Theorem expgrowthi 44295

Description: Exponential growth and decay model. See expgrowth 44297 for more information. (Contributed by Steve Rodriguez, 4-Nov-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
expgrowthi.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
expgrowthi.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
expgrowthi.y0	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
expgrowthi.yt	⊢ 𝑌 = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))))

Assertion

Ref	Expression
expgrowthi	⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌))

Distinct variable groups:   𝑡,𝐶   𝑡,𝐾   𝑡,𝑆

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝑌(𝑡)

Proof of Theorem expgrowthi

Dummy variables 𝑦 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expgrowthi.yt	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))))
2		oveq2 7377	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑦 → (𝐾 · 𝑡) = (𝐾 · 𝑦))
3	2	fveq2d 6844	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = 𝑦 → (exp‘(𝐾 · 𝑡)) = (exp‘(𝐾 · 𝑦)))
4	3	oveq2d 7385	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑦 → (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))) = (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))
5	4	cbvmptv 5206	. . . . 5 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑡)))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))
6	1, 5	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))
7	6	oveq2i 7380	. . 3 ⊢ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦)))))
8		expgrowthi.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
9		elpri 4609	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
10		eleq2 2817	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 = ℝ → (𝑦 ∈ 𝑆 ↔ 𝑦 ∈ ℝ))
11		recn 11134	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
12	10, 11	biimtrdi 253	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 = ℝ → (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ ℂ))
13		eleq2 2817	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 = ℂ → (𝑦 ∈ 𝑆 ↔ 𝑦 ∈ ℂ))
14	13	biimpd 229	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 = ℂ → (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ ℂ))
15	12, 14	jaoi 857	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ) → (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ ℂ))
16	8, 9, 15	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ ℂ))
17	16	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ ℂ)
18		expgrowthi.k	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
19		mulcl 11128	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐾 · 𝑦) ∈ ℂ)
20	18, 19	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐾 · 𝑦) ∈ ℂ)
21		efcl 16024	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 · 𝑦) ∈ ℂ → (exp‘(𝐾 · 𝑦)) ∈ ℂ)
22	20, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (exp‘(𝐾 · 𝑦)) ∈ ℂ)
23	17, 22	syldan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (exp‘(𝐾 · 𝑦)) ∈ ℂ)
24		ovexd 7404	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))) ∈ V)
25		cnelprrecn 11137	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
26	25	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
27	17, 20	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐾 · 𝑦) ∈ ℂ)
28	18	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ ℂ)
29		efcl 16024	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
30	29	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
31		1cnd 11145	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 1 ∈ ℂ)
32	8	dvmptid 25837	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ 1))
33	8, 17, 31, 32, 18	dvmptcmul 25844	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 · 1)))
34	18	mulridd 11167	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 1) = 𝐾)
35	34	mpteq2dv 5196	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 · 1)) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ 𝐾))
36	33, 35	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ 𝐾))
37		dvef 25860	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂ D exp) = exp
38		eff 16023	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ exp:ℂ⟶ℂ
39		ffn 6670	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (exp:ℂ⟶ℂ → exp Fn ℂ)
40	38, 39	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ exp Fn ℂ
41		dffn5 6901	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (exp Fn ℂ ↔ exp = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥)))
42	40, 41	mpbi 230	. . . . . . . . . 10 ⊢ exp = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥))
43	42	oveq2i 7380	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂ D exp) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥)))
44	37, 43, 42	3eqtr3i 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥))
45	44	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥)))
46		fveq2 6840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐾 · 𝑦) → (exp‘𝑥) = (exp‘(𝐾 · 𝑦)))
47	8, 26, 27, 28, 30, 30, 36, 45, 46, 46	dvmptco 25852	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘(𝐾 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘(𝐾 · 𝑦)) · 𝐾)))
48		mulcom 11130	. . . . . . . . 9 ⊢ (((exp‘(𝐾 · 𝑦)) ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((exp‘(𝐾 · 𝑦)) · 𝐾) = (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))
49	23, 18, 48	syl2anr 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ((exp‘(𝐾 · 𝑦)) · 𝐾) = (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))
50	49	anabss5 668	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((exp‘(𝐾 · 𝑦)) · 𝐾) = (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))
51	50	mpteq2dva 5195	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘(𝐾 · 𝑦)) · 𝐾)) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦)))))
52	47, 51	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘(𝐾 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦)))))
53		expgrowthi.y0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
54	8, 23, 24, 52, 53	dvmptcmul 25844	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶 · (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))))
55	53, 18, 23	3anim123i 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜑 ∧ (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑦)) ∈ ℂ))
56	55	3anidm12 1421	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑦)) ∈ ℂ))
57	56	anabss5 668	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑦)) ∈ ℂ))
58		mul12 11315	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑦)) ∈ ℂ) → (𝐶 · (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦)))) = (𝐾 · (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦)))))
59	57, 58	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐶 · (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦)))) = (𝐾 · (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦)))))
60	59	mpteq2dva 5195	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶 · (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 · (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))))
61	54, 60	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 · (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))))
62	7, 61	eqtrid 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝑌) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 · (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))))
63		ovexd 7404	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))) ∈ V)
64		fconstmpt 5693	. . . 4 ⊢ (𝑆 × {𝐾}) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ 𝐾)
65	64	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 × {𝐾}) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ 𝐾))
66	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦)))))
67	8, 28, 63, 65, 66	offval2 7653	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 · (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))))
68	62, 67	eqtr4d 2767	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444  {csn 4585  {cpr 4587   ↦ cmpt 5183   × cxp 5629   Fn wfn 6494  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ∘_f cof 7631  ℂcc 11042  ℝcr 11043  1c1 11045   · cmul 11049  expce 16003   D cdv 25740

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122  ax-addf 11123

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-fi 9338  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-q 12884  df-rp 12928  df-xneg 13048  df-xadd 13049  df-xmul 13050  df-ico 13288  df-icc 13289  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-fl 13730  df-seq 13943  df-exp 14003  df-fac 14215  df-bc 14244  df-hash 14272  df-shft 15009  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-limsup 15413  df-clim 15430  df-rlim 15431  df-sum 15629  df-ef 16009  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17361  df-topn 17362  df-0g 17380  df-gsum 17381  df-topgen 17382  df-pt 17383  df-prds 17386  df-xrs 17441  df-qtop 17446  df-imas 17447  df-xps 17449  df-mre 17523  df-mrc 17524  df-acs 17526  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-submnd 18687  df-mulg 18976  df-cntz 19225  df-cmn 19688  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22757  df-topon 22774  df-topsp 22796  df-bases 22809  df-cld 22882  df-ntr 22883  df-cls 22884  df-nei 22961  df-lp 22999  df-perf 23000  df-cn 23090  df-cnp 23091  df-haus 23178  df-tx 23425  df-hmeo 23618  df-fil 23709  df-fm 23801  df-flim 23802  df-flf 23803  df-xms 24184  df-ms 24185  df-tms 24186  df-cncf 24747  df-limc 25743  df-dv 25744

This theorem is referenced by:  expgrowth  44297