MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpvmasum2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpvmasum2 26080
Description: A partial result along the lines of rpvmasum 26094. The sum of the von Mangoldt function over those integers 𝑛𝐴 (mod 𝑁) is asymptotic to (1 − 𝑀)(log𝑥 / ϕ(𝑥)) + 𝑂(1), where 𝑀 is the number of non-principal Dirichlet characters with Σ𝑛 ∈ ℕ, 𝑋(𝑛) / 𝑛 = 0. Our goal is to show this set is empty. Equation 9.4.3 of [Shapiro], p. 375. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum2.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum2.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum2.1 1 = (0g𝐺)
rpvmasum2.w 𝑊 = {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}
rpvmasum2.u 𝑈 = (Unit‘𝑍)
rpvmasum2.b (𝜑𝐴𝑈)
rpvmasum2.t 𝑇 = (𝐿 “ {𝐴})
rpvmasum2.z1 ((𝜑𝑓𝑊) → 𝐴 = (1r𝑍))
Assertion
Ref Expression
rpvmasum2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊))))) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑚,𝑛,𝑥,𝑦,𝑓, 1   𝐴,𝑓,𝑚,𝑥,𝑦   𝑓,𝐺   𝑓,𝑁,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦   𝜑,𝑓,𝑚,𝑛,𝑥   𝑇,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦   𝑈,𝑚,𝑛,𝑥   𝑓,𝑊,𝑥   𝑓,𝑍,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦   𝐷,𝑓,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦   𝑓,𝐿,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦   𝐴,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝑇(𝑓)   𝑈(𝑦,𝑓)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑚,𝑛)   𝑊(𝑦,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem rpvmasum2
Dummy variables 𝑐 𝑡 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpvmasum.a . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
21adantr 483 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ ℕ)
3 rpvmasum2.g . . . . . . 7 𝐺 = (DChr‘𝑁)
4 rpvmasum2.d . . . . . . 7 𝐷 = (Base‘𝐺)
53, 4dchrfi 25823 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ Fin)
62, 5syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ Fin)
7 fzfid 13333 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
8 rpvmasum.z . . . . . . . . . . . . 13 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
9 eqid 2819 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
10 simpr 487 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓𝐷) → 𝑓𝐷)
113, 8, 4, 9, 10dchrf 25810 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓𝐷) → 𝑓:(Base‘𝑍)⟶ℂ)
12 rpvmasum2.u . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑈 = (Unit‘𝑍)
139, 12unitss 19402 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑈 ⊆ (Base‘𝑍)
14 rpvmasum2.b . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴𝑈)
1513, 14sseldi 3963 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ∈ (Base‘𝑍))
1615adantr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓𝐷) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑍))
1711, 16ffvelrnd 6845 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓𝐷) → (𝑓𝐴) ∈ ℂ)
1817cjcld 14547 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑓𝐷) → (∗‘(𝑓𝐴)) ∈ ℂ)
1918adantlr 713 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → (∗‘(𝑓𝐴)) ∈ ℂ)
2019adantrl 714 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑓𝐷)) → (∗‘(𝑓𝐴)) ∈ ℂ)
2111ad4ant14 750 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑓𝐷) → 𝑓:(Base‘𝑍)⟶ℂ)
221nnnn0d 11947 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
23 rpvmasum.l . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
248, 9, 23znzrhfo 20686 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ0𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍))
25 fof 6583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
2622, 24, 253syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
2726adantr 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
28 elfzelz 12900 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℤ)
29 ffvelrn 6842 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐿𝑛) ∈ (Base‘𝑍))
3027, 28, 29syl2an 597 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝐿𝑛) ∈ (Base‘𝑍))
3130adantr 483 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑓𝐷) → (𝐿𝑛) ∈ (Base‘𝑍))
3221, 31ffvelrnd 6845 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑓𝐷) → (𝑓‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
3332anasss 469 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑓𝐷)) → (𝑓‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
34 elfznn 12928 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℕ)
3534adantl 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℕ)
36 vmacl 25687 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
3837, 35nndivred 11683 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
3938recnd 10661 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
4039adantrr 715 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑓𝐷)) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
4133, 40mulcld 10653 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑓𝐷)) → ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
4220, 41mulcld 10653 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑓𝐷)) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) ∈ ℂ)
4342anass1rs 653 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) ∈ ℂ)
447, 43fsumcl 15082 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) ∈ ℂ)
45 relogcl 25151 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
4645adantl 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
4746recnd 10661 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
4847adantr 483 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
49 ax-1cn 10587 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
50 neg1cn 11743 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℂ
51 0cn 10625 . . . . . . . 8 0 ∈ ℂ
5250, 51ifcli 4511 . . . . . . 7 if(𝑓𝑊, -1, 0) ∈ ℂ
5349, 52ifcli 4511 . . . . . 6 if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)) ∈ ℂ
54 mulcl 10613 . . . . . 6 (((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)) ∈ ℂ) → ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) ∈ ℂ)
5548, 53, 54sylancl 588 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) ∈ ℂ)
566, 44, 55fsumsub 15135 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓𝐷𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))) = (Σ𝑓𝐷 Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) − Σ𝑓𝐷 ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))))
5741anass1rs 653 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
587, 57fsumcl 15082 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
5919, 58, 55subdid 11088 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))))) = (((∗‘(𝑓𝐴)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) − ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))))))
607, 19, 57fsummulc2 15131 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
6153a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)) ∈ ℂ)
6219, 48, 61mul12d 10841 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))) = ((log‘𝑥) · ((∗‘(𝑓𝐴)) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))))
63 ovif2 7244 . . . . . . . . . 10 ((∗‘(𝑓𝐴)) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) = if(𝑓 = 1 , ((∗‘(𝑓𝐴)) · 1), ((∗‘(𝑓𝐴)) · if(𝑓𝑊, -1, 0)))
64 fveq1 6662 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 = 1 → (𝑓𝐴) = ( 1𝐴))
65 rpvmasum2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 = (0g𝐺)
661ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → 𝑁 ∈ ℕ)
6714ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → 𝐴𝑈)
683, 8, 65, 12, 66, 67dchr1 25825 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → ( 1𝐴) = 1)
6964, 68sylan9eqr 2876 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) → (𝑓𝐴) = 1)
7069fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) → (∗‘(𝑓𝐴)) = (∗‘1))
71 1re 10633 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℝ
72 cjre 14490 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 ∈ ℝ → (∗‘1) = 1)
7371, 72ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (∗‘1) = 1
7470, 73syl6eq 2870 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) → (∗‘(𝑓𝐴)) = 1)
7574oveq1d 7163 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · 1) = (1 · 1))
76 1t1e1 11791 . . . . . . . . . . . 12 (1 · 1) = 1
7775, 76syl6eq 2870 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · 1) = 1)
78 df-ne 3015 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓1 ↔ ¬ 𝑓 = 1 )
79 ovif2 7244 . . . . . . . . . . . . 13 ((∗‘(𝑓𝐴)) · if(𝑓𝑊, -1, 0)) = if(𝑓𝑊, ((∗‘(𝑓𝐴)) · -1), ((∗‘(𝑓𝐴)) · 0))
80 rpvmasum2.z1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑓𝑊) → 𝐴 = (1r𝑍))
8180fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑓𝑊) → (𝑓𝐴) = (𝑓‘(1r𝑍)))
8281ad5ant15 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ 𝑓𝑊) → (𝑓𝐴) = (𝑓‘(1r𝑍)))
833, 8, 4dchrmhm 25809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝐷 ⊆ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))
84 simpr 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → 𝑓𝐷)
8583, 84sseldi 3963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → 𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
86 eqid 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
87 eqid 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (1r𝑍) = (1r𝑍)
8886, 87ringidval 19245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (1r𝑍) = (0g‘(mulGrp‘𝑍))
89 eqid 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
90 cnfld1 20562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 = (1r‘ℂfld)
9189, 90ringidval 19245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
9288, 91mhm0 17956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) → (𝑓‘(1r𝑍)) = 1)
9385, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → (𝑓‘(1r𝑍)) = 1)
9493ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ 𝑓𝑊) → (𝑓‘(1r𝑍)) = 1)
9582, 94eqtrd 2854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ 𝑓𝑊) → (𝑓𝐴) = 1)
9695fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ 𝑓𝑊) → (∗‘(𝑓𝐴)) = (∗‘1))
9796, 73syl6eq 2870 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ 𝑓𝑊) → (∗‘(𝑓𝐴)) = 1)
9897oveq1d 7163 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ 𝑓𝑊) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · -1) = (1 · -1))
9950mulid2i 10638 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 · -1) = -1
10098, 99syl6eq 2870 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ 𝑓𝑊) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · -1) = -1)
101100ifeq1da 4495 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) → if(𝑓𝑊, ((∗‘(𝑓𝐴)) · -1), ((∗‘(𝑓𝐴)) · 0)) = if(𝑓𝑊, -1, ((∗‘(𝑓𝐴)) · 0)))
10219adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) → (∗‘(𝑓𝐴)) ∈ ℂ)
