Theorem expgrowthi 41932

Description: Exponential growth and decay model. See expgrowth 41934 for more information. (Contributed by Steve Rodriguez, 4-Nov-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
expgrowthi.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
expgrowthi.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
expgrowthi.y0	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
expgrowthi.yt	⊢ 𝑌 = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))))

Assertion

Ref	Expression
expgrowthi	⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌))

Distinct variable groups:   𝑡,𝐶   𝑡,𝐾   𝑡,𝑆

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝑌(𝑡)

Proof of Theorem expgrowthi

Dummy variables 𝑦 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expgrowthi.yt	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))))
2		oveq2 7275	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑦 → (𝐾 · 𝑡) = (𝐾 · 𝑦))
3	2	fveq2d 6770	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = 𝑦 → (exp‘(𝐾 · 𝑡)) = (exp‘(𝐾 · 𝑦)))
4	3	oveq2d 7283	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑦 → (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))) = (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))
5	4	cbvmptv 5186	. . . . 5 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑡)))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))
6	1, 5	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))
7	6	oveq2i 7278	. . 3 ⊢ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦)))))
8		expgrowthi.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
9		elpri 4583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
10		eleq2 2827	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 = ℝ → (𝑦 ∈ 𝑆 ↔ 𝑦 ∈ ℝ))
11		recn 10971	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
12	10, 11	syl6bi 252	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 = ℝ → (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ ℂ))
13		eleq2 2827	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 = ℂ → (𝑦 ∈ 𝑆 ↔ 𝑦 ∈ ℂ))
14	13	biimpd 228	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 = ℂ → (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ ℂ))
15	12, 14	jaoi 854	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ) → (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ ℂ))
16	8, 9, 15	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ ℂ))
17	16	imp 407	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ ℂ)
18		expgrowthi.k	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
19		mulcl 10965	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐾 · 𝑦) ∈ ℂ)
20	18, 19	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐾 · 𝑦) ∈ ℂ)
21		efcl 15802	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 · 𝑦) ∈ ℂ → (exp‘(𝐾 · 𝑦)) ∈ ℂ)
22	20, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (exp‘(𝐾 · 𝑦)) ∈ ℂ)
23	17, 22	syldan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (exp‘(𝐾 · 𝑦)) ∈ ℂ)
24		ovexd 7302	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))) ∈ V)
25		cnelprrecn 10974	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
26	25	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
27	17, 20	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐾 · 𝑦) ∈ ℂ)
28	18	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ ℂ)
29		efcl 15802	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
30	29	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
31		1cnd 10980	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 1 ∈ ℂ)
32	8	dvmptid 25131	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ 1))
33	8, 17, 31, 32, 18	dvmptcmul 25138	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 · 1)))
34	18	mulid1d 11002	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 1) = 𝐾)
35	34	mpteq2dv 5175	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 · 1)) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ 𝐾))
36	33, 35	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ 𝐾))
37		dvef 25154	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂ D exp) = exp
38		eff 15801	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ exp:ℂ⟶ℂ
39		ffn 6592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (exp:ℂ⟶ℂ → exp Fn ℂ)
40	38, 39	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ exp Fn ℂ
41		dffn5 6820	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (exp Fn ℂ ↔ exp = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥)))
42	40, 41	mpbi 229	. . . . . . . . . 10 ⊢ exp = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥))
43	42	oveq2i 7278	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂ D exp) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥)))
44	37, 43, 42	3eqtr3i 2774	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥))
45	44	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥)))
46		fveq2 6766	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐾 · 𝑦) → (exp‘𝑥) = (exp‘(𝐾 · 𝑦)))
47	8, 26, 27, 28, 30, 30, 36, 45, 46, 46	dvmptco 25146	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘(𝐾 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘(𝐾 · 𝑦)) · 𝐾)))
48		mulcom 10967	. . . . . . . . 9 ⊢ (((exp‘(𝐾 · 𝑦)) ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((exp‘(𝐾 · 𝑦)) · 𝐾) = (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))
49	23, 18, 48	syl2anr 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ((exp‘(𝐾 · 𝑦)) · 𝐾) = (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))
50	49	anabss5 665	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((exp‘(𝐾 · 𝑦)) · 𝐾) = (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))
51	50	mpteq2dva 5173	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘(𝐾 · 𝑦)) · 𝐾)) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦)))))
52	47, 51	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘(𝐾 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦)))))
53		expgrowthi.y0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
54	8, 23, 24, 52, 53	dvmptcmul 25138	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶 · (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))))
55	53, 18, 23	3anim123i 1150	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜑 ∧ (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑦)) ∈ ℂ))
56	55	3anidm12 1418	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑦)) ∈ ℂ))
57	56	anabss5 665	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑦)) ∈ ℂ))
58		mul12 11150	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑦)) ∈ ℂ) → (𝐶 · (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦)))) = (𝐾 · (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦)))))
59	57, 58	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐶 · (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦)))) = (𝐾 · (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦)))))
60	59	mpteq2dva 5173	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶 · (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 · (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))))
61	54, 60	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 · (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))))
62	7, 61	eqtrid 2790	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝑌) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 · (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))))
63		ovexd 7302	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))) ∈ V)
64		fconstmpt 5644	. . . 4 ⊢ (𝑆 × {𝐾}) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ 𝐾)
65	64	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 × {𝐾}) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ 𝐾))
66	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦)))))
67	8, 28, 63, 65, 66	offval2 7543	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 · (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))))
68	62, 67	eqtr4d 2781	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 844   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3429  {csn 4561  {cpr 4563   ↦ cmpt 5156   × cxp 5582   Fn wfn 6421  ⟶wf 6422  ‘cfv 6426  (class class class)co 7267   ∘_f cof 7521  ℂcc 10879  ℝcr 10880  1c1 10882   · cmul 10886  expce 15781   D cdv 25037

