Theorem mrissd 17718

Description: An independent set of a Moore system is a subset of the base set. Deduction form. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
mriss.1	⊢ 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
mrissd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
mrissd.3	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
mrissd	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem mrissd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mrissd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
2		mrissd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐼)
3		mriss.1	. . 3 ⊢ 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
4	3	mriss 17717	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
5	1, 2, 4	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3906  ‘cfv 6540  Moorecmre 17660  mrIndcmri 17662

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fv 6548  df-mre 17664  df-mri 17666

This theorem is used by:  ismri2dad  17719  mrieqv2d  17721  mrissmrcd  17722  mrissmrid  17723  mreexmrid  17725  mreexexlem2d  17727  mreexexlem3d  17728  mreexdomd  17731  mreexfidimd  17732  acsmap2d  18637  acsinfdimd  18640