MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resmhm Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem resmhm 18772
Description: Restriction of a monoid homomorphism to a submonoid is a homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
resmhm.u π‘ˆ = (𝑆 β†Ύs 𝑋)
Assertion
Ref Expression
resmhm ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘†)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑋) ∈ (π‘ˆ MndHom 𝑇))
Proof of Theorem resmhm
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mhmrcl2 18745 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) β†’ 𝑇 ∈ Mnd)
2 resmhm.u . . . 4 π‘ˆ = (𝑆 β†Ύs 𝑋)
32submmnd 18765 . . 3 (𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘†) β†’ π‘ˆ ∈ Mnd)
41, 3anim12ci 613 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘†)) β†’ (π‘ˆ ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd))
5 eqid 2728 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
6 eqid 2728 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘‡) = (Baseβ€˜π‘‡)
75, 6mhmf 18746 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘†)⟢(Baseβ€˜π‘‡))
85submss 18761 . . . . 5 (𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘†) β†’ 𝑋 βŠ† (Baseβ€˜π‘†))
9 fssres 6763 . . . . 5 ((𝐹:(Baseβ€˜π‘†)⟢(Baseβ€˜π‘‡) ∧ 𝑋 βŠ† (Baseβ€˜π‘†)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑋):π‘‹βŸΆ(Baseβ€˜π‘‡))
107, 8, 9syl2an 595 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘†)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑋):π‘‹βŸΆ(Baseβ€˜π‘‡))
118adantl 481 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘†)) β†’ 𝑋 βŠ† (Baseβ€˜π‘†))
122, 5ressbas2 17218 . . . . . 6 (𝑋 βŠ† (Baseβ€˜π‘†) β†’ 𝑋 = (Baseβ€˜π‘ˆ))
1311, 12syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘†)) β†’ 𝑋 = (Baseβ€˜π‘ˆ))
1413feq2d 6708 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘†)) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑋):π‘‹βŸΆ(Baseβ€˜π‘‡) ↔ (𝐹 β†Ύ 𝑋):(Baseβ€˜π‘ˆ)⟢(Baseβ€˜π‘‡)))
1510, 14mpbid 231 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘†)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑋):(Baseβ€˜π‘ˆ)⟢(Baseβ€˜π‘‡))
16 simpll 766 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘†)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇))
178ad2antlr 726 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘†)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑋 βŠ† (Baseβ€˜π‘†))
18 simprl 770 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘†)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
1917, 18sseldd 3981 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘†)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†))
20 simprr 772 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘†)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
2117, 20sseldd 3981 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘†)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†))
22 eqid 2728 . . . . . . . 8 (+gβ€˜π‘†) = (+gβ€˜π‘†)
23 eqid 2728 . . . . . . . 8 (+gβ€˜π‘‡) = (+gβ€˜π‘‡)
245, 22, 23mhmlin 18750 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯(+gβ€˜π‘†)𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘¦)))
2516, 19, 21, 24syl3anc 1369 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘†)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯(+gβ€˜π‘†)𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘¦)))
2622submcl 18764 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘†)𝑦) ∈ 𝑋)
27263expb 1118 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘†) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘†)𝑦) ∈ 𝑋)
2827adantll 713 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘†)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘†)𝑦) ∈ 𝑋)
2928fvresd 6917 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘†)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜(π‘₯(+gβ€˜π‘†)𝑦)) = (πΉβ€˜(π‘₯(+gβ€˜π‘†)𝑦)))
30 fvres 6916 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝑋 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
31 fvres 6916 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ 𝑋 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘¦))
3230, 31oveqan12d 7439 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘‡)((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜π‘¦)) = ((πΉβ€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘¦)))
3332adantl 481 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘†)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘‡)((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜π‘¦)) = ((πΉβ€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘¦)))
3425, 29, 333eqtr4d 2778 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘†)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜(π‘₯(+gβ€˜π‘†)𝑦)) = (((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘‡)((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜π‘¦)))
3534ralrimivva 3197 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘†)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜(π‘₯(+gβ€˜π‘†)𝑦)) = (((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘‡)((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜π‘¦)))
362, 22ressplusg 17271 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘†) β†’ (+gβ€˜π‘†) = (+gβ€˜π‘ˆ))
3736adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘†)) β†’ (+gβ€˜π‘†) = (+gβ€˜π‘ˆ))
