Theorem rpvmasum2 27729

Description: A partial result along the lines of rpvmasum 27743. The sum of the von Mangoldt function over those integers 𝑛≡𝐴 (mod 𝑁) is asymptotic to (1 − 𝑀)(log𝑥 / ϕ(𝑥)) + 𝑂(1), where 𝑀 is the number of non-principal Dirichlet characters with Σ𝑛 ∈ ℕ, 𝑋(𝑛) / 𝑛 = 0. Our goal is to show this set is empty. Equation 9.4.3 of [Shapiro], p. 375. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum2.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum2.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum2.1	⊢ 1 = (0g‘𝐺)
rpvmasum2.w	⊢ 𝑊 = {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) = 0}
rpvmasum2.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
rpvmasum2.b	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
rpvmasum2.t	⊢ 𝑇 = (◡𝐿 “ {𝐴})
rpvmasum2.z1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑊) → 𝐴 = (1r‘𝑍))

Assertion

Ref	Expression
rpvmasum2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊))))) ∈ 𝑂(1))

Distinct variable groups:   𝑚,𝑛,𝑥,𝑦,𝑓, 1   𝐴,𝑓,𝑚,𝑥,𝑦   𝑓,𝐺   𝑓,𝑁,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦   𝜑,𝑓,𝑚,𝑛,𝑥   𝑇,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦   𝑈,𝑚,𝑛,𝑥   𝑓,𝑊,𝑥   𝑓,𝑍,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦   𝐷,𝑓,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦   𝑓,𝐿,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦   𝐴,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝑇(𝑓)   𝑈(𝑦, 𝑓)   𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑚, 𝑛)   𝑊(𝑦, 𝑚, 𝑛)

Proof of Theorem rpvmasum2

Dummy variables 𝑐 𝑡 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpvmasum.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2	1	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ ℕ)
3		rpvmasum2.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
4		rpvmasum2.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
5	3, 4	dchrfi 27472	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ Fin)
6	2, 5	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ Fin)
7		fzfid 14029	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
8		rpvmasum.z	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
9		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
10		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → 𝑓 ∈ 𝐷)
11	3, 8, 4, 9, 10	dchrf 27459	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → 𝑓:(Base‘𝑍)⟶ℂ)
12		rpvmasum2.u	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
13	9, 12	unitss 20506	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑍)
14		rpvmasum2.b	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
15	13, 14	sselid 3936	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘𝑍))
16	15	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑍))
17	11, 16	ffvelcdmd 7084	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (𝑓‘𝐴) ∈ ℂ)
18	17	cjcld 15273	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (∗‘(𝑓‘𝐴)) ∈ ℂ)
19	18	adantlr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (∗‘(𝑓‘𝐴)) ∈ ℂ)
20	19	adantrl 729	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷)) → (∗‘(𝑓‘𝐴)) ∈ ℂ)
21	11	ad4ant14 765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → 𝑓:(Base‘𝑍)⟶ℂ)
22	1	nnnn0d 12582	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
23		rpvmasum.l	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
24	8, 9, 23	znzrhfo 21749	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍))
25		fof 6796	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
26	22, 24, 25	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
27	26	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
28		elfzelz 13570	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℤ)
29		ffvelcdm 7080	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐿‘𝑛) ∈ (Base‘𝑍))
30	27, 28, 29	syl2an 608	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝐿‘𝑛) ∈ (Base‘𝑍))
31	30	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (𝐿‘𝑛) ∈ (Base‘𝑍))
32	21, 31	ffvelcdmd 7084	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (𝑓‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
33	32	anasss 472	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷)) → (𝑓‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
34		elfznn 13600	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℕ)
35	34	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℕ)
36		vmacl 27335	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
37	35, 36	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
38	37, 35	nndivred 12307	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
39	38	recnd 11254	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
40	39	adantrr 730	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷)) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
41	33, 40	mulcld 11246	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷)) → ((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
42	20, 41	mulcld 11246	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷)) → ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) ∈ ℂ)
43	42	anass1rs 668	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) ∈ ℂ)
44	7, 43	fsumcl 15809	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((∗‘(𝑓‘𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) ∈ ℂ)
45		relogcl 26793	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
46	45	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
47	46	recnd 11254	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
48	47	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
49		ax-1cn 11175	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
50		neg1cn 12220	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℂ
51		0cn 11215	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℂ
52	50, 51	ifcli 4537	. . . . . . 7 ⊢ if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0) ∈ ℂ
