Theorem rpvmasum2 27851

Description: A partial result along the lines of rpvmasum 27865. The sum of the von Mangoldt function over those integers 𝑛≡𝐴 (mod 𝑁) is asymptotic to (1 − 𝑀)(log𝑥 / ϕ(𝑥)) + 𝑂(1), where 𝑀 is the number of non-principal Dirichlet characters with Σ𝑛 ∈ ℕ, 𝑋(𝑛) / 𝑛 = 0. Our goal is to show this set is empty. Equation 9.4.3 of [Shapiro], p. 375. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum2.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum2.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum2.1	⊢ 1 = (0g‘𝐺)
rpvmasum2.w	⊢ 𝑊 = {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) = 0}
rpvmasum2.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
rpvmasum2.b	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
rpvmasum2.t	⊢ 𝑇 = (◡𝐿 “ {𝐴})
rpvmasum2.z1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑊) → 𝐴 = (1r‘𝑍))

Assertion

Ref	Expression
rpvmasum2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊))))) ∈ 𝑂(1))

Distinct variable groups:   𝑚,𝑛,𝑥,𝑦,𝑓, 1   𝐴,𝑓,𝑚,𝑥,𝑦   𝑓,𝐺   𝑓,𝑁,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦   𝜑,𝑓,𝑚,𝑛,𝑥   𝑇,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦   𝑈,𝑚,𝑛,𝑥   𝑓,𝑊,𝑥   𝑓,𝑍,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦   𝐷,𝑓,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦   𝑓,𝐿,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦   𝐴,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝑇(𝑓)   𝑈(𝑦, 𝑓)   𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑚, 𝑛)   𝑊(𝑦, 𝑚, 𝑛)

Proof of Theorem rpvmasum2

Dummy variables 𝑐 𝑡 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpvmasum.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2	1	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ ℕ)
3		rpvmasum2.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
4		rpvmasum2.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
5	3, 4	dchrfi 27594	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ Fin)
6	2, 5	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ Fin)
7		fzfid 14126	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
8		rpvmasum.z	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
9		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
10		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → 𝑓 ∈ 𝐷)
11	3, 8, 4, 9, 10	dchrf 27581	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → 𝑓:(Base‘𝑍)⟶ℂ)
12		rpvmasum2.u	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
13	9, 12	unitss 20618	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑍)
14		rpvmasum2.b	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
15	13, 14	sselid 3910	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘𝑍))
16	15	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑍))
17	11, 16	ffvelcdmd 7093	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (𝑓‘𝐴) ∈ ℂ)
18	17	cjcld 15375	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (∗‘(𝑓‘𝐴)) ∈ ℂ)
19	18	adantlr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (∗‘(𝑓‘𝐴)) ∈ ℂ)
20	19	adantrl 729	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷)) → (∗‘(𝑓‘𝐴)) ∈ ℂ)
21	11	ad4ant14 765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → 𝑓:(Base‘𝑍)⟶ℂ)
22	1	nnnn0d 12677	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
23		rpvmasum.l	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
24	8, 9, 23	znzrhfo 21865	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍))
25		fof 6804	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
26	22, 24, 25	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
27	26	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
28		elfzelz 13666	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℤ)
29		ffvelcdm 7089	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐿‘𝑛) ∈ (Base‘𝑍))
30	27, 28, 29	syl2an 608	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝐿‘𝑛) ∈ (Base‘𝑍))
31	30	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (𝐿‘𝑛) ∈ (Base‘𝑍))
32	21, 31	ffvelcdmd 7093	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (𝑓‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
33	32	anasss 472	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷)) → (𝑓‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
34		elfznn 13697	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℕ)
35	34	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℕ)
36		vmacl 27457	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
37	35, 36	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
38	37, 35	nndivred 12402	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
39	38	recnd 11347	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
40	39	adantrr 730	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷)) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
41	33, 40	mulcld 11339	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷)) → ((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
42	20, 41	mulcld 11339	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷)) → ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) ∈ ℂ)
43	42	anass1rs 668	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) ∈ ℂ)
44	7, 43	fsumcl 15911	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((∗‘(𝑓‘𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) ∈ ℂ)
45		relogcl 26915	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
46	45	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
47	46	recnd 11347	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
48	47	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
49		ax-1cn 11268	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
50		neg1cn 12315	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℂ
51		0cn 11308	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℂ
52	50, 51	ifcli 4532	. . . . . . 7 ⊢ if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0) ∈ ℂ
