Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  expgrowthi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expgrowthi 41024
Description: Exponential growth and decay model. See expgrowth 41026 for more information. (Contributed by Steve Rodriguez, 4-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
expgrowthi.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
expgrowthi.k (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
expgrowthi.y0 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
expgrowthi.yt 𝑌 = (𝑡𝑆 ↦ (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))))
Assertion
Ref Expression
expgrowthi (𝜑 → (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌))
Distinct variable groups:   𝑡,𝐶   𝑡,𝐾   𝑡,𝑆
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝑌(𝑡)

Proof of Theorem expgrowthi
Dummy variables 𝑦 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 expgrowthi.yt . . . . 5 𝑌 = (𝑡𝑆 ↦ (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))))
2 oveq2 7147 . . . . . . . 8 (𝑡 = 𝑦 → (𝐾 · 𝑡) = (𝐾 · 𝑦))
32fveq2d 6653 . . . . . . 7 (𝑡 = 𝑦 → (exp‘(𝐾 · 𝑡)) = (exp‘(𝐾 · 𝑦)))
43oveq2d 7155 . . . . . 6 (𝑡 = 𝑦 → (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑡))) = (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))
54cbvmptv 5136 . . . . 5 (𝑡𝑆 ↦ (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑡)))) = (𝑦𝑆 ↦ (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))
61, 5eqtri 2824 . . . 4 𝑌 = (𝑦𝑆 ↦ (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))
76oveq2i 7150 . . 3 (𝑆 D 𝑌) = (𝑆 D (𝑦𝑆 ↦ (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦)))))
8 expgrowthi.s . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
9 elpri 4550 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
10 eleq2 2881 . . . . . . . . . 10 (𝑆 = ℝ → (𝑦𝑆𝑦 ∈ ℝ))
11 recn 10620 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
1210, 11syl6bi 256 . . . . . . . . 9 (𝑆 = ℝ → (𝑦𝑆𝑦 ∈ ℂ))
13 eleq2 2881 . . . . . . . . . 10 (𝑆 = ℂ → (𝑦𝑆𝑦 ∈ ℂ))
1413biimpd 232 . . . . . . . . 9 (𝑆 = ℂ → (𝑦𝑆𝑦 ∈ ℂ))
1512, 14jaoi 854 . . . . . . . 8 ((𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ) → (𝑦𝑆𝑦 ∈ ℂ))
168, 9, 153syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦𝑆𝑦 ∈ ℂ))
1716imp 410 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝑦 ∈ ℂ)
18 expgrowthi.k . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
19 mulcl 10614 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐾 · 𝑦) ∈ ℂ)
2018, 19sylan 583 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝐾 · 𝑦) ∈ ℂ)
21 efcl 15431 . . . . . . 7 ((𝐾 · 𝑦) ∈ ℂ → (exp‘(𝐾 · 𝑦)) ∈ ℂ)
2220, 21syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (exp‘(𝐾 · 𝑦)) ∈ ℂ)
2317, 22syldan 594 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑆) → (exp‘(𝐾 · 𝑦)) ∈ ℂ)
24 ovexd 7174 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑆) → (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))) ∈ V)
25 cnelprrecn 10623 . . . . . . . 8 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
2625a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
2717, 20syldan 594 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑆) → (𝐾 · 𝑦) ∈ ℂ)
2818adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝐾 ∈ ℂ)
29 efcl 15431 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℂ → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
3029adantl 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
31 1cnd 10629 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝑆) → 1 ∈ ℂ)
328dvmptid 24563 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆 D (𝑦𝑆𝑦)) = (𝑦𝑆 ↦ 1))
338, 17, 31, 32, 18dvmptcmul 24570 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆 D (𝑦𝑆 ↦ (𝐾 · 𝑦))) = (𝑦𝑆 ↦ (𝐾 · 1)))
3418mulid1d 10651 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾 · 1) = 𝐾)
3534mpteq2dv 5129 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦𝑆 ↦ (𝐾 · 1)) = (𝑦𝑆𝐾))
3633, 35eqtrd 2836 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 D (𝑦𝑆 ↦ (𝐾 · 𝑦))) = (𝑦𝑆𝐾))
37 dvef 24586 . . . . . . . . 9 (ℂ D exp) = exp
38 eff 15430 . . . . . . . . . . . 12 exp:ℂ⟶ℂ
39 ffn 6491 . . . . . . . . . . . 12 (exp:ℂ⟶ℂ → exp Fn ℂ)
4038, 39ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 exp Fn ℂ
41 dffn5 6703 . . . . . . . . . . 11 (exp Fn ℂ ↔ exp = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥)))
4240, 41mpbi 233 . . . . . . . . . 10 exp = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥))
4342oveq2i 7150 . . . . . . . . 9 (ℂ D exp) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥)))
4437, 43, 423eqtr3i 2832 . . . . . . . 8 (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥))
4544a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥)))
