MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpvmasum2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpvmasum2 27463
Description: A partial result along the lines of rpvmasum 27477. The sum of the von Mangoldt function over those integers 𝑛≑𝐴 (mod 𝑁) is asymptotic to (1 βˆ’ 𝑀)(logπ‘₯ / Ο•(π‘₯)) + 𝑂(1), where 𝑀 is the number of non-principal Dirichlet characters with Σ𝑛 ∈ β„•, 𝑋(𝑛) / 𝑛 = 0. Our goal is to show this set is empty. Equation 9.4.3 of [Shapiro], p. 375. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
rpvmasum.l 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
rpvmasum.a (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
rpvmasum2.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
rpvmasum2.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
rpvmasum2.1 1 = (0gβ€˜πΊ)
rpvmasum2.w π‘Š = {𝑦 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 }) ∣ Ξ£π‘š ∈ β„• ((π‘¦β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = 0}
rpvmasum2.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
rpvmasum2.b (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
rpvmasum2.t 𝑇 = (◑𝐿 β€œ {𝐴})
rpvmasum2.z1 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) β†’ 𝐴 = (1rβ€˜π‘))
Assertion
Ref Expression
rpvmasum2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· (1 βˆ’ (β™―β€˜π‘Š))))) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   π‘š,𝑛,π‘₯,𝑦,𝑓, 1   𝐴,𝑓,π‘š,π‘₯,𝑦   𝑓,𝐺   𝑓,𝑁,π‘š,𝑛,π‘₯,𝑦   πœ‘,𝑓,π‘š,𝑛,π‘₯   𝑇,π‘š,𝑛,π‘₯,𝑦   π‘ˆ,π‘š,𝑛,π‘₯   𝑓,π‘Š,π‘₯   𝑓,𝑍,π‘š,𝑛,π‘₯,𝑦   𝐷,𝑓,π‘š,𝑛,π‘₯,𝑦   𝑓,𝐿,π‘š,𝑛,π‘₯,𝑦   𝐴,𝑛
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑦)   𝑇(𝑓)   π‘ˆ(𝑦,𝑓)   𝐺(π‘₯,𝑦,π‘š,𝑛)   π‘Š(𝑦,π‘š,𝑛)

Proof of Theorem rpvmasum2
Dummy variables 𝑐 𝑑 π‘Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpvmasum.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
21adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
3 rpvmasum2.g . . . . . . 7 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
4 rpvmasum2.d . . . . . . 7 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
53, 4dchrfi 27206 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝐷 ∈ Fin)
62, 5syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝐷 ∈ Fin)
7 fzfid 13970 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∈ Fin)
8 rpvmasum.z . . . . . . . . . . . . 13 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
9 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . 13 (Baseβ€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘)
10 simpr 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ 𝑓 ∈ 𝐷)
113, 8, 4, 9, 10dchrf 27193 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ 𝑓:(Baseβ€˜π‘)βŸΆβ„‚)
12 rpvmasum2.u . . . . . . . . . . . . . . 15 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
139, 12unitss 20319 . . . . . . . . . . . . . 14 π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘)
14 rpvmasum2.b . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
1513, 14sselid 3970 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜π‘))
1615adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜π‘))
1711, 16ffvelcdmd 7090 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ (π‘“β€˜π΄) ∈ β„‚)
1817cjcld 15175 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ (βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) ∈ β„‚)
1918adantlr 713 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ (βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) ∈ β„‚)
2019adantrl 714 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷)) β†’ (βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) ∈ β„‚)
2111ad4ant14 750 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ 𝑓:(Baseβ€˜π‘)βŸΆβ„‚)
221nnnn0d 12562 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
23 rpvmasum.l . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
248, 9, 23znzrhfo 21485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝐿:℀–ontoβ†’(Baseβ€˜π‘))
25 fof 6806 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐿:℀–ontoβ†’(Baseβ€˜π‘) β†’ 𝐿:β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘))
2622, 24, 253syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐿:β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘))
2726adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝐿:β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘))
28 elfzelz 13533 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
29 ffvelcdm 7086 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐿:β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ (πΏβ€˜π‘›) ∈ (Baseβ€˜π‘))
3027, 28, 29syl2an 594 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (πΏβ€˜π‘›) ∈ (Baseβ€˜π‘))
3130adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ (πΏβ€˜π‘›) ∈ (Baseβ€˜π‘))
3221, 31ffvelcdmd 7090 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ (π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) ∈ β„‚)
3332anasss 465 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷)) β†’ (π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) ∈ β„‚)
34 elfznn 13562 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
3534adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
36 vmacl 27068 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ β„• β†’ (Ξ›β€˜π‘›) ∈ ℝ)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (Ξ›β€˜π‘›) ∈ ℝ)
3837, 35nndivred 12296 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛) ∈ ℝ)
3938recnd 11272 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛) ∈ β„‚)
4039adantrr 715 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷)) β†’ ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛) ∈ β„‚)
4133, 40mulcld 11264 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷)) β†’ ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) ∈ β„‚)
4220, 41mulcld 11264 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷)) β†’ ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛))) ∈ β„‚)
4342anass1rs 653 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛))) ∈ β„‚)
447, 43fsumcl 15711 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛))) ∈ β„‚)
45 relogcl 26527 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
4645adantl 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
4746recnd 11272 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
4847adantr 479 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
49 ax-1cn 11196 . . . . . . 7 1 ∈ β„‚
50 neg1cn 12356 . . . . . . . 8 -1 ∈ β„‚
51 0cn 11236 . . . . . . . 8 0 ∈ β„‚
5250, 51ifcli 4571 . . . . . . 7 if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0) ∈ β„‚
