Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simprl 770 |
. . . 4
β’ (((π β§ π β β) β§ (((π΄ Β· π
) / (πβ(πΉβπ΅))) < π β§ π < (π
/ (πΏβπ΅)))) β ((π΄ Β· π
) / (πβ(πΉβπ΅))) < π) |
2 | | qre 12937 |
. . . . . 6
β’ (π β β β π β
β) |
3 | 2 | ad2antlr 726 |
. . . . 5
β’ (((π β§ π β β) β§ (((π΄ Β· π
) / (πβ(πΉβπ΅))) < π β§ π < (π
/ (πΏβπ΅)))) β π β β) |
4 | | nmoleub2lem3.1 |
. . . . . . . 8
β’ (π β π΄ β β) |
5 | | nmoleub2.r |
. . . . . . . . 9
β’ (π β π
β
β+) |
6 | 5 | rpred 13016 |
. . . . . . . 8
β’ (π β π
β β) |
7 | 4, 6 | remulcld 11244 |
. . . . . . 7
β’ (π β (π΄ Β· π
) β β) |
8 | | nmoleub2.t |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β π β (NrmMod β©
βMod)) |
9 | 8 | elin1d 4199 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β π β NrmMod) |
10 | | nlmngp 24194 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β NrmMod β π β NrmGrp) |
11 | 9, 10 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β π β NrmGrp) |
12 | | nmoleub2.f |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β πΉ β (π LMHom π)) |
13 | | nmoleub2.v |
. . . . . . . . . . . 12
β’ π = (Baseβπ) |
14 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
(Baseβπ) =
(Baseβπ) |
15 | 13, 14 | lmhmf 20645 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (πΉ β (π LMHom π) β πΉ:πβΆ(Baseβπ)) |
16 | 12, 15 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β πΉ:πβΆ(Baseβπ)) |
17 | | nmoleub2lem3.3 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β π΅ β π) |
18 | 16, 17 | ffvelcdmd 7088 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β (πΉβπ΅) β (Baseβπ)) |
19 | | nmoleub2.m |
. . . . . . . . . 10
β’ π = (normβπ) |
20 | 14, 19 | nmcl 24125 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β NrmGrp β§ (πΉβπ΅) β (Baseβπ)) β (πβ(πΉβπ΅)) β β) |
21 | 11, 18, 20 | syl2anc 585 |
. . . . . . . 8
β’ (π β (πβ(πΉβπ΅)) β β) |
22 | | 0red 11217 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β 0 β
β) |
23 | | nmoleub2.s |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β π β (NrmMod β©
βMod)) |
24 | 23 | elin1d 4199 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β π β NrmMod) |
25 | | nlmngp 24194 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β NrmMod β π β NrmGrp) |
26 | 24, 25 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β π β NrmGrp) |
27 | | nmoleub2.l |
. . . . . . . . . . . 12
β’ πΏ = (normβπ) |
28 | 13, 27 | nmcl 24125 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β NrmGrp β§ π΅ β π) β (πΏβπ΅) β β) |
29 | 26, 17, 28 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β (πΏβπ΅) β β) |
