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Theorem mclsax 34560
Description: The closure is closed under axiom application. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mclsval.d 𝐷 = (mDVβ€˜π‘‡)
mclsval.e 𝐸 = (mExβ€˜π‘‡)
mclsval.c 𝐢 = (mClsβ€˜π‘‡)
mclsval.1 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ mFS)
mclsval.2 (πœ‘ β†’ 𝐾 βŠ† 𝐷)
mclsval.3 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† 𝐸)
mclsax.a 𝐴 = (mAxβ€˜π‘‡)
mclsax.l 𝐿 = (mSubstβ€˜π‘‡)
mclsax.v 𝑉 = (mVRβ€˜π‘‡)
mclsax.h 𝐻 = (mVHβ€˜π‘‡)
mclsax.w π‘Š = (mVarsβ€˜π‘‡)
mclsax.4 (πœ‘ β†’ βŸ¨π‘€, 𝑂, π‘ƒβŸ© ∈ 𝐴)
mclsax.5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ran 𝐿)
mclsax.6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑂) β†’ (π‘†β€˜π‘₯) ∈ (𝐾𝐢𝐡))
mclsax.7 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (π‘†β€˜(π»β€˜π‘£)) ∈ (𝐾𝐢𝐡))
mclsax.8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯𝑀𝑦 ∧ π‘Ž ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑏 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘¦))))) β†’ π‘ŽπΎπ‘)
Assertion
Ref Expression
mclsax (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜π‘ƒ) ∈ (𝐾𝐢𝐡))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐸   π‘Ž,𝑏,𝑣,π‘₯,𝐻   𝑦,𝑣,𝐡,π‘₯   𝑣,𝐢,π‘₯   π‘₯,𝐿,𝑦   π‘₯,𝑂,𝑦   𝑦,π‘Ž,𝑆,𝑏,𝑣,π‘₯   𝑀,π‘Ž,𝑏,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝑃,𝑦   π‘₯,𝑇,𝑦   πœ‘,π‘Ž,𝑏,𝑣,π‘₯,𝑦   𝑣,𝑉,π‘₯   π‘Š,π‘Ž,𝑏,π‘₯   𝐾,π‘Ž,𝑏,𝑣,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,𝑦,𝑣,π‘Ž,𝑏)   𝐡(π‘Ž,𝑏)   𝐢(𝑦,π‘Ž,𝑏)   𝐷(π‘₯,𝑦,𝑣,π‘Ž,𝑏)   𝑃(𝑣,π‘Ž,𝑏)   𝑇(𝑣,π‘Ž,𝑏)   𝐸(π‘₯,𝑦,π‘Ž,𝑏)   𝐻(𝑦)   𝐿(𝑣,π‘Ž,𝑏)   𝑀(𝑣)   𝑂(𝑣,π‘Ž,𝑏)   𝑉(𝑦,π‘Ž,𝑏)   π‘Š(𝑦,𝑣)

Proof of Theorem mclsax
Dummy variables 𝑐 π‘š π‘œ 𝑝 𝑠 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abid 2714 . . . . . . . 8 (𝑐 ∈ {𝑐 ∣ ((𝐡 βˆͺ ran 𝐻) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝐿(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐)))} ↔ ((𝐡 βˆͺ ran 𝐻) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝐿(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐))))
2 intss1 4968 . . . . . . . 8 (𝑐 ∈ {𝑐 ∣ ((𝐡 βˆͺ ran 𝐻) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝐿(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐)))} β†’ ∩ {𝑐 ∣ ((𝐡 βˆͺ ran 𝐻) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝐿(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐)))} βŠ† 𝑐)
31, 2sylbir 234 . . . . . . 7 (((𝐡 βˆͺ ran 𝐻) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝐿(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐))) β†’ ∩ {𝑐 ∣ ((𝐡 βˆͺ ran 𝐻) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝐿(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐)))} βŠ† 𝑐)
4 mclsval.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (mDVβ€˜π‘‡)
5 mclsval.e . . . . . . . . 9 𝐸 = (mExβ€˜π‘‡)
6 mclsval.c . . . . . . . . 9 𝐢 = (mClsβ€˜π‘‡)
7 mclsval.1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ mFS)
8 mclsval.2 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐾 βŠ† 𝐷)
9 mclsval.3 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† 𝐸)
10 mclsax.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (mVHβ€˜π‘‡)
11 mclsax.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (mAxβ€˜π‘‡)
12 mclsax.l . . . . . . . . 9 𝐿 = (mSubstβ€˜π‘‡)
13 mclsax.w . . . . . . . . 9 π‘Š = (mVarsβ€˜π‘‡)
144, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13mclsval 34554 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐾𝐢𝐡) = ∩ {𝑐 ∣ ((𝐡 βˆͺ ran 𝐻) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝐿(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐)))})
1514sseq1d 4014 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐾𝐢𝐡) βŠ† 𝑐 ↔ ∩ {𝑐 ∣ ((𝐡 βˆͺ ran 𝐻) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝐿(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐)))} βŠ† 𝑐))
