Theorem mpstssv 36471

Description: A pre-statement is an ordered triple. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
mpstssv.p	⊢ 𝑃 = (mPreSt‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
mpstssv	⊢ 𝑃 ⊆ ((V × V) × V)

Proof of Theorem mpstssv

Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ (mDV‘𝑇) = (mDV‘𝑇)
2		eqid 2763	. . 3 ⊢ (mEx‘𝑇) = (mEx‘𝑇)
3		mpstssv.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (mPreSt‘𝑇)
4	1, 2, 3	mpstval 36467	. 2 ⊢ 𝑃 = (({𝑑 ∈ 𝒫 (mDV‘𝑇) ∣ ◡𝑑 = 𝑑} × (𝒫 (mEx‘𝑇) ∩ Fin)) × (mEx‘𝑇))
5		xpss 5671	. . 3 ⊢ ({𝑑 ∈ 𝒫 (mDV‘𝑇) ∣ ◡𝑑 = 𝑑} × (𝒫 (mEx‘𝑇) ∩ Fin)) ⊆ (V × V)
6		ssv 3937	. . 3 ⊢ (mEx‘𝑇) ⊆ V
7		xpss12 5670	. . 3 ⊢ ((({𝑑 ∈ 𝒫 (mDV‘𝑇) ∣ ◡𝑑 = 𝑑} × (𝒫 (mEx‘𝑇) ∩ Fin)) ⊆ (V × V) ∧ (mEx‘𝑇) ⊆ V) → (({𝑑 ∈ 𝒫 (mDV‘𝑇) ∣ ◡𝑑 = 𝑑} × (𝒫 (mEx‘𝑇) ∩ Fin)) × (mEx‘𝑇)) ⊆ ((V × V) × V))
8	5, 6, 7	mp2an 705	. 2 ⊢ (({𝑑 ∈ 𝒫 (mDV‘𝑇) ∣ ◡𝑑 = 𝑑} × (𝒫 (mEx‘𝑇) ∩ Fin)) × (mEx‘𝑇)) ⊆ ((V × V) × V)
9	4, 8	eqsstri 3959	1 ⊢ 𝑃 ⊆ ((V × V) × V)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  {crab 3416  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092  𝒫 cpw 4560   × cxp 5653  ^◡ccnv 5654  ‘cfv 6558  Fincfn 9001  mExcmex 36399  mDVcmdv 36400  mPreStcmpst 36405

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fv 6566  df-mpst 36425

This theorem is used by:  mpst123  36472  mpstrcl  36473  msrrcl  36475  elmpps  36505