MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpvmasum2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpvmasum2 26876
Description: A partial result along the lines of rpvmasum 26890. The sum of the von Mangoldt function over those integers 𝑛≑𝐴 (mod 𝑁) is asymptotic to (1 βˆ’ 𝑀)(logπ‘₯ / Ο•(π‘₯)) + 𝑂(1), where 𝑀 is the number of non-principal Dirichlet characters with Σ𝑛 ∈ β„•, 𝑋(𝑛) / 𝑛 = 0. Our goal is to show this set is empty. Equation 9.4.3 of [Shapiro], p. 375. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
rpvmasum.l 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
rpvmasum.a (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
rpvmasum2.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
rpvmasum2.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
rpvmasum2.1 1 = (0gβ€˜πΊ)
rpvmasum2.w π‘Š = {𝑦 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 }) ∣ Ξ£π‘š ∈ β„• ((π‘¦β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = 0}
rpvmasum2.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
rpvmasum2.b (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
rpvmasum2.t 𝑇 = (◑𝐿 β€œ {𝐴})
rpvmasum2.z1 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) β†’ 𝐴 = (1rβ€˜π‘))
Assertion
Ref Expression
rpvmasum2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· (1 βˆ’ (β™―β€˜π‘Š))))) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   π‘š,𝑛,π‘₯,𝑦,𝑓, 1   𝐴,𝑓,π‘š,π‘₯,𝑦   𝑓,𝐺   𝑓,𝑁,π‘š,𝑛,π‘₯,𝑦   πœ‘,𝑓,π‘š,𝑛,π‘₯   𝑇,π‘š,𝑛,π‘₯,𝑦   π‘ˆ,π‘š,𝑛,π‘₯   𝑓,π‘Š,π‘₯   𝑓,𝑍,π‘š,𝑛,π‘₯,𝑦   𝐷,𝑓,π‘š,𝑛,π‘₯,𝑦   𝑓,𝐿,π‘š,𝑛,π‘₯,𝑦   𝐴,𝑛
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑦)   𝑇(𝑓)   π‘ˆ(𝑦,𝑓)   𝐺(π‘₯,𝑦,π‘š,𝑛)   π‘Š(𝑦,π‘š,𝑛)

Proof of Theorem rpvmasum2
Dummy variables 𝑐 𝑑 π‘Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpvmasum.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
21adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
3 rpvmasum2.g . . . . . . 7 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
4 rpvmasum2.d . . . . . . 7 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
53, 4dchrfi 26619 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝐷 ∈ Fin)
62, 5syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝐷 ∈ Fin)
7 fzfid 13885 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∈ Fin)
8 rpvmasum.z . . . . . . . . . . . . 13 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
9 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (Baseβ€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘)
10 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ 𝑓 ∈ 𝐷)
113, 8, 4, 9, 10dchrf 26606 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ 𝑓:(Baseβ€˜π‘)βŸΆβ„‚)
12 rpvmasum2.u . . . . . . . . . . . . . . 15 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
139, 12unitss 20096 . . . . . . . . . . . . . 14 π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘)
14 rpvmasum2.b . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
1513, 14sselid 3947 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜π‘))
1615adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜π‘))
1711, 16ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ (π‘“β€˜π΄) ∈ β„‚)
1817cjcld 15088 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ (βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) ∈ β„‚)
1918adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ (βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) ∈ β„‚)
2019adantrl 715 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷)) β†’ (βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) ∈ β„‚)
2111ad4ant14 751 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ 𝑓:(Baseβ€˜π‘)βŸΆβ„‚)
221nnnn0d 12480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
23 rpvmasum.l . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
248, 9, 23znzrhfo 20970 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝐿:℀–ontoβ†’(Baseβ€˜π‘))
25 fof 6761 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐿:℀–ontoβ†’(Baseβ€˜π‘) β†’ 𝐿:β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘))
2622, 24, 253syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐿:β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘))
2726adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝐿:β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘))
28 elfzelz 13448 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
29 ffvelcdm 7037 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐿:β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ (πΏβ€˜π‘›) ∈ (Baseβ€˜π‘))
3027, 28, 29syl2an 597 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (πΏβ€˜π‘›) ∈ (Baseβ€˜π‘))
3130adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ (πΏβ€˜π‘›) ∈ (Baseβ€˜π‘))
3221, 31ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ (π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) ∈ β„‚)
3332anasss 468 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷)) β†’ (π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) ∈ β„‚)
34 elfznn 13477 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
3534adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
36 vmacl 26483 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ β„• β†’ (Ξ›β€˜π‘›) ∈ ℝ)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (Ξ›β€˜π‘›) ∈ ℝ)
3837, 35nndivred 12214 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛) ∈ ℝ)
3938recnd 11190 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛) ∈ β„‚)
4039adantrr 716 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷)) β†’ ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛) ∈ β„‚)
4133, 40mulcld 11182 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷)) β†’ ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) ∈ β„‚)
4220, 41mulcld 11182 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷)) β†’ ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛))) ∈ β„‚)
4342anass1rs 654 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛))) ∈ β„‚)
447, 43fsumcl 15625 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛))) ∈ β„‚)
45 relogcl 25947 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
4645adantl 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
4746recnd 11190 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
4847adantr 482 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
49 ax-1cn 11116 . . . . . . 7 1 ∈ β„‚
50 neg1cn 12274 . . . . . . . 8 -1 ∈ β„‚
