nmoleub2lem3 - Metamath Proof Explorer

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Theorem nmoleub2lem3 24964

Description: Lemma for nmoleub2a 24966 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 29-Sep-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
nmoleub2.n	⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmoleub2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmoleub2.l	⊢ 𝐿 = (norm‘𝑆)
nmoleub2.m	⊢ 𝑀 = (norm‘𝑇)
nmoleub2.g	⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝑆)
nmoleub2.w	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐺)
nmoleub2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
nmoleub2.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
nmoleub2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
nmoleub2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ^*)
nmoleub2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ⁺)
nmoleub2a.5	⊢ (𝜑 → ℚ ⊆ 𝐾)
nmoleub2lem3.p	⊢ · = ( ·_𝑠 ‘𝑆)
nmoleub2lem3.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
nmoleub2lem3.2	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
nmoleub2lem3.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
nmoleub2lem3.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ (0_g‘𝑆))
nmoleub2lem3.5	⊢ (𝜑 → ((𝑟 · 𝐵) ∈ 𝑉 → ((𝐿‘(𝑟 · 𝐵)) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘(𝑟 · 𝐵))) / 𝑅) ≤ 𝐴)))
nmoleub2lem3.6	⊢ (𝜑 → ¬ (𝑀‘(𝐹‘𝐵)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝐵)))

**Assertion**
Ref	Expression
nmoleub2lem3	⊢ ¬ 𝜑

Distinct variable groups: 𝐴,𝑟 𝐹,𝑟 𝐿,𝑟 𝑀,𝑟 𝜑,𝑟 𝐵,𝑟 𝑅,𝑟 Allowed substitution hints: 𝑆(𝑟) 𝑇(𝑟) · (𝑟) 𝐺(𝑟) 𝐾(𝑟) 𝑁(𝑟) 𝑉(𝑟)