53	49, 52	ifcli 4537	. . . . . 6 ⊢ if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)) ∈ ℂ
54		mulcl 11201	. . . . . 6 ⊢ (((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)) ∈ ℂ) → ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))) ∈ ℂ)
55	48, 53, 54	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))) ∈ ℂ)
56	6, 44, 55	fsumsub 15864	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓 ∈ 𝐷 (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((∗‘(𝑓‘𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)))) = (Σ𝑓 ∈ 𝐷 Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((∗‘(𝑓‘𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) − Σ𝑓 ∈ 𝐷 ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)))))
57	41	anass1rs 668	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
58	7, 57	fsumcl 15809	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
59	19, 58, 55	subdid 11687	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))))) = (((∗‘(𝑓‘𝐴)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) − ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))))))
60	7, 19, 57	fsummulc2 15860	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((∗‘(𝑓‘𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
61	53	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)) ∈ ℂ)
62	19, 48, 61	mul12d 11436	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)))) = ((log‘𝑥) · ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)))))
63		ovif2 7518	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))) = if(𝑓 = 1 , ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · 1), ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)))
64		fveq1 6884	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑓 = 1 → (𝑓‘𝐴) = ( 1 ‘𝐴))
65		rpvmasum2.1	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 = (0g‘𝐺)
66	1	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → 𝑁 ∈ ℕ)
67	14	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝑈)
68	3, 8, 65, 12, 66, 67	dchr1 27474	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → ( 1 ‘𝐴) = 1)
69	64, 68	sylan9eqr 2822	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) → (𝑓‘𝐴) = 1)
70	69	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) → (∗‘(𝑓‘𝐴)) = (∗‘1))
71		1re 11225	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℝ
72		cjre 15216	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 ∈ ℝ → (∗‘1) = 1)
73	71, 72	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∗‘1) = 1
74	70, 73	eqtrdi 2816	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) → (∗‘(𝑓‘𝐴)) = 1)
75	74	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) → ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · 1) = (1 · 1))
76		1t1e1 12419	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 · 1) = 1
77	75, 76	eqtrdi 2816	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) → ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · 1) = 1)
78		df-ne 2961	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ≠ 1 ↔ ¬ 𝑓 = 1 )
79		ovif2 7518	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)) = if(𝑓 ∈ 𝑊, ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · -1), ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · 0))
80		rpvmasum2.z1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑊) → 𝐴 = (1r‘𝑍))
81	80	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑊) → (𝑓‘𝐴) = (𝑓‘(1r‘𝑍)))
82	81	ad5ant15 771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 ≠ 1 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑊) → (𝑓‘𝐴) = (𝑓‘(1r‘𝑍)))
83	3, 8, 4	dchrmhm 27458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 𝐷 ⊆ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))
84		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → 𝑓 ∈ 𝐷)
85	83, 84	sselid 3936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → 𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
86		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
87		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (1r‘𝑍) = (1r‘𝑍)
88	86, 87	ringidval 20311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (1r‘𝑍) = (0g‘(mulGrp‘𝑍))
89		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
90		cnfld1 21599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
91	89, 90	ringidval 20311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
92	88, 91	mhm0 18891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) → (𝑓‘(1r‘𝑍)) = 1)
93	85, 92	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (𝑓‘(1r‘𝑍)) = 1)
94	93	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 ≠ 1 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑊) → (𝑓‘(1r‘𝑍)) = 1)
95	82, 94	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 ≠ 1 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑊) → (𝑓‘𝐴) = 1)
96	95	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 ≠ 1 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑊) → (∗‘(𝑓‘𝐴)) = (∗‘1))
97	96, 73	eqtrdi 2816	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 ≠ 1 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑊) → (∗‘(𝑓‘𝐴)) = 1)
98	97	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 ≠ 1 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑊) → ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · -1) = (1 · -1))
99	50	mullidi 11231	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 · -1) = -1
100	98, 99	eqtrdi 2816	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 ≠ 1 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑊) → ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · -1) = -1)
101	100	ifeq1da 4521	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 ≠ 1 ) → if(𝑓 ∈ 𝑊, ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · -1), ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · 0)) = if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · 0)))