46 fveq2 6649 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐾 · 𝑦) → (exp‘𝑥) = (exp‘(𝐾 · 𝑦)))
478, 26, 27, 28, 30, 30, 36, 45, 46, 46dvmptco 24578 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆 D (𝑦𝑆 ↦ (exp‘(𝐾 · 𝑦)))) = (𝑦𝑆 ↦ ((exp‘(𝐾 · 𝑦)) · 𝐾)))
48 mulcom 10616 . . . . . . . . 9 (((exp‘(𝐾 · 𝑦)) ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((exp‘(𝐾 · 𝑦)) · 𝐾) = (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))
4923, 18, 48syl2anr 599 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝜑𝑦𝑆)) → ((exp‘(𝐾 · 𝑦)) · 𝐾) = (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))
5049anabss5 667 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑆) → ((exp‘(𝐾 · 𝑦)) · 𝐾) = (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))
5150mpteq2dva 5128 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦𝑆 ↦ ((exp‘(𝐾 · 𝑦)) · 𝐾)) = (𝑦𝑆 ↦ (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦)))))
5247, 51eqtrd 2836 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆 D (𝑦𝑆 ↦ (exp‘(𝐾 · 𝑦)))) = (𝑦𝑆 ↦ (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦)))))
53 expgrowthi.y0 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
548, 23, 24, 52, 53dvmptcmul 24570 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D (𝑦𝑆 ↦ (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))) = (𝑦𝑆 ↦ (𝐶 · (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))))
5553, 18, 233anim123i 1148 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜑 ∧ (𝜑𝑦𝑆)) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑦)) ∈ ℂ))
56553anidm12 1416 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝜑𝑦𝑆)) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑦)) ∈ ℂ))
5756anabss5 667 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑆) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑦)) ∈ ℂ))
58 mul12 10798 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ (exp‘(𝐾 · 𝑦)) ∈ ℂ) → (𝐶 · (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦)))) = (𝐾 · (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦)))))
5957, 58syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑆) → (𝐶 · (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦)))) = (𝐾 · (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦)))))
6059mpteq2dva 5128 . . . 4 (𝜑 → (𝑦𝑆 ↦ (𝐶 · (𝐾 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))) = (𝑦𝑆 ↦ (𝐾 · (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))))
6154, 60eqtrd 2836 . . 3 (𝜑 → (𝑆 D (𝑦𝑆 ↦ (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))) = (𝑦𝑆 ↦ (𝐾 · (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))))
627, 61syl5eq 2848 . 2 (𝜑 → (𝑆 D 𝑌) = (𝑦𝑆 ↦ (𝐾 · (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))))
63 ovexd 7174 . . 3 ((𝜑𝑦𝑆) → (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))) ∈ V)
64 fconstmpt 5582 . . . 4 (𝑆 × {𝐾}) = (𝑦𝑆𝐾)
6564a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑆 × {𝐾}) = (𝑦𝑆𝐾))
666a1i 11 . . 3 (𝜑𝑌 = (𝑦𝑆 ↦ (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦)))))
678, 28, 63, 65, 66offval2 7410 . 2 (𝜑 → ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌) = (𝑦𝑆 ↦ (𝐾 · (𝐶 · (exp‘(𝐾 · 𝑦))))))
6862, 67eqtr4d 2839 1 (𝜑 → (𝑆 D 𝑌) = ((𝑆 × {𝐾}) ∘f · 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wo 844  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112  Vcvv 3444  {csn 4528  {cpr 4530  cmpt 5113   × cxp 5521   Fn wfn 6323  wf 6324  cfv 6328  (class class class)co 7139  f cof 7391  cc 10528  cr 10529  1c1 10531   · cmul 10535  expce 15410   D cdv 24469
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609  ax-mulf 10610
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-seq 13369  df-exp 13430  df-fac 13634  df-bc 13663  df-hash 13691  df-shft 14421  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-limsup 14823  df-clim 14840  df-rlim 14841  df-sum 15038  df-ef 15416  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-hom 16584  df-cco 16585  df-rest 16691  df-topn 16692  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-topgen 16712  df-pt 16713  df-prds 16716  df-xrs 16770  df-qtop 16775  df-imas 16776  df-xps 16778  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-mulg 18220  df-cntz 18442  df-cmn 18903  df-psmet 20086  df-xmet 20087  df-met 20088  df-bl 20089  df-mopn 20090  df-fbas 20091  df-fg 20092  df-cnfld 20095  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-cld 21627  df-ntr 21628  df-cls 21629  df-nei 21706  df-lp 21744  df-perf 21745  df-cn 21835  df-cnp 21836  df-haus 21923  df-tx 22170  df-hmeo 22363  df-fil 22454  df-fm 22546  df-flim 22547  df-flf 22548  df-xms 22930  df-ms 22931  df-tms 22932  df-cncf 23486  df-limc 24472  df-dv 24473
This theorem is referenced by:  expgrowth  41026
  Copyright terms: Public domain W3C validator