Theorem mhmf 18989

Description: A monoid homomorphism is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhmf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
mhmf.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
mhmf	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Proof of Theorem mhmf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhmf.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
2		mhmf.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
3		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
4		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑇) = (+g‘𝑇)
5		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
6		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑇) = (0g‘𝑇)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ismhm 18985	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd) ∧ (𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘(0g‘𝑆)) = (0g‘𝑇))))
8	7	simprbi 503	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) → (𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘(0g‘𝑆)) = (0g‘𝑇)))
9	8	simp1d 1160	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17392  +_gcplusg 17433  0_gc0g 17615  Mndcmnd 18928   MndHom cmhm 18981

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-map 8852  df-mhm 18983

This theorem is used by:  mhmf1o  18996  mhmvlin  19001  resmhm  19021  resmhm2  19022  resmhm2b  19023  mhmco  19024  mhmimalem  19025  mhmima  19026  mhmeql  19027  pwsco2mhm  19034  gsumwmhm  19046  frmdup3lem  19067  frmdup3  19068  mhmmulg  19330  ghmmhmb  19446  cntzmhm  19560  cntzmhm2  19561  frgpup3lem  19996  gsumzmhm  20156  gsummhm2  20158  gsummptmhm  20159  rhmimasubrnglem  20822  mhmcompl  22435  mdetleib2  22908  mdetf  22915  mdetdiaglem  22918  mdetrlin  22922  mdetrsca  22923  mdetralt  22928  mdetunilem7  22938  mdetunilem8  22939  dchrelbas2  27569  dchrn0  27582  mhmhmeotmd  34605  mhmcopsr  43701