MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mrissd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mrissd 16886
Description: An independent set of a Moore system is a subset of the base set. Deduction form. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mriss.1 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
mrissd.2 (𝜑𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
mrissd.3 (𝜑𝑆𝐼)
Assertion
Ref Expression
mrissd (𝜑𝑆𝑋)

Proof of Theorem mrissd
StepHypRef Expression
1 mrissd.2 . 2 (𝜑𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
2 mrissd.3 . 2 (𝜑𝑆𝐼)
3 mriss.1 . . 3 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
43mriss 16885 . 2 ((𝐴 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑆𝐼) → 𝑆𝑋)
51, 2, 4syl2anc 587 1 (𝜑𝑆𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2115  wss 3910  cfv 6328  Moorecmre 16832  mrIndcmri 16834
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-ral 3131  df-rex 3132  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-op 4547  df-uni 4812  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-id 5433  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fv 6336  df-mre 16836  df-mri 16838
This theorem is referenced by:  ismri2dad  16887  mrieqv2d  16889  mrissmrcd  16890  mrissmrid  16891  mreexmrid  16893  mreexexlem2d  16895  mreexexlem3d  16896  mreexdomd  16899  mreexfidimd  16900  acsmap2d  17768  acsinfdimd  17771
  Copyright terms: Public domain W3C validator