Theorem mhmmulg 19029

Description: A homomorphism of monoids preserves group multiples. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhmmulg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mhmmulg.s	⊢ · = (.g‘𝐺)
mhmmulg.t	⊢ × = (.g‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
mhmmulg	⊢ ((𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 × (𝐹‘𝑋)))

Proof of Theorem mhmmulg

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvoveq1 7392	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝐹‘(𝑛 · 𝑋)) = (𝐹‘(0 · 𝑋)))
2		oveq1 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 × (𝐹‘𝑋)) = (0 × (𝐹‘𝑋)))
3	1, 2	eqeq12d 2745	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 0 → ((𝐹‘(𝑛 · 𝑋)) = (𝑛 × (𝐹‘𝑋)) ↔ (𝐹‘(0 · 𝑋)) = (0 × (𝐹‘𝑋))))
4	3	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 0 → (((𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑛 · 𝑋)) = (𝑛 × (𝐹‘𝑋))) ↔ ((𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(0 · 𝑋)) = (0 × (𝐹‘𝑋)))))
5		fvoveq1 7392	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐹‘(𝑛 · 𝑋)) = (𝐹‘(𝑚 · 𝑋)))
6		oveq1 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 × (𝐹‘𝑋)) = (𝑚 × (𝐹‘𝑋)))
7	5, 6	eqeq12d 2745	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝐹‘(𝑛 · 𝑋)) = (𝑛 × (𝐹‘𝑋)) ↔ (𝐹‘(𝑚 · 𝑋)) = (𝑚 × (𝐹‘𝑋))))
8	7	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (((𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑛 · 𝑋)) = (𝑛 × (𝐹‘𝑋))) ↔ ((𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑚 · 𝑋)) = (𝑚 × (𝐹‘𝑋)))))
9		fvoveq1 7392	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝐹‘(𝑛 · 𝑋)) = (𝐹‘((𝑚 + 1) · 𝑋)))
10		oveq1 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑛 × (𝐹‘𝑋)) = ((𝑚 + 1) × (𝐹‘𝑋)))
11	9, 10	eqeq12d 2745	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝐹‘(𝑛 · 𝑋)) = (𝑛 × (𝐹‘𝑋)) ↔ (𝐹‘((𝑚 + 1) · 𝑋)) = ((𝑚 + 1) × (𝐹‘𝑋))))
12	11	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (((𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑛 · 𝑋)) = (𝑛 × (𝐹‘𝑋))) ↔ ((𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘((𝑚 + 1) · 𝑋)) = ((𝑚 + 1) × (𝐹‘𝑋)))))
13		fvoveq1 7392	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝐹‘(𝑛 · 𝑋)) = (𝐹‘(𝑁 · 𝑋)))
14		oveq1 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 × (𝐹‘𝑋)) = (𝑁 × (𝐹‘𝑋)))
15	13, 14	eqeq12d 2745	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝐹‘(𝑛 · 𝑋)) = (𝑛 × (𝐹‘𝑋)) ↔ (𝐹‘(𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 × (𝐹‘𝑋))))
16	15	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑛 · 𝑋)) = (𝑛 × (𝐹‘𝑋))) ↔ ((𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 × (𝐹‘𝑋)))))
17		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
18		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐻) = (0g‘𝐻)
19	17, 18	mhm0 18703	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) → (𝐹‘(0g‘𝐺)) = (0g‘𝐻))
20	19	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(0g‘𝐺)) = (0g‘𝐻))
21		mhmmulg.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
22		mhmmulg.s	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.g‘𝐺)
23	21, 17, 22	mulg0 18988	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
24	23	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
25	24	fveq2d 6844	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(0 · 𝑋)) = (𝐹‘(0g‘𝐺)))
26		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
27	21, 26	mhmf 18698	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝐻))
28	27	ffvelcdmda 7038	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑋) ∈ (Base‘𝐻))
29		mhmmulg.t	. . . . . . 7 ⊢ × = (.g‘𝐻)
30	26, 18, 29	mulg0 18988	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑋) ∈ (Base‘𝐻) → (0 × (𝐹‘𝑋)) = (0g‘𝐻))
31	28, 30	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0 × (𝐹‘𝑋)) = (0g‘𝐻))
32	20, 25, 31	3eqtr4d 2774	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(0 · 𝑋)) = (0 × (𝐹‘𝑋)))
33		oveq1 7376	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘(𝑚 · 𝑋)) = (𝑚 × (𝐹‘𝑋)) → ((𝐹‘(𝑚 · 𝑋))(+g‘𝐻)(𝐹‘𝑋)) = ((𝑚 × (𝐹‘𝑋))(+g‘𝐻)(𝐹‘𝑋)))
34		mhmrcl1 18696	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) → 𝐺 ∈ Mnd)
35	34	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ Mnd)
36		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℕ0)
37		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝐵)
38		eqid 2729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
39	21, 22, 38	mulgnn0p1 18999	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑚 + 1) · 𝑋) = ((𝑚 · 𝑋)(+g‘𝐺)𝑋))
40	35, 36, 37, 39	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑚 + 1) · 𝑋) = ((𝑚 · 𝑋)(+g‘𝐺)𝑋))
41	40	fveq2d 6844	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐹‘((𝑚 + 1) · 𝑋)) = (𝐹‘((𝑚 · 𝑋)(+g‘𝐺)𝑋)))
42		simpll 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
43	34	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ Mnd)
44		simplr 768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑚 ∈ ℕ0)
45		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
46	21, 22, 43, 44, 45	mulgnn0cld 19009	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑚 · 𝑋) ∈ 𝐵)
47	46	an32s 652	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑚 · 𝑋) ∈ 𝐵)
48		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
49	21, 38, 48	mhmlin 18702	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ (𝑚 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘((𝑚 · 𝑋)(+g‘𝐺)𝑋)) = ((𝐹‘(𝑚 · 𝑋))(+g‘𝐻)(𝐹‘𝑋)))
50	42, 47, 37, 49	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐹‘((𝑚 · 𝑋)(+g‘𝐺)𝑋)) = ((𝐹‘(𝑚 · 𝑋))(+g‘𝐻)(𝐹‘𝑋)))
51	41, 50	eqtrd 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐹‘((𝑚 + 1) · 𝑋)) = ((𝐹‘(𝑚 · 𝑋))(+g‘𝐻)(𝐹‘𝑋)))
52		mhmrcl2 18697	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) → 𝐻 ∈ Mnd)
53	52	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝐻 ∈ Mnd)
54	28	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑋) ∈ (Base‘𝐻))
55	26, 29, 48	mulgnn0p1 18999	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐻 ∈ Mnd ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ (Base‘𝐻)) → ((𝑚 + 1) × (𝐹‘𝑋)) = ((𝑚 × (𝐹‘𝑋))(+g‘𝐻)(𝐹‘𝑋)))
56	53, 36, 54, 55	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑚 + 1) × (𝐹‘𝑋)) = ((𝑚 × (𝐹‘𝑋))(+g‘𝐻)(𝐹‘𝑋)))
57	51, 56	eqeq12d 2745	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘((𝑚 + 1) · 𝑋)) = ((𝑚 + 1) × (𝐹‘𝑋)) ↔ ((𝐹‘(𝑚 · 𝑋))(+g‘𝐻)(𝐹‘𝑋)) = ((𝑚 × (𝐹‘𝑋))(+g‘𝐻)(𝐹‘𝑋))))
58	33, 57	imbitrrid 246	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘(𝑚 · 𝑋)) = (𝑚 × (𝐹‘𝑋)) → (𝐹‘((𝑚 + 1) · 𝑋)) = ((𝑚 + 1) × (𝐹‘𝑋))))
59	58	expcom 413	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → ((𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘(𝑚 · 𝑋)) = (𝑚 × (𝐹‘𝑋)) → (𝐹‘((𝑚 + 1) · 𝑋)) = ((𝑚 + 1) × (𝐹‘𝑋)))))
60	59	a2d 29	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (((𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑚 · 𝑋)) = (𝑚 × (𝐹‘𝑋))) → ((𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘((𝑚 + 1) · 𝑋)) = ((𝑚 + 1) × (𝐹‘𝑋)))))
61	4, 8, 12, 16, 32, 60	nn0ind 12605	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 × (𝐹‘𝑋))))
62	61	3impib 1116	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 × (𝐹‘𝑋)))
63	62	3com12 1123	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 × (𝐹‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  0cc0 11044  1c1 11045   + caddc 11047  ℕ₀cn0 12418  Basecbs 17155  +_gcplusg 17196  0_gc0g 17378  Mndcmnd 18643   MndHom cmhm 18690  ._gcmg 18981

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-seq 13943  df-0g 17380  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-mhm 18692  df-mulg 18982

This theorem is referenced by:  pwsmulg  19033  ghmmulg  19142  pwsexpg  20249  fermltlchr  21471  evlspw  22033  ply1fermltlchr  22232  evls1pw  22246  evl1expd  22265  rhmply1mon  22309  cayhamlem4  22808  dchrfi  27199  lgsqrlem1  27290  lgseisenlem4  27322  dchrisum0flblem1  27452  znfermltl  33330  aks5lem3a  42170  selvvvval  42566  evlselv  42568