MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mhmf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mhmf 17949
Description: A monoid homomorphism is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mhmf.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
mhmf.c 𝐶 = (Base‘𝑇)
Assertion
Ref Expression
mhmf (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) → 𝐹:𝐵𝐶)

Proof of Theorem mhmf
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mhmf.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑆)
2 mhmf.c . . . 4 𝐶 = (Base‘𝑇)
3 eqid 2818 . . . 4 (+g𝑆) = (+g𝑆)
4 eqid 2818 . . . 4 (+g𝑇) = (+g𝑇)
5 eqid 2818 . . . 4 (0g𝑆) = (0g𝑆)
6 eqid 2818 . . . 4 (0g𝑇) = (0g𝑇)
71, 2, 3, 4, 5, 6ismhm 17946 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd) ∧ (𝐹:𝐵𝐶 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝐹‘(𝑥(+g𝑆)𝑦)) = ((𝐹𝑥)(+g𝑇)(𝐹𝑦)) ∧ (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))))
87simprbi 497 . 2 (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) → (𝐹:𝐵𝐶 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝐹‘(𝑥(+g𝑆)𝑦)) = ((𝐹𝑥)(+g𝑇)(𝐹𝑦)) ∧ (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇)))
98simp1d 1134 1 (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) → 𝐹:𝐵𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  +gcplusg 16553  0gc0g 16701  Mndcmnd 17899   MndHom cmhm 17942
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-map 8397  df-mhm 17944
This theorem is referenced by:  mhmf1o  17954  resmhm  17973  resmhm2  17974  resmhm2b  17975  mhmco  17976  mhmima  17977  mhmeql  17978  pwsco2mhm  17985  gsumwmhm  17998  frmdup3lem  18019  frmdup3  18020  mhmmulg  18206  ghmmhmb  18307  cntzmhm  18407  cntzmhm2  18408  frgpup3lem  18832  gsumzmhm  18986  gsummhm2  18988  gsummptmhm  18989  mhmvlin  20936  mdetleib2  21125  mdetf  21132  mdetdiaglem  21135  mdetrlin  21139  mdetrsca  21140  mdetralt  21145  mdetunilem7  21155  mdetunilem8  21156  dchrelbas2  25740  dchrn0  25753  mhmhmeotmd  31069
  Copyright terms: Public domain W3C validator