51 0cn 11154 . . . . . . . 8 0 ∈ β„‚
5250, 51ifcli 4538 . . . . . . 7 if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0) ∈ β„‚
5349, 52ifcli 4538 . . . . . 6 if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)) ∈ β„‚
54 mulcl 11142 . . . . . 6 (((logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)) ∈ β„‚) β†’ ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))) ∈ β„‚)
5548, 53, 54sylancl 587 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))) ∈ β„‚)
566, 44, 55fsumsub 15680 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑓 ∈ 𝐷 (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛))) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)))) = (Σ𝑓 ∈ 𝐷 Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛))) βˆ’ Σ𝑓 ∈ 𝐷 ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)))))
5741anass1rs 654 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) ∈ β„‚)
587, 57fsumcl 15625 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) ∈ β„‚)
5919, 58, 55subdid 11618 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))))) = (((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛))) βˆ’ ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))))))
607, 19, 57fsummulc2 15676 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛))) = Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛))))
6153a1i 11 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)) ∈ β„‚)
6219, 48, 61mul12d 11371 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)))) = ((logβ€˜π‘₯) Β· ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)))))
63 ovif2 7460 . . . . . . . . . 10 ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))) = if(𝑓 = 1 , ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· 1), ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)))
64 fveq1 6846 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 = 1 β†’ (π‘“β€˜π΄) = ( 1 β€˜π΄))
65 rpvmasum2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 = (0gβ€˜πΊ)
661ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
6714ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
683, 8, 65, 12, 66, 67dchr1 26621 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ ( 1 β€˜π΄) = 1)
6964, 68sylan9eqr 2799 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) β†’ (π‘“β€˜π΄) = 1)
7069fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) β†’ (βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) = (βˆ—β€˜1))
71 1re 11162 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℝ
72 cjre 15031 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 ∈ ℝ β†’ (βˆ—β€˜1) = 1)
7371, 72ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆ—β€˜1) = 1
7470, 73eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) β†’ (βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) = 1)
7574oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) β†’ ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· 1) = (1 Β· 1))
76 1t1e1 12322 . . . . . . . . . . . 12 (1 Β· 1) = 1
7775, 76eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) β†’ ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· 1) = 1)
78 df-ne 2945 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 β‰  1 ↔ Β¬ 𝑓 = 1 )
79 ovif2 7460 . . . . . . . . . . . . 13 ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)) = if(𝑓 ∈ π‘Š, ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· -1), ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· 0))
80 rpvmasum2.z1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) β†’ 𝐴 = (1rβ€˜π‘))
8180fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) β†’ (π‘“β€˜π΄) = (π‘“β€˜(1rβ€˜π‘)))
8281ad5ant15 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 β‰  1 ) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) β†’ (π‘“β€˜π΄) = (π‘“β€˜(1rβ€˜π‘)))
833, 8, 4dchrmhm 26605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝐷 βŠ† ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld))
84 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ 𝑓 ∈ 𝐷)
8583, 84sselid 3947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ 𝑓 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)))
86 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (mulGrpβ€˜π‘) = (mulGrpβ€˜π‘)
87 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (1rβ€˜π‘) = (1rβ€˜π‘)
8886, 87ringidval 19922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (1rβ€˜π‘) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘))
89 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (mulGrpβ€˜β„‚fld) = (mulGrpβ€˜β„‚fld)
90 cnfld1 20838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 = (1rβ€˜β„‚fld)
9189, 90ringidval 19922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))
9288, 91mhm0 18617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) β†’ (π‘“β€˜(1rβ€˜π‘)) = 1)
9385, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ (π‘“β€˜(1rβ€˜π‘)) = 1)
9493ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 β‰  1 ) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) β†’ (π‘“β€˜(1rβ€˜π‘)) = 1)
9582, 94eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 β‰  1 ) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) β†’ (π‘“β€˜π΄) = 1)
9695fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 β‰  1 ) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) β†’ (βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) = (βˆ—β€˜1))
9796, 73eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 β‰  1 ) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) β†’ (βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) = 1)
9897oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 β‰  1 ) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) β†’ ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· -1) = (1 Β· -1))
9950mulid2i 11167 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 Β· -1) = -1
10098, 99eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 β‰  1 ) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) β†’ ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· -1) = -1)
101100ifeq1da 4522 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 β‰  1 ) β†’ if(𝑓 ∈ π‘Š, ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· -1), ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· 0)) = if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· 0)))
10219adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 β‰  1 ) β†’ (βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) ∈ β„‚)
