Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  expgrowthi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expgrowthi 44352
Description: Exponential growth and decay model. See expgrowth 44354 for more information. (Contributed by Steve Rodriguez, 4-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
expgrowthi.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
expgrowthi.k (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
expgrowthi.y0 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
expgrowthi.yt 𝑌 = (𝑡𝑆 ↦ (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))))
Assertion
Ref Expression
expgrowthi (𝜑 → (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌))
Distinct variable groups:   𝑡,𝐶   𝑡,𝐾   𝑡,𝑆
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝑌(𝑡)

Proof of Theorem expgrowthi
Dummy variables 𝑦 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 expgrowthi.yt . . . . 5 𝑌 = (𝑡𝑆 ↦ (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))))
2 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝑡 = 𝑦 → (𝐾 · 𝑡) = (𝐾 · 𝑦))
32fveq2d 6910 . . . . . . 7 (𝑡 = 𝑦 → (exp‘(𝐾 · 𝑡)) = (exp‘(𝐾 · 𝑦)))
43oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝑡 = 𝑦 → (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))) = (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))
54cbvmptv 5255 . . . . 5 (𝑡𝑆 ↦ (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑡)))) = (𝑦𝑆 ↦ (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))
61, 5eqtri 2765 . . . 4 𝑌 = (𝑦𝑆 ↦ (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))
76oveq2i 7442 . . 3 (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 D (𝑦𝑆 ↦ (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦)))))
8 expgrowthi.s . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
9 elpri 4649 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
10 eleq2 2830 . . . . . . . . . 10 (𝑆 = ℝ → (𝑦𝑆𝑦 ∈ ℝ))
11 recn 11245 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
1210, 11biimtrdi 253 . . . . . . . . 9 (𝑆 = ℝ → (𝑦𝑆𝑦 ∈ ℂ))
13 eleq2 2830 . . . . . . . . . 10 (𝑆 = ℂ → (𝑦𝑆𝑦 ∈ ℂ))
1413biimpd 229 . . . . . . . . 9 (𝑆 = ℂ → (𝑦𝑆𝑦 ∈ ℂ))
1512, 14jaoi 858 . . . . . . . 8 ((𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ) → (𝑦𝑆𝑦 ∈ ℂ))
168, 9, 153syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦𝑆𝑦 ∈ ℂ))
1716imp 406 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝑦 ∈ ℂ)
18 expgrowthi.k . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
19 mulcl 11239 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐾 · 𝑦) ∈ ℂ)
2018, 19sylan 580 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝐾 · 𝑦) ∈ ℂ)
21 efcl 16118 . . . . . . 7 ((𝐾 · 𝑦) ∈ ℂ → (exp‘(𝐾 · 𝑦)) ∈ ℂ)
2220, 21syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (exp‘(𝐾 · 𝑦)) ∈ ℂ)
2317, 22syldan 591 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑆) → (exp‘(𝐾 · 𝑦)) ∈ ℂ)
24 ovexd 7466 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑆) → (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))) ∈ V)
25 cnelprrecn 11248 . . . . . . . 8 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
2625a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
2717, 20syldan 591 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑆) → (𝐾 · 𝑦) ∈ ℂ)
2818adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝐾 ∈ ℂ)
29 efcl 16118 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℂ → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
3029adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
31 1cnd 11256 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝑆) → 1 ∈ ℂ)
328dvmptid 25995 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆 D (𝑦𝑆𝑦)) = (𝑦𝑆 ↦ 1))
338, 17, 31, 32, 18dvmptcmul 26002 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆 D (𝑦𝑆 ↦ (𝐾 · 𝑦))) = (𝑦𝑆 ↦ (𝐾 · 1)))
3418mulridd 11278 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾 · 1) = 𝐾)
3534mpteq2dv 5244 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦𝑆 ↦ (𝐾 · 1)) = (𝑦𝑆𝐾))
3633, 35eqtrd 2777 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 D (𝑦𝑆 ↦ (𝐾 · 𝑦))) = (𝑦𝑆𝐾))
37 dvef 26018 . . . . . . . . 9 (ℂ D exp) = exp
38 eff 16117 . . . . . . . . . . . 12 exp:ℂ⟶ℂ
39 ffn 6736 . . . . . . . . . . . 12 (exp:ℂ⟶ℂ → exp Fn ℂ)