103102mul01d 10831 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · 0) = 0)
104103ifeq2d 4484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) → if(𝑓𝑊, -1, ((∗‘(𝑓𝐴)) · 0)) = if(𝑓𝑊, -1, 0))
105101, 104eqtrd 2854 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) → if(𝑓𝑊, ((∗‘(𝑓𝐴)) · -1), ((∗‘(𝑓𝐴)) · 0)) = if(𝑓𝑊, -1, 0))
10679, 105syl5eq 2866 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · if(𝑓𝑊, -1, 0)) = if(𝑓𝑊, -1, 0))
10778, 106sylan2br 596 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ ¬ 𝑓 = 1 ) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · if(𝑓𝑊, -1, 0)) = if(𝑓𝑊, -1, 0))
10877, 107ifeq12da 4497 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → if(𝑓 = 1 , ((∗‘(𝑓𝐴)) · 1), ((∗‘(𝑓𝐴)) · if(𝑓𝑊, -1, 0))) = if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))
10963, 108syl5eq 2866 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) = if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))
110109oveq2d 7164 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → ((log‘𝑥) · ((∗‘(𝑓𝐴)) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))) = ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))))
11162, 110eqtrd 2854 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))) = ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))))
11260, 111oveq12d 7166 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → (((∗‘(𝑓𝐴)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) − ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))))
11359, 112eqtrd 2854 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))))
114113sumeq2dv 15052 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓𝐷 ((∗‘(𝑓𝐴)) · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))))) = Σ𝑓𝐷𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))))
115 fzfid 13333 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
116 inss1 4203 . . . . . . . . 9 ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ⊆ (1...(⌊‘𝑥))
117 ssfi 8730 . . . . . . . . 9 (((1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin ∧ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ⊆ (1...(⌊‘𝑥))) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∈ Fin)
118115, 116, 117sylancl 588 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∈ Fin)
1192phicld 16101 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ)
120119nncnd 11646 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℂ)
121116a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ⊆ (1...(⌊‘𝑥)))
122121sselda 3965 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)) → 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)))
123122, 39syldan 593 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
124118, 120, 123fsummulc2 15131 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)))
125120adantr 483 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℂ)
126125, 39mulcld 10653 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
127122, 126syldan 593 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)) → ((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
128127ralrimiva 3180 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
129115olcd 872 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((1...(⌊‘𝑥)) ⊆ (ℤ‘1) ∨ (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin))
130 sumss2 15075 . . . . . . . 8 (((((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ⊆ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ ∀𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ) ∧ ((1...(⌊‘𝑥)) ⊆ (ℤ‘1) ∨ (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)) → Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))if(𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇), ((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)), 0))
131121, 128, 129, 130syl21anc 835 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))if(𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇), ((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)), 0))
132 elin 4167 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ↔ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑛𝑇))
133132baib 538 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → (𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ↔ 𝑛𝑇))
134133adantl 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ↔ 𝑛𝑇))
135 rpvmasum2.t . . . . . . . . . . . . 13 𝑇 = (𝐿 “ {𝐴})
136135eleq2i 2902 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛𝑇𝑛 ∈ (𝐿 “ {𝐴}))
13727ffnd 6508 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐿 Fn ℤ)
138 fniniseg 6823 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐿 Fn ℤ → (𝑛 ∈ (𝐿 “ {𝐴}) ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝐿𝑛) = 𝐴)))
139138baibd 542 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐿 Fn ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 ∈ (𝐿 “ {𝐴}) ↔ (𝐿𝑛) = 𝐴))
140137, 28, 139syl2an 597 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑛 ∈ (𝐿 “ {𝐴}) ↔ (𝐿𝑛) = 𝐴))
141136, 140syl5bb 285 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑛𝑇 ↔ (𝐿𝑛) = 𝐴))
142134, 141bitr2d 282 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝐿𝑛) = 𝐴𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)))
14339mul02d 10830 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (0 · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = 0)