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5208  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-inf2 9386  ax-cnex 10937  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-mulrcl 10944  ax-mulcom 10945  ax-addass 10946  ax-mulass 10947  ax-distr 10948  ax-i2m1 10949  ax-1ne0 10950  ax-1rid 10951  ax-rnegex 10952  ax-rrecex 10953  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956  ax-pre-ltadd 10957  ax-pre-mulgt0 10958  ax-pre-sup 10959  ax-addf 10960  ax-mulf 10961

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-se 5540  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-isom 6435  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-of 7523  df-om 7703  df-1st 7820  df-2nd 7821  df-supp 7965  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-1o 8284  df-2o 8285  df-er 8485  df-map 8604  df-pm 8605  df-ixp 8673  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-fin 8724  df-fsupp 9116  df-fi 9157  df-sup 9188  df-inf 9189  df-oi 9256  df-card 9707  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-sub 11217  df-neg 11218  df-div 11643  df-nn 11984  df-2 12046  df-3 12047  df-4 12048  df-5 12049  df-6 12050  df-7 12051  df-8 12052  df-9 12053  df-n0 12244  df-z 12330  df-dec 12448  df-uz 12593  df-q 12699  df-rp 12741  df-xneg 12858  df-xadd 12859  df-xmul 12860  df-ico 13095  df-icc 13096  df-fz 13250  df-fzo 13393  df-fl 13522  df-seq 13732  df-exp 13793  df-fac 13998  df-bc 14027  df-hash 14055  df-shft 14788  df-cj 14820  df-re 14821  df-im 14822  df-sqrt 14956  df-abs 14957  df-limsup 15190  df-clim 15207  df-rlim 15208  df-sum 15408  df-ef 15787  df-struct 16858  df-sets 16875  df-slot 16893  df-ndx 16905  df-base 16923  df-ress 16952  df-plusg 16985  df-mulr 16986  df-starv 16987  df-sca 16988  df-vsca 16989  df-ip 16990  df-tset 16991  df-ple 16992  df-ds 16994  df-unif 16995  df-hom 16996  df-cco 16997  df-rest 17143  df-topn 17144  df-0g 17162  df-gsum 17163  df-topgen 17164  df-pt 17165  df-prds 17168  df-xrs 17223  df-qtop 17228  df-imas 17229  df-xps 17231  df-mre 17305  df-mrc 17306  df-acs 17308  df-mgm 18336  df-sgrp 18385  df-mnd 18396  df-submnd 18441  df-mulg 18711  df-cntz 18933  df-cmn 19398  df-psmet 20599  df-xmet 20600  df-met 20601  df-bl 20602  df-mopn 20603  df-fbas 20604  df-fg 20605  df-cnfld 20608  df-top 22053  df-topon 22070  df-topsp 22092  df-bases 22106  df-cld 22180  df-ntr 22181  df-cls 22182  df-nei 22259  df-lp 22297  df-perf 22298  df-cn 22388  df-cnp 22389  df-haus 22476  df-tx 22723  df-hmeo 22916  df-fil 23007  df-fm 23099  df-flim 23100  df-flf 23101  df-xms 23483  df-ms 23484  df-tms 23485  df-cncf 24051  df-limc 25040  df-dv 25041

This theorem is referenced by:  expgrowth  41934