53	49, 52	ifcli 4532	. . . . . 6 ⊢ if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)) ∈ ℂ
54		mulcl 11294	. . . . . 6 ⊢ (((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)) ∈ ℂ) → ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))) ∈ ℂ)
55	48, 53, 54	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))) ∈ ℂ)
56	6, 44, 55	fsumsub 15966	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓 ∈ 𝐷 (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((∗‘(𝑓‘𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)))) = (Σ𝑓 ∈ 𝐷 Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((∗‘(𝑓‘𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) − Σ𝑓 ∈ 𝐷 ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)))))
57	41	anass1rs 668	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
58	7, 57	fsumcl 15911	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
59	19, 58, 55	subdid 11782	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))))) = (((∗‘(𝑓‘𝐴)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) − ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))))))
60	7, 19, 57	fsummulc2 15962	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((∗‘(𝑓‘𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
61	53	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)) ∈ ℂ)
62	19, 48, 61	mul12d 11529	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)))) = ((log‘𝑥) · ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)))))
63		ovif2 7526	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))) = if(𝑓 = 1 , ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · 1), ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)))
64		fveq1 6892	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑓 = 1 → (𝑓‘𝐴) = ( 1 ‘𝐴))
65		rpvmasum2.1	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 = (0g‘𝐺)
66	1	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → 𝑁 ∈ ℕ)
67	14	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝑈)
68	3, 8, 65, 12, 66, 67	dchr1 27596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → ( 1 ‘𝐴) = 1)
69	64, 68	sylan9eqr 2820	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) → (𝑓‘𝐴) = 1)
70	69	fveq2d 6897	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) → (∗‘(𝑓‘𝐴)) = (∗‘1))
71		1re 11318	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℝ
72		cjre 15318	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 ∈ ℝ → (∗‘1) = 1)
73	71, 72	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∗‘1) = 1
74	70, 73	eqtrdi 2814	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) → (∗‘(𝑓‘𝐴)) = 1)
75	74	oveq1d 7442	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) → ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · 1) = (1 · 1))
76		1t1e1 12514	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 · 1) = 1
77	75, 76	eqtrdi 2814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) → ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · 1) = 1)
78		df-ne 2959	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ≠ 1 ↔ ¬ 𝑓 = 1 )
79		ovif2 7526	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)) = if(𝑓 ∈ 𝑊, ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · -1), ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · 0))
80		rpvmasum2.z1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑊) → 𝐴 = (1r‘𝑍))
81	80	fveq2d 6897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑊) → (𝑓‘𝐴) = (𝑓‘(1r‘𝑍)))
82	81	ad5ant15 771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 ≠ 1 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑊) → (𝑓‘𝐴) = (𝑓‘(1r‘𝑍)))
83	3, 8, 4	dchrmhm 27580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 𝐷 ⊆ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))
84		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → 𝑓 ∈ 𝐷)
85	83, 84	sselid 3910	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → 𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
86		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
87		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (1r‘𝑍) = (1r‘𝑍)
88	86, 87	ringidval 20421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (1r‘𝑍) = (0g‘(mulGrp‘𝑍))
89		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
90		cnfld1 21715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
91	89, 90	ringidval 20421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
92	88, 91	mhm0 19001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) → (𝑓‘(1r‘𝑍)) = 1)
93	85, 92	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (𝑓‘(1r‘𝑍)) = 1)
94	93	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 ≠ 1 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑊) → (𝑓‘(1r‘𝑍)) = 1)
95	82, 94	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 ≠ 1 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑊) → (𝑓‘𝐴) = 1)
96	95	fveq2d 6897	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 ≠ 1 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑊) → (∗‘(𝑓‘𝐴)) = (∗‘1))
97	96, 73	eqtrdi 2814	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 ≠ 1 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑊) → (∗‘(𝑓‘𝐴)) = 1)
98	97	oveq1d 7442	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 ≠ 1 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑊) → ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · -1) = (1 · -1))
99	50	mullidi 11324	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 · -1) = -1
100	98, 99	eqtrdi 2814	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 ≠ 1 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑊) → ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · -1) = -1)
101	100	ifeq1da 4516	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 ≠ 1 ) → if(𝑓 ∈ 𝑊, ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · -1), ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · 0)) = if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · 0)))
102	19	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 ≠ 1 ) → (∗‘(𝑓‘𝐴)) ∈ ℂ)
103	102	mul01d 11519	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 ≠ 1 ) → ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · 0) = 0)
104	103	ifeq2d 4505	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 ≠ 1 ) → if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · 0)) = if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))
105	101, 104	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 ≠ 1 ) → if(𝑓 ∈ 𝑊, ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · -1), ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · 0)) = if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))
106	79, 105	eqtrid 2810	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 ≠ 1 ) → ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)) = if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))
107	78, 106	sylan2br 607	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝑓 = 1 ) → ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)) = if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))
108	77, 107	ifeq12da 4518	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → if(𝑓 = 1 , ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · 1), ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))) = if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)))
109	63, 108	eqtrid 2810	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))) = if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)))
110	109	oveq2d 7443	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → ((log‘𝑥) · ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)))) = ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))))
111	62, 110	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)))) = ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))))
112	60, 111	oveq12d 7445	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (((∗‘(𝑓‘𝐴)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) − ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((∗‘(𝑓‘𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)))))
113	59, 112	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((∗‘(𝑓‘𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)))))
114	113	sumeq2dv 15881	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓 ∈ 𝐷 ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))))) = Σ𝑓 ∈ 𝐷 (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((∗‘(𝑓‘𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)))))
115		fzfid 14126	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
116		inss1 4135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ⊆ (1...(⌊‘𝑥))
117		ssfi 9199	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin ∧ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ⊆ (1...(⌊‘𝑥))) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∈ Fin)
118	115, 116, 117	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∈ Fin)
119	2	phicld 16961	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ)
120	119	nncnd 12361	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℂ)
121	116	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ⊆ (1...(⌊‘𝑥)))
122	121	sselda 3912	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)) → 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)))
123	122, 39	syldan 603	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
124	118, 120, 123	fsummulc2 15962	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)))
125	120	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℂ)
126	125, 39	mulcld 11339	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
127	122, 126	syldan 603	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)) → ((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
128	127	ralrimiva 3157	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
129	115	olcd 888	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((1...(⌊‘𝑥)) ⊆ (ℤ≥‘1) ∨ (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin))
130		sumss2 15904	. . . . . . . 8 ⊢ (((((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ⊆ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ ∀𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ) ∧ ((1...(⌊‘𝑥)) ⊆ (ℤ≥‘1) ∨ (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)) → Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))if(𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇), ((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)), 0))
131	121, 128, 129, 130	syl21anc 851	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))if(𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇), ((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)), 0))
132		elin 4095	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ↔ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑇))
133	132	baib 545	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → (𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ↔ 𝑛 ∈ 𝑇))
134	133	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ↔ 𝑛 ∈ 𝑇))
135		rpvmasum2.t	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑇 = (◡𝐿 “ {𝐴})
136	135	eleq2i 2855	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑇 ↔ 𝑛 ∈ (◡𝐿 “ {𝐴}))
137	27	ffnd 6718	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐿 Fn ℤ)
138		fniniseg 7067	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐿 Fn ℤ → (𝑛 ∈ (◡𝐿 “ {𝐴}) ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝑛) = 𝐴)))
139	138	baibd 549	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐿 Fn ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 ∈ (◡𝐿 “ {𝐴}) ↔ (𝐿‘𝑛) = 𝐴))
140	137, 28, 139	syl2an 608	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑛 ∈ (◡𝐿 “ {𝐴}) ↔ (𝐿‘𝑛) = 𝐴))
141	136, 140	bitrid 286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑛 ∈ 𝑇 ↔ (𝐿‘𝑛) = 𝐴))
142	134, 141	bitr2d 283	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝐿‘𝑛) = 𝐴 ↔ 𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)))
143	39	mul02d 11518	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (0 · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = 0)
144	142, 143	ifbieq2d 4511	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → if((𝐿‘𝑛) = 𝐴, ((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)), (0 · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) = if(𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇), ((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)), 0))
145		ovif 7525	. . . . . . . . . 10 ⊢ (if((𝐿‘𝑛) = 𝐴, (ϕ‘𝑁), 0) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = if((𝐿‘𝑛) = 𝐴, ((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)), (0 · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)))
146	1	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑁 ∈ ℕ)
147	146, 5	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝐷 ∈ Fin)
148	18	ad4ant14 765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (∗‘(𝑓‘𝐴)) ∈ ℂ)
149	32, 148	mulcld 11339	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → ((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · (∗‘(𝑓‘𝐴))) ∈ ℂ)
150	147, 39, 149	fsummulc1 15963	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (Σ𝑓 ∈ 𝐷 ((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · (∗‘(𝑓‘𝐴))) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑓 ∈ 𝐷 (((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · (∗‘(𝑓‘𝐴))) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)))
151	14	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝐴 ∈ 𝑈)
152	3, 4, 8, 9, 12, 146, 30, 151	sum2dchr 27613	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑓 ∈ 𝐷 ((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · (∗‘(𝑓‘𝐴))) = if((𝐿‘𝑛) = 𝐴, (ϕ‘𝑁), 0))
153	152	oveq1d 7442	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (Σ𝑓 ∈ 𝐷 ((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · (∗‘(𝑓‘𝐴))) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = (if((𝐿‘𝑛) = 𝐴, (ϕ‘𝑁), 0) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)))
154	39	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
155		mulass 11298	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ ∧ (∗‘(𝑓‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ) → (((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · (∗‘(𝑓‘𝐴))) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = ((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
156		mul12 11485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ ∧ (∗‘(𝑓‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ) → ((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) = ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
157	155, 156	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ ∧ (∗‘(𝑓‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ) → (((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · (∗‘(𝑓‘𝐴))) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
158	32, 148, 154, 157	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · (∗‘(𝑓‘𝐴))) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
159	158	sumeq2dv 15881	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑓 ∈ 𝐷 (((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · (∗‘(𝑓‘𝐴))) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑓 ∈ 𝐷 ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
160	150, 153, 159	3eqtr3d 2806	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (if((𝐿‘𝑛) = 𝐴, (ϕ‘𝑁), 0) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑓 ∈ 𝐷 ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
161	145, 160	eqtr3id 2812	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → if((𝐿‘𝑛) = 𝐴, ((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)), (0 · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) = Σ𝑓 ∈ 𝐷 ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
162	144, 161	eqtr3d 2800	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → if(𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇), ((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)), 0) = Σ𝑓 ∈ 𝐷 ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
163	162	sumeq2dv 15881	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))if(𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇), ((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)), 0) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑓 ∈ 𝐷 ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
164	124, 131, 163	3eqtrd 2802	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑓 ∈ 𝐷 ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
165	115, 6, 42	fsumcom 15953	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑓 ∈ 𝐷 ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) = Σ𝑓 ∈ 𝐷 Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((∗‘(𝑓‘𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
166	164, 165	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑓 ∈ 𝐷 Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((∗‘(𝑓‘𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
167	3	dchrabl 27593	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Abel)
168		ablgrp 20011	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
169	4, 65	grpidcl 19188	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 1 ∈ 𝐷)
170	2, 167, 168, 169	4syl 20	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ∈ 𝐷)
171	47	mulridd 11336	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · 1) = (log‘𝑥))
172	171, 47	eqeltrd 2863	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · 1) ∈ ℂ)
173		iftrue 4490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = 1 → if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)) = 1)
174	173	oveq2d 7443	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = 1 → ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))) = ((log‘𝑥) · 1))
175	174	sumsn 15924	. . . . . . . . 9 ⊢ (( 1 ∈ 𝐷 ∧ ((log‘𝑥) · 1) ∈ ℂ) → Σ𝑓 ∈ { 1 } ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))) = ((log‘𝑥) · 1))
176	170, 172, 175	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓 ∈ { 1 } ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))) = ((log‘𝑥) · 1))
177		eldifsn 4747	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ↔ (𝑓 ∈ 𝐷 ∧ 𝑓 ≠ 1 ))
178		ifnefalse 4496	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 ≠ 1 → if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)) = if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))
179	178	ad2antll 742	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ 𝐷 ∧ 𝑓 ≠ 1 )) → if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)) = if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))
180		negeq 11559	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (if(𝑓 ∈ 𝑊, 1, 0) = 1 → -if(𝑓 ∈ 𝑊, 1, 0) = -1)
181		negeq 11559	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (if(𝑓 ∈ 𝑊, 1, 0) = 0 → -if(𝑓 ∈ 𝑊, 1, 0) = -0)
182		neg0 11614	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ -0 = 0
183	181, 182	eqtrdi 2814	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (if(𝑓 ∈ 𝑊, 1, 0) = 0 → -if(𝑓 ∈ 𝑊, 1, 0) = 0)
184	180, 183	ifsb 4498	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -if(𝑓 ∈ 𝑊, 1, 0) = if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)
185	179, 184	eqtr4di 2816	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ 𝐷 ∧ 𝑓 ≠ 1 )) → if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)) = -if(𝑓 ∈ 𝑊, 1, 0))
186	185	oveq2d 7443	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ 𝐷 ∧ 𝑓 ≠ 1 )) → ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))) = ((log‘𝑥) · -if(𝑓 ∈ 𝑊, 1, 0)))
187	47	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ 𝐷 ∧ 𝑓 ≠ 1 )) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
188	49, 51	ifcli 4532	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ if(𝑓 ∈ 𝑊, 1, 0) ∈ ℂ
189		mulneg2 11763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ if(𝑓 ∈ 𝑊, 1, 0) ∈ ℂ) → ((log‘𝑥) · -if(𝑓 ∈ 𝑊, 1, 0)) = -((log‘𝑥) · if(𝑓 ∈ 𝑊, 1, 0)))
190	187, 188, 189	sylancl 598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ 𝐷 ∧ 𝑓 ≠ 1 )) → ((log‘𝑥) · -if(𝑓 ∈ 𝑊, 1, 0)) = -((log‘𝑥) · if(𝑓 ∈ 𝑊, 1, 0)))
191	186, 190	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ 𝐷 ∧ 𝑓 ≠ 1 )) → ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))) = -((log‘𝑥) · if(𝑓 ∈ 𝑊, 1, 0)))
192	177, 191	sylan2b 606	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })) → ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))) = -((log‘𝑥) · if(𝑓 ∈ 𝑊, 1, 0)))
193	192	sumeq2dv 15881	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))) = Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) -((log‘𝑥) · if(𝑓 ∈ 𝑊, 1, 0)))
194		diffi 9201	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (𝐷 ∖ { 1 }) ∈ Fin)
195	6, 194	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐷 ∖ { 1 }) ∈ Fin)
196	47	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
197		mulcl 11294	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ if(𝑓 ∈ 𝑊, 1, 0) ∈ ℂ) → ((log‘𝑥) · if(𝑓 ∈ 𝑊, 1, 0)) ∈ ℂ)
198	196, 188, 197	sylancl 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })) → ((log‘𝑥) · if(𝑓 ∈ 𝑊, 1, 0)) ∈ ℂ)
199	195, 198	fsumneg 15965	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) -((log‘𝑥) · if(𝑓 ∈ 𝑊, 1, 0)) = -Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })((log‘𝑥) · if(𝑓 ∈ 𝑊, 1, 0)))
200	188	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })) → if(𝑓 ∈ 𝑊, 1, 0) ∈ ℂ)
201	195, 47, 200	fsummulc2 15962	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })if(𝑓 ∈ 𝑊, 1, 0)) = Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })((log‘𝑥) · if(𝑓 ∈ 𝑊, 1, 0)))
202		rpvmasum2.w	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑊 = {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) = 0}
203	202	ssrab3 4009	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑊 ⊆ (𝐷 ∖ { 1 })
204		difss 4074	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐷 ∖ { 1 }) ⊆ 𝐷
205	203, 204	sstri 3921	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑊 ⊆ 𝐷
206		ssfi 9199	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑊 ⊆ 𝐷) → 𝑊 ∈ Fin)
207	6, 205, 206	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑊 ∈ Fin)
208		fsumconst 15968	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑓 ∈ 𝑊 1 = ((♯‘𝑊) · 1))
209	207, 49, 208	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓 ∈ 𝑊 1 = ((♯‘𝑊) · 1))
210	203	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑊 ⊆ (𝐷 ∖ { 1 }))
211	49	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℂ)
212	211	ralrimivw 3161	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑓 ∈ 𝑊 1 ∈ ℂ)
213	195	olcd 888	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐷 ∖ { 1 }) ⊆ (ℤ≥‘1) ∨ (𝐷 ∖ { 1 }) ∈ Fin))
214		sumss2 15904	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ⊆ (𝐷 ∖ { 1 }) ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑊 1 ∈ ℂ) ∧ ((𝐷 ∖ { 1 }) ⊆ (ℤ≥‘1) ∨ (𝐷 ∖ { 1 }) ∈ Fin)) → Σ𝑓 ∈ 𝑊 1 = Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })if(𝑓 ∈ 𝑊, 1, 0))
215	210, 212, 213, 214	syl21anc 851	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓 ∈ 𝑊 1 = Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })if(𝑓 ∈ 𝑊, 1, 0))
216		hashcl 14510	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ Fin → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
217	207, 216	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
218	217	nn0cnd 12679	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
219	218	mulridd 11336	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((♯‘𝑊) · 1) = (♯‘𝑊))
220	209, 215, 219	3eqtr3d 2806	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })if(𝑓 ∈ 𝑊, 1, 0) = (♯‘𝑊))
221	220	oveq2d 7443	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })if(𝑓 ∈ 𝑊, 1, 0)) = ((log‘𝑥) · (♯‘𝑊)))
222	201, 221	eqtr3d 2800	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })((log‘𝑥) · if(𝑓 ∈ 𝑊, 1, 0)) = ((log‘𝑥) · (♯‘𝑊)))
223	222	negeqd 11561	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → -Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })((log‘𝑥) · if(𝑓 ∈ 𝑊, 1, 0)) = -((log‘𝑥) · (♯‘𝑊)))
224	193, 199, 223	3eqtrd 2802	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))) = -((log‘𝑥) · (♯‘𝑊)))
225	176, 224	oveq12d 7445	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑓 ∈ { 1 } ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))) + Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)))) = (((log‘𝑥) · 1) + -((log‘𝑥) · (♯‘𝑊))))
226	47, 218	mulcld 11339	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · (♯‘𝑊)) ∈ ℂ)
227	172, 226	negsubd 11685	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((log‘𝑥) · 1) + -((log‘𝑥) · (♯‘𝑊))) = (((log‘𝑥) · 1) − ((log‘𝑥) · (♯‘𝑊))))
228	225, 227	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑓 ∈ { 1 } ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))) + Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)))) = (((log‘𝑥) · 1) − ((log‘𝑥) · (♯‘𝑊))))
229		disjdif 4428	. . . . . . . 8 ⊢ ({ 1 } ∩ (𝐷 ∖ { 1 })) = ∅
230	229	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ({ 1 } ∩ (𝐷 ∖ { 1 })) = ∅)
231		undif2 4433	. . . . . . . 8 ⊢ ({ 1 } ∪ (𝐷 ∖ { 1 })) = ({ 1 } ∪ 𝐷)
232	170	snssd 4746	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → { 1 } ⊆ 𝐷)
233		ssequn1 4186	. . . . . . . . 9 ⊢ ({ 1 } ⊆ 𝐷 ↔ ({ 1 } ∪ 𝐷) = 𝐷)
234	232, 233	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ({ 1 } ∪ 𝐷) = 𝐷)
235	231, 234	eqtr2id 2811	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐷 = ({ 1 } ∪ (𝐷 ∖ { 1 })))
236	230, 235, 6, 55	fsumsplit 15919	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓 ∈ 𝐷 ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))) = (Σ𝑓 ∈ { 1 } ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))) + Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)))))
237	47, 211, 218	subdid 11782	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊))) = (((log‘𝑥) · 1) − ((log‘𝑥) · (♯‘𝑊))))
238	228, 236, 237	3eqtr4rd 2809	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊))) = Σ𝑓 ∈ 𝐷 ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))))
239	166, 238	oveq12d 7445	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊)))) = (Σ𝑓 ∈ 𝐷 Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((∗‘(𝑓‘𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) − Σ𝑓 ∈ 𝐷 ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)))))
240	56, 114, 239	3eqtr4d 2808	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓 ∈ 𝐷 ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))))) = (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊)))))
241	240	mpteq2dva 5200	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑓 ∈ 𝐷 ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)))))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊))))))
242		rpssre 13138	. . . 4 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
243	242	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℝ+ ⊆ ℝ)
244	1, 5	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Fin)
245	17	adantlr 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (𝑓‘𝐴) ∈ ℂ)
246	245	cjcld 15375	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (∗‘(𝑓‘𝐴)) ∈ ℂ)
247	58, 55	subcld 11679	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)))) ∈ ℂ)
248	246, 247	mulcld 11339	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))))) ∈ ℂ)
249	248	anasss 472	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷)) → ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))))) ∈ ℂ)
250	18	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∗‘(𝑓‘𝐴)) ∈ ℂ)
251	247	an32s 665	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)))) ∈ ℂ)
252		o1const 15799	. . . . 5 ⊢ ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ (∗‘(𝑓‘𝐴)) ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (∗‘(𝑓‘𝐴))) ∈ 𝑂(1))
253	242, 18, 252	sylancr 599	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (∗‘(𝑓‘𝐴))) ∈ 𝑂(1))
254		fveq1 6892	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = 1 → (𝑓‘(𝐿‘𝑛)) = ( 1 ‘(𝐿‘𝑛)))
255	254	oveq1d 7442	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = 1 → ((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = (( 1 ‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)))
256	255	sumeq2sdv 15882	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = 1 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(( 1 ‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)))
257	256, 174	oveq12d 7445	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = 1 → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(( 1 ‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · 1)))
258	257	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(( 1 ‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · 1)))
259	45	recnd 11347	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
260	259	mulridd 11336	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → ((log‘𝑥) · 1) = (log‘𝑥))
261	260	oveq2d 7443	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(( 1 ‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · 1)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(( 1 ‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − (log‘𝑥)))
262	258, 261	sylan9eq 2818	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(( 1 ‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − (log‘𝑥)))
263	262	mpteq2dva 5200	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(( 1 ‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − (log‘𝑥))))
264	8, 23, 1, 3, 4, 65	rpvmasumlem 27826	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(( 1 ‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
