MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mhmmulg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mhmmulg 18994
Description: A homomorphism of monoids preserves group multiples. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mhmmulg.b ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
mhmmulg.s ยท = (.gโ€˜๐บ)
mhmmulg.t ร— = (.gโ€˜๐ป)
Assertion
Ref Expression
mhmmulg ((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)) = (๐‘ ร— (๐นโ€˜๐‘‹)))

Proof of Theorem mhmmulg
Dummy variables ๐‘š ๐‘› are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvoveq1 7431 . . . . . 6 (๐‘› = 0 โ†’ (๐นโ€˜(๐‘› ยท ๐‘‹)) = (๐นโ€˜(0 ยท ๐‘‹)))
2 oveq1 7415 . . . . . 6 (๐‘› = 0 โ†’ (๐‘› ร— (๐นโ€˜๐‘‹)) = (0 ร— (๐นโ€˜๐‘‹)))
31, 2eqeq12d 2748 . . . . 5 (๐‘› = 0 โ†’ ((๐นโ€˜(๐‘› ยท ๐‘‹)) = (๐‘› ร— (๐นโ€˜๐‘‹)) โ†” (๐นโ€˜(0 ยท ๐‘‹)) = (0 ร— (๐นโ€˜๐‘‹))))
43imbi2d 340 . . . 4 (๐‘› = 0 โ†’ (((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘› ยท ๐‘‹)) = (๐‘› ร— (๐นโ€˜๐‘‹))) โ†” ((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐นโ€˜(0 ยท ๐‘‹)) = (0 ร— (๐นโ€˜๐‘‹)))))
5 fvoveq1 7431 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘š โ†’ (๐นโ€˜(๐‘› ยท ๐‘‹)) = (๐นโ€˜(๐‘š ยท ๐‘‹)))
6 oveq1 7415 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘š โ†’ (๐‘› ร— (๐นโ€˜๐‘‹)) = (๐‘š ร— (๐นโ€˜๐‘‹)))
75, 6eqeq12d 2748 . . . . 5 (๐‘› = ๐‘š โ†’ ((๐นโ€˜(๐‘› ยท ๐‘‹)) = (๐‘› ร— (๐นโ€˜๐‘‹)) โ†” (๐นโ€˜(๐‘š ยท ๐‘‹)) = (๐‘š ร— (๐นโ€˜๐‘‹))))
87imbi2d 340 . . . 4 (๐‘› = ๐‘š โ†’ (((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘› ยท ๐‘‹)) = (๐‘› ร— (๐นโ€˜๐‘‹))) โ†” ((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘š ยท ๐‘‹)) = (๐‘š ร— (๐นโ€˜๐‘‹)))))
9 fvoveq1 7431 . . . . . 6 (๐‘› = (๐‘š + 1) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘› ยท ๐‘‹)) = (๐นโ€˜((๐‘š + 1) ยท ๐‘‹)))
10 oveq1 7415 . . . . . 6 (๐‘› = (๐‘š + 1) โ†’ (๐‘› ร— (๐นโ€˜๐‘‹)) = ((๐‘š + 1) ร— (๐นโ€˜๐‘‹)))
119, 10eqeq12d 2748 . . . . 5 (๐‘› = (๐‘š + 1) โ†’ ((๐นโ€˜(๐‘› ยท ๐‘‹)) = (๐‘› ร— (๐นโ€˜๐‘‹)) โ†” (๐นโ€˜((๐‘š + 1) ยท ๐‘‹)) = ((๐‘š + 1) ร— (๐นโ€˜๐‘‹))))
1211imbi2d 340 . . . 4 (๐‘› = (๐‘š + 1) โ†’ (((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘› ยท ๐‘‹)) = (๐‘› ร— (๐นโ€˜๐‘‹))) โ†” ((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐นโ€˜((๐‘š + 1) ยท ๐‘‹)) = ((๐‘š + 1) ร— (๐นโ€˜๐‘‹)))))
13 fvoveq1 7431 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (๐นโ€˜(๐‘› ยท ๐‘‹)) = (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)))
14 oveq1 7415 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (๐‘› ร— (๐นโ€˜๐‘‹)) = (๐‘ ร— (๐นโ€˜๐‘‹)))
1513, 14eqeq12d 2748 . . . . 5 (๐‘› = ๐‘ โ†’ ((๐นโ€˜(๐‘› ยท ๐‘‹)) = (๐‘› ร— (๐นโ€˜๐‘‹)) โ†” (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)) = (๐‘ ร— (๐นโ€˜๐‘‹))))
1615imbi2d 340 . . . 4 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘› ยท ๐‘‹)) = (๐‘› ร— (๐นโ€˜๐‘‹))) โ†” ((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)) = (๐‘ ร— (๐นโ€˜๐‘‹)))))
17 eqid 2732 . . . . . . 7 (0gโ€˜๐บ) = (0gโ€˜๐บ)
18 eqid 2732 . . . . . . 7 (0gโ€˜๐ป) = (0gโ€˜๐ป)
1917, 18mhm0 18679 . . . . . 6 (๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โ†’ (๐นโ€˜(0gโ€˜๐บ)) = (0gโ€˜๐ป))
