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Theorem nmoleub2lem3 24638
Description: Lemma for nmoleub2a 24640 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 29-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoleub2.n 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmoleub2.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘†)
nmoleub2.l 𝐿 = (normβ€˜π‘†)
nmoleub2.m 𝑀 = (normβ€˜π‘‡)
nmoleub2.g 𝐺 = (Scalarβ€˜π‘†)
nmoleub2.w 𝐾 = (Baseβ€˜πΊ)
nmoleub2.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (NrmMod ∩ β„‚Mod))
nmoleub2.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (NrmMod ∩ β„‚Mod))
nmoleub2.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
nmoleub2.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
nmoleub2.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
nmoleub2a.5 (πœ‘ β†’ β„š βŠ† 𝐾)
nmoleub2lem3.p Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘†)
nmoleub2lem3.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
nmoleub2lem3.2 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝐴)
nmoleub2lem3.3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
nmoleub2lem3.4 (πœ‘ β†’ 𝐡 β‰  (0gβ€˜π‘†))
nmoleub2lem3.5 (πœ‘ β†’ ((π‘Ÿ Β· 𝐡) ∈ 𝑉 β†’ ((πΏβ€˜(π‘Ÿ Β· 𝐡)) < 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜(π‘Ÿ Β· 𝐡))) / 𝑅) ≀ 𝐴)))
nmoleub2lem3.6 (πœ‘ β†’ Β¬ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅)) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π΅)))
Assertion
Ref Expression
nmoleub2lem3 Β¬ πœ‘
Distinct variable groups:   𝐴,π‘Ÿ   𝐹,π‘Ÿ   𝐿,π‘Ÿ   𝑀,π‘Ÿ   πœ‘,π‘Ÿ   𝐡,π‘Ÿ   𝑅,π‘Ÿ
Allowed substitution hints:   𝑆(π‘Ÿ)   𝑇(π‘Ÿ)   Β· (π‘Ÿ)   𝐺(π‘Ÿ)   𝐾(π‘Ÿ)   𝑁(π‘Ÿ)   𝑉(π‘Ÿ)

Proof of Theorem nmoleub2lem3
StepHypRef Expression
1 simprl 769 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ ((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ)
2 qre 12939 . . . . . 6 (π‘Ÿ ∈ β„š β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
32ad2antlr 725 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
4 nmoleub2lem3.1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
5 nmoleub2.r . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
65rpred 13018 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
74, 6remulcld 11246 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· 𝑅) ∈ ℝ)
8 nmoleub2.t . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (NrmMod ∩ β„‚Mod))
98elin1d 4198 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ NrmMod)
10 nlmngp 24201 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ NrmMod β†’ 𝑇 ∈ NrmGrp)
119, 10syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ NrmGrp)
12 nmoleub2.f . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
13 nmoleub2.v . . . . . . . . . . . 12 𝑉 = (Baseβ€˜π‘†)
14 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (Baseβ€˜π‘‡) = (Baseβ€˜π‘‡)
1513, 14lmhmf 20650 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ 𝐹:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘‡))
1612, 15syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘‡))
17 nmoleub2lem3.3 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
1816, 17ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ (Baseβ€˜π‘‡))
19 nmoleub2.m . . . . . . . . . 10 𝑀 = (normβ€˜π‘‡)
2014, 19nmcl 24132 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ (Baseβ€˜π‘‡)) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅)) ∈ ℝ)
2111, 18, 20syl2anc 584 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅)) ∈ ℝ)
22 0red 11219 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
23 nmoleub2.s . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (NrmMod ∩ β„‚Mod))
2423elin1d 4198 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ NrmMod)
25 nlmngp 24201 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ NrmMod β†’ 𝑆 ∈ NrmGrp)
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ NrmGrp)
27 nmoleub2.l . . . . . . . . . . . 12 𝐿 = (normβ€˜π‘†)
2813, 27nmcl 24132 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (πΏβ€˜π΅) ∈ ℝ)
2926, 17, 28syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜π΅) ∈ ℝ)
304, 29remulcld 11246 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π΅)) ∈ ℝ)
31 nmoleub2lem3.2 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝐴)
3213, 27nmge0 24133 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ 0 ≀ (πΏβ€˜π΅))
3326, 17, 32syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (πΏβ€˜π΅))
344, 29, 31, 33mulge0d 11793 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π΅)))
35 nmoleub2lem3.6 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ Β¬ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅)) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π΅)))
3630, 21ltnled 11363 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· (πΏβ€˜π΅)) < (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅)) ↔ Β¬ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅)) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π΅))))