30 | 4, 29 | remulcld 11244 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β (π΄ Β· (πΏβπ΅)) β β) |
31 | | nmoleub2lem3.2 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β 0 β€ π΄) |
32 | 13, 27 | nmge0 24126 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β NrmGrp β§ π΅ β π) β 0 β€ (πΏβπ΅)) |
33 | 26, 17, 32 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β 0 β€ (πΏβπ΅)) |
34 | 4, 29, 31, 33 | mulge0d 11791 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β 0 β€ (π΄ Β· (πΏβπ΅))) |
35 | | nmoleub2lem3.6 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β Β¬ (πβ(πΉβπ΅)) β€ (π΄ Β· (πΏβπ΅))) |
36 | 30, 21 | ltnled 11361 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β ((π΄ Β· (πΏβπ΅)) < (πβ(πΉβπ΅)) β Β¬ (πβ(πΉβπ΅)) β€ (π΄ Β· (πΏβπ΅)))) |
37 | 35, 36 | mpbird 257 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β (π΄ Β· (πΏβπ΅)) < (πβ(πΉβπ΅))) |
38 | 22, 30, 21, 34, 37 | lelttrd 11372 |
. . . . . . . 8
β’ (π β 0 < (πβ(πΉβπ΅))) |
39 | 21, 38 | elrpd 13013 |
. . . . . . 7
β’ (π β (πβ(πΉβπ΅)) β
β+) |
40 | 7, 39 | rerpdivcld 13047 |
. . . . . 6
β’ (π β ((π΄ Β· π
) / (πβ(πΉβπ΅))) β β) |
41 | 40 | ad2antrr 725 |
. . . . 5
β’ (((π β§ π β β) β§ (((π΄ Β· π
) / (πβ(πΉβπ΅))) < π β§ π < (π
/ (πΏβπ΅)))) β ((π΄ Β· π
) / (πβ(πΉβπ΅))) β β) |
42 | 12 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ π β β) β§ (((π΄ Β· π
) / (πβ(πΉβπ΅))) < π β§ π < (π
/ (πΏβπ΅)))) β πΉ β (π LMHom π)) |
43 | | nmoleub2a.5 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β β β πΎ) |
44 | 43 | sselda 3983 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π β β) β π β πΎ) |
45 | 44 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ π β β) β§ (((π΄ Β· π
) / (πβ(πΉβπ΅))) < π β§ π < (π
/ (πΏβπ΅)))) β π β πΎ) |
46 | 17 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ π β β) β§ (((π΄ Β· π
) / (πβ(πΉβπ΅))) < π β§ π < (π
/ (πΏβπ΅)))) β π΅ β π) |
47 | | nmoleub2.g |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ πΊ = (Scalarβπ) |
48 | | nmoleub2.w |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ πΎ = (BaseβπΊ) |
49 | | nmoleub2lem3.p |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ Β· = (
Β·π βπ) |
50 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (
Β·π βπ) = ( Β·π
βπ) |
51 | 47, 48, 13, 49, 50 | lmhmlin 20646 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((πΉ β (π LMHom π) β§ π β πΎ β§ π΅ β π) β (πΉβ(π Β· π΅)) = (π( Β·π
βπ)(πΉβπ΅))) |
52 | 42, 45, 46, 51 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ π β β) β§ (((π΄ Β· π
) / (πβ(πΉβπ΅))) < π β§ π < (π
/ (πΏβπ΅)))) β (πΉβ(π Β· π΅)) = (π( Β·π
βπ)(πΉβπ΅))) |
