MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmoleub2lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmoleub2lem3 24964
Description: Lemma for nmoleub2a 24966 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 29-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoleub2.n 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmoleub2.v 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmoleub2.l 𝐿 = (norm‘𝑆)
nmoleub2.m 𝑀 = (norm‘𝑇)
nmoleub2.g 𝐺 = (Scalar‘𝑆)
nmoleub2.w 𝐾 = (Base‘𝐺)
nmoleub2.s (𝜑𝑆 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
nmoleub2.t (𝜑𝑇 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
nmoleub2.f (𝜑𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
nmoleub2.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
nmoleub2.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
nmoleub2a.5 (𝜑 → ℚ ⊆ 𝐾)
nmoleub2lem3.p · = ( ·𝑠𝑆)
nmoleub2lem3.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
nmoleub2lem3.2 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
nmoleub2lem3.3 (𝜑𝐵𝑉)
nmoleub2lem3.4 (𝜑𝐵 ≠ (0g𝑆))
nmoleub2lem3.5 (𝜑 → ((𝑟 · 𝐵) ∈ 𝑉 → ((𝐿‘(𝑟 · 𝐵)) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘(𝑟 · 𝐵))) / 𝑅) ≤ 𝐴)))
nmoleub2lem3.6 (𝜑 → ¬ (𝑀‘(𝐹𝐵)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝐵)))
Assertion
Ref Expression
nmoleub2lem3 ¬ 𝜑
Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐹,𝑟   𝐿,𝑟   𝑀,𝑟   𝜑,𝑟   𝐵,𝑟   𝑅,𝑟
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑟)   𝑇(𝑟)   · (𝑟)   𝐺(𝑟)   𝐾(𝑟)   𝑁(𝑟)   𝑉(𝑟)

Proof of Theorem nmoleub2lem3
StepHypRef Expression
1 simprl 768 . . . 4 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → ((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟)
2 qre 12934 . . . . . 6 (𝑟 ∈ ℚ → 𝑟 ∈ ℝ)
32ad2antlr 724 . . . . 5 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → 𝑟 ∈ ℝ)
4 nmoleub2lem3.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
5 nmoleub2.r . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
65rpred 13013 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
74, 6remulcld 11241 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 · 𝑅) ∈ ℝ)
8 nmoleub2.t . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑇 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
98elin1d 4190 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇 ∈ NrmMod)
10 nlmngp 24516 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ NrmMod → 𝑇 ∈ NrmGrp)
119, 10syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ∈ NrmGrp)
12 nmoleub2.f . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
13 nmoleub2.v . . . . . . . . . . . 12 𝑉 = (Base‘𝑆)
14 eqid 2724 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
1513, 14lmhmf 20872 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
1612, 15syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
17 nmoleub2lem3.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵𝑉)
1816, 17ffvelcdmd 7077 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ (Base‘𝑇))
19 nmoleub2.m . . . . . . . . . 10 𝑀 = (norm‘𝑇)
2014, 19nmcl 24447 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝐹𝐵) ∈ (Base‘𝑇)) → (𝑀‘(𝐹𝐵)) ∈ ℝ)
2111, 18, 20syl2anc 583 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀‘(𝐹𝐵)) ∈ ℝ)
22 0red 11214 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
23 nmoleub2.s . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
2423elin1d 4190 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆 ∈ NrmMod)
25 nlmngp 24516 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ NrmMod → 𝑆 ∈ NrmGrp)
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ NrmGrp)
27 nmoleub2.l . . . . . . . . . . . 12 𝐿 = (norm‘𝑆)
2813, 27nmcl 24447 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵𝑉) → (𝐿𝐵) ∈ ℝ)
2926, 17, 28syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐿𝐵) ∈ ℝ)
304, 29remulcld 11241 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 · (𝐿𝐵)) ∈ ℝ)
31 nmoleub2lem3.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3213, 27nmge0 24448 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵𝑉) → 0 ≤ (𝐿𝐵))
3326, 17, 32syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ (𝐿𝐵))
344, 29, 31, 33mulge0d 11788 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · (𝐿𝐵)))
35 nmoleub2lem3.6 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ (𝑀‘(𝐹𝐵)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝐵)))
3630, 21ltnled 11358 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 · (𝐿𝐵)) < (𝑀‘(𝐹𝐵)) ↔ ¬ (𝑀‘(𝐹𝐵)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝐵))))
3735, 36mpbird 257 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 · (𝐿𝐵)) < (𝑀‘(𝐹𝐵)))
3822, 30, 21, 34, 37lelttrd 11369 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < (𝑀‘(𝐹𝐵)))
3921, 38elrpd 13010 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀‘(𝐹𝐵)) ∈ ℝ+)
407, 39rerpdivcld 13044 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) ∈ ℝ)
4140ad2antrr 723 . . . . 5 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → ((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) ∈ ℝ)
4212ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
43 nmoleub2a.5 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ℚ ⊆ 𝐾)
4443sselda 3974 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑟 ∈ ℚ) → 𝑟𝐾)
4544adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → 𝑟𝐾)
4617ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → 𝐵𝑉)
47 nmoleub2.g . . . . . . . . . . . . 13 𝐺 = (Scalar‘𝑆)
48 nmoleub2.w . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 = (Base‘𝐺)
49 nmoleub2lem3.p . . . . . . . . . . . . 13 · = ( ·𝑠𝑆)
50 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . 13 ( ·𝑠𝑇) = ( ·𝑠𝑇)
5147, 48, 13, 49, 50lmhmlin 20873 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑟𝐾𝐵𝑉) → (𝐹‘(𝑟 · 𝐵)) = (𝑟( ·𝑠𝑇)(𝐹𝐵)))
5242, 45, 46, 51syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → (𝐹‘(𝑟 · 𝐵)) = (𝑟( ·𝑠𝑇)(𝐹𝐵)))
5352fveq2d 6885 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → (𝑀‘(𝐹‘(𝑟 · 𝐵))) = (𝑀‘(𝑟( ·𝑠𝑇)(𝐹𝐵))))
549ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → 𝑇 ∈ NrmMod)
55 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
5647, 55lmhmsca 20868 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → (Scalar‘𝑇) = 𝐺)
5742, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → (Scalar‘𝑇) = 𝐺)
5857fveq2d 6885 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → (Base‘(Scalar‘𝑇)) = (Base‘𝐺))
5958, 48eqtr4di 2782 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → (Base‘(Scalar‘𝑇)) = 𝐾)
6045, 59eleqtrrd 2828 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)))
6118ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → (𝐹𝐵) ∈ (Base‘𝑇))
62 eqid 2724 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘(Scalar‘𝑇)) = (Base‘(Scalar‘𝑇))
63 eqid 2724 . . . . . . . . . . . 12 (norm‘(Scalar‘𝑇)) = (norm‘(Scalar‘𝑇))
6414, 19, 50, 55, 62, 63nmvs 24515 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ NrmMod ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)) ∧ (𝐹𝐵) ∈ (Base‘𝑇)) → (𝑀‘(𝑟( ·𝑠𝑇)(𝐹𝐵))) = (((norm‘(Scalar‘𝑇))‘𝑟) · (𝑀‘(𝐹𝐵))))
6554, 60, 61, 64syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → (𝑀‘(𝑟( ·𝑠𝑇)(𝐹𝐵))) = (((norm‘(Scalar‘𝑇))‘𝑟) · (𝑀‘(𝐹𝐵))))
6657fveq2d 6885 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → (norm‘(Scalar‘𝑇)) = (norm‘𝐺))
6766fveq1d 6883 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → ((norm‘(Scalar‘𝑇))‘𝑟) = ((norm‘𝐺)‘𝑟))
6823elin2d 4191 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑆 ∈ ℂMod)
6968ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → 𝑆 ∈ ℂMod)
7047, 48clmabs 24932 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ∈ ℂMod ∧ 𝑟𝐾) → (abs‘𝑟) = ((norm‘𝐺)‘𝑟))
7169, 45, 70syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → (abs‘𝑟) = ((norm‘𝐺)‘𝑟))
72 0red 11214 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → 0 ∈ ℝ)
735rpge0d 13017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 0 ≤ 𝑅)
744, 6, 31, 73mulge0d 11788 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝑅))
75 divge0 12080 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 · 𝑅) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝑅)) ∧ ((𝑀‘(𝐹𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑀‘(𝐹𝐵)))) → 0 ≤ ((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))))
767, 74, 21, 38, 75syl22anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 0 ≤ ((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))))
7776ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → 0 ≤ ((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))))
7872, 41, 3, 77, 1lelttrd 11369 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → 0 < 𝑟)
7972, 3, 78ltled 11359 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → 0 ≤ 𝑟)
803, 79absidd 15366 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → (abs‘𝑟) = 𝑟)
8171, 80eqtr3d 2766 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → ((norm‘𝐺)‘𝑟) = 𝑟)
8267, 81eqtrd 2764 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → ((norm‘(Scalar‘𝑇))‘𝑟) = 𝑟)
8382oveq1d 7416 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → (((norm‘(Scalar‘𝑇))‘𝑟) · (𝑀‘(𝐹𝐵))) = (𝑟 · (𝑀‘(𝐹𝐵))))
8453, 65, 833eqtrd 2768 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → (𝑀‘(𝐹‘(𝑟 · 𝐵))) = (𝑟 · (𝑀‘(𝐹𝐵))))
8584oveq1d 7416 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → ((𝑀‘(𝐹‘(𝑟 · 𝐵))) / 𝑅) = ((𝑟 · (𝑀‘(𝐹𝐵))) / 𝑅))
8613, 47, 49, 48clmvscl 24937 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ ℂMod ∧ 𝑟𝐾𝐵𝑉) → (𝑟 · 𝐵) ∈ 𝑉)
8769, 45, 46, 86syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → (𝑟 · 𝐵) ∈ 𝑉)
8824ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → 𝑆 ∈ NrmMod)
89 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . 13 (norm‘𝐺) = (norm‘𝐺)
9013, 27, 49, 47, 48, 89nmvs 24515 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑟𝐾𝐵𝑉) → (𝐿‘(𝑟 · 𝐵)) = (((norm‘𝐺)‘𝑟) · (𝐿𝐵)))
9188, 45, 46, 90syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → (𝐿‘(𝑟 · 𝐵)) = (((norm‘𝐺)‘𝑟) · (𝐿𝐵)))
9281oveq1d 7416 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → (((norm‘𝐺)‘𝑟) · (𝐿𝐵)) = (𝑟 · (𝐿𝐵)))
9391, 92eqtrd 2764 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → (𝐿‘(𝑟 · 𝐵)) = (𝑟 · (𝐿𝐵)))
94 simprr 770 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → 𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))
956ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → 𝑅 ∈ ℝ)
96 nmoleub2lem3.4 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ≠ (0g𝑆))
97 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0g𝑆) = (0g𝑆)
9813, 27, 97nmrpcl 24451 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵𝑉𝐵 ≠ (0g𝑆)) → (𝐿𝐵) ∈ ℝ+)
9926, 17, 96, 98syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐿𝐵) ∈ ℝ+)
10099rpregt0d 13019 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐿𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐿𝐵)))
101100ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → ((𝐿𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐿𝐵)))
102 ltmuldiv 12084 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ ((𝐿𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐿𝐵))) → ((𝑟 · (𝐿𝐵)) < 𝑅𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵))))
1033, 95, 101, 102syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → ((𝑟 · (𝐿𝐵)) < 𝑅𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵))))
10494, 103mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → (𝑟 · (𝐿𝐵)) < 𝑅)
10593, 104eqbrtrd 5160 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → (𝐿‘(𝑟 · 𝐵)) < 𝑅)
106 nmoleub2lem3.5 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑟 · 𝐵) ∈ 𝑉 → ((𝐿‘(𝑟 · 𝐵)) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘(𝑟 · 𝐵))) / 𝑅) ≤ 𝐴)))
107106ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → ((𝑟 · 𝐵) ∈ 𝑉 → ((𝐿‘(𝑟 · 𝐵)) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘(𝑟 · 𝐵))) / 𝑅) ≤ 𝐴)))
10887, 105, 107mp2d 49 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → ((𝑀‘(𝐹‘(𝑟 · 𝐵))) / 𝑅) ≤ 𝐴)
10985, 108eqbrtrrd 5162 . . . . . . 7 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → ((𝑟 · (𝑀‘(𝐹𝐵))) / 𝑅) ≤ 𝐴)
11021ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → (𝑀‘(𝐹𝐵)) ∈ ℝ)
1113, 110remulcld 11241 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → (𝑟 · (𝑀‘(𝐹𝐵))) ∈ ℝ)
1124ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
1135ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → 𝑅 ∈ ℝ+)
114111, 112, 113ledivmul2d 13067 . . . . . . 7 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → (((𝑟 · (𝑀‘(𝐹𝐵))) / 𝑅) ≤ 𝐴 ↔ (𝑟 · (𝑀‘(𝐹𝐵))) ≤ (𝐴 · 𝑅)))
115109, 114mpbid 231 . . . . . 6 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → (𝑟 · (𝑀‘(𝐹𝐵))) ≤ (𝐴 · 𝑅))
116112, 95remulcld 11241 . . . . . . 7 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → (𝐴 · 𝑅) ∈ ℝ)
11721, 38jca 511 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑀‘(𝐹𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑀‘(𝐹𝐵))))
118117ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → ((𝑀‘(𝐹𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑀‘(𝐹𝐵))))
119 lemuldiv 12091 . . . . . . 7 ((𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑅) ∈ ℝ ∧ ((𝑀‘(𝐹𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑀‘(𝐹𝐵)))) → ((𝑟 · (𝑀‘(𝐹𝐵))) ≤ (𝐴 · 𝑅) ↔ 𝑟 ≤ ((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵)))))
1203, 116, 118, 119syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → ((𝑟 · (𝑀‘(𝐹𝐵))) ≤ (𝐴 · 𝑅) ↔ 𝑟 ≤ ((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵)))))
121115, 120mpbid 231 . . . . 5 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → 𝑟 ≤ ((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))))
1223, 41, 121lensymd 11362 . . . 4 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → ¬ ((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟)
1231, 122pm2.21dd 194 . . 3 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → (𝑀‘(𝐹𝐵)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝐵)))
1246, 99rerpdivcld 13044 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 / (𝐿𝐵)) ∈ ℝ)
1254recnd 11239 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
1266recnd 11239 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
12729recnd 11239 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐿𝐵) ∈ ℂ)
128 mulass 11194 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (𝐿𝐵) ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑅) · (𝐿𝐵)) = (𝐴 · (𝑅 · (𝐿𝐵))))
129 mul12 11376 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (𝐿𝐵) ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑅 · (𝐿𝐵))) = (𝑅 · (𝐴 · (𝐿𝐵))))
130128, 129eqtrd 2764 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (𝐿𝐵) ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑅) · (𝐿𝐵)) = (𝑅 · (𝐴 · (𝐿𝐵))))
131125, 126, 127, 130syl3anc 1368 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 · 𝑅) · (𝐿𝐵)) = (𝑅 · (𝐴 · (𝐿𝐵))))
13230, 21, 5, 37ltmul2dd 13069 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅 · (𝐴 · (𝐿𝐵))) < (𝑅 · (𝑀‘(𝐹𝐵))))
133131, 132eqbrtrd 5160 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 · 𝑅) · (𝐿𝐵)) < (𝑅 · (𝑀‘(𝐹𝐵))))
134 lt2mul2div 12089 . . . . . 6 ((((𝐴 · 𝑅) ∈ ℝ ∧ ((𝐿𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐿𝐵))) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ((𝑀‘(𝐹𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑀‘(𝐹𝐵))))) → (((𝐴 · 𝑅) · (𝐿𝐵)) < (𝑅 · (𝑀‘(𝐹𝐵))) ↔ ((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < (𝑅 / (𝐿𝐵))))
1357, 100, 6, 117, 134syl22anc 836 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐴 · 𝑅) · (𝐿𝐵)) < (𝑅 · (𝑀‘(𝐹𝐵))) ↔ ((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < (𝑅 / (𝐿𝐵))))
136133, 135mpbid 231 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < (𝑅 / (𝐿𝐵)))
137 qbtwnre 13175 . . . 4 ((((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) ∈ ℝ ∧ (𝑅 / (𝐿𝐵)) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < (𝑅 / (𝐿𝐵))) → ∃𝑟 ∈ ℚ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵))))
13840, 124, 136, 137syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℚ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵))))
139123, 138r19.29a 3154 . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝐹𝐵)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝐵)))
140139, 35pm2.65i 193 1 ¬ 𝜑
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2932  wrex 3062  cin 3939  wss 3940   class class class wbr 5138  wf 6529  cfv 6533  (class class class)co 7401  cc 11104  cr 11105  0cc0 11106   · cmul 11111  *cxr 11244   < clt 11245  cle 11246   / cdiv 11868  cq 12929  +crp 12971  abscabs 15178  Basecbs 17143  Scalarcsca 17199   ·𝑠 cvsca 17200  0gc0g 17384   LMHom clmhm 20857  normcnm 24407  NrmGrpcngp 24408  NrmModcnlm 24411   normOp cnmo 24544  ℂModcclm 24911
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-fz 13482  df-seq 13964  df-exp 14025  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-0g 17386  df-topgen 17388  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-grp 18856  df-subg 19040  df-ghm 19129  df-cmn 19692  df-mgp 20030  df-ring 20130  df-cring 20131  df-subrg 20461  df-lmod 20698  df-lmhm 20860  df-psmet 21220  df-xmet 21221  df-met 21222  df-bl 21223  df-mopn 21224  df-cnfld 21229  df-top 22718  df-topon 22735  df-topsp 22757  df-bases 22771  df-xms 24148  df-ms 24149  df-nm 24413  df-ngp 24414  df-nlm 24417  df-clm 24912
This theorem is referenced by:  nmoleub2lem2  24965
  Copyright terms: Public domain W3C validator