3735, 36mpbird 256 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π΅)) < (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅)))
3822, 30, 21, 34, 37lelttrd 11374 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 < (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅)))
3921, 38elrpd 13015 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅)) ∈ ℝ+)
407, 39rerpdivcld 13049 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) ∈ ℝ)
4140ad2antrr 724 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ ((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) ∈ ℝ)
4212ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
43 nmoleub2a.5 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ β„š βŠ† 𝐾)
4443sselda 3982 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐾)
4544adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐾)
4617ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
47 nmoleub2.g . . . . . . . . . . . . 13 𝐺 = (Scalarβ€˜π‘†)
48 nmoleub2.w . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 = (Baseβ€˜πΊ)
49 nmoleub2lem3.p . . . . . . . . . . . . 13 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘†)
50 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 ( ·𝑠 β€˜π‘‡) = ( ·𝑠 β€˜π‘‡)
5147, 48, 13, 49, 50lmhmlin 20651 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (πΉβ€˜(π‘Ÿ Β· 𝐡)) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘‡)(πΉβ€˜π΅)))
5242, 45, 46, 51syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ (πΉβ€˜(π‘Ÿ Β· 𝐡)) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘‡)(πΉβ€˜π΅)))
5352fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜(π‘Ÿ Β· 𝐡))) = (π‘€β€˜(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘‡)(πΉβ€˜π΅))))
549ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ 𝑇 ∈ NrmMod)
55 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Scalarβ€˜π‘‡) = (Scalarβ€˜π‘‡)
5647, 55lmhmsca 20646 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ (Scalarβ€˜π‘‡) = 𝐺)
5742, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ (Scalarβ€˜π‘‡) = 𝐺)
5857fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) = (Baseβ€˜πΊ))
5958, 48eqtr4di 2790 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) = 𝐾)
6045, 59eleqtrrd 2836 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)))
6118ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ (Baseβ€˜π‘‡))
62 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))
63 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (normβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) = (normβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))
6414, 19, 50, 55, 62, 63nmvs 24200 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ NrmMod ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ (Baseβ€˜π‘‡)) β†’ (π‘€β€˜(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘‡)(πΉβ€˜π΅))) = (((normβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))β€˜π‘Ÿ) Β· (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))))
6554, 60, 61, 64syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ (π‘€β€˜(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘‡)(πΉβ€˜π΅))) = (((normβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))β€˜π‘Ÿ) Β· (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))))
6657fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ (normβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) = (normβ€˜πΊ))
6766fveq1d 6893 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ ((normβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))β€˜π‘Ÿ) = ((normβ€˜πΊ)β€˜π‘Ÿ))
6823elin2d 4199 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ β„‚Mod)
6968ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ 𝑆 ∈ β„‚Mod)
7047, 48clmabs 24606 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ∈ β„‚Mod ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐾) β†’ (absβ€˜π‘Ÿ) = ((normβ€˜πΊ)β€˜π‘Ÿ))
7169, 45, 70syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ (absβ€˜π‘Ÿ) = ((normβ€˜πΊ)β€˜π‘Ÿ))
72 0red 11219 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ 0 ∈ ℝ)
735rpge0d 13022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝑅)
744, 6, 31, 73mulge0d 11793 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (𝐴 Β· 𝑅))
75 divge0 12085 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 Β· 𝑅) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐴 Β· 𝑅)) ∧ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅)) ∈ ℝ ∧ 0 < (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅)))) β†’ 0 ≀ ((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))))
767, 74, 21, 38, 75syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 0 ≀ ((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))))
