MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resmhm Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem resmhm 18701
Description: Restriction of a monoid homomorphism to a submonoid is a homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
resmhm.u π‘ˆ = (𝑆 β†Ύs 𝑋)
Assertion
Ref Expression
resmhm ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘†)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑋) ∈ (π‘ˆ MndHom 𝑇))
Proof of Theorem resmhm
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mhmrcl2 18676 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) β†’ 𝑇 ∈ Mnd)
2 resmhm.u . . . 4 π‘ˆ = (𝑆 β†Ύs 𝑋)
32submmnd 18694 . . 3 (𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘†) β†’ π‘ˆ ∈ Mnd)
41, 3anim12ci 615 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘†)) β†’ (π‘ˆ ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd))
5 eqid 2733 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
6 eqid 2733 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘‡) = (Baseβ€˜π‘‡)
75, 6mhmf 18677 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘†)⟢(Baseβ€˜π‘‡))
85submss 18690 . . . . 5 (𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘†) β†’ 𝑋 βŠ† (Baseβ€˜π‘†))
9 fssres 6758 . . . . 5 ((𝐹:(Baseβ€˜π‘†)⟢(Baseβ€˜π‘‡) ∧ 𝑋 βŠ† (Baseβ€˜π‘†)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑋):π‘‹βŸΆ(Baseβ€˜π‘‡))
107, 8, 9syl2an 597 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘†)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑋):π‘‹βŸΆ(Baseβ€˜π‘‡))
118adantl 483 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘†)) β†’ 𝑋 βŠ† (Baseβ€˜π‘†))
122, 5ressbas2 17182 . . . . . 6 (𝑋 βŠ† (Baseβ€˜π‘†) β†’ 𝑋 = (Baseβ€˜π‘ˆ))
1311, 12syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘†)) β†’ 𝑋 = (Baseβ€˜π‘ˆ))
1413feq2d 6704 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘†)) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑋):π‘‹βŸΆ(Baseβ€˜π‘‡) ↔ (𝐹 β†Ύ 𝑋):(Baseβ€˜π‘ˆ)⟢(Baseβ€˜π‘‡)))
1510, 14mpbid 231 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘†)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑋):(Baseβ€˜π‘ˆ)⟢(Baseβ€˜π‘‡))
16 simpll 766 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘†)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇))
178ad2antlr 726 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘†)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑋 βŠ† (Baseβ€˜π‘†))
18 simprl 770 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘†)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
1917, 18sseldd 3984 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘†)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†))
20 simprr 772 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘†)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
2117, 20sseldd 3984 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘†)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†))
22 eqid 2733 . . . . . . . 8 (+gβ€˜π‘†) = (+gβ€˜π‘†)
23 eqid 2733 . . . . . . . 8 (+gβ€˜π‘‡) = (+gβ€˜π‘‡)
245, 22, 23mhmlin 18679 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯(+gβ€˜π‘†)𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘¦)))
2516, 19, 21, 24syl3anc 1372 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘†)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯(+gβ€˜π‘†)𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘¦)))
2622submcl 18693 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘†)𝑦) ∈ 𝑋)
27263expb 1121 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘†) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘†)𝑦) ∈ 𝑋)
2827adantll 713 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘†)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘†)𝑦) ∈ 𝑋)
2928fvresd 6912 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘†)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜(π‘₯(+gβ€˜π‘†)𝑦)) = (πΉβ€˜(π‘₯(+gβ€˜π‘†)𝑦)))
30 fvres 6911 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝑋 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
31 fvres 6911 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ 𝑋 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘¦))
3230, 31oveqan12d 7428 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘‡)((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜π‘¦)) = ((πΉβ€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘¦)))
3332adantl 483 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘†)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘‡)((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜π‘¦)) = ((πΉβ€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘¦)))
3425, 29, 333eqtr4d 2783 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘†)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜(π‘₯(+gβ€˜π‘†)𝑦)) = (((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘‡)((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜π‘¦)))
3534ralrimivva 3201 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘†)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜(π‘₯(+gβ€˜π‘†)𝑦)) = (((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘‡)((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜π‘¦)))
362, 22ressplusg 17235 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘†) β†’ (+gβ€˜π‘†) = (+gβ€˜π‘ˆ))
