nmoleub2lem3 - Metamath Proof Explorer

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Theorem nmoleub2lem3 25042

Description: Lemma for nmoleub2a 25044 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 29-Sep-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
nmoleub2.n	⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmoleub2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmoleub2.l	⊢ 𝐿 = (norm‘𝑆)
nmoleub2.m	⊢ 𝑀 = (norm‘𝑇)
nmoleub2.g	⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝑆)
nmoleub2.w	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐺)
nmoleub2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
nmoleub2.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
nmoleub2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
nmoleub2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ^*)
nmoleub2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ⁺)
nmoleub2a.5	⊢ (𝜑 → ℚ ⊆ 𝐾)
nmoleub2lem3.p	⊢ · = ( ·_𝑠 ‘𝑆)
nmoleub2lem3.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
nmoleub2lem3.2	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
nmoleub2lem3.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
nmoleub2lem3.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ (0_g‘𝑆))
nmoleub2lem3.5	⊢ (𝜑 → ((𝑟 · 𝐵) ∈ 𝑉 → ((𝐿‘(𝑟 · 𝐵)) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘(𝑟 · 𝐵))) / 𝑅) ≤ 𝐴)))
nmoleub2lem3.6	⊢ (𝜑 → ¬ (𝑀‘(𝐹‘𝐵)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝐵)))

**Assertion**
Ref	Expression
nmoleub2lem3	⊢ ¬ 𝜑

Distinct variable groups: 𝐴,𝑟 𝐹,𝑟 𝐿,𝑟 𝑀,𝑟 𝜑,𝑟 𝐵,𝑟 𝑅,𝑟 Allowed substitution hints: 𝑆(𝑟) 𝑇(𝑟) · (𝑟) 𝐺(𝑟) 𝐾(𝑟) 𝑁(𝑟) 𝑉(𝑟)