53 | 52 | fveq2d 6896 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β β) β§ (((π΄ Β· π
) / (πβ(πΉβπ΅))) < π β§ π < (π
/ (πΏβπ΅)))) β (πβ(πΉβ(π Β· π΅))) = (πβ(π( Β·π
βπ)(πΉβπ΅)))) |
54 | 9 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ π β β) β§ (((π΄ Β· π
) / (πβ(πΉβπ΅))) < π β§ π < (π
/ (πΏβπ΅)))) β π β NrmMod) |
55 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’
(Scalarβπ) =
(Scalarβπ) |
56 | 47, 55 | lmhmsca 20641 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (πΉ β (π LMHom π) β (Scalarβπ) = πΊ) |
57 | 42, 56 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π β§ π β β) β§ (((π΄ Β· π
) / (πβ(πΉβπ΅))) < π β§ π < (π
/ (πΏβπ΅)))) β (Scalarβπ) = πΊ) |
58 | 57 | fveq2d 6896 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ π β β) β§ (((π΄ Β· π
) / (πβ(πΉβπ΅))) < π β§ π < (π
/ (πΏβπ΅)))) β (Baseβ(Scalarβπ)) = (BaseβπΊ)) |
59 | 58, 48 | eqtr4di 2791 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ π β β) β§ (((π΄ Β· π
) / (πβ(πΉβπ΅))) < π β§ π < (π
/ (πΏβπ΅)))) β (Baseβ(Scalarβπ)) = πΎ) |
60 | 45, 59 | eleqtrrd 2837 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ π β β) β§ (((π΄ Β· π
) / (πβ(πΉβπ΅))) < π β§ π < (π
/ (πΏβπ΅)))) β π β (Baseβ(Scalarβπ))) |
61 | 18 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ π β β) β§ (((π΄ Β· π
) / (πβ(πΉβπ΅))) < π β§ π < (π
/ (πΏβπ΅)))) β (πΉβπ΅) β (Baseβπ)) |
62 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
(Baseβ(Scalarβπ)) = (Baseβ(Scalarβπ)) |
63 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
(normβ(Scalarβπ)) = (normβ(Scalarβπ)) |
64 | 14, 19, 50, 55, 62, 63 | nmvs 24193 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β NrmMod β§ π β
(Baseβ(Scalarβπ)) β§ (πΉβπ΅) β (Baseβπ)) β (πβ(π( Β·π
βπ)(πΉβπ΅))) = (((normβ(Scalarβπ))βπ) Β· (πβ(πΉβπ΅)))) |
65 | 54, 60, 61, 64 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β β) β§ (((π΄ Β· π
) / (πβ(πΉβπ΅))) < π β§ π < (π
/ (πΏβπ΅)))) β (πβ(π( Β·π
βπ)(πΉβπ΅))) = (((normβ(Scalarβπ))βπ) Β· (πβ(πΉβπ΅)))) |
66 | 57 | fveq2d 6896 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ π β β) β§ (((π΄ Β· π
) / (πβ(πΉβπ΅))) < π β§ π < (π
/ (πΏβπ΅)))) β (normβ(Scalarβπ)) = (normβπΊ)) |
67 | 66 | fveq1d 6894 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ π β β) β§ (((π΄ Β· π
) / (πβ(πΉβπ΅))) < π β§ π < (π
/ (πΏβπ΅)))) β ((normβ(Scalarβπ))βπ) = ((normβπΊ)βπ)) |
68 | 23 | elin2d 4200 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β π β βMod) |
69 | 68 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π β§ π β β) β§ (((π΄ Β· π
) / (πβ(πΉβπ΅))) < π β§ π < (π
/ (πΏβπ΅)))) β π β βMod) |