5349, 52ifcli 4571 . . . . . 6 if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)) ∈ β„‚
54 mulcl 11222 . . . . . 6 (((logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)) ∈ β„‚) β†’ ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))) ∈ β„‚)
5548, 53, 54sylancl 584 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))) ∈ β„‚)
566, 44, 55fsumsub 15766 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑓 ∈ 𝐷 (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛))) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)))) = (Σ𝑓 ∈ 𝐷 Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛))) βˆ’ Σ𝑓 ∈ 𝐷 ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)))))
5741anass1rs 653 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) ∈ β„‚)
587, 57fsumcl 15711 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) ∈ β„‚)
5919, 58, 55subdid 11700 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))))) = (((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛))) βˆ’ ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))))))
607, 19, 57fsummulc2 15762 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛))) = Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛))))
6153a1i 11 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)) ∈ β„‚)
6219, 48, 61mul12d 11453 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)))) = ((logβ€˜π‘₯) Β· ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)))))
63 ovif2 7516 . . . . . . . . . 10 ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))) = if(𝑓 = 1 , ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· 1), ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)))
64 fveq1 6891 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 = 1 β†’ (π‘“β€˜π΄) = ( 1 β€˜π΄))
65 rpvmasum2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 = (0gβ€˜πΊ)
661ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
6714ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
683, 8, 65, 12, 66, 67dchr1 27208 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ ( 1 β€˜π΄) = 1)
6964, 68sylan9eqr 2787 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) β†’ (π‘“β€˜π΄) = 1)
7069fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) β†’ (βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) = (βˆ—β€˜1))
71 1re 11244 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℝ
72 cjre 15118 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 ∈ ℝ β†’ (βˆ—β€˜1) = 1)
7371, 72ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆ—β€˜1) = 1
7470, 73eqtrdi 2781 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) β†’ (βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) = 1)
7574oveq1d 7431 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) β†’ ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· 1) = (1 Β· 1))
76 1t1e1 12404 . . . . . . . . . . . 12 (1 Β· 1) = 1
7775, 76eqtrdi 2781 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) β†’ ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· 1) = 1)
78 df-ne 2931 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 β‰  1 ↔ Β¬ 𝑓 = 1 )
79 ovif2 7516 . . . . . . . . . . . . 13 ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)) = if(𝑓 ∈ π‘Š, ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· -1), ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· 0))
80 rpvmasum2.z1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) β†’ 𝐴 = (1rβ€˜π‘))
8180fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) β†’ (π‘“β€˜π΄) = (π‘“β€˜(1rβ€˜π‘)))
8281ad5ant15 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 β‰  1 ) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) β†’ (π‘“β€˜π΄) = (π‘“β€˜(1rβ€˜π‘)))
833, 8, 4dchrmhm 27192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝐷 βŠ† ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld))
84 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ 𝑓 ∈ 𝐷)
8583, 84sselid 3970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ 𝑓 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)))
86 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (mulGrpβ€˜π‘) = (mulGrpβ€˜π‘)
87 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (1rβ€˜π‘) = (1rβ€˜π‘)
8886, 87ringidval 20127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (1rβ€˜π‘) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘))
89 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (mulGrpβ€˜β„‚fld) = (mulGrpβ€˜β„‚fld)
90 cnfld1 21325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 = (1rβ€˜β„‚fld)
9189, 90ringidval 20127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))
9288, 91mhm0 18750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓 ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) β†’ (π‘“β€˜(1rβ€˜π‘)) = 1)
9385, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ (π‘“β€˜(1rβ€˜π‘)) = 1)
9493ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 β‰  1 ) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) β†’ (π‘“β€˜(1rβ€˜π‘)) = 1)
9582, 94eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 β‰  1 ) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) β†’ (π‘“β€˜π΄) = 1)
9695fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 β‰  1 ) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) β†’ (βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) = (βˆ—β€˜1))
9796, 73eqtrdi 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 β‰  1 ) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) β†’ (βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) = 1)
9897oveq1d 7431 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 β‰  1 ) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) β†’ ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· -1) = (1 Β· -1))
9950mullidi 11249 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 Β· -1) = -1
10098, 99eqtrdi 2781 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 β‰  1 ) ∧ 𝑓 ∈ π‘Š) β†’ ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· -1) = -1)
101100ifeq1da 4555 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 β‰  1 ) β†’ if(𝑓 ∈ π‘Š, ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· -1), ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· 0)) = if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· 0)))
10219adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 β‰  1 ) β†’ (βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) ∈ β„‚)
103102mul01d 11443 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 β‰  1 ) β†’ ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· 0) = 0)
104103ifeq2d 4544 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 β‰  1 ) β†’ if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· 0)) = if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))
