Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  expgrowthi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expgrowthi 42705
Description: Exponential growth and decay model. See expgrowth 42707 for more information. (Contributed by Steve Rodriguez, 4-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
expgrowthi.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
expgrowthi.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
expgrowthi.y0 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
expgrowthi.yt π‘Œ = (𝑑 ∈ 𝑆 ↦ (𝐢 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑑))))
Assertion
Ref Expression
expgrowthi (πœ‘ β†’ (𝑆 D π‘Œ) = ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ))
Distinct variable groups:   𝑑,𝐢   𝑑,𝐾   𝑑,𝑆
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑑)   π‘Œ(𝑑)

Proof of Theorem expgrowthi
Dummy variables 𝑦 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 expgrowthi.yt . . . . 5 π‘Œ = (𝑑 ∈ 𝑆 ↦ (𝐢 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑑))))
2 oveq2 7369 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝑦 β†’ (𝐾 Β· 𝑑) = (𝐾 Β· 𝑦))
32fveq2d 6850 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝑦 β†’ (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑑)) = (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦)))
43oveq2d 7377 . . . . . 6 (𝑑 = 𝑦 β†’ (𝐢 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑑))) = (𝐢 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦))))
54cbvmptv 5222 . . . . 5 (𝑑 ∈ 𝑆 ↦ (𝐢 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑑)))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐢 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦))))
61, 5eqtri 2761 . . . 4 π‘Œ = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐢 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦))))
76oveq2i 7372 . . 3 (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐢 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦)))))
8 expgrowthi.s . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
9 elpri 4612 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = β„‚))
10 eleq2 2823 . . . . . . . . . 10 (𝑆 = ℝ β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 ↔ 𝑦 ∈ ℝ))
11 recn 11149 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
1210, 11syl6bi 253 . . . . . . . . 9 (𝑆 = ℝ β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 β†’ 𝑦 ∈ β„‚))
13 eleq2 2823 . . . . . . . . . 10 (𝑆 = β„‚ β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 ↔ 𝑦 ∈ β„‚))
1413biimpd 228 . . . . . . . . 9 (𝑆 = β„‚ β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 β†’ 𝑦 ∈ β„‚))
1512, 14jaoi 856 . . . . . . . 8 ((𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = β„‚) β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 β†’ 𝑦 ∈ β„‚))
168, 9, 153syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 β†’ 𝑦 ∈ β„‚))
1716imp 408 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
18 expgrowthi.k . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
19 mulcl 11143 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (𝐾 Β· 𝑦) ∈ β„‚)
2018, 19sylan 581 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (𝐾 Β· 𝑦) ∈ β„‚)
21 efcl 15973 . . . . . . 7 ((𝐾 Β· 𝑦) ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦)) ∈ β„‚)
2220, 21syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦)) ∈ β„‚)
2317, 22syldan 592 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦)) ∈ β„‚)
24 ovexd 7396 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (𝐾 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦))) ∈ V)
25 cnelprrecn 11152 . . . . . . . 8 β„‚ ∈ {ℝ, β„‚}
2625a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ β„‚ ∈ {ℝ, β„‚})
2717, 20syldan 592 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (𝐾 Β· 𝑦) ∈ β„‚)
2818adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
29 efcl 15973 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
3029adantl 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
31 1cnd 11158 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 1 ∈ β„‚)
328dvmptid 25344 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ 1))
338, 17, 31, 32, 18dvmptcmul 25351 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 Β· 𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 Β· 1)))
3418mulridd 11180 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐾 Β· 1) = 𝐾)
3534mpteq2dv 5211 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 Β· 1)) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ 𝐾))
3633, 35eqtrd 2773 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 Β· 𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ 𝐾))
37 dvef 25367 . . . . . . . . 9 (β„‚ D exp) = exp
38 eff 15972 . . . . . . . . . . . 12 exp:β„‚βŸΆβ„‚
39 ffn 6672 . . . . . . . . . . . 12 (exp:β„‚βŸΆβ„‚ β†’ exp Fn β„‚)
4038, 39ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 exp Fn β„‚
41 dffn5 6905 . . . . . . . . . . 11 (exp Fn β„‚ ↔ exp = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘₯)))
4240, 41mpbi 229 . . . . . . . . . 10 exp = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘₯))
4342oveq2i 7372 . . . . . . . . 9 (β„‚ D exp) = (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘₯)))
4437, 43, 423eqtr3i 2769 . . . . . . . 8 (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘₯))
4544a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘₯)))
