MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmoleub2lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmoleub2lem3 24631
Description: Lemma for nmoleub2a 24633 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 29-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoleub2.n 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmoleub2.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘†)
nmoleub2.l 𝐿 = (normβ€˜π‘†)
nmoleub2.m 𝑀 = (normβ€˜π‘‡)
nmoleub2.g 𝐺 = (Scalarβ€˜π‘†)
nmoleub2.w 𝐾 = (Baseβ€˜πΊ)
nmoleub2.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (NrmMod ∩ β„‚Mod))
nmoleub2.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (NrmMod ∩ β„‚Mod))
nmoleub2.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
nmoleub2.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
nmoleub2.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
nmoleub2a.5 (πœ‘ β†’ β„š βŠ† 𝐾)
nmoleub2lem3.p Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘†)
nmoleub2lem3.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
nmoleub2lem3.2 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝐴)
nmoleub2lem3.3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
nmoleub2lem3.4 (πœ‘ β†’ 𝐡 β‰  (0gβ€˜π‘†))
nmoleub2lem3.5 (πœ‘ β†’ ((π‘Ÿ Β· 𝐡) ∈ 𝑉 β†’ ((πΏβ€˜(π‘Ÿ Β· 𝐡)) < 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜(π‘Ÿ Β· 𝐡))) / 𝑅) ≀ 𝐴)))
nmoleub2lem3.6 (πœ‘ β†’ Β¬ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅)) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π΅)))
Assertion
Ref Expression
nmoleub2lem3 Β¬ πœ‘
Distinct variable groups:   𝐴,π‘Ÿ   𝐹,π‘Ÿ   𝐿,π‘Ÿ   𝑀,π‘Ÿ   πœ‘,π‘Ÿ   𝐡,π‘Ÿ   𝑅,π‘Ÿ
Allowed substitution hints:   𝑆(π‘Ÿ)   𝑇(π‘Ÿ)   Β· (π‘Ÿ)   𝐺(π‘Ÿ)   𝐾(π‘Ÿ)   𝑁(π‘Ÿ)   𝑉(π‘Ÿ)

Proof of Theorem nmoleub2lem3
StepHypRef Expression
1 simprl 770 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ ((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ)
2 qre 12937 . . . . . 6 (π‘Ÿ ∈ β„š β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
32ad2antlr 726 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
4 nmoleub2lem3.1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
5 nmoleub2.r . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
65rpred 13016 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
74, 6remulcld 11244 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· 𝑅) ∈ ℝ)
8 nmoleub2.t . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (NrmMod ∩ β„‚Mod))
98elin1d 4199 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ NrmMod)
10 nlmngp 24194 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ NrmMod β†’ 𝑇 ∈ NrmGrp)
119, 10syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ NrmGrp)
12 nmoleub2.f . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
13 nmoleub2.v . . . . . . . . . . . 12 𝑉 = (Baseβ€˜π‘†)
14 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (Baseβ€˜π‘‡) = (Baseβ€˜π‘‡)
1513, 14lmhmf 20645 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ 𝐹:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘‡))
1612, 15syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘‡))
17 nmoleub2lem3.3 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
1816, 17ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ (Baseβ€˜π‘‡))
19 nmoleub2.m . . . . . . . . . 10 𝑀 = (normβ€˜π‘‡)
2014, 19nmcl 24125 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ (Baseβ€˜π‘‡)) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅)) ∈ ℝ)
2111, 18, 20syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅)) ∈ ℝ)
22 0red 11217 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
23 nmoleub2.s . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (NrmMod ∩ β„‚Mod))
2423elin1d 4199 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ NrmMod)
25 nlmngp 24194 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ NrmMod β†’ 𝑆 ∈ NrmGrp)
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ NrmGrp)
27 nmoleub2.l . . . . . . . . . . . 12 𝐿 = (normβ€˜π‘†)
2813, 27nmcl 24125 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (πΏβ€˜π΅) ∈ ℝ)
2926, 17, 28syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜π΅) ∈ ℝ)
304, 29remulcld 11244 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π΅)) ∈ ℝ)
31 nmoleub2lem3.2 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝐴)
3213, 27nmge0 24126 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ 0 ≀ (πΏβ€˜π΅))
3326, 17, 32syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (πΏβ€˜π΅))
344, 29, 31, 33mulge0d 11791 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π΅)))
35 nmoleub2lem3.6 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ Β¬ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅)) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π΅)))