105101, 104eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 β‰  1 ) β†’ if(𝑓 ∈ π‘Š, ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· -1), ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· 0)) = if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))
10679, 105eqtrid 2777 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 β‰  1 ) β†’ ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)) = if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))
10778, 106sylan2br 593 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝑓 = 1 ) β†’ ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)) = if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))
10877, 107ifeq12da 4557 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ if(𝑓 = 1 , ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· 1), ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))) = if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)))
10963, 108eqtrid 2777 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))) = if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)))
110109oveq2d 7432 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ ((logβ€˜π‘₯) Β· ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)))) = ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))))
11162, 110eqtrd 2765 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)))) = ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))))
11260, 111oveq12d 7434 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ (((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛))) βˆ’ ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛))) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)))))
11359, 112eqtrd 2765 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛))) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)))))
114113sumeq2dv 15681 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑓 ∈ 𝐷 ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))))) = Σ𝑓 ∈ 𝐷 (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛))) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)))))
115 fzfid 13970 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∈ Fin)
116 inss1 4223 . . . . . . . . 9 ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇) βŠ† (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))
117 ssfi 9196 . . . . . . . . 9 (((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∈ Fin ∧ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇) βŠ† (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇) ∈ Fin)
118115, 116, 117sylancl 584 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇) ∈ Fin)
1192phicld 16740 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Ο•β€˜π‘) ∈ β„•)
120119nncnd 12258 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Ο•β€˜π‘) ∈ β„‚)
121116a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇) βŠ† (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)))
122121sselda 3972 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)) β†’ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)))
123122, 39syldan 589 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)) β†’ ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛) ∈ β„‚)
124118, 120, 123fsummulc2 15762 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ο•β€˜π‘) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)))
125120adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (Ο•β€˜π‘) ∈ β„‚)
126125, 39mulcld 11264 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((Ο•β€˜π‘) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) ∈ β„‚)
127122, 126syldan 589 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)) β†’ ((Ο•β€˜π‘) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) ∈ β„‚)
128127ralrimiva 3136 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆ€π‘› ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ο•β€˜π‘) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) ∈ β„‚)
129115olcd 872 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) βŠ† (β„€β‰₯β€˜1) ∨ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∈ Fin))
130 sumss2 15704 . . . . . . . 8 (((((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇) βŠ† (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘› ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ο•β€˜π‘) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) ∈ β„‚) ∧ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) βŠ† (β„€β‰₯β€˜1) ∨ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∈ Fin)) β†’ Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ο•β€˜π‘) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))if(𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇), ((Ο•β€˜π‘) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)), 0))
131121, 128, 129, 130syl21anc 836 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ο•β€˜π‘) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))if(𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇), ((Ο•β€˜π‘) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)), 0))
132 elin 3955 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇) ↔ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑇))
133132baib 534 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ (𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇) ↔ 𝑛 ∈ 𝑇))
134133adantl 480 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇) ↔ 𝑛 ∈ 𝑇))
135 rpvmasum2.t . . . . . . . . . . . . 13 𝑇 = (◑𝐿 β€œ {𝐴})
136135eleq2i 2817 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ 𝑇 ↔ 𝑛 ∈ (◑𝐿 β€œ {𝐴}))
13727ffnd 6718 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝐿 Fn β„€)
138 fniniseg 7064 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐿 Fn β„€ β†’ (𝑛 ∈ (◑𝐿 β€œ {𝐴}) ↔ (𝑛 ∈ β„€ ∧ (πΏβ€˜π‘›) = 𝐴)))
139138baibd 538 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐿 Fn β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ (𝑛 ∈ (◑𝐿 β€œ {𝐴}) ↔ (πΏβ€˜π‘›) = 𝐴))
140137, 28, 139syl2an 594 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (𝑛 ∈ (◑𝐿 β€œ {𝐴}) ↔ (πΏβ€˜π‘›) = 𝐴))
141136, 140bitrid 282 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (𝑛 ∈ 𝑇 ↔ (πΏβ€˜π‘›) = 𝐴))
142134, 141bitr2d 279 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((πΏβ€˜π‘›) = 𝐴 ↔ 𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)))
14339mul02d 11442 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (0 Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) = 0)
