Theorem mhmf 18714

Description: A monoid homomorphism is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhmf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
mhmf.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
mhmf	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Proof of Theorem mhmf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhmf.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
2		mhmf.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
3		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
4		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑇) = (+g‘𝑇)
5		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
6		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑇) = (0g‘𝑇)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ismhm 18710	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd) ∧ (𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘(0g‘𝑆)) = (0g‘𝑇))))
8	7	simprbi 496	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) → (𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘(0g‘𝑆)) = (0g‘𝑇)))
9	8	simp1d 1142	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  +_gcplusg 17177  0_gc0g 17359  Mndcmnd 18659   MndHom cmhm 18706

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-map 8765  df-mhm 18708

This theorem is referenced by:  mhmf1o  18721  mhmvlin  18726  resmhm  18745  resmhm2  18746  resmhm2b  18747  mhmco  18748  mhmimalem  18749  mhmima  18750  mhmeql  18751  pwsco2mhm  18758  gsumwmhm  18770  frmdup3lem  18791  frmdup3  18792  mhmmulg  19045  ghmmhmb  19156  cntzmhm  19270  cntzmhm2  19271  frgpup3lem  19706  gsumzmhm  19866  gsummhm2  19868  gsummptmhm  19869  rhmimasubrnglem  20498  mhmcompl  22324  mdetleib2  22532  mdetf  22539  mdetdiaglem  22542  mdetrlin  22546  mdetrsca  22547  mdetralt  22552  mdetunilem7  22562  mdetunilem8  22563  dchrelbas2  27204  dchrn0  27217  mhmhmeotmd  34084  mhmcopsr  42802