MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumcube Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumcube 15950
Description: Express the sum of cubes in closed terms. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
fsumcube (๐‘‡ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘‡)(๐‘˜โ†‘3) = (((๐‘‡โ†‘2) ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘2)) / 4))
Distinct variable group:   ๐‘‡,๐‘˜

Proof of Theorem fsumcube
StepHypRef Expression
1 3nn0 12438 . . 3 3 โˆˆ โ„•0
2 fsumkthpow 15946 . . 3 ((3 โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„•0) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘‡)(๐‘˜โ†‘3) = ((((3 + 1) BernPoly (๐‘‡ + 1)) โˆ’ ((3 + 1) BernPoly 0)) / (3 + 1)))
31, 2mpan 689 . 2 (๐‘‡ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘‡)(๐‘˜โ†‘3) = ((((3 + 1) BernPoly (๐‘‡ + 1)) โˆ’ ((3 + 1) BernPoly 0)) / (3 + 1)))
4 df-4 12225 . . . . . 6 4 = (3 + 1)
54oveq1i 7372 . . . . 5 (4 BernPoly (๐‘‡ + 1)) = ((3 + 1) BernPoly (๐‘‡ + 1))
64oveq1i 7372 . . . . 5 (4 BernPoly 0) = ((3 + 1) BernPoly 0)
75, 6oveq12i 7374 . . . 4 ((4 BernPoly (๐‘‡ + 1)) โˆ’ (4 BernPoly 0)) = (((3 + 1) BernPoly (๐‘‡ + 1)) โˆ’ ((3 + 1) BernPoly 0))
87, 4oveq12i 7374 . . 3 (((4 BernPoly (๐‘‡ + 1)) โˆ’ (4 BernPoly 0)) / 4) = ((((3 + 1) BernPoly (๐‘‡ + 1)) โˆ’ ((3 + 1) BernPoly 0)) / (3 + 1))
9 nn0cn 12430 . . . . . . . 8 (๐‘‡ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„‚)
10 peano2cn 11334 . . . . . . . 8 (๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘‡ + 1) โˆˆ โ„‚)
119, 10syl 17 . . . . . . 7 (๐‘‡ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘‡ + 1) โˆˆ โ„‚)
12 bpoly4 15949 . . . . . . 7 ((๐‘‡ + 1) โˆˆ โ„‚ โ†’ (4 BernPoly (๐‘‡ + 1)) = (((((๐‘‡ + 1)โ†‘4) โˆ’ (2 ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘3))) + ((๐‘‡ + 1)โ†‘2)) โˆ’ (1 / 30)))
1311, 12syl 17 . . . . . 6 (๐‘‡ โˆˆ โ„•0 โ†’ (4 BernPoly (๐‘‡ + 1)) = (((((๐‘‡ + 1)โ†‘4) โˆ’ (2 ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘3))) + ((๐‘‡ + 1)โ†‘2)) โˆ’ (1 / 30)))
14 4nn 12243 . . . . . . . . . . . . . 14 4 โˆˆ โ„•
15 0exp 14010 . . . . . . . . . . . . . 14 (4 โˆˆ โ„• โ†’ (0โ†‘4) = 0)
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (0โ†‘4) = 0
17 3nn 12239 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 โˆˆ โ„•
18 0exp 14010 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (3 โˆˆ โ„• โ†’ (0โ†‘3) = 0)
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0โ†‘3) = 0
2019oveq2i 7373 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 ยท (0โ†‘3)) = (2 ยท 0)
21 2t0e0 12329 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 ยท 0) = 0
2220, 21eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ยท (0โ†‘3)) = 0
2316, 22oveq12i 7374 . . . . . . . . . . . 12 ((0โ†‘4) โˆ’ (2 ยท (0โ†‘3))) = (0 โˆ’ 0)
24 0m0e0 12280 . . . . . . . . . . . 12 (0 โˆ’ 0) = 0
2523, 24eqtri 2765 . . . . . . . . . . 11 ((0โ†‘4) โˆ’ (2 ยท (0โ†‘3))) = 0
26 sq0 14103 . . . . . . . . . . 11 (0โ†‘2) = 0
2725, 26oveq12i 7374 . . . . . . . . . 10 (((0โ†‘4) โˆ’ (2 ยท (0โ†‘3))) + (0โ†‘2)) = (0 + 0)
28 00id 11337 . . . . . . . . . 10 (0 + 0) = 0
2927, 28eqtri 2765 . . . . . . . . 9 (((0โ†‘4) โˆ’ (2 ยท (0โ†‘3))) + (0โ†‘2)) = 0
3029oveq1i 7372 . . . . . . . 8 ((((0โ†‘4) โˆ’ (2 ยท (0โ†‘3))) + (0โ†‘2)) โˆ’ (1 / 30)) = (0 โˆ’ (1 / 30))
31 0cn 11154 . . . . . . . . 9 0 โˆˆ โ„‚
32 bpoly4 15949 . . . . . . . . 9 (0 โˆˆ โ„‚ โ†’ (4 BernPoly 0) = ((((0โ†‘4) โˆ’ (2 ยท (0โ†‘3))) + (0โ†‘2)) โˆ’ (1 / 30)))
3331, 32ax-mp 5 . . . . . . . 8 (4 BernPoly 0) = ((((0โ†‘4) โˆ’ (2 ยท (0โ†‘3))) + (0โ†‘2)) โˆ’ (1 / 30))
34 df-neg 11395 . . . . . . . 8 -(1 / 30) = (0 โˆ’ (1 / 30))
3530, 33, 343eqtr4i 2775 . . . . . . 7 (4 BernPoly 0) = -(1 / 30)
3635a1i 11 . . . . . 6 (๐‘‡ โˆˆ โ„•0 โ†’ (4 BernPoly 0) = -(1 / 30))
3713, 36oveq12d 7380 . . . . 5 (๐‘‡ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((4 BernPoly (๐‘‡ + 1)) โˆ’ (4 BernPoly 0)) = ((((((๐‘‡ + 1)โ†‘4) โˆ’ (2 ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘3))) + ((๐‘‡ + 1)โ†‘2)) โˆ’ (1 / 30)) โˆ’ -(1 / 30)))
38 4nn0 12439 . . . . . . . . . . . 12 4 โˆˆ โ„•0
39 expcl 13992 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘‡ + 1) โˆˆ โ„‚ โˆง 4 โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘‡ + 1)โ†‘4) โˆˆ โ„‚)
4038, 39mpan2 690 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‡ + 1) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘‡ + 1)โ†‘4) โˆˆ โ„‚)
41 2cn 12235 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆˆ โ„‚
42 expcl 13992 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘‡ + 1) โˆˆ โ„‚ โˆง 3 โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘‡ + 1)โ†‘3) โˆˆ โ„‚)
431, 42mpan2 690 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‡ + 1) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘‡ + 1)โ†‘3) โˆˆ โ„‚)
44 mulcl 11142 . . . . . . . . . . . 12 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘‡ + 1)โ†‘3) โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘3)) โˆˆ โ„‚)
4541, 43, 44sylancr 588 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‡ + 1) โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘3)) โˆˆ โ„‚)
4640, 45subcld 11519 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‡ + 1) โˆˆ โ„‚ โ†’ (((๐‘‡ + 1)โ†‘4) โˆ’ (2 ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘3))) โˆˆ โ„‚)
47 sqcl 14030 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‡ + 1) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘‡ + 1)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
4846, 47addcld 11181 . . . . . . . . 9 ((๐‘‡ + 1) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((((๐‘‡ + 1)โ†‘4) โˆ’ (2 ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘3))) + ((๐‘‡ + 1)โ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
4910, 48syl 17 . . . . . . . 8 (๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((((๐‘‡ + 1)โ†‘4) โˆ’ (2 ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘3))) + ((๐‘‡ + 1)โ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
509, 49syl 17 . . . . . . 7 (๐‘‡ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((((๐‘‡ + 1)โ†‘4) โˆ’ (2 ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘3))) + ((๐‘‡ + 1)โ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
51 0nn0 12435 . . . . . . . . . 10 0 โˆˆ โ„•0
521, 51deccl 12640 . . . . . . . . 9 30 โˆˆ โ„•0
5352nn0cni 12432 . . . . . . . 8 30 โˆˆ โ„‚
5452nn0rei 12431 . . . . . . . . 9 30 โˆˆ โ„
55 10pos 12642 . . . . . . . . . 10 0 < 10
5617, 51, 51, 55declti 12663 . . . . . . . . 9 0 < 30
5754, 56gt0ne0ii 11698 . . . . . . . 8 30 โ‰  0
5853, 57reccli 11892 . . . . . . 7 (1 / 30) โˆˆ โ„‚
59 subcl 11407 . . . . . . 7 ((((((๐‘‡ + 1)โ†‘4) โˆ’ (2 ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘3))) + ((๐‘‡ + 1)โ†‘2)) โˆˆ โ„‚ โˆง (1 / 30) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((((๐‘‡ + 1)โ†‘4) โˆ’ (2 ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘3))) + ((๐‘‡ + 1)โ†‘2)) โˆ’ (1 / 30)) โˆˆ โ„‚)
6050, 58, 59sylancl 587 . . . . . 6 (๐‘‡ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((((๐‘‡ + 1)โ†‘4) โˆ’ (2 ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘3))) + ((๐‘‡ + 1)โ†‘2)) โˆ’ (1 / 30)) โˆˆ โ„‚)
61 subneg 11457 . . . . . 6 (((((((๐‘‡ + 1)โ†‘4) โˆ’ (2 ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘3))) + ((๐‘‡ + 1)โ†‘2)) โˆ’ (1 / 30)) โˆˆ โ„‚ โˆง (1 / 30) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((((๐‘‡ + 1)โ†‘4) โˆ’ (2 ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘3))) + ((๐‘‡ + 1)โ†‘2)) โˆ’ (1 / 30)) โˆ’ -(1 / 30)) = ((((((๐‘‡ + 1)โ†‘4) โˆ’ (2 ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘3))) + ((๐‘‡ + 1)โ†‘2)) โˆ’ (1 / 30)) + (1 / 30)))
6260, 58, 61sylancl 587 . . . . 5 (๐‘‡ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((((((๐‘‡ + 1)โ†‘4) โˆ’ (2 ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘3))) + ((๐‘‡ + 1)โ†‘2)) โˆ’ (1 / 30)) โˆ’ -(1 / 30)) = ((((((๐‘‡ + 1)โ†‘4) โˆ’ (2 ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘3))) + ((๐‘‡ + 1)โ†‘2)) โˆ’ (1 / 30)) + (1 / 30)))
63 npcan 11417 . . . . . . . 8 ((((((๐‘‡ + 1)โ†‘4) โˆ’ (2 ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘3))) + ((๐‘‡ + 1)โ†‘2)) โˆˆ โ„‚ โˆง (1 / 30) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((((๐‘‡ + 1)โ†‘4) โˆ’ (2 ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘3))) + ((๐‘‡ + 1)โ†‘2)) โˆ’ (1 / 30)) + (1 / 30)) = ((((๐‘‡ + 1)โ†‘4) โˆ’ (2 ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘3))) + ((๐‘‡ + 1)โ†‘2)))
6449, 58, 63sylancl 587 . . . . . . 7 (๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((((((๐‘‡ + 1)โ†‘4) โˆ’ (2 ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘3))) + ((๐‘‡ + 1)โ†‘2)) โˆ’ (1 / 30)) + (1 / 30)) = ((((๐‘‡ + 1)โ†‘4) โˆ’ (2 ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘3))) + ((๐‘‡ + 1)โ†‘2)))
659, 64syl 17 . . . . . 6 (๐‘‡ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((((((๐‘‡ + 1)โ†‘4) โˆ’ (2 ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘3))) + ((๐‘‡ + 1)โ†‘2)) โˆ’ (1 / 30)) + (1 / 30)) = ((((๐‘‡ + 1)โ†‘4) โˆ’ (2 ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘3))) + ((๐‘‡ + 1)โ†‘2)))
66 2p2e4 12295 . . . . . . . . . . 11 (2 + 2) = 4
6766eqcomi 2746 . . . . . . . . . 10 4 = (2 + 2)
6867oveq2i 7373 . . . . . . . . 9 ((๐‘‡ + 1)โ†‘4) = ((๐‘‡ + 1)โ†‘(2 + 2))
69 df-3 12224 . . . . . . . . . . 11 3 = (2 + 1)
7069oveq2i 7373 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‡ + 1)โ†‘3) = ((๐‘‡ + 1)โ†‘(2 + 1))
7170oveq2i 7373 . . . . . . . . 9 (2 ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘3)) = (2 ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘(2 + 1)))
7268, 71oveq12i 7374 . . . . . . . 8 (((๐‘‡ + 1)โ†‘4) โˆ’ (2 ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘3))) = (((๐‘‡ + 1)โ†‘(2 + 2)) โˆ’ (2 ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘(2 + 1))))
7372oveq1i 7372 . . . . . . 7 ((((๐‘‡ + 1)โ†‘4) โˆ’ (2 ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘3))) + ((๐‘‡ + 1)โ†‘2)) = ((((๐‘‡ + 1)โ†‘(2 + 2)) โˆ’ (2 ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘(2 + 1)))) + ((๐‘‡ + 1)โ†‘2))
74 2nn0 12437 . . . . . . . . . . . . 13 2 โˆˆ โ„•0
75 expadd 14017 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘‡ + 1) โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„•0 โˆง 2 โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘‡ + 1)โ†‘(2 + 2)) = (((๐‘‡ + 1)โ†‘2) ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘2)))
7674, 74, 75mp3an23 1454 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‡ + 1) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘‡ + 1)โ†‘(2 + 2)) = (((๐‘‡ + 1)โ†‘2) ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘2)))
77 1nn0 12436 . . . . . . . . . . . . . 14 1 โˆˆ โ„•0
78 expadd 14017 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘‡ + 1) โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„•0 โˆง 1 โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘‡ + 1)โ†‘(2 + 1)) = (((๐‘‡ + 1)โ†‘2) ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘1)))
7974, 77, 78mp3an23 1454 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘‡ + 1) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘‡ + 1)โ†‘(2 + 1)) = (((๐‘‡ + 1)โ†‘2) ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘1)))
8079oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‡ + 1) โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘(2 + 1))) = (2 ยท (((๐‘‡ + 1)โ†‘2) ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘1))))
8176, 80oveq12d 7380 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‡ + 1) โˆˆ โ„‚ โ†’ (((๐‘‡ + 1)โ†‘(2 + 2)) โˆ’ (2 ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘(2 + 1)))) = ((((๐‘‡ + 1)โ†‘2) ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘2)) โˆ’ (2 ยท (((๐‘‡ + 1)โ†‘2) ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘1)))))
8210, 81syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โ†’ (((๐‘‡ + 1)โ†‘(2 + 2)) โˆ’ (2 ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘(2 + 1)))) = ((((๐‘‡ + 1)โ†‘2) ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘2)) โˆ’ (2 ยท (((๐‘‡ + 1)โ†‘2) ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘1)))))
8310sqcld 14056 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘‡ + 1)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