70 | 47, 48 | clmabs 24599 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β βMod β§ π β πΎ) β (absβπ) = ((normβπΊ)βπ)) |
71 | 69, 45, 70 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ π β β) β§ (((π΄ Β· π
) / (πβ(πΉβπ΅))) < π β§ π < (π
/ (πΏβπ΅)))) β (absβπ) = ((normβπΊ)βπ)) |
72 | | 0red 11217 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π β§ π β β) β§ (((π΄ Β· π
) / (πβ(πΉβπ΅))) < π β§ π < (π
/ (πΏβπ΅)))) β 0 β
β) |
73 | 5 | rpge0d 13020 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β 0 β€ π
) |
74 | 4, 6, 31, 73 | mulge0d 11791 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β 0 β€ (π΄ Β· π
)) |
75 | | divge0 12083 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((((π΄ Β· π
) β β β§ 0 β€ (π΄ Β· π
)) β§ ((πβ(πΉβπ΅)) β β β§ 0 < (πβ(πΉβπ΅)))) β 0 β€ ((π΄ Β· π
) / (πβ(πΉβπ΅)))) |
76 | 7, 74, 21, 38, 75 | syl22anc 838 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β 0 β€ ((π΄ Β· π
) / (πβ(πΉβπ΅)))) |
77 | 76 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((π β§ π β β) β§ (((π΄ Β· π
) / (πβ(πΉβπ΅))) < π β§ π < (π
/ (πΏβπ΅)))) β 0 β€ ((π΄ Β· π
) / (πβ(πΉβπ΅)))) |
78 | 72, 41, 3, 77, 1 | lelttrd 11372 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π β§ π β β) β§ (((π΄ Β· π
) / (πβ(πΉβπ΅))) < π β§ π < (π
/ (πΏβπ΅)))) β 0 < π) |
79 | 72, 3, 78 | ltled 11362 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π β§ π β β) β§ (((π΄ Β· π
) / (πβ(πΉβπ΅))) < π β§ π < (π
/ (πΏβπ΅)))) β 0 β€ π) |
80 | 3, 79 | absidd 15369 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ π β β) β§ (((π΄ Β· π
) / (πβ(πΉβπ΅))) < π β§ π < (π
/ (πΏβπ΅)))) β (absβπ) = π) |
81 | 71, 80 | eqtr3d 2775 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ π β β) β§ (((π΄ Β· π
) / (πβ(πΉβπ΅))) < π β§ π < (π
/ (πΏβπ΅)))) β ((normβπΊ)βπ) = π) |
82 | 67, 81 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ π β β) β§ (((π΄ Β· π
) / (πβ(πΉβπ΅))) < π β§ π < (π
/ (πΏβπ΅)))) β ((normβ(Scalarβπ))βπ) = π) |
83 | 82 | oveq1d 7424 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β β) β§ (((π΄ Β· π
) / (πβ(πΉβπ΅))) < π β§ π < (π
/ (πΏβπ΅)))) β
(((normβ(Scalarβπ))βπ) Β· (πβ(πΉβπ΅))) = (π Β· (πβ(πΉβπ΅)))) |
84 | 53, 65, 83 | 3eqtrd 2777 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π β β) β§ (((π΄ Β· π
) / (πβ(πΉβπ΅))) < π β§ π < (π
/ (πΏβπ΅)))) β (πβ(πΉβ(π Β· π΅))) = (π Β· (πβ(πΉβπ΅)))) |
85 | 84 | oveq1d 7424 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ π β β) β§ (((π΄ Β· π
) / (πβ(πΉβπ΅))) < π β§ π < (π
/ (πΏβπ΅)))) β ((πβ(πΉβ(π Β· π΅))) / π
) = ((π Β· (πβ(πΉβπ΅))) / π
)) |
86 | 13, 47, 49, 48 | clmvscl 24604 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β βMod β§ π β πΎ β§ π΅ β π) β (π Β· π΅) β π) |
87 | 69, 45, 46, 86 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π β β) β§ (((π΄ Β· π
) / (πβ(πΉβπ΅))) < π β§ π < (π
/ (πΏβπ΅)))) β (π Β· π΅) β π) |
88 | 24 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ π β β) β§ (((π΄ Β· π
) / (πβ(πΉβπ΅))) < π β§ π < (π
/ (πΏβπ΅)))) β π β NrmMod) |
89 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’
(normβπΊ) =
(normβπΊ) |
90 | 13, 27, 49, 47, 48, 89 | nmvs 24193 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β NrmMod β§ π β πΎ β§ π΅ β π) β (πΏβ(π Β· π΅)) = (((normβπΊ)βπ) Β· (πΏβπ΅))) |
91 | 88, 45, 46, 90 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ π β β) β§ (((π΄ Β· π
) / (πβ(πΉβπ΅))) < π β§ π < (π
/ (πΏβπ΅)))) β (πΏβ(π Β· π΅)) = (((normβπΊ)βπ) Β· (πΏβπ΅))) |
92 | 81 | oveq1d 7424 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ π β β) β§ (((π΄ Β· π
) / (πβ(πΉβπ΅))) < π β§ π < (π
/ (πΏβπ΅)))) β (((normβπΊ)βπ) Β· (πΏβπ΅)) = (π Β· (πΏβπ΅))) |
93 | 91, 92 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β β) β§ (((π΄ Β· π
) / (πβ(πΉβπ΅))) < π β§ π < (π
/ (πΏβπ΅)))) β (πΏβ(π Β· π΅)) = (π Β· (πΏβπ΅))) |
94 | | simprr 772 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ π β β) β§ (((π΄ Β· π
) / (πβ(πΉβπ΅))) < π β§ π < (π
/ (πΏβπ΅)))) β π < (π
/ (πΏβπ΅))) |
95 | 6 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ π β β) β§ (((π΄ Β· π
) / (πβ(πΉβπ΅))) < π β§ π < (π
/ (πΏβπ΅)))) β π
β β) |
96 | | nmoleub2lem3.4 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β π΅ β (0gβπ)) |
97 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’
(0gβπ) = (0gβπ) |
98 | 13, 27, 97 | nmrpcl 24129 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β NrmGrp β§ π΅ β π β§ π΅ β (0gβπ)) β (πΏβπ΅) β
β+) |
99 | 26, 17, 96, 98 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β (πΏβπ΅) β
β+) |
100 | 99 | rpregt0d 13022 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β ((πΏβπ΅) β β β§ 0 < (πΏβπ΅))) |
101 | 100 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ π β β) β§ (((π΄ Β· π
) / (πβ(πΉβπ΅))) < π β§ π < (π
/ (πΏβπ΅)))) β ((πΏβπ΅) β β β§ 0 < (πΏβπ΅))) |
102 | | ltmuldiv 12087 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β β β§ π
β β β§ ((πΏβπ΅) β β β§ 0 < (πΏβπ΅))) β ((π Β· (πΏβπ΅)) < π
β π < (π
/ (πΏβπ΅)))) |
103 | 3, 95, 101, 102 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ π β β) β§ (((π΄ Β· π
) / (πβ(πΉβπ΅))) < π β§ π < (π
/ (πΏβπ΅)))) β ((π Β· (πΏβπ΅)) < π
β π < (π
/ (πΏβπ΅)))) |
104 | 94, 103 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β β) β§ (((π΄ Β· π
) / (πβ(πΉβπ΅))) < π β§ π < (π
/ (πΏβπ΅)))) β (π Β· (πΏβπ΅)) < π
) |
105 | 93, 104 | eqbrtrd 5171 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π β β) β§ (((π΄ Β· π
) / (πβ(πΉβπ΅))) < π β§ π < (π
/ (πΏβπ΅)))) β (πΏβ(π Β· π΅)) < π
) |
106 | | nmoleub2lem3.5 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β ((π Β· π΅) β π β ((πΏβ(π Β· π΅)) < π
β ((πβ(πΉβ(π Β· π΅))) / π
) β€ π΄))) |
107 | 106 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π β β) β§ (((π΄ Β· π
) / (πβ(πΉβπ΅))) < π β§ π < (π
/ (πΏβπ΅)))) β ((π Β· π΅) β π β ((πΏβ(π Β· π΅)) < π
β ((πβ(πΉβ(π Β· π΅))) / π
) β€ π΄))) |
108 | 87, 105, 107 | mp2d 49 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ π β β) β§ (((π΄ Β· π
) / (πβ(πΉβπ΅))) < π β§ π < (π
/ (πΏβπ΅)))) β ((πβ(πΉβ(π Β· π΅))) / π
) β€ π΄) |
109 | 85, 108 | eqbrtrrd 5173 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ π β β) β§ (((π΄ Β· π
) / (πβ(πΉβπ΅))) < π β§ π < (π
/ (πΏβπ΅)))) β ((π Β· (πβ(πΉβπ΅))) / π
) β€ π΄) |
110 | 21 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π β β) β§ (((π΄ Β· π
) / (πβ(πΉβπ΅))) < π β§ π < (π
/ (πΏβπ΅)))) β (πβ(πΉβπ΅)) β β) |
111 | 3, 110 | remulcld 11244 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ π β β) β§ (((π΄ Β· π
) / (πβ(πΉβπ΅))) < π β§ π < (π
/ (πΏβπ΅)))) β (π Β· (πβ(πΉβπ΅))) β β) |
112 | 4 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ π β β) β§ (((π΄ Β· π
) / (πβ(πΉβπ΅))) < π β§ π < (π
/ (πΏβπ΅)))) β π΄ β β) |
113 | 5 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ π β β) β§ (((π΄ Β· π
) / (πβ(πΉβπ΅))) < π β§ π < (π
/ (πΏβπ΅)))) β π
β
β+) |
114 | 111, 112,
113 | ledivmul2d 13070 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ π β β) β§ (((π΄ Β· π
) / (πβ(πΉβπ΅))) < π β§ π < (π
/ (πΏβπ΅)))) β (((π Β· (πβ(πΉβπ΅))) / π
) β€ π΄ β (π Β· (πβ(πΉβπ΅))) β€ (π΄ Β· π
))) |
115 | 109, 114 | mpbid 231 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ π β β) β§ (((π΄ Β· π
) / (πβ(πΉβπ΅))) < π β§ π < (π
/ (πΏβπ΅)))) β (π Β· (πβ(πΉβπ΅))) β€ (π΄ Β· π
)) |
116 | 112, 95 | remulcld 11244 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ π β β) β§ (((π΄ Β· π
) / (πβ(πΉβπ΅))) < π β§ π < (π
/ (πΏβπ΅)))) β (π΄ Β· π
) β β) |
117 | 21, 38 | jca 513 |
. . . . . . . 8
β’ (π β ((πβ(πΉβπ΅)) β β β§ 0 < (πβ(πΉβπ΅)))) |
118 | 117 | ad2antrr 725 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ π β β) β§ (((π΄ Β· π
) / (πβ(πΉβπ΅))) < π β§ π < (π
/ (πΏβπ΅)))) β ((πβ(πΉβπ΅)) β β β§ 0 < (πβ(πΉβπ΅)))) |
119 | | lemuldiv 12094 |
. . . . . . 7
β’ ((π β β β§ (π΄ Β· π
) β β β§ ((πβ(πΉβπ΅)) β β β§ 0 < (πβ(πΉβπ΅)))) β ((π Β· (πβ(πΉβπ΅))) β€ (π΄ Β· π
) β π β€ ((π΄ Β· π
) / (πβ(πΉβπ΅))))) |
120 | 3, 116, 118, 119 | syl3anc 1372 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ π β β) β§ (((π΄ Β· π
) / (πβ(πΉβπ΅))) < π β§ π < (π
/ (πΏβπ΅)))) β ((π Β· (πβ(πΉβπ΅))) β€ (π΄ Β· π
) β π β€ ((π΄ Β· π
) / (πβ(πΉβπ΅))))) |
121 | 115, 120 | mpbid 231 |
. . . . 5
β’ (((π β§ π β β) β§ (((π΄ Β· π
) / (πβ(πΉβπ΅))) < π β§ π < (π
/ (πΏβπ΅)))) β π β€ ((π΄ Β· π
) / (πβ(πΉβπ΅)))) |
122 | 3, 41, 121 | lensymd 11365 |
. . . 4
β’ (((π β§ π β β) β§ (((π΄ Β· π
) / (πβ(πΉβπ΅))) < π β§ π < (π
/ (πΏβπ΅)))) β Β¬ ((π΄ Β· π
) / (πβ(πΉβπ΅))) < π) |
123 | 1, 122 | pm2.21dd 194 |
. . 3
β’ (((π β§ π β β) β§ (((π΄ Β· π
) / (πβ(πΉβπ΅))) < π β§ π < (π
/ (πΏβπ΅)))) β (πβ(πΉβπ΅)) β€ (π΄ Β· (πΏβπ΅))) |
124 | 6, 99 | rerpdivcld 13047 |
. . . 4
β’ (π β (π
/ (πΏβπ΅)) β β) |
125 | 4 | recnd 11242 |
. . . . . . 7
β’ (π β π΄ β β) |
126 | 6 | recnd 11242 |
. . . . . . 7
β’ (π β π
β β) |
127 | 29 | recnd 11242 |
. . . . . . 7
β’ (π β (πΏβπ΅) β β) |
128 | | mulass 11198 |
. . . . . . . 8
β’ ((π΄ β β β§ π
β β β§ (πΏβπ΅) β β) β ((π΄ Β· π
) Β· (πΏβπ΅)) = (π΄ Β· (π
Β· (πΏβπ΅)))) |
129 | | mul12 11379 |
. . . . . . . 8
β’ ((π΄ β β β§ π
β β β§ (πΏβπ΅) β β) β (π΄ Β· (π
Β· (πΏβπ΅))) = (π
Β· (π΄ Β· (πΏβπ΅)))) |
130 | 128, 129 | eqtrd 2773 |
. . . . . . 7
β’ ((π΄ β β β§ π
β β β§ (πΏβπ΅) β β) β ((π΄ Β· π
) Β· (πΏβπ΅)) = (π
Β· (π΄ Β· (πΏβπ΅)))) |
131 | 125, 126,
127, 130 | syl3anc 1372 |
. . . . . 6
β’ (π β ((π΄ Β· π
) Β· (πΏβπ΅)) = (π
Β· (π΄ Β· (πΏβπ΅)))) |
132 | 30, 21, 5, 37 | ltmul2dd 13072 |
. . . . . 6
β’ (π β (π
Β· (π΄ Β· (πΏβπ΅))) < (π
Β· (πβ(πΉβπ΅)))) |
133 | 131, 132 | eqbrtrd 5171 |
. . . . 5
β’ (π β ((π΄ Β· π
) Β· (πΏβπ΅)) < (π
Β· (πβ(πΉβπ΅)))) |
134 | | lt2mul2div 12092 |
. . . . . 6
β’ ((((π΄ Β· π
) β β β§ ((πΏβπ΅) β β β§ 0 < (πΏβπ΅))) β§ (π
β β β§ ((πβ(πΉβπ΅)) β β β§ 0 < (πβ(πΉβπ΅))))) β (((π΄ Β· π
) Β· (πΏβπ΅)) < (π
Β· (πβ(πΉβπ΅))) β ((π΄ Β· π
) / (πβ(πΉβπ΅))) < (π
/ (πΏβπ΅)))) |
135 | 7, 100, 6, 117, 134 | syl22anc 838 |
. . . . 5
β’ (π β (((π΄ Β· π
) Β· (πΏβπ΅)) < (π
Β· (πβ(πΉβπ΅))) β ((π΄ Β· π
) / (πβ(πΉβπ΅))) < (π
/ (πΏβπ΅)))) |
136 | 133, 135 | mpbid 231 |
. . . 4
β’ (π β ((π΄ Β· π
) / (πβ(πΉβπ΅))) < (π
/ (πΏβπ΅))) |
137 | | qbtwnre 13178 |
. . . 4
β’ ((((π΄ Β· π
) / (πβ(πΉβπ΅))) β β β§ (π
/ (πΏβπ΅)) β β β§ ((π΄ Β· π
) / (πβ(πΉβπ΅))) < (π
/ (πΏβπ΅))) β βπ β β (((π΄ Β· π
) / (πβ(πΉβπ΅))) < π β§ π < (π
/ (πΏβπ΅)))) |
138 | 40, 124, 136, 137 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ (π β βπ β β (((π΄ Β· π
) / (πβ(πΉβπ΅))) < π β§ π < (π
/ (πΏβπ΅)))) |
139 | 123, 138 | r19.29a 3163 |
. 2
β’ (π β (πβ(πΉβπ΅)) β€ (π΄ Β· (πΏβπ΅))) |
140 | 139, 35 | pm2.65i 193 |
1
β’ Β¬
π |