3630, 21ltnled 11361 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· (πΏβ€˜π΅)) < (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅)) ↔ Β¬ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅)) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π΅))))
3735, 36mpbird 257 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π΅)) < (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅)))
3822, 30, 21, 34, 37lelttrd 11372 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 < (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅)))
3921, 38elrpd 13013 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅)) ∈ ℝ+)
407, 39rerpdivcld 13047 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) ∈ ℝ)
4140ad2antrr 725 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ ((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) ∈ ℝ)
4212ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
43 nmoleub2a.5 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ β„š βŠ† 𝐾)
4443sselda 3983 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐾)
4544adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐾)
4617ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
47 nmoleub2.g . . . . . . . . . . . . 13 𝐺 = (Scalarβ€˜π‘†)
48 nmoleub2.w . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 = (Baseβ€˜πΊ)
49 nmoleub2lem3.p . . . . . . . . . . . . 13 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘†)
50 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 ( ·𝑠 β€˜π‘‡) = ( ·𝑠 β€˜π‘‡)
5147, 48, 13, 49, 50lmhmlin 20646 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (πΉβ€˜(π‘Ÿ Β· 𝐡)) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘‡)(πΉβ€˜π΅)))
5242, 45, 46, 51syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ (πΉβ€˜(π‘Ÿ Β· 𝐡)) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘‡)(πΉβ€˜π΅)))
5352fveq2d 6896 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜(π‘Ÿ Β· 𝐡))) = (π‘€β€˜(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘‡)(πΉβ€˜π΅))))
549ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ 𝑇 ∈ NrmMod)
55 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Scalarβ€˜π‘‡) = (Scalarβ€˜π‘‡)
5647, 55lmhmsca 20641 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ (Scalarβ€˜π‘‡) = 𝐺)
5742, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ (Scalarβ€˜π‘‡) = 𝐺)
5857fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) = (Baseβ€˜πΊ))
5958, 48eqtr4di 2791 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) = 𝐾)
6045, 59eleqtrrd 2837 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)))
6118ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ (Baseβ€˜π‘‡))
62 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))
63 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (normβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) = (normβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))
6414, 19, 50, 55, 62, 63nmvs 24193 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ NrmMod ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ (Baseβ€˜π‘‡)) β†’ (π‘€β€˜(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘‡)(πΉβ€˜π΅))) = (((normβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))β€˜π‘Ÿ) Β· (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))))
6554, 60, 61, 64syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ (π‘€β€˜(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘‡)(πΉβ€˜π΅))) = (((normβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))β€˜π‘Ÿ) Β· (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))))
6657fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ (normβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) = (normβ€˜πΊ))
6766fveq1d 6894 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ ((normβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))β€˜π‘Ÿ) = ((normβ€˜πΊ)β€˜π‘Ÿ))
6823elin2d 4200 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ β„‚Mod)
6968ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ 𝑆 ∈ β„‚Mod)
7047, 48clmabs 24599 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ∈ β„‚Mod ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐾) β†’ (absβ€˜π‘Ÿ) = ((normβ€˜πΊ)β€˜π‘Ÿ))
7169, 45, 70syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ (absβ€˜π‘Ÿ) = ((normβ€˜πΊ)β€˜π‘Ÿ))
72 0red 11217 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ 0 ∈ ℝ)
735rpge0d 13020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝑅)
744, 6, 31, 73mulge0d 11791 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (𝐴 Β· 𝑅))
75 divge0 12083 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 Β· 𝑅) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐴 Β· 𝑅)) ∧ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅)) ∈ ℝ ∧ 0 < (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅)))) β†’ 0 ≀ ((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))))
767, 74, 21, 38, 75syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 0 ≀ ((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))))