8483mulid1d 11179 . . . . . . . . . . 11 (๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โ†’ (((๐‘‡ + 1)โ†‘2) ยท 1) = ((๐‘‡ + 1)โ†‘2))
8584eqcomd 2743 . . . . . . . . . 10 (๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘‡ + 1)โ†‘2) = (((๐‘‡ + 1)โ†‘2) ยท 1))
8682, 85oveq12d 7380 . . . . . . . . 9 (๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((((๐‘‡ + 1)โ†‘(2 + 2)) โˆ’ (2 ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘(2 + 1)))) + ((๐‘‡ + 1)โ†‘2)) = (((((๐‘‡ + 1)โ†‘2) ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘2)) โˆ’ (2 ยท (((๐‘‡ + 1)โ†‘2) ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘1)))) + (((๐‘‡ + 1)โ†‘2) ยท 1)))
8710exp1d 14053 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘‡ + 1)โ†‘1) = (๐‘‡ + 1))
8887oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘1)) = (2 ยท (๐‘‡ + 1)))
8988oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โ†’ (((๐‘‡ + 1)โ†‘2) ยท (2 ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘1))) = (((๐‘‡ + 1)โ†‘2) ยท (2 ยท (๐‘‡ + 1))))
9089oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((((๐‘‡ + 1)โ†‘2) ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘2)) โˆ’ (((๐‘‡ + 1)โ†‘2) ยท (2 ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘1)))) = ((((๐‘‡ + 1)โ†‘2) ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘2)) โˆ’ (((๐‘‡ + 1)โ†‘2) ยท (2 ยท (๐‘‡ + 1)))))
9187, 10eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘‡ + 1)โ†‘1) โˆˆ โ„‚)
92 mul12 11327 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘‡ + 1)โ†‘2) โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘‡ + 1)โ†‘1) โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท (((๐‘‡ + 1)โ†‘2) ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘1))) = (((๐‘‡ + 1)โ†‘2) ยท (2 ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘1))))
9341, 83, 91, 92mp3an2i 1467 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 ยท (((๐‘‡ + 1)โ†‘2) ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘1))) = (((๐‘‡ + 1)โ†‘2) ยท (2 ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘1))))
9493oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((((๐‘‡ + 1)โ†‘2) ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘2)) โˆ’ (2 ยท (((๐‘‡ + 1)โ†‘2) ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘1)))) = ((((๐‘‡ + 1)โ†‘2) ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘2)) โˆ’ (((๐‘‡ + 1)โ†‘2) ยท (2 ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘1)))))
95 mulcl 11142 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡ + 1) โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท (๐‘‡ + 1)) โˆˆ โ„‚)
9641, 10, 95sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 ยท (๐‘‡ + 1)) โˆˆ โ„‚)
9783, 83, 96subdid 11618 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โ†’ (((๐‘‡ + 1)โ†‘2) ยท (((๐‘‡ + 1)โ†‘2) โˆ’ (2 ยท (๐‘‡ + 1)))) = ((((๐‘‡ + 1)โ†‘2) ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘2)) โˆ’ (((๐‘‡ + 1)โ†‘2) ยท (2 ยท (๐‘‡ + 1)))))