265	264	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(( 1 ‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
266	263, 265	eqeltrd 2863	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))))) ∈ 𝑂(1))
267	178	oveq2d 7443	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ≠ 1 → ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))) = ((log‘𝑥) · if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)))
268	267	oveq2d 7443	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ≠ 1 → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))))
269	47	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
270		mulcom 11296	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → ((log‘𝑥) · -1) = ( -1 · (log‘𝑥)))
271	269, 50, 270	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · -1) = ( -1 · (log‘𝑥)))
272	269	mulm1d 11778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ( -1 · (log‘𝑥)) = -(log‘𝑥))
273	271, 272	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · -1) = -(log‘𝑥))
274	269	mul01d 11519	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · 0) = 0)
275	273, 274	ifeq12d 4506	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → if(𝑓 ∈ 𝑊, ((log‘𝑥) · -1), ((log‘𝑥) · 0)) = if(𝑓 ∈ 𝑊, -(log‘𝑥), 0))
276		ovif2 7526	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((log‘𝑥) · if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)) = if(𝑓 ∈ 𝑊, ((log‘𝑥) · -1), ((log‘𝑥) · 0))
277		negeq 11559	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (if(𝑓 ∈ 𝑊, (log‘𝑥), 0) = (log‘𝑥) → -if(𝑓 ∈ 𝑊, (log‘𝑥), 0) = -(log‘𝑥))
278		negeq 11559	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (if(𝑓 ∈ 𝑊, (log‘𝑥), 0) = 0 → -if(𝑓 ∈ 𝑊, (log‘𝑥), 0) = -0)
279	278, 182	eqtrdi 2814	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (if(𝑓 ∈ 𝑊, (log‘𝑥), 0) = 0 → -if(𝑓 ∈ 𝑊, (log‘𝑥), 0) = 0)
280	277, 279	ifsb 4498	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -if(𝑓 ∈ 𝑊, (log‘𝑥), 0) = if(𝑓 ∈ 𝑊, -(log‘𝑥), 0)
281	275, 276, 280	3eqtr4g 2823	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)) = -if(𝑓 ∈ 𝑊, (log‘𝑥), 0))
282	281	oveq2d 7443	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − -if(𝑓 ∈ 𝑊, (log‘𝑥), 0)))
283	58	an32s 665	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
284		ifcl 4530	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → if(𝑓 ∈ 𝑊, (log‘𝑥), 0) ∈ ℂ)
285	269, 51, 284	sylancl 598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → if(𝑓 ∈ 𝑊, (log‘𝑥), 0) ∈ ℂ)
286	283, 285	subnegd 11686	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − -if(𝑓 ∈ 𝑊, (log‘𝑥), 0)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓 ∈ 𝑊, (log‘𝑥), 0)))
287	282, 286	eqtrd 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓 ∈ 𝑊, (log‘𝑥), 0)))
288	268, 287	sylan9eqr 2820	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ≠ 1 ) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓 ∈ 𝑊, (log‘𝑥), 0)))
289	288	an32s 665	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 ≠ 1 ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓 ∈ 𝑊, (log‘𝑥), 0)))
290	289	mpteq2dva 5200	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 ≠ 1 ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓 ∈ 𝑊, (log‘𝑥), 0))))
291	1	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 ≠ 1 ) → 𝑁 ∈ ℕ)
292		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 ≠ 1 ) → 𝑓 ∈ 𝐷)
293		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 ≠ 1 ) → 𝑓 ≠ 1 )
294		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎)) = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))
295	8, 23, 291, 3, 4, 65, 292, 293, 294	dchrmusumlema 27832	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 ≠ 1 ) → ∃𝑡∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))
296	1	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → 𝑁 ∈ ℕ)
297	296	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 ≠ 1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → 𝑁 ∈ ℕ)
298	292	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 ≠ 1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → 𝑓 ∈ 𝐷)
299		simplr 781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 ≠ 1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → 𝑓 ≠ 1 )
300		simprl 783	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 ≠ 1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → 𝑐 ∈ (0[,)+∞))
301		simprrl 793	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 ≠ 1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡)
302		simprrr 794	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 ≠ 1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦))
303	8, 23, 297, 3, 4, 65, 298, 299, 294, 300, 301, 302, 202	dchrvmaeq0 27843	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 ≠ 1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → (𝑓 ∈ 𝑊 ↔ 𝑡 = 0))
304		ifbi 4507	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝑊 ↔ 𝑡 = 0) → if(𝑓 ∈ 𝑊, (log‘𝑥), 0) = if(𝑡 = 0, (log‘𝑥), 0))
305	304	oveq2d 7443	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝑊 ↔ 𝑡 = 0) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓 ∈ 𝑊, (log‘𝑥), 0)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑡 = 0, (log‘𝑥), 0)))
306	305	mpteq2dv 5201	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝑊 ↔ 𝑡 = 0) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓 ∈ 𝑊, (log‘𝑥), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑡 = 0, (log‘𝑥), 0))))
307	303, 306	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 ≠ 1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓 ∈ 𝑊, (log‘𝑥), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑡 = 0, (log‘𝑥), 0))))
308	8, 23, 297, 3, 4, 65, 298, 299, 294, 300, 301, 302	dchrvmasumif 27842	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 ≠ 1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑡 = 0, (log‘𝑥), 0))) ∈ 𝑂(1))
309	307, 308	eqeltrd 2863	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 ≠ 1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓 ∈ 𝑊, (log‘𝑥), 0))) ∈ 𝑂(1))