**Proof of Theorem nmoleub2lem3**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 768	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → ((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟)
2		qre 12934	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 ∈ ℚ → 𝑟 ∈ ℝ)
3	2	ad2antlr 724	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → 𝑟 ∈ ℝ)
4		nmoleub2lem3.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5		nmoleub2.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ⁺)
6	5	rpred 13013	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
7	4, 6	remulcld 11241	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑅) ∈ ℝ)
8		nmoleub2.t	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
9	8	elin1d 4190	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ NrmMod)
10		nlmngp 24516	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∈ NrmMod → 𝑇 ∈ NrmGrp)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ NrmGrp)
12		nmoleub2.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
13		nmoleub2.v	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
14		eqid 2724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
15	13, 14	lmhmf 20872	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
16	12, 15	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
17		nmoleub2lem3.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
18	16, 17	ffvelcdmd 7077	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘𝑇))
19		nmoleub2.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑀 = (norm‘𝑇)
20	14, 19	nmcl 24447	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘𝑇)) → (𝑀‘(𝐹‘𝐵)) ∈ ℝ)
21	11, 18, 20	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐹‘𝐵)) ∈ ℝ)
22		0red 11214	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
23		nmoleub2.s	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
24	23	elin1d 4190	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ NrmMod)
25		nlmngp 24516	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ NrmMod → 𝑆 ∈ NrmGrp)
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ NrmGrp)
27		nmoleub2.l	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐿 = (norm‘𝑆)
28	13, 27	nmcl 24447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐿‘𝐵) ∈ ℝ)
29	26, 17, 28	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐵) ∈ ℝ)
30	4, 29	remulcld 11241	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐿‘𝐵)) ∈ ℝ)
31		nmoleub2lem3.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
32	13, 27	nmge0 24448	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 0 ≤ (𝐿‘𝐵))
33	26, 17, 32	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐿‘𝐵))
34	4, 29, 31, 33	mulge0d 11788	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝐵)))
35		nmoleub2lem3.6	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑀‘(𝐹‘𝐵)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝐵)))
36	30, 21	ltnled 11358	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · (𝐿‘𝐵)) < (𝑀‘(𝐹‘𝐵)) ↔ ¬ (𝑀‘(𝐹‘𝐵)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝐵))))
37	35, 36	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐿‘𝐵)) < (𝑀‘(𝐹‘𝐵)))
38	22, 30, 21, 34, 37	lelttrd 11369	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝑀‘(𝐹‘𝐵)))
39	21, 38	elrpd 13010	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐹‘𝐵)) ∈ ℝ⁺)
40	7, 39	rerpdivcld 13044	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) ∈ ℝ)
41	40	ad2antrr 723	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → ((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) ∈ ℝ)
42	12	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
43		nmoleub2a.5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ℚ ⊆ 𝐾)
44	43	sselda 3974	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → 𝑟 ∈ 𝐾)
45	44	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → 𝑟 ∈ 𝐾)
46	17	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → 𝐵 ∈ 𝑉)
47		nmoleub2.g	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝑆)
48		nmoleub2.w	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐺)
49		nmoleub2lem3.p	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ · = ( ·_𝑠 ‘𝑆)
50		eqid 2724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ( ·_𝑠 ‘𝑇) = ( ·_𝑠 ‘𝑇)
51	47, 48, 13, 49, 50	lmhmlin 20873	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐹‘(𝑟 · 𝐵)) = (𝑟( ·_𝑠 ‘𝑇)(𝐹‘𝐵)))
52	42, 45, 46, 51	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → (𝐹‘(𝑟 · 𝐵)) = (𝑟( ·_𝑠 ‘𝑇)(𝐹‘𝐵)))
53	52	fveq2d 6885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → (𝑀‘(𝐹‘(𝑟 · 𝐵))) = (𝑀‘(𝑟( ·_𝑠 ‘𝑇)(𝐹‘𝐵))))
54	9	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → 𝑇 ∈ NrmMod)
55		eqid 2724	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
56	47, 55	lmhmsca 20868	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → (Scalar‘𝑇) = 𝐺)
57	42, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → (Scalar‘𝑇) = 𝐺)
58	57	fveq2d 6885	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → (Base‘(Scalar‘𝑇)) = (Base‘𝐺))
59	58, 48	eqtr4di 2782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → (Base‘(Scalar‘𝑇)) = 𝐾)
60	45, 59	eleqtrrd 2828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)))
61	18	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → (𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘𝑇))
62		eqid 2724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑇)) = (Base‘(Scalar‘𝑇))
63		eqid 2724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (norm‘(Scalar‘𝑇)) = (norm‘(Scalar‘𝑇))
64	14, 19, 50, 55, 62, 63	nmvs 24515	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑇 ∈ NrmMod ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘𝑇)) → (𝑀‘(𝑟( ·_𝑠 ‘𝑇)(𝐹‘𝐵))) = (((norm‘(Scalar‘𝑇))‘𝑟) · (𝑀‘(𝐹‘𝐵))))
65	54, 60, 61, 64	syl3anc 1368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → (𝑀‘(𝑟( ·_𝑠 ‘𝑇)(𝐹‘𝐵))) = (((norm‘(Scalar‘𝑇))‘𝑟) · (𝑀‘(𝐹‘𝐵))))
66	57	fveq2d 6885	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → (norm‘(Scalar‘𝑇)) = (norm‘𝐺))
67	66	fveq1d 6883	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → ((norm‘(Scalar‘𝑇))‘𝑟) = ((norm‘𝐺)‘𝑟))
68	23	elin2d 4191	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂMod)
69	68	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → 𝑆 ∈ ℂMod)
70	47, 48	clmabs 24932	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂMod ∧ 𝑟 ∈ 𝐾) → (abs‘𝑟) = ((norm‘𝐺)‘𝑟))
71	69, 45, 70	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → (abs‘𝑟) = ((norm‘𝐺)‘𝑟))
72		0red 11214	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → 0 ∈ ℝ)
73	5	rpge0d 13017	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑅)
74	4, 6, 31, 73	mulge0d 11788	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝑅))
75		divge0 12080	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 · 𝑅) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝑅)) ∧ ((𝑀‘(𝐹‘𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑀‘(𝐹‘𝐵)))) → 0 ≤ ((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))))
76	7, 74, 21, 38, 75	syl22anc 836	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))))
77	76	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → 0 ≤ ((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))))
78	72, 41, 3, 77, 1	lelttrd 11369	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → 0 < 𝑟)
79	72, 3, 78	ltled 11359	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → 0 ≤ 𝑟)
80	3, 79	absidd 15366	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → (abs‘𝑟) = 𝑟)
81	71, 80	eqtr3d 2766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → ((norm‘𝐺)‘𝑟) = 𝑟)
82	67, 81	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → ((norm‘(Scalar‘𝑇))‘𝑟) = 𝑟)
83	82	oveq1d 7416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → (((norm‘(Scalar‘𝑇))‘𝑟) · (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) = (𝑟 · (𝑀‘(𝐹‘𝐵))))
84	53, 65, 83	3eqtrd 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → (𝑀‘(𝐹‘(𝑟 · 𝐵))) = (𝑟 · (𝑀‘(𝐹‘𝐵))))
85	84	oveq1d 7416	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → ((𝑀‘(𝐹‘(𝑟 · 𝐵))) / 𝑅) = ((𝑟 · (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) / 𝑅))
86	13, 47, 49, 48	clmvscl 24937	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂMod ∧ 𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑟 · 𝐵) ∈ 𝑉)
87	69, 45, 46, 86	syl3anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → (𝑟 · 𝐵) ∈ 𝑉)
88	24	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → 𝑆 ∈ NrmMod)
89		eqid 2724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (norm‘𝐺) = (norm‘𝐺)
90	13, 27, 49, 47, 48, 89	nmvs 24515	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐿‘(𝑟 · 𝐵)) = (((norm‘𝐺)‘𝑟) · (𝐿‘𝐵)))
91	88, 45, 46, 90	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → (𝐿‘(𝑟 · 𝐵)) = (((norm‘𝐺)‘𝑟) · (𝐿‘𝐵)))
92	81	oveq1d 7416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → (((norm‘𝐺)‘𝑟) · (𝐿‘𝐵)) = (𝑟 · (𝐿‘𝐵)))
93	91, 92	eqtrd 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → (𝐿‘(𝑟 · 𝐵)) = (𝑟 · (𝐿‘𝐵)))
94		simprr 770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))
95	6	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → 𝑅 ∈ ℝ)
96		nmoleub2lem3.4	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ (0_g‘𝑆))
97		eqid 2724	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0_g‘𝑆) = (0_g‘𝑆)
98	13, 27, 97	nmrpcl 24451	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ (0_g‘𝑆)) → (𝐿‘𝐵) ∈ ℝ⁺)
99	26, 17, 96, 98	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐵) ∈ ℝ⁺)
100	99	rpregt0d 13019	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐿‘𝐵)))
101	100	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → ((𝐿‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐿‘𝐵)))
102		ltmuldiv 12084	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ ((𝐿‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐿‘𝐵))) → ((𝑟 · (𝐿‘𝐵)) < 𝑅 ↔ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵))))
103	3, 95, 101, 102	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → ((𝑟 · (𝐿‘𝐵)) < 𝑅 ↔ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵))))
104	94, 103	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → (𝑟 · (𝐿‘𝐵)) < 𝑅)
105	93, 104	eqbrtrd 5160	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → (𝐿‘(𝑟 · 𝐵)) < 𝑅)
106		nmoleub2lem3.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑟 · 𝐵) ∈ 𝑉 → ((𝐿‘(𝑟 · 𝐵)) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘(𝑟 · 𝐵))) / 𝑅) ≤ 𝐴)))
107	106	ad2antrr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → ((𝑟 · 𝐵) ∈ 𝑉 → ((𝐿‘(𝑟 · 𝐵)) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘(𝑟 · 𝐵))) / 𝑅) ≤ 𝐴)))
108	87, 105, 107	mp2d 49	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → ((𝑀‘(𝐹‘(𝑟 · 𝐵))) / 𝑅) ≤ 𝐴)
109	85, 108	eqbrtrrd 5162	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → ((𝑟 · (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) / 𝑅) ≤ 𝐴)
110	21	ad2antrr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → (𝑀‘(𝐹‘𝐵)) ∈ ℝ)
111	3, 110	remulcld 11241	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → (𝑟 · (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) ∈ ℝ)
112	4	ad2antrr 723	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
113	5	ad2antrr 723	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → 𝑅 ∈ ℝ⁺)
114	111, 112, 113	ledivmul2d 13067	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → (((𝑟 · (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) / 𝑅) ≤ 𝐴 ↔ (𝑟 · (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) ≤ (𝐴 · 𝑅)))
115	109, 114	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → (𝑟 · (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) ≤ (𝐴 · 𝑅))
116	112, 95	remulcld 11241	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → (𝐴 · 𝑅) ∈ ℝ)
117	21, 38	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝐹‘𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑀‘(𝐹‘𝐵))))
118	117	ad2antrr 723	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → ((𝑀‘(𝐹‘𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑀‘(𝐹‘𝐵))))
119		lemuldiv 12091	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑅) ∈ ℝ ∧ ((𝑀‘(𝐹‘𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑀‘(𝐹‘𝐵)))) → ((𝑟 · (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) ≤ (𝐴 · 𝑅) ↔ 𝑟 ≤ ((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵)))))
120	3, 116, 118, 119	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → ((𝑟 · (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) ≤ (𝐴 · 𝑅) ↔ 𝑟 ≤ ((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵)))))
121	115, 120	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → 𝑟 ≤ ((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))))
122	3, 41, 121	lensymd 11362	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → ¬ ((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟)
123	1, 122	pm2.21dd 194	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → (𝑀‘(𝐹‘𝐵)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝐵)))
124	6, 99	rerpdivcld 13044	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 / (𝐿‘𝐵)) ∈ ℝ)
125	4	recnd 11239	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
126	6	recnd 11239	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ)
127	29	recnd 11239	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐵) ∈ ℂ)
128		mulass 11194	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (𝐿‘𝐵) ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑅) · (𝐿‘𝐵)) = (𝐴 · (𝑅 · (𝐿‘𝐵))))
129		mul12 11376	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (𝐿‘𝐵) ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑅 · (𝐿‘𝐵))) = (𝑅 · (𝐴 · (𝐿‘𝐵))))
130	128, 129	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (𝐿‘𝐵) ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑅) · (𝐿‘𝐵)) = (𝑅 · (𝐴 · (𝐿‘𝐵))))
131	125, 126, 127, 130	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑅) · (𝐿‘𝐵)) = (𝑅 · (𝐴 · (𝐿‘𝐵))))
132	30, 21, 5, 37	ltmul2dd 13069	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 · (𝐴 · (𝐿‘𝐵))) < (𝑅 · (𝑀‘(𝐹‘𝐵))))
133	131, 132	eqbrtrd 5160	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑅) · (𝐿‘𝐵)) < (𝑅 · (𝑀‘(𝐹‘𝐵))))
134		lt2mul2div 12089	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 · 𝑅) ∈ ℝ ∧ ((𝐿‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐿‘𝐵))) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ((𝑀‘(𝐹‘𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑀‘(𝐹‘𝐵))))) → (((𝐴 · 𝑅) · (𝐿‘𝐵)) < (𝑅 · (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) ↔ ((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < (𝑅 / (𝐿‘𝐵))))
135	7, 100, 6, 117, 134	syl22anc 836	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝑅) · (𝐿‘𝐵)) < (𝑅 · (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) ↔ ((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < (𝑅 / (𝐿‘𝐵))))
136	133, 135	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))
137		qbtwnre 13175	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) ∈ ℝ ∧ (𝑅 / (𝐿‘𝐵)) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < (𝑅 / (𝐿‘𝐵))) → ∃𝑟 ∈ ℚ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵))))
138	40, 124, 136, 137	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℚ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵))))
139	123, 138	r19.29a 3154	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐹‘𝐵)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝐵)))
140	139, 35	pm2.65i 193	1 ⊢ ¬ 𝜑

