Theorem expgrowthi 44329

Description: Exponential growth and decay model. See expgrowth 44331 for more information. (Contributed by Steve Rodriguez, 4-Nov-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
expgrowthi.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
expgrowthi.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
expgrowthi.y0	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
expgrowthi.yt	⊢ 𝑌 = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))))

Assertion

Ref	Expression
expgrowthi	⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌))

Distinct variable groups:   𝑡,𝐶   𝑡,𝐾   𝑡,𝑆

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝑌(𝑡)

Proof of Theorem expgrowthi

Dummy variables 𝑦 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expgrowthi.yt	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))))
2		oveq2 7439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑦 → (𝐾 · 𝑡) = (𝐾 · 𝑦))
3	2	fveq2d 6911	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = 𝑦 → (exp‘(𝐾 · 𝑡)) = (exp‘(𝐾 · 𝑦)))
4	3	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑦 → (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))) = (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))
5	4	cbvmptv 5261	. . . . 5 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑡)))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))
6	1, 5	eqtri 2763	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))
7	6	oveq2i 7442	. . 3 ⊢ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦)))))
8		expgrowthi.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
9		elpri 4654	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
10		eleq2 2828	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 = ℝ → (𝑦 ∈ 𝑆 ↔ 𝑦 ∈ ℝ))
11		recn 11243	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
12	10, 11	biimtrdi 253	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 = ℝ → (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ ℂ))
13		eleq2 2828	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 = ℂ → (𝑦 ∈ 𝑆 ↔ 𝑦 ∈ ℂ))
14	13	biimpd 229	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 = ℂ → (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ ℂ))
15	12, 14	jaoi 857	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ) → (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ ℂ))
16	8, 9, 15	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ ℂ))
17	16	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ ℂ)
18		expgrowthi.k	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
19		mulcl 11237	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐾 · 𝑦) ∈ ℂ)
20	18, 19	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐾 · 𝑦) ∈ ℂ)
21		efcl 16115	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 · 𝑦) ∈ ℂ → (exp‘(𝐾 · 𝑦)) ∈ ℂ)
22	20, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (exp‘(𝐾 · 𝑦)) ∈ ℂ)
23	17, 22	syldan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (exp‘(𝐾 · 𝑦)) ∈ ℂ)
24		ovexd 7466	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))) ∈ V)
25		cnelprrecn 11246	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
26	25	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
27	17, 20	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐾 · 𝑦) ∈ ℂ)
28	18	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ ℂ)
29		efcl 16115	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
30	29	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
31		1cnd 11254	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 1 ∈ ℂ)
32	8	dvmptid 26010	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ 1))
33	8, 17, 31, 32, 18	dvmptcmul 26017	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 · 1)))
34	18	mulridd 11276	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 1) = 𝐾)
35	34	mpteq2dv 5250	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 · 1)) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ 𝐾))
36	33, 35	eqtrd 2775	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ 𝐾))
37		dvef 26033	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂ D exp) = exp
38		eff 16114	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ exp:ℂ⟶ℂ
39		ffn 6737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (exp:ℂ⟶ℂ → exp Fn ℂ)
40	38, 39	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ exp Fn ℂ
41		dffn5 6967	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (exp Fn ℂ ↔ exp = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥)))
42	40, 41	mpbi 230	. . . . . . . . . 10 ⊢ exp = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥))
43	42	oveq2i 7442	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂ D exp) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥)))
44	37, 43, 42	3eqtr3i 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥))
45	44	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥)))
46		fveq2 6907	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐾 · 𝑦) → (exp‘𝑥) = (exp‘(𝐾 · 𝑦)))
47	8, 26, 27, 28, 30, 30, 36, 45, 46, 46	dvmptco 26025	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘(𝐾 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘(𝐾 · 𝑦)) · 𝐾)))
48		mulcom 11239	. . . . . . . . 9 ⊢ (((exp‘(𝐾 · 𝑦)) ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((exp‘(𝐾 · 𝑦)) · 𝐾) = (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))
49	23, 18, 48	syl2anr 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ((exp‘(𝐾 · 𝑦)) · 𝐾) = (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))
50	49	anabss5 668	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((exp‘(𝐾 · 𝑦)) · 𝐾) = (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))
51	50	mpteq2dva 5248	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘(𝐾 · 𝑦)) · 𝐾)) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦)))))
52	47, 51	eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘(𝐾 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦)))))
53		expgrowthi.y0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
54	8, 23, 24, 52, 53	dvmptcmul 26017	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶 · (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))))
55	53, 18, 23	3anim123i 1150	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜑 ∧ (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑦)) ∈ ℂ))
56	55	3anidm12 1418	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑦)) ∈ ℂ))
57	56	anabss5 668	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑦)) ∈ ℂ))
58		mul12 11424	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑦)) ∈ ℂ) → (𝐶 · (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦)))) = (𝐾 · (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦)))))
59	57, 58	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐶 · (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦)))) = (𝐾 · (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦)))))
60	59	mpteq2dva 5248	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶 · (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 · (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))))
61	54, 60	eqtrd 2775	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 · (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))))
62	7, 61	eqtrid 2787	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝑌) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 · (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))))
63		ovexd 7466	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))) ∈ V)
64		fconstmpt 5751	. . . 4 ⊢ (𝑆 × {𝐾}) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ 𝐾)
65	64	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 × {𝐾}) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ 𝐾))
66	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦)))))
67	8, 28, 63, 65, 66	offval2 7717	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 · (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))))
68	62, 67	eqtr4d 2778	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478  {csn 4631  {cpr 4633   ↦ cmpt 5231   × cxp 5687   Fn wfn 6558  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ∘_f cof 7695  ℂcc 11151  ℝcr 11152  1c1 11154   · cmul 11158  expce 16094   D cdv 25913

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-ef 16100  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-limc 25916  df-dv 25917

This theorem is referenced by:  expgrowth  44331