MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpvmasum2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpvmasum2 27556
Description: A partial result along the lines of rpvmasum 27570. The sum of the von Mangoldt function over those integers 𝑛𝐴 (mod 𝑁) is asymptotic to (1 − 𝑀)(log𝑥 / ϕ(𝑥)) + 𝑂(1), where 𝑀 is the number of non-principal Dirichlet characters with Σ𝑛 ∈ ℕ, 𝑋(𝑛) / 𝑛 = 0. Our goal is to show this set is empty. Equation 9.4.3 of [Shapiro], p. 375. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum2.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum2.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum2.1 1 = (0g𝐺)
rpvmasum2.w 𝑊 = {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}
rpvmasum2.u 𝑈 = (Unit‘𝑍)
rpvmasum2.b (𝜑𝐴𝑈)
rpvmasum2.t 𝑇 = (𝐿 “ {𝐴})
rpvmasum2.z1 ((𝜑𝑓𝑊) → 𝐴 = (1r𝑍))
Assertion
Ref Expression
rpvmasum2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊))))) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑚,𝑛,𝑥,𝑦,𝑓, 1   𝐴,𝑓,𝑚,𝑥,𝑦   𝑓,𝐺   𝑓,𝑁,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦   𝜑,𝑓,𝑚,𝑛,𝑥   𝑇,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦   𝑈,𝑚,𝑛,𝑥   𝑓,𝑊,𝑥   𝑓,𝑍,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦   𝐷,𝑓,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦   𝑓,𝐿,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦   𝐴,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝑇(𝑓)   𝑈(𝑦,𝑓)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑚,𝑛)   𝑊(𝑦,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem rpvmasum2
Dummy variables 𝑐 𝑡 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpvmasum.a . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
21adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ ℕ)
3 rpvmasum2.g . . . . . . 7 𝐺 = (DChr‘𝑁)
4 rpvmasum2.d . . . . . . 7 𝐷 = (Base‘𝐺)
53, 4dchrfi 27299 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ Fin)
62, 5syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ Fin)
7 fzfid 14014 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
8 rpvmasum.z . . . . . . . . . . . . 13 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
9 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
10 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓𝐷) → 𝑓𝐷)
113, 8, 4, 9, 10dchrf 27286 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓𝐷) → 𝑓:(Base‘𝑍)⟶ℂ)
12 rpvmasum2.u . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑈 = (Unit‘𝑍)
139, 12unitss 20376 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑈 ⊆ (Base‘𝑍)
14 rpvmasum2.b . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴𝑈)
1513, 14sselid 3981 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ∈ (Base‘𝑍))
1615adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓𝐷) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑍))
1711, 16ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓𝐷) → (𝑓𝐴) ∈ ℂ)
1817cjcld 15235 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑓𝐷) → (∗‘(𝑓𝐴)) ∈ ℂ)
1918adantlr 715 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → (∗‘(𝑓𝐴)) ∈ ℂ)
2019adantrl 716 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑓𝐷)) → (∗‘(𝑓𝐴)) ∈ ℂ)
2111ad4ant14 752 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑓𝐷) → 𝑓:(Base‘𝑍)⟶ℂ)
221nnnn0d 12587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
23 rpvmasum.l . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
248, 9, 23znzrhfo 21566 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ0𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍))
25 fof 6820 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
2622, 24, 253syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
2726adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
28 elfzelz 13564 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℤ)
29 ffvelcdm 7101 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐿𝑛) ∈ (Base‘𝑍))
3027, 28, 29syl2an 596 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝐿𝑛) ∈ (Base‘𝑍))
3130adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑓𝐷) → (𝐿𝑛) ∈ (Base‘𝑍))
3221, 31ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑓𝐷) → (𝑓‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
3332anasss 466 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑓𝐷)) → (𝑓‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
34 elfznn 13593 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℕ)
3534adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℕ)
36 vmacl 27161 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
3837, 35nndivred 12320 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
3938recnd 11289 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
4039adantrr 717 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑓𝐷)) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
4133, 40mulcld 11281 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑓𝐷)) → ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
4220, 41mulcld 11281 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑓𝐷)) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) ∈ ℂ)
4342anass1rs 655 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) ∈ ℂ)
447, 43fsumcl 15769 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) ∈ ℂ)
45 relogcl 26617 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
4645adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
4746recnd 11289 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
4847adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
49 ax-1cn 11213 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
50 neg1cn 12380 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℂ
51 0cn 11253 . . . . . . . 8 0 ∈ ℂ
5250, 51ifcli 4573 . . . . . . 7 if(𝑓𝑊, -1, 0) ∈ ℂ
5349, 52ifcli 4573 . . . . . 6 if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)) ∈ ℂ
54 mulcl 11239 . . . . . 6 (((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)) ∈ ℂ) → ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) ∈ ℂ)
5548, 53, 54sylancl 586 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) ∈ ℂ)
566, 44, 55fsumsub 15824 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓𝐷𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))) = (Σ𝑓𝐷 Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) − Σ𝑓𝐷 ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))))
5741anass1rs 655 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
587, 57fsumcl 15769 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
5919, 58, 55subdid 11719 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))))) = (((∗‘(𝑓𝐴)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) − ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))))))
607, 19, 57fsummulc2 15820 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
6153a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)) ∈ ℂ)
6219, 48, 61mul12d 11470 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))) = ((log‘𝑥) · ((∗‘(𝑓𝐴)) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))))
63 ovif2 7532 . . . . . . . . . 10 ((∗‘(𝑓𝐴)) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) = if(𝑓 = 1 , ((∗‘(𝑓𝐴)) · 1), ((∗‘(𝑓𝐴)) · if(𝑓𝑊, -1, 0)))
64 fveq1 6905 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 = 1 → (𝑓𝐴) = ( 1𝐴))
65 rpvmasum2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 = (0g𝐺)
661ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → 𝑁 ∈ ℕ)
6714ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → 𝐴𝑈)
683, 8, 65, 12, 66, 67dchr1 27301 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → ( 1𝐴) = 1)
6964, 68sylan9eqr 2799 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) → (𝑓𝐴) = 1)
7069fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) → (∗‘(𝑓𝐴)) = (∗‘1))
71 1re 11261 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℝ
72 cjre 15178 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 ∈ ℝ → (∗‘1) = 1)
7371, 72ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (∗‘1) = 1
7470, 73eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) → (∗‘(𝑓𝐴)) = 1)
7574oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · 1) = (1 · 1))
76 1t1e1 12428 . . . . . . . . . . . 12 (1 · 1) = 1
7775, 76eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · 1) = 1)
78 df-ne 2941 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓1 ↔ ¬ 𝑓 = 1 )
79 ovif2 7532 . . . . . . . . . . . . 13 ((∗‘(𝑓𝐴)) · if(𝑓𝑊, -1, 0)) = if(𝑓𝑊, ((∗‘(𝑓𝐴)) · -1), ((∗‘(𝑓𝐴)) · 0))
80 rpvmasum2.z1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑓𝑊) → 𝐴 = (1r𝑍))
8180fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑓𝑊) → (𝑓𝐴) = (𝑓‘(1r𝑍)))
8281ad5ant15 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ 𝑓𝑊) → (𝑓𝐴) = (𝑓‘(1r𝑍)))
833, 8, 4dchrmhm 27285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝐷 ⊆ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))
84 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → 𝑓𝐷)
8583, 84sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → 𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
86 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
87 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (1r𝑍) = (1r𝑍)
8886, 87ringidval 20180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (1r𝑍) = (0g‘(mulGrp‘𝑍))
89 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
90 cnfld1 21406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 = (1r‘ℂfld)
9189, 90ringidval 20180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
9288, 91mhm0 18807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) → (𝑓‘(1r𝑍)) = 1)
9385, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → (𝑓‘(1r𝑍)) = 1)
9493ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ 𝑓𝑊) → (𝑓‘(1r𝑍)) = 1)
9582, 94eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ 𝑓𝑊) → (𝑓𝐴) = 1)
9695fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ 𝑓𝑊) → (∗‘(𝑓𝐴)) = (∗‘1))
9796, 73eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ 𝑓𝑊) → (∗‘(𝑓𝐴)) = 1)
9897oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ 𝑓𝑊) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · -1) = (1 · -1))
9950mullidi 11266 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 · -1) = -1
10098, 99eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ 𝑓𝑊) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · -1) = -1)