144142, 143ifbieq2d 4550 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ if((πΏβ€˜π‘›) = 𝐴, ((Ο•β€˜π‘) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)), (0 Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛))) = if(𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇), ((Ο•β€˜π‘) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)), 0))
145 ovif 7515 . . . . . . . . . 10 (if((πΏβ€˜π‘›) = 𝐴, (Ο•β€˜π‘), 0) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) = if((πΏβ€˜π‘›) = 𝐴, ((Ο•β€˜π‘) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)), (0 Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)))
1461ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
147146, 5syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝐷 ∈ Fin)
14818ad4ant14 750 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ (βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) ∈ β„‚)
14932, 148mulcld 11264 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· (βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄))) ∈ β„‚)
150147, 39, 149fsummulc1 15763 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (Σ𝑓 ∈ 𝐷 ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· (βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄))) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) = Σ𝑓 ∈ 𝐷 (((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· (βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄))) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)))
15114ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
1523, 4, 8, 9, 12, 146, 30, 151sum2dchr 27225 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ Σ𝑓 ∈ 𝐷 ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· (βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄))) = if((πΏβ€˜π‘›) = 𝐴, (Ο•β€˜π‘), 0))
153152oveq1d 7431 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (Σ𝑓 ∈ 𝐷 ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· (βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄))) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) = (if((πΏβ€˜π‘›) = 𝐴, (Ο•β€˜π‘), 0) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)))
15439adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛) ∈ β„‚)
155 mulass 11226 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) ∈ β„‚ ∧ (βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) ∈ β„‚ ∧ ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛) ∈ β„‚) β†’ (((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· (βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄))) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) = ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛))))
156 mul12 11409 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) ∈ β„‚ ∧ (βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) ∈ β„‚ ∧ ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛) ∈ β„‚) β†’ ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛))) = ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛))))
157155, 156eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) ∈ β„‚ ∧ (βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) ∈ β„‚ ∧ ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛) ∈ β„‚) β†’ (((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· (βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄))) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) = ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛))))
15832, 148, 154, 157syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ (((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· (βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄))) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) = ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛))))
159158sumeq2dv 15681 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ Σ𝑓 ∈ 𝐷 (((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· (βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄))) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) = Σ𝑓 ∈ 𝐷 ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛))))
160150, 153, 1593eqtr3d 2773 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (if((πΏβ€˜π‘›) = 𝐴, (Ο•β€˜π‘), 0) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) = Σ𝑓 ∈ 𝐷 ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛))))
161145, 160eqtr3id 2779 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ if((πΏβ€˜π‘›) = 𝐴, ((Ο•β€˜π‘) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)), (0 Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛))) = Σ𝑓 ∈ 𝐷 ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛))))
162144, 161eqtr3d 2767 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ if(𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇), ((Ο•β€˜π‘) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)), 0) = Σ𝑓 ∈ 𝐷 ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛))))
163162sumeq2dv 15681 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))if(𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇), ((Ο•β€˜π‘) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)), 0) = Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑓 ∈ 𝐷 ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛))))
164124, 131, 1633eqtrd 2769 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑓 ∈ 𝐷 ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛))))
165115, 6, 42fsumcom 15753 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑓 ∈ 𝐷 ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛))) = Σ𝑓 ∈ 𝐷 Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛))))
166164, 165eqtrd 2765 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) = Σ𝑓 ∈ 𝐷 Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛))))
1673dchrabl 27205 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝐺 ∈ Abel)
168 ablgrp 19744 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ Abel β†’ 𝐺 ∈ Grp)
1694, 65grpidcl 18926 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ Grp β†’ 1 ∈ 𝐷)
1702, 167, 168, 1694syl 19 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 1 ∈ 𝐷)
17147mulridd 11261 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((logβ€˜π‘₯) Β· 1) = (logβ€˜π‘₯))
172171, 47eqeltrd 2825 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((logβ€˜π‘₯) Β· 1) ∈ β„‚)
173 iftrue 4530 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = 1 β†’ if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)) = 1)
174173oveq2d 7432 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 1 β†’ ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))) = ((logβ€˜π‘₯) Β· 1))
175174sumsn 15724 . . . . . . . . 9 (( 1 ∈ 𝐷 ∧ ((logβ€˜π‘₯) Β· 1) ∈ β„‚) β†’ Σ𝑓 ∈ { 1 } ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))) = ((logβ€˜π‘₯) Β· 1))
