MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mhmf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mhmf 18815
Description: A monoid homomorphism is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mhmf.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
mhmf.c 𝐶 = (Base‘𝑇)
Assertion
Ref Expression
mhmf (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) → 𝐹:𝐵𝐶)

Proof of Theorem mhmf
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mhmf.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑆)
2 mhmf.c . . . 4 𝐶 = (Base‘𝑇)
3 eqid 2735 . . . 4 (+g𝑆) = (+g𝑆)
4 eqid 2735 . . . 4 (+g𝑇) = (+g𝑇)
5 eqid 2735 . . . 4 (0g𝑆) = (0g𝑆)
6 eqid 2735 . . . 4 (0g𝑇) = (0g𝑇)
71, 2, 3, 4, 5, 6ismhm 18811 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd) ∧ (𝐹:𝐵𝐶 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝐹‘(𝑥(+g𝑆)𝑦)) = ((𝐹𝑥)(+g𝑇)(𝐹𝑦)) ∧ (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))))
87simprbi 496 . 2 (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) → (𝐹:𝐵𝐶 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝐹‘(𝑥(+g𝑆)𝑦)) = ((𝐹𝑥)(+g𝑇)(𝐹𝑦)) ∧ (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇)))
98simp1d 1141 1 (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) → 𝐹:𝐵𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  0gc0g 17486  Mndcmnd 18760   MndHom cmhm 18807
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8867  df-mhm 18809
This theorem is referenced by:  mhmf1o  18822  mhmvlin  18827  resmhm  18846  resmhm2  18847  resmhm2b  18848  mhmco  18849  mhmimalem  18850  mhmima  18851  mhmeql  18852  pwsco2mhm  18859  gsumwmhm  18871  frmdup3lem  18892  frmdup3  18893  mhmmulg  19146  ghmmhmb  19258  cntzmhm  19372  cntzmhm2  19373  frgpup3lem  19810  gsumzmhm  19970  gsummhm2  19972  gsummptmhm  19973  rhmimasubrnglem  20582  mhmcompl  22400  mdetleib2  22610  mdetf  22617  mdetdiaglem  22620  mdetrlin  22624  mdetrsca  22625  mdetralt  22630  mdetunilem7  22640  mdetunilem8  22641  dchrelbas2  27296  dchrn0  27309  mhmhmeotmd  33888  mhmcopsr  42536
  Copyright terms: Public domain W3C validator