101100ifeq1da 4557 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) → if(𝑓𝑊, ((∗‘(𝑓𝐴)) · -1), ((∗‘(𝑓𝐴)) · 0)) = if(𝑓𝑊, -1, ((∗‘(𝑓𝐴)) · 0)))
10219adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) → (∗‘(𝑓𝐴)) ∈ ℂ)
103102mul01d 11460 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · 0) = 0)
104103ifeq2d 4546 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) → if(𝑓𝑊, -1, ((∗‘(𝑓𝐴)) · 0)) = if(𝑓𝑊, -1, 0))
105101, 104eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) → if(𝑓𝑊, ((∗‘(𝑓𝐴)) · -1), ((∗‘(𝑓𝐴)) · 0)) = if(𝑓𝑊, -1, 0))
10679, 105eqtrid 2789 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · if(𝑓𝑊, -1, 0)) = if(𝑓𝑊, -1, 0))
10778, 106sylan2br 595 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ ¬ 𝑓 = 1 ) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · if(𝑓𝑊, -1, 0)) = if(𝑓𝑊, -1, 0))
10877, 107ifeq12da 4559 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → if(𝑓 = 1 , ((∗‘(𝑓𝐴)) · 1), ((∗‘(𝑓𝐴)) · if(𝑓𝑊, -1, 0))) = if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))
10963, 108eqtrid 2789 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) = if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))
110109oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → ((log‘𝑥) · ((∗‘(𝑓𝐴)) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))) = ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))))
11162, 110eqtrd 2777 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))) = ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))))
11260, 111oveq12d 7449 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → (((∗‘(𝑓𝐴)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) − ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))))
11359, 112eqtrd 2777 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))))
114113sumeq2dv 15738 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓𝐷 ((∗‘(𝑓𝐴)) · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))))) = Σ𝑓𝐷𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))))
115 fzfid 14014 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
116 inss1 4237 . . . . . . . . 9 ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ⊆ (1...(⌊‘𝑥))
117 ssfi 9213 . . . . . . . . 9 (((1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin ∧ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ⊆ (1...(⌊‘𝑥))) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∈ Fin)
118115, 116, 117sylancl 586 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∈ Fin)
1192phicld 16809 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ)
120119nncnd 12282 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℂ)
121116a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ⊆ (1...(⌊‘𝑥)))
122121sselda 3983 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)) → 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)))
123122, 39syldan 591 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
124118, 120, 123fsummulc2 15820 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)))
125120adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℂ)
126125, 39mulcld 11281 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
127122, 126syldan 591 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)) → ((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
128127ralrimiva 3146 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
129115olcd 875 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((1...(⌊‘𝑥)) ⊆ (ℤ‘1) ∨ (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin))
130 sumss2 15762 . . . . . . . 8 (((((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ⊆ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ ∀𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ) ∧ ((1...(⌊‘𝑥)) ⊆ (ℤ‘1) ∨ (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)) → Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))if(𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇), ((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)), 0))
131121, 128, 129, 130syl21anc 838 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))if(𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇), ((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)), 0))
132 elin 3967 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ↔ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑛𝑇))
133132baib 535 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → (𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ↔ 𝑛𝑇))
134133adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ↔ 𝑛𝑇))
135 rpvmasum2.t . . . . . . . . . . . . 13 𝑇 = (𝐿 “ {𝐴})
136135eleq2i 2833 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛𝑇𝑛 ∈ (𝐿 “ {𝐴}))
13727ffnd 6737 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐿 Fn ℤ)
138 fniniseg 7080 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐿 Fn ℤ → (𝑛 ∈ (𝐿 “ {𝐴}) ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝐿𝑛) = 𝐴)))
139138baibd 539 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐿 Fn ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 ∈ (𝐿 “ {𝐴}) ↔ (𝐿𝑛) = 𝐴))
140137, 28, 139syl2an 596 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑛 ∈ (𝐿 “ {𝐴}) ↔ (𝐿𝑛) = 𝐴))
