MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mrissd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mrissd 16611
Description: An independent set of a Moore system is a subset of the base set. Deduction form. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mriss.1 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
mrissd.2 (𝜑𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
mrissd.3 (𝜑𝑆𝐼)
Assertion
Ref Expression
mrissd (𝜑𝑆𝑋)

Proof of Theorem mrissd
StepHypRef Expression
1 mrissd.2 . 2 (𝜑𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
2 mrissd.3 . 2 (𝜑𝑆𝐼)
3 mriss.1 . . 3 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
43mriss 16610 . 2 ((𝐴 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑆𝐼) → 𝑆𝑋)
51, 2, 4syl2anc 580 1 (𝜑𝑆𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1653  wcel 2157  wss 3769  cfv 6101  Moorecmre 16557  mrIndcmri 16559
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fv 6109  df-mre 16561  df-mri 16563
This theorem is referenced by:  ismri2dad  16612  mrieqv2d  16614  mrissmrcd  16615  mrissmrid  16616  mreexmrid  16618  mreexexlem2d  16620  mreexexlem3d  16621  mreexdomd  16624  mreexfidimd  16625  acsmap2d  17494  acsinfdimd  17497
  Copyright terms: Public domain W3C validator