103102mul01d 11361 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 β‰  1 ) β†’ ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· 0) = 0)
104103ifeq2d 4511 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 β‰  1 ) β†’ if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· 0)) = if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))
105101, 104eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 β‰  1 ) β†’ if(𝑓 ∈ π‘Š, ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· -1), ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· 0)) = if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))
10679, 105eqtrid 2789 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 β‰  1 ) β†’ ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)) = if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))
10778, 106sylan2br 596 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝑓 = 1 ) β†’ ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)) = if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))
10877, 107ifeq12da 4524 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ if(𝑓 = 1 , ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· 1), ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))) = if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)))
10963, 108eqtrid 2789 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))) = if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)))
110109oveq2d 7378 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ ((logβ€˜π‘₯) Β· ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)))) = ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))))
11162, 110eqtrd 2777 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)))) = ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))))
11260, 111oveq12d 7380 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ (((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛))) βˆ’ ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛))) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)))))
11359, 112eqtrd 2777 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛))) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)))))
114113sumeq2dv 15595 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑓 ∈ 𝐷 ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))))) = Σ𝑓 ∈ 𝐷 (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛))) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)))))
115 fzfid 13885 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∈ Fin)
116 inss1 4193 . . . . . . . . 9 ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇) βŠ† (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))
117 ssfi 9124 . . . . . . . . 9 (((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∈ Fin ∧ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇) βŠ† (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇) ∈ Fin)
118115, 116, 117sylancl 587 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇) ∈ Fin)
1192phicld 16651 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Ο•β€˜π‘) ∈ β„•)
120119nncnd 12176 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Ο•β€˜π‘) ∈ β„‚)
121116a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇) βŠ† (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)))
122121sselda 3949 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)) β†’ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)))
123122, 39syldan 592 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)) β†’ ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛) ∈ β„‚)
124118, 120, 123fsummulc2 15676 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ο•β€˜π‘) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)))
125120adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (Ο•β€˜π‘) ∈ β„‚)
126125, 39mulcld 11182 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((Ο•β€˜π‘) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) ∈ β„‚)
127122, 126syldan 592 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)) β†’ ((Ο•β€˜π‘) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) ∈ β„‚)
128127ralrimiva 3144 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆ€π‘› ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ο•β€˜π‘) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) ∈ β„‚)
129115olcd 873 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) βŠ† (β„€β‰₯β€˜1) ∨ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∈ Fin))
130 sumss2 15618 . . . . . . . 8 (((((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇) βŠ† (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘› ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ο•β€˜π‘) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) ∈ β„‚) ∧ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) βŠ† (β„€β‰₯β€˜1) ∨ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∈ Fin)) β†’ Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ο•β€˜π‘) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))if(𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇), ((Ο•β€˜π‘) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)), 0))
131121, 128, 129, 130syl21anc 837 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ο•β€˜π‘) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))if(𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇), ((Ο•β€˜π‘) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)), 0))
132 elin 3931 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇) ↔ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑇))
133132baib 537 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ (𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇) ↔ 𝑛 ∈ 𝑇))
134133adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇) ↔ 𝑛 ∈ 𝑇))
135 rpvmasum2.t . . . . . . . . . . . . 13 𝑇 = (◑𝐿 β€œ {𝐴})
136135eleq2i 2830 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ 𝑇 ↔ 𝑛 ∈ (◑𝐿 β€œ {𝐴}))
13727ffnd 6674 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝐿 Fn β„€)
138 fniniseg 7015 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐿 Fn β„€ β†’ (𝑛 ∈ (◑𝐿 β€œ {𝐴}) ↔ (𝑛 ∈ β„€ ∧ (πΏβ€˜π‘›) = 𝐴)))
139138baibd 541 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐿 Fn β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ (𝑛 ∈ (◑𝐿 β€œ {𝐴}) ↔ (πΏβ€˜π‘›) = 𝐴))
140137, 28, 139syl2an 597 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (𝑛 ∈ (◑𝐿 β€œ {𝐴}) ↔ (πΏβ€˜π‘›) = 𝐴))
141136, 140bitrid 283 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (𝑛 ∈ 𝑇 ↔ (πΏβ€˜π‘›) = 𝐴))
142134, 141bitr2d 280 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((πΏβ€˜π‘›) = 𝐴 ↔ 𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)))
14339mul02d 11360 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (0 Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) = 0)
144142, 143ifbieq2d 4517 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ if((πΏβ€˜π‘›) = 𝐴, ((Ο•β€˜π‘) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)), (0 Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛))) = if(𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇), ((Ο•β€˜π‘) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)), 0))
145 ovif 7459 . . . . . . . . . 10 (if((πΏβ€˜π‘›) = 𝐴, (Ο•β€˜π‘), 0) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) = if((πΏβ€˜π‘›) = 𝐴, ((Ο•β€˜π‘) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)), (0 Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)))
1461ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
147146, 5syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝐷 ∈ Fin)
14818ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ (βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) ∈ β„‚)
14932, 148mulcld 11182 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· (βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄))) ∈ β„‚)
150147, 39, 149fsummulc1 15677 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (Σ𝑓 ∈ 𝐷 ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· (βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄))) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) = Σ𝑓 ∈ 𝐷 (((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· (βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄))) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)))
15114ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
1523, 4, 8, 9, 12, 146, 30, 151sum2dchr 26638 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ Σ𝑓 ∈ 𝐷 ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· (βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄))) = if((πΏβ€˜π‘›) = 𝐴, (Ο•β€˜π‘), 0))
153152oveq1d 7377 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (Σ𝑓 ∈ 𝐷 ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· (βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄))) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) = (if((πΏβ€˜π‘›) = 𝐴, (Ο•β€˜π‘), 0) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)))
15439adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛) ∈ β„‚)
155 mulass 11146 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) ∈ β„‚ ∧ (βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) ∈ β„‚ ∧ ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛) ∈ β„‚) β†’ (((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· (βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄))) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) = ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛))))
156 mul12 11327 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) ∈ β„‚ ∧ (βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) ∈ β„‚ ∧ ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛) ∈ β„‚) β†’ ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛))) = ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛))))
157155, 156eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) ∈ β„‚ ∧ (βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) ∈ β„‚ ∧ ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛) ∈ β„‚) β†’ (((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· (βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄))) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) = ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛))))
15832, 148, 154, 157syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ (((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· (βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄))) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) = ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛))))
159158sumeq2dv 15595 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ Σ𝑓 ∈ 𝐷 (((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· (βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄))) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) = Σ𝑓 ∈ 𝐷 ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛))))
160150, 153, 1593eqtr3d 2785 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (if((πΏβ€˜π‘›) = 𝐴, (Ο•β€˜π‘), 0) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) = Σ𝑓 ∈ 𝐷 ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛))))
161145, 160eqtr3id 2791 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ if((πΏβ€˜π‘›) = 𝐴, ((Ο•β€˜π‘) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)), (0 Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛))) = Σ𝑓 ∈ 𝐷 ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛))))
162144, 161eqtr3d 2779 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ if(𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇), ((Ο•β€˜π‘) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)), 0) = Σ𝑓 ∈ 𝐷 ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛))))
163162sumeq2dv 15595 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))if(𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇), ((Ο•β€˜π‘) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)), 0) = Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑓 ∈ 𝐷 ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛))))
164124, 131, 1633eqtrd 2781 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑓 ∈ 𝐷 ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛))))
165115, 6, 42fsumcom 15667 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑓 ∈ 𝐷 ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛))) = Σ𝑓 ∈ 𝐷 Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛))))
166164, 165eqtrd 2777 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) = Σ𝑓 ∈ 𝐷 Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛))))
1673dchrabl 26618 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝐺 ∈ Abel)
168 ablgrp 19574 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ Abel β†’ 𝐺 ∈ Grp)
1694, 65grpidcl 18785 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ Grp β†’ 1 ∈ 𝐷)
1702, 167, 168, 1694syl 19 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 1 ∈ 𝐷)
