MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpvmasum2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpvmasum2 26860
Description: A partial result along the lines of rpvmasum 26874. The sum of the von Mangoldt function over those integers 𝑛𝐴 (mod 𝑁) is asymptotic to (1 − 𝑀)(log𝑥 / ϕ(𝑥)) + 𝑂(1), where 𝑀 is the number of non-principal Dirichlet characters with Σ𝑛 ∈ ℕ, 𝑋(𝑛) / 𝑛 = 0. Our goal is to show this set is empty. Equation 9.4.3 of [Shapiro], p. 375. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum2.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum2.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum2.1 1 = (0g𝐺)
rpvmasum2.w 𝑊 = {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}
rpvmasum2.u 𝑈 = (Unit‘𝑍)
rpvmasum2.b (𝜑𝐴𝑈)
rpvmasum2.t 𝑇 = (𝐿 “ {𝐴})
rpvmasum2.z1 ((𝜑𝑓𝑊) → 𝐴 = (1r𝑍))
Assertion
Ref Expression
rpvmasum2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊))))) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑚,𝑛,𝑥,𝑦,𝑓, 1   𝐴,𝑓,𝑚,𝑥,𝑦   𝑓,𝐺   𝑓,𝑁,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦   𝜑,𝑓,𝑚,𝑛,𝑥   𝑇,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦   𝑈,𝑚,𝑛,𝑥   𝑓,𝑊,𝑥   𝑓,𝑍,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦   𝐷,𝑓,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦   𝑓,𝐿,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦   𝐴,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝑇(𝑓)   𝑈(𝑦,𝑓)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑚,𝑛)   𝑊(𝑦,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem rpvmasum2
Dummy variables 𝑐 𝑡 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpvmasum.a . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
21adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ ℕ)
3 rpvmasum2.g . . . . . . 7 𝐺 = (DChr‘𝑁)
4 rpvmasum2.d . . . . . . 7 𝐷 = (Base‘𝐺)
53, 4dchrfi 26603 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ Fin)
62, 5syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ Fin)
7 fzfid 13878 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
8 rpvmasum.z . . . . . . . . . . . . 13 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
9 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
10 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓𝐷) → 𝑓𝐷)
113, 8, 4, 9, 10dchrf 26590 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓𝐷) → 𝑓:(Base‘𝑍)⟶ℂ)
12 rpvmasum2.u . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑈 = (Unit‘𝑍)
139, 12unitss 20089 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑈 ⊆ (Base‘𝑍)
14 rpvmasum2.b . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴𝑈)
1513, 14sselid 3942 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ∈ (Base‘𝑍))
1615adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓𝐷) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑍))
1711, 16ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓𝐷) → (𝑓𝐴) ∈ ℂ)
1817cjcld 15081 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑓𝐷) → (∗‘(𝑓𝐴)) ∈ ℂ)
1918adantlr 713 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → (∗‘(𝑓𝐴)) ∈ ℂ)
2019adantrl 714 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑓𝐷)) → (∗‘(𝑓𝐴)) ∈ ℂ)
2111ad4ant14 750 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑓𝐷) → 𝑓:(Base‘𝑍)⟶ℂ)
221nnnn0d 12473 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
23 rpvmasum.l . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
248, 9, 23znzrhfo 20954 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ0𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍))
25 fof 6756 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
2622, 24, 253syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
2726adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
28 elfzelz 13441 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℤ)
29 ffvelcdm 7032 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐿𝑛) ∈ (Base‘𝑍))
3027, 28, 29syl2an 596 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝐿𝑛) ∈ (Base‘𝑍))
3130adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑓𝐷) → (𝐿𝑛) ∈ (Base‘𝑍))
3221, 31ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑓𝐷) → (𝑓‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
3332anasss 467 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑓𝐷)) → (𝑓‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
34 elfznn 13470 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℕ)
3534adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℕ)
36 vmacl 26467 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
3837, 35nndivred 12207 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
3938recnd 11183 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
4039adantrr 715 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑓𝐷)) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
4133, 40mulcld 11175 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑓𝐷)) → ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
4220, 41mulcld 11175 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑓𝐷)) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) ∈ ℂ)
4342anass1rs 653 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) ∈ ℂ)