3736adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘†)) β†’ (+gβ€˜π‘†) = (+gβ€˜π‘ˆ))
3837oveqd 7426 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘†)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘†)𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜π‘ˆ)𝑦))
3938fveqeq2d 6900 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘†)) β†’ (((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜(π‘₯(+gβ€˜π‘†)𝑦)) = (((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘‡)((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜π‘¦)) ↔ ((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜(π‘₯(+gβ€˜π‘ˆ)𝑦)) = (((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘‡)((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜π‘¦))))
4013, 39raleqbidv 3343 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘†)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜(π‘₯(+gβ€˜π‘†)𝑦)) = (((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘‡)((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜π‘¦)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ)((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜(π‘₯(+gβ€˜π‘ˆ)𝑦)) = (((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘‡)((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜π‘¦))))
4113, 40raleqbidv 3343 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘†)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜(π‘₯(+gβ€˜π‘†)𝑦)) = (((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘‡)((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜π‘¦)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ)((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜(π‘₯(+gβ€˜π‘ˆ)𝑦)) = (((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘‡)((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜π‘¦))))
4235, 41mpbid 231 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘†)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ)((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜(π‘₯(+gβ€˜π‘ˆ)𝑦)) = (((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘‡)((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜π‘¦)))
43 eqid 2733 . . . . . . 7 (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘†)
4443subm0cl 18692 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘†) β†’ (0gβ€˜π‘†) ∈ 𝑋)
4544adantl 483 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘†)) β†’ (0gβ€˜π‘†) ∈ 𝑋)
4645fvresd 6912 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘†)) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜(0gβ€˜π‘†)) = (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)))
472, 43subm0 18696 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘†) β†’ (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘ˆ))
4847adantl 483 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘†)) β†’ (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘ˆ))
4948fveq2d 6896 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘†)) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜(0gβ€˜π‘†)) = ((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜(0gβ€˜π‘ˆ)))
50 eqid 2733 . . . . . 6 (0gβ€˜π‘‡) = (0gβ€˜π‘‡)
5143, 50mhm0 18680 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) β†’ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡))
5251adantr 482 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘†)) β†’ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡))
5346, 49, 523eqtr3d 2781 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘†)) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜(0gβ€˜π‘ˆ)) = (0gβ€˜π‘‡))
5415, 42, 533jca 1129 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘†)) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑋):(Baseβ€˜π‘ˆ)⟢(Baseβ€˜π‘‡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ)((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜(π‘₯(+gβ€˜π‘ˆ)𝑦)) = (((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘‡)((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜π‘¦)) ∧ ((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜(0gβ€˜π‘ˆ)) = (0gβ€˜π‘‡)))
55 eqid 2733 . . 3 (Baseβ€˜π‘ˆ) = (Baseβ€˜π‘ˆ)
56 eqid 2733 . . 3 (+gβ€˜π‘ˆ) = (+gβ€˜π‘ˆ)
57 eqid 2733 . . 3 (0gβ€˜π‘ˆ) = (0gβ€˜π‘ˆ)
5855, 6, 56, 23, 57, 50ismhm 18673 . 2 ((𝐹 β†Ύ 𝑋) ∈ (π‘ˆ MndHom 𝑇) ↔ ((π‘ˆ ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd) ∧ ((𝐹 β†Ύ 𝑋):(Baseβ€˜π‘ˆ)⟢(Baseβ€˜π‘‡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ)((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜(π‘₯(+gβ€˜π‘ˆ)𝑦)) = (((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘‡)((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜π‘¦)) ∧ ((𝐹 β†Ύ 𝑋)β€˜(0gβ€˜π‘ˆ)) = (0gβ€˜π‘‡))))
594, 54, 58sylanbrc 584 1 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘†)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑋) ∈ (π‘ˆ MndHom 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062   βŠ† wss 3949   β†Ύ cres 5679  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144   β†Ύs cress 17173  +gcplusg 17197  0gc0g 17385  Mndcmnd 18625   MndHom cmhm 18669  SubMndcsubmnd 18670
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-submnd 18672
This theorem is referenced by:  resrhm  20348  dchrghm  26759
  Copyright terms: Public domain W3C validator