Theorem mpstrcl 35509

Description: The elements of a pre-statement are sets. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
mpstssv.p	⊢ 𝑃 = (mPreSt‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
mpstrcl	⊢ (⟨𝐷, 𝐻, 𝐴⟩ ∈ 𝑃 → (𝐷 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))

Proof of Theorem mpstrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ot 4657	. . 3 ⊢ ⟨𝐷, 𝐻, 𝐴⟩ = ⟨⟨𝐷, 𝐻⟩, 𝐴⟩
2		mpstssv.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (mPreSt‘𝑇)
3	2	mpstssv 35507	. . . 4 ⊢ 𝑃 ⊆ ((V × V) × V)
4	3	sseli 4004	. . 3 ⊢ (⟨𝐷, 𝐻, 𝐴⟩ ∈ 𝑃 → ⟨𝐷, 𝐻, 𝐴⟩ ∈ ((V × V) × V))
5	1, 4	eqeltrrid 2849	. 2 ⊢ (⟨𝐷, 𝐻, 𝐴⟩ ∈ 𝑃 → ⟨⟨𝐷, 𝐻⟩, 𝐴⟩ ∈ ((V × V) × V))
6		opelxp 5736	. . . 4 ⊢ (⟨𝐷, 𝐻⟩ ∈ (V × V) ↔ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V))
7	6	anbi1i 623	. . 3 ⊢ ((⟨𝐷, 𝐻⟩ ∈ (V × V) ∧ 𝐴 ∈ V) ↔ ((𝐷 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V) ∧ 𝐴 ∈ V))
8		opelxp 5736	. . 3 ⊢ (⟨⟨𝐷, 𝐻⟩, 𝐴⟩ ∈ ((V × V) × V) ↔ (⟨𝐷, 𝐻⟩ ∈ (V × V) ∧ 𝐴 ∈ V))
9		df-3an 1089	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ↔ ((𝐷 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V) ∧ 𝐴 ∈ V))
10	7, 8, 9	3bitr4i 303	. 2 ⊢ (⟨⟨𝐷, 𝐻⟩, 𝐴⟩ ∈ ((V × V) × V) ↔ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))
11	5, 10	sylib 218	1 ⊢ (⟨𝐷, 𝐻, 𝐴⟩ ∈ 𝑃 → (𝐷 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488  ⟨cop 4654  ⟨cotp 4656   × cxp 5698  ‘cfv 6573  mPreStcmpst 35441

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-ot 4657  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fv 6581  df-mpst 35461

This theorem is referenced by:  elmsta  35516  mclsax  35537