7776ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ 0 ≀ ((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))))
7872, 41, 3, 77, 1lelttrd 11372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ 0 < π‘Ÿ)
7972, 3, 78ltled 11362 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ 0 ≀ π‘Ÿ)
803, 79absidd 15369 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ (absβ€˜π‘Ÿ) = π‘Ÿ)
8171, 80eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ ((normβ€˜πΊ)β€˜π‘Ÿ) = π‘Ÿ)
8267, 81eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ ((normβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))β€˜π‘Ÿ) = π‘Ÿ)
8382oveq1d 7424 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ (((normβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))β€˜π‘Ÿ) Β· (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) = (π‘Ÿ Β· (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))))
8453, 65, 833eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜(π‘Ÿ Β· 𝐡))) = (π‘Ÿ Β· (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))))
8584oveq1d 7424 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜(π‘Ÿ Β· 𝐡))) / 𝑅) = ((π‘Ÿ Β· (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) / 𝑅))
8613, 47, 49, 48clmvscl 24604 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ β„‚Mod ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Ÿ Β· 𝐡) ∈ 𝑉)
8769, 45, 46, 86syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ (π‘Ÿ Β· 𝐡) ∈ 𝑉)
8824ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ 𝑆 ∈ NrmMod)
89 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (normβ€˜πΊ) = (normβ€˜πΊ)
9013, 27, 49, 47, 48, 89nmvs 24193 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ NrmMod ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (πΏβ€˜(π‘Ÿ Β· 𝐡)) = (((normβ€˜πΊ)β€˜π‘Ÿ) Β· (πΏβ€˜π΅)))
9188, 45, 46, 90syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ (πΏβ€˜(π‘Ÿ Β· 𝐡)) = (((normβ€˜πΊ)β€˜π‘Ÿ) Β· (πΏβ€˜π΅)))
9281oveq1d 7424 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ (((normβ€˜πΊ)β€˜π‘Ÿ) Β· (πΏβ€˜π΅)) = (π‘Ÿ Β· (πΏβ€˜π΅)))
9391, 92eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ (πΏβ€˜(π‘Ÿ Β· 𝐡)) = (π‘Ÿ Β· (πΏβ€˜π΅)))
94 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))
956ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
96 nmoleub2lem3.4 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐡 β‰  (0gβ€˜π‘†))
97 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘†)
9813, 27, 97nmrpcl 24129 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 β‰  (0gβ€˜π‘†)) β†’ (πΏβ€˜π΅) ∈ ℝ+)
9926, 17, 96, 98syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜π΅) ∈ ℝ+)
10099rpregt0d 13022 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((πΏβ€˜π΅) ∈ ℝ ∧ 0 < (πΏβ€˜π΅)))
101100ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ ((πΏβ€˜π΅) ∈ ℝ ∧ 0 < (πΏβ€˜π΅)))
102 ltmuldiv 12087 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ ((πΏβ€˜π΅) ∈ ℝ ∧ 0 < (πΏβ€˜π΅))) β†’ ((π‘Ÿ Β· (πΏβ€˜π΅)) < 𝑅 ↔ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅))))
1033, 95, 101, 102syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ ((π‘Ÿ Β· (πΏβ€˜π΅)) < 𝑅 ↔ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅))))
10494, 103mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ (π‘Ÿ Β· (πΏβ€˜π΅)) < 𝑅)
10593, 104eqbrtrd 5171 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ (πΏβ€˜(π‘Ÿ Β· 𝐡)) < 𝑅)
106 nmoleub2lem3.5 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((π‘Ÿ Β· 𝐡) ∈ 𝑉 β†’ ((πΏβ€˜(π‘Ÿ Β· 𝐡)) < 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜(π‘Ÿ Β· 𝐡))) / 𝑅) ≀ 𝐴)))
107106ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ ((π‘Ÿ Β· 𝐡) ∈ 𝑉 β†’ ((πΏβ€˜(π‘Ÿ Β· 𝐡)) < 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜(π‘Ÿ Β· 𝐡))) / 𝑅) ≀ 𝐴)))
10887, 105, 107mp2d 49 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜(π‘Ÿ Β· 𝐡))) / 𝑅) ≀ 𝐴)
10985, 108eqbrtrrd 5173 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ ((π‘Ÿ Β· (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) / 𝑅) ≀ 𝐴)
11021ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅)) ∈ ℝ)
1113, 110remulcld 11244 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ (π‘Ÿ Β· (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) ∈ ℝ)
1124ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
1135ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
114111, 112, 113ledivmul2d 13070 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ (((π‘Ÿ Β· (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) / 𝑅) ≀ 𝐴 ↔ (π‘Ÿ Β· (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) ≀ (𝐴 Β· 𝑅)))
115109, 114mpbid 231 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ (π‘Ÿ Β· (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) ≀ (𝐴 Β· 𝑅))
116112, 95remulcld 11244 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ (𝐴 Β· 𝑅) ∈ ℝ)