176170, 172, 175syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑓 ∈ { 1 } ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))) = ((logβ€˜π‘₯) Β· 1))
177 eldifsn 4786 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 }) ↔ (𝑓 ∈ 𝐷 ∧ 𝑓 β‰  1 ))
178 ifnefalse 4536 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 β‰  1 β†’ if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)) = if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))
179178ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ 𝐷 ∧ 𝑓 β‰  1 )) β†’ if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)) = if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))
180 negeq 11482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (if(𝑓 ∈ π‘Š, 1, 0) = 1 β†’ -if(𝑓 ∈ π‘Š, 1, 0) = -1)
181 negeq 11482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (if(𝑓 ∈ π‘Š, 1, 0) = 0 β†’ -if(𝑓 ∈ π‘Š, 1, 0) = -0)
182 neg0 11536 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -0 = 0
183181, 182eqtrdi 2781 . . . . . . . . . . . . . . 15 (if(𝑓 ∈ π‘Š, 1, 0) = 0 β†’ -if(𝑓 ∈ π‘Š, 1, 0) = 0)
184180, 183ifsb 4537 . . . . . . . . . . . . . 14 -if(𝑓 ∈ π‘Š, 1, 0) = if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)
185179, 184eqtr4di 2783 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ 𝐷 ∧ 𝑓 β‰  1 )) β†’ if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)) = -if(𝑓 ∈ π‘Š, 1, 0))
186185oveq2d 7432 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ 𝐷 ∧ 𝑓 β‰  1 )) β†’ ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))) = ((logβ€˜π‘₯) Β· -if(𝑓 ∈ π‘Š, 1, 0)))
18747adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ 𝐷 ∧ 𝑓 β‰  1 )) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
18849, 51ifcli 4571 . . . . . . . . . . . . 13 if(𝑓 ∈ π‘Š, 1, 0) ∈ β„‚
189 mulneg2 11681 . . . . . . . . . . . . 13 (((logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ if(𝑓 ∈ π‘Š, 1, 0) ∈ β„‚) β†’ ((logβ€˜π‘₯) Β· -if(𝑓 ∈ π‘Š, 1, 0)) = -((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 ∈ π‘Š, 1, 0)))
190187, 188, 189sylancl 584 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ 𝐷 ∧ 𝑓 β‰  1 )) β†’ ((logβ€˜π‘₯) Β· -if(𝑓 ∈ π‘Š, 1, 0)) = -((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 ∈ π‘Š, 1, 0)))
191186, 190eqtrd 2765 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ 𝐷 ∧ 𝑓 β‰  1 )) β†’ ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))) = -((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 ∈ π‘Š, 1, 0)))
192177, 191sylan2b 592 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 })) β†’ ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))) = -((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 ∈ π‘Š, 1, 0)))
193192sumeq2dv 15681 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑓 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 })((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))) = Σ𝑓 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 })-((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 ∈ π‘Š, 1, 0)))
194 diffi 9202 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ Fin β†’ (𝐷 βˆ– { 1 }) ∈ Fin)
1956, 194syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (𝐷 βˆ– { 1 }) ∈ Fin)
19647adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 })) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
197 mulcl 11222 . . . . . . . . . . 11 (((logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ if(𝑓 ∈ π‘Š, 1, 0) ∈ β„‚) β†’ ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 ∈ π‘Š, 1, 0)) ∈ β„‚)
198196, 188, 197sylancl 584 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 })) β†’ ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 ∈ π‘Š, 1, 0)) ∈ β„‚)
199195, 198fsumneg 15765 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑓 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 })-((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 ∈ π‘Š, 1, 0)) = -Σ𝑓 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 })((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 ∈ π‘Š, 1, 0)))
200188a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 })) β†’ if(𝑓 ∈ π‘Š, 1, 0) ∈ β„‚)
201195, 47, 200fsummulc2 15762 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((logβ€˜π‘₯) Β· Σ𝑓 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 })if(𝑓 ∈ π‘Š, 1, 0)) = Σ𝑓 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 })((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 ∈ π‘Š, 1, 0)))
202 rpvmasum2.w . . . . . . . . . . . . . . . . 17 π‘Š = {𝑦 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 }) ∣ Ξ£π‘š ∈ β„• ((π‘¦β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = 0}
203202ssrab3 4072 . . . . . . . . . . . . . . . 16 π‘Š βŠ† (𝐷 βˆ– { 1 })
204 difss 4124 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐷 βˆ– { 1 }) βŠ† 𝐷
205203, 204sstri 3982 . . . . . . . . . . . . . . 15 π‘Š βŠ† 𝐷
206 ssfi 9196 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ Fin ∧ π‘Š βŠ† 𝐷) β†’ π‘Š ∈ Fin)
2076, 205, 206sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘Š ∈ Fin)
208 fsumconst 15768 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ Fin ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ Σ𝑓 ∈ π‘Š 1 = ((β™―β€˜π‘Š) Β· 1))
209207, 49, 208sylancl 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑓 ∈ π‘Š 1 = ((β™―β€˜π‘Š) Β· 1))
210203a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘Š βŠ† (𝐷 βˆ– { 1 }))
21149a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 1 ∈ β„‚)
212211ralrimivw 3140 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆ€π‘“ ∈ π‘Š 1 ∈ β„‚)
213195olcd 872 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((𝐷 βˆ– { 1 }) βŠ† (β„€β‰₯β€˜1) ∨ (𝐷 βˆ– { 1 }) ∈ Fin))
214 sumss2 15704 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Š βŠ† (𝐷 βˆ– { 1 }) ∧ βˆ€π‘“ ∈ π‘Š 1 ∈ β„‚) ∧ ((𝐷 βˆ– { 1 }) βŠ† (β„€β‰₯β€˜1) ∨ (𝐷 βˆ– { 1 }) ∈ Fin)) β†’ Σ𝑓 ∈ π‘Š 1 = Σ𝑓 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 })if(𝑓 ∈ π‘Š, 1, 0))
215210, 212, 213, 214syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑓 ∈ π‘Š 1 = Σ𝑓 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 })if(𝑓 ∈ π‘Š, 1, 0))
216 hashcl 14347 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Š ∈ Fin β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0)
217207, 216syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0)
218217nn0cnd 12564 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„‚)
219218mulridd 11261 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) Β· 1) = (β™―β€˜π‘Š))
220209, 215, 2193eqtr3d 2773 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑓 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 })if(𝑓 ∈ π‘Š, 1, 0) = (β™―β€˜π‘Š))
