Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  expgrowthi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expgrowthi 44329
Description: Exponential growth and decay model. See expgrowth 44331 for more information. (Contributed by Steve Rodriguez, 4-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
expgrowthi.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
expgrowthi.k (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
expgrowthi.y0 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
expgrowthi.yt 𝑌 = (𝑡𝑆 ↦ (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))))
Assertion
Ref Expression
expgrowthi (𝜑 → (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌))
Distinct variable groups:   𝑡,𝐶   𝑡,𝐾   𝑡,𝑆
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝑌(𝑡)

Proof of Theorem expgrowthi
Dummy variables 𝑦 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 expgrowthi.yt . . . . 5 𝑌 = (𝑡𝑆 ↦ (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))))
2 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝑡 = 𝑦 → (𝐾 · 𝑡) = (𝐾 · 𝑦))
32fveq2d 6911 . . . . . . 7 (𝑡 = 𝑦 → (exp‘(𝐾 · 𝑡)) = (exp‘(𝐾 · 𝑦)))
43oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝑡 = 𝑦 → (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))) = (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))
54cbvmptv 5261 . . . . 5 (𝑡𝑆 ↦ (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑡)))) = (𝑦𝑆 ↦ (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))
61, 5eqtri 2763 . . . 4 𝑌 = (𝑦𝑆 ↦ (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))
76oveq2i 7442 . . 3 (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 D (𝑦𝑆 ↦ (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦)))))
8 expgrowthi.s . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
9 elpri 4654 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
10 eleq2 2828 . . . . . . . . . 10 (𝑆 = ℝ → (𝑦𝑆𝑦 ∈ ℝ))
11 recn 11243 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
1210, 11biimtrdi 253 . . . . . . . . 9 (𝑆 = ℝ → (𝑦𝑆𝑦 ∈ ℂ))
13 eleq2 2828 . . . . . . . . . 10 (𝑆 = ℂ → (𝑦𝑆𝑦 ∈ ℂ))
1413biimpd 229 . . . . . . . . 9 (𝑆 = ℂ → (𝑦𝑆𝑦 ∈ ℂ))
1512, 14jaoi 857 . . . . . . . 8 ((𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ) → (𝑦𝑆𝑦 ∈ ℂ))
168, 9, 153syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦𝑆𝑦 ∈ ℂ))
1716imp 406 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝑦 ∈ ℂ)
18 expgrowthi.k . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
19 mulcl 11237 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐾 · 𝑦) ∈ ℂ)
2018, 19sylan 580 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝐾 · 𝑦) ∈ ℂ)
21 efcl 16115 . . . . . . 7 ((𝐾 · 𝑦) ∈ ℂ → (exp‘(𝐾 · 𝑦)) ∈ ℂ)
2220, 21syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (exp‘(𝐾 · 𝑦)) ∈ ℂ)
2317, 22syldan 591 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑆) → (exp‘(𝐾 · 𝑦)) ∈ ℂ)
24 ovexd 7466 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑆) → (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))) ∈ V)
25 cnelprrecn 11246 . . . . . . . 8 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
2625a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
2717, 20syldan 591 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑆) → (𝐾 · 𝑦) ∈ ℂ)
2818adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝐾 ∈ ℂ)
29 efcl 16115 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℂ → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
3029adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
31 1cnd 11254 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝑆) → 1 ∈ ℂ)
328dvmptid 26010 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆 D (𝑦𝑆𝑦)) = (𝑦𝑆 ↦ 1))
338, 17, 31, 32, 18dvmptcmul 26017 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆 D (𝑦𝑆 ↦ (𝐾 · 𝑦))) = (𝑦𝑆 ↦ (𝐾 · 1)))
3418mulridd 11276 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾 · 1) = 𝐾)
3534mpteq2dv 5250 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦𝑆 ↦ (𝐾 · 1)) = (𝑦𝑆𝐾))
3633, 35eqtrd 2775 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 D (𝑦𝑆 ↦ (𝐾 · 𝑦))) = (𝑦𝑆𝐾))
37 dvef 26033 . . . . . . . . 9 (ℂ D exp) = exp
38 eff 16114 . . . . . . . . . . . 12 exp:ℂ⟶ℂ
39 ffn 6737 . . . . . . . . . . . 12 (exp:ℂ⟶ℂ → exp Fn ℂ)
