Theorem mhmf 18903

Description: A monoid homomorphism is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhmf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
mhmf.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
mhmf	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Proof of Theorem mhmf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhmf.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
2		mhmf.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
3		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
4		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑇) = (+g‘𝑇)
5		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
6		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑇) = (0g‘𝑇)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ismhm 18899	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd) ∧ (𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘(0g‘𝑆)) = (0g‘𝑇))))
8	7	simprbi 503	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) → (𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘(0g‘𝑆)) = (0g‘𝑇)))
9	8	simp1d 1160	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Basecbs 17307  +_gcplusg 17348  0_gc0g 17530  Mndcmnd 18842   MndHom cmhm 18895

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-map 8832  df-mhm 18897

This theorem is used by:  mhmf1o  18910  mhmvlin  18915  resmhm  18935  resmhm2  18936  resmhm2b  18937  mhmco  18938  mhmimalem  18939  mhmima  18940  mhmeql  18941  pwsco2mhm  18948  gsumwmhm  18960  frmdup3lem  18981  frmdup3  18982  mhmmulg  19244  ghmmhmb  19360  cntzmhm  19474  cntzmhm2  19475  frgpup3lem  19910  gsumzmhm  20070  gsummhm2  20072  gsummptmhm  20073  rhmimasubrnglem  20733  mhmcompl  22343  mdetleib2  22816  mdetf  22823  mdetdiaglem  22826  mdetrlin  22830  mdetrsca  22831  mdetralt  22836  mdetunilem7  22846  mdetunilem8  22847  dchrelbas2  27481  dchrn0  27494  mhmhmeotmd  34445  mhmcopsr  43434