447, 43fsumcl 15618 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) ∈ ℂ)
45 relogcl 25931 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
4645adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
4746recnd 11183 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
4847adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
49 ax-1cn 11109 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
50 neg1cn 12267 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℂ
51 0cn 11147 . . . . . . . 8 0 ∈ ℂ
5250, 51ifcli 4533 . . . . . . 7 if(𝑓𝑊, -1, 0) ∈ ℂ
5349, 52ifcli 4533 . . . . . 6 if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)) ∈ ℂ
54 mulcl 11135 . . . . . 6 (((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)) ∈ ℂ) → ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) ∈ ℂ)
5548, 53, 54sylancl 586 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) ∈ ℂ)
566, 44, 55fsumsub 15673 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓𝐷𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))) = (Σ𝑓𝐷 Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) − Σ𝑓𝐷 ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))))
5741anass1rs 653 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
587, 57fsumcl 15618 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
5919, 58, 55subdid 11611 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))))) = (((∗‘(𝑓𝐴)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) − ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))))))
607, 19, 57fsummulc2 15669 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
6153a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)) ∈ ℂ)
6219, 48, 61mul12d 11364 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))) = ((log‘𝑥) · ((∗‘(𝑓𝐴)) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))))
63 ovif2 7455 . . . . . . . . . 10 ((∗‘(𝑓𝐴)) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) = if(𝑓 = 1 , ((∗‘(𝑓𝐴)) · 1), ((∗‘(𝑓𝐴)) · if(𝑓𝑊, -1, 0)))
64 fveq1 6841 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 = 1 → (𝑓𝐴) = ( 1𝐴))
65 rpvmasum2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 = (0g𝐺)
661ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → 𝑁 ∈ ℕ)
6714ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → 𝐴𝑈)
683, 8, 65, 12, 66, 67dchr1 26605 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → ( 1𝐴) = 1)
6964, 68sylan9eqr 2798 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) → (𝑓𝐴) = 1)
7069fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) → (∗‘(𝑓𝐴)) = (∗‘1))
71 1re 11155 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℝ
72 cjre 15024 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 ∈ ℝ → (∗‘1) = 1)
7371, 72ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (∗‘1) = 1
7470, 73eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) → (∗‘(𝑓𝐴)) = 1)
7574oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · 1) = (1 · 1))
76 1t1e1 12315 . . . . . . . . . . . 12 (1 · 1) = 1
7775, 76eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · 1) = 1)
78 df-ne 2944 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓1 ↔ ¬ 𝑓 = 1 )
79 ovif2 7455 . . . . . . . . . . . . 13 ((∗‘(𝑓𝐴)) · if(𝑓𝑊, -1, 0)) = if(𝑓𝑊, ((∗‘(𝑓𝐴)) · -1), ((∗‘(𝑓𝐴)) · 0))
80 rpvmasum2.z1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑓𝑊) → 𝐴 = (1r𝑍))
8180fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑓𝑊) → (𝑓𝐴) = (𝑓‘(1r𝑍)))
8281ad5ant15 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ 𝑓𝑊) → (𝑓𝐴) = (𝑓‘(1r𝑍)))
833, 8, 4dchrmhm 26589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝐷 ⊆ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))
84 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → 𝑓𝐷)
8583, 84sselid 3942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → 𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
86 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
87 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (1r𝑍) = (1r𝑍)
8886, 87ringidval 19915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (1r𝑍) = (0g‘(mulGrp‘𝑍))
89 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
90 cnfld1 20822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 = (1r‘ℂfld)
9189, 90ringidval 19915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
9288, 91mhm0 18610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) → (𝑓‘(1r𝑍)) = 1)
9385, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → (𝑓‘(1r𝑍)) = 1)
9493ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ 𝑓𝑊) → (𝑓‘(1r𝑍)) = 1)
9582, 94eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ 𝑓𝑊) → (𝑓𝐴) = 1)
9695fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ 𝑓𝑊) → (∗‘(𝑓𝐴)) = (∗‘1))
9796, 73eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ 𝑓𝑊) → (∗‘(𝑓𝐴)) = 1)
9897oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ 𝑓𝑊) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · -1) = (1 · -1))
9950mulid2i 11160 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 · -1) = -1
10098, 99eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ 𝑓𝑊) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · -1) = -1)
