Theorem expgrowthi 44352

Description: Exponential growth and decay model. See expgrowth 44354 for more information. (Contributed by Steve Rodriguez, 4-Nov-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
expgrowthi.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
expgrowthi.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
expgrowthi.y0	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
expgrowthi.yt	⊢ 𝑌 = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))))

Assertion

Ref	Expression
expgrowthi	⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌))

Distinct variable groups:   𝑡,𝐶   𝑡,𝐾   𝑡,𝑆

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝑌(𝑡)

Proof of Theorem expgrowthi

Dummy variables 𝑦 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expgrowthi.yt	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))))
2		oveq2 7439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑦 → (𝐾 · 𝑡) = (𝐾 · 𝑦))
3	2	fveq2d 6910	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = 𝑦 → (exp‘(𝐾 · 𝑡)) = (exp‘(𝐾 · 𝑦)))
4	3	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑦 → (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))) = (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))
5	4	cbvmptv 5255	. . . . 5 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑡)))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))
6	1, 5	eqtri 2765	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))
7	6	oveq2i 7442	. . 3 ⊢ (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦)))))
8		expgrowthi.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
9		elpri 4649	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
10		eleq2 2830	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 = ℝ → (𝑦 ∈ 𝑆 ↔ 𝑦 ∈ ℝ))
11		recn 11245	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
12	10, 11	biimtrdi 253	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 = ℝ → (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ ℂ))
13		eleq2 2830	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 = ℂ → (𝑦 ∈ 𝑆 ↔ 𝑦 ∈ ℂ))
14	13	biimpd 229	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 = ℂ → (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ ℂ))
15	12, 14	jaoi 858	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ) → (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ ℂ))
16	8, 9, 15	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ ℂ))
17	16	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ ℂ)
18		expgrowthi.k	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
19		mulcl 11239	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐾 · 𝑦) ∈ ℂ)
20	18, 19	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐾 · 𝑦) ∈ ℂ)
21		efcl 16118	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 · 𝑦) ∈ ℂ → (exp‘(𝐾 · 𝑦)) ∈ ℂ)
22	20, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (exp‘(𝐾 · 𝑦)) ∈ ℂ)
23	17, 22	syldan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (exp‘(𝐾 · 𝑦)) ∈ ℂ)
24		ovexd 7466	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))) ∈ V)
25		cnelprrecn 11248	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
26	25	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
27	17, 20	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐾 · 𝑦) ∈ ℂ)
28	18	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ ℂ)
29		efcl 16118	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
30	29	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
31		1cnd 11256	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 1 ∈ ℂ)
32	8	dvmptid 25995	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ 1))
33	8, 17, 31, 32, 18	dvmptcmul 26002	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 · 1)))
34	18	mulridd 11278	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 1) = 𝐾)
35	34	mpteq2dv 5244	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 · 1)) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ 𝐾))
36	33, 35	eqtrd 2777	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ 𝐾))
37		dvef 26018	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂ D exp) = exp
38		eff 16117	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ exp:ℂ⟶ℂ
39		ffn 6736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (exp:ℂ⟶ℂ → exp Fn ℂ)
40	38, 39	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ exp Fn ℂ
41		dffn5 6967	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (exp Fn ℂ ↔ exp = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥)))
42	40, 41	mpbi 230	. . . . . . . . . 10 ⊢ exp = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥))
43	42	oveq2i 7442	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂ D exp) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥)))
44	37, 43, 42	3eqtr3i 2773	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥))
45	44	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥)))
46		fveq2 6906	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐾 · 𝑦) → (exp‘𝑥) = (exp‘(𝐾 · 𝑦)))
47	8, 26, 27, 28, 30, 30, 36, 45, 46, 46	dvmptco 26010	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘(𝐾 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘(𝐾 · 𝑦)) · 𝐾)))
48		mulcom 11241	. . . . . . . . 9 ⊢ (((exp‘(𝐾 · 𝑦)) ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((exp‘(𝐾 · 𝑦)) · 𝐾) = (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))
49	23, 18, 48	syl2anr 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ((exp‘(𝐾 · 𝑦)) · 𝐾) = (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))
50	49	anabss5 668	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((exp‘(𝐾 · 𝑦)) · 𝐾) = (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))
51	50	mpteq2dva 5242	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ((exp‘(𝐾 · 𝑦)) · 𝐾)) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦)))))
52	47, 51	eqtrd 2777	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (exp‘(𝐾 · 𝑦)))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦)))))
53		expgrowthi.y0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
54	8, 23, 24, 52, 53	dvmptcmul 26002	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶 · (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))))
55	53, 18, 23	3anim123i 1152	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜑 ∧ (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑦)) ∈ ℂ))
56	55	3anidm12 1421	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑦)) ∈ ℂ))
57	56	anabss5 668	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑦)) ∈ ℂ))
58		mul12 11426	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑦)) ∈ ℂ) → (𝐶 · (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦)))) = (𝐾 · (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦)))))
59	57, 58	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐶 · (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦)))) = (𝐾 · (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦)))))
60	59	mpteq2dva 5242	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶 · (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 · (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))))
61	54, 60	eqtrd 2777	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 · (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))))
62	7, 61	eqtrid 2789	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝑌) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 · (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))))
63		ovexd 7466	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))) ∈ V)
64		fconstmpt 5747	. . . 4 ⊢ (𝑆 × {𝐾}) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ 𝐾)
65	64	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 × {𝐾}) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ 𝐾))
66	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦)))))
67	8, 28, 63, 65, 66	offval2 7717	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝐾 · (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))))
68	62, 67	eqtr4d 2780	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480  {csn 4626  {cpr 4628   ↦ cmpt 5225   × cxp 5683   Fn wfn 6556  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ∘_f cof 7695  ℂcc 11153  ℝcr 11154  1c1 11156   · cmul 11160  expce 16097   D cdv 25898

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902

This theorem is referenced by:  expgrowth  44354