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 395 ∧ w3a 1084 = wceq 1533 ∈ wcel 2098 ≠ wne 2932 ∃wrex 3062 ∩ cin 3939 ⊆ wss 3940 class class class wbr 5138 ⟶wf 6529 ‘cfv 6533 (class class class)co 7401 ℂcc 11104 ℝcr 11105 0cc0 11106 · cmul 11111 ℝ^*cxr 11244 < clt 11245 ≤ cle 11246 / cdiv 11868 ℚcq 12929 ℝ⁺crp 12971 abscabs 15178 Basecbs 17143 Scalarcsca 17199 ·_𝑠 cvsca 17200 0_gc0g 17384 LMHom clmhm 20857 normcnm 24407 NrmGrpcngp 24408 NrmModcnlm 24411 normOp cnmo 24544 ℂModcclm 24911

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2695 ax-rep 5275 ax-sep 5289 ax-nul 5296 ax-pow 5353 ax-pr 5417 ax-un 7718 ax-cnex 11162 ax-resscn 11163 ax-1cn 11164 ax-icn 11165 ax-addcl 11166 ax-addrcl 11167 ax-mulcl 11168 ax-mulrcl 11169 ax-mulcom 11170 ax-addass 11171 ax-mulass 11172 ax-distr 11173 ax-i2m1 11174 ax-1ne0 11175 ax-1rid 11176 ax-rnegex 11177 ax-rrecex 11178 ax-cnre 11179 ax-pre-lttri 11180 ax-pre-lttrn 11181 ax-pre-ltadd 11182 ax-pre-mulgt0 11183 ax-pre-sup 11184 ax-addf 11185 ax-mulf 11186

