Theorem dedekindle 11309

Description: The Dedekind cut theorem, with the hypothesis weakened to only require non-strict less than. (Contributed by Scott Fenton, 2-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
dedekindle	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧

Proof of Theorem dedekindle

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr1 1196	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
2		simpr2 1197	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦)) → 𝐵 ⊆ ℝ)
3		simp1 1137	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
4		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐴)
5		disjel 4411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐵)
6	3, 4, 5	syl2an 597	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐵)
7		eleq1w 2820	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
8	7	biimpcd 249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑦 = 𝑥 → 𝑥 ∈ 𝐵))
9	8	necon3bd 2947	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → (¬ 𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑦 ≠ 𝑥))
10	9	ad2antll 730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑦 ≠ 𝑥))
11	6, 10	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ≠ 𝑥)
12		simp2 1138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
13		ssel2 3930	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
14	12, 4, 13	syl2an 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
15		simp3 1139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → 𝐵 ⊆ ℝ)
16		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
17		ssel2 3930	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ)
18	15, 16, 17	syl2an 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
19	14, 18	ltlend 11290	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥)))
20	19	biimprd 248	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) → 𝑥 < 𝑦))
21	11, 20	mpan2d 695	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ≤ 𝑦 → 𝑥 < 𝑦))
22	21	ralimdvva 3185	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦))
23	22	3exp 1120	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ → (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐵 ⊆ ℝ → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦))))
24	23	3imp2 1351	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦)
25		dedekind 11308	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦))
26	1, 2, 24, 25	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦))
27	26	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ → ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)))
28		n0 4307	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
29		simp1 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝐴 ⊆ ℝ)
30		elinel1 4155	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) → 𝑤 ∈ 𝐴)
31		ssel2 3930	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ ℝ)
32	29, 30, 31	syl2an 597	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝑤 ∈ ℝ)
33		nfv 1916	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐴 ⊆ ℝ
34		nfv 1916	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐵 ⊆ ℝ
35		nfra1 3262	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦
36	33, 34, 35	nf3an 1903	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦)
37		nfv 1916	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)
38	36, 37	nfan 1901	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
39		nfv 1916	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦 𝐴 ⊆ ℝ
40		nfv 1916	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦 𝐵 ⊆ ℝ
41		nfra2w 3274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦
42	39, 40, 41	nf3an 1903	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦)
43		nfv 1916	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑤 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)
44	42, 43	nfan 1901	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
45		rsp 3226	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐴 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦))
46		elinel2 4156	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) → 𝑤 ∈ 𝐵)
47		breq2 5104	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 𝑥 ≤ 𝑤))
48	47	rspccv 3575	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦 → (𝑤 ∈ 𝐵 → 𝑥 ≤ 𝑤))
49	46, 48	syl5 34	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦 → (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) → 𝑥 ≤ 𝑤))
50	45, 49	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) → 𝑥 ≤ 𝑤)))
51	50	com23 86	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦 → (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ≤ 𝑤)))
52	51	imp32 418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → 𝑥 ≤ 𝑤)
53	52	3ad2antl3 1189	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → 𝑥 ≤ 𝑤)
54	53	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ≤ 𝑤)
55		simp3 1139	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦)
56	30	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑤 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ 𝐴)
57		breq1 5103	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 𝑤 ≤ 𝑦))
58	57	ralbidv 3161	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑤 ≤ 𝑦))
59	58	rspccva 3577	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑤 ≤ 𝑦)
60	55, 56, 59	syl2an 597	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑤 ≤ 𝑦)
61	60	r19.21bi 3230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑤 ≤ 𝑦)
62	54, 61	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 ≤ 𝑤 ∧ 𝑤 ≤ 𝑦))
63	62	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑥 ≤ 𝑤 ∧ 𝑤 ≤ 𝑦)))
64	44, 63	ralrimi 3236	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 𝑤 ∧ 𝑤 ≤ 𝑦))
65	64	expr 456	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → (𝑥 ∈ 𝐴 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 𝑤 ∧ 𝑤 ≤ 𝑦)))
66	38, 65	ralrimi 3236	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 𝑤 ∧ 𝑤 ≤ 𝑦))
67		breq2 5104	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑥 ≤ 𝑧 ↔ 𝑥 ≤ 𝑤))
68		breq1 5103	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ≤ 𝑦 ↔ 𝑤 ≤ 𝑦))
69	67, 68	anbi12d 633	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦) ↔ (𝑥 ≤ 𝑤 ∧ 𝑤 ≤ 𝑦)))
70	69	2ralbidv 3202	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 𝑤 ∧ 𝑤 ≤ 𝑦)))
71	70	rspcev 3578	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 𝑤 ∧ 𝑤 ≤ 𝑦)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦))
72	32, 66, 71	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦))
73	72	expcom 413	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) → ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)))
74	73	exlimiv 1932	. . 3 ⊢ (∃𝑤 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) → ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)))
75	28, 74	sylbi 217	. 2 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅ → ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)))
76	27, 75	pm2.61ine 3016	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287   class class class wbr 5100  ℝcr 11037   < clt 11178   ≤ cle 11179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184

This theorem is referenced by:  axcontlem10  29058