101100ifeq1da 4517 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) → if(𝑓𝑊, ((∗‘(𝑓𝐴)) · -1), ((∗‘(𝑓𝐴)) · 0)) = if(𝑓𝑊, -1, ((∗‘(𝑓𝐴)) · 0)))
10219adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) → (∗‘(𝑓𝐴)) ∈ ℂ)
103102mul01d 11354 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · 0) = 0)
104103ifeq2d 4506 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) → if(𝑓𝑊, -1, ((∗‘(𝑓𝐴)) · 0)) = if(𝑓𝑊, -1, 0))
105101, 104eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) → if(𝑓𝑊, ((∗‘(𝑓𝐴)) · -1), ((∗‘(𝑓𝐴)) · 0)) = if(𝑓𝑊, -1, 0))
10679, 105eqtrid 2788 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · if(𝑓𝑊, -1, 0)) = if(𝑓𝑊, -1, 0))
10778, 106sylan2br 595 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ ¬ 𝑓 = 1 ) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · if(𝑓𝑊, -1, 0)) = if(𝑓𝑊, -1, 0))
10877, 107ifeq12da 4519 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → if(𝑓 = 1 , ((∗‘(𝑓𝐴)) · 1), ((∗‘(𝑓𝐴)) · if(𝑓𝑊, -1, 0))) = if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))
10963, 108eqtrid 2788 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) = if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))
110109oveq2d 7373 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → ((log‘𝑥) · ((∗‘(𝑓𝐴)) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))) = ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))))
11162, 110eqtrd 2776 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))) = ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))))
11260, 111oveq12d 7375 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → (((∗‘(𝑓𝐴)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) − ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))))
11359, 112eqtrd 2776 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))))
114113sumeq2dv 15588 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓𝐷 ((∗‘(𝑓𝐴)) · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))))) = Σ𝑓𝐷𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))))
115 fzfid 13878 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
116 inss1 4188 . . . . . . . . 9 ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ⊆ (1...(⌊‘𝑥))
117 ssfi 9117 . . . . . . . . 9 (((1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin ∧ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ⊆ (1...(⌊‘𝑥))) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∈ Fin)
118115, 116, 117sylancl 586 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∈ Fin)
1192phicld 16644 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ)
120119nncnd 12169 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℂ)
121116a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ⊆ (1...(⌊‘𝑥)))
122121sselda 3944 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)) → 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)))
123122, 39syldan 591 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
124118, 120, 123fsummulc2 15669 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)))
125120adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℂ)
126125, 39mulcld 11175 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
127122, 126syldan 591 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)) → ((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
128127ralrimiva 3143 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
129115olcd 872 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((1...(⌊‘𝑥)) ⊆ (ℤ‘1) ∨ (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin))
130 sumss2 15611 . . . . . . . 8 (((((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ⊆ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ ∀𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ) ∧ ((1...(⌊‘𝑥)) ⊆ (ℤ‘1) ∨ (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)) → Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))if(𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇), ((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)), 0))
131121, 128, 129, 130syl21anc 836 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))if(𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇), ((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)), 0))
132 elin 3926 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ↔ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑛𝑇))
133132baib 536 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → (𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ↔ 𝑛𝑇))
134133adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ↔ 𝑛𝑇))
135 rpvmasum2.t . . . . . . . . . . . . 13 𝑇 = (𝐿 “ {𝐴})
136135eleq2i 2829 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛𝑇𝑛 ∈ (𝐿 “ {𝐴}))
13727ffnd 6669 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐿 Fn ℤ)
138 fniniseg 7010 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐿 Fn ℤ → (𝑛 ∈ (𝐿 “ {𝐴}) ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝐿𝑛) = 𝐴)))
139138baibd 540 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐿 Fn ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 ∈ (𝐿 “ {𝐴}) ↔ (𝐿𝑛) = 𝐴))
140137, 28, 139syl2an 596 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑛 ∈ (𝐿 “ {𝐴}) ↔ (𝐿𝑛) = 𝐴))