102	19	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 ≠ 1 ) → (∗‘(𝑓‘𝐴)) ∈ ℂ)
103	102	mul01d 11426	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 ≠ 1 ) → ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · 0) = 0)
104	103	ifeq2d 4510	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 ≠ 1 ) → if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · 0)) = if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))
105	101, 104	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 ≠ 1 ) → if(𝑓 ∈ 𝑊, ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · -1), ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · 0)) = if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))
106	79, 105	eqtrid 2812	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 ≠ 1 ) → ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)) = if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))
107	78, 106	sylan2br 607	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝑓 = 1 ) → ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)) = if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))
108	77, 107	ifeq12da 4523	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → if(𝑓 = 1 , ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · 1), ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))) = if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)))
109	63, 108	eqtrid 2812	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))) = if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)))
110	109	oveq2d 7435	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → ((log‘𝑥) · ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)))) = ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))))
111	62, 110	eqtrd 2800	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)))) = ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))))
112	60, 111	oveq12d 7437	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (((∗‘(𝑓‘𝐴)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) − ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((∗‘(𝑓‘𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)))))
113	59, 112	eqtrd 2800	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((∗‘(𝑓‘𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)))))
114	113	sumeq2dv 15779	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓 ∈ 𝐷 ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))))) = Σ𝑓 ∈ 𝐷 (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((∗‘(𝑓‘𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)))))
115		fzfid 14029	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
116		inss1 4189	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ⊆ (1...(⌊‘𝑥))
117		ssfi 9164	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin ∧ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ⊆ (1...(⌊‘𝑥))) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∈ Fin)
118	115, 116, 117	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∈ Fin)
119	2	phicld 16855	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ)
120	119	nncnd 12266	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℂ)
121	116	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ⊆ (1...(⌊‘𝑥)))
122	121	sselda 3938	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)) → 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)))
123	122, 39	syldan 603	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
124	118, 120, 123	fsummulc2 15860	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)))
125	120	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℂ)
126	125, 39	mulcld 11246	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
127	122, 126	syldan 603	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)) → ((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
128	127	ralrimiva 3159	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
129	115	olcd 888	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((1...(⌊‘𝑥)) ⊆ (ℤ≥‘1) ∨ (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin))
130		sumss2 15802	. . . . . . . 8 ⊢ (((((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ⊆ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ ∀𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ) ∧ ((1...(⌊‘𝑥)) ⊆ (ℤ≥‘1) ∨ (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)) → Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))if(𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇), ((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)), 0))
131	121, 128, 129, 130	syl21anc 851	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))if(𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇), ((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)), 0))
132		elin 3922	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ↔ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑇))
133	132	baib 545	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → (𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ↔ 𝑛 ∈ 𝑇))
134	133	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ↔ 𝑛 ∈ 𝑇))
135		rpvmasum2.t	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑇 = (◡𝐿 “ {𝐴})
136	135	eleq2i 2857	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑇 ↔ 𝑛 ∈ (◡𝐿 “ {𝐴}))
137	27	ffnd 6710	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐿 Fn ℤ)
138		fniniseg 7059	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐿 Fn ℤ → (𝑛 ∈ (◡𝐿 “ {𝐴}) ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝑛) = 𝐴)))
139	138	baibd 549	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐿 Fn ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 ∈ (◡𝐿 “ {𝐴}) ↔ (𝐿‘𝑛) = 𝐴))
140	137, 28, 139	syl2an 608	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑛 ∈ (◡𝐿 “ {𝐴}) ↔ (𝐿‘𝑛) = 𝐴))
