Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  expgrowthi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expgrowthi 43092
Description: Exponential growth and decay model. See expgrowth 43094 for more information. (Contributed by Steve Rodriguez, 4-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
expgrowthi.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
expgrowthi.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
expgrowthi.y0 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
expgrowthi.yt π‘Œ = (𝑑 ∈ 𝑆 ↦ (𝐢 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑑))))
Assertion
Ref Expression
expgrowthi (πœ‘ β†’ (𝑆 D π‘Œ) = ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ))
Distinct variable groups:   𝑑,𝐢   𝑑,𝐾   𝑑,𝑆
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑑)   π‘Œ(𝑑)

Proof of Theorem expgrowthi
Dummy variables 𝑦 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 expgrowthi.yt . . . . 5 π‘Œ = (𝑑 ∈ 𝑆 ↦ (𝐢 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑑))))
2 oveq2 7417 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝑦 β†’ (𝐾 Β· 𝑑) = (𝐾 Β· 𝑦))
32fveq2d 6896 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝑦 β†’ (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑑)) = (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦)))
43oveq2d 7425 . . . . . 6 (𝑑 = 𝑦 β†’ (𝐢 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑑))) = (𝐢 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦))))
54cbvmptv 5262 . . . . 5 (𝑑 ∈ 𝑆 ↦ (𝐢 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑑)))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐢 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦))))
61, 5eqtri 2761 . . . 4 π‘Œ = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐢 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦))))
76oveq2i 7420 . . 3 (𝑆 D π‘Œ) = (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐢 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦)))))
8 expgrowthi.s . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
9 elpri 4651 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = β„‚))
10 eleq2 2823 . . . . . . . . . 10 (𝑆 = ℝ β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 ↔ 𝑦 ∈ ℝ))
11 recn 11200 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
1210, 11syl6bi 253 . . . . . . . . 9 (𝑆 = ℝ β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 β†’ 𝑦 ∈ β„‚))
13 eleq2 2823 . . . . . . . . . 10 (𝑆 = β„‚ β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 ↔ 𝑦 ∈ β„‚))
1413biimpd 228 . . . . . . . . 9 (𝑆 = β„‚ β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 β†’ 𝑦 ∈ β„‚))
1512, 14jaoi 856 . . . . . . . 8 ((𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = β„‚) β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 β†’ 𝑦 ∈ β„‚))
168, 9, 153syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 β†’ 𝑦 ∈ β„‚))
1716imp 408 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
18 expgrowthi.k . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
19 mulcl 11194 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (𝐾 Β· 𝑦) ∈ β„‚)
2018, 19sylan 581 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (𝐾 Β· 𝑦) ∈ β„‚)
21 efcl 16026 . . . . . . 7 ((𝐾 Β· 𝑦) ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦)) ∈ β„‚)
2220, 21syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦)) ∈ β„‚)
2317, 22syldan 592 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦)) ∈ β„‚)
24 ovexd 7444 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (𝐾 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦))) ∈ V)
25 cnelprrecn 11203 . . . . . . . 8 β„‚ ∈ {ℝ, β„‚}
2625a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ β„‚ ∈ {ℝ, β„‚})
2717, 20syldan 592 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (𝐾 Β· 𝑦) ∈ β„‚)
2818adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
29 efcl 16026 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
3029adantl 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
31 1cnd 11209 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 1 ∈ β„‚)
328dvmptid 25474 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ 1))
338, 17, 31, 32, 18dvmptcmul 25481 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 Β· 𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 Β· 1)))
3418mulridd 11231 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐾 Β· 1) = 𝐾)
3534mpteq2dv 5251 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 Β· 1)) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ 𝐾))
3633, 35eqtrd 2773 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 Β· 𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ 𝐾))
37 dvef 25497 . . . . . . . . 9 (β„‚ D exp) = exp
38 eff 16025 . . . . . . . . . . . 12 exp:β„‚βŸΆβ„‚
39 ffn 6718 . . . . . . . . . . . 12 (exp:β„‚βŸΆβ„‚ β†’ exp Fn β„‚)
4038, 39ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 exp Fn β„‚
41 dffn5 6951 . . . . . . . . . . 11 (exp Fn β„‚ ↔ exp = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘₯)))
4240, 41mpbi 229 . . . . . . . . . 10 exp = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘₯))
4342oveq2i 7420 . . . . . . . . 9 (β„‚ D exp) = (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘₯)))
4437, 43, 423eqtr3i 2769 . . . . . . . 8 (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘₯))
4544a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘₯)))
46 fveq2 6892 . . . . . . 7 (π‘₯ = (𝐾 Β· 𝑦) β†’ (expβ€˜π‘₯) = (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦)))
478, 26, 27, 28, 30, 30, 36, 45, 46, 46dvmptco 25489 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦)))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ((expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦)) Β· 𝐾)))
48 mulcom 11196 . . . . . . . . 9 (((expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦)) ∈ β„‚ ∧ 𝐾 ∈ β„‚) β†’ ((expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦)) Β· 𝐾) = (𝐾 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦))))
4923, 18, 48syl2anr 598 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ ((expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦)) Β· 𝐾) = (𝐾 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦))))
5049anabss5 667 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦)) Β· 𝐾) = (𝐾 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦))))
5150mpteq2dva 5249 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ((expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦)) Β· 𝐾)) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦)))))
5247, 51eqtrd 2773 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦)))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦)))))
53 expgrowthi.y0 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
548, 23, 24, 52, 53dvmptcmul 25481 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐢 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦))))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐢 Β· (𝐾 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦))))))
5553, 18, 233anim123i 1152 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ πœ‘ ∧ (πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐾 ∈ β„‚ ∧ (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦)) ∈ β„‚))
56553anidm12 1420 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐾 ∈ β„‚ ∧ (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦)) ∈ β„‚))
5756anabss5 667 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐾 ∈ β„‚ ∧ (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦)) ∈ β„‚))
58 mul12 11379 . . . . . 6 ((𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐾 ∈ β„‚ ∧ (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦)) ∈ β„‚) β†’ (𝐢 Β· (𝐾 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦)))) = (𝐾 Β· (𝐢 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦)))))
5957, 58syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (𝐢 Β· (𝐾 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦)))) = (𝐾 Β· (𝐢 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦)))))
6059mpteq2dva 5249 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐢 Β· (𝐾 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦))))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 Β· (𝐢 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦))))))
6154, 60eqtrd 2773 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐢 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦))))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 Β· (𝐢 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦))))))
627, 61eqtrid 2785 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑆 D π‘Œ) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 Β· (𝐢 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦))))))
63 ovexd 7444 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (𝐢 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦))) ∈ V)
64 fconstmpt 5739 . . . 4 (𝑆 Γ— {𝐾}) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ 𝐾)
6564a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑆 Γ— {𝐾}) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ 𝐾))
666a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐢 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦)))))
678, 28, 63, 65, 66offval2 7690 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 Β· (𝐢 Β· (expβ€˜(𝐾 Β· 𝑦))))))
6862, 67eqtr4d 2776 1 (πœ‘ β†’ (𝑆 D π‘Œ) = ((𝑆 Γ— {𝐾}) ∘f Β· π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475  {csn 4629  {cpr 4631   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∘f cof 7668  β„‚cc 11108  β„cr 11109  1c1 11111   Β· cmul 11115  expce 16005   D cdv 25380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384
This theorem is referenced by:  expgrowth  43094
  Copyright terms: Public domain W3C validator