Theorem mrissd 17571

Description: An independent set of a Moore system is a subset of the base set. Deduction form. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
mriss.1	⊢ 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
mrissd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
mrissd.3	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
mrissd	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem mrissd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mrissd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
2		mrissd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐼)
3		mriss.1	. . 3 ⊢ 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
4	3	mriss 17570	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
5	1, 2, 4	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3903  ‘cfv 6500  Moorecmre 17513  mrIndcmri 17515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fv 6508  df-mre 17517  df-mri 17519

This theorem is referenced by:  ismri2dad  17572  mrieqv2d  17574  mrissmrcd  17575  mrissmrid  17576  mreexmrid  17578  mreexexlem2d  17580  mreexexlem3d  17581  mreexdomd  17584  mreexfidimd  17585  acsmap2d  18490  acsinfdimd  18493