163, 15imbitrrid 245 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((𝐡 βˆͺ ran 𝐻) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝐿(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐))) β†’ (𝐾𝐢𝐡) βŠ† 𝑐))
17 sstr2 3990 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (𝐾𝐢𝐡) β†’ ((𝐾𝐢𝐡) βŠ† 𝑐 β†’ (𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐))
1817com12 32 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾𝐢𝐡) βŠ† 𝑐 β†’ ((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (𝐾𝐢𝐡) β†’ (𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐))
1918anim1d 612 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾𝐢𝐡) βŠ† 𝑐 β†’ (((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (𝐾𝐢𝐡) ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ ((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾))))
2019imim1d 82 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾𝐢𝐡) βŠ† 𝑐 β†’ ((((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐) β†’ (((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (𝐾𝐢𝐡) ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐)))
2120ralimdv 3170 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾𝐢𝐡) βŠ† 𝑐 β†’ (βˆ€π‘  ∈ ran 𝐿(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐) β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝐿(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (𝐾𝐢𝐡) ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐)))
2221imim2d 57 . . . . . . . . . 10 ((𝐾𝐢𝐡) βŠ† 𝑐 β†’ ((βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝐿(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐)) β†’ (βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝐿(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (𝐾𝐢𝐡) ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐))))
2322alimdv 1920 . . . . . . . . 9 ((𝐾𝐢𝐡) βŠ† 𝑐 β†’ (βˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝐿(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐)) β†’ βˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝐿(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (𝐾𝐢𝐡) ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐))))
24232alimdv 1922 . . . . . . . 8 ((𝐾𝐢𝐡) βŠ† 𝑐 β†’ (βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝐿(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐)) β†’ βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝐿(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (𝐾𝐢𝐡) ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐))))
2524com12 32 . . . . . . 7 (βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝐿(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐)) β†’ ((𝐾𝐢𝐡) βŠ† 𝑐 β†’ βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝐿(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (𝐾𝐢𝐡) ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐))))
2625adantl 483 . . . . . 6 (((𝐡 βˆͺ ran 𝐻) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝐿(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐))) β†’ ((𝐾𝐢𝐡) βŠ† 𝑐 β†’ βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝐿(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (𝐾𝐢𝐡) ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐))))
2716, 26sylcom 30 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((𝐡 βˆͺ ran 𝐻) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝐿(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐))) β†’ βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝐿(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (𝐾𝐢𝐡) ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐))))
28 eqid 2733 . . . . . . . 8 (mPreStβ€˜π‘‡) = (mPreStβ€˜π‘‡)
