Theorem mriss 17585

Description: An independent set of a Moore system is a subset of the base set. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
mriss.1	⊢ 𝐼 = (mrInd‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
mriss	⊢ ((𝐴 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑆 ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem mriss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . 3 ⊢ (mrCls‘𝐴) = (mrCls‘𝐴)
2		mriss.1	. . 3 ⊢ 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
3	1, 2	ismri 17581	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (Moore‘𝑋) → (𝑆 ∈ 𝐼 ↔ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 ∈ ((mrCls‘𝐴)‘(𝑆 ∖ {𝑥})))))
4	3	simprbda 497	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑆 ⊆ 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ∀wral 3059   ∖ cdif 3946   ⊆ wss 3949  {csn 4629  ‘cfv 6544  Moorecmre 17532  mrClscmrc 17533  mrIndcmri 17534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-mre 17536  df-mri 17538

This theorem is referenced by:  mrissd  17586