141136, 140bitrid 282 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑛𝑇 ↔ (𝐿𝑛) = 𝐴))
142134, 141bitr2d 279 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝐿𝑛) = 𝐴𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)))
14339mul02d 11353 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (0 · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = 0)
144142, 143ifbieq2d 4512 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → if((𝐿𝑛) = 𝐴, ((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)), (0 · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) = if(𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇), ((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)), 0))
145 ovif 7454 . . . . . . . . . 10 (if((𝐿𝑛) = 𝐴, (ϕ‘𝑁), 0) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = if((𝐿𝑛) = 𝐴, ((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)), (0 · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)))
1461ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑁 ∈ ℕ)
147146, 5syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝐷 ∈ Fin)
14818ad4ant14 750 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑓𝐷) → (∗‘(𝑓𝐴)) ∈ ℂ)
14932, 148mulcld 11175 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑓𝐷) → ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · (∗‘(𝑓𝐴))) ∈ ℂ)
150147, 39, 149fsummulc1 15670 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (Σ𝑓𝐷 ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · (∗‘(𝑓𝐴))) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑓𝐷 (((𝑓‘(𝐿𝑛)) · (∗‘(𝑓𝐴))) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)))
15114ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝐴𝑈)
1523, 4, 8, 9, 12, 146, 30, 151sum2dchr 26622 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑓𝐷 ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · (∗‘(𝑓𝐴))) = if((𝐿𝑛) = 𝐴, (ϕ‘𝑁), 0))
153152oveq1d 7372 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (Σ𝑓𝐷 ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · (∗‘(𝑓𝐴))) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = (if((𝐿𝑛) = 𝐴, (ϕ‘𝑁), 0) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)))
15439adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑓𝐷) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
155 mulass 11139 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ ∧ (∗‘(𝑓𝐴)) ∈ ℂ ∧ ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ) → (((𝑓‘(𝐿𝑛)) · (∗‘(𝑓𝐴))) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
156 mul12 11320 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ ∧ (∗‘(𝑓𝐴)) ∈ ℂ ∧ ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ) → ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) = ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
157155, 156eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ ∧ (∗‘(𝑓𝐴)) ∈ ℂ ∧ ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ) → (((𝑓‘(𝐿𝑛)) · (∗‘(𝑓𝐴))) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
15832, 148, 154, 157syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑓𝐷) → (((𝑓‘(𝐿𝑛)) · (∗‘(𝑓𝐴))) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
159158sumeq2dv 15588 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑓𝐷 (((𝑓‘(𝐿𝑛)) · (∗‘(𝑓𝐴))) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑓𝐷 ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
160150, 153, 1593eqtr3d 2784 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (if((𝐿𝑛) = 𝐴, (ϕ‘𝑁), 0) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑓𝐷 ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
161145, 160eqtr3id 2790 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → if((𝐿𝑛) = 𝐴, ((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)), (0 · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) = Σ𝑓𝐷 ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
162144, 161eqtr3d 2778 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → if(𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇), ((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)), 0) = Σ𝑓𝐷 ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
163162sumeq2dv 15588 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))if(𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇), ((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)), 0) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑓𝐷 ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
164124, 131, 1633eqtrd 2780 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑓𝐷 ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
165115, 6, 42fsumcom 15660 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑓𝐷 ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) = Σ𝑓𝐷 Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
166164, 165eqtrd 2776 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑓𝐷 Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
1673dchrabl 26602 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Abel)
168 ablgrp 19567 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
1694, 65grpidcl 18778 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ Grp → 1𝐷)
1702, 167, 168, 1694syl 19 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 1𝐷)
17147mulid1d 11172 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · 1) = (log‘𝑥))
172171, 47eqeltrd 2838 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · 1) ∈ ℂ)
173 iftrue 4492 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = 1 → if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)) = 1)
174173oveq2d 7373 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 1 → ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) = ((log‘𝑥) · 1))
175174sumsn 15631 . . . . . . . . 9 (( 1𝐷 ∧ ((log‘𝑥) · 1) ∈ ℂ) → Σ𝑓 ∈ { 1 } ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) = ((log‘𝑥) · 1))
176170, 172, 175syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓 ∈ { 1 } ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) = ((log‘𝑥) · 1))
177 eldifsn 4747 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ↔ (𝑓𝐷𝑓1 ))
178 ifnefalse 4498 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓1 → if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)) = if(𝑓𝑊, -1, 0))
179178ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓𝐷𝑓1 )) → if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)) = if(𝑓𝑊, -1, 0))
180 negeq 11393 . . . . . . . . . . . . . . 15 (if(𝑓𝑊, 1, 0) = 1 → -if(𝑓𝑊, 1, 0) = -1)
181 negeq 11393 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (if(𝑓𝑊, 1, 0) = 0 → -if(𝑓𝑊, 1, 0) = -0)
182 neg0 11447 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -0 = 0
183181, 182eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . . . 15 (if(𝑓𝑊, 1, 0) = 0 → -if(𝑓𝑊, 1, 0) = 0)
184180, 183ifsb 4499 . . . . . . . . . . . . . 14 -if(𝑓𝑊, 1, 0) = if(𝑓𝑊, -1, 0)
185179, 184eqtr4di 2794 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓𝐷𝑓1 )) → if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)) = -if(𝑓𝑊, 1, 0))
186185oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓𝐷𝑓1 )) → ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) = ((log‘𝑥) · -if(𝑓𝑊, 1, 0)))
18747adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓𝐷𝑓1 )) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
18849, 51ifcli 4533 . . . . . . . . . . . . 13 if(𝑓𝑊, 1, 0) ∈ ℂ
189 mulneg2 11592 . . . . . . . . . . . . 13 (((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ if(𝑓𝑊, 1, 0) ∈ ℂ) → ((log‘𝑥) · -if(𝑓𝑊, 1, 0)) = -((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, 1, 0)))
190187, 188, 189sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓𝐷𝑓1 )) → ((log‘𝑥) · -if(𝑓𝑊, 1, 0)) = -((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, 1, 0)))
191186, 190eqtrd 2776 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓𝐷𝑓1 )) → ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) = -((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, 1, 0)))
192177, 191sylan2b 594 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })) → ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) = -((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, 1, 0)))
193192sumeq2dv 15588 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) = Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })-((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, 1, 0)))
194 diffi 9123 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ Fin → (𝐷 ∖ { 1 }) ∈ Fin)
1956, 194syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐷 ∖ { 1 }) ∈ Fin)
19647adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
197 mulcl 11135 . . . . . . . . . . 11 (((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ if(𝑓𝑊, 1, 0) ∈ ℂ) → ((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, 1, 0)) ∈ ℂ)
198196, 188, 197sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })) → ((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, 1, 0)) ∈ ℂ)
199195, 198fsumneg 15672 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })-((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, 1, 0)) = -Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, 1, 0)))
200188a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })) → if(𝑓𝑊, 1, 0) ∈ ℂ)
201195, 47, 200fsummulc2 15669 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })if(𝑓𝑊, 1, 0)) = Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, 1, 0)))
202 rpvmasum2.w . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑊 = {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}
203202ssrab3 4040 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑊 ⊆ (𝐷 ∖ { 1 })
204 difss 4091 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐷 ∖ { 1 }) ⊆ 𝐷
205203, 204sstri 3953 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑊𝐷
206 ssfi 9117 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑊𝐷) → 𝑊 ∈ Fin)
2076, 205, 206sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑊 ∈ Fin)
208 fsumconst 15675 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑓𝑊 1 = ((♯‘𝑊) · 1))
209207, 49, 208sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓𝑊 1 = ((♯‘𝑊) · 1))
210203a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑊 ⊆ (𝐷 ∖ { 1 }))
21149a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℂ)
212211ralrimivw 3147 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑓𝑊 1 ∈ ℂ)