29 eqid 2733 . . . . . . . 8 (mStatβ€˜π‘‡) = (mStatβ€˜π‘‡)
3028, 29mstapst 34538 . . . . . . 7 (mStatβ€˜π‘‡) βŠ† (mPreStβ€˜π‘‡)
3111, 29maxsta 34545 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ mFS β†’ 𝐴 βŠ† (mStatβ€˜π‘‡))
327, 31syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (mStatβ€˜π‘‡))
33 mclsax.4 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βŸ¨π‘€, 𝑂, π‘ƒβŸ© ∈ 𝐴)
3432, 33sseldd 3984 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βŸ¨π‘€, 𝑂, π‘ƒβŸ© ∈ (mStatβ€˜π‘‡))
3530, 34sselid 3981 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βŸ¨π‘€, 𝑂, π‘ƒβŸ© ∈ (mPreStβ€˜π‘‡))
3628mpstrcl 34532 . . . . . 6 (βŸ¨π‘€, 𝑂, π‘ƒβŸ© ∈ (mPreStβ€˜π‘‡) β†’ (𝑀 ∈ V ∧ 𝑂 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
37 simp1 1137 . . . . . . . . . 10 ((π‘š = 𝑀 ∧ π‘œ = 𝑂 ∧ 𝑝 = 𝑃) β†’ π‘š = 𝑀)
38 simp2 1138 . . . . . . . . . 10 ((π‘š = 𝑀 ∧ π‘œ = 𝑂 ∧ 𝑝 = 𝑃) β†’ π‘œ = 𝑂)
39 simp3 1139 . . . . . . . . . 10 ((π‘š = 𝑀 ∧ π‘œ = 𝑂 ∧ 𝑝 = 𝑃) β†’ 𝑝 = 𝑃)
4037, 38, 39oteq123d 4889 . . . . . . . . 9 ((π‘š = 𝑀 ∧ π‘œ = 𝑂 ∧ 𝑝 = 𝑃) β†’ βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© = βŸ¨π‘€, 𝑂, π‘ƒβŸ©)
4140eleq1d 2819 . . . . . . . 8 ((π‘š = 𝑀 ∧ π‘œ = 𝑂 ∧ 𝑝 = 𝑃) β†’ (βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 ↔ βŸ¨π‘€, 𝑂, π‘ƒβŸ© ∈ 𝐴))
4238uneq1d 4163 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘š = 𝑀 ∧ π‘œ = 𝑂 ∧ 𝑝 = 𝑃) β†’ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻) = (𝑂 βˆͺ ran 𝐻))
4342imaeq2d 6060 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘š = 𝑀 ∧ π‘œ = 𝑂 ∧ 𝑝 = 𝑃) β†’ (𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) = (𝑠 β€œ (𝑂 βˆͺ ran 𝐻)))
4443sseq1d 4014 . . . . . . . . . . 11 ((π‘š = 𝑀 ∧ π‘œ = 𝑂 ∧ 𝑝 = 𝑃) β†’ ((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (𝐾𝐢𝐡) ↔ (𝑠 β€œ (𝑂 βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (𝐾𝐢𝐡)))
4537breqd 5160 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘š = 𝑀 ∧ π‘œ = 𝑂 ∧ 𝑝 = 𝑃) β†’ (π‘₯π‘šπ‘¦ ↔ π‘₯𝑀𝑦))
4645imbi1d 342 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘š = 𝑀 ∧ π‘œ = 𝑂 ∧ 𝑝 = 𝑃) β†’ ((π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾) ↔ (π‘₯𝑀𝑦 β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)))
47462albidv 1927 . . . . . . . . . . 11 ((π‘š = 𝑀 ∧ π‘œ = 𝑂 ∧ 𝑝 = 𝑃) β†’ (βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾) ↔ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯𝑀𝑦 β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)))
4844, 47anbi12d 632 . . . . . . . . . 10 ((π‘š = 𝑀 ∧ π‘œ = 𝑂 ∧ 𝑝 = 𝑃) β†’ (((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (𝐾𝐢𝐡) ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) ↔ ((𝑠 β€œ (𝑂 βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (𝐾𝐢𝐡) ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯𝑀𝑦 β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾))))
4939fveq2d 6896 . . . . . . . . . . 11 ((π‘š = 𝑀 ∧ π‘œ = 𝑂 ∧ 𝑝 = 𝑃) β†’ (π‘ β€˜π‘) = (π‘ β€˜π‘ƒ))
5049eleq1d 2819 . . . . . . . . . 10 ((π‘š = 𝑀 ∧ π‘œ = 𝑂 ∧ 𝑝 = 𝑃) β†’ ((π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐 ↔ (π‘ β€˜π‘ƒ) ∈ 𝑐))
5148, 50imbi12d 345 . . . . . . . . 9 ((π‘š = 𝑀 ∧ π‘œ = 𝑂 ∧ 𝑝 = 𝑃) β†’ ((((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (𝐾𝐢𝐡) ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐) ↔ (((𝑠 β€œ (𝑂 βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (𝐾𝐢𝐡) ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯𝑀𝑦 β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘ƒ) ∈ 𝑐)))
5251ralbidv 3178 . . . . . . . 8 ((π‘š = 𝑀 ∧ π‘œ = 𝑂 ∧ 𝑝 = 𝑃) β†’ (βˆ€π‘  ∈ ran 𝐿(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (𝐾𝐢𝐡) ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐) ↔ βˆ€π‘  ∈ ran 𝐿(((𝑠 β€œ (𝑂 βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (𝐾𝐢𝐡) ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯𝑀𝑦 β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘ƒ) ∈ 𝑐)))