17147mulid1d 11179 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((logβ€˜π‘₯) Β· 1) = (logβ€˜π‘₯))
172171, 47eqeltrd 2838 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((logβ€˜π‘₯) Β· 1) ∈ β„‚)
173 iftrue 4497 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = 1 β†’ if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)) = 1)
174173oveq2d 7378 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 1 β†’ ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))) = ((logβ€˜π‘₯) Β· 1))
175174sumsn 15638 . . . . . . . . 9 (( 1 ∈ 𝐷 ∧ ((logβ€˜π‘₯) Β· 1) ∈ β„‚) β†’ Σ𝑓 ∈ { 1 } ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))) = ((logβ€˜π‘₯) Β· 1))
176170, 172, 175syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑓 ∈ { 1 } ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))) = ((logβ€˜π‘₯) Β· 1))
177 eldifsn 4752 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 }) ↔ (𝑓 ∈ 𝐷 ∧ 𝑓 β‰  1 ))
178 ifnefalse 4503 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 β‰  1 β†’ if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)) = if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))
179178ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ 𝐷 ∧ 𝑓 β‰  1 )) β†’ if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)) = if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))
180 negeq 11400 . . . . . . . . . . . . . . 15 (if(𝑓 ∈ π‘Š, 1, 0) = 1 β†’ -if(𝑓 ∈ π‘Š, 1, 0) = -1)
181 negeq 11400 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (if(𝑓 ∈ π‘Š, 1, 0) = 0 β†’ -if(𝑓 ∈ π‘Š, 1, 0) = -0)
182 neg0 11454 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -0 = 0
183181, 182eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . 15 (if(𝑓 ∈ π‘Š, 1, 0) = 0 β†’ -if(𝑓 ∈ π‘Š, 1, 0) = 0)
184180, 183ifsb 4504 . . . . . . . . . . . . . 14 -if(𝑓 ∈ π‘Š, 1, 0) = if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)
185179, 184eqtr4di 2795 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ 𝐷 ∧ 𝑓 β‰  1 )) β†’ if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)) = -if(𝑓 ∈ π‘Š, 1, 0))
186185oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ 𝐷 ∧ 𝑓 β‰  1 )) β†’ ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))) = ((logβ€˜π‘₯) Β· -if(𝑓 ∈ π‘Š, 1, 0)))
18747adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ 𝐷 ∧ 𝑓 β‰  1 )) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
18849, 51ifcli 4538 . . . . . . . . . . . . 13 if(𝑓 ∈ π‘Š, 1, 0) ∈ β„‚
189 mulneg2 11599 . . . . . . . . . . . . 13 (((logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ if(𝑓 ∈ π‘Š, 1, 0) ∈ β„‚) β†’ ((logβ€˜π‘₯) Β· -if(𝑓 ∈ π‘Š, 1, 0)) = -((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 ∈ π‘Š, 1, 0)))
190187, 188, 189sylancl 587 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ 𝐷 ∧ 𝑓 β‰  1 )) β†’ ((logβ€˜π‘₯) Β· -if(𝑓 ∈ π‘Š, 1, 0)) = -((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 ∈ π‘Š, 1, 0)))
191186, 190eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ 𝐷 ∧ 𝑓 β‰  1 )) β†’ ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))) = -((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 ∈ π‘Š, 1, 0)))
192177, 191sylan2b 595 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 })) β†’ ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))) = -((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 ∈ π‘Š, 1, 0)))
193192sumeq2dv 15595 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑓 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 })((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))) = Σ𝑓 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 })-((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 ∈ π‘Š, 1, 0)))
194 diffi 9130 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ Fin β†’ (𝐷 βˆ– { 1 }) ∈ Fin)
1956, 194syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (𝐷 βˆ– { 1 }) ∈ Fin)
19647adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 })) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
197 mulcl 11142 . . . . . . . . . . 11 (((logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ if(𝑓 ∈ π‘Š, 1, 0) ∈ β„‚) β†’ ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 ∈ π‘Š, 1, 0)) ∈ β„‚)
198196, 188, 197sylancl 587 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 })) β†’ ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 ∈ π‘Š, 1, 0)) ∈ β„‚)
199195, 198fsumneg 15679 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑓 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 })-((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 ∈ π‘Š, 1, 0)) = -Σ𝑓 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 })((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 ∈ π‘Š, 1, 0)))
200188a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 })) β†’ if(𝑓 ∈ π‘Š, 1, 0) ∈ β„‚)
201195, 47, 200fsummulc2 15676 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((logβ€˜π‘₯) Β· Σ𝑓 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 })if(𝑓 ∈ π‘Š, 1, 0)) = Σ𝑓 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 })((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 ∈ π‘Š, 1, 0)))
202 rpvmasum2.w . . . . . . . . . . . . . . . . 17 π‘Š = {𝑦 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 }) ∣ Ξ£π‘š ∈ β„• ((π‘¦β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = 0}
203202ssrab3 4045 . . . . . . . . . . . . . . . 16 π‘Š βŠ† (𝐷 βˆ– { 1 })
204 difss 4096 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐷 βˆ– { 1 }) βŠ† 𝐷
205203, 204sstri 3958 . . . . . . . . . . . . . . 15 π‘Š βŠ† 𝐷
206 ssfi 9124 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ Fin ∧ π‘Š βŠ† 𝐷) β†’ π‘Š ∈ Fin)
2076, 205, 206sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘Š ∈ Fin)
208 fsumconst 15682 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ Fin ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ Σ𝑓 ∈ π‘Š 1 = ((β™―β€˜π‘Š) Β· 1))
209207, 49, 208sylancl 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑓 ∈ π‘Š 1 = ((β™―β€˜π‘Š) Β· 1))
210203a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘Š βŠ† (𝐷 βˆ– { 1 }))
21149a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 1 ∈ β„‚)
212211ralrimivw 3148 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆ€π‘“ ∈ π‘Š 1 ∈ β„‚)
213195olcd 873 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((𝐷 βˆ– { 1 }) βŠ† (β„€β‰₯β€˜1) ∨ (𝐷 βˆ– { 1 }) ∈ Fin))