141	136, 140	bitrid 286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑛 ∈ 𝑇 ↔ (𝐿‘𝑛) = 𝐴))
142	134, 141	bitr2d 283	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝐿‘𝑛) = 𝐴 ↔ 𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)))
143	39	mul02d 11425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (0 · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = 0)
144	142, 143	ifbieq2d 4516	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → if((𝐿‘𝑛) = 𝐴, ((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)), (0 · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) = if(𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇), ((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)), 0))
145		ovif 7517	. . . . . . . . . 10 ⊢ (if((𝐿‘𝑛) = 𝐴, (ϕ‘𝑁), 0) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = if((𝐿‘𝑛) = 𝐴, ((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)), (0 · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)))
146	1	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑁 ∈ ℕ)
147	146, 5	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝐷 ∈ Fin)
148	18	ad4ant14 765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (∗‘(𝑓‘𝐴)) ∈ ℂ)
149	32, 148	mulcld 11246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → ((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · (∗‘(𝑓‘𝐴))) ∈ ℂ)
150	147, 39, 149	fsummulc1 15861	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (Σ𝑓 ∈ 𝐷 ((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · (∗‘(𝑓‘𝐴))) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑓 ∈ 𝐷 (((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · (∗‘(𝑓‘𝐴))) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)))
151	14	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝐴 ∈ 𝑈)
152	3, 4, 8, 9, 12, 146, 30, 151	sum2dchr 27491	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑓 ∈ 𝐷 ((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · (∗‘(𝑓‘𝐴))) = if((𝐿‘𝑛) = 𝐴, (ϕ‘𝑁), 0))
153	152	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (Σ𝑓 ∈ 𝐷 ((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · (∗‘(𝑓‘𝐴))) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = (if((𝐿‘𝑛) = 𝐴, (ϕ‘𝑁), 0) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)))
154	39	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
155		mulass 11205	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ ∧ (∗‘(𝑓‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ) → (((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · (∗‘(𝑓‘𝐴))) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = ((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
156		mul12 11392	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ ∧ (∗‘(𝑓‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ) → ((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) = ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
157	155, 156	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ ∧ (∗‘(𝑓‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ) → (((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · (∗‘(𝑓‘𝐴))) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
158	32, 148, 154, 157	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · (∗‘(𝑓‘𝐴))) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
159	158	sumeq2dv 15779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑓 ∈ 𝐷 (((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · (∗‘(𝑓‘𝐴))) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑓 ∈ 𝐷 ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
160	150, 153, 159	3eqtr3d 2808	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (if((𝐿‘𝑛) = 𝐴, (ϕ‘𝑁), 0) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑓 ∈ 𝐷 ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
161	145, 160	eqtr3id 2814	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → if((𝐿‘𝑛) = 𝐴, ((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)), (0 · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) = Σ𝑓 ∈ 𝐷 ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
162	144, 161	eqtr3d 2802	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → if(𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇), ((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)), 0) = Σ𝑓 ∈ 𝐷 ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
163	162	sumeq2dv 15779	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))if(𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇), ((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)), 0) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑓 ∈ 𝐷 ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
164	124, 131, 163	3eqtrd 2804	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑓 ∈ 𝐷 ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
165	115, 6, 42	fsumcom 15851	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑓 ∈ 𝐷 ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) = Σ𝑓 ∈ 𝐷 Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((∗‘(𝑓‘𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
166	164, 165	eqtrd 2800	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑓 ∈ 𝐷 Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((∗‘(𝑓‘𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
167	3	dchrabl 27471	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Abel)
168		ablgrp 19901	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
169	4, 65	grpidcl 19078	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 1 ∈ 𝐷)
170	2, 167, 168, 169	4syl 20	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ∈ 𝐷)
171	47	mulridd 11243	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · 1) = (log‘𝑥))
172	171, 47	eqeltrd 2865	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · 1) ∈ ℂ)
173		iftrue 4495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = 1 → if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)) = 1)