5341, 52imbi12d 345 . . . . . . 7 ((π‘š = 𝑀 ∧ π‘œ = 𝑂 ∧ 𝑝 = 𝑃) β†’ ((βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝐿(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (𝐾𝐢𝐡) ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐)) ↔ (βŸ¨π‘€, 𝑂, π‘ƒβŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝐿(((𝑠 β€œ (𝑂 βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (𝐾𝐢𝐡) ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯𝑀𝑦 β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘ƒ) ∈ 𝑐))))
5453spc3gv 3595 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ V ∧ 𝑂 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) β†’ (βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝐿(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (𝐾𝐢𝐡) ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐)) β†’ (βŸ¨π‘€, 𝑂, π‘ƒβŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝐿(((𝑠 β€œ (𝑂 βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (𝐾𝐢𝐡) ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯𝑀𝑦 β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘ƒ) ∈ 𝑐))))
5535, 36, 543syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝐿(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (𝐾𝐢𝐡) ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐)) β†’ (βŸ¨π‘€, 𝑂, π‘ƒβŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝐿(((𝑠 β€œ (𝑂 βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (𝐾𝐢𝐡) ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯𝑀𝑦 β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘ƒ) ∈ 𝑐))))
56 elun 4149 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (𝑂 βˆͺ ran 𝐻) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑂 ∨ π‘₯ ∈ ran 𝐻))
57 mclsax.6 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑂) β†’ (π‘†β€˜π‘₯) ∈ (𝐾𝐢𝐡))
58 mclsax.7 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (π‘†β€˜(π»β€˜π‘£)) ∈ (𝐾𝐢𝐡))
5958ralrimiva 3147 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π‘†β€˜(π»β€˜π‘£)) ∈ (𝐾𝐢𝐡))
60 mclsax.v . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑉 = (mVRβ€˜π‘‡)
6160, 5, 10mvhf 34549 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑇 ∈ mFS β†’ 𝐻:π‘‰βŸΆπΈ)
627, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐻:π‘‰βŸΆπΈ)
63 ffn 6718 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐻:π‘‰βŸΆπΈ β†’ 𝐻 Fn 𝑉)
64 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = (π»β€˜π‘£) β†’ (π‘†β€˜π‘₯) = (π‘†β€˜(π»β€˜π‘£)))
6564eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = (π»β€˜π‘£) β†’ ((π‘†β€˜π‘₯) ∈ (𝐾𝐢𝐡) ↔ (π‘†β€˜(π»β€˜π‘£)) ∈ (𝐾𝐢𝐡)))
6665ralrn 7090 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐻 Fn 𝑉 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ran 𝐻(π‘†β€˜π‘₯) ∈ (𝐾𝐢𝐡) ↔ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π‘†β€˜(π»β€˜π‘£)) ∈ (𝐾𝐢𝐡)))
6762, 63, 663syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ran 𝐻(π‘†β€˜π‘₯) ∈ (𝐾𝐢𝐡) ↔ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π‘†β€˜(π»β€˜π‘£)) ∈ (𝐾𝐢𝐡)))
6859, 67mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ran 𝐻(π‘†β€˜π‘₯) ∈ (𝐾𝐢𝐡))
6968r19.21bi 3249 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran 𝐻) β†’ (π‘†β€˜π‘₯) ∈ (𝐾𝐢𝐡))
7057, 69jaodan 957 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑂 ∨ π‘₯ ∈ ran 𝐻)) β†’ (π‘†β€˜π‘₯) ∈ (𝐾𝐢𝐡))
7156, 70sylan2b 595 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑂 βˆͺ ran 𝐻)) β†’ (π‘†β€˜π‘₯) ∈ (𝐾𝐢𝐡))
7271ralrimiva 3147 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑂 βˆͺ ran 𝐻)(π‘†β€˜π‘₯) ∈ (𝐾𝐢𝐡))
73 mclsax.5 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ran 𝐿)