141136, 140bitrid 283 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑛𝑇 ↔ (𝐿𝑛) = 𝐴))
142134, 141bitr2d 280 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝐿𝑛) = 𝐴𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)))
14339mul02d 11459 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (0 · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = 0)
144142, 143ifbieq2d 4552 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → if((𝐿𝑛) = 𝐴, ((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)), (0 · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) = if(𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇), ((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)), 0))
145 ovif 7531 . . . . . . . . . 10 (if((𝐿𝑛) = 𝐴, (ϕ‘𝑁), 0) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = if((𝐿𝑛) = 𝐴, ((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)), (0 · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)))
1461ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑁 ∈ ℕ)
147146, 5syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝐷 ∈ Fin)
14818ad4ant14 752 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑓𝐷) → (∗‘(𝑓𝐴)) ∈ ℂ)
14932, 148mulcld 11281 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑓𝐷) → ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · (∗‘(𝑓𝐴))) ∈ ℂ)
150147, 39, 149fsummulc1 15821 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (Σ𝑓𝐷 ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · (∗‘(𝑓𝐴))) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑓𝐷 (((𝑓‘(𝐿𝑛)) · (∗‘(𝑓𝐴))) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)))
15114ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝐴𝑈)
1523, 4, 8, 9, 12, 146, 30, 151sum2dchr 27318 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑓𝐷 ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · (∗‘(𝑓𝐴))) = if((𝐿𝑛) = 𝐴, (ϕ‘𝑁), 0))
153152oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (Σ𝑓𝐷 ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · (∗‘(𝑓𝐴))) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = (if((𝐿𝑛) = 𝐴, (ϕ‘𝑁), 0) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)))
15439adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑓𝐷) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
155 mulass 11243 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ ∧ (∗‘(𝑓𝐴)) ∈ ℂ ∧ ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ) → (((𝑓‘(𝐿𝑛)) · (∗‘(𝑓𝐴))) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
156 mul12 11426 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ ∧ (∗‘(𝑓𝐴)) ∈ ℂ ∧ ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ) → ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) = ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
157155, 156eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ ∧ (∗‘(𝑓𝐴)) ∈ ℂ ∧ ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ) → (((𝑓‘(𝐿𝑛)) · (∗‘(𝑓𝐴))) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
15832, 148, 154, 157syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑓𝐷) → (((𝑓‘(𝐿𝑛)) · (∗‘(𝑓𝐴))) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
159158sumeq2dv 15738 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑓𝐷 (((𝑓‘(𝐿𝑛)) · (∗‘(𝑓𝐴))) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑓𝐷 ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
160150, 153, 1593eqtr3d 2785 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (if((𝐿𝑛) = 𝐴, (ϕ‘𝑁), 0) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑓𝐷 ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
161145, 160eqtr3id 2791 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → if((𝐿𝑛) = 𝐴, ((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)), (0 · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) = Σ𝑓𝐷 ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
162144, 161eqtr3d 2779 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → if(𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇), ((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)), 0) = Σ𝑓𝐷 ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
163162sumeq2dv 15738 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))if(𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇), ((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)), 0) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑓𝐷 ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
164124, 131, 1633eqtrd 2781 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑓𝐷 ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
165115, 6, 42fsumcom 15811 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑓𝐷 ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) = Σ𝑓𝐷 Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
166164, 165eqtrd 2777 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑓𝐷 Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
1673dchrabl 27298 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Abel)
168 ablgrp 19803 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
1694, 65grpidcl 18983 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ Grp → 1𝐷)
1702, 167, 168, 1694syl 19 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 1𝐷)
17147mulridd 11278 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · 1) = (log‘𝑥))
172171, 47eqeltrd 2841 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · 1) ∈ ℂ)
173 iftrue 4531 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = 1 → if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)) = 1)
174173oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 1 → ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) = ((log‘𝑥) · 1))
175174sumsn 15782 . . . . . . . . 9 (( 1𝐷 ∧ ((log‘𝑥) · 1) ∈ ℂ) → Σ𝑓 ∈ { 1 } ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) = ((log‘𝑥) · 1))
176170, 172, 175syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓 ∈ { 1 } ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) = ((log‘𝑥) · 1))
177 eldifsn 4786 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ↔ (𝑓𝐷𝑓1 ))
178 ifnefalse 4537 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓1 → if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)) = if(𝑓𝑊, -1, 0))
179178ad2antll 729 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓𝐷𝑓1 )) → if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)) = if(𝑓𝑊, -1, 0))
180 negeq 11500 . . . . . . . . . . . . . . 15 (if(𝑓𝑊, 1, 0) = 1 → -if(𝑓𝑊, 1, 0) = -1)
181 negeq 11500 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (if(𝑓𝑊, 1, 0) = 0 → -if(𝑓𝑊, 1, 0) = -0)
182 neg0 11555 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -0 = 0
183181, 182eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . 15 (if(𝑓𝑊, 1, 0) = 0 → -if(𝑓𝑊, 1, 0) = 0)
184180, 183ifsb 4539 . . . . . . . . . . . . . 14 -if(𝑓𝑊, 1, 0) = if(𝑓𝑊, -1, 0)
185179, 184eqtr4di 2795 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓𝐷𝑓1 )) → if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)) = -if(𝑓𝑊, 1, 0))
186185oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓𝐷𝑓1 )) → ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) = ((log‘𝑥) · -if(𝑓𝑊, 1, 0)))
18747adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓𝐷𝑓1 )) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
18849, 51ifcli 4573 . . . . . . . . . . . . 13 if(𝑓𝑊, 1, 0) ∈ ℂ
189 mulneg2 11700 . . . . . . . . . . . . 13 (((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ if(𝑓𝑊, 1, 0) ∈ ℂ) → ((log‘𝑥) · -if(𝑓𝑊, 1, 0)) = -((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, 1, 0)))
190187, 188, 189sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓𝐷𝑓1 )) → ((log‘𝑥) · -if(𝑓𝑊, 1, 0)) = -((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, 1, 0)))
191186, 190eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓𝐷𝑓1 )) → ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) = -((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, 1, 0)))
192177, 191sylan2b 594 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })) → ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) = -((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, 1, 0)))
193192sumeq2dv 15738 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) = Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })-((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, 1, 0)))
194 diffi 9215 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ Fin → (𝐷 ∖ { 1 }) ∈ Fin)
1956, 194syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐷 ∖ { 1 }) ∈ Fin)
19647adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
197 mulcl 11239 . . . . . . . . . . 11 (((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ if(𝑓𝑊, 1, 0) ∈ ℂ) → ((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, 1, 0)) ∈ ℂ)
198196, 188, 197sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })) → ((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, 1, 0)) ∈ ℂ)
199195, 198fsumneg 15823 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })-((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, 1, 0)) = -Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, 1, 0)))
200188a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })) → if(𝑓𝑊, 1, 0) ∈ ℂ)
201195, 47, 200fsummulc2 15820 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })if(𝑓𝑊, 1, 0)) = Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, 1, 0)))
202 rpvmasum2.w . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑊 = {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}
203202ssrab3 4082 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑊 ⊆ (𝐷 ∖ { 1 })
204 difss 4136 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐷 ∖ { 1 }) ⊆ 𝐷
205203, 204sstri 3993 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑊𝐷
206 ssfi 9213 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑊𝐷) → 𝑊 ∈ Fin)
2076, 205, 206sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑊 ∈ Fin)
208 fsumconst 15826 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑓𝑊 1 = ((♯‘𝑊) · 1))
209207, 49, 208sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓𝑊 1 = ((♯‘𝑊) · 1))
210203a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑊 ⊆ (𝐷 ∖ { 1 }))
21149a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℂ)
212211ralrimivw 3150 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑓𝑊 1 ∈ ℂ)