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2526 df-eu 2555 df-clab 2702 df-cleq 2716 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2933 df-nel 3039 df-ral 3054 df-rex 3063 df-rmo 3368 df-reu 3369 df-rab 3425 df-v 3468 df-sbc 3770 df-csb 3886 df-dif 3943 df-un 3945 df-in 3947 df-ss 3957 df-pss 3959 df-nul 4315 df-if 4521 df-pw 4596 df-sn 4621 df-pr 4623 df-tp 4625 df-op 4627 df-uni 4900 df-iun 4989 df-br 5139 df-opab 5201 df-mpt 5222 df-tr 5256 df-id 5564 df-eprel 5570 df-po 5578 df-so 5579 df-fr 5621 df-we 5623 df-xp 5672 df-rel 5673 df-cnv 5674 df-co 5675 df-dm 5676 df-rn 5677 df-res 5678 df-ima 5679 df-pred 6290 df-ord 6357 df-on 6358 df-lim 6359 df-suc 6360 df-iota 6485 df-fun 6535 df-fn 6536 df-f 6537 df-f1 6538 df-fo 6539 df-f1o 6540 df-fv 6541 df-riota 7357 df-ov 7404 df-oprab 7405 df-mpo 7406 df-om 7849 df-1st 7968 df-2nd 7969 df-frecs 8261 df-wrecs 8292 df-recs 8366 df-rdg 8405 df-1o 8461 df-er 8699 df-map 8818 df-en 8936 df-dom 8937 df-sdom 8938 df-fin 8939 df-sup 9433 df-inf 9434 df-pnf 11247 df-mnf 11248 df-xr 11249 df-ltxr 11250 df-le 11251 df-sub 11443 df-neg 11444 df-div 11869 df-nn 12210 df-2 12272 df-3 12273 df-4 12274 df-5 12275 df-6 12276 df-7 12277 df-8 12278 df-9 12279 df-n0 12470 df-z 12556 df-dec 12675 df-uz 12820 df-q 12930 df-rp 12972 df-xneg 13089 df-xadd 13090 df-xmul 13091 df-fz 13482 df-seq 13964 df-exp 14025 df-cj 15043 df-re 15044 df-im 15045 df-sqrt 15179 df-abs 15180 df-struct 17079 df-sets 17096 df-slot 17114 df-ndx 17126 df-base 17144 df-ress 17173 df-plusg 17209 df-mulr 17210 df-starv 17211 df-tset 17215 df-ple 17216 df-ds 17218 df-unif 17219 df-0g 17386 df-topgen 17388 df-mgm 18563 df-sgrp 18642 df-mnd 18658 df-grp 18856 df-subg 19040 df-ghm 19129 df-cmn 19692 df-mgp 20030 df-ring 20130 df-cring 20131 df-subrg 20461 df-lmod 20698 df-lmhm 20860 df-psmet 21220 df-xmet 21221 df-met 21222 df-bl 21223 df-mopn 21224 df-cnfld 21229 df-top 22718 df-topon 22735 df-topsp 22757 df-bases 22771 df-xms 24148 df-ms 24149 df-nm 24413 df-ngp 24414 df-nlm 24417 df-clm 24912

This theorem is referenced by: nmoleub2lem2 24965

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