7412, 5msubf 34523 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ ran 𝐿 β†’ 𝑆:𝐸⟢𝐸)
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑆:𝐸⟢𝐸)
7675ffund 6722 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ Fun 𝑆)
774, 5, 28elmpst 34527 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βŸ¨π‘€, 𝑂, π‘ƒβŸ© ∈ (mPreStβ€˜π‘‡) ↔ ((𝑀 βŠ† 𝐷 ∧ ◑𝑀 = 𝑀) ∧ (𝑂 βŠ† 𝐸 ∧ 𝑂 ∈ Fin) ∧ 𝑃 ∈ 𝐸))
7835, 77sylib 217 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((𝑀 βŠ† 𝐷 ∧ ◑𝑀 = 𝑀) ∧ (𝑂 βŠ† 𝐸 ∧ 𝑂 ∈ Fin) ∧ 𝑃 ∈ 𝐸))
7978simp2d 1144 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝑂 βŠ† 𝐸 ∧ 𝑂 ∈ Fin))
8079simpld 496 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑂 βŠ† 𝐸)
8175fdmd 6729 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ dom 𝑆 = 𝐸)
8280, 81sseqtrrd 4024 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑂 βŠ† dom 𝑆)
8362frnd 6726 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ran 𝐻 βŠ† 𝐸)
8483, 81sseqtrrd 4024 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ran 𝐻 βŠ† dom 𝑆)
8582, 84unssd 4187 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑂 βˆͺ ran 𝐻) βŠ† dom 𝑆)
86 funimass4 6957 . . . . . . . . . 10 ((Fun 𝑆 ∧ (𝑂 βˆͺ ran 𝐻) βŠ† dom 𝑆) β†’ ((𝑆 β€œ (𝑂 βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (𝐾𝐢𝐡) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑂 βˆͺ ran 𝐻)(π‘†β€˜π‘₯) ∈ (𝐾𝐢𝐡)))
8776, 85, 86syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑆 β€œ (𝑂 βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (𝐾𝐢𝐡) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑂 βˆͺ ran 𝐻)(π‘†β€˜π‘₯) ∈ (𝐾𝐢𝐡)))
8872, 87mpbird 257 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑆 β€œ (𝑂 βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (𝐾𝐢𝐡))
89 mclsax.8 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘₯𝑀𝑦 ∧ π‘Ž ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑏 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘¦))))) β†’ π‘ŽπΎπ‘)
90893exp2 1355 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (π‘₯𝑀𝑦 β†’ (π‘Ž ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘₯))) β†’ (𝑏 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘¦))) β†’ π‘ŽπΎπ‘))))
9190imp4b 423 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯𝑀𝑦) β†’ ((π‘Ž ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑏 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘¦)))) β†’ π‘ŽπΎπ‘))
9291ralrimivv 3199 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯𝑀𝑦) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘₯)))βˆ€π‘ ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘¦)))π‘ŽπΎπ‘)
93 dfss3 3971 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾 ↔ βˆ€π‘§ ∈ ((π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘¦))))𝑧 ∈ 𝐾)
94 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© β†’ (𝑧 ∈ 𝐾 ↔ βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∈ 𝐾))
95 df-br 5150 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘ŽπΎπ‘ ↔ βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∈ 𝐾)
9694, 95bitr4di 289 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© β†’ (𝑧 ∈ 𝐾 ↔ π‘ŽπΎπ‘))
9796ralxp 5842 . . . . . . . . . . . 12 (βˆ€π‘§ ∈ ((π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘¦))))𝑧 ∈ 𝐾 ↔ βˆ€π‘Ž ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘₯)))βˆ€π‘ ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘¦)))π‘ŽπΎπ‘)
9893, 97bitri 275 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾 ↔ βˆ€π‘Ž ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘₯)))βˆ€π‘ ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘¦)))π‘ŽπΎπ‘)
9992, 98sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯𝑀𝑦) β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)
10099ex 414 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯𝑀𝑦 β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾))
