Theorem mpstrcl 35526

Description: The elements of a pre-statement are sets. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
mpstssv.p	⊢ 𝑃 = (mPreSt‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
mpstrcl	⊢ (⟨𝐷, 𝐻, 𝐴⟩ ∈ 𝑃 → (𝐷 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))

Proof of Theorem mpstrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ot 4640	. . 3 ⊢ ⟨𝐷, 𝐻, 𝐴⟩ = ⟨⟨𝐷, 𝐻⟩, 𝐴⟩
2		mpstssv.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (mPreSt‘𝑇)
3	2	mpstssv 35524	. . . 4 ⊢ 𝑃 ⊆ ((V × V) × V)
4	3	sseli 3991	. . 3 ⊢ (⟨𝐷, 𝐻, 𝐴⟩ ∈ 𝑃 → ⟨𝐷, 𝐻, 𝐴⟩ ∈ ((V × V) × V))
5	1, 4	eqeltrrid 2844	. 2 ⊢ (⟨𝐷, 𝐻, 𝐴⟩ ∈ 𝑃 → ⟨⟨𝐷, 𝐻⟩, 𝐴⟩ ∈ ((V × V) × V))
6		opelxp 5725	. . . 4 ⊢ (⟨𝐷, 𝐻⟩ ∈ (V × V) ↔ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V))
7	6	anbi1i 624	. . 3 ⊢ ((⟨𝐷, 𝐻⟩ ∈ (V × V) ∧ 𝐴 ∈ V) ↔ ((𝐷 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V) ∧ 𝐴 ∈ V))
8		opelxp 5725	. . 3 ⊢ (⟨⟨𝐷, 𝐻⟩, 𝐴⟩ ∈ ((V × V) × V) ↔ (⟨𝐷, 𝐻⟩ ∈ (V × V) ∧ 𝐴 ∈ V))
9		df-3an 1088	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ↔ ((𝐷 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V) ∧ 𝐴 ∈ V))
10	7, 8, 9	3bitr4i 303	. 2 ⊢ (⟨⟨𝐷, 𝐻⟩, 𝐴⟩ ∈ ((V × V) × V) ↔ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))
11	5, 10	sylib 218	1 ⊢ (⟨𝐷, 𝐻, 𝐴⟩ ∈ 𝑃 → (𝐷 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478  ⟨cop 4637  ⟨cotp 4639   × cxp 5687  ‘cfv 6563  mPreStcmpst 35458

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-ot 4640  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fv 6571  df-mpst 35478

This theorem is referenced by:  elmsta  35533  mclsax  35554