144142, 143ifbieq2d 4490 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → if((𝐿𝑛) = 𝐴, ((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)), (0 · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) = if(𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇), ((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)), 0))
145 ovif 7243 . . . . . . . . . 10 (if((𝐿𝑛) = 𝐴, (ϕ‘𝑁), 0) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = if((𝐿𝑛) = 𝐴, ((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)), (0 · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)))
1461ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑁 ∈ ℕ)
147146, 5syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝐷 ∈ Fin)
14818ad4ant14 750 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑓𝐷) → (∗‘(𝑓𝐴)) ∈ ℂ)
14932, 148mulcld 10653 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑓𝐷) → ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · (∗‘(𝑓𝐴))) ∈ ℂ)
150147, 39, 149fsummulc1 15132 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (Σ𝑓𝐷 ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · (∗‘(𝑓𝐴))) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑓𝐷 (((𝑓‘(𝐿𝑛)) · (∗‘(𝑓𝐴))) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)))
15114ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝐴𝑈)
1523, 4, 8, 9, 12, 146, 30, 151sum2dchr 25842 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑓𝐷 ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · (∗‘(𝑓𝐴))) = if((𝐿𝑛) = 𝐴, (ϕ‘𝑁), 0))
153152oveq1d 7163 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (Σ𝑓𝐷 ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · (∗‘(𝑓𝐴))) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = (if((𝐿𝑛) = 𝐴, (ϕ‘𝑁), 0) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)))
15439adantr 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑓𝐷) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
155 mulass 10617 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ ∧ (∗‘(𝑓𝐴)) ∈ ℂ ∧ ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ) → (((𝑓‘(𝐿𝑛)) · (∗‘(𝑓𝐴))) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
156 mul12 10797 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ ∧ (∗‘(𝑓𝐴)) ∈ ℂ ∧ ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ) → ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) = ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
157155, 156eqtrd 2854 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ ∧ (∗‘(𝑓𝐴)) ∈ ℂ ∧ ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ) → (((𝑓‘(𝐿𝑛)) · (∗‘(𝑓𝐴))) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
15832, 148, 154, 157syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑓𝐷) → (((𝑓‘(𝐿𝑛)) · (∗‘(𝑓𝐴))) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
159158sumeq2dv 15052 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑓𝐷 (((𝑓‘(𝐿𝑛)) · (∗‘(𝑓𝐴))) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑓𝐷 ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
160150, 153, 1593eqtr3d 2862 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (if((𝐿𝑛) = 𝐴, (ϕ‘𝑁), 0) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑓𝐷 ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
161145, 160syl5eqr 2868 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → if((𝐿𝑛) = 𝐴, ((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)), (0 · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) = Σ𝑓𝐷 ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
162144, 161eqtr3d 2856 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → if(𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇), ((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)), 0) = Σ𝑓𝐷 ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
163162sumeq2dv 15052 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))if(𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇), ((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)), 0) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑓𝐷 ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
164124, 131, 1633eqtrd 2858 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑓𝐷 ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
165115, 6, 42fsumcom 15122 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑓𝐷 ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) = Σ𝑓𝐷 Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
166164, 165eqtrd 2854 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑓𝐷 Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
1673dchrabl 25822 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Abel)
168 ablgrp 18903 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
1694, 65grpidcl 18123 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ Grp → 1𝐷)
1702, 167, 168, 1694syl 19 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 1𝐷)
17147mulid1d 10650 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · 1) = (log‘𝑥))
172171, 47eqeltrd 2911 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · 1) ∈ ℂ)
173 iftrue 4471 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = 1 → if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)) = 1)
174173oveq2d 7164 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 1 → ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) = ((log‘𝑥) · 1))