9890, 94, 973eqtr4d 2787 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((((๐‘‡ + 1)โ†‘2) ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘2)) โˆ’ (2 ยท (((๐‘‡ + 1)โ†‘2) ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘1)))) = (((๐‘‡ + 1)โ†‘2) ยท (((๐‘‡ + 1)โ†‘2) โˆ’ (2 ยท (๐‘‡ + 1)))))
9998oveq1d 7377 . . . . . . . . . . 11 (๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โ†’ (((((๐‘‡ + 1)โ†‘2) ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘2)) โˆ’ (2 ยท (((๐‘‡ + 1)โ†‘2) ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘1)))) + (((๐‘‡ + 1)โ†‘2) ยท 1)) = ((((๐‘‡ + 1)โ†‘2) ยท (((๐‘‡ + 1)โ†‘2) โˆ’ (2 ยท (๐‘‡ + 1)))) + (((๐‘‡ + 1)โ†‘2) ยท 1)))
10083, 96subcld 11519 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โ†’ (((๐‘‡ + 1)โ†‘2) โˆ’ (2 ยท (๐‘‡ + 1))) โˆˆ โ„‚)
101 ax-1cn 11116 . . . . . . . . . . . . 13 1 โˆˆ โ„‚
102 adddi 11147 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘‡ + 1)โ†‘2) โˆˆ โ„‚ โˆง (((๐‘‡ + 1)โ†‘2) โˆ’ (2 ยท (๐‘‡ + 1))) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐‘‡ + 1)โ†‘2) ยท ((((๐‘‡ + 1)โ†‘2) โˆ’ (2 ยท (๐‘‡ + 1))) + 1)) = ((((๐‘‡ + 1)โ†‘2) ยท (((๐‘‡ + 1)โ†‘2) โˆ’ (2 ยท (๐‘‡ + 1)))) + (((๐‘‡ + 1)โ†‘2) ยท 1)))
103101, 102mp3an3 1451 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘‡ + 1)โ†‘2) โˆˆ โ„‚ โˆง (((๐‘‡ + 1)โ†‘2) โˆ’ (2 ยท (๐‘‡ + 1))) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐‘‡ + 1)โ†‘2) ยท ((((๐‘‡ + 1)โ†‘2) โˆ’ (2 ยท (๐‘‡ + 1))) + 1)) = ((((๐‘‡ + 1)โ†‘2) ยท (((๐‘‡ + 1)โ†‘2) โˆ’ (2 ยท (๐‘‡ + 1)))) + (((๐‘‡ + 1)โ†‘2) ยท 1)))
10483, 100, 103syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โ†’ (((๐‘‡ + 1)โ†‘2) ยท ((((๐‘‡ + 1)โ†‘2) โˆ’ (2 ยท (๐‘‡ + 1))) + 1)) = ((((๐‘‡ + 1)โ†‘2) ยท (((๐‘‡ + 1)โ†‘2) โˆ’ (2 ยท (๐‘‡ + 1)))) + (((๐‘‡ + 1)โ†‘2) ยท 1)))
10599, 104eqtr4d 2780 . . . . . . . . . 10 (๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โ†’ (((((๐‘‡ + 1)โ†‘2) ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘2)) โˆ’ (2 ยท (((๐‘‡ + 1)โ†‘2) ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘1)))) + (((๐‘‡ + 1)โ†‘2) ยท 1)) = (((๐‘‡ + 1)โ†‘2) ยท ((((๐‘‡ + 1)โ†‘2) โˆ’ (2 ยท (๐‘‡ + 1))) + 1)))
106 adddi 11147 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท (๐‘‡ + 1)) = ((2 ยท ๐‘‡) + (2 ยท 1)))
10741, 101, 106mp3an13 1453 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 ยท (๐‘‡ + 1)) = ((2 ยท ๐‘‡) + (2 ยท 1)))
108 2t1e2 12323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 ยท 1) = 2
109108oveq2i 7373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 ยท ๐‘‡) + (2 ยท 1)) = ((2 ยท ๐‘‡) + 2)
110107, 109eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 ยท (๐‘‡ + 1)) = ((2 ยท ๐‘‡) + 2))
111110oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((2 ยท (๐‘‡ + 1)) โˆ’ 1) = (((2 ยท ๐‘‡) + 2) โˆ’ 1))
112 mulcl 11142 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท ๐‘‡) โˆˆ โ„‚)
11341, 112mpan 689 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 ยท ๐‘‡) โˆˆ โ„‚)
114 addsubass 11418 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((2 ยท ๐‘‡) โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (((2 ยท ๐‘‡) + 2) โˆ’ 1) = ((2 ยท ๐‘‡) + (2 โˆ’ 1)))