214 sumss2 15618 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Š βŠ† (𝐷 βˆ– { 1 }) ∧ βˆ€π‘“ ∈ π‘Š 1 ∈ β„‚) ∧ ((𝐷 βˆ– { 1 }) βŠ† (β„€β‰₯β€˜1) ∨ (𝐷 βˆ– { 1 }) ∈ Fin)) β†’ Σ𝑓 ∈ π‘Š 1 = Σ𝑓 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 })if(𝑓 ∈ π‘Š, 1, 0))
215210, 212, 213, 214syl21anc 837 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑓 ∈ π‘Š 1 = Σ𝑓 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 })if(𝑓 ∈ π‘Š, 1, 0))
216 hashcl 14263 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Š ∈ Fin β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0)
217207, 216syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0)
218217nn0cnd 12482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„‚)
219218mulid1d 11179 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) Β· 1) = (β™―β€˜π‘Š))
220209, 215, 2193eqtr3d 2785 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑓 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 })if(𝑓 ∈ π‘Š, 1, 0) = (β™―β€˜π‘Š))
221220oveq2d 7378 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((logβ€˜π‘₯) Β· Σ𝑓 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 })if(𝑓 ∈ π‘Š, 1, 0)) = ((logβ€˜π‘₯) Β· (β™―β€˜π‘Š)))
222201, 221eqtr3d 2779 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑓 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 })((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 ∈ π‘Š, 1, 0)) = ((logβ€˜π‘₯) Β· (β™―β€˜π‘Š)))
223222negeqd 11402 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ -Σ𝑓 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 })((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 ∈ π‘Š, 1, 0)) = -((logβ€˜π‘₯) Β· (β™―β€˜π‘Š)))
224193, 199, 2233eqtrd 2781 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑓 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 })((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))) = -((logβ€˜π‘₯) Β· (β™―β€˜π‘Š)))
225176, 224oveq12d 7380 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Σ𝑓 ∈ { 1 } ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))) + Σ𝑓 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 })((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)))) = (((logβ€˜π‘₯) Β· 1) + -((logβ€˜π‘₯) Β· (β™―β€˜π‘Š))))
22647, 218mulcld 11182 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((logβ€˜π‘₯) Β· (β™―β€˜π‘Š)) ∈ β„‚)
227172, 226negsubd 11525 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (((logβ€˜π‘₯) Β· 1) + -((logβ€˜π‘₯) Β· (β™―β€˜π‘Š))) = (((logβ€˜π‘₯) Β· 1) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· (β™―β€˜π‘Š))))
228225, 227eqtrd 2777 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Σ𝑓 ∈ { 1 } ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))) + Σ𝑓 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 })((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)))) = (((logβ€˜π‘₯) Β· 1) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· (β™―β€˜π‘Š))))
229 disjdif 4436 . . . . . . . 8 ({ 1 } ∩ (𝐷 βˆ– { 1 })) = βˆ…
230229a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ({ 1 } ∩ (𝐷 βˆ– { 1 })) = βˆ…)
231 undif2 4441 . . . . . . . 8 ({ 1 } βˆͺ (𝐷 βˆ– { 1 })) = ({ 1 } βˆͺ 𝐷)
232170snssd 4774 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ { 1 } βŠ† 𝐷)
233 ssequn1 4145 . . . . . . . . 9 ({ 1 } βŠ† 𝐷 ↔ ({ 1 } βˆͺ 𝐷) = 𝐷)
234232, 233sylib 217 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ({ 1 } βˆͺ 𝐷) = 𝐷)
235231, 234eqtr2id 2790 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝐷 = ({ 1 } βˆͺ (𝐷 βˆ– { 1 })))
236230, 235, 6, 55fsumsplit 15633 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑓 ∈ 𝐷 ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))) = (Σ𝑓 ∈ { 1 } ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))) + Σ𝑓 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 })((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)))))
23747, 211, 218subdid 11618 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((logβ€˜π‘₯) Β· (1 βˆ’ (β™―β€˜π‘Š))) = (((logβ€˜π‘₯) Β· 1) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· (β™―β€˜π‘Š))))
238228, 236, 2373eqtr4rd 2788 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((logβ€˜π‘₯) Β· (1 βˆ’ (β™―β€˜π‘Š))) = Σ𝑓 ∈ 𝐷 ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))))
239166, 238oveq12d 7380 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· (1 βˆ’ (β™―β€˜π‘Š)))) = (Σ𝑓 ∈ 𝐷 Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛))) βˆ’ Σ𝑓 ∈ 𝐷 ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)))))
24056, 114, 2393eqtr4d 2787 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑓 ∈ 𝐷 ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))))) = (((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· (1 βˆ’ (β™―β€˜π‘Š)))))
241240mpteq2dva 5210 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑓 ∈ 𝐷 ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)))))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· (1 βˆ’ (β™―β€˜π‘Š))))))
242 rpssre 12929 . . . 4 ℝ+ βŠ† ℝ
243242a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ ℝ+ βŠ† ℝ)
2441, 5syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ Fin)
24517adantlr 714 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ (π‘“β€˜π΄) ∈ β„‚)
246245cjcld 15088 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ (βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) ∈ β„‚)
24758, 55subcld 11519 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)))) ∈ β„‚)
248246, 247mulcld 11182 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))))) ∈ β„‚)
249248anasss 468 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷)) β†’ ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))))) ∈ β„‚)
25018adantr 482 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) ∈ β„‚)
251247an32s 651 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)))) ∈ β„‚)
252 o1const 15509 . . . . 5 ((ℝ+ βŠ† ℝ ∧ (βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄))) ∈ 𝑂(1))
253242, 18, 252sylancr 588 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄))) ∈ 𝑂(1))
254 fveq1 6846 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = 1 β†’ (π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) = ( 1 β€˜(πΏβ€˜π‘›)))
255254oveq1d 7377 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = 1 β†’ ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) = (( 1 β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)))
256255sumeq2sdv 15596 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 1 β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(( 1 β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)))
