MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmoleub2lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmoleub2lem3 23723
Description: Lemma for nmoleub2a 23725 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 29-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoleub2.n 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmoleub2.v 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmoleub2.l 𝐿 = (norm‘𝑆)
nmoleub2.m 𝑀 = (norm‘𝑇)
nmoleub2.g 𝐺 = (Scalar‘𝑆)
nmoleub2.w 𝐾 = (Base‘𝐺)
nmoleub2.s (𝜑𝑆 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
nmoleub2.t (𝜑𝑇 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
nmoleub2.f (𝜑𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
nmoleub2.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
nmoleub2.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
nmoleub2a.5 (𝜑 → ℚ ⊆ 𝐾)
nmoleub2lem3.p · = ( ·𝑠𝑆)
nmoleub2lem3.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
nmoleub2lem3.2 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
nmoleub2lem3.3 (𝜑𝐵𝑉)
nmoleub2lem3.4 (𝜑𝐵 ≠ (0g𝑆))
nmoleub2lem3.5 (𝜑 → ((𝑟 · 𝐵) ∈ 𝑉 → ((𝐿‘(𝑟 · 𝐵)) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘(𝑟 · 𝐵))) / 𝑅) ≤ 𝐴)))
nmoleub2lem3.6 (𝜑 → ¬ (𝑀‘(𝐹𝐵)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝐵)))
Assertion
Ref Expression
nmoleub2lem3 ¬ 𝜑
Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐹,𝑟   𝐿,𝑟   𝑀,𝑟   𝜑,𝑟   𝐵,𝑟   𝑅,𝑟
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑟)   𝑇(𝑟)   · (𝑟)   𝐺(𝑟)   𝐾(𝑟)   𝑁(𝑟)   𝑉(𝑟)

Proof of Theorem nmoleub2lem3
StepHypRef Expression
1 simprl 770 . . . 4 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → ((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟)
2 qre 12345 . . . . . 6 (𝑟 ∈ ℚ → 𝑟 ∈ ℝ)
32ad2antlr 726 . . . . 5 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → 𝑟 ∈ ℝ)
4 nmoleub2lem3.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
5 nmoleub2.r . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
65rpred 12423 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
74, 6remulcld 10664 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 · 𝑅) ∈ ℝ)
8 nmoleub2.t . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑇 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
98elin1d 4128 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇 ∈ NrmMod)
10 nlmngp 23286 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ NrmMod → 𝑇 ∈ NrmGrp)
119, 10syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ∈ NrmGrp)
12 nmoleub2.f . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
13 nmoleub2.v . . . . . . . . . . . 12 𝑉 = (Base‘𝑆)
14 eqid 2801 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
1513, 14lmhmf 19802 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
1612, 15syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
17 nmoleub2lem3.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵𝑉)
1816, 17ffvelrnd 6833 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ (Base‘𝑇))
19 nmoleub2.m . . . . . . . . . 10 𝑀 = (norm‘𝑇)
2014, 19nmcl 23225 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝐹𝐵) ∈ (Base‘𝑇)) → (𝑀‘(𝐹𝐵)) ∈ ℝ)
2111, 18, 20syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀‘(𝐹𝐵)) ∈ ℝ)
22 0red 10637 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
23 nmoleub2.s . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
2423elin1d 4128 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆 ∈ NrmMod)
25 nlmngp 23286 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ NrmMod → 𝑆 ∈ NrmGrp)
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ NrmGrp)
27 nmoleub2.l . . . . . . . . . . . 12 𝐿 = (norm‘𝑆)
2813, 27nmcl 23225 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵𝑉) → (𝐿𝐵) ∈ ℝ)
2926, 17, 28syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐿𝐵) ∈ ℝ)
304, 29remulcld 10664 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 · (𝐿𝐵)) ∈ ℝ)
31 nmoleub2lem3.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3213, 27nmge0 23226 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵𝑉) → 0 ≤ (𝐿𝐵))
3326, 17, 32syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ (𝐿𝐵))
344, 29, 31, 33mulge0d 11210 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · (𝐿𝐵)))
35 nmoleub2lem3.6 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ (𝑀‘(𝐹𝐵)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝐵)))
3630, 21ltnled 10780 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 · (𝐿𝐵)) < (𝑀‘(𝐹𝐵)) ↔ ¬ (𝑀‘(𝐹𝐵)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝐵))))
3735, 36mpbird 260 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 · (𝐿𝐵)) < (𝑀‘(𝐹𝐵)))
3822, 30, 21, 34, 37lelttrd 10791 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < (𝑀‘(𝐹𝐵)))
3921, 38elrpd 12420 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀‘(𝐹𝐵)) ∈ ℝ+)
407, 39rerpdivcld 12454 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) ∈ ℝ)
4140ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → ((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) ∈ ℝ)
4212ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
43 nmoleub2a.5 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ℚ ⊆ 𝐾)
4443sselda 3918 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑟 ∈ ℚ) → 𝑟𝐾)
4544adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → 𝑟𝐾)
4617ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → 𝐵𝑉)
47 nmoleub2.g . . . . . . . . . . . . 13 𝐺 = (Scalar‘𝑆)
48 nmoleub2.w . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 = (Base‘𝐺)
49 nmoleub2lem3.p . . . . . . . . . . . . 13 · = ( ·𝑠𝑆)
50 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . 13 ( ·𝑠𝑇) = ( ·𝑠𝑇)
5147, 48, 13, 49, 50lmhmlin 19803 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑟𝐾𝐵𝑉) → (𝐹‘(𝑟 · 𝐵)) = (𝑟( ·𝑠𝑇)(𝐹𝐵)))
5242, 45, 46, 51syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → (𝐹‘(𝑟 · 𝐵)) = (𝑟( ·𝑠𝑇)(𝐹𝐵)))
5352fveq2d 6653 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → (𝑀‘(𝐹‘(𝑟 · 𝐵))) = (𝑀‘(𝑟( ·𝑠𝑇)(𝐹𝐵))))
549ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → 𝑇 ∈ NrmMod)
55 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
5647, 55lmhmsca 19798 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → (Scalar‘𝑇) = 𝐺)
5742, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → (Scalar‘𝑇) = 𝐺)
5857fveq2d 6653 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → (Base‘(Scalar‘𝑇)) = (Base‘𝐺))
5958, 48eqtr4di 2854 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → (Base‘(Scalar‘𝑇)) = 𝐾)
6045, 59eleqtrrd 2896 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)))
6118ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → (𝐹𝐵) ∈ (Base‘𝑇))
62 eqid 2801 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘(Scalar‘𝑇)) = (Base‘(Scalar‘𝑇))
63 eqid 2801 . . . . . . . . . . . 12 (norm‘(Scalar‘𝑇)) = (norm‘(Scalar‘𝑇))
6414, 19, 50, 55, 62, 63nmvs 23285 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ NrmMod ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)) ∧ (𝐹𝐵) ∈ (Base‘𝑇)) → (𝑀‘(𝑟( ·𝑠𝑇)(𝐹𝐵))) = (((norm‘(Scalar‘𝑇))‘𝑟) · (𝑀‘(𝐹𝐵))))
6554, 60, 61, 64syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → (𝑀‘(𝑟( ·𝑠𝑇)(𝐹𝐵))) = (((norm‘(Scalar‘𝑇))‘𝑟) · (𝑀‘(𝐹𝐵))))
6657fveq2d 6653 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → (norm‘(Scalar‘𝑇)) = (norm‘𝐺))
6766fveq1d 6651 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → ((norm‘(Scalar‘𝑇))‘𝑟) = ((norm‘𝐺)‘𝑟))
6823elin2d 4129 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑆 ∈ ℂMod)
6968ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → 𝑆 ∈ ℂMod)
7047, 48clmabs 23691 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ∈ ℂMod ∧ 𝑟𝐾) → (abs‘𝑟) = ((norm‘𝐺)‘𝑟))
7169, 45, 70syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → (abs‘𝑟) = ((norm‘𝐺)‘𝑟))
72 0red 10637 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → 0 ∈ ℝ)
735rpge0d 12427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 0 ≤ 𝑅)
744, 6, 31, 73mulge0d 11210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝑅))
75 divge0 11502 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 · 𝑅) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝑅)) ∧ ((𝑀‘(𝐹𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑀‘(𝐹𝐵)))) → 0 ≤ ((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))))
767, 74, 21, 38, 75syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 0 ≤ ((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))))
7776ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → 0 ≤ ((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))))
7872, 41, 3, 77, 1lelttrd 10791 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → 0 < 𝑟)
7972, 3, 78ltled 10781 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → 0 ≤ 𝑟)
803, 79absidd 14777 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → (abs‘𝑟) = 𝑟)
8171, 80eqtr3d 2838 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → ((norm‘𝐺)‘𝑟) = 𝑟)
8267, 81eqtrd 2836 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → ((norm‘(Scalar‘𝑇))‘𝑟) = 𝑟)
8382oveq1d 7154 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → (((norm‘(Scalar‘𝑇))‘𝑟) · (𝑀‘(𝐹𝐵))) = (𝑟 · (𝑀‘(𝐹𝐵))))
8453, 65, 833eqtrd 2840 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → (𝑀‘(𝐹‘(𝑟 · 𝐵))) = (𝑟 · (𝑀‘(𝐹𝐵))))
8584oveq1d 7154 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → ((𝑀‘(𝐹‘(𝑟 · 𝐵))) / 𝑅) = ((𝑟 · (𝑀‘(𝐹𝐵))) / 𝑅))
8613, 47, 49, 48clmvscl 23696 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ ℂMod ∧ 𝑟𝐾𝐵𝑉) → (𝑟 · 𝐵) ∈ 𝑉)
8769, 45, 46, 86syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → (𝑟 · 𝐵) ∈ 𝑉)
8824ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → 𝑆 ∈ NrmMod)
89 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . 13 (norm‘𝐺) = (norm‘𝐺)
9013, 27, 49, 47, 48, 89nmvs 23285 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑟𝐾𝐵𝑉) → (𝐿‘(𝑟 · 𝐵)) = (((norm‘𝐺)‘𝑟) · (𝐿𝐵)))
9188, 45, 46, 90syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → (𝐿‘(𝑟 · 𝐵)) = (((norm‘𝐺)‘𝑟) · (𝐿𝐵)))
9281oveq1d 7154 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → (((norm‘𝐺)‘𝑟) · (𝐿𝐵)) = (𝑟 · (𝐿𝐵)))
9391, 92eqtrd 2836 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → (𝐿‘(𝑟 · 𝐵)) = (𝑟 · (𝐿𝐵)))
94 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → 𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))
956ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → 𝑅 ∈ ℝ)
96 nmoleub2lem3.4 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ≠ (0g𝑆))
97 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0g𝑆) = (0g𝑆)
9813, 27, 97nmrpcl 23229 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵𝑉𝐵 ≠ (0g𝑆)) → (𝐿𝐵) ∈ ℝ+)
9926, 17, 96, 98syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐿𝐵) ∈ ℝ+)
10099rpregt0d 12429 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐿𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐿𝐵)))
101100ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → ((𝐿𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐿𝐵)))
102 ltmuldiv 11506 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ ((𝐿𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐿𝐵))) → ((𝑟 · (𝐿𝐵)) < 𝑅𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵))))
1033, 95, 101, 102syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → ((𝑟 · (𝐿𝐵)) < 𝑅𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵))))
10494, 103mpbird 260 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → (𝑟 · (𝐿𝐵)) < 𝑅)
10593, 104eqbrtrd 5055 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → (𝐿‘(𝑟 · 𝐵)) < 𝑅)
106 nmoleub2lem3.5 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑟 · 𝐵) ∈ 𝑉 → ((𝐿‘(𝑟 · 𝐵)) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘(𝑟 · 𝐵))) / 𝑅) ≤ 𝐴)))
107106ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → ((𝑟 · 𝐵) ∈ 𝑉 → ((𝐿‘(𝑟 · 𝐵)) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘(𝑟 · 𝐵))) / 𝑅) ≤ 𝐴)))
10887, 105, 107mp2d 49 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → ((𝑀‘(𝐹‘(𝑟 · 𝐵))) / 𝑅) ≤ 𝐴)
10985, 108eqbrtrrd 5057 . . . . . . 7 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → ((𝑟 · (𝑀‘(𝐹𝐵))) / 𝑅) ≤ 𝐴)
11021ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → (𝑀‘(𝐹𝐵)) ∈ ℝ)
1113, 110remulcld 10664 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → (𝑟 · (𝑀‘(𝐹𝐵))) ∈ ℝ)
1124ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
1135ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → 𝑅 ∈ ℝ+)
114111, 112, 113ledivmul2d 12477 . . . . . . 7 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → (((𝑟 · (𝑀‘(𝐹𝐵))) / 𝑅) ≤ 𝐴 ↔ (𝑟 · (𝑀‘(𝐹𝐵))) ≤ (𝐴 · 𝑅)))
115109, 114mpbid 235 . . . . . 6 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → (𝑟 · (𝑀‘(𝐹𝐵))) ≤ (𝐴 · 𝑅))
116112, 95remulcld 10664 . . . . . . 7 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → (𝐴 · 𝑅) ∈ ℝ)
11721, 38jca 515 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑀‘(𝐹𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑀‘(𝐹𝐵))))
118117ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → ((𝑀‘(𝐹𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑀‘(𝐹𝐵))))
119 lemuldiv 11513 . . . . . . 7 ((𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑅) ∈ ℝ ∧ ((𝑀‘(𝐹𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑀‘(𝐹𝐵)))) → ((𝑟 · (𝑀‘(𝐹𝐵))) ≤ (𝐴 · 𝑅) ↔ 𝑟 ≤ ((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵)))))
1203, 116, 118, 119syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → ((𝑟 · (𝑀‘(𝐹𝐵))) ≤ (𝐴 · 𝑅) ↔ 𝑟 ≤ ((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵)))))
121115, 120mpbid 235 . . . . 5 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → 𝑟 ≤ ((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))))
1223, 41, 121lensymd 10784 . . . 4 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → ¬ ((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟)
1231, 122pm2.21dd 198 . . 3 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → (𝑀‘(𝐹𝐵)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝐵)))
1246, 99rerpdivcld 12454 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 / (𝐿𝐵)) ∈ ℝ)
1254recnd 10662 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
1266recnd 10662 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
12729recnd 10662 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐿𝐵) ∈ ℂ)
128 mulass 10618 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (𝐿𝐵) ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑅) · (𝐿𝐵)) = (𝐴 · (𝑅 · (𝐿𝐵))))
129 mul12 10798 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (𝐿𝐵) ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑅 · (𝐿𝐵))) = (𝑅 · (𝐴 · (𝐿𝐵))))
130128, 129eqtrd 2836 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (𝐿𝐵) ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑅) · (𝐿𝐵)) = (𝑅 · (𝐴 · (𝐿𝐵))))
131125, 126, 127, 130syl3anc 1368 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 · 𝑅) · (𝐿𝐵)) = (𝑅 · (𝐴 · (𝐿𝐵))))
13230, 21, 5, 37ltmul2dd 12479 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅 · (𝐴 · (𝐿𝐵))) < (𝑅 · (𝑀‘(𝐹𝐵))))
133131, 132eqbrtrd 5055 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 · 𝑅) · (𝐿𝐵)) < (𝑅 · (𝑀‘(𝐹𝐵))))
134 lt2mul2div 11511 . . . . . 6 ((((𝐴 · 𝑅) ∈ ℝ ∧ ((𝐿𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐿𝐵))) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ((𝑀‘(𝐹𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑀‘(𝐹𝐵))))) → (((𝐴 · 𝑅) · (𝐿𝐵)) < (𝑅 · (𝑀‘(𝐹𝐵))) ↔ ((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < (𝑅 / (𝐿𝐵))))
1357, 100, 6, 117, 134syl22anc 837 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐴 · 𝑅) · (𝐿𝐵)) < (𝑅 · (𝑀‘(𝐹𝐵))) ↔ ((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < (𝑅 / (𝐿𝐵))))
136133, 135mpbid 235 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < (𝑅 / (𝐿𝐵)))
137 qbtwnre 12584 . . . 4 ((((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) ∈ ℝ ∧ (𝑅 / (𝐿𝐵)) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < (𝑅 / (𝐿𝐵))) → ∃𝑟 ∈ ℚ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵))))
13840, 124, 136, 137syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℚ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵))))
139123, 138r19.29a 3251 . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝐹𝐵)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝐵)))
140139, 35pm2.65i 197 1 ¬ 𝜑
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990  wrex 3110  cin 3883  wss 3884   class class class wbr 5033  wf 6324  cfv 6328  (class class class)co 7139  cc 10528  cr 10529  0cc0 10530   · cmul 10535  *cxr 10667   < clt 10668  cle 10669   / cdiv 11290  cq 12340  +crp 12381  abscabs 14588  Basecbs 16478  Scalarcsca 16563   ·𝑠 cvsca 16564  0gc0g 16708   LMHom clmhm 19787  normcnm 23186  NrmGrpcngp 23187  NrmModcnlm 23190   normOp cnmo 23314  ℂModcclm 23670
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609  ax-mulf 10610
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-fz 12890  df-seq 13369  df-exp 13430  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-0g 16710  df-topgen 16712  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-grp 18101  df-subg 18271  df-ghm 18351  df-cmn 18903  df-mgp 19236  df-ring 19295  df-cring 19296  df-subrg 19529  df-lmod 19632  df-lmhm 19790  df-psmet 20086  df-xmet 20087  df-met 20088  df-bl 20089  df-mopn 20090  df-cnfld 20095  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-xms 22930  df-ms 22931  df-nm 23192  df-ngp 23193  df-nlm 23196  df-clm 23671
This theorem is referenced by:  nmoleub2lem2  23724
  Copyright terms: Public domain W3C validator