11541, 101, 114mp3an23 1454 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 ยท ๐‘‡) โˆˆ โ„‚ โ†’ (((2 ยท ๐‘‡) + 2) โˆ’ 1) = ((2 ยท ๐‘‡) + (2 โˆ’ 1)))
116113, 115syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โ†’ (((2 ยท ๐‘‡) + 2) โˆ’ 1) = ((2 ยท ๐‘‡) + (2 โˆ’ 1)))
117 2m1e1 12286 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 โˆ’ 1) = 1
118117oveq2i 7373 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ยท ๐‘‡) + (2 โˆ’ 1)) = ((2 ยท ๐‘‡) + 1)
119116, 118eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โ†’ (((2 ยท ๐‘‡) + 2) โˆ’ 1) = ((2 ยท ๐‘‡) + 1))
120111, 119eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((2 ยท (๐‘‡ + 1)) โˆ’ 1) = ((2 ยท ๐‘‡) + 1))
121120oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โ†’ (((๐‘‡ + 1)โ†‘2) โˆ’ ((2 ยท (๐‘‡ + 1)) โˆ’ 1)) = (((๐‘‡ + 1)โ†‘2) โˆ’ ((2 ยท ๐‘‡) + 1)))
122 subsub 11438 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘‡ + 1)โ†‘2) โˆˆ โ„‚ โˆง (2 ยท (๐‘‡ + 1)) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐‘‡ + 1)โ†‘2) โˆ’ ((2 ยท (๐‘‡ + 1)) โˆ’ 1)) = ((((๐‘‡ + 1)โ†‘2) โˆ’ (2 ยท (๐‘‡ + 1))) + 1))
123101, 122mp3an3 1451 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘‡ + 1)โ†‘2) โˆˆ โ„‚ โˆง (2 ยท (๐‘‡ + 1)) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐‘‡ + 1)โ†‘2) โˆ’ ((2 ยท (๐‘‡ + 1)) โˆ’ 1)) = ((((๐‘‡ + 1)โ†‘2) โˆ’ (2 ยท (๐‘‡ + 1))) + 1))
12483, 96, 123syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โ†’ (((๐‘‡ + 1)โ†‘2) โˆ’ ((2 ยท (๐‘‡ + 1)) โˆ’ 1)) = ((((๐‘‡ + 1)โ†‘2) โˆ’ (2 ยท (๐‘‡ + 1))) + 1))
125 sqcl 14030 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘‡โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
126 peano2cn 11334 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ยท ๐‘‡) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((2 ยท ๐‘‡) + 1) โˆˆ โ„‚)
127113, 126syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((2 ยท ๐‘‡) + 1) โˆˆ โ„‚)
128 binom21 14129 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘‡ + 1)โ†‘2) = (((๐‘‡โ†‘2) + (2 ยท ๐‘‡)) + 1))
129 addass 11145 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘‡โ†‘2) โˆˆ โ„‚ โˆง (2 ยท ๐‘‡) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐‘‡โ†‘2) + (2 ยท ๐‘‡)) + 1) = ((๐‘‡โ†‘2) + ((2 ยท ๐‘‡) + 1)))
130101, 129mp3an3 1451 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘‡โ†‘2) โˆˆ โ„‚ โˆง (2 ยท ๐‘‡) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐‘‡โ†‘2) + (2 ยท ๐‘‡)) + 1) = ((๐‘‡โ†‘2) + ((2 ยท ๐‘‡) + 1)))
131125, 113, 130syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โ†’ (((๐‘‡โ†‘2) + (2 ยท ๐‘‡)) + 1) = ((๐‘‡โ†‘2) + ((2 ยท ๐‘‡) + 1)))
132128, 131eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘‡ + 1)โ†‘2) = ((๐‘‡โ†‘2) + ((2 ยท ๐‘‡) + 1)))
133125, 127, 132mvrraddd 11574 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โ†’ (((๐‘‡ + 1)โ†‘2) โˆ’ ((2 ยท ๐‘‡) + 1)) = (๐‘‡โ†‘2))
134121, 124, 1333eqtr3d 2785 . . . . . . . . . . 11 (๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((((๐‘‡ + 1)โ†‘2) โˆ’ (2 ยท (๐‘‡ + 1))) + 1) = (๐‘‡โ†‘2))