7776ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ 0 ≀ ((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))))
7872, 41, 3, 77, 1lelttrd 11374 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ 0 < π‘Ÿ)
7972, 3, 78ltled 11364 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ 0 ≀ π‘Ÿ)
803, 79absidd 15371 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ (absβ€˜π‘Ÿ) = π‘Ÿ)
8171, 80eqtr3d 2774 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ ((normβ€˜πΊ)β€˜π‘Ÿ) = π‘Ÿ)
8267, 81eqtrd 2772 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ ((normβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))β€˜π‘Ÿ) = π‘Ÿ)
8382oveq1d 7426 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ (((normβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))β€˜π‘Ÿ) Β· (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) = (π‘Ÿ Β· (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))))
8453, 65, 833eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜(π‘Ÿ Β· 𝐡))) = (π‘Ÿ Β· (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))))
8584oveq1d 7426 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜(π‘Ÿ Β· 𝐡))) / 𝑅) = ((π‘Ÿ Β· (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) / 𝑅))
8613, 47, 49, 48clmvscl 24611 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ β„‚Mod ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Ÿ Β· 𝐡) ∈ 𝑉)
8769, 45, 46, 86syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ (π‘Ÿ Β· 𝐡) ∈ 𝑉)
8824ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ 𝑆 ∈ NrmMod)
89 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (normβ€˜πΊ) = (normβ€˜πΊ)
9013, 27, 49, 47, 48, 89nmvs 24200 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ NrmMod ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (πΏβ€˜(π‘Ÿ Β· 𝐡)) = (((normβ€˜πΊ)β€˜π‘Ÿ) Β· (πΏβ€˜π΅)))
9188, 45, 46, 90syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ (πΏβ€˜(π‘Ÿ Β· 𝐡)) = (((normβ€˜πΊ)β€˜π‘Ÿ) Β· (πΏβ€˜π΅)))
9281oveq1d 7426 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ (((normβ€˜πΊ)β€˜π‘Ÿ) Β· (πΏβ€˜π΅)) = (π‘Ÿ Β· (πΏβ€˜π΅)))
9391, 92eqtrd 2772 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ (πΏβ€˜(π‘Ÿ Β· 𝐡)) = (π‘Ÿ Β· (πΏβ€˜π΅)))
94 simprr 771 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))
956ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
96 nmoleub2lem3.4 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐡 β‰  (0gβ€˜π‘†))
97 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘†)
9813, 27, 97nmrpcl 24136 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 β‰  (0gβ€˜π‘†)) β†’ (πΏβ€˜π΅) ∈ ℝ+)
9926, 17, 96, 98syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜π΅) ∈ ℝ+)
10099rpregt0d 13024 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((πΏβ€˜π΅) ∈ ℝ ∧ 0 < (πΏβ€˜π΅)))
101100ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ ((πΏβ€˜π΅) ∈ ℝ ∧ 0 < (πΏβ€˜π΅)))
102 ltmuldiv 12089 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ ((πΏβ€˜π΅) ∈ ℝ ∧ 0 < (πΏβ€˜π΅))) β†’ ((π‘Ÿ Β· (πΏβ€˜π΅)) < 𝑅 ↔ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅))))
1033, 95, 101, 102syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ ((π‘Ÿ Β· (πΏβ€˜π΅)) < 𝑅 ↔ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅))))
10494, 103mpbird 256 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ (π‘Ÿ Β· (πΏβ€˜π΅)) < 𝑅)
10593, 104eqbrtrd 5170 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ (πΏβ€˜(π‘Ÿ Β· 𝐡)) < 𝑅)
106 nmoleub2lem3.5 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((π‘Ÿ Β· 𝐡) ∈ 𝑉 β†’ ((πΏβ€˜(π‘Ÿ Β· 𝐡)) < 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜(π‘Ÿ Β· 𝐡))) / 𝑅) ≀ 𝐴)))
107106ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ ((π‘Ÿ Β· 𝐡) ∈ 𝑉 β†’ ((πΏβ€˜(π‘Ÿ Β· 𝐡)) < 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜(π‘Ÿ Β· 𝐡))) / 𝑅) ≀ 𝐴)))
10887, 105, 107mp2d 49 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜(π‘Ÿ Β· 𝐡))) / 𝑅) ≀ 𝐴)
10985, 108eqbrtrrd 5172 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ ((π‘Ÿ Β· (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) / 𝑅) ≀ 𝐴)
11021ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅)) ∈ ℝ)
1113, 110remulcld 11246 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ (π‘Ÿ Β· (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) ∈ ℝ)
1124ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
1135ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
114111, 112, 113ledivmul2d 13072 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ (((π‘Ÿ Β· (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) / 𝑅) ≀ 𝐴 ↔ (π‘Ÿ Β· (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) ≀ (𝐴 Β· 𝑅)))
115109, 114mpbid 231 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ (π‘Ÿ Β· (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) ≀ (𝐴 Β· 𝑅))
116112, 95remulcld 11246 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ (𝐴 Β· 𝑅) ∈ ℝ)