257256, 174oveq12d 7380 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 1 β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(( 1 β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· 1)))
258257adantl 483 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(( 1 β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· 1)))
25945recnd 11190 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
260259mulid1d 11179 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ ((logβ€˜π‘₯) Β· 1) = (logβ€˜π‘₯))
261260oveq2d 7378 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(( 1 β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· 1)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(( 1 β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯)))
262258, 261sylan9eq 2797 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(( 1 β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯)))
263262mpteq2dva 5210 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(( 1 β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯))))
2648, 23, 1, 3, 4, 65rpvmasumlem 26851 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(( 1 β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯))) ∈ 𝑂(1))
265264ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(( 1 β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯))) ∈ 𝑂(1))
266263, 265eqeltrd 2838 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))))) ∈ 𝑂(1))
267178oveq2d 7378 . . . . . . . . . 10 (𝑓 β‰  1 β†’ ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))) = ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)))
268267oveq2d 7378 . . . . . . . . 9 (𝑓 β‰  1 β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))))
26947adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
270 mulcom 11144 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ -1 ∈ β„‚) β†’ ((logβ€˜π‘₯) Β· -1) = (-1 Β· (logβ€˜π‘₯)))
271269, 50, 270sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((logβ€˜π‘₯) Β· -1) = (-1 Β· (logβ€˜π‘₯)))
272269mulm1d 11614 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (-1 Β· (logβ€˜π‘₯)) = -(logβ€˜π‘₯))
273271, 272eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((logβ€˜π‘₯) Β· -1) = -(logβ€˜π‘₯))
274269mul01d 11361 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((logβ€˜π‘₯) Β· 0) = 0)
275273, 274ifeq12d 4512 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ if(𝑓 ∈ π‘Š, ((logβ€˜π‘₯) Β· -1), ((logβ€˜π‘₯) Β· 0)) = if(𝑓 ∈ π‘Š, -(logβ€˜π‘₯), 0))
276 ovif2 7460 . . . . . . . . . . . 12 ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)) = if(𝑓 ∈ π‘Š, ((logβ€˜π‘₯) Β· -1), ((logβ€˜π‘₯) Β· 0))
277 negeq 11400 . . . . . . . . . . . . 13 (if(𝑓 ∈ π‘Š, (logβ€˜π‘₯), 0) = (logβ€˜π‘₯) β†’ -if(𝑓 ∈ π‘Š, (logβ€˜π‘₯), 0) = -(logβ€˜π‘₯))
278 negeq 11400 . . . . . . . . . . . . . 14 (if(𝑓 ∈ π‘Š, (logβ€˜π‘₯), 0) = 0 β†’ -if(𝑓 ∈ π‘Š, (logβ€˜π‘₯), 0) = -0)
279278, 182eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . 13 (if(𝑓 ∈ π‘Š, (logβ€˜π‘₯), 0) = 0 β†’ -if(𝑓 ∈ π‘Š, (logβ€˜π‘₯), 0) = 0)
280277, 279ifsb 4504 . . . . . . . . . . . 12 -if(𝑓 ∈ π‘Š, (logβ€˜π‘₯), 0) = if(𝑓 ∈ π‘Š, -(logβ€˜π‘₯), 0)
281275, 276, 2803eqtr4g 2802 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)) = -if(𝑓 ∈ π‘Š, (logβ€˜π‘₯), 0))
282281oveq2d 7378 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ -if(𝑓 ∈ π‘Š, (logβ€˜π‘₯), 0)))
28358an32s 651 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) ∈ β„‚)
284 ifcl 4536 . . . . . . . . . . . 12 (((logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ 0 ∈ β„‚) β†’ if(𝑓 ∈ π‘Š, (logβ€˜π‘₯), 0) ∈ β„‚)
285269, 51, 284sylancl 587 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ if(𝑓 ∈ π‘Š, (logβ€˜π‘₯), 0) ∈ β„‚)
286283, 285subnegd 11526 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ -if(𝑓 ∈ π‘Š, (logβ€˜π‘₯), 0)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) + if(𝑓 ∈ π‘Š, (logβ€˜π‘₯), 0)))
287282, 286eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) + if(𝑓 ∈ π‘Š, (logβ€˜π‘₯), 0)))
288268, 287sylan9eqr 2799 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 β‰  1 ) β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) + if(𝑓 ∈ π‘Š, (logβ€˜π‘₯), 0)))
289288an32s 651 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 β‰  1 ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) + if(𝑓 ∈ π‘Š, (logβ€˜π‘₯), 0)))
290289mpteq2dva 5210 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 β‰  1 ) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) + if(𝑓 ∈ π‘Š, (logβ€˜π‘₯), 0))))
2911ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 β‰  1 ) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
292 simplr 768 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 β‰  1 ) β†’ 𝑓 ∈ 𝐷)
293 simpr 486 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 β‰  1 ) β†’ 𝑓 β‰  1 )
294 eqid 2737 . . . . . . . 8 (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž)) = (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))
2958, 23, 291, 3, 4, 65, 292, 293, 294dchrmusumlema 26857 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 β‰  1 ) β†’ βˆƒπ‘‘βˆƒπ‘ ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž)))β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / 𝑦)))
2961adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
297296ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 β‰  1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž)))β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / 𝑦)))) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
298292adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 β‰  1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž)))β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / 𝑦)))) β†’ 𝑓 ∈ 𝐷)
299 simplr 768 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 β‰  1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž)))β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / 𝑦)))) β†’ 𝑓 β‰  1 )
300 simprl 770 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 β‰  1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž)))β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / 𝑦)))) β†’ 𝑐 ∈ (0[,)+∞))
301 simprrl 780 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 β‰  1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž)))β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / 𝑦)))) β†’ seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))) ⇝ 𝑑)