213195olcd 872 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐷 ∖ { 1 }) ⊆ (ℤ‘1) ∨ (𝐷 ∖ { 1 }) ∈ Fin))
214 sumss2 15611 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ⊆ (𝐷 ∖ { 1 }) ∧ ∀𝑓𝑊 1 ∈ ℂ) ∧ ((𝐷 ∖ { 1 }) ⊆ (ℤ‘1) ∨ (𝐷 ∖ { 1 }) ∈ Fin)) → Σ𝑓𝑊 1 = Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })if(𝑓𝑊, 1, 0))
215210, 212, 213, 214syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓𝑊 1 = Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })if(𝑓𝑊, 1, 0))
216 hashcl 14256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 ∈ Fin → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
217207, 216syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
218217nn0cnd 12475 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
219218mulid1d 11172 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((♯‘𝑊) · 1) = (♯‘𝑊))
220209, 215, 2193eqtr3d 2784 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })if(𝑓𝑊, 1, 0) = (♯‘𝑊))
221220oveq2d 7373 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })if(𝑓𝑊, 1, 0)) = ((log‘𝑥) · (♯‘𝑊)))
222201, 221eqtr3d 2778 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, 1, 0)) = ((log‘𝑥) · (♯‘𝑊)))
223222negeqd 11395 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → -Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, 1, 0)) = -((log‘𝑥) · (♯‘𝑊)))
224193, 199, 2233eqtrd 2780 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) = -((log‘𝑥) · (♯‘𝑊)))
225176, 224oveq12d 7375 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑓 ∈ { 1 } ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) + Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))) = (((log‘𝑥) · 1) + -((log‘𝑥) · (♯‘𝑊))))
22647, 218mulcld 11175 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · (♯‘𝑊)) ∈ ℂ)
227172, 226negsubd 11518 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (((log‘𝑥) · 1) + -((log‘𝑥) · (♯‘𝑊))) = (((log‘𝑥) · 1) − ((log‘𝑥) · (♯‘𝑊))))
228225, 227eqtrd 2776 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑓 ∈ { 1 } ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) + Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))) = (((log‘𝑥) · 1) − ((log‘𝑥) · (♯‘𝑊))))
229 disjdif 4431 . . . . . . . 8 ({ 1 } ∩ (𝐷 ∖ { 1 })) = ∅
230229a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ({ 1 } ∩ (𝐷 ∖ { 1 })) = ∅)
231 undif2 4436 . . . . . . . 8 ({ 1 } ∪ (𝐷 ∖ { 1 })) = ({ 1 } ∪ 𝐷)
232170snssd 4769 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → { 1 } ⊆ 𝐷)
233 ssequn1 4140 . . . . . . . . 9 ({ 1 } ⊆ 𝐷 ↔ ({ 1 } ∪ 𝐷) = 𝐷)
234232, 233sylib 217 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ({ 1 } ∪ 𝐷) = 𝐷)
235231, 234eqtr2id 2789 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐷 = ({ 1 } ∪ (𝐷 ∖ { 1 })))
236230, 235, 6, 55fsumsplit 15626 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓𝐷 ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) = (Σ𝑓 ∈ { 1 } ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) + Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))))
23747, 211, 218subdid 11611 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊))) = (((log‘𝑥) · 1) − ((log‘𝑥) · (♯‘𝑊))))
238228, 236, 2373eqtr4rd 2787 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊))) = Σ𝑓𝐷 ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))))
239166, 238oveq12d 7375 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊)))) = (Σ𝑓𝐷 Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) − Σ𝑓𝐷 ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))))
24056, 114, 2393eqtr4d 2786 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓𝐷 ((∗‘(𝑓𝐴)) · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))))) = (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊)))))
241240mpteq2dva 5205 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑓𝐷 ((∗‘(𝑓𝐴)) · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊))))))
242 rpssre 12922 . . . 4 + ⊆ ℝ
243242a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℝ+ ⊆ ℝ)
2441, 5syl 17 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ Fin)
24517adantlr 713 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → (𝑓𝐴) ∈ ℂ)
246245cjcld 15081 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → (∗‘(𝑓𝐴)) ∈ ℂ)
24758, 55subcld 11512 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))) ∈ ℂ)
248246, 247mulcld 11175 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))))) ∈ ℂ)
249248anasss 467 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑓𝐷)) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))))) ∈ ℂ)
25018adantr 481 . . . 4 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∗‘(𝑓𝐴)) ∈ ℂ)
251247an32s 650 . . . 4 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))) ∈ ℂ)
252 o1const 15502 . . . . 5 ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ (∗‘(𝑓𝐴)) ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (∗‘(𝑓𝐴))) ∈ 𝑂(1))
253242, 18, 252sylancr 587 . . . 4 ((𝜑𝑓𝐷) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (∗‘(𝑓𝐴))) ∈ 𝑂(1))
254 fveq1 6841 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = 1 → (𝑓‘(𝐿𝑛)) = ( 1 ‘(𝐿𝑛)))
255254oveq1d 7372 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = 1 → ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = (( 1 ‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)))