46 fveq2 6846 . . . . . . 7 (π‘₯ = (𝐾 Β· 𝑦) β†’ (expβ€˜π‘₯) = (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦)))
478, 26, 27, 28, 30, 30, 36, 45, 46, 46dvmptco 25359 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦)))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ((expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦)) Β· 𝐾)))
48 mulcom 11145 . . . . . . . . 9 (((expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦)) ∈ β„‚ ∧ 𝐾 ∈ β„‚) β†’ ((expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦)) Β· 𝐾) = (𝐾 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦))))
4923, 18, 48syl2anr 598 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ ((expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦)) Β· 𝐾) = (𝐾 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦))))
5049anabss5 667 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦)) Β· 𝐾) = (𝐾 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦))))
5150mpteq2dva 5209 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ((expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦)) Β· 𝐾)) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦)))))
5247, 51eqtrd 2773 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦)))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦)))))
53 expgrowthi.y0 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
548, 23, 24, 52, 53dvmptcmul 25351 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐢 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦))))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐢 Β· (𝐾 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦))))))
5553, 18, 233anim123i 1152 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ πœ‘ ∧ (πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐾 ∈ β„‚ ∧ (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦)) ∈ β„‚))
56553anidm12 1420 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐾 ∈ β„‚ ∧ (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦)) ∈ β„‚))
5756anabss5 667 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐾 ∈ β„‚ ∧ (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦)) ∈ β„‚))
58 mul12 11328 . . . . . 6 ((𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐾 ∈ β„‚ ∧ (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦)) ∈ β„‚) β†’ (𝐢 Β· (𝐾 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦)))) = (𝐾 Β· (𝐢 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦)))))
5957, 58syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (𝐢 Β· (𝐾 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦)))) = (𝐾 Β· (𝐢 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦)))))
6059mpteq2dva 5209 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐢 Β· (𝐾 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦))))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 Β· (𝐢 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦))))))
6154, 60eqtrd 2773 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐢 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦))))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 Β· (𝐢 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦))))))
627, 61eqtrid 2785 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 Β· (𝐢 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦))))))
63 ovexd 7396 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (𝐢 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦))) ∈ V)
64 fconstmpt 5698 . . . 4 (𝑆 Γ— {𝐾}) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ 𝐾)
6564a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑆 Γ— {𝐾}) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ 𝐾))
666a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐢 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦)))))
678, 28, 63, 65, 66offval2 7641 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 Β· (𝐢 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦))))))
6862, 67eqtr4d 2776 1 (πœ‘ β†’ (𝑆 D π‘Œ) = ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3447  {csn 4590  {cpr 4592   ↦ cmpt 5192   Γ— cxp 5635   Fn wfn 6495  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ∘f cof 7619  β„‚cc 11057  β„cr 11058  1c1 11060   Β· cmul 11064  expce 15952   D cdv 25250
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-seq 13916  df-exp 13977  df-fac 14183  df-bc 14212  df-hash 14240  df-shft 14961  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-limsup 15362  df-clim 15379  df-rlim 15380  df-sum 15580  df-ef 15958  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-hom 17165  df-cco 17166  df-rest 17312  df-topn 17313  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-topgen 17333  df-pt 17334  df-prds 17337  df-xrs 17392  df-qtop 17397  df-imas 17398  df-xps 17400  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-mulg 18881  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-fbas 20816  df-fg 20817  df-cnfld 20820  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-cld 22393  df-ntr 22394  df-cls 22395  df-nei 22472  df-lp 22510  df-perf 22511  df-cn 22601  df-cnp 22602  df-haus 22689  df-tx 22936  df-hmeo 23129  df-fil 23220  df-fm 23312  df-flim 23313  df-flf 23314  df-xms 23696  df-ms 23697  df-tms 23698  df-cncf 24264  df-limc 25253  df-dv 25254
This theorem is referenced by:  expgrowth  42707
  Copyright terms: Public domain W3C validator