Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  expgrowthi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expgrowthi 43180
Description: Exponential growth and decay model. See expgrowth 43182 for more information. (Contributed by Steve Rodriguez, 4-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
expgrowthi.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
expgrowthi.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
expgrowthi.y0 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
expgrowthi.yt π‘Œ = (𝑑 ∈ 𝑆 ↦ (𝐢 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑑))))
Assertion
Ref Expression
expgrowthi (πœ‘ β†’ (𝑆 D π‘Œ) = ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ))
Distinct variable groups:   𝑑,𝐢   𝑑,𝐾   𝑑,𝑆
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑑)   π‘Œ(𝑑)

Proof of Theorem expgrowthi
Dummy variables 𝑦 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 expgrowthi.yt . . . . 5 π‘Œ = (𝑑 ∈ 𝑆 ↦ (𝐢 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑑))))
2 oveq2 7419 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝑦 β†’ (𝐾 Β· 𝑑) = (𝐾 Β· 𝑦))
32fveq2d 6895 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝑦 β†’ (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑑)) = (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦)))
43oveq2d 7427 . . . . . 6 (𝑑 = 𝑦 β†’ (𝐢 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑑))) = (𝐢 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦))))
54cbvmptv 5261 . . . . 5 (𝑑 ∈ 𝑆 ↦ (𝐢 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑑)))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐢 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦))))
61, 5eqtri 2760 . . . 4 π‘Œ = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐢 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦))))
76oveq2i 7422 . . 3 (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐢 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦)))))
8 expgrowthi.s . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
9 elpri 4650 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = β„‚))
10 eleq2 2822 . . . . . . . . . 10 (𝑆 = ℝ β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 ↔ 𝑦 ∈ ℝ))
11 recn 11202 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
1210, 11syl6bi 252 . . . . . . . . 9 (𝑆 = ℝ β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 β†’ 𝑦 ∈ β„‚))
13 eleq2 2822 . . . . . . . . . 10 (𝑆 = β„‚ β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 ↔ 𝑦 ∈ β„‚))
1413biimpd 228 . . . . . . . . 9 (𝑆 = β„‚ β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 β†’ 𝑦 ∈ β„‚))
1512, 14jaoi 855 . . . . . . . 8 ((𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = β„‚) β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 β†’ 𝑦 ∈ β„‚))
168, 9, 153syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 β†’ 𝑦 ∈ β„‚))
1716imp 407 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
18 expgrowthi.k . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
19 mulcl 11196 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (𝐾 Β· 𝑦) ∈ β„‚)
2018, 19sylan 580 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (𝐾 Β· 𝑦) ∈ β„‚)
21 efcl 16028 . . . . . . 7 ((𝐾 Β· 𝑦) ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦)) ∈ β„‚)
2220, 21syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦)) ∈ β„‚)
2317, 22syldan 591 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦)) ∈ β„‚)
24 ovexd 7446 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (𝐾 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦))) ∈ V)
25 cnelprrecn 11205 . . . . . . . 8 β„‚ ∈ {ℝ, β„‚}
2625a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ β„‚ ∈ {ℝ, β„‚})
2717, 20syldan 591 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (𝐾 Β· 𝑦) ∈ β„‚)
2818adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
29 efcl 16028 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
3029adantl 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
31 1cnd 11211 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 1 ∈ β„‚)
328dvmptid 25481 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ 1))
338, 17, 31, 32, 18dvmptcmul 25488 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 Β· 𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 Β· 1)))
3418mulridd 11233 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐾 Β· 1) = 𝐾)
3534mpteq2dv 5250 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 Β· 1)) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ 𝐾))
3633, 35eqtrd 2772 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 Β· 𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ 𝐾))
37 dvef 25504 . . . . . . . . 9 (β„‚ D exp) = exp
38 eff 16027 . . . . . . . . . . . 12 exp:β„‚βŸΆβ„‚
39 ffn 6717 . . . . . . . . . . . 12 (exp:β„‚βŸΆβ„‚ β†’ exp Fn β„‚)
4038, 39ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 exp Fn β„‚
41 dffn5 6950 . . . . . . . . . . 11 (exp Fn β„‚ ↔ exp = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘₯)))
4240, 41mpbi 229 . . . . . . . . . 10 exp = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘₯))
4342oveq2i 7422 . . . . . . . . 9 (β„‚ D exp) = (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘₯)))
4437, 43, 423eqtr3i 2768 . . . . . . . 8 (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘₯))