221220oveq2d 7432 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((logβ€˜π‘₯) Β· Σ𝑓 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 })if(𝑓 ∈ π‘Š, 1, 0)) = ((logβ€˜π‘₯) Β· (β™―β€˜π‘Š)))
222201, 221eqtr3d 2767 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑓 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 })((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 ∈ π‘Š, 1, 0)) = ((logβ€˜π‘₯) Β· (β™―β€˜π‘Š)))
223222negeqd 11484 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ -Σ𝑓 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 })((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 ∈ π‘Š, 1, 0)) = -((logβ€˜π‘₯) Β· (β™―β€˜π‘Š)))
224193, 199, 2233eqtrd 2769 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑓 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 })((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))) = -((logβ€˜π‘₯) Β· (β™―β€˜π‘Š)))
225176, 224oveq12d 7434 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Σ𝑓 ∈ { 1 } ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))) + Σ𝑓 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 })((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)))) = (((logβ€˜π‘₯) Β· 1) + -((logβ€˜π‘₯) Β· (β™―β€˜π‘Š))))
22647, 218mulcld 11264 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((logβ€˜π‘₯) Β· (β™―β€˜π‘Š)) ∈ β„‚)
227172, 226negsubd 11607 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (((logβ€˜π‘₯) Β· 1) + -((logβ€˜π‘₯) Β· (β™―β€˜π‘Š))) = (((logβ€˜π‘₯) Β· 1) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· (β™―β€˜π‘Š))))
228225, 227eqtrd 2765 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Σ𝑓 ∈ { 1 } ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))) + Σ𝑓 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 })((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)))) = (((logβ€˜π‘₯) Β· 1) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· (β™―β€˜π‘Š))))
229 disjdif 4467 . . . . . . . 8 ({ 1 } ∩ (𝐷 βˆ– { 1 })) = βˆ…
230229a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ({ 1 } ∩ (𝐷 βˆ– { 1 })) = βˆ…)
231 undif2 4472 . . . . . . . 8 ({ 1 } βˆͺ (𝐷 βˆ– { 1 })) = ({ 1 } βˆͺ 𝐷)
232170snssd 4808 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ { 1 } βŠ† 𝐷)
233 ssequn1 4174 . . . . . . . . 9 ({ 1 } βŠ† 𝐷 ↔ ({ 1 } βˆͺ 𝐷) = 𝐷)
234232, 233sylib 217 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ({ 1 } βˆͺ 𝐷) = 𝐷)
235231, 234eqtr2id 2778 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝐷 = ({ 1 } βˆͺ (𝐷 βˆ– { 1 })))
236230, 235, 6, 55fsumsplit 15719 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑓 ∈ 𝐷 ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))) = (Σ𝑓 ∈ { 1 } ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))) + Σ𝑓 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 })((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)))))
23747, 211, 218subdid 11700 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((logβ€˜π‘₯) Β· (1 βˆ’ (β™―β€˜π‘Š))) = (((logβ€˜π‘₯) Β· 1) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· (β™―β€˜π‘Š))))
238228, 236, 2373eqtr4rd 2776 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((logβ€˜π‘₯) Β· (1 βˆ’ (β™―β€˜π‘Š))) = Σ𝑓 ∈ 𝐷 ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))))
239166, 238oveq12d 7434 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· (1 βˆ’ (β™―β€˜π‘Š)))) = (Σ𝑓 ∈ 𝐷 Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛))) βˆ’ Σ𝑓 ∈ 𝐷 ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)))))
24056, 114, 2393eqtr4d 2775 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑓 ∈ 𝐷 ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))))) = (((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· (1 βˆ’ (β™―β€˜π‘Š)))))
241240mpteq2dva 5243 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑓 ∈ 𝐷 ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)))))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· (1 βˆ’ (β™―β€˜π‘Š))))))
242 rpssre 13013 . . . 4 ℝ+ βŠ† ℝ
243242a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ ℝ+ βŠ† ℝ)
2441, 5syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ Fin)
24517adantlr 713 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ (π‘“β€˜π΄) ∈ β„‚)
246245cjcld 15175 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ (βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) ∈ β„‚)
24758, 55subcld 11601 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)))) ∈ β„‚)
248246, 247mulcld 11264 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))))) ∈ β„‚)
249248anasss 465 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷)) β†’ ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))))) ∈ β„‚)
25018adantr 479 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) ∈ β„‚)
251247an32s 650 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)))) ∈ β„‚)
252 o1const 15596 . . . . 5 ((ℝ+ βŠ† ℝ ∧ (βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄))) ∈ 𝑂(1))
253242, 18, 252sylancr 585 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄))) ∈ 𝑂(1))
254 fveq1 6891 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = 1 β†’ (π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) = ( 1 β€˜(πΏβ€˜π‘›)))
255254oveq1d 7431 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = 1 β†’ ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) = (( 1 β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)))
256255sumeq2sdv 15682 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 1 β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(( 1 β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)))
257256, 174oveq12d 7434 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 1 β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(( 1 β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· 1)))
258257adantl 480 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(( 1 β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· 1)))
25945recnd 11272 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
260259mulridd 11261 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ ((logβ€˜π‘₯) Β· 1) = (logβ€˜π‘₯))
261260oveq2d 7432 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(( 1 β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· 1)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(( 1 β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯)))
262258, 261sylan9eq 2785 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(( 1 β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯)))
263262mpteq2dva 5243 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(( 1 β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯))))