310	309	rexlimdvaa 3167	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 ≠ 1 ) → (∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓 ∈ 𝑊, (log‘𝑥), 0))) ∈ 𝑂(1)))
311	310	exlimdv 1967	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 ≠ 1 ) → (∃𝑡∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓 ∈ 𝑊, (log‘𝑥), 0))) ∈ 𝑂(1)))
312	295, 311	mpd 16	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 ≠ 1 ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓 ∈ 𝑊, (log‘𝑥), 0))) ∈ 𝑂(1))
313	290, 312	eqeltrd 2863	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 ≠ 1 ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))))) ∈ 𝑂(1))
314	266, 313	pm2.61dane 3045	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0))))) ∈ 𝑂(1))
315	250, 251, 253, 314	o1mul2 15804	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)))))) ∈ 𝑂(1))
316	243, 244, 249, 315	fsumo1 15991	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑓 ∈ 𝐷 ((∗‘(𝑓‘𝐴)) · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ 𝑊, -1, 0)))))) ∈ 𝑂(1))
317	241, 316	eqeltrrd 2864	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊))))) ∈ 𝑂(1))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1569  ∃wex 1811   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  {crab 3415   ⊆ wss 3899   ∖ cdif 4047   ∩ cin 4091   ∪ cun 4151  ∅c0 4280  ifcif 4484  {csn 4587   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  ^◡ccnv 5653   “ cima 5657   Fn wfn 6541  ⟶wf 6542  –onto→wfo 6544  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  Fincfn 8984  ℂcc 11208  ℝcr 11209  0cc0 11210  1c1 11211   + caddc 11213   · cmul 11215  +∞cpnf 11350   ≤ cle 11354   − cmin 11551   -cneg 11552   / cdiv 11983  ℕcn 12345  ℕ₀cn0 12616  ℤcz 12703  ℤ_≥cuz 12975  ℝ⁺crp 13130  [,)cico 13488  ...cfz 13649  ⌊cfl 13940  seqcseq 14154  ♯chash 14484  ∗ccj 15275  abscabs 15413   ⇝ cli 15663  𝑂(1)co1 15665  Σcsu 15865  ϕcphi 16953  Basecbs 17399  0_gc0g 17622   MndHom cmhm 18988  Grpcgrp 19156  Abelcabl 20007  mulGrpcmgp 20372  1_rcur 20419  Unitcui 20597  ℂ_fldccnfld 21690  ℤRHomczrh 21817  ℤ/nℤczn 21820  logclog 26894  Λcvma 27431  DChrcdchr 27571

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-inf2 9652  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287  ax-pre-sup 11288  ax-addf 11289  ax-mulf 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4838  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-iin 4956  df-disj 5073  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-se 5608  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-of 7700  df-rpss 7746  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-supp 8188  df-tpos 8254  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-omul 8492  df-er 8728  df-ec 8730  df-qs 8734  df-map 8860  df-pm 8861  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9365  df-fi 9413  df-sup 9444  df-inf 9445  df-oi 9514  df-dju 9992  df-card 10030  df-acn 10033  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-div 11984  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-4 12417  df-5 12418  df-6 12419  df-7 12420  df-8 12421  df-9 12422  df-n0 12617  df-xnn0 12690  df-z 12704  df-dec 12825  df-uz 12976  df-q 13086  df-rp 13131  df-xneg 13251  df-xadd 13252  df-xmul 13253  df-ioo 13490  df-ioc 13491  df-ico 13492  df-icc 13493  df-fz 13650  df-fzo 13799  df-fl 13942  df-mod 14020  df-seq 14155  df-exp 14215  df-fac 14428  df-bc 14457  df-hash 14485  df-word 14669  df-concat 14726  df-s1 14753  df-shft 15232  df-cj 15278  df-re 15279  df-im 15280  df-sqrt 15414  df-abs 15415  df-limsup 15650  df-clim 15667  df-rlim 15668  df-o1 15669  df-lo1 15670  df-sum 15866  df-ef 16245  df-e 16246  df-sin 16247  df-cos 16248  df-tan 16249  df-pi 16250  df-dvds 16435  df-gcd 16677  df-prm 16859  df-phi 16955  df-pc 17027  df-struct 17337  df-sets 17354  df-slot 17372  df-ndx 17384  df-base 17400  df-ress 17421  df-plusg 17453  df-mulr 17454  df-starv 17455  df-sca 17456  df-vsca 17457  df-ip 17458  df-tset 17459  df-ple 17460  df-ds 17462  df-unif 17463  df-hom 17464  df-cco 17465  df-rest 17605  df-topn 17606  df-0g 17624  df-gsum 17625  df-topgen 17626  df-pt 17627  df-prds 17630  df-xrs 17686  df-qtop 17691  df-imas 17692  df-qus 17693  df-xps 17694  df-mre 17768  df-mrc 17769  df-acs 17771  df-mgm 18828  df-sgrp 18920  df-mnd 18936  df-mhm 18990  df-submnd 18991  df-grp 19159  df-minusg 19160  df-sbg 19161  df-mulg 19290  df-subg 19345  df-nsg 19346  df-eqg 19347  df-ghm 19440  df-gim 19485  df-ga 19516  df-cntz 19543  df-oppg 19572  df-od 19754  df-gex 19755  df-pgp 19756  df-lsm 19862  df-pj1 19863  df-cmn 20008  df-abl 20009  df-cyg 20104  df-dprd 20223  df-dpj 20224  df-mgp 20373  df-rng 20387  df-ur 20420  df-ring 20473  df-cring 20474  df-oppr 20579  df-dvdsr 20599  df-unit 20600  df-invr 20630  df-dvr 20643  df-rhm 20714  df-subrng 20810  df-subrg 20834  df-drng 20994  df-lmod 21149  df-lss 21219  df-lsp 21259  df-sra 21460  df-rgmod 21461  df-lidl 21498  df-rsp 21499  df-2idl 21555  df-psmet 21682  df-xmet 21683  df-met 21684  df-bl 21685  df-mopn 21686  df-fbas 21687  df-fg 21688  df-cnfld 21691  df-zring 21765  df-zrh 21821  df-zn 21824  df-top 23224  df-topon 23241  df-topsp 23263  df-bases 23276  df-cld 23349  df-ntr 23350  df-cls 23351  df-nei 23428  df-lp 23466  df-perf 23467  df-cn 23557  df-cnp 23558  df-haus 23645  df-cmp 23717  df-tx 23893  df-hmeo 24086  df-fil 24177  df-fm 24269  df-flim 24270  df-flf 24271  df-xms 24651  df-ms 24652  df-tms 24653  df-cncf 25211  df-0p 26003  df-limc 26198  df-dv 26199  df-ply 26518  df-idp 26519  df-coe 26520  df-dgr 26521  df-quot 26624  df-ulm 26716  df-log 26896  df-cxp 26897  df-atan 27207  df-em 27332  df-cht 27436  df-vma 27437  df-chp 27438  df-ppi 27439  df-mu 27440  df-dchr 27572

This theorem is used by:  dchrisum0re  27852  rpvmasum  27865