MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mhmmulg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mhmmulg 18925
Description: A homomorphism of monoids preserves group multiples. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mhmmulg.b ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
mhmmulg.s ยท = (.gโ€˜๐บ)
mhmmulg.t ร— = (.gโ€˜๐ป)
Assertion
Ref Expression
mhmmulg ((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)) = (๐‘ ร— (๐นโ€˜๐‘‹)))

Proof of Theorem mhmmulg
Dummy variables ๐‘š ๐‘› are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvoveq1 7384 . . . . . 6 (๐‘› = 0 โ†’ (๐นโ€˜(๐‘› ยท ๐‘‹)) = (๐นโ€˜(0 ยท ๐‘‹)))
2 oveq1 7368 . . . . . 6 (๐‘› = 0 โ†’ (๐‘› ร— (๐นโ€˜๐‘‹)) = (0 ร— (๐นโ€˜๐‘‹)))
31, 2eqeq12d 2749 . . . . 5 (๐‘› = 0 โ†’ ((๐นโ€˜(๐‘› ยท ๐‘‹)) = (๐‘› ร— (๐นโ€˜๐‘‹)) โ†” (๐นโ€˜(0 ยท ๐‘‹)) = (0 ร— (๐นโ€˜๐‘‹))))
43imbi2d 341 . . . 4 (๐‘› = 0 โ†’ (((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘› ยท ๐‘‹)) = (๐‘› ร— (๐นโ€˜๐‘‹))) โ†” ((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐นโ€˜(0 ยท ๐‘‹)) = (0 ร— (๐นโ€˜๐‘‹)))))
5 fvoveq1 7384 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘š โ†’ (๐นโ€˜(๐‘› ยท ๐‘‹)) = (๐นโ€˜(๐‘š ยท ๐‘‹)))
6 oveq1 7368 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘š โ†’ (๐‘› ร— (๐นโ€˜๐‘‹)) = (๐‘š ร— (๐นโ€˜๐‘‹)))
75, 6eqeq12d 2749 . . . . 5 (๐‘› = ๐‘š โ†’ ((๐นโ€˜(๐‘› ยท ๐‘‹)) = (๐‘› ร— (๐นโ€˜๐‘‹)) โ†” (๐นโ€˜(๐‘š ยท ๐‘‹)) = (๐‘š ร— (๐นโ€˜๐‘‹))))
87imbi2d 341 . . . 4 (๐‘› = ๐‘š โ†’ (((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘› ยท ๐‘‹)) = (๐‘› ร— (๐นโ€˜๐‘‹))) โ†” ((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘š ยท ๐‘‹)) = (๐‘š ร— (๐นโ€˜๐‘‹)))))
9 fvoveq1 7384 . . . . . 6 (๐‘› = (๐‘š + 1) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘› ยท ๐‘‹)) = (๐นโ€˜((๐‘š + 1) ยท ๐‘‹)))
10 oveq1 7368 . . . . . 6 (๐‘› = (๐‘š + 1) โ†’ (๐‘› ร— (๐นโ€˜๐‘‹)) = ((๐‘š + 1) ร— (๐นโ€˜๐‘‹)))
119, 10eqeq12d 2749 . . . . 5 (๐‘› = (๐‘š + 1) โ†’ ((๐นโ€˜(๐‘› ยท ๐‘‹)) = (๐‘› ร— (๐นโ€˜๐‘‹)) โ†” (๐นโ€˜((๐‘š + 1) ยท ๐‘‹)) = ((๐‘š + 1) ร— (๐นโ€˜๐‘‹))))
1211imbi2d 341 . . . 4 (๐‘› = (๐‘š + 1) โ†’ (((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘› ยท ๐‘‹)) = (๐‘› ร— (๐นโ€˜๐‘‹))) โ†” ((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐นโ€˜((๐‘š + 1) ยท ๐‘‹)) = ((๐‘š + 1) ร— (๐นโ€˜๐‘‹)))))
13 fvoveq1 7384 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (๐นโ€˜(๐‘› ยท ๐‘‹)) = (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)))
14 oveq1 7368 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (๐‘› ร— (๐นโ€˜๐‘‹)) = (๐‘ ร— (๐นโ€˜๐‘‹)))
1513, 14eqeq12d 2749 . . . . 5 (๐‘› = ๐‘ โ†’ ((๐นโ€˜(๐‘› ยท ๐‘‹)) = (๐‘› ร— (๐นโ€˜๐‘‹)) โ†” (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)) = (๐‘ ร— (๐นโ€˜๐‘‹))))
1615imbi2d 341 . . . 4 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘› ยท ๐‘‹)) = (๐‘› ร— (๐นโ€˜๐‘‹))) โ†” ((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)) = (๐‘ ร— (๐นโ€˜๐‘‹)))))
17 eqid 2733 . . . . . . 7 (0gโ€˜๐บ) = (0gโ€˜๐บ)
18 eqid 2733 . . . . . . 7 (0gโ€˜๐ป) = (0gโ€˜๐ป)
1917, 18mhm0 18618 . . . . . 6 (๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โ†’ (๐นโ€˜(0gโ€˜๐บ)) = (0gโ€˜๐ป))