2648, 23, 1, 3, 4, 65rpvmasumlem 27438 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(( 1 β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯))) ∈ 𝑂(1))
265264ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(( 1 β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯))) ∈ 𝑂(1))
266263, 265eqeltrd 2825 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))))) ∈ 𝑂(1))
267178oveq2d 7432 . . . . . . . . . 10 (𝑓 β‰  1 β†’ ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))) = ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)))
268267oveq2d 7432 . . . . . . . . 9 (𝑓 β‰  1 β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))))
26947adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
270 mulcom 11224 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ -1 ∈ β„‚) β†’ ((logβ€˜π‘₯) Β· -1) = (-1 Β· (logβ€˜π‘₯)))
271269, 50, 270sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((logβ€˜π‘₯) Β· -1) = (-1 Β· (logβ€˜π‘₯)))
272269mulm1d 11696 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (-1 Β· (logβ€˜π‘₯)) = -(logβ€˜π‘₯))
273271, 272eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((logβ€˜π‘₯) Β· -1) = -(logβ€˜π‘₯))
274269mul01d 11443 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((logβ€˜π‘₯) Β· 0) = 0)
275273, 274ifeq12d 4545 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ if(𝑓 ∈ π‘Š, ((logβ€˜π‘₯) Β· -1), ((logβ€˜π‘₯) Β· 0)) = if(𝑓 ∈ π‘Š, -(logβ€˜π‘₯), 0))
276 ovif2 7516 . . . . . . . . . . . 12 ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)) = if(𝑓 ∈ π‘Š, ((logβ€˜π‘₯) Β· -1), ((logβ€˜π‘₯) Β· 0))
277 negeq 11482 . . . . . . . . . . . . 13 (if(𝑓 ∈ π‘Š, (logβ€˜π‘₯), 0) = (logβ€˜π‘₯) β†’ -if(𝑓 ∈ π‘Š, (logβ€˜π‘₯), 0) = -(logβ€˜π‘₯))
278 negeq 11482 . . . . . . . . . . . . . 14 (if(𝑓 ∈ π‘Š, (logβ€˜π‘₯), 0) = 0 β†’ -if(𝑓 ∈ π‘Š, (logβ€˜π‘₯), 0) = -0)
279278, 182eqtrdi 2781 . . . . . . . . . . . . 13 (if(𝑓 ∈ π‘Š, (logβ€˜π‘₯), 0) = 0 β†’ -if(𝑓 ∈ π‘Š, (logβ€˜π‘₯), 0) = 0)
280277, 279ifsb 4537 . . . . . . . . . . . 12 -if(𝑓 ∈ π‘Š, (logβ€˜π‘₯), 0) = if(𝑓 ∈ π‘Š, -(logβ€˜π‘₯), 0)
281275, 276, 2803eqtr4g 2790 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)) = -if(𝑓 ∈ π‘Š, (logβ€˜π‘₯), 0))
282281oveq2d 7432 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ -if(𝑓 ∈ π‘Š, (logβ€˜π‘₯), 0)))
28358an32s 650 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) ∈ β„‚)
284 ifcl 4569 . . . . . . . . . . . 12 (((logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ 0 ∈ β„‚) β†’ if(𝑓 ∈ π‘Š, (logβ€˜π‘₯), 0) ∈ β„‚)
285269, 51, 284sylancl 584 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ if(𝑓 ∈ π‘Š, (logβ€˜π‘₯), 0) ∈ β„‚)
286283, 285subnegd 11608 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ -if(𝑓 ∈ π‘Š, (logβ€˜π‘₯), 0)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) + if(𝑓 ∈ π‘Š, (logβ€˜π‘₯), 0)))
287282, 286eqtrd 2765 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) + if(𝑓 ∈ π‘Š, (logβ€˜π‘₯), 0)))
288268, 287sylan9eqr 2787 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 β‰  1 ) β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) + if(𝑓 ∈ π‘Š, (logβ€˜π‘₯), 0)))
289288an32s 650 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 β‰  1 ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) + if(𝑓 ∈ π‘Š, (logβ€˜π‘₯), 0)))
290289mpteq2dva 5243 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 β‰  1 ) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) + if(𝑓 ∈ π‘Š, (logβ€˜π‘₯), 0))))
2911ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 β‰  1 ) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
292 simplr 767 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 β‰  1 ) β†’ 𝑓 ∈ 𝐷)
293 simpr 483 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 β‰  1 ) β†’ 𝑓 β‰  1 )
294 eqid 2725 . . . . . . . 8 (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž)) = (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))
2958, 23, 291, 3, 4, 65, 292, 293, 294dchrmusumlema 27444 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 β‰  1 ) β†’ βˆƒπ‘‘βˆƒπ‘ ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž)))β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / 𝑦)))
2961adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
297296ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 β‰  1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž)))β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / 𝑦)))) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
298292adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 β‰  1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž)))β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / 𝑦)))) β†’ 𝑓 ∈ 𝐷)
299 simplr 767 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 β‰  1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž)))β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / 𝑦)))) β†’ 𝑓 β‰  1 )
300 simprl 769 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 β‰  1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž)))β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / 𝑦)))) β†’ 𝑐 ∈ (0[,)+∞))
301 simprrl 779 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 β‰  1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž)))β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / 𝑦)))) β†’ seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))) ⇝ 𝑑)
302 simprrr 780 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 β‰  1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž)))β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / 𝑦)))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž)))β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / 𝑦))
3038, 23, 297, 3, 4, 65, 298, 299, 294, 300, 301, 302, 202dchrvmaeq0 27455 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 β‰  1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž)))β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / 𝑦)))) β†’ (𝑓 ∈ π‘Š ↔ 𝑑 = 0))
304 ifbi 4546 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 ∈ π‘Š ↔ 𝑑 = 0) β†’ if(𝑓 ∈ π‘Š, (logβ€˜π‘₯), 0) = if(𝑑 = 0, (logβ€˜π‘₯), 0))
305304oveq2d 7432 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 ∈ π‘Š ↔ 𝑑 = 0) β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) + if(𝑓 ∈ π‘Š, (logβ€˜π‘₯), 0)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) + if(𝑑 = 0, (logβ€˜π‘₯), 0)))
306305mpteq2dv 5245 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 ∈ π‘Š ↔ 𝑑 = 0) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) + if(𝑓 ∈ π‘Š, (logβ€˜π‘₯), 0))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) + if(𝑑 = 0, (logβ€˜π‘₯), 0))))