213195olcd 875 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐷 ∖ { 1 }) ⊆ (ℤ‘1) ∨ (𝐷 ∖ { 1 }) ∈ Fin))
214 sumss2 15762 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ⊆ (𝐷 ∖ { 1 }) ∧ ∀𝑓𝑊 1 ∈ ℂ) ∧ ((𝐷 ∖ { 1 }) ⊆ (ℤ‘1) ∨ (𝐷 ∖ { 1 }) ∈ Fin)) → Σ𝑓𝑊 1 = Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })if(𝑓𝑊, 1, 0))
215210, 212, 213, 214syl21anc 838 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓𝑊 1 = Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })if(𝑓𝑊, 1, 0))
216 hashcl 14395 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 ∈ Fin → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
217207, 216syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
218217nn0cnd 12589 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
219218mulridd 11278 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((♯‘𝑊) · 1) = (♯‘𝑊))
220209, 215, 2193eqtr3d 2785 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })if(𝑓𝑊, 1, 0) = (♯‘𝑊))
221220oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })if(𝑓𝑊, 1, 0)) = ((log‘𝑥) · (♯‘𝑊)))
222201, 221eqtr3d 2779 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, 1, 0)) = ((log‘𝑥) · (♯‘𝑊)))
223222negeqd 11502 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → -Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, 1, 0)) = -((log‘𝑥) · (♯‘𝑊)))
224193, 199, 2233eqtrd 2781 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) = -((log‘𝑥) · (♯‘𝑊)))
225176, 224oveq12d 7449 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑓 ∈ { 1 } ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) + Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))) = (((log‘𝑥) · 1) + -((log‘𝑥) · (♯‘𝑊))))
22647, 218mulcld 11281 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · (♯‘𝑊)) ∈ ℂ)
227172, 226negsubd 11626 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (((log‘𝑥) · 1) + -((log‘𝑥) · (♯‘𝑊))) = (((log‘𝑥) · 1) − ((log‘𝑥) · (♯‘𝑊))))
228225, 227eqtrd 2777 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑓 ∈ { 1 } ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) + Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))) = (((log‘𝑥) · 1) − ((log‘𝑥) · (♯‘𝑊))))
229 disjdif 4472 . . . . . . . 8 ({ 1 } ∩ (𝐷 ∖ { 1 })) = ∅
230229a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ({ 1 } ∩ (𝐷 ∖ { 1 })) = ∅)
231 undif2 4477 . . . . . . . 8 ({ 1 } ∪ (𝐷 ∖ { 1 })) = ({ 1 } ∪ 𝐷)
232170snssd 4809 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → { 1 } ⊆ 𝐷)
233 ssequn1 4186 . . . . . . . . 9 ({ 1 } ⊆ 𝐷 ↔ ({ 1 } ∪ 𝐷) = 𝐷)
234232, 233sylib 218 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ({ 1 } ∪ 𝐷) = 𝐷)
235231, 234eqtr2id 2790 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐷 = ({ 1 } ∪ (𝐷 ∖ { 1 })))
236230, 235, 6, 55fsumsplit 15777 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓𝐷 ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) = (Σ𝑓 ∈ { 1 } ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) + Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))))
23747, 211, 218subdid 11719 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊))) = (((log‘𝑥) · 1) − ((log‘𝑥) · (♯‘𝑊))))
238228, 236, 2373eqtr4rd 2788 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊))) = Σ𝑓𝐷 ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))))
239166, 238oveq12d 7449 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊)))) = (Σ𝑓𝐷 Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) − Σ𝑓𝐷 ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))))
24056, 114, 2393eqtr4d 2787 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓𝐷 ((∗‘(𝑓𝐴)) · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))))) = (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊)))))
241240mpteq2dva 5242 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑓𝐷 ((∗‘(𝑓𝐴)) · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊))))))
242 rpssre 13042 . . . 4 + ⊆ ℝ
243242a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℝ+ ⊆ ℝ)
2441, 5syl 17 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ Fin)
24517adantlr 715 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → (𝑓𝐴) ∈ ℂ)
246245cjcld 15235 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → (∗‘(𝑓𝐴)) ∈ ℂ)
24758, 55subcld 11620 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))) ∈ ℂ)
248246, 247mulcld 11281 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))))) ∈ ℂ)
249248anasss 466 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑓𝐷)) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))))) ∈ ℂ)
25018adantr 480 . . . 4 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∗‘(𝑓𝐴)) ∈ ℂ)
251247an32s 652 . . . 4 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))) ∈ ℂ)
252 o1const 15656 . . . . 5 ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ (∗‘(𝑓𝐴)) ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (∗‘(𝑓𝐴))) ∈ 𝑂(1))
253242, 18, 252sylancr 587 . . . 4 ((𝜑𝑓𝐷) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (∗‘(𝑓𝐴))) ∈ 𝑂(1))
254 fveq1 6905 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = 1 → (𝑓‘(𝐿𝑛)) = ( 1 ‘(𝐿𝑛)))
255254oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = 1 → ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = (( 1 ‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)))
