Theorem mriss 17748

Description: An independent set of a Moore system is a subset of the base set. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
mriss.1	⊢ 𝐼 = (mrInd‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
mriss	⊢ ((𝐴 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑆 ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem mriss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (mrCls‘𝐴) = (mrCls‘𝐴)
2		mriss.1	. . 3 ⊢ 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
3	1, 2	ismri 17744	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (Moore‘𝑋) → (𝑆 ∈ 𝐼 ↔ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 ∈ ((mrCls‘𝐴)‘(𝑆 ∖ {𝑥})))))
4	3	simprbda 504	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑆 ⊆ 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  {csn 4584  ‘cfv 6535  Moorecmre 17691  mrClscmrc 17692  mrIndcmri 17693

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fv 6543  df-mre 17695  df-mri 17697

This theorem is used by:  mrissd  17749