174	173	oveq2d 7435	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = 1 → ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))) = ((log‘𝑥) · 1))
175	174	sumsn 15822	. . . . . . . . 9 ⊢ (( 1 ∈ 𝐷 ∧ ((log‘𝑥) · 1) ∈ ℂ) → Σ𝑓 ∈ { 1 } ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))) = ((log‘𝑥) · 1))
176	170, 172, 175	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓 ∈ { 1 } ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))) = ((log‘𝑥) · 1))
177		eldifsn 4755	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ↔ (𝑓 ∈ 𝐷 ∧ 𝑓 ≠ 1 ))
178		ifnefalse 4501	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 ≠ 1 → if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)) = if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))
179	178	ad2antll 742	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ 𝐷 ∧ 𝑓 ≠ 1 )) → if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)) = if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))
180		negeq 11466	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (if(𝑓 ∈ 𝑊, 1, 0) = 1 → -if(𝑓 ∈ 𝑊, 1, 0) = -1)
181		negeq 11466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (if(𝑓 ∈ 𝑊, 1, 0) = 0 → -if(𝑓 ∈ 𝑊, 1, 0) = -0)
182		neg0 11521	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ -0 = 0
183	181, 182	eqtrdi 2816	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (if(𝑓 ∈ 𝑊, 1, 0) = 0 → -if(𝑓 ∈ 𝑊, 1, 0) = 0)
184	180, 183	ifsb 4503	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -if(𝑓 ∈ 𝑊, 1, 0) = if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)
185	179, 184	eqtr4di 2818	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ 𝐷 ∧ 𝑓 ≠ 1 )) → if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)) = -if(𝑓 ∈ 𝑊, 1, 0))
186	185	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ 𝐷 ∧ 𝑓 ≠ 1 )) → ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))) = ((log‘𝑥) · -if(𝑓 ∈ 𝑊, 1, 0)))
187	47	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ 𝐷 ∧ 𝑓 ≠ 1 )) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
188	49, 51	ifcli 4537	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ if(𝑓 ∈ 𝑊, 1, 0) ∈ ℂ
189		mulneg2 11668	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ if(𝑓 ∈ 𝑊, 1, 0) ∈ ℂ) → ((log‘𝑥) · -if(𝑓 ∈ 𝑊, 1, 0)) = -((log‘𝑥) · if(𝑓 ∈ 𝑊, 1, 0)))
190	187, 188, 189	sylancl 598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ 𝐷 ∧ 𝑓 ≠ 1 )) → ((log‘𝑥) · -if(𝑓 ∈ 𝑊, 1, 0)) = -((log‘𝑥) · if(𝑓 ∈ 𝑊, 1, 0)))
191	186, 190	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ 𝐷 ∧ 𝑓 ≠ 1 )) → ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))) = -((log‘𝑥) · if(𝑓 ∈ 𝑊, 1, 0)))
192	177, 191	sylan2b 606	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })) → ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))) = -((log‘𝑥) · if(𝑓 ∈ 𝑊, 1, 0)))
193	192	sumeq2dv 15779	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))) = Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })-((log‘𝑥) · if(𝑓 ∈ 𝑊, 1, 0)))
194		diffi 9166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (𝐷 ∖ { 1 }) ∈ Fin)
195	6, 194	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐷 ∖ { 1 }) ∈ Fin)
196	47	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
197		mulcl 11201	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ if(𝑓 ∈ 𝑊, 1, 0) ∈ ℂ) → ((log‘𝑥) · if(𝑓 ∈ 𝑊, 1, 0)) ∈ ℂ)
198	196, 188, 197	sylancl 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })) → ((log‘𝑥) · if(𝑓 ∈ 𝑊, 1, 0)) ∈ ℂ)
199	195, 198	fsumneg 15863	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })-((log‘𝑥) · if(𝑓 ∈ 𝑊, 1, 0)) = -Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })((log‘𝑥) · if(𝑓 ∈ 𝑊, 1, 0)))
200	188	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })) → if(𝑓 ∈ 𝑊, 1, 0) ∈ ℂ)
201	195, 47, 200	fsummulc2 15860	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })if(𝑓 ∈ 𝑊, 1, 0)) = Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })((log‘𝑥) · if(𝑓 ∈ 𝑊, 1, 0)))
202		rpvmasum2.w	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑊 = {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) = 0}
203	202	ssrab3 4037	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑊 ⊆ (𝐷 ∖ { 1 })
204		difss 4090	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐷 ∖ { 1 }) ⊆ 𝐷
205	203, 204	sstri 3947	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑊 ⊆ 𝐷
206		ssfi 9164	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑊 ⊆ 𝐷) → 𝑊 ∈ Fin)
207	6, 205, 206	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑊 ∈ Fin)
208		fsumconst 15866	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑓 ∈ 𝑊 1 = ((♯‘𝑊) · 1))
209	207, 49, 208	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓 ∈ 𝑊 1 = ((♯‘𝑊) · 1))
210	203	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑊 ⊆ (𝐷 ∖ { 1 }))
211	49	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℂ)
212	211	ralrimivw 3163	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑓 ∈ 𝑊 1 ∈ ℂ)
213	195	olcd 888	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐷 ∖ { 1 }) ⊆ (ℤ≥‘1) ∨ (𝐷 ∖ { 1 }) ∈ Fin))
214		sumss2 15802	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ⊆ (𝐷 ∖ { 1 }) ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑊 1 ∈ ℂ) ∧ ((𝐷 ∖ { 1 }) ⊆ (ℤ≥‘1) ∨ (𝐷 ∖ { 1 }) ∈ Fin)) → Σ𝑓 ∈ 𝑊 1 = Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })if(𝑓 ∈ 𝑊, 1, 0))
215	210, 212, 213, 214	syl21anc 851	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓 ∈ 𝑊 1 = Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })if(𝑓 ∈ 𝑊, 1, 0))
216		hashcl 14412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ Fin → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
217	207, 216	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
218	217	nn0cnd 12584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