175174sumsn 15093 . . . . . . . . 9 (( 1𝐷 ∧ ((log‘𝑥) · 1) ∈ ℂ) → Σ𝑓 ∈ { 1 } ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) = ((log‘𝑥) · 1))
176170, 172, 175syl2anc 586 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓 ∈ { 1 } ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) = ((log‘𝑥) · 1))
177 eldifsn 4711 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ↔ (𝑓𝐷𝑓1 ))
178 ifnefalse 4477 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓1 → if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)) = if(𝑓𝑊, -1, 0))
179178ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓𝐷𝑓1 )) → if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)) = if(𝑓𝑊, -1, 0))
180 negeq 10870 . . . . . . . . . . . . . . 15 (if(𝑓𝑊, 1, 0) = 1 → -if(𝑓𝑊, 1, 0) = -1)
181 negeq 10870 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (if(𝑓𝑊, 1, 0) = 0 → -if(𝑓𝑊, 1, 0) = -0)
182 neg0 10924 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -0 = 0
183181, 182syl6eq 2870 . . . . . . . . . . . . . . 15 (if(𝑓𝑊, 1, 0) = 0 → -if(𝑓𝑊, 1, 0) = 0)
184180, 183ifsb 4478 . . . . . . . . . . . . . 14 -if(𝑓𝑊, 1, 0) = if(𝑓𝑊, -1, 0)
185179, 184syl6eqr 2872 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓𝐷𝑓1 )) → if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)) = -if(𝑓𝑊, 1, 0))
186185oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓𝐷𝑓1 )) → ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) = ((log‘𝑥) · -if(𝑓𝑊, 1, 0)))
18747adantr 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓𝐷𝑓1 )) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
18849, 51ifcli 4511 . . . . . . . . . . . . 13 if(𝑓𝑊, 1, 0) ∈ ℂ
189 mulneg2 11069 . . . . . . . . . . . . 13 (((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ if(𝑓𝑊, 1, 0) ∈ ℂ) → ((log‘𝑥) · -if(𝑓𝑊, 1, 0)) = -((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, 1, 0)))
190187, 188, 189sylancl 588 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓𝐷𝑓1 )) → ((log‘𝑥) · -if(𝑓𝑊, 1, 0)) = -((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, 1, 0)))
191186, 190eqtrd 2854 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓𝐷𝑓1 )) → ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) = -((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, 1, 0)))
192177, 191sylan2b 595 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })) → ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) = -((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, 1, 0)))
193192sumeq2dv 15052 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) = Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })-((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, 1, 0)))
194 diffi 8742 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ Fin → (𝐷 ∖ { 1 }) ∈ Fin)
1956, 194syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐷 ∖ { 1 }) ∈ Fin)
19647adantr 483 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
197 mulcl 10613 . . . . . . . . . . 11 (((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ if(𝑓𝑊, 1, 0) ∈ ℂ) → ((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, 1, 0)) ∈ ℂ)
198196, 188, 197sylancl 588 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })) → ((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, 1, 0)) ∈ ℂ)
199195, 198fsumneg 15134 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })-((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, 1, 0)) = -Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, 1, 0)))
200188a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })) → if(𝑓𝑊, 1, 0) ∈ ℂ)
201195, 47, 200fsummulc2 15131 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })if(𝑓𝑊, 1, 0)) = Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, 1, 0)))
202 rpvmasum2.w . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑊 = {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}
203202ssrab3 4055 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑊 ⊆ (𝐷 ∖ { 1 })
204 difss 4106 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐷 ∖ { 1 }) ⊆ 𝐷
205203, 204sstri 3974 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑊𝐷
206 ssfi 8730 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑊𝐷) → 𝑊 ∈ Fin)
2076, 205, 206sylancl 588 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑊 ∈ Fin)
208 fsumconst 15137 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑓𝑊 1 = ((♯‘𝑊) · 1))
209207, 49, 208sylancl 588 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓𝑊 1 = ((♯‘𝑊) · 1))
210203a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑊 ⊆ (𝐷 ∖ { 1 }))
21149a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℂ)
212211ralrimivw 3181 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑓𝑊 1 ∈ ℂ)
213195olcd 872 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐷 ∖ { 1 }) ⊆ (ℤ‘1) ∨ (𝐷 ∖ { 1 }) ∈ Fin))
214 sumss2 15075 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ⊆ (𝐷 ∖ { 1 }) ∧ ∀𝑓𝑊 1 ∈ ℂ) ∧ ((𝐷 ∖ { 1 }) ⊆ (ℤ‘1) ∨ (𝐷 ∖ { 1 }) ∈ Fin)) → Σ𝑓𝑊 1 = Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })if(𝑓𝑊, 1, 0))
215210, 212, 213, 214syl21anc 835 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓𝑊 1 = Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })if(𝑓𝑊, 1, 0))
216 hashcl 13709 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 ∈ Fin → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
217207, 216syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