2019adantr 481 . . . . 5 ((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐นโ€˜(0gโ€˜๐บ)) = (0gโ€˜๐ป))
21 mhmmulg.b . . . . . . . 8 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
22 mhmmulg.s . . . . . . . 8 ยท = (.gโ€˜๐บ)
2321, 17, 22mulg0 18956 . . . . . . 7 (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โ†’ (0 ยท ๐‘‹) = (0gโ€˜๐บ))
2423adantl 482 . . . . . 6 ((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (0 ยท ๐‘‹) = (0gโ€˜๐บ))
2524fveq2d 6895 . . . . 5 ((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐นโ€˜(0 ยท ๐‘‹)) = (๐นโ€˜(0gโ€˜๐บ)))
26 eqid 2732 . . . . . . . 8 (Baseโ€˜๐ป) = (Baseโ€˜๐ป)
2721, 26mhmf 18676 . . . . . . 7 (๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โ†’ ๐น:๐ตโŸถ(Baseโ€˜๐ป))
2827ffvelcdmda 7086 . . . . . 6 ((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐นโ€˜๐‘‹) โˆˆ (Baseโ€˜๐ป))
29 mhmmulg.t . . . . . . 7 ร— = (.gโ€˜๐ป)
3026, 18, 29mulg0 18956 . . . . . 6 ((๐นโ€˜๐‘‹) โˆˆ (Baseโ€˜๐ป) โ†’ (0 ร— (๐นโ€˜๐‘‹)) = (0gโ€˜๐ป))
3128, 30syl 17 . . . . 5 ((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (0 ร— (๐นโ€˜๐‘‹)) = (0gโ€˜๐ป))
3220, 25, 313eqtr4d 2782 . . . 4 ((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐นโ€˜(0 ยท ๐‘‹)) = (0 ร— (๐นโ€˜๐‘‹)))
33 oveq1 7415 . . . . . . 7 ((๐นโ€˜(๐‘š ยท ๐‘‹)) = (๐‘š ร— (๐นโ€˜๐‘‹)) โ†’ ((๐นโ€˜(๐‘š ยท ๐‘‹))(+gโ€˜๐ป)(๐นโ€˜๐‘‹)) = ((๐‘š ร— (๐นโ€˜๐‘‹))(+gโ€˜๐ป)(๐นโ€˜๐‘‹)))
34 mhmrcl1 18674 . . . . . . . . . . . 12 (๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โ†’ ๐บ โˆˆ Mnd)
3534ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐บ โˆˆ Mnd)
36 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•0)
37 simplr 767 . . . . . . . . . . 11 (((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
38 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (+gโ€˜๐บ) = (+gโ€˜๐บ)
3921, 22, 38mulgnn0p1 18964 . . . . . . . . . . 11 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘š + 1) ยท ๐‘‹) = ((๐‘š ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐บ)๐‘‹))
4035, 36, 37, 39syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘š + 1) ยท ๐‘‹) = ((๐‘š ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐บ)๐‘‹))
4140fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 (((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐นโ€˜((๐‘š + 1) ยท ๐‘‹)) = (๐นโ€˜((๐‘š ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐บ)๐‘‹)))
42 simpll 765 . . . . . . . . . 10 (((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป))
4334ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐บ โˆˆ Mnd)
44 simplr 767 . . . . . . . . . . . 12 (((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•0)
45 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
4621, 22, 43, 44, 45mulgnn0cld 18974 . . . . . . . . . . 11 (((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘š ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
4746an32s 650 . . . . . . . . . 10 (((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘š ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
48 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (+gโ€˜๐ป) = (+gโ€˜๐ป)
4921, 38, 48mhmlin 18678 . . . . . . . . . 10 ((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง (๐‘š ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐นโ€˜((๐‘š ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐บ)๐‘‹)) = ((๐นโ€˜(๐‘š ยท ๐‘‹))(+gโ€˜๐ป)(๐นโ€˜๐‘‹)))
5042, 47, 37, 49syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐นโ€˜((๐‘š ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐บ)๐‘‹)) = ((๐นโ€˜(๐‘š ยท ๐‘‹))(+gโ€˜๐ป)(๐นโ€˜๐‘‹)))
5141, 50eqtrd 2772 . . . . . . . 8 (((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐นโ€˜((๐‘š + 1) ยท ๐‘‹)) = ((๐นโ€˜(๐‘š ยท ๐‘‹))(+gโ€˜๐ป)(๐นโ€˜๐‘‹)))
52 mhmrcl2 18675 . . . . . . . . . 10 (๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โ†’ ๐ป โˆˆ Mnd)
5352ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ป โˆˆ Mnd)
5428adantr 481 . . . . . . . . 9 (((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐นโ€˜๐‘‹) โˆˆ (Baseโ€˜๐ป))
5526, 29, 48mulgnn0p1 18964 . . . . . . . . 9 ((๐ป โˆˆ Mnd โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง (๐นโ€˜๐‘‹) โˆˆ (Baseโ€˜๐ป)) โ†’ ((๐‘š + 1) ร— (๐นโ€˜๐‘‹)) = ((๐‘š ร— (๐นโ€˜๐‘‹))(+gโ€˜๐ป)(๐นโ€˜๐‘‹)))
5653, 36, 54, 55syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘š + 1) ร— (๐นโ€˜๐‘‹)) = ((๐‘š ร— (๐นโ€˜๐‘‹))(+gโ€˜๐ป)(๐นโ€˜๐‘‹)))
5751, 56eqeq12d 2748 . . . . . . 7 (((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐นโ€˜((๐‘š + 1) ยท ๐‘‹)) = ((๐‘š + 1) ร— (๐นโ€˜๐‘‹)) โ†” ((๐นโ€˜(๐‘š ยท ๐‘‹))(+gโ€˜๐ป)(๐นโ€˜๐‘‹)) = ((๐‘š ร— (๐นโ€˜๐‘‹))(+gโ€˜๐ป)(๐นโ€˜๐‘‹))))
5833, 57imbitrrid 245 . . . . . 6 (((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐นโ€˜(๐‘š ยท ๐‘‹)) = (๐‘š ร— (๐นโ€˜๐‘‹)) โ†’ (๐นโ€˜((๐‘š + 1) ยท ๐‘‹)) = ((๐‘š + 1) ร— (๐นโ€˜๐‘‹))))
5958expcom 414 . . . . 5 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐นโ€˜(๐‘š ยท ๐‘‹)) = (๐‘š ร— (๐นโ€˜๐‘‹)) โ†’ (๐นโ€˜((๐‘š + 1) ยท ๐‘‹)) = ((๐‘š + 1) ร— (๐นโ€˜๐‘‹)))))
6059a2d 29 . . . 4 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ (((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘š ยท ๐‘‹)) = (๐‘š ร— (๐นโ€˜๐‘‹))) โ†’ ((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐นโ€˜((๐‘š + 1) ยท ๐‘‹)) = ((๐‘š + 1) ร— (๐นโ€˜๐‘‹)))))
614, 8, 12, 16, 32, 60nn0ind 12656 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)) = (๐‘ ร— (๐นโ€˜๐‘‹))))
62613impib 1116 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)) = (๐‘ ร— (๐นโ€˜๐‘‹)))
63623com12 1123 1 ((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)) = (๐‘ ร— (๐นโ€˜๐‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112  โ„•0cn0 12471  Basecbs 17143  +gcplusg 17196  0gc0g 17384  Mndcmnd 18624   MndHom cmhm 18668  .gcmg 18949
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-seq 13966  df-0g 17386  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mhm 18670  df-mulg 18950
This theorem is referenced by:  pwsmulg  18998  ghmmulg  19103  pwsexpg  20141  evlspw  21655  evls1pw  21844  evl1expd  21863  cayhamlem4  22389  dchrfi  26755  lgsqrlem1  26846  lgseisenlem4  26878  dchrisum0flblem1  27008  fermltlchr  32473  znfermltl  32474  ply1fermltlchr  32657  selvvvval  41159  evlselv  41161
  Copyright terms: Public domain W3C validator