Theorem mrissd 17594

Description: An independent set of a Moore system is a subset of the base set. Deduction form. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
mriss.1	⊢ 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
mrissd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
mrissd.3	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
mrissd	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem mrissd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mrissd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
2		mrissd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐼)
3		mriss.1	. . 3 ⊢ 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
4	3	mriss 17593	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
5	1, 2, 4	syl2anc 590	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ⊆ wss 3883  ‘cfv 6486  Moorecmre 17536  mrIndcmri 17538

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fv 6494  df-mre 17540  df-mri 17542

This theorem is referenced by:  ismri2dad  17595  mrieqv2d  17597  mrissmrcd  17598  mrissmrid  17599  mreexmrid  17601  mreexexlem2d  17603  mreexexlem3d  17604  mreexdomd  17607  mreexfidimd  17608  acsmap2d  18513  acsinfdimd  18516