218217nn0cnd 11949 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
219218mulid1d 10650 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((♯‘𝑊) · 1) = (♯‘𝑊))
220209, 215, 2193eqtr3d 2862 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })if(𝑓𝑊, 1, 0) = (♯‘𝑊))
221220oveq2d 7164 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })if(𝑓𝑊, 1, 0)) = ((log‘𝑥) · (♯‘𝑊)))
222201, 221eqtr3d 2856 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, 1, 0)) = ((log‘𝑥) · (♯‘𝑊)))
223222negeqd 10872 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → -Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, 1, 0)) = -((log‘𝑥) · (♯‘𝑊)))
224193, 199, 2233eqtrd 2858 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) = -((log‘𝑥) · (♯‘𝑊)))
225176, 224oveq12d 7166 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑓 ∈ { 1 } ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) + Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))) = (((log‘𝑥) · 1) + -((log‘𝑥) · (♯‘𝑊))))
22647, 218mulcld 10653 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · (♯‘𝑊)) ∈ ℂ)
227172, 226negsubd 10995 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (((log‘𝑥) · 1) + -((log‘𝑥) · (♯‘𝑊))) = (((log‘𝑥) · 1) − ((log‘𝑥) · (♯‘𝑊))))
228225, 227eqtrd 2854 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑓 ∈ { 1 } ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) + Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))) = (((log‘𝑥) · 1) − ((log‘𝑥) · (♯‘𝑊))))
229 disjdif 4419 . . . . . . . 8 ({ 1 } ∩ (𝐷 ∖ { 1 })) = ∅
230229a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ({ 1 } ∩ (𝐷 ∖ { 1 })) = ∅)
231 undif2 4423 . . . . . . . 8 ({ 1 } ∪ (𝐷 ∖ { 1 })) = ({ 1 } ∪ 𝐷)
232170snssd 4734 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → { 1 } ⊆ 𝐷)
233 ssequn1 4154 . . . . . . . . 9 ({ 1 } ⊆ 𝐷 ↔ ({ 1 } ∪ 𝐷) = 𝐷)
234232, 233sylib 220 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ({ 1 } ∪ 𝐷) = 𝐷)
235231, 234syl5req 2867 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐷 = ({ 1 } ∪ (𝐷 ∖ { 1 })))
236230, 235, 6, 55fsumsplit 15089 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓𝐷 ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) = (Σ𝑓 ∈ { 1 } ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) + Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))))
23747, 211, 218subdid 11088 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊))) = (((log‘𝑥) · 1) − ((log‘𝑥) · (♯‘𝑊))))
238228, 236, 2373eqtr4rd 2865 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊))) = Σ𝑓𝐷 ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))))
239166, 238oveq12d 7166 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊)))) = (Σ𝑓𝐷 Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) − Σ𝑓𝐷 ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))))
24056, 114, 2393eqtr4d 2864 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓𝐷 ((∗‘(𝑓𝐴)) · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))))) = (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊)))))
241240mpteq2dva 5152 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑓𝐷 ((∗‘(𝑓𝐴)) · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊))))))
242 rpssre 12388 . . . 4 + ⊆ ℝ
243242a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℝ+ ⊆ ℝ)
2441, 5syl 17 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ Fin)
24517adantlr 713 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → (𝑓𝐴) ∈ ℂ)
246245cjcld 14547 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → (∗‘(𝑓𝐴)) ∈ ℂ)
24758, 55subcld 10989 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))) ∈ ℂ)
248246, 247mulcld 10653 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))))) ∈ ℂ)
249248anasss 469 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑓𝐷)) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))))) ∈ ℂ)
25018adantr 483 . . . 4 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∗‘(𝑓𝐴)) ∈ ℂ)
251247an32s 650 . . . 4 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))) ∈ ℂ)
252 o1const 14968 . . . . 5 ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ (∗‘(𝑓𝐴)) ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (∗‘(𝑓𝐴))) ∈ 𝑂(1))
253242, 18, 252sylancr 589 . . . 4 ((𝜑𝑓𝐷) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (∗‘(𝑓𝐴))) ∈ 𝑂(1))
254 fveq1 6662 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = 1 → (𝑓‘(𝐿𝑛)) = ( 1 ‘(𝐿𝑛)))
255254oveq1d 7163 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = 1 → ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = (( 1 ‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)))
256255sumeq2sdv 15053 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 1 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(( 1 ‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)))
257256, 174oveq12d 7166 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 1 → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(( 1 ‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · 1)))
258257adantl 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(( 1 ‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · 1)))
25945recnd 10661 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+ → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
260259mulid1d 10650 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((log‘𝑥) · 1) = (log‘𝑥))