101100alrimivv 1932 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯𝑀𝑦 β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾))
10288, 101jca 513 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑆 β€œ (𝑂 βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (𝐾𝐢𝐡) ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯𝑀𝑦 β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)))
103 imaeq1 6055 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = 𝑆 β†’ (𝑠 β€œ (𝑂 βˆͺ ran 𝐻)) = (𝑆 β€œ (𝑂 βˆͺ ran 𝐻)))
104103sseq1d 4014 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 𝑆 β†’ ((𝑠 β€œ (𝑂 βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (𝐾𝐢𝐡) ↔ (𝑆 β€œ (𝑂 βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (𝐾𝐢𝐡)))
105 fveq1 6891 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 = 𝑆 β†’ (π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯)) = (π‘†β€˜(π»β€˜π‘₯)))
106105fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 = 𝑆 β†’ (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) = (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘₯))))
107 fveq1 6891 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 = 𝑆 β†’ (π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)) = (π‘†β€˜(π»β€˜π‘¦)))
108107fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 = 𝑆 β†’ (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦))) = (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘¦))))
109106, 108xpeq12d 5708 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = 𝑆 β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) = ((π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘¦)))))
110109sseq1d 4014 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = 𝑆 β†’ (((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾 ↔ ((π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾))
111110imbi2d 341 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = 𝑆 β†’ ((π‘₯𝑀𝑦 β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾) ↔ (π‘₯𝑀𝑦 β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)))
1121112albidv 1927 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 𝑆 β†’ (βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯𝑀𝑦 β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾) ↔ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯𝑀𝑦 β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)))
113104, 112anbi12d 632 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑆 β†’ (((𝑠 β€œ (𝑂 βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (𝐾𝐢𝐡) ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯𝑀𝑦 β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) ↔ ((𝑆 β€œ (𝑂 βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (𝐾𝐢𝐡) ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯𝑀𝑦 β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾))))
114 fveq1 6891 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 𝑆 β†’ (π‘ β€˜π‘ƒ) = (π‘†β€˜π‘ƒ))
115114eleq1d 2819 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑆 β†’ ((π‘ β€˜π‘ƒ) ∈ 𝑐 ↔ (π‘†β€˜π‘ƒ) ∈ 𝑐))
116113, 115imbi12d 345 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑆 β†’ ((((𝑠 β€œ (𝑂 βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (𝐾𝐢𝐡) ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯𝑀𝑦 β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘ƒ) ∈ 𝑐) ↔ (((𝑆 β€œ (𝑂 βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (𝐾𝐢𝐡) ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯𝑀𝑦 β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘†β€˜π‘ƒ) ∈ 𝑐)))