256255sumeq2sdv 15739 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 1 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(( 1 ‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)))
257256, 174oveq12d 7449 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 1 → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(( 1 ‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · 1)))
258257adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(( 1 ‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · 1)))
25945recnd 11289 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+ → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
260259mulridd 11278 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((log‘𝑥) · 1) = (log‘𝑥))
261260oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+ → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(( 1 ‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · 1)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(( 1 ‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − (log‘𝑥)))
262258, 261sylan9eq 2797 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(( 1 ‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − (log‘𝑥)))
263262mpteq2dva 5242 . . . . . 6 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(( 1 ‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − (log‘𝑥))))
2648, 23, 1, 3, 4, 65rpvmasumlem 27531 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(( 1 ‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
265264ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(( 1 ‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
266263, 265eqeltrd 2841 . . . . 5 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))))) ∈ 𝑂(1))
267178oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝑓1 → ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) = ((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, -1, 0)))
268267oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝑓1 → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, -1, 0))))
26947adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
270 mulcom 11241 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → ((log‘𝑥) · -1) = (-1 · (log‘𝑥)))
271269, 50, 270sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · -1) = (-1 · (log‘𝑥)))
272269mulm1d 11715 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (-1 · (log‘𝑥)) = -(log‘𝑥))
273271, 272eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · -1) = -(log‘𝑥))
274269mul01d 11460 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · 0) = 0)
275273, 274ifeq12d 4547 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → if(𝑓𝑊, ((log‘𝑥) · -1), ((log‘𝑥) · 0)) = if(𝑓𝑊, -(log‘𝑥), 0))
276 ovif2 7532 . . . . . . . . . . . 12 ((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, -1, 0)) = if(𝑓𝑊, ((log‘𝑥) · -1), ((log‘𝑥) · 0))
277 negeq 11500 . . . . . . . . . . . . 13 (if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0) = (log‘𝑥) → -if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0) = -(log‘𝑥))
278 negeq 11500 . . . . . . . . . . . . . 14 (if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0) = 0 → -if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0) = -0)
279278, 182eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . 13 (if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0) = 0 → -if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0) = 0)
280277, 279ifsb 4539 . . . . . . . . . . . 12 -if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0) = if(𝑓𝑊, -(log‘𝑥), 0)
281275, 276, 2803eqtr4g 2802 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, -1, 0)) = -if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0))
282281oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, -1, 0))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − -if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0)))
28358an32s 652 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
284 ifcl 4571 . . . . . . . . . . . 12 (((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0) ∈ ℂ)
285269, 51, 284sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0) ∈ ℂ)
286283, 285subnegd 11627 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − -if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0)))
287282, 286eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, -1, 0))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0)))
288268, 287sylan9eqr 2799 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓1 ) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0)))
289288an32s 652 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0)))
290289mpteq2dva 5242 . . . . . 6 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0))))
2911ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) → 𝑁 ∈ ℕ)
292 simplr 769 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) → 𝑓𝐷)
293 simpr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) → 𝑓1 )
294 eqid 2737 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)) = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))