261260oveq2d 7164 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+ → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(( 1 ‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · 1)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(( 1 ‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − (log‘𝑥)))
262258, 261sylan9eq 2874 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(( 1 ‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − (log‘𝑥)))
263262mpteq2dva 5152 . . . . . 6 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(( 1 ‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − (log‘𝑥))))
2648, 23, 1, 3, 4, 65rpvmasumlem 26055 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(( 1 ‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
265264ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(( 1 ‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
266263, 265eqeltrd 2911 . . . . 5 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))))) ∈ 𝑂(1))
267178oveq2d 7164 . . . . . . . . . 10 (𝑓1 → ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) = ((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, -1, 0)))
268267oveq2d 7164 . . . . . . . . 9 (𝑓1 → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, -1, 0))))
26947adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
270 mulcom 10615 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → ((log‘𝑥) · -1) = (-1 · (log‘𝑥)))
271269, 50, 270sylancl 588 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · -1) = (-1 · (log‘𝑥)))
272269mulm1d 11084 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (-1 · (log‘𝑥)) = -(log‘𝑥))
273271, 272eqtrd 2854 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · -1) = -(log‘𝑥))
274269mul01d 10831 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · 0) = 0)
275273, 274ifeq12d 4485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → if(𝑓𝑊, ((log‘𝑥) · -1), ((log‘𝑥) · 0)) = if(𝑓𝑊, -(log‘𝑥), 0))
276 ovif2 7244 . . . . . . . . . . . 12 ((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, -1, 0)) = if(𝑓𝑊, ((log‘𝑥) · -1), ((log‘𝑥) · 0))
277 negeq 10870 . . . . . . . . . . . . 13 (if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0) = (log‘𝑥) → -if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0) = -(log‘𝑥))
278 negeq 10870 . . . . . . . . . . . . . 14 (if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0) = 0 → -if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0) = -0)
279278, 182syl6eq 2870 . . . . . . . . . . . . 13 (if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0) = 0 → -if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0) = 0)
280277, 279ifsb 4478 . . . . . . . . . . . 12 -if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0) = if(𝑓𝑊, -(log‘𝑥), 0)
281275, 276, 2803eqtr4g 2879 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, -1, 0)) = -if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0))
282281oveq2d 7164 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, -1, 0))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − -if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0)))
28358an32s 650 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
284 ifcl 4509 . . . . . . . . . . . 12 (((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0) ∈ ℂ)
285269, 51, 284sylancl 588 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0) ∈ ℂ)
286283, 285subnegd 10996 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − -if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0)))
287282, 286eqtrd 2854 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, -1, 0))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0)))
288268, 287sylan9eqr 2876 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓1 ) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0)))
289288an32s 650 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0)))
290289mpteq2dva 5152 . . . . . 6 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0))))
2911ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) → 𝑁 ∈ ℕ)
292 simplr 767 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) → 𝑓𝐷)
293 simpr 487 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) → 𝑓1 )
294 eqid 2819 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)) = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))
2958, 23, 291, 3, 4, 65, 292, 293, 294dchrmusumlema 26061 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) → ∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))
2961adantr 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓𝐷) → 𝑁 ∈ ℕ)
297296ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → 𝑁 ∈ ℕ)
298292adantr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → 𝑓𝐷)
299 simplr 767 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → 𝑓1 )
300 simprl 769 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → 𝑐 ∈ (0[,)+∞))
301 simprrl 779 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡)
302 simprrr 780 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦))
3038, 23, 297, 3, 4, 65, 298, 299, 294, 300, 301, 302, 202dchrvmaeq0 26072 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → (𝑓𝑊𝑡 = 0))
304 ifbi 4486 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓𝑊𝑡 = 0) → if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0) = if(𝑡 = 0, (log‘𝑥), 0))
305304oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓𝑊𝑡 = 0) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑡 = 0, (log‘𝑥), 0)))
