17468   Σ_g cgsu 17469  Mndcmnd 18768   MndHom cmhm 18815

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-seq 14015  df-hash 14344  df-word 14527  df-0g 17470  df-gsum 17471  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-mhm 18817

This theorem is referenced by:  frmdup3lem  18900  symgtrinv  19512  frgpup3lem  19817