4038, 39ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 exp Fn ℂ
41 dffn5 6967 . . . . . . . . . . 11 (exp Fn ℂ ↔ exp = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥)))
4240, 41mpbi 230 . . . . . . . . . 10 exp = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥))
4342oveq2i 7442 . . . . . . . . 9 (ℂ D exp) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥)))
4437, 43, 423eqtr3i 2773 . . . . . . . 8 (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥))
4544a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥)))
46 fveq2 6906 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐾 · 𝑦) → (exp‘𝑥) = (exp‘(𝐾 · 𝑦)))
478, 26, 27, 28, 30, 30, 36, 45, 46, 46dvmptco 26010 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆 D (𝑦𝑆 ↦ (exp‘(𝐾 · 𝑦)))) = (𝑦𝑆 ↦ ((exp‘(𝐾 · 𝑦)) · 𝐾)))
48 mulcom 11241 . . . . . . . . 9 (((exp‘(𝐾 · 𝑦)) ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((exp‘(𝐾 · 𝑦)) · 𝐾) = (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))
4923, 18, 48syl2anr 597 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝜑𝑦𝑆)) → ((exp‘(𝐾 · 𝑦)) · 𝐾) = (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))
5049anabss5 668 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑆) → ((exp‘(𝐾 · 𝑦)) · 𝐾) = (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))
5150mpteq2dva 5242 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦𝑆 ↦ ((exp‘(𝐾 · 𝑦)) · 𝐾)) = (𝑦𝑆 ↦ (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦)))))
5247, 51eqtrd 2777 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆 D (𝑦𝑆 ↦ (exp‘(𝐾 · 𝑦)))) = (𝑦𝑆 ↦ (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦)))))
53 expgrowthi.y0 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
548, 23, 24, 52, 53dvmptcmul 26002 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D (𝑦𝑆 ↦ (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))) = (𝑦𝑆 ↦ (𝐶 · (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))))
5553, 18, 233anim123i 1152 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜑 ∧ (𝜑𝑦𝑆)) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑦)) ∈ ℂ))
56553anidm12 1421 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝜑𝑦𝑆)) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑦)) ∈ ℂ))
5756anabss5 668 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑆) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑦)) ∈ ℂ))
58 mul12 11426 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑦)) ∈ ℂ) → (𝐶 · (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦)))) = (𝐾 · (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦)))))
5957, 58syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑆) → (𝐶 · (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦)))) = (𝐾 · (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦)))))
6059mpteq2dva 5242 . . . 4 (𝜑 → (𝑦𝑆 ↦ (𝐶 · (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))) = (𝑦𝑆 ↦ (𝐾 · (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))))
6154, 60eqtrd 2777 . . 3 (𝜑 → (𝑆 D (𝑦𝑆 ↦ (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))) = (𝑦𝑆 ↦ (𝐾 · (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))))
627, 61eqtrid 2789 . 2 (𝜑 → (𝑆 D 𝑌) = (𝑦𝑆 ↦ (𝐾 · (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))))
63 ovexd 7466 . . 3 ((𝜑𝑦𝑆) → (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))) ∈ V)
64 fconstmpt 5747 . . . 4 (𝑆 × {𝐾}) = (𝑦𝑆𝐾)
6564a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑆 × {𝐾}) = (𝑦𝑆𝐾))
666a1i 11 . . 3 (𝜑𝑌 = (𝑦𝑆 ↦ (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦)))))
678, 28, 63, 65, 66offval2 7717 . 2 (𝜑 → ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) = (𝑦𝑆 ↦ (𝐾 · (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))))
6862, 67eqtr4d 2780 1 (𝜑 → (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 848  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480  {csn 4626  {cpr 4628  cmpt 5225   × cxp 5683   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  f cof 7695  cc 11153  cr 11154  1c1 11156   · cmul 11160  expce 16097   D cdv 25898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902
This theorem is referenced by:  expgrowth  44354
  Copyright terms: Public domain W3C validator