256255sumeq2sdv 15589 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 1 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(( 1 ‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)))
257256, 174oveq12d 7375 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 1 → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(( 1 ‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · 1)))
258257adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(( 1 ‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · 1)))
25945recnd 11183 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+ → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
260259mulid1d 11172 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((log‘𝑥) · 1) = (log‘𝑥))
261260oveq2d 7373 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+ → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(( 1 ‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · 1)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(( 1 ‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − (log‘𝑥)))
262258, 261sylan9eq 2796 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(( 1 ‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − (log‘𝑥)))
263262mpteq2dva 5205 . . . . . 6 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(( 1 ‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − (log‘𝑥))))
2648, 23, 1, 3, 4, 65rpvmasumlem 26835 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(( 1 ‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
265264ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(( 1 ‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
266263, 265eqeltrd 2838 . . . . 5 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))))) ∈ 𝑂(1))
267178oveq2d 7373 . . . . . . . . . 10 (𝑓1 → ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) = ((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, -1, 0)))
268267oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 (𝑓1 → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, -1, 0))))
26947adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
270 mulcom 11137 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → ((log‘𝑥) · -1) = (-1 · (log‘𝑥)))
271269, 50, 270sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · -1) = (-1 · (log‘𝑥)))
272269mulm1d 11607 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (-1 · (log‘𝑥)) = -(log‘𝑥))
273271, 272eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · -1) = -(log‘𝑥))
274269mul01d 11354 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · 0) = 0)
275273, 274ifeq12d 4507 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → if(𝑓𝑊, ((log‘𝑥) · -1), ((log‘𝑥) · 0)) = if(𝑓𝑊, -(log‘𝑥), 0))
276 ovif2 7455 . . . . . . . . . . . 12 ((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, -1, 0)) = if(𝑓𝑊, ((log‘𝑥) · -1), ((log‘𝑥) · 0))
277 negeq 11393 . . . . . . . . . . . . 13 (if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0) = (log‘𝑥) → -if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0) = -(log‘𝑥))
278 negeq 11393 . . . . . . . . . . . . . 14 (if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0) = 0 → -if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0) = -0)
279278, 182eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . 13 (if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0) = 0 → -if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0) = 0)
280277, 279ifsb 4499 . . . . . . . . . . . 12 -if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0) = if(𝑓𝑊, -(log‘𝑥), 0)
281275, 276, 2803eqtr4g 2801 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, -1, 0)) = -if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0))
282281oveq2d 7373 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, -1, 0))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − -if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0)))
28358an32s 650 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
284 ifcl 4531 . . . . . . . . . . . 12 (((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0) ∈ ℂ)
285269, 51, 284sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0) ∈ ℂ)
286283, 285subnegd 11519 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − -if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0)))
287282, 286eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, -1, 0))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0)))
288268, 287sylan9eqr 2798 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓1 ) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0)))
289288an32s 650 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0)))
290289mpteq2dva 5205 . . . . . 6 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0))))
2911ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) → 𝑁 ∈ ℕ)
292 simplr 767 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) → 𝑓𝐷)
293 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) → 𝑓1 )
294 eqid 2736 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)) = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))
