Theorem mpstssv 36009

Description: A pre-statement is an ordered triple. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
mpstssv.p	⊢ 𝑃 = (mPreSt‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
mpstssv	⊢ 𝑃 ⊆ ((V × V) × V)

Proof of Theorem mpstssv

Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ (mDV‘𝑇) = (mDV‘𝑇)
2		eqid 2763	. . 3 ⊢ (mEx‘𝑇) = (mEx‘𝑇)
3		mpstssv.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (mPreSt‘𝑇)
4	1, 2, 3	mpstval 36005	. 2 ⊢ 𝑃 = (({𝑑 ∈ 𝒫 (mDV‘𝑇) ∣ ◡𝑑 = 𝑑} × (𝒫 (mEx‘𝑇) ∩ Fin)) × (mEx‘𝑇))
5		xpss 5679	. . 3 ⊢ ({𝑑 ∈ 𝒫 (mDV‘𝑇) ∣ ◡𝑑 = 𝑑} × (𝒫 (mEx‘𝑇) ∩ Fin)) ⊆ (V × V)
6		ssv 3962	. . 3 ⊢ (mEx‘𝑇) ⊆ V
7		xpss12 5678	. . 3 ⊢ ((({𝑑 ∈ 𝒫 (mDV‘𝑇) ∣ ◡𝑑 = 𝑑} × (𝒫 (mEx‘𝑇) ∩ Fin)) ⊆ (V × V) ∧ (mEx‘𝑇) ⊆ V) → (({𝑑 ∈ 𝒫 (mDV‘𝑇) ∣ ◡𝑑 = 𝑑} × (𝒫 (mEx‘𝑇) ∩ Fin)) × (mEx‘𝑇)) ⊆ ((V × V) × V))
8	5, 6, 7	mp2an 704	. 2 ⊢ (({𝑑 ∈ 𝒫 (mDV‘𝑇) ∣ ◡𝑑 = 𝑑} × (𝒫 (mEx‘𝑇) ∩ Fin)) × (mEx‘𝑇)) ⊆ ((V × V) × V)
9	4, 8	eqsstri 3984	1 ⊢ 𝑃 ⊆ ((V × V) × V)

Syntax hints:   = wceq 1570  {crab 3416  Vcvv 3455   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  𝒫 cpw 4563   × cxp 5661  ^◡ccnv 5662  ‘cfv 6538  Fincfn 8944  mExcmex 35937  mDVcmdv 35938  mPreStcmpst 35943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546  df-mpst 35963

This theorem is referenced by:  mpst123  36010  mpstrcl  36011  msrrcl  36013  elmpps  36043