2958, 23, 291, 3, 4, 65, 292, 293, 294dchrmusumlema 27537 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) → ∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))
2961adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓𝐷) → 𝑁 ∈ ℕ)
297296ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → 𝑁 ∈ ℕ)
298292adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → 𝑓𝐷)
299 simplr 769 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → 𝑓1 )
300 simprl 771 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → 𝑐 ∈ (0[,)+∞))
301 simprrl 781 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡)
302 simprrr 782 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦))
3038, 23, 297, 3, 4, 65, 298, 299, 294, 300, 301, 302, 202dchrvmaeq0 27548 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → (𝑓𝑊𝑡 = 0))
304 ifbi 4548 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓𝑊𝑡 = 0) → if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0) = if(𝑡 = 0, (log‘𝑥), 0))
305304oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓𝑊𝑡 = 0) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑡 = 0, (log‘𝑥), 0)))
306305mpteq2dv 5244 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓𝑊𝑡 = 0) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑡 = 0, (log‘𝑥), 0))))
307303, 306syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑡 = 0, (log‘𝑥), 0))))
3088, 23, 297, 3, 4, 65, 298, 299, 294, 300, 301, 302dchrvmasumif 27547 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑡 = 0, (log‘𝑥), 0))) ∈ 𝑂(1))
309307, 308eqeltrd 2841 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0))) ∈ 𝑂(1))
310309rexlimdvaa 3156 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) → (∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0))) ∈ 𝑂(1)))
311310exlimdv 1933 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) → (∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0))) ∈ 𝑂(1)))
312295, 311mpd 15 . . . . . 6 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0))) ∈ 𝑂(1))
313290, 312eqeltrd 2841 . . . . 5 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))))) ∈ 𝑂(1))
314266, 313pm2.61dane 3029 . . . 4 ((𝜑𝑓𝐷) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))))) ∈ 𝑂(1))
315250, 251, 253, 314o1mul2 15661 . . 3 ((𝜑𝑓𝐷) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((∗‘(𝑓𝐴)) · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))))) ∈ 𝑂(1))
316243, 244, 249, 315fsumo1 15848 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑓𝐷 ((∗‘(𝑓𝐴)) · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))))) ∈ 𝑂(1))
317241, 316eqeltrrd 2842 1 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊))))) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848  w3a 1087   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  {crab 3436  cdif 3948  cun 3949  cin 3950  wss 3951  c0 4333  ifcif 4525  {csn 4626   class class class wbr 5143  cmpt 5225  ccnv 5684  cima 5688   Fn wfn 6556  wf 6557  ontowfo 6559  cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  +∞cpnf 11292  cle 11296  cmin 11492  -cneg 11493   / cdiv 11920  cn 12266  0cn0 12526  cz 12613  cuz 12878  +crp 13034  [,)cico 13389  ...cfz 13547  cfl 13830  seqcseq 14042  chash 14369  ccj 15135  abscabs 15273  cli 15520  𝑂(1)co1 15522  Σcsu 15722  ϕcphi 16801  Basecbs 17247  0gc0g 17484   MndHom cmhm 18794  Grpcgrp 18951  Abelcabl 19799  mulGrpcmgp 20137  1rcur 20178  Unitcui 20355  fldccnfld 21364  ℤRHomczrh 21510  ℤ/nczn 21513  logclog 26596  Λcvma 27135  DChrcdchr 27276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-rpss 7743  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-ec 8747  df-qs 8751  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-word 14553  df-concat 14609  df-s1 14634  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-o1 15526  df-lo1 15527  df-sum 15723  df-ef 16103  df-e 16104  df-sin 16105  df-cos 16106  df-tan 16107  df-pi 16108  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-prm 16709  df-phi 16803  df-pc 16875  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-qus 17554  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-nsg 19142  df-eqg 19143  df-ghm 19231  df-gim 19277  df-ga 19308  df-cntz 19335  df-oppg 19364  df-od 19546  df-gex 19547  df-pgp 19548  df-lsm 19654  df-pj1 19655  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-cyg 19896  df-dprd 20015  df-dpj 20016  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-rhm 20472  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-drng 20731  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-lidl 21218  df-rsp 21219  df-2idl 21260  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-zring 21458  df-zrh 21514  df-zn 21517  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-0p 25705  df-limc 25901  df-dv 25902  df-ply 26227  df-idp 26228  df-coe 26229  df-dgr 26230  df-quot 26333  df-ulm 26420  df-log 26598  df-cxp 26599  df-atan 26910  df-em 27036  df-cht 27140  df-vma 27141  df-chp 27142  df-ppi 27143  df-mu 27144  df-dchr 27277
This theorem is referenced by:  dchrisum0re  27557  rpvmasum  27570
  Copyright terms: Public domain W3C validator