Theorem mpstssv 35604

Description: A pre-statement is an ordered triple. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
mpstssv.p	⊢ 𝑃 = (mPreSt‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
mpstssv	⊢ 𝑃 ⊆ ((V × V) × V)

Proof of Theorem mpstssv

Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . 3 ⊢ (mDV‘𝑇) = (mDV‘𝑇)
2		eqid 2733	. . 3 ⊢ (mEx‘𝑇) = (mEx‘𝑇)
3		mpstssv.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (mPreSt‘𝑇)
4	1, 2, 3	mpstval 35600	. 2 ⊢ 𝑃 = (({𝑑 ∈ 𝒫 (mDV‘𝑇) ∣ ◡𝑑 = 𝑑} × (𝒫 (mEx‘𝑇) ∩ Fin)) × (mEx‘𝑇))
5		xpss 5635	. . 3 ⊢ ({𝑑 ∈ 𝒫 (mDV‘𝑇) ∣ ◡𝑑 = 𝑑} × (𝒫 (mEx‘𝑇) ∩ Fin)) ⊆ (V × V)
6		ssv 3955	. . 3 ⊢ (mEx‘𝑇) ⊆ V
7		xpss12 5634	. . 3 ⊢ ((({𝑑 ∈ 𝒫 (mDV‘𝑇) ∣ ◡𝑑 = 𝑑} × (𝒫 (mEx‘𝑇) ∩ Fin)) ⊆ (V × V) ∧ (mEx‘𝑇) ⊆ V) → (({𝑑 ∈ 𝒫 (mDV‘𝑇) ∣ ◡𝑑 = 𝑑} × (𝒫 (mEx‘𝑇) ∩ Fin)) × (mEx‘𝑇)) ⊆ ((V × V) × V))
8	5, 6, 7	mp2an 692	. 2 ⊢ (({𝑑 ∈ 𝒫 (mDV‘𝑇) ∣ ◡𝑑 = 𝑑} × (𝒫 (mEx‘𝑇) ∩ Fin)) × (mEx‘𝑇)) ⊆ ((V × V) × V)
9	4, 8	eqsstri 3977	1 ⊢ 𝑃 ⊆ ((V × V) × V)

Syntax hints:   = wceq 1541  {crab 3396  Vcvv 3437   ∩ cin 3897   ⊆ wss 3898  𝒫 cpw 4549   × cxp 5617  ^◡ccnv 5618  ‘cfv 6486  Fincfn 8875  mExcmex 35532  mDVcmdv 35533  mPreStcmpst 35538

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fv 6494  df-mpst 35558

This theorem is referenced by:  mpst123  35605  mpstrcl  35606  msrrcl  35608  elmpps  35638