Theorem mhmf 18964

Description: A monoid homomorphism is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhmf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
mhmf.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
mhmf	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Proof of Theorem mhmf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhmf.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
2		mhmf.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
3		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
4		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑇) = (+g‘𝑇)
5		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
6		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑇) = (0g‘𝑇)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ismhm 18960	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd) ∧ (𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘(0g‘𝑆)) = (0g‘𝑇))))
8	7	simprbi 503	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) → (𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘(0g‘𝑆)) = (0g‘𝑇)))
9	8	simp1d 1160	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  Basecbs 17367  +_gcplusg 17408  0_gc0g 17590  Mndcmnd 18903   MndHom cmhm 18956

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-fv 6539  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-map 8833  df-mhm 18958

This theorem is used by:  mhmf1o  18971  mhmvlin  18976  resmhm  18996  resmhm2  18997  resmhm2b  18998  mhmco  18999  mhmimalem  19000  mhmima  19001  mhmeql  19002  pwsco2mhm  19009  gsumwmhm  19021  frmdup3lem  19042  frmdup3  19043  mhmmulg  19305  ghmmhmb  19421  cntzmhm  19535  cntzmhm2  19536  frgpup3lem  19971  gsumzmhm  20131  gsummhm2  20133  gsummptmhm  20134  rhmimasubrnglem  20797  mhmcompl  22410  mdetleib2  22883  mdetf  22890  mdetdiaglem  22893  mdetrlin  22897  mdetrsca  22898  mdetralt  22903  mdetunilem7  22913  mdetunilem8  22914  dchrelbas2  27546  dchrn0  27559  mhmhmeotmd  34541  mhmcopsr  43570