MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dedekindle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dedekindle 11319
Description: The Dedekind cut theorem, with the hypothesis weakened to only require non-strict less than. (Contributed by Scott Fenton, 2-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
dedekindle ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑧𝑧𝑦))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧

Proof of Theorem dedekindle
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr1 1194 . . . 4 (((𝐴𝐵) = ∅ ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
2 simpr2 1195 . . . 4 (((𝐴𝐵) = ∅ ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦)) → 𝐵 ⊆ ℝ)
3 simp1 1136 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝐵) = ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → (𝐴𝐵) = ∅)
4 simpl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐴𝑦𝐵) → 𝑥𝐴)
5 disjel 4416 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝐵) = ∅ ∧ 𝑥𝐴) → ¬ 𝑥𝐵)
63, 4, 5syl2an 596 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝐵) = ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵)) → ¬ 𝑥𝐵)
7 eleq1w 2820 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝐵𝑥𝐵))
87biimpcd 248 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝐵 → (𝑦 = 𝑥𝑥𝐵))
98necon3bd 2957 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝐵 → (¬ 𝑥𝐵𝑦𝑥))
109ad2antll 727 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝐵) = ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵)) → (¬ 𝑥𝐵𝑦𝑥))
116, 10mpd 15 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝐵) = ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵)) → 𝑦𝑥)
12 simp2 1137 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐵) = ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
13 ssel2 3939 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
1412, 4, 13syl2an 596 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝐵) = ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
15 simp3 1138 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐵) = ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → 𝐵 ⊆ ℝ)
16 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝐴𝑦𝐵) → 𝑦𝐵)
17 ssel2 3939 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ)
1815, 16, 17syl2an 596 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝐵) = ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
1914, 18ltlend 11300 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝐵) = ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵)) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥𝑦𝑦𝑥)))
2019biimprd 247 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝐵) = ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵)) → ((𝑥𝑦𝑦𝑥) → 𝑥 < 𝑦))
2111, 20mpan2d 692 . . . . . . 7 ((((𝐴𝐵) = ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵)) → (𝑥𝑦𝑥 < 𝑦))
2221ralimdvva 3201 . . . . . 6 (((𝐴𝐵) = ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 < 𝑦))
23223exp 1119 . . . . 5 ((𝐴𝐵) = ∅ → (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐵 ⊆ ℝ → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 < 𝑦))))
24233imp2 1349 . . . 4 (((𝐴𝐵) = ∅ ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦)) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 < 𝑦)
25 dedekind 11318 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑧𝑧𝑦))
261, 2, 24, 25syl3anc 1371 . . 3 (((𝐴𝐵) = ∅ ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑧𝑧𝑦))
2726ex 413 . 2 ((𝐴𝐵) = ∅ → ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑧𝑧𝑦)))
28 n0 4306 . . 3 ((𝐴𝐵) ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ (𝐴𝐵))
29 simp1 1136 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦) → 𝐴 ⊆ ℝ)
30 elinel1 4155 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ (𝐴𝐵) → 𝑤𝐴)
31 ssel2 3939 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑤𝐴) → 𝑤 ∈ ℝ)
3229, 30, 31syl2an 596 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝑤 ∈ ℝ)
33 nfv 1917 . . . . . . . . 9 𝑥 𝐴 ⊆ ℝ
34 nfv 1917 . . . . . . . . 9 𝑥 𝐵 ⊆ ℝ
35 nfra1 3267 . . . . . . . . 9 𝑥𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦
3633, 34, 35nf3an 1904 . . . . . . . 8 𝑥(𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦)
37 nfv 1917 . . . . . . . 8 𝑥 𝑤 ∈ (𝐴𝐵)
3836, 37nfan 1902 . . . . . . 7 𝑥((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝐵))
39 nfv 1917 . . . . . . . . . . 11 𝑦 𝐴 ⊆ ℝ
40 nfv 1917 . . . . . . . . . . 11 𝑦 𝐵 ⊆ ℝ
41 nfra2w 3282 . . . . . . . . . . 11 𝑦𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦
4239, 40, 41nf3an 1904 . . . . . . . . . 10 𝑦(𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦)
43 nfv 1917 . . . . . . . . . 10 𝑦(𝑤 ∈ (𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴)
4442, 43nfan 1902 . . . . . . . . 9 𝑦((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦) ∧ (𝑤 ∈ (𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴))
45 rsp 3230 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦 → (𝑥𝐴 → ∀𝑦𝐵 𝑥𝑦))
46 elinel2 4156 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 ∈ (𝐴𝐵) → 𝑤𝐵)
47 breq2 5109 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = 𝑤 → (𝑥𝑦𝑥𝑤))
4847rspccv 3578 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑦𝐵 𝑥𝑦 → (𝑤𝐵𝑥𝑤))
4946, 48syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑦𝐵 𝑥𝑦 → (𝑤 ∈ (𝐴𝐵) → 𝑥𝑤))
5045, 49syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦 → (𝑥𝐴 → (𝑤 ∈ (𝐴𝐵) → 𝑥𝑤)))
5150com23 86 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦 → (𝑤 ∈ (𝐴𝐵) → (𝑥𝐴𝑥𝑤)))
5251imp32 419 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦 ∧ (𝑤 ∈ (𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴)) → 𝑥𝑤)
53523ad2antl3 1187 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦) ∧ (𝑤 ∈ (𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴)) → 𝑥𝑤)
5453adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦) ∧ (𝑤 ∈ (𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴)) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑥𝑤)
55 simp3 1138 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦)
5630adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑤 ∈ (𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑤𝐴)
57 breq1 5108 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑤 → (𝑥𝑦𝑤𝑦))
5857ralbidv 3174 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑦𝐵 𝑥𝑦 ↔ ∀𝑦𝐵 𝑤𝑦))
5958rspccva 3580 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦𝑤𝐴) → ∀𝑦𝐵 𝑤𝑦)
6055, 56, 59syl2an 596 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦) ∧ (𝑤 ∈ (𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴)) → ∀𝑦𝐵 𝑤𝑦)
6160r19.21bi 3234 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦) ∧ (𝑤 ∈ (𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴)) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑤𝑦)
6254, 61jca 512 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦) ∧ (𝑤 ∈ (𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴)) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑥𝑤𝑤𝑦))
6362ex 413 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦) ∧ (𝑤 ∈ (𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴)) → (𝑦𝐵 → (𝑥𝑤𝑤𝑦)))
6444, 63ralrimi 3240 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦) ∧ (𝑤 ∈ (𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴)) → ∀𝑦𝐵 (𝑥𝑤𝑤𝑦))
6564expr 457 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝐵)) → (𝑥𝐴 → ∀𝑦𝐵 (𝑥𝑤𝑤𝑦)))
6638, 65ralrimi 3240 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝐵)) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑤𝑤𝑦))
67 breq2 5109 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑤 → (𝑥𝑧𝑥𝑤))
68 breq1 5108 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧𝑦𝑤𝑦))
6967, 68anbi12d 631 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑤 → ((𝑥𝑧𝑧𝑦) ↔ (𝑥𝑤𝑤𝑦)))
70692ralbidv 3212 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑤 → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑧𝑧𝑦) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑤𝑤𝑦)))
7170rspcev 3581 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑤𝑤𝑦)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑧𝑧𝑦))
7232, 66, 71syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝐵)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑧𝑧𝑦))
7372expcom 414 . . . 4 (𝑤 ∈ (𝐴𝐵) → ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑧𝑧𝑦)))
7473exlimiv 1933 . . 3 (∃𝑤 𝑤 ∈ (𝐴𝐵) → ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑧𝑧𝑦)))
7528, 74sylbi 216 . 2 ((𝐴𝐵) ≠ ∅ → ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑧𝑧𝑦)))
7627, 75pm2.61ine 3028 1 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑧𝑧𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  cin 3909  wss 3910  c0 4282   class class class wbr 5105  cr 11050   < clt 11189  cle 11190
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7360  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195
This theorem is referenced by:  axcontlem10  27922
  Copyright terms: Public domain W3C validator