Theorem expgrowthi 42603

Description: Exponential growth and decay model. See expgrowth 42605 for more information. (Contributed by Steve Rodriguez, 4-Nov-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
expgrowthi.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
expgrowthi.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
expgrowthi.y0	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
expgrowthi.yt	⊢ 𝑌 = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))))

Assertion

Ref	Expression
expgrowthi	⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌))

Distinct variable groups:   𝑡,𝐶   𝑡,𝐾   𝑡,𝑆

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝑌(𝑡)

Proof of Theorem expgrowthi

Dummy variables 𝑦 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expgrowthi.yt	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))))
2		oveq2 7365	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑦 → (𝐾 · 𝑡) = (𝐾 · 𝑦))
3	2	fveq2d 6846	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = 𝑦 → (exp‘(𝐾 · 𝑡)) = (exp‘(𝐾 · 𝑦)))
4	3	oveq2d 7373	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑦 → (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))) = (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))
5	4	cbvmptv 5218	. . . . 5 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑡)))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))
6	1, 5	eqtri 2764	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))
7	6	oveq2i 7368	. . 3 ⊢ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦)))))
8		expgrowthi.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
9		elpri 4608	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
10		eleq2 2826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 = ℝ → (𝑦 ∈ 𝑆 ↔ 𝑦 ∈ ℝ))
11		recn 11141	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
12	10, 11	syl6bi 252	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 = ℝ → (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ ℂ))
13		eleq2 2826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 = ℂ → (𝑦 ∈ 𝑆 ↔ 𝑦 ∈ ℂ))
14	13	biimpd 228	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 = ℂ → (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ ℂ))
15	12, 14	jaoi 855	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ) → (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ ℂ))
16	8, 9, 15	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ ℂ))
17	16	imp 407	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ ℂ)
18		expgrowthi.k	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
19		mulcl 11135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐾 · 𝑦) ∈ ℂ)
20	18, 19	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐾 · 𝑦) ∈ ℂ)
21		efcl 15965	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 · 𝑦) ∈ ℂ → (exp‘(𝐾 · 𝑦)) ∈ ℂ)
22	20, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (exp‘(𝐾 · 𝑦)) ∈ ℂ)
23	17, 22	syldan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (exp‘(𝐾 · 𝑦)) ∈ ℂ)
24		ovexd 7392	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))) ∈ V)
25		cnelprrecn 11144	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
26	25	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
27	17, 20	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐾 · 𝑦) ∈ ℂ)
28	18	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ ℂ)
29		efcl 15965	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
30	29	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
31		1cnd 11150	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 1 ∈ ℂ)
32	8	dvmptid 25321	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ 1))
33	8, 17, 31, 32, 18	dvmptcmul 25328	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 · 1)))
34	18	mulid1d 11172	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 1) = 𝐾)
35	34	mpteq2dv 5207	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 · 1)) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ 𝐾))
36	33, 35	eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ 𝐾))
37		dvef 25344	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂ D exp) = exp
38		eff 15964	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ exp:ℂ⟶ℂ
39		ffn 6668	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (exp:ℂ⟶ℂ → exp Fn ℂ)
40	38, 39	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ exp Fn ℂ
41		dffn5 6901	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (exp Fn ℂ ↔ exp = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥)))
42	40, 41	mpbi 229	. . . . . . . . . 10 ⊢ exp = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥))
43	42	oveq2i 7368	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂ D exp) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥)))
44	37, 43, 42	3eqtr3i 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥))
45	44	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥)))
46		fveq2 6842	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐾 · 𝑦) → (exp‘𝑥) = (exp‘(𝐾 · 𝑦)))
47	8, 26, 27, 28, 30, 30, 36, 45, 46, 46	dvmptco 25336	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘(𝐾 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘(𝐾 · 𝑦)) · 𝐾)))
48		mulcom 11137	. . . . . . . . 9 ⊢ (((exp‘(𝐾 · 𝑦)) ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((exp‘(𝐾 · 𝑦)) · 𝐾) = (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))
49	23, 18, 48	syl2anr 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ((exp‘(𝐾 · 𝑦)) · 𝐾) = (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))
50	49	anabss5 666	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((exp‘(𝐾 · 𝑦)) · 𝐾) = (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))
51	50	mpteq2dva 5205	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘(𝐾 · 𝑦)) · 𝐾)) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦)))))
52	47, 51	eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘(𝐾 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦)))))
53		expgrowthi.y0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
54	8, 23, 24, 52, 53	dvmptcmul 25328	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶 · (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))))
55	53, 18, 23	3anim123i 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜑 ∧ (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑦)) ∈ ℂ))
56	55	3anidm12 1419	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑦)) ∈ ℂ))
57	56	anabss5 666	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑦)) ∈ ℂ))
58		mul12 11320	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑦)) ∈ ℂ) → (𝐶 · (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦)))) = (𝐾 · (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦)))))
59	57, 58	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐶 · (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦)))) = (𝐾 · (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦)))))
60	59	mpteq2dva 5205	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶 · (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 · (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))))
61	54, 60	eqtrd 2776	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 · (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))))
62	7, 61	eqtrid 2788	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝑌) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 · (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))))
63		ovexd 7392	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))) ∈ V)
64		fconstmpt 5694	. . . 4 ⊢ (𝑆 × {𝐾}) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ 𝐾)
65	64	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 × {𝐾}) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ 𝐾))
66	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦)))))
67	8, 28, 63, 65, 66	offval2 7637	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 · (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))))
68	62, 67	eqtr4d 2779	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3445  {csn 4586  {cpr 4588   ↦ cmpt 5188   × cxp 5631   Fn wfn 6491  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   ∘_f cof 7615  ℂcc 11049  ℝcr 11050  1c1 11052   · cmul 11056  expce 15944   D cdv 25227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231

This theorem is referenced by:  expgrowth  42605