219	218	mulridd 11243	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((♯‘𝑊) · 1) = (♯‘𝑊))
220	209, 215, 219	3eqtr3d 2808	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })if(𝑓 ∈ 𝑊, 1, 0) = (♯‘𝑊))
221	220	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })if(𝑓 ∈ 𝑊, 1, 0)) = ((log‘𝑥) · (♯‘𝑊)))
222	201, 221	eqtr3d 2802	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })((log‘𝑥) · if(𝑓 ∈ 𝑊, 1, 0)) = ((log‘𝑥) · (♯‘𝑊)))
223	222	negeqd 11468	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → -Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })((log‘𝑥) · if(𝑓 ∈ 𝑊, 1, 0)) = -((log‘𝑥) · (♯‘𝑊)))
224	193, 199, 223	3eqtrd 2804	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))) = -((log‘𝑥) · (♯‘𝑊)))
225	176, 224	oveq12d 7437	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑓 ∈ { 1 } ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))) + Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)))) = (((log‘𝑥) · 1) + -((log‘𝑥) · (♯‘𝑊))))
226	47, 218	mulcld 11246	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · (♯‘𝑊)) ∈ ℂ)
227	172, 226	negsubd 11592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((log‘𝑥) · 1) + -((log‘𝑥) · (♯‘𝑊))) = (((log‘𝑥) · 1) − ((log‘𝑥) · (♯‘𝑊))))
228	225, 227	eqtrd 2800	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑓 ∈ { 1 } ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))) + Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)))) = (((log‘𝑥) · 1) − ((log‘𝑥) · (♯‘𝑊))))
229		disjdif 4433	. . . . . . . 8 ⊢ ({ 1 } ∩ (𝐷 ∖ { 1 })) = ∅
230	229	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ({ 1 } ∩ (𝐷 ∖ { 1 })) = ∅)
231		undif2 4438	. . . . . . . 8 ⊢ ({ 1 } ∪ (𝐷 ∖ { 1 })) = ({ 1 } ∪ 𝐷)
232	170	snssd 4754	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → { 1 } ⊆ 𝐷)
233		ssequn1 4139	. . . . . . . . 9 ⊢ ({ 1 } ⊆ 𝐷 ↔ ({ 1 } ∪ 𝐷) = 𝐷)
234	232, 233	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ({ 1 } ∪ 𝐷) = 𝐷)
235	231, 234	eqtr2id 2813	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐷 = ({ 1 } ∪ (𝐷 ∖ { 1 })))
236	230, 235, 6, 55	fsumsplit 15817	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓 ∈ 𝐷 ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))) = (Σ𝑓 ∈ { 1 } ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))) + Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)))))
237	47, 211, 218	subdid 11687	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊))) = (((log‘𝑥) · 1) − ((log‘𝑥) · (♯‘𝑊))))
238	228, 236, 237	3eqtr4rd 2811	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊))) = Σ𝑓 ∈ 𝐷 ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))))
239	166, 238	oveq12d 7437	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊)))) = (Σ𝑓 ∈ 𝐷 Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((∗‘(𝑓‘𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) − Σ𝑓 ∈ 𝐷 ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)))))
240	56, 114, 239	3eqtr4d 2810	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓 ∈ 𝐷 ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))))) = (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊)))))
241	240	mpteq2dva 5206	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑓 ∈ 𝐷 ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)))))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊))))))
242		rpssre 13042	. . . 4 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
243	242	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℝ+ ⊆ ℝ)
244	1, 5	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Fin)
245	17	adantlr 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (𝑓‘𝐴) ∈ ℂ)
246	245	cjcld 15273	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (∗‘(𝑓‘𝐴)) ∈ ℂ)
247	58, 55	subcld 11586	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)))) ∈ ℂ)
248	246, 247	mulcld 11246	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))))) ∈ ℂ)
249	248	anasss 472	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷)) → ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))))) ∈ ℂ)
250	18	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∗‘(𝑓‘𝐴)) ∈ ℂ)
251	247	an32s 665	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)))) ∈ ℂ)
252		o1const 15697	. . . . 5 ⊢ ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ (∗‘(𝑓‘𝐴)) ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (∗‘(𝑓‘𝐴))) ∈ 𝑂(1))
253	242, 18, 252	sylancr 599	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (∗‘(𝑓‘𝐴))) ∈ 𝑂(1))
254		fveq1 6884	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = 1 → (𝑓‘(𝐿‘𝑛)) = ( 1 ‘(𝐿‘𝑛)))
255	254	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = 1 → ((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = (( 1 ‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)))
256	255	sumeq2sdv 15780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = 1 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(( 1 ‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)))
257	256, 174	oveq12d 7437	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = 1 → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(( 1 ‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · 1)))
258	257	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(( 1 ‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · 1)))
259	45	recnd 11254	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
260	259	mulridd 11243	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → ((log‘𝑥) · 1) = (log‘𝑥))
261	260	oveq2d 7435	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(( 1 ‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · 1)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(( 1 ‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − (log‘𝑥)))
262	258, 261	sylan9eq 2820	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(( 1 ‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − (log‘𝑥)))
263	262	mpteq2dva 5206	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(( 1 ‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − (log‘𝑥))))
264	8, 23, 1, 3, 4, 65	rpvmasumlem 27704	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(( 1 ‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
265	264	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(( 1 ‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
266	263, 265	eqeltrd 2865	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))))) ∈ 𝑂(1))
267	178	oveq2d 7435	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ≠ 1 → ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))) = ((log‘𝑥) · if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)))
268	267	oveq2d 7435	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ≠ 1 → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))))
269	47	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
270		mulcom 11203	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → ((log‘𝑥) · -1) = (-1 · (log‘𝑥)))
271	269, 50, 270	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · -1) = (-1 · (log‘𝑥)))
272	269	mulm1d 11683	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (-1 · (log‘𝑥)) = -(log‘𝑥))
273	271, 272	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · -1) = -(log‘𝑥))
274	269	mul01d 11426	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · 0) = 0)
275	273, 274	ifeq12d 4511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → if(𝑓 ∈ 𝑊, ((log‘𝑥) · -1), ((log‘𝑥) · 0)) = if(𝑓 ∈ 𝑊, -(log‘𝑥), 0))
276		ovif2 7518	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((log‘𝑥) · if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)) = if(𝑓 ∈ 𝑊, ((log‘𝑥) · -1), ((log‘𝑥) · 0))
277		negeq 11466	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (if(𝑓 ∈ 𝑊, (log‘𝑥), 0) = (log‘𝑥) → -if(𝑓 ∈ 𝑊, (log‘𝑥), 0) = -(log‘𝑥))
278		negeq 11466	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (if(𝑓 ∈ 𝑊, (log‘𝑥), 0) = 0 → -if(𝑓 ∈ 𝑊, (log‘𝑥), 0) = -0)
279	278, 182	eqtrdi 2816	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (if(𝑓 ∈ 𝑊, (log‘𝑥), 0) = 0 → -if(𝑓 ∈ 𝑊, (log‘𝑥), 0) = 0)
280	277, 279	ifsb 4503	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -if(𝑓 ∈ 𝑊, (log‘𝑥), 0) = if(𝑓 ∈ 𝑊, -(log‘𝑥), 0)
281	275, 276, 280	3eqtr4g 2825	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)) = -if(𝑓 ∈ 𝑊, (log‘𝑥), 0))
282	281	oveq2d 7435	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − -if(𝑓 ∈ 𝑊, (log‘𝑥), 0)))
283	58	an32s 665	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
284		ifcl 4535	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → if(𝑓 ∈ 𝑊, (log‘𝑥), 0) ∈ ℂ)
285	269, 51, 284	sylancl 598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → if(𝑓 ∈ 𝑊, (log‘𝑥), 0) ∈ ℂ)
286	283, 285	subnegd 11593	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − -if(𝑓 ∈ 𝑊, (log‘𝑥), 0)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓 ∈ 𝑊, (log‘𝑥), 0)))
287	282, 286	eqtrd 2800	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓 ∈ 𝑊, (log‘𝑥), 0)))
288	268, 287	sylan9eqr 2822	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ≠ 1 ) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓 ∈ 𝑊, (log‘𝑥), 0)))
289	288	an32s 665	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 ≠ 1 ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓 ∈ 𝑊, (log‘𝑥), 0)))
290	289	mpteq2dva 5206	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 ≠ 1 ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓 ∈ 𝑊, (log‘𝑥), 0))))
291	1	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 ≠ 1 ) → 𝑁 ∈ ℕ)
292		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 ≠ 1 ) → 𝑓 ∈ 𝐷)
293		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 ≠ 1 ) → 𝑓 ≠ 1 )
294		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎)) = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))
295	8, 23, 291, 3, 4, 65, 292, 293, 294	dchrmusumlema 27710	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 ≠ 1 ) → ∃𝑡∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))
296	1	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → 𝑁 ∈ ℕ)
297	296	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 ≠ 1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → 𝑁 ∈ ℕ)
298	292	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 ≠ 1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → 𝑓 ∈ 𝐷)
299		simplr 781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 ≠ 1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → 𝑓 ≠ 1 )
300		simprl 783	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 ≠ 1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → 𝑐 ∈ (0[,)+∞))
301		simprrl 793	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 ≠ 1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡)
302		simprrr 794	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 ≠ 1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦))
303	8, 23, 297, 3, 4, 65, 298, 299, 294, 300, 301, 302, 202	dchrvmaeq0 27721	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 ≠ 1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → (𝑓 ∈ 𝑊 ↔ 𝑡 = 0))
304		ifbi 4512	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝑊 ↔ 𝑡 = 0) → if(𝑓 ∈ 𝑊, (log‘𝑥), 0) = if(𝑡 = 0, (log‘𝑥), 0))
305	304	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝑊 ↔ 𝑡 = 0) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓 ∈ 𝑊, (log‘𝑥), 0)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑡 = 0, (log‘𝑥), 0)))
306	305	mpteq2dv 5207	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝑊 ↔ 𝑡 = 0) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓 ∈ 𝑊, (log‘𝑥), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑡 = 0, (log‘𝑥), 0))))
307	303, 306	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 ≠ 1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓 ∈ 𝑊, (log‘𝑥), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑡 = 0, (log‘𝑥), 0))))
308	8, 23, 297, 3, 4, 65, 298, 299, 294, 300, 301, 302	dchrvmasumif 27720	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 ≠ 1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑡 = 0, (log‘𝑥), 0))) ∈ 𝑂(1))
309	307, 308	eqeltrd 2865	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 ≠ 1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓 ∈ 𝑊, (log‘𝑥), 0))) ∈ 𝑂(1))
310	309	rexlimdvaa 3169	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 ≠ 1 ) → (∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓 ∈ 𝑊, (log‘𝑥), 0))) ∈ 𝑂(1)))
311	310	exlimdv 1966	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 ≠ 1 ) → (∃𝑡∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓 ∈ 𝑊, (log‘𝑥), 0))) ∈ 𝑂(1)))
312	295, 311	mpd 16	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 ≠ 1 ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓 ∈ 𝑊, (log‘𝑥), 0))) ∈ 𝑂(1))
313	290, 312	eqeltrd 2865	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 ≠ 1 ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))))) ∈ 𝑂(1))
314	266, 313	pm2.61dane 3047	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))))) ∈ 𝑂(1))
315	250, 251, 253, 314	o1mul2 15702	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)))))) ∈ 𝑂(1))
316	243, 244, 249, 315	fsumo1 15889	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑓 ∈ 𝐷 ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)))))) ∈ 𝑂(1))
317	241, 316	eqeltrrd 2866	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊))))) ∈ 𝑂(1))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∀wral 3081  ∃wrex 3091  {crab 3418   ∖ cdif 3903   ∪ cun 3904   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  ∅c0 4286  ifcif 4489  {csn 4591   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  ^◡ccnv 5662   “ cima 5666   Fn wfn 6535  ⟶wf 6536  –onto→wfo 6538  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  Fincfn 8949  ℂcc 11115  ℝcr 11116  0cc0 11117  1c1 11118   + caddc 11120   · cmul 11122  +∞cpnf 11257   ≤ cle 11261   − cmin 11458  -cneg 11459   / cdiv 11888  ℕcn 12250  ℕ₀cn0 12521  ℤcz 12608  ℤ_≥cuz 12880  ℝ⁺crp 13034  [,)cico 13392  ...cfz 13553  ⌊cfl 13843  seqcseq 14057  ♯chash 14386  ∗ccj 15173  abscabs 15311   ⇝ cli 15561  𝑂(1)co1 15563  Σcsu 15763  ϕcphi 16847  Basecbs 17293  0_gc0g 17516   MndHom cmhm 18878  Grpcgrp 19046  Abelcabl 19897  mulGrpcmgp 20262  1_rcur 20309  Unitcui 20485  ℂ_fldccnfld 21574  ℤRHomczrh 21701  ℤ/nℤczn 21704  logclog 26772  Λcvma 27309  DChrcdchr 27449

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-pre-sup 11195  ax-addf 11196  ax-mulf 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-disj 5079  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-rpss 7730  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-oadd 8463  df-omul 8464  df-er 8700  df-ec 8702  df-qs 8706  df-map 8832  df-pm 8833  df-ixp 8902  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fsupp 9329  df-fi 9378  df-sup 9409  df-inf 9410  df-oi 9479  df-dju 9903  df-card 9941  df-acn 9944  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12522  df-xnn0 12595  df-z 12609  df-dec 12730  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13394  df-ioc 13395  df-ico 13396  df-icc 13397  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-mod 13923  df-seq 14058  df-exp 14118  df-fac 14330  df-bc 14359  df-hash 14387  df-word 14571  df-concat 14628  df-s1 14655  df-shft 15130  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-limsup 15548  df-clim 15565  df-rlim 15566  df-o1 15567  df-lo1 15568  df-sum 15764  df-ef 16145  df-e 16146  df-sin 16147  df-cos 16148  df-tan 16149  df-pi 16150  df-dvds 16335  df-gcd 16577  df-prm 16754  df-phi 16849  df-pc 16921  df-struct 17231  df-sets 17248  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-ress 17315  df-plusg 17347  df-mulr 17348  df-starv 17349  df-sca 17350  df-vsca 17351  df-ip 17352  df-tset 17353  df-ple 17354  df-ds 17356  df-unif 17357  df-hom 17358  df-cco 17359  df-rest 17499  df-topn 17500  df-0g 17518  df-gsum 17519  df-topgen 17520  df-pt 17521  df-prds 17524  df-xrs 17580  df-qtop 17585  df-imas 17586  df-qus 17587  df-xps 17588  df-mre 17662  df-mrc 17663  df-acs 17665  df-mgm 18722  df-sgrp 18811  df-mnd 18827  df-mhm 18880  df-submnd 18881  df-grp 19049  df-minusg 19050  df-sbg 19051  df-mulg 19180  df-subg 19235  df-nsg 19236  df-eqg 19237  df-ghm 19330  df-gim 19375  df-ga 19406  df-cntz 19433  df-oppg 19462  df-od 19644  df-gex 19645  df-pgp 19646  df-lsm 19752  df-pj1 19753  df-cmn 19898  df-abl 19899  df-cyg 19994  df-dprd 20113  df-dpj 20114  df-mgp 20263  df-rng 20277  df-ur 20310  df-ring 20363  df-cring 20364  df-oppr 20467  df-dvdsr 20487  df-unit 20488  df-invr 20518  df-dvr 20531  df-rhm 20602  df-subrng 20697  df-subrg 20721  df-drng 20881  df-lmod 21035  df-lss 21105  df-lsp 21145  df-sra 21346  df-rgmod 21347  df-lidl 21384  df-rsp 21385  df-2idl 21441  df-psmet 21566  df-xmet 21567  df-met 21568  df-bl 21569  df-mopn 21570  df-fbas 21571  df-fg 21572  df-cnfld 21575  df-zring 21649  df-zrh 21705  df-zn 21708  df-top 23103  df-topon 23120  df-topsp 23142  df-bases 23155  df-cld 23228  df-ntr 23229  df-cls 23230  df-nei 23307  df-lp 23345  df-perf 23346  df-cn 23436  df-cnp 23437  df-haus 23524  df-cmp 23596  df-tx 23772  df-hmeo 23965  df-fil 24056  df-fm 24148  df-flim 24149  df-flf 24150  df-xms 24530  df-ms 24531  df-tms 24532  df-cncf 25090  df-0p 25882  df-limc 26078  df-dv 26079  df-ply 26398  df-idp 26399  df-coe 26400  df-dgr 26401  df-quot 26505  df-ulm 26593  df-log 26774  df-cxp 26775  df-atan 27085  df-em 27210  df-cht 27314  df-vma 27315  df-chp 27316  df-ppi 27317  df-mu 27318  df-dchr 27450

This theorem is used by:  dchrisum0re  27730  rpvmasum  27743