MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mhmf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mhmf 18561
Description: A monoid homomorphism is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mhmf.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
mhmf.c 𝐶 = (Base‘𝑇)
Assertion
Ref Expression
mhmf (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) → 𝐹:𝐵𝐶)

Proof of Theorem mhmf
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mhmf.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑆)
2 mhmf.c . . . 4 𝐶 = (Base‘𝑇)
3 eqid 2736 . . . 4 (+g𝑆) = (+g𝑆)
4 eqid 2736 . . . 4 (+g𝑇) = (+g𝑇)
5 eqid 2736 . . . 4 (0g𝑆) = (0g𝑆)
6 eqid 2736 . . . 4 (0g𝑇) = (0g𝑇)
71, 2, 3, 4, 5, 6ismhm 18557 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd) ∧ (𝐹:𝐵𝐶 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝐹‘(𝑥(+g𝑆)𝑦)) = ((𝐹𝑥)(+g𝑇)(𝐹𝑦)) ∧ (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))))
87simprbi 497 . 2 (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) → (𝐹:𝐵𝐶 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝐹‘(𝑥(+g𝑆)𝑦)) = ((𝐹𝑥)(+g𝑇)(𝐹𝑦)) ∧ (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇)))
98simp1d 1142 1 (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) → 𝐹:𝐵𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3062  wf 6489  cfv 6493  (class class class)co 7351  Basecbs 17037  +gcplusg 17087  0gc0g 17275  Mndcmnd 18510   MndHom cmhm 18553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-br 5104  df-opab 5166  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-fv 6501  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-map 8725  df-mhm 18555
This theorem is referenced by:  mhmf1o  18566  resmhm  18585  resmhm2  18586  resmhm2b  18587  mhmco  18588  mhmima  18589  mhmeql  18590  pwsco2mhm  18597  gsumwmhm  18609  frmdup3lem  18630  frmdup3  18631  mhmmulg  18870  ghmmhmb  18972  cntzmhm  19072  cntzmhm2  19073  frgpup3lem  19512  gsumzmhm  19667  gsummhm2  19669  gsummptmhm  19670  mhmvlin  21692  mdetleib2  21883  mdetf  21890  mdetdiaglem  21893  mdetrlin  21897  mdetrsca  21898  mdetralt  21903  mdetunilem7  21913  mdetunilem8  21914  dchrelbas2  26531  dchrn0  26544  mhmhmeotmd  32336
  Copyright terms: Public domain W3C validator