**Proof of Theorem nmoleub2lem3**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 770	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → ((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟)
2		qre 12851	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 ∈ ℚ → 𝑟 ∈ ℝ)
3	2	ad2antlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → 𝑟 ∈ ℝ)
4		nmoleub2lem3.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5		nmoleub2.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ⁺)
6	5	rpred 12934	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
7	4, 6	remulcld 11142	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑅) ∈ ℝ)
8		nmoleub2.t	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
9	8	elin1d 4151	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ NrmMod)
10		nlmngp 24592	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∈ NrmMod → 𝑇 ∈ NrmGrp)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ NrmGrp)
12		nmoleub2.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
13		nmoleub2.v	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
14		eqid 2731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
15	13, 14	lmhmf 20968	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
16	12, 15	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
17		nmoleub2lem3.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
18	16, 17	ffvelcdmd 7018	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘𝑇))
19		nmoleub2.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑀 = (norm‘𝑇)
20	14, 19	nmcl 24531	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘𝑇)) → (𝑀‘(𝐹‘𝐵)) ∈ ℝ)
21	11, 18, 20	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐹‘𝐵)) ∈ ℝ)
22		0red 11115	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
23		nmoleub2.s	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
24	23	elin1d 4151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ NrmMod)
25		nlmngp 24592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ NrmMod → 𝑆 ∈ NrmGrp)
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ NrmGrp)
27		nmoleub2.l	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐿 = (norm‘𝑆)
28	13, 27	nmcl 24531	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐿‘𝐵) ∈ ℝ)
29	26, 17, 28	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐵) ∈ ℝ)
30	4, 29	remulcld 11142	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐿‘𝐵)) ∈ ℝ)
31		nmoleub2lem3.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
32	13, 27	nmge0 24532	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 0 ≤ (𝐿‘𝐵))
33	26, 17, 32	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐿‘𝐵))
34	4, 29, 31, 33	mulge0d 11694	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝐵)))
35		nmoleub2lem3.6	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑀‘(𝐹‘𝐵)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝐵)))
36	30, 21	ltnled 11260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · (𝐿‘𝐵)) < (𝑀‘(𝐹‘𝐵)) ↔ ¬ (𝑀‘(𝐹‘𝐵)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝐵))))
37	35, 36	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐿‘𝐵)) < (𝑀‘(𝐹‘𝐵)))
38	22, 30, 21, 34, 37	lelttrd 11271	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝑀‘(𝐹‘𝐵)))
39	21, 38	elrpd 12931	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐹‘𝐵)) ∈ ℝ⁺)
40	7, 39	rerpdivcld 12965	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) ∈ ℝ)
41	40	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → ((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) ∈ ℝ)
42	12	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
43		nmoleub2a.5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ℚ ⊆ 𝐾)
44	43	sselda 3929	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → 𝑟 ∈ 𝐾)
45	44	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → 𝑟 ∈ 𝐾)
46	17	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → 𝐵 ∈ 𝑉)
47		nmoleub2.g	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝑆)
48		nmoleub2.w	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐺)
49		nmoleub2lem3.p	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ · = ( ·_𝑠 ‘𝑆)
50		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ( ·_𝑠 ‘𝑇) = ( ·_𝑠 ‘𝑇)
51	47, 48, 13, 49, 50	lmhmlin 20969	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐹‘(𝑟 · 𝐵)) = (𝑟( ·_𝑠 ‘𝑇)(𝐹‘𝐵)))
52	42, 45, 46, 51	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → (𝐹‘(𝑟 · 𝐵)) = (𝑟( ·_𝑠 ‘𝑇)(𝐹‘𝐵)))
53	52	fveq2d 6826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → (𝑀‘(𝐹‘(𝑟 · 𝐵))) = (𝑀‘(𝑟( ·_𝑠 ‘𝑇)(𝐹‘𝐵))))
54	9	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → 𝑇 ∈ NrmMod)
55		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
56	47, 55	lmhmsca 20964	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → (Scalar‘𝑇) = 𝐺)
57	42, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → (Scalar‘𝑇) = 𝐺)
58	57	fveq2d 6826	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → (Base‘(Scalar‘𝑇)) = (Base‘𝐺))
59	58, 48	eqtr4di 2784	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → (Base‘(Scalar‘𝑇)) = 𝐾)
60	45, 59	eleqtrrd 2834	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)))
61	18	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → (𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘𝑇))
62		eqid 2731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑇)) = (Base‘(Scalar‘𝑇))
63		eqid 2731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (norm‘(Scalar‘𝑇)) = (norm‘(Scalar‘𝑇))
64	14, 19, 50, 55, 62, 63	nmvs 24591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑇 ∈ NrmMod ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ (Base‘𝑇)) → (𝑀‘(𝑟( ·_𝑠 ‘𝑇)(𝐹‘𝐵))) = (((norm‘(Scalar‘𝑇))‘𝑟) · (𝑀‘(𝐹‘𝐵))))
65	54, 60, 61, 64	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → (𝑀‘(𝑟( ·_𝑠 ‘𝑇)(𝐹‘𝐵))) = (((norm‘(Scalar‘𝑇))‘𝑟) · (𝑀‘(𝐹‘𝐵))))
66	57	fveq2d 6826	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → (norm‘(Scalar‘𝑇)) = (norm‘𝐺))
67	66	fveq1d 6824	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → ((norm‘(Scalar‘𝑇))‘𝑟) = ((norm‘𝐺)‘𝑟))
68	23	elin2d 4152	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂMod)
69	68	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → 𝑆 ∈ ℂMod)
70	47, 48	clmabs 25010	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂMod ∧ 𝑟 ∈ 𝐾) → (abs‘𝑟) = ((norm‘𝐺)‘𝑟))
71	69, 45, 70	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → (abs‘𝑟) = ((norm‘𝐺)‘𝑟))
72		0red 11115	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → 0 ∈ ℝ)
73	5	rpge0d 12938	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑅)
74	4, 6, 31, 73	mulge0d 11694	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝑅))
75		divge0 11991	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 · 𝑅) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝑅)) ∧ ((𝑀‘(𝐹‘𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑀‘(𝐹‘𝐵)))) → 0 ≤ ((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))))
76	7, 74, 21, 38, 75	syl22anc 838	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))))
77	76	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → 0 ≤ ((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))))
78	72, 41, 3, 77, 1	lelttrd 11271	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → 0 < 𝑟)
79	72, 3, 78	ltled 11261	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → 0 ≤ 𝑟)
80	3, 79	absidd 15330	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → (abs‘𝑟) = 𝑟)
81	71, 80	eqtr3d 2768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → ((norm‘𝐺)‘𝑟) = 𝑟)
82	67, 81	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → ((norm‘(Scalar‘𝑇))‘𝑟) = 𝑟)
83	82	oveq1d 7361	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → (((norm‘(Scalar‘𝑇))‘𝑟) · (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) = (𝑟 · (𝑀‘(𝐹‘𝐵))))
84	53, 65, 83	3eqtrd 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → (𝑀‘(𝐹‘(𝑟 · 𝐵))) = (𝑟 · (𝑀‘(𝐹‘𝐵))))
85	84	oveq1d 7361	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → ((𝑀‘(𝐹‘(𝑟 · 𝐵))) / 𝑅) = ((𝑟 · (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) / 𝑅))
86	13, 47, 49, 48	clmvscl 25015	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂMod ∧ 𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑟 · 𝐵) ∈ 𝑉)
87	69, 45, 46, 86	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → (𝑟 · 𝐵) ∈ 𝑉)
88	24	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → 𝑆 ∈ NrmMod)
89		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (norm‘𝐺) = (norm‘𝐺)
90	13, 27, 49, 47, 48, 89	nmvs 24591	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐿‘(𝑟 · 𝐵)) = (((norm‘𝐺)‘𝑟) · (𝐿‘𝐵)))
91	88, 45, 46, 90	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → (𝐿‘(𝑟 · 𝐵)) = (((norm‘𝐺)‘𝑟) · (𝐿‘𝐵)))
92	81	oveq1d 7361	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → (((norm‘𝐺)‘𝑟) · (𝐿‘𝐵)) = (𝑟 · (𝐿‘𝐵)))
93	91, 92	eqtrd 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → (𝐿‘(𝑟 · 𝐵)) = (𝑟 · (𝐿‘𝐵)))
94		simprr 772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))
95	6	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → 𝑅 ∈ ℝ)
96		nmoleub2lem3.4	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ (0_g‘𝑆))
97		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0_g‘𝑆) = (0_g‘𝑆)
98	13, 27, 97	nmrpcl 24535	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ (0_g‘𝑆)) → (𝐿‘𝐵) ∈ ℝ⁺)
99	26, 17, 96, 98	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐵) ∈ ℝ⁺)
100	99	rpregt0d 12940	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐿‘𝐵)))
101	100	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → ((𝐿‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐿‘𝐵)))
102		ltmuldiv 11995	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ ((𝐿‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐿‘𝐵))) → ((𝑟 · (𝐿‘𝐵)) < 𝑅 ↔ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵))))
103	3, 95, 101, 102	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → ((𝑟 · (𝐿‘𝐵)) < 𝑅 ↔ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵))))
104	94, 103	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → (𝑟 · (𝐿‘𝐵)) < 𝑅)
105	93, 104	eqbrtrd 5111	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → (𝐿‘(𝑟 · 𝐵)) < 𝑅)
106		nmoleub2lem3.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑟 · 𝐵) ∈ 𝑉 → ((𝐿‘(𝑟 · 𝐵)) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘(𝑟 · 𝐵))) / 𝑅) ≤ 𝐴)))
107	106	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → ((𝑟 · 𝐵) ∈ 𝑉 → ((𝐿‘(𝑟 · 𝐵)) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘(𝑟 · 𝐵))) / 𝑅) ≤ 𝐴)))
108	87, 105, 107	mp2d 49	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → ((𝑀‘(𝐹‘(𝑟 · 𝐵))) / 𝑅) ≤ 𝐴)
109	85, 108	eqbrtrrd 5113	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → ((𝑟 · (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) / 𝑅) ≤ 𝐴)
110	21	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → (𝑀‘(𝐹‘𝐵)) ∈ ℝ)
111	3, 110	remulcld 11142	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → (𝑟 · (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) ∈ ℝ)
112	4	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
113	5	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → 𝑅 ∈ ℝ⁺)
114	111, 112, 113	ledivmul2d 12988	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → (((𝑟 · (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) / 𝑅) ≤ 𝐴 ↔ (𝑟 · (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) ≤ (𝐴 · 𝑅)))
115	109, 114	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → (𝑟 · (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) ≤ (𝐴 · 𝑅))
116	112, 95	remulcld 11142	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → (𝐴 · 𝑅) ∈ ℝ)
117	21, 38	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝐹‘𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑀‘(𝐹‘𝐵))))
118	117	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → ((𝑀‘(𝐹‘𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑀‘(𝐹‘𝐵))))
119		lemuldiv 12002	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑅) ∈ ℝ ∧ ((𝑀‘(𝐹‘𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑀‘(𝐹‘𝐵)))) → ((𝑟 · (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) ≤ (𝐴 · 𝑅) ↔ 𝑟 ≤ ((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵)))))
120	3, 116, 118, 119	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → ((𝑟 · (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) ≤ (𝐴 · 𝑅) ↔ 𝑟 ≤ ((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵)))))
121	115, 120	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → 𝑟 ≤ ((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))))
122	3, 41, 121	lensymd 11264	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → ¬ ((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟)
123	1, 122	pm2.21dd 195	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))) → (𝑀‘(𝐹‘𝐵)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝐵)))
124	6, 99	rerpdivcld 12965	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 / (𝐿‘𝐵)) ∈ ℝ)
125	4	recnd 11140	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
126	6	recnd 11140	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ)
127	29	recnd 11140	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐵) ∈ ℂ)
128		mulass 11094	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (𝐿‘𝐵) ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑅) · (𝐿‘𝐵)) = (𝐴 · (𝑅 · (𝐿‘𝐵))))
129		mul12 11278	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (𝐿‘𝐵) ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑅 · (𝐿‘𝐵))) = (𝑅 · (𝐴 · (𝐿‘𝐵))))
130	128, 129	eqtrd 2766	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (𝐿‘𝐵) ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑅) · (𝐿‘𝐵)) = (𝑅 · (𝐴 · (𝐿‘𝐵))))
131	125, 126, 127, 130	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑅) · (𝐿‘𝐵)) = (𝑅 · (𝐴 · (𝐿‘𝐵))))
132	30, 21, 5, 37	ltmul2dd 12990	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 · (𝐴 · (𝐿‘𝐵))) < (𝑅 · (𝑀‘(𝐹‘𝐵))))
133	131, 132	eqbrtrd 5111	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑅) · (𝐿‘𝐵)) < (𝑅 · (𝑀‘(𝐹‘𝐵))))
134		lt2mul2div 12000	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 · 𝑅) ∈ ℝ ∧ ((𝐿‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐿‘𝐵))) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ((𝑀‘(𝐹‘𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑀‘(𝐹‘𝐵))))) → (((𝐴 · 𝑅) · (𝐿‘𝐵)) < (𝑅 · (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) ↔ ((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < (𝑅 / (𝐿‘𝐵))))
135	7, 100, 6, 117, 134	syl22anc 838	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝑅) · (𝐿‘𝐵)) < (𝑅 · (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) ↔ ((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < (𝑅 / (𝐿‘𝐵))))
136	133, 135	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < (𝑅 / (𝐿‘𝐵)))
137		qbtwnre 13098	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) ∈ ℝ ∧ (𝑅 / (𝐿‘𝐵)) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < (𝑅 / (𝐿‘𝐵))) → ∃𝑟 ∈ ℚ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵))))
138	40, 124, 136, 137	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℚ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹‘𝐵))) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝑅 / (𝐿‘𝐵))))
139	123, 138	r19.29a 3140	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐹‘𝐵)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝐵)))
140	139, 35	pm2.65i 194	1 ⊢ ¬ 𝜑

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1541 ∈ wcel 2111 ≠ wne 2928 ∃wrex 3056 ∩ cin 3896 ⊆ wss 3897 class class class wbr 5089 ⟶wf 6477 ‘cfv 6481 (class class class)co 7346 ℂcc 11004 ℝcr 11005 0cc0 11006 · cmul 11011 ℝ^*cxr 11145 < clt 11146 ≤ cle 11147 / cdiv 11774 ℚcq 12846 ℝ⁺crp 12890 abscabs 15141 Basecbs 17120 Scalarcsca 17164 ·_𝑠 cvsca 17165 0_gc0g 17343 LMHom clmhm 20953 normcnm 24491 NrmGrpcngp 24492 NrmModcnlm 24495 normOp cnmo 24620 ℂModcclm 24989

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1968 ax-7 2009 ax-8 2113 ax-9 2121 ax-10 2144 ax-11 2160 ax-12 2180 ax-ext 2703 ax-sep 5232 ax-nul 5242 ax-pow 5301 ax-pr 5368 ax-un 7668 ax-cnex 11062 ax-resscn 11063 ax-1cn 11064 ax-icn 11065 ax-addcl 11066 ax-addrcl 11067 ax-mulcl 11068 ax-mulrcl 11069 ax-mulcom 11070 ax-addass 11071 ax-mulass 11072 ax-distr 11073 ax-i2m1 11074 ax-1ne0 11075 ax-1rid 11076 ax-rnegex 11077 ax-rrecex 11078 ax-cnre 11079 ax-pre-lttri 11080 ax-pre-lttrn 11081 ax-pre-ltadd 11082 ax-pre-mulgt0 11083 ax-pre-sup 11084 ax-addf 11085

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2068 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2710 df-cleq 2723 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2929 df-nel 3033 df-ral 3048 df-rex 3057 df-rmo 3346 df-reu 3347 df-rab 3396 df-v 3438 df-sbc 3737 df-csb 3846 df-dif 3900 df-un 3902 df-in 3904 df-ss 3914 df-pss 3917 df-nul 4281 df-if 4473 df-pw 4549 df-sn 4574 df-pr 4576 df-tp 4578 df-op 4580 df-uni 4857 df-iun 4941 df-br 5090 df-opab 5152 df-mpt 5171 df-tr 5197 df-id 5509 df-eprel 5514 df-po 5522 df-so 5523 df-fr 5567 df-we 5569 df-xp 5620 df-rel 5621 df-cnv 5622 df-co 5623 df-dm 5624 df-rn 5625 df-res 5626 df-ima 5627 df-pred 6248 df-ord 6309 df-on 6310 df-lim 6311 df-suc 6312 df-iota 6437 df-fun 6483 df-fn 6484 df-f 6485 df-f1 6486 df-fo 6487 df-f1o 6488 df-fv 6489 df-riota 7303 df-ov 7349 df-oprab 7350 df-mpo 7351 df-om 7797 df-1st 7921 df-2nd 7922 df-frecs 8211 df-wrecs 8242 df-recs 8291 df-rdg 8329 df-1o 8385 df-er 8622 df-map 8752 df-en 8870 df-dom 8871 df-sdom 8872 df-fin 8873 df-sup 9326 df-inf 9327 df-pnf 11148 df-mnf 11149 df-xr 11150 df-ltxr 11151 df-le 11152 df-sub 11346 df-neg 11347 df-div 11775 df-nn 12126 df-2 12188 df-3 12189 df-4 12190 df-5 12191 df-6 12192 df-7 12193 df-8 12194 df-9 12195 df-n0 12382 df-z 12469 df-dec 12589 df-uz 12733 df-q 12847 df-rp 12891 df-xneg 13011 df-xadd 13012 df-xmul 13013 df-fz 13408 df-seq 13909 df-exp 13969 df-cj 15006 df-re 15007 df-im 15008 df-sqrt 15142 df-abs 15143 df-struct 17058 df-sets 17075 df-slot 17093 df-ndx 17105 df-base 17121 df-ress 17142 df-plusg 17174 df-mulr 17175 df-starv 17176 df-tset 17180 df-ple 17181 df-ds 17183 df-unif 17184 df-0g 17345 df-topgen 17347 df-mgm 18548 df-sgrp 18627 df-mnd 18643 df-grp 18849 df-subg 19036 df-ghm 19125 df-cmn 19694 df-mgp 20059 df-ring 20153 df-cring 20154 df-subrg 20485 df-lmod 20795 df-lmhm 20956 df-psmet 21283 df-xmet 21284 df-met 21285 df-bl 21286 df-mopn 21287 df-cnfld 21292 df-top 22809 df-topon 22826 df-topsp 22848 df-bases 22861 df-xms 24235 df-ms 24236 df-nm 24497 df-ngp 24498 df-nlm 24501 df-clm 24990

This theorem is referenced by: nmoleub2lem2 25043

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