2958, 23, 291, 3, 4, 65, 292, 293, 294dchrmusumlema 26841 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) → ∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))
2961adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓𝐷) → 𝑁 ∈ ℕ)
297296ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → 𝑁 ∈ ℕ)
298292adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → 𝑓𝐷)
299 simplr 767 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → 𝑓1 )
300 simprl 769 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → 𝑐 ∈ (0[,)+∞))
301 simprrl 779 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡)
302 simprrr 780 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦))
3038, 23, 297, 3, 4, 65, 298, 299, 294, 300, 301, 302, 202dchrvmaeq0 26852 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → (𝑓𝑊𝑡 = 0))
304 ifbi 4508 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓𝑊𝑡 = 0) → if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0) = if(𝑡 = 0, (log‘𝑥), 0))
305304oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓𝑊𝑡 = 0) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑡 = 0, (log‘𝑥), 0)))
306305mpteq2dv 5207 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓𝑊𝑡 = 0) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑡 = 0, (log‘𝑥), 0))))
307303, 306syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑡 = 0, (log‘𝑥), 0))))
3088, 23, 297, 3, 4, 65, 298, 299, 294, 300, 301, 302dchrvmasumif 26851 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑡 = 0, (log‘𝑥), 0))) ∈ 𝑂(1))
309307, 308eqeltrd 2838 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0))) ∈ 𝑂(1))
310309rexlimdvaa 3153 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) → (∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0))) ∈ 𝑂(1)))
311310exlimdv 1936 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) → (∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0))) ∈ 𝑂(1)))
312295, 311mpd 15 . . . . . 6 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0))) ∈ 𝑂(1))
313290, 312eqeltrd 2838 . . . . 5 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))))) ∈ 𝑂(1))
314266, 313pm2.61dane 3032 . . . 4 ((𝜑𝑓𝐷) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))))) ∈ 𝑂(1))
315250, 251, 253, 314o1mul2 15507 . . 3 ((𝜑𝑓𝐷) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((∗‘(𝑓𝐴)) · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))))) ∈ 𝑂(1))
316243, 244, 249, 315fsumo1 15697 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑓𝐷 ((∗‘(𝑓𝐴)) · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))))) ∈ 𝑂(1))
317241, 316eqeltrrd 2839 1 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊))))) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  {crab 3407  cdif 3907  cun 3908  cin 3909  wss 3910  c0 4282  ifcif 4486  {csn 4586   class class class wbr 5105  cmpt 5188  ccnv 5632  cima 5636   Fn wfn 6491  wf 6492  ontowfo 6494  cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  +∞cpnf 11186  cle 11190  cmin 11385  -cneg 11386   / cdiv 11812  cn 12153  0cn0 12413  cz 12499  cuz 12763  +crp 12915  [,)cico 13266  ...cfz 13424  cfl 13695  seqcseq 13906  chash 14230  ccj 14981  abscabs 15119  cli 15366  𝑂(1)co1 15368  Σcsu 15570  ϕcphi 16636  Basecbs 17083  0gc0g 17321   MndHom cmhm 18599  Grpcgrp 18748  Abelcabl 19563  mulGrpcmgp 19896  1rcur 19913  Unitcui 20068  fldccnfld 20796  ℤRHomczrh 20900  ℤ/nczn 20903  logclog 25910  Λcvma 26441  DChrcdchr 26580
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-rpss 7660  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-omul 8417  df-er 8648  df-ec 8650  df-qs 8654  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-acn 9878  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-word 14403  df-concat 14459  df-s1 14484  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-o1 15372  df-lo1 15373  df-sum 15571  df-ef 15950  df-e 15951  df-sin 15952  df-cos 15953  df-tan 15954  df-pi 15955  df-dvds 16137  df-gcd 16375  df-prm 16548  df-phi 16638  df-pc 16709  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-qus 17391  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-nsg 18926  df-eqg 18927  df-ghm 19006  df-gim 19049  df-ga 19070  df-cntz 19097  df-oppg 19124  df-od 19310  df-gex 19311  df-pgp 19312  df-lsm 19418  df-pj1 19419  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-cyg 19655  df-dprd 19774  df-dpj 19775  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-dvr 20112  df-rnghom 20146  df-drng 20187  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lsp 20433  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-lidl 20635  df-rsp 20636  df-2idl 20702  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-zring 20870  df-zrh 20904  df-zn 20907  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-0p 25034  df-limc 25230  df-dv 25231  df-ply 25549  df-idp 25550  df-coe 25551  df-dgr 25552  df-quot 25651  df-ulm 25736  df-log 25912  df-cxp 25913  df-atan 26217  df-em 26342  df-cht 26446  df-vma 26447  df-chp 26448  df-ppi 26449  df-mu 26450  df-dchr 26581
This theorem is referenced by:  dchrisum0re  26861  rpvmasum  26874
  Copyright terms: Public domain W3C validator