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Theorem fsumcube 15073
Description: Express the sum of cubes in closed terms. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
fsumcube (𝑇 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑇)(𝑘↑3) = (((𝑇↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)) / 4))
Distinct variable group:   𝑇,𝑘

Proof of Theorem fsumcube
StepHypRef Expression
1 3nn0 11558 . . 3 3 ∈ ℕ0
2 fsumