Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mpstrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mpstrcl 34199
Description: The elements of a pre-statement are sets. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
mpstssv.p 𝑃 = (mPreStβ€˜π‘‡)
Assertion
Ref Expression
mpstrcl (⟨𝐷, 𝐻, 𝐴⟩ ∈ 𝑃 β†’ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))

Proof of Theorem mpstrcl
StepHypRef Expression
1 df-ot 4599 . . 3 ⟨𝐷, 𝐻, 𝐴⟩ = ⟨⟨𝐷, 𝐻⟩, 𝐴⟩
2 mpstssv.p . . . . 5 𝑃 = (mPreStβ€˜π‘‡)
32mpstssv 34197 . . . 4 𝑃 βŠ† ((V Γ— V) Γ— V)
43sseli 3944 . . 3 (⟨𝐷, 𝐻, 𝐴⟩ ∈ 𝑃 β†’ ⟨𝐷, 𝐻, 𝐴⟩ ∈ ((V Γ— V) Γ— V))
51, 4eqeltrrid 2839 . 2 (⟨𝐷, 𝐻, 𝐴⟩ ∈ 𝑃 β†’ ⟨⟨𝐷, 𝐻⟩, 𝐴⟩ ∈ ((V Γ— V) Γ— V))
6 opelxp 5673 . . . 4 (⟨𝐷, 𝐻⟩ ∈ (V Γ— V) ↔ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V))
76anbi1i 625 . . 3 ((⟨𝐷, 𝐻⟩ ∈ (V Γ— V) ∧ 𝐴 ∈ V) ↔ ((𝐷 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V) ∧ 𝐴 ∈ V))
8 opelxp 5673 . . 3 (⟨⟨𝐷, 𝐻⟩, 𝐴⟩ ∈ ((V Γ— V) Γ— V) ↔ (⟨𝐷, 𝐻⟩ ∈ (V Γ— V) ∧ 𝐴 ∈ V))
9 df-3an 1090 . . 3 ((𝐷 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ↔ ((𝐷 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V) ∧ 𝐴 ∈ V))
107, 8, 93bitr4i 303 . 2 (⟨⟨𝐷, 𝐻⟩, 𝐴⟩ ∈ ((V Γ— V) Γ— V) ↔ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))
115, 10sylib 217 1 (⟨𝐷, 𝐻, 𝐴⟩ ∈ 𝑃 β†’ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3447  βŸ¨cop 4596  βŸ¨cotp 4598   Γ— cxp 5635  β€˜cfv 6500  mPreStcmpst 34131
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-ot 4599  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fv 6508  df-mpst 34151
This theorem is referenced by:  elmsta  34206  mclsax  34227
  Copyright terms: Public domain W3C validator