117116rspcv 3609 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ ran 𝐿 β†’ (βˆ€π‘  ∈ ran 𝐿(((𝑠 β€œ (𝑂 βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (𝐾𝐢𝐡) ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯𝑀𝑦 β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘ƒ) ∈ 𝑐) β†’ (((𝑆 β€œ (𝑂 βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (𝐾𝐢𝐡) ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯𝑀𝑦 β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘†β€˜π‘ƒ) ∈ 𝑐)))
11873, 117syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘  ∈ ran 𝐿(((𝑠 β€œ (𝑂 βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (𝐾𝐢𝐡) ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯𝑀𝑦 β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘ƒ) ∈ 𝑐) β†’ (((𝑆 β€œ (𝑂 βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (𝐾𝐢𝐡) ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯𝑀𝑦 β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘†β€˜π‘ƒ) ∈ 𝑐)))
119102, 118mpid 44 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘  ∈ ran 𝐿(((𝑠 β€œ (𝑂 βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (𝐾𝐢𝐡) ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯𝑀𝑦 β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘ƒ) ∈ 𝑐) β†’ (π‘†β€˜π‘ƒ) ∈ 𝑐))
12033, 119embantd 59 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((βŸ¨π‘€, 𝑂, π‘ƒβŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝐿(((𝑠 β€œ (𝑂 βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (𝐾𝐢𝐡) ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯𝑀𝑦 β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘ƒ) ∈ 𝑐)) β†’ (π‘†β€˜π‘ƒ) ∈ 𝑐))
12127, 55, 1203syld 60 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝐡 βˆͺ ran 𝐻) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝐿(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐))) β†’ (π‘†β€˜π‘ƒ) ∈ 𝑐))
122121alrimiv 1931 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘(((𝐡 βˆͺ ran 𝐻) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝐿(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐))) β†’ (π‘†β€˜π‘ƒ) ∈ 𝑐))
123 fvex 6905 . . . 4 (π‘†β€˜π‘ƒ) ∈ V
124123elintab 4963 . . 3 ((π‘†β€˜π‘ƒ) ∈ ∩ {𝑐 ∣ ((𝐡 βˆͺ ran 𝐻) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝐿(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐)))} ↔ βˆ€π‘(((𝐡 βˆͺ ran 𝐻) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝐿(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐))) β†’ (π‘†β€˜π‘ƒ) ∈ 𝑐))
125122, 124sylibr 233 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜π‘ƒ) ∈ ∩ {𝑐 ∣ ((𝐡 βˆͺ ran 𝐻) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝐿(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐)))})
126125, 14eleqtrrd 2837 1 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜π‘ƒ) ∈ (𝐾𝐢𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088  βˆ€wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cab 2710  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475   βˆͺ cun 3947   βŠ† wss 3949  βŸ¨cop 4635  βŸ¨cotp 4637  βˆ© cint 4951   class class class wbr 5149   Γ— cxp 5675  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677  ran crn 5678   β€œ cima 5680  Fun wfun 6538   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  mVRcmvar 34452  mAxcmax 34456  mExcmex 34458  mDVcmdv 34459  mVarscmvrs 34460  mSubstcmsub 34462  mVHcmvh 34463  mPreStcmpst 34464  mStatcmsta 34466  mFScmfs 34467  mClscmcls 34468
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-ot 4638  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-hash 14291  df-word 14465  df-concat 14521  df-s1 14546  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-frmd 18730  df-mrex 34477  df-mex 34478  df-mrsub 34481  df-msub 34482  df-mvh 34483  df-mpst 34484  df-msr 34485  df-msta 34486  df-mfs 34487  df-mcls 34488
This theorem is referenced by:  mclsppslem  34574
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