307303, 306syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 β‰  1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž)))β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / 𝑦)))) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) + if(𝑓 ∈ π‘Š, (logβ€˜π‘₯), 0))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) + if(𝑑 = 0, (logβ€˜π‘₯), 0))))
3088, 23, 297, 3, 4, 65, 298, 299, 294, 300, 301, 302dchrvmasumif 27454 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 β‰  1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž)))β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / 𝑦)))) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) + if(𝑑 = 0, (logβ€˜π‘₯), 0))) ∈ 𝑂(1))
309307, 308eqeltrd 2825 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 β‰  1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž)))β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / 𝑦)))) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) + if(𝑓 ∈ π‘Š, (logβ€˜π‘₯), 0))) ∈ 𝑂(1))
310309rexlimdvaa 3146 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 β‰  1 ) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž)))β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / 𝑦)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) + if(𝑓 ∈ π‘Š, (logβ€˜π‘₯), 0))) ∈ 𝑂(1)))
311310exlimdv 1928 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 β‰  1 ) β†’ (βˆƒπ‘‘βˆƒπ‘ ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž)))β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / 𝑦)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) + if(𝑓 ∈ π‘Š, (logβ€˜π‘₯), 0))) ∈ 𝑂(1)))
312295, 311mpd 15 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 β‰  1 ) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) + if(𝑓 ∈ π‘Š, (logβ€˜π‘₯), 0))) ∈ 𝑂(1))
313290, 312eqeltrd 2825 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) ∧ 𝑓 β‰  1 ) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))))) ∈ 𝑂(1))
314266, 313pm2.61dane 3019 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0))))) ∈ 𝑂(1))
315250, 251, 253, 314o1mul2 15601 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐷) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)))))) ∈ 𝑂(1))
316243, 244, 249, 315fsumo1 15790 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑓 ∈ 𝐷 ((βˆ—β€˜(π‘“β€˜π΄)) Β· (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘“β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· ((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓 ∈ π‘Š, -1, 0)))))) ∈ 𝑂(1))
317241, 316eqeltrrd 2826 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ 𝑇)((Ξ›β€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ ((logβ€˜π‘₯) Β· (1 βˆ’ (β™―β€˜π‘Š))))) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∧ w3a 1084   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060  {crab 3419   βˆ– cdif 3936   βˆͺ cun 3937   ∩ cin 3938   βŠ† wss 3939  βˆ…c0 4318  ifcif 4524  {csn 4624   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226  β—‘ccnv 5671   β€œ cima 5675   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€“ontoβ†’wfo 6541  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Fincfn 8962  β„‚cc 11136  β„cr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   Β· cmul 11143  +∞cpnf 11275   ≀ cle 11279   βˆ’ cmin 11474  -cneg 11475   / cdiv 11901  β„•cn 12242  β„•0cn0 12502  β„€cz 12588  β„€β‰₯cuz 12852  β„+crp 13006  [,)cico 13358  ...cfz 13516  βŒŠcfl 13787  seqcseq 13998  β™―chash 14321  βˆ—ccj 15075  abscabs 15213   ⇝ cli 15460  π‘‚(1)co1 15462  Ξ£csu 15664  Ο•cphi 16732  Basecbs 17179  0gc0g 17420   MndHom cmhm 18737  Grpcgrp 18894  Abelcabl 19740  mulGrpcmgp 20078  1rcur 20125  Unitcui 20298  β„‚fldccnfld 21283  β„€RHomczrh 21429  β„€/nβ„€czn 21432  logclog 26506  Ξ›cvma 27042  DChrcdchr 27183
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217  ax-mulf 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5109  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-rpss 7726  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-omul 8490  df-er 8723  df-ec 8725  df-qs 8729  df-map 8845  df-pm 8846  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-dju 9924  df-card 9962  df-acn 9965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13360  df-ioc 13361  df-ico 13362  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-mod 13867  df-seq 13999  df-exp 14059  df-fac 14265  df-bc 14294  df-hash 14322  df-word 14497  df-concat 14553  df-s1 14578  df-shft 15046  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-limsup 15447  df-clim 15464  df-rlim 15465  df-o1 15466  df-lo1 15467  df-sum 15665  df-ef 16043  df-e 16044  df-sin 16045  df-cos 16046  df-tan 16047  df-pi 16048  df-dvds 16231  df-gcd 16469  df-prm 16642  df-phi 16734  df-pc 16805  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-rest 17403  df-topn 17404  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-topgen 17424  df-pt 17425  df-prds 17428  df-xrs 17483  df-qtop 17488  df-imas 17489  df-qus 17490  df-xps 17491  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18739  df-submnd 18740  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-mulg 19028  df-subg 19082  df-nsg 19083  df-eqg 19084  df-ghm 19172  df-gim 19217  df-ga 19245  df-cntz 19272  df-oppg 19301  df-od 19487  df-gex 19488  df-pgp 19489  df-lsm 19595  df-pj1 19596  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-cyg 19837  df-dprd 19956  df-dpj 19957  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-cring 20180  df-oppr 20277  df-dvdsr 20300  df-unit 20301  df-invr 20331  df-dvr 20344  df-rhm 20415  df-subrng 20487  df-subrg 20512  df-drng 20630  df-lmod 20749  df-lss 20820  df-lsp 20860  df-sra 21062  df-rgmod 21063  df-lidl 21108  df-rsp 21109  df-2idl 21148  df-psmet 21275  df-xmet 21276  df-met 21277  df-bl 21278  df-mopn 21279  df-fbas 21280  df-fg 21281  df-cnfld 21284  df-zring 21377  df-zrh 21433  df-zn 21436  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-cld 22941  df-ntr 22942  df-cls 22943  df-nei 23020  df-lp 23058  df-perf 23059  df-cn 23149  df-cnp 23150  df-haus 23237  df-cmp 23309  df-tx 23484  df-hmeo 23677  df-fil 23768  df-fm 23860  df-flim 23861  df-flf 23862  df-xms 24244  df-ms 24245  df-tms 24246  df-cncf 24816  df-0p 25617  df-limc 25813  df-dv 25814  df-ply 26140  df-idp 26141  df-coe 26142  df-dgr 26143  df-quot 26244  df-ulm 26331  df-log 26508  df-cxp 26509  df-atan 26817  df-em 26943  df-cht 27047  df-vma 27048  df-chp 27049  df-ppi 27050  df-mu 27051  df-dchr 27184
This theorem is referenced by:  dchrisum0re  27464  rpvmasum  27477
  Copyright terms: Public domain W3C validator