11721, 38jca 513 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅)) ∈ ℝ ∧ 0 < (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))))
118117ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅)) ∈ ℝ ∧ 0 < (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))))
119 lemuldiv 12094 . . . . . . 7 ((π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (𝐴 Β· 𝑅) ∈ ℝ ∧ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅)) ∈ ℝ ∧ 0 < (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅)))) β†’ ((π‘Ÿ Β· (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) ≀ (𝐴 Β· 𝑅) ↔ π‘Ÿ ≀ ((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅)))))
1203, 116, 118, 119syl3anc 1372 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ ((π‘Ÿ Β· (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) ≀ (𝐴 Β· 𝑅) ↔ π‘Ÿ ≀ ((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅)))))
121115, 120mpbid 231 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ π‘Ÿ ≀ ((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))))
1223, 41, 121lensymd 11365 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ Β¬ ((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ)
1231, 122pm2.21dd 194 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅)) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π΅)))
1246, 99rerpdivcld 13047 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)) ∈ ℝ)
1254recnd 11242 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
1266recnd 11242 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ β„‚)
12729recnd 11242 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜π΅) ∈ β„‚)
128 mulass 11198 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑅 ∈ β„‚ ∧ (πΏβ€˜π΅) ∈ β„‚) β†’ ((𝐴 Β· 𝑅) Β· (πΏβ€˜π΅)) = (𝐴 Β· (𝑅 Β· (πΏβ€˜π΅))))
129 mul12 11379 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑅 ∈ β„‚ ∧ (πΏβ€˜π΅) ∈ β„‚) β†’ (𝐴 Β· (𝑅 Β· (πΏβ€˜π΅))) = (𝑅 Β· (𝐴 Β· (πΏβ€˜π΅))))
130128, 129eqtrd 2773 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑅 ∈ β„‚ ∧ (πΏβ€˜π΅) ∈ β„‚) β†’ ((𝐴 Β· 𝑅) Β· (πΏβ€˜π΅)) = (𝑅 Β· (𝐴 Β· (πΏβ€˜π΅))))
131125, 126, 127, 130syl3anc 1372 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· 𝑅) Β· (πΏβ€˜π΅)) = (𝑅 Β· (𝐴 Β· (πΏβ€˜π΅))))
13230, 21, 5, 37ltmul2dd 13072 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑅 Β· (𝐴 Β· (πΏβ€˜π΅))) < (𝑅 Β· (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))))
133131, 132eqbrtrd 5171 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· 𝑅) Β· (πΏβ€˜π΅)) < (𝑅 Β· (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))))
134 lt2mul2div 12092 . . . . . 6 ((((𝐴 Β· 𝑅) ∈ ℝ ∧ ((πΏβ€˜π΅) ∈ ℝ ∧ 0 < (πΏβ€˜π΅))) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅)) ∈ ℝ ∧ 0 < (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))))) β†’ (((𝐴 Β· 𝑅) Β· (πΏβ€˜π΅)) < (𝑅 Β· (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) ↔ ((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅))))
1357, 100, 6, 117, 134syl22anc 838 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((𝐴 Β· 𝑅) Β· (πΏβ€˜π΅)) < (𝑅 Β· (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) ↔ ((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅))))
136133, 135mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))
137 qbtwnre 13178 . . . 4 ((((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) ∈ ℝ ∧ (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅))) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„š (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅))))
13840, 124, 136, 137syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„š (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅))))
139123, 138r19.29a 3163 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅)) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π΅)))
140139, 35pm2.65i 193 1 Β¬ πœ‘
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆƒwrex 3071   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110   Β· cmul 11115  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249   / cdiv 11871  β„šcq 12932  β„+crp 12974  abscabs 15181  Basecbs 17144  Scalarcsca 17200   ·𝑠 cvsca 17201  0gc0g 17385   LMHom clmhm 20630  normcnm 24085  NrmGrpcngp 24086  NrmModcnlm 24089   normOp cnmo 24222  β„‚Modcclm 24578
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-fz 13485  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-0g 17387  df-topgen 17389  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-subg 19003  df-ghm 19090  df-cmn 19650  df-mgp 19988  df-ring 20058  df-cring 20059  df-subrg 20317  df-lmod 20473  df-lmhm 20633  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-xms 23826  df-ms 23827  df-nm 24091  df-ngp 24092  df-nlm 24095  df-clm 24579
This theorem is referenced by:  nmoleub2lem2  24632
  Copyright terms: Public domain W3C validator