302 simprrr 781 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 β‰  1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž)))β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / 𝑦)))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž)))β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / 𝑦))
3038, 23, 297, 3, 4, 65, 298, 299, 294, 300, 301, 302, 202dchrvmaeq0 26868 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 β‰  1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž)))β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / 𝑦)))) β†’ (𝑓 ∈ π‘Š ↔ 𝑑 = 0))
304 ifbi 4513 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 ∈ π‘Š ↔ 𝑑 = 0) β†’ if(𝑓 ∈ π‘Š, (logβ€˜π‘₯), 0) = if(𝑑 = 0, (logβ€˜π‘₯), 0))
305304oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 ∈ π‘Š ↔ 𝑑 = 0) β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) + if(𝑓 ∈ π‘Š, (logβ€˜π‘₯), 0)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) + if(𝑑 = 0, (logβ€˜π‘₯), 0)))
306305mpteq2dv 5212 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 ∈ π‘Š ↔ 𝑑 = 0) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) + if(𝑓 ∈ π‘Š, (logβ€˜π‘₯), 0))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) + if(𝑑 = 0, (logβ€˜π‘₯), 0))))
307303, 306syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 β‰  1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž)))β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / 𝑦)))) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) + if(𝑓 ∈ π‘Š, (logβ€˜π‘₯), 0))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) + if(𝑑 = 0, (logβ€˜π‘₯), 0))))
3088, 23, 297, 3, 4, 65, 298, 299, 294, 300, 301, 302dchrvmasumif 26867 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 β‰  1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž)))β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / 𝑦)))) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) + if(𝑑 = 0, (logβ€˜π‘₯), 0))) ∈ 𝑂(1))
309307, 308eqeltrd 2838 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 β‰  1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž)))β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / 𝑦)))) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) + if(𝑓 ∈ π‘Š, (logβ€˜π‘₯), 0))) ∈ 𝑂(1))
310309rexlimdvaa 3154 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 β‰  1 ) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž)))β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / 𝑦)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) + if(𝑓 ∈ π‘Š, (logβ€˜π‘₯), 0))) ∈ 𝑂(1)))
311310exlimdv 1937 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 β‰  1 ) β†’ (βˆƒπ‘‘βˆƒπ‘ ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž)))β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / 𝑦)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) + if(𝑓 ∈ π‘Š, (logβ€˜π‘₯), 0))) ∈ 𝑂(1)))
312295, 311mpd 15 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 β‰  1 ) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) + if(𝑓 ∈ π‘Š, (logβ€˜π‘₯), 0))) ∈ 𝑂(1))
313290, 312eqeltrd 2838 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 β‰  1 ) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))))) ∈ 𝑂(1))
314266, 313pm2.61dane 3033 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))))) ∈ 𝑂(1))
315250, 251, 253, 314o1mul2 15514 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)))))) ∈ 𝑂(1))
316243, 244, 249, 315fsumo1 15704 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑓 ∈ 𝐷 ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)))))) ∈ 𝑂(1))
317241, 316eqeltrrd 2839 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· (1 βˆ’ (β™―β€˜π‘Š))))) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  {crab 3410   βˆ– cdif 3912   βˆͺ cun 3913   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287  ifcif 4491  {csn 4591   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  β—‘ccnv 5637   β€œ cima 5641   Fn wfn 6496  βŸΆwf 6497  β€“ontoβ†’wfo 6499  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Fincfn 8890  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   Β· cmul 11063  +∞cpnf 11193   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392  -cneg 11393   / cdiv 11819  β„•cn 12160  β„•0cn0 12420  β„€cz 12506  β„€β‰₯cuz 12770  β„+crp 12922  [,)cico 13273  ...cfz 13431  βŒŠcfl 13702  seqcseq 13913  β™―chash 14237  βˆ—ccj 14988  abscabs 15126   ⇝ cli 15373  π‘‚(1)co1 15375  Ξ£csu 15577  Ο•cphi 16643  Basecbs 17090  0gc0g 17328   MndHom cmhm 18606  Grpcgrp 18755  Abelcabl 19570  mulGrpcmgp 19903  1rcur 19920  Unitcui 20075  β„‚fldccnfld 20812  β„€RHomczrh 20916  β„€/nβ„€czn 20919  logclog 25926  Ξ›cvma 26457  DChrcdchr 26596
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-rpss 7665  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-ec 8657  df-qs 8661  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-acn 9885  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-word 14410  df-concat 14466  df-s1 14491  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-o1 15379  df-lo1 15380  df-sum 15578  df-ef 15957  df-e 15958  df-sin 15959  df-cos 15960  df-tan 15961  df-pi 15962  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-prm 16555  df-phi 16645  df-pc 16716  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-qus 17398  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-mhm 18608  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-nsg 18933  df-eqg 18934  df-ghm 19013  df-gim 19056  df-ga 19077  df-cntz 19104  df-oppg 19131  df-od 19317  df-gex 19318  df-pgp 19319  df-lsm 19425  df-pj1 19426  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-cyg 19662  df-dprd 19781  df-dpj 19782  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-cring 19974  df-oppr 20056  df-dvdsr 20077  df-unit 20078  df-invr 20108  df-dvr 20119  df-rnghom 20155  df-drng 20201  df-subrg 20236  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-lidl 20651  df-rsp 20652  df-2idl 20718  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-zring 20886  df-zrh 20920  df-zn 20923  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-0p 25050  df-limc 25246  df-dv 25247  df-ply 25565  df-idp 25566  df-coe 25567  df-dgr 25568  df-quot 25667  df-ulm 25752  df-log 25928  df-cxp 25929  df-atan 26233  df-em 26358  df-cht 26462  df-vma 26463  df-chp 26464  df-ppi 26465  df-mu 26466  df-dchr 26597
This theorem is referenced by:  dchrisum0re  26877  rpvmasum  26890
  Copyright terms: Public domain W3C validator