306305mpteq2dv 5153 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓𝑊𝑡 = 0) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑡 = 0, (log‘𝑥), 0))))
307303, 306syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑡 = 0, (log‘𝑥), 0))))
3088, 23, 297, 3, 4, 65, 298, 299, 294, 300, 301, 302dchrvmasumif 26071 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑡 = 0, (log‘𝑥), 0))) ∈ 𝑂(1))
309307, 308eqeltrd 2911 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0))) ∈ 𝑂(1))
310309rexlimdvaa 3283 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) → (∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0))) ∈ 𝑂(1)))
311310exlimdv 1927 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) → (∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0))) ∈ 𝑂(1)))
312295, 311mpd 15 . . . . . 6 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0))) ∈ 𝑂(1))
313290, 312eqeltrd 2911 . . . . 5 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))))) ∈ 𝑂(1))
314266, 313pm2.61dane 3102 . . . 4 ((𝜑𝑓𝐷) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))))) ∈ 𝑂(1))
315250, 251, 253, 314o1mul2 14973 . . 3 ((𝜑𝑓𝐷) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((∗‘(𝑓𝐴)) · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))))) ∈ 𝑂(1))
316243, 244, 249, 315fsumo1 15159 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑓𝐷 ((∗‘(𝑓𝐴)) · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))))) ∈ 𝑂(1))
317241, 316eqeltrrd 2912 1 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊))))) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 208  wa 398  wo 843  w3a 1081   = wceq 1530  wex 1773  wcel 2107  wne 3014  wral 3136  wrex 3137  {crab 3140  cdif 3931  cun 3932  cin 3933  wss 3934  c0 4289  ifcif 4465  {csn 4559   class class class wbr 5057  cmpt 5137  ccnv 5547  cima 5551   Fn wfn 6343  wf 6344  ontowfo 6346  cfv 6348  (class class class)co 7148  Fincfn 8501  cc 10527  cr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   · cmul 10534  +∞cpnf 10664  cle 10668  cmin 10862  -cneg 10863   / cdiv 11289  cn 11630  0cn0 11889  cz 11973  cuz 12235  +crp 12381  [,)cico 12732  ...cfz 12884  cfl 13152  seqcseq 13361  chash 13682  ccj 14447  abscabs 14585  cli 14833  𝑂(1)co1 14835  Σcsu 15034  ϕcphi 16093  Basecbs 16475  0gc0g 16705   MndHom cmhm 17946  Grpcgrp 18095  Abelcabl 18899  mulGrpcmgp 19231  1rcur 19243  Unitcui 19381  fldccnfld 20537  ℤRHomczrh 20639  ℤ/nczn 20642  logclog 25130  Λcvma 25661  DChrcdchr 25800
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-inf2 9096  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-disj 5023  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7401  df-rpss 7441  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-supp 7823  df-tpos 7884  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-oadd 8098  df-omul 8099  df-er 8281  df-ec 8283  df-qs 8287  df-map 8400  df-pm 8401  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-fi 8867  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-dju 9322  df-card 9360  df-acn 9363  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ioc 12735  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-fl 13154  df-mod 13230  df-seq 13362  df-exp 13422  df-fac 13626  df-bc 13655  df-hash 13683  df-word 13854  df-concat 13915  df-s1 13942  df-shft 14418  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-limsup 14820  df-clim 14837  df-rlim 14838  df-o1 14839  df-lo1 14840  df-sum 15035  df-ef 15413  df-e 15414  df-sin 15415  df-cos 15416  df-tan 15417  df-pi 15418  df-dvds 15600  df-gcd 15836  df-prm 16008  df-phi 16095  df-pc 16166  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-qus 16774  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-mhm 17948  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-mulg 18217  df-subg 18268  df-nsg 18269  df-eqg 18270  df-ghm 18348  df-gim 18391  df-ga 18412  df-cntz 18439  df-oppg 18466  df-od 18648  df-gex 18649  df-pgp 18650  df-lsm 18753  df-pj1 18754  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-cyg 18989  df-dprd 19109  df-dpj 19110  df-mgp 19232  df-ur 19244  df-ring 19291  df-cring 19292  df-oppr 19365  df-dvdsr 19383  df-unit 19384  df-invr 19414  df-dvr 19425  df-rnghom 19459  df-drng 19496  df-subrg 19525  df-lmod 19628  df-lss 19696  df-lsp 19736  df-sra 19936  df-rgmod 19937  df-lidl 19938  df-rsp 19939  df-2idl 19997  df-psmet 20529  df-xmet 20530  df-met 20531  df-bl 20532  df-mopn 20533  df-fbas 20534  df-fg 20535  df-cnfld 20538  df-zring 20610  df-zrh 20643  df-zn 20646  df-top 21494  df-topon 21511  df-topsp 21533  df-bases 21546  df-cld 21619  df-ntr 21620  df-cls 21621  df-nei 21698  df-lp 21736  df-perf 21737  df-cn 21827  df-cnp 21828  df-haus 21915  df-cmp 21987  df-tx 22162  df-hmeo 22355  df-fil 22446  df-fm 22538  df-flim 22539  df-flf 22540  df-xms 22922  df-ms 22923  df-tms 22924  df-cncf 23478  df-0p 24263  df-limc 24456  df-dv 24457  df-ply 24770  df-idp 24771  df-coe 24772  df-dgr 24773  df-quot 24872  df-ulm 24957  df-log 25132  df-cxp 25133  df-atan 25437  df-em 25562  df-cht 25666  df-vma 25667  df-chp 25668  df-ppi 25669  df-mu 25670  df-dchr 25801
This theorem is referenced by:  dchrisum0re  26081  rpvmasum  26094
  Copyright terms: Public domain W3C validator