11721, 38jca 512 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅)) ∈ ℝ ∧ 0 < (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))))
118117ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅)) ∈ ℝ ∧ 0 < (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))))
119 lemuldiv 12096 . . . . . . 7 ((π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (𝐴 Β· 𝑅) ∈ ℝ ∧ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅)) ∈ ℝ ∧ 0 < (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅)))) β†’ ((π‘Ÿ Β· (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) ≀ (𝐴 Β· 𝑅) ↔ π‘Ÿ ≀ ((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅)))))
1203, 116, 118, 119syl3anc 1371 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ ((π‘Ÿ Β· (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) ≀ (𝐴 Β· 𝑅) ↔ π‘Ÿ ≀ ((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅)))))
121115, 120mpbid 231 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ π‘Ÿ ≀ ((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))))
1223, 41, 121lensymd 11367 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ Β¬ ((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ)
1231, 122pm2.21dd 194 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) ∧ (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅)) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π΅)))
1246, 99rerpdivcld 13049 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)) ∈ ℝ)
1254recnd 11244 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
1266recnd 11244 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ β„‚)
12729recnd 11244 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜π΅) ∈ β„‚)
128 mulass 11200 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑅 ∈ β„‚ ∧ (πΏβ€˜π΅) ∈ β„‚) β†’ ((𝐴 Β· 𝑅) Β· (πΏβ€˜π΅)) = (𝐴 Β· (𝑅 Β· (πΏβ€˜π΅))))
129 mul12 11381 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑅 ∈ β„‚ ∧ (πΏβ€˜π΅) ∈ β„‚) β†’ (𝐴 Β· (𝑅 Β· (πΏβ€˜π΅))) = (𝑅 Β· (𝐴 Β· (πΏβ€˜π΅))))
130128, 129eqtrd 2772 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑅 ∈ β„‚ ∧ (πΏβ€˜π΅) ∈ β„‚) β†’ ((𝐴 Β· 𝑅) Β· (πΏβ€˜π΅)) = (𝑅 Β· (𝐴 Β· (πΏβ€˜π΅))))
131125, 126, 127, 130syl3anc 1371 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· 𝑅) Β· (πΏβ€˜π΅)) = (𝑅 Β· (𝐴 Β· (πΏβ€˜π΅))))
13230, 21, 5, 37ltmul2dd 13074 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑅 Β· (𝐴 Β· (πΏβ€˜π΅))) < (𝑅 Β· (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))))
133131, 132eqbrtrd 5170 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· 𝑅) Β· (πΏβ€˜π΅)) < (𝑅 Β· (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))))
134 lt2mul2div 12094 . . . . . 6 ((((𝐴 Β· 𝑅) ∈ ℝ ∧ ((πΏβ€˜π΅) ∈ ℝ ∧ 0 < (πΏβ€˜π΅))) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅)) ∈ ℝ ∧ 0 < (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))))) β†’ (((𝐴 Β· 𝑅) Β· (πΏβ€˜π΅)) < (𝑅 Β· (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) ↔ ((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅))))
1357, 100, 6, 117, 134syl22anc 837 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((𝐴 Β· 𝑅) Β· (πΏβ€˜π΅)) < (𝑅 Β· (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) ↔ ((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅))))
136133, 135mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)))
137 qbtwnre 13180 . . . 4 ((((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) ∈ ℝ ∧ (𝑅 / (πΏβ€˜π΅)) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅))) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„š (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅))))
13840, 124, 136, 137syl3anc 1371 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„š (((𝐴 Β· 𝑅) / (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅))) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < (𝑅 / (πΏβ€˜π΅))))
139123, 138r19.29a 3162 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π΅)) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π΅)))
140139, 35pm2.65i 193 1 Β¬ πœ‘
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112   Β· cmul 11117  β„*cxr 11249   < clt 11250   ≀ cle 11251   / cdiv 11873  β„šcq 12934  β„+crp 12976  abscabs 15183  Basecbs 17146  Scalarcsca 17202   ·𝑠 cvsca 17203  0gc0g 17387   LMHom clmhm 20635  normcnm 24092  NrmGrpcngp 24093  NrmModcnlm 24096   normOp cnmo 24229  β„‚Modcclm 24585
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-fz 13487  df-seq 13969  df-exp 14030  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-0g 17389  df-topgen 17391  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-grp 18824  df-subg 19005  df-ghm 19092  df-cmn 19652  df-mgp 19990  df-ring 20060  df-cring 20061  df-subrg 20321  df-lmod 20477  df-lmhm 20638  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-xms 23833  df-ms 23834  df-nm 24098  df-ngp 24099  df-nlm 24102  df-clm 24586
This theorem is referenced by:  nmoleub2lem2  24639
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