135134oveq2d 7378 . . . . . . . . . 10 (๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โ†’ (((๐‘‡ + 1)โ†‘2) ยท ((((๐‘‡ + 1)โ†‘2) โˆ’ (2 ยท (๐‘‡ + 1))) + 1)) = (((๐‘‡ + 1)โ†‘2) ยท (๐‘‡โ†‘2)))
13683, 125mulcomd 11183 . . . . . . . . . 10 (๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โ†’ (((๐‘‡ + 1)โ†‘2) ยท (๐‘‡โ†‘2)) = ((๐‘‡โ†‘2) ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘2)))
137105, 135, 1363eqtrd 2781 . . . . . . . . 9 (๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โ†’ (((((๐‘‡ + 1)โ†‘2) ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘2)) โˆ’ (2 ยท (((๐‘‡ + 1)โ†‘2) ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘1)))) + (((๐‘‡ + 1)โ†‘2) ยท 1)) = ((๐‘‡โ†‘2) ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘2)))
13886, 137eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((((๐‘‡ + 1)โ†‘(2 + 2)) โˆ’ (2 ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘(2 + 1)))) + ((๐‘‡ + 1)โ†‘2)) = ((๐‘‡โ†‘2) ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘2)))
1399, 138syl 17 . . . . . . 7 (๐‘‡ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((((๐‘‡ + 1)โ†‘(2 + 2)) โˆ’ (2 ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘(2 + 1)))) + ((๐‘‡ + 1)โ†‘2)) = ((๐‘‡โ†‘2) ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘2)))
14073, 139eqtrid 2789 . . . . . 6 (๐‘‡ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((((๐‘‡ + 1)โ†‘4) โˆ’ (2 ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘3))) + ((๐‘‡ + 1)โ†‘2)) = ((๐‘‡โ†‘2) ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘2)))
14165, 140eqtrd 2777 . . . . 5 (๐‘‡ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((((((๐‘‡ + 1)โ†‘4) โˆ’ (2 ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘3))) + ((๐‘‡ + 1)โ†‘2)) โˆ’ (1 / 30)) + (1 / 30)) = ((๐‘‡โ†‘2) ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘2)))
14237, 62, 1413eqtrd 2781 . . . 4 (๐‘‡ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((4 BernPoly (๐‘‡ + 1)) โˆ’ (4 BernPoly 0)) = ((๐‘‡โ†‘2) ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘2)))
143142oveq1d 7377 . . 3 (๐‘‡ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((4 BernPoly (๐‘‡ + 1)) โˆ’ (4 BernPoly 0)) / 4) = (((๐‘‡โ†‘2) ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘2)) / 4))
1448, 143eqtr3id 2791 . 2 (๐‘‡ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((((3 + 1) BernPoly (๐‘‡ + 1)) โˆ’ ((3 + 1) BernPoly 0)) / (3 + 1)) = (((๐‘‡โ†‘2) ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘2)) / 4))
1453, 144eqtrd 2777 1 (๐‘‡ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘‡)(๐‘˜โ†‘3) = (((๐‘‡โ†‘2) ยท ((๐‘‡ + 1)โ†‘2)) / 4))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063   โˆ’ cmin 11392  -cneg 11393   / cdiv 11819  โ„•cn 12160  2c2 12215  3c3 12216  4c4 12217  โ„•0cn0 12420  cdc 12625  ...cfz 13431  โ†‘cexp 13974  ฮฃcsu 15577   BernPoly cbp 15936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578  df-bpoly 15937
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator