Theorem mrissd 17649

Description: An independent set of a Moore system is a subset of the base set. Deduction form. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
mriss.1	⊢ 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
mrissd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
mrissd.3	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
mrissd	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem mrissd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mrissd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
2		mrissd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐼)
3		mriss.1	. . 3 ⊢ 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
4	3	mriss 17648	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
5	1, 2, 4	syl2anc 582	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ⊆ wss 3947  ‘cfv 6554  Moorecmre 17595  mrIndcmri 17597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3464  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fv 6562  df-mre 17599  df-mri 17601

This theorem is referenced by:  ismri2dad  17650  mrieqv2d  17652  mrissmrcd  17653  mrissmrid  17654  mreexmrid  17656  mreexexlem2d  17658  mreexexlem3d  17659  mreexdomd  17662  mreexfidimd  17663  acsmap2d  18580  acsinfdimd  18583