4544a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘₯)))
46 fveq2 6891 . . . . . . 7 (π‘₯ = (𝐾 Β· 𝑦) β†’ (expβ€˜π‘₯) = (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦)))
478, 26, 27, 28, 30, 30, 36, 45, 46, 46dvmptco 25496 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦)))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ((expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦)) Β· 𝐾)))
48 mulcom 11198 . . . . . . . . 9 (((expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦)) ∈ β„‚ ∧ 𝐾 ∈ β„‚) β†’ ((expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦)) Β· 𝐾) = (𝐾 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦))))
4923, 18, 48syl2anr 597 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ ((expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦)) Β· 𝐾) = (𝐾 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦))))
5049anabss5 666 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦)) Β· 𝐾) = (𝐾 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦))))
5150mpteq2dva 5248 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ((expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦)) Β· 𝐾)) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦)))))
5247, 51eqtrd 2772 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦)))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦)))))
53 expgrowthi.y0 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
548, 23, 24, 52, 53dvmptcmul 25488 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐢 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦))))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐢 Β· (𝐾 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦))))))
5553, 18, 233anim123i 1151 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ πœ‘ ∧ (πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐾 ∈ β„‚ ∧ (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦)) ∈ β„‚))
56553anidm12 1419 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐾 ∈ β„‚ ∧ (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦)) ∈ β„‚))
5756anabss5 666 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐾 ∈ β„‚ ∧ (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦)) ∈ β„‚))
58 mul12 11381 . . . . . 6 ((𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐾 ∈ β„‚ ∧ (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦)) ∈ β„‚) β†’ (𝐢 Β· (𝐾 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦)))) = (𝐾 Β· (𝐢 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦)))))
5957, 58syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (𝐢 Β· (𝐾 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦)))) = (𝐾 Β· (𝐢 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦)))))
6059mpteq2dva 5248 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐢 Β· (𝐾 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦))))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 Β· (𝐢 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦))))))
6154, 60eqtrd 2772 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐢 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦))))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 Β· (𝐢 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦))))))
627, 61eqtrid 2784 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 Β· (𝐢 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦))))))
63 ovexd 7446 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (𝐢 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦))) ∈ V)
64 fconstmpt 5738 . . . 4 (𝑆 Γ— {𝐾}) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ 𝐾)
6564a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑆 Γ— {𝐾}) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ 𝐾))
666a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐢 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦)))))
678, 28, 63, 65, 66offval2 7692 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 Β· (𝐢 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦))))))
6862, 67eqtr4d 2775 1 (πœ‘ β†’ (𝑆 D π‘Œ) = ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474  {csn 4628  {cpr 4630   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ∘f cof 7670  β„‚cc 11110  β„cr 11111  1c1 11113   Β· cmul 11117  expce 16007   D cdv 25387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-seq 13969  df-exp 14030  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15016  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-limsup 15417  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-ef 16013  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-prds 17395  df-xrs 17450  df-qtop 17455  df-imas 17456  df-xps 17458  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-mulg 18953  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-fbas 20947  df-fg 20948  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-nei 22609  df-lp 22647  df-perf 22648  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-haus 22826  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-fil 23357  df-fm 23449  df-flim 23450  df-flf 23451  df-xms 23833  df-ms 23834  df-tms 23835  df-cncf 24401  df-limc 25390  df-dv 25391
This theorem is referenced by:  expgrowth  43182
  Copyright terms: Public domain W3C validator