3837oveqd 7437 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘†)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘†)𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜π‘ˆ)𝑦))
3938fveqeq2d 6905 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘†)) β†’ (((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜(π‘₯(+gβ€˜π‘†)𝑦)) = (((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘‡)((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜π‘¦)) ↔ ((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜(π‘₯(+gβ€˜π‘ˆ)𝑦)) = (((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘‡)((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜π‘¦))))
4013, 39raleqbidv 3339 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘†)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜(π‘₯(+gβ€˜π‘†)𝑦)) = (((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘‡)((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜π‘¦)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ)((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜(π‘₯(+gβ€˜π‘ˆ)𝑦)) = (((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘‡)((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜π‘¦))))
4113, 40raleqbidv 3339 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘†)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜(π‘₯(+gβ€˜π‘†)𝑦)) = (((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘‡)((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜π‘¦)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ)((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜(π‘₯(+gβ€˜π‘ˆ)𝑦)) = (((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘‡)((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜π‘¦))))
4235, 41mpbid 231 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘†)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ)((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜(π‘₯(+gβ€˜π‘ˆ)𝑦)) = (((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘‡)((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜π‘¦)))
43 eqid 2728 . . . . . . 7 (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘†)
4443subm0cl 18763 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘†) β†’ (0gβ€˜π‘†) ∈ 𝑋)
4544adantl 481 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘†)) β†’ (0gβ€˜π‘†) ∈ 𝑋)
4645fvresd 6917 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘†)) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜(0gβ€˜π‘†)) = (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)))
472, 43subm0 18767 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘†) β†’ (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘ˆ))
4847adantl 481 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘†)) β†’ (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘ˆ))
4948fveq2d 6901 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘†)) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜(0gβ€˜π‘†)) = ((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜(0gβ€˜π‘ˆ)))
50 eqid 2728 . . . . . 6 (0gβ€˜π‘‡) = (0gβ€˜π‘‡)
5143, 50mhm0 18751 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) β†’ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡))
5251adantr 480 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘†)) β†’ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡))
5346, 49, 523eqtr3d 2776 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘†)) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜(0gβ€˜π‘ˆ)) = (0gβ€˜π‘‡))
5415, 42, 533jca 1126 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘†)) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑋):(Baseβ€˜π‘ˆ)⟢(Baseβ€˜π‘‡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ)((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜(π‘₯(+gβ€˜π‘ˆ)𝑦)) = (((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘‡)((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜π‘¦)) ∧ ((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜(0gβ€˜π‘ˆ)) = (0gβ€˜π‘‡)))
55 eqid 2728 . . 3 (Baseβ€˜π‘ˆ) = (Baseβ€˜π‘ˆ)
56 eqid 2728 . . 3 (+gβ€˜π‘ˆ) = (+gβ€˜π‘ˆ)
57 eqid 2728 . . 3 (0gβ€˜π‘ˆ) = (0gβ€˜π‘ˆ)
5855, 6, 56, 23, 57, 50ismhm 18742 . 2 ((𝐹 β†Ύ 𝑋) ∈ (π‘ˆ MndHom 𝑇) ↔ ((π‘ˆ ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd) ∧ ((𝐹 β†Ύ 𝑋):(Baseβ€˜π‘ˆ)⟢(Baseβ€˜π‘‡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ)((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜(π‘₯(+gβ€˜π‘ˆ)𝑦)) = (((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘‡)((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜π‘¦)) ∧ ((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜(0gβ€˜π‘ˆ)) = (0gβ€˜π‘‡))))
594, 54, 58sylanbrc 582 1 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘†)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑋) ∈ (π‘ˆ MndHom 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3058   βŠ† wss 3947   β†Ύ cres 5680  βŸΆwf 6544  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17180   β†Ύs cress 17209  +gcplusg 17233  0gc0g 17421  Mndcmnd 18694   MndHom cmhm 18738  SubMndcsubmnd 18739
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-0g 17423  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-mhm 18740  df-submnd 18741
This theorem is referenced by:  resrhm  20540  dchrghm  27202
  Copyright terms: Public domain W3C validator