Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mpstssv Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mpstssv 34561
Description: A pre-statement is an ordered triple. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
mpstssv.p 𝑃 = (mPreStβ€˜π‘‡)
Assertion
Ref Expression
mpstssv 𝑃 βŠ† ((V Γ— V) Γ— V)
Proof of Theorem mpstssv
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . 3 (mDVβ€˜π‘‡) = (mDVβ€˜π‘‡)
2 eqid 2733 . . 3 (mExβ€˜π‘‡) = (mExβ€˜π‘‡)
3 mpstssv.p . . 3 𝑃 = (mPreStβ€˜π‘‡)
41, 2, 3mpstval 34557 . 2 𝑃 = (({𝑑 ∈ 𝒫 (mDVβ€˜π‘‡) ∣ ◑𝑑 = 𝑑} Γ— (𝒫 (mExβ€˜π‘‡) ∩ Fin)) Γ— (mExβ€˜π‘‡))
5 xpss 5693 . . 3 ({𝑑 ∈ 𝒫 (mDVβ€˜π‘‡) ∣ ◑𝑑 = 𝑑} Γ— (𝒫 (mExβ€˜π‘‡) ∩ Fin)) βŠ† (V Γ— V)
6 ssv 4007 . . 3 (mExβ€˜π‘‡) βŠ† V
7 xpss12 5692 . . 3 ((({𝑑 ∈ 𝒫 (mDVβ€˜π‘‡) ∣ ◑𝑑 = 𝑑} Γ— (𝒫 (mExβ€˜π‘‡) ∩ Fin)) βŠ† (V Γ— V) ∧ (mExβ€˜π‘‡) βŠ† V) β†’ (({𝑑 ∈ 𝒫 (mDVβ€˜π‘‡) ∣ ◑𝑑 = 𝑑} Γ— (𝒫 (mExβ€˜π‘‡) ∩ Fin)) Γ— (mExβ€˜π‘‡)) βŠ† ((V Γ— V) Γ— V))
85, 6, 7mp2an 691 . 2 (({𝑑 ∈ 𝒫 (mDVβ€˜π‘‡) ∣ ◑𝑑 = 𝑑} Γ— (𝒫 (mExβ€˜π‘‡) ∩ Fin)) Γ— (mExβ€˜π‘‡)) βŠ† ((V Γ— V) Γ— V)
94, 8eqsstri 4017 1 𝑃 βŠ† ((V Γ— V) Γ— V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542  {crab 3433  Vcvv 3475   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4603   Γ— cxp 5675  β—‘ccnv 5676  β€˜cfv 6544  Fincfn 8939  mExcmex 34489  mDVcmdv 34490  mPreStcmpst 34495
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-mpst 34515
This theorem is referenced by:  mpst123  34562  mpstrcl  34563  msrrcl  34565  elmpps  34595
  Copyright terms: Public domain W3C validator