4038, 39ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 exp Fn ℂ
41 dffn5 6967 . . . . . . . . . . 11 (exp Fn ℂ ↔ exp = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥)))
4240, 41mpbi 230 . . . . . . . . . 10 exp = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥))
4342oveq2i 7442 . . . . . . . . 9 (ℂ D exp) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥)))
4437, 43, 423eqtr3i 2771 . . . . . . . 8 (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥))
4544a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥)))
46 fveq2 6907 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐾 · 𝑦) → (exp‘𝑥) = (exp‘(𝐾 · 𝑦)))
478, 26, 27, 28, 30, 30, 36, 45, 46, 46dvmptco 26025 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆 D (𝑦𝑆 ↦ (exp‘(𝐾 · 𝑦)))) = (𝑦𝑆 ↦ ((exp‘(𝐾 · 𝑦)) · 𝐾)))
48 mulcom 11239 . . . . . . . . 9 (((exp‘(𝐾 · 𝑦)) ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((exp‘(𝐾 · 𝑦)) · 𝐾) = (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))
4923, 18, 48syl2anr 597 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝜑𝑦𝑆)) → ((exp‘(𝐾 · 𝑦)) · 𝐾) = (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))
5049anabss5 668 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑆) → ((exp‘(𝐾 · 𝑦)) · 𝐾) = (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))
5150mpteq2dva 5248 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦𝑆 ↦ ((exp‘(𝐾 · 𝑦)) · 𝐾)) = (𝑦𝑆 ↦ (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦)))))
5247, 51eqtrd 2775 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆 D (𝑦𝑆 ↦ (exp‘(𝐾 · 𝑦)))) = (𝑦𝑆 ↦ (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦)))))
53 expgrowthi.y0 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
548, 23, 24, 52, 53dvmptcmul 26017 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D (𝑦𝑆 ↦ (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))) = (𝑦𝑆 ↦ (𝐶 · (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))))
5553, 18, 233anim123i 1150 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜑 ∧ (𝜑𝑦𝑆)) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑦)) ∈ ℂ))
56553anidm12 1418 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝜑𝑦𝑆)) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑦)) ∈ ℂ))
5756anabss5 668 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑆) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑦)) ∈ ℂ))
58 mul12 11424 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑦)) ∈ ℂ) → (𝐶 · (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦)))) = (𝐾 · (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦)))))
5957, 58syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑆) → (𝐶 · (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦)))) = (𝐾 · (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦)))))
6059mpteq2dva 5248 . . . 4 (𝜑 → (𝑦𝑆 ↦ (𝐶 · (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))) = (𝑦𝑆 ↦ (𝐾 · (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))))
6154, 60eqtrd 2775 . . 3 (𝜑 → (𝑆 D (𝑦𝑆 ↦ (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))) = (𝑦𝑆 ↦ (𝐾 · (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))))
627, 61eqtrid 2787 . 2 (𝜑 → (𝑆 D 𝑌) = (𝑦𝑆 ↦ (𝐾 · (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))))
63 ovexd 7466 . . 3 ((𝜑𝑦𝑆) → (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))) ∈ V)
64 fconstmpt 5751 . . . 4 (𝑆 × {𝐾}) = (𝑦𝑆𝐾)
6564a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑆 × {𝐾}) = (𝑦𝑆𝐾))
666a1i 11 . . 3 (𝜑𝑌 = (𝑦𝑆 ↦ (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦)))))
678, 28, 63, 65, 66offval2 7717 . 2 (𝜑 → ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) = (𝑦𝑆 ↦ (𝐾 · (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))))
6862, 67eqtr4d 2778 1 (𝜑 → (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  {csn 4631  {cpr 4633  cmpt 5231   × cxp 5687   Fn wfn 6558  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  f cof 7695  cc 11151  cr 11152  1c1 11154   · cmul 11158  expce 16094   D cdv 25913
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-ef 16100  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-limc 25916  df-dv 25917
This theorem is referenced by:  expgrowth  44331
  Copyright terms: Public domain W3C validator