2019adantr 482 . . . . 5 ((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐นโ€˜(0gโ€˜๐บ)) = (0gโ€˜๐ป))
21 mhmmulg.b . . . . . . . 8 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
22 mhmmulg.s . . . . . . . 8 ยท = (.gโ€˜๐บ)
2321, 17, 22mulg0 18887 . . . . . . 7 (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โ†’ (0 ยท ๐‘‹) = (0gโ€˜๐บ))
2423adantl 483 . . . . . 6 ((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (0 ยท ๐‘‹) = (0gโ€˜๐บ))
2524fveq2d 6850 . . . . 5 ((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐นโ€˜(0 ยท ๐‘‹)) = (๐นโ€˜(0gโ€˜๐บ)))
26 eqid 2733 . . . . . . . 8 (Baseโ€˜๐ป) = (Baseโ€˜๐ป)
2721, 26mhmf 18615 . . . . . . 7 (๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โ†’ ๐น:๐ตโŸถ(Baseโ€˜๐ป))
2827ffvelcdmda 7039 . . . . . 6 ((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐นโ€˜๐‘‹) โˆˆ (Baseโ€˜๐ป))
29 mhmmulg.t . . . . . . 7 ร— = (.gโ€˜๐ป)
3026, 18, 29mulg0 18887 . . . . . 6 ((๐นโ€˜๐‘‹) โˆˆ (Baseโ€˜๐ป) โ†’ (0 ร— (๐นโ€˜๐‘‹)) = (0gโ€˜๐ป))
3128, 30syl 17 . . . . 5 ((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (0 ร— (๐นโ€˜๐‘‹)) = (0gโ€˜๐ป))
3220, 25, 313eqtr4d 2783 . . . 4 ((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐นโ€˜(0 ยท ๐‘‹)) = (0 ร— (๐นโ€˜๐‘‹)))
33 oveq1 7368 . . . . . . 7 ((๐นโ€˜(๐‘š ยท ๐‘‹)) = (๐‘š ร— (๐นโ€˜๐‘‹)) โ†’ ((๐นโ€˜(๐‘š ยท ๐‘‹))(+gโ€˜๐ป)(๐นโ€˜๐‘‹)) = ((๐‘š ร— (๐นโ€˜๐‘‹))(+gโ€˜๐ป)(๐นโ€˜๐‘‹)))
34 mhmrcl1 18613 . . . . . . . . . . . 12 (๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โ†’ ๐บ โˆˆ Mnd)
3534ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐บ โˆˆ Mnd)
36 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•0)
37 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
38 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (+gโ€˜๐บ) = (+gโ€˜๐บ)
3921, 22, 38mulgnn0p1 18895 . . . . . . . . . . 11 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘š + 1) ยท ๐‘‹) = ((๐‘š ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐บ)๐‘‹))
4035, 36, 37, 39syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘š + 1) ยท ๐‘‹) = ((๐‘š ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐บ)๐‘‹))
4140fveq2d 6850 . . . . . . . . 9 (((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐นโ€˜((๐‘š + 1) ยท ๐‘‹)) = (๐นโ€˜((๐‘š ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐บ)๐‘‹)))
42 simpll 766 . . . . . . . . . 10 (((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป))
4334ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐บ โˆˆ Mnd)
44 simplr 768 . . . . . . . . . . . 12 (((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•0)
45 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 (((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
4621, 22, 43, 44, 45mulgnn0cld 18905 . . . . . . . . . . 11 (((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘š ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
4746an32s 651 . . . . . . . . . 10 (((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘š ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
48 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (+gโ€˜๐ป) = (+gโ€˜๐ป)
4921, 38, 48mhmlin 18617 . . . . . . . . . 10 ((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง (๐‘š ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐นโ€˜((๐‘š ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐บ)๐‘‹)) = ((๐นโ€˜(๐‘š ยท ๐‘‹))(+gโ€˜๐ป)(๐นโ€˜๐‘‹)))
5042, 47, 37, 49syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐นโ€˜((๐‘š ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐บ)๐‘‹)) = ((๐นโ€˜(๐‘š ยท ๐‘‹))(+gโ€˜๐ป)(๐นโ€˜๐‘‹)))
5141, 50eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐นโ€˜((๐‘š + 1) ยท ๐‘‹)) = ((๐นโ€˜(๐‘š ยท ๐‘‹))(+gโ€˜๐ป)(๐นโ€˜๐‘‹)))
52 mhmrcl2 18614 . . . . . . . . . 10 (๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โ†’ ๐ป โˆˆ Mnd)
5352ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ป โˆˆ Mnd)
5428adantr 482 . . . . . . . . 9 (((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐นโ€˜๐‘‹) โˆˆ (Baseโ€˜๐ป))
5526, 29, 48mulgnn0p1 18895 . . . . . . . . 9 ((๐ป โˆˆ Mnd โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง (๐นโ€˜๐‘‹) โˆˆ (Baseโ€˜๐ป)) โ†’ ((๐‘š + 1) ร— (๐นโ€˜๐‘‹)) = ((๐‘š ร— (๐นโ€˜๐‘‹))(+gโ€˜๐ป)(๐นโ€˜๐‘‹)))
5653, 36, 54, 55syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘š + 1) ร— (๐นโ€˜๐‘‹)) = ((๐‘š ร— (๐นโ€˜๐‘‹))(+gโ€˜๐ป)(๐นโ€˜๐‘‹)))
5751, 56eqeq12d 2749 . . . . . . 7 (((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐นโ€˜((๐‘š + 1) ยท ๐‘‹)) = ((๐‘š + 1) ร— (๐นโ€˜๐‘‹)) โ†” ((๐นโ€˜(๐‘š ยท ๐‘‹))(+gโ€˜๐ป)(๐นโ€˜๐‘‹)) = ((๐‘š ร— (๐นโ€˜๐‘‹))(+gโ€˜๐ป)(๐นโ€˜๐‘‹))))
5833, 57syl5ibr 246 . . . . . 6 (((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐นโ€˜(๐‘š ยท ๐‘‹)) = (๐‘š ร— (๐นโ€˜๐‘‹)) โ†’ (๐นโ€˜((๐‘š + 1) ยท ๐‘‹)) = ((๐‘š + 1) ร— (๐นโ€˜๐‘‹))))
5958expcom 415 . . . . 5 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐นโ€˜(๐‘š ยท ๐‘‹)) = (๐‘š ร— (๐นโ€˜๐‘‹)) โ†’ (๐นโ€˜((๐‘š + 1) ยท ๐‘‹)) = ((๐‘š + 1) ร— (๐นโ€˜๐‘‹)))))
6059a2d 29 . . . 4 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ (((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘š ยท ๐‘‹)) = (๐‘š ร— (๐นโ€˜๐‘‹))) โ†’ ((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐นโ€˜((๐‘š + 1) ยท ๐‘‹)) = ((๐‘š + 1) ร— (๐นโ€˜๐‘‹)))))
614, 8, 12, 16, 32, 60nn0ind 12606 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)) = (๐‘ ร— (๐นโ€˜๐‘‹))))
62613impib 1117 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)) = (๐‘ ร— (๐นโ€˜๐‘‹)))
63623com12 1124 1 ((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)) = (๐‘ ร— (๐นโ€˜๐‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062  โ„•0cn0 12421  Basecbs 17091  +gcplusg 17141  0gc0g 17329  Mndcmnd 18564   MndHom cmhm 18607  .gcmg 18880
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-seq 13916  df-0g 17331  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mhm 18609  df-mulg 18881
This theorem is referenced by:  pwsmulg  18929  ghmmulg  19028  pwsexpg  20052  evlspw  21526  evls1pw  21715  evl1expd  21734  cayhamlem4  22260  dchrfi  26626  lgsqrlem1  26717  lgseisenlem4  26749  dchrisum0flblem1  26879  fermltlchr  32208  znfermltl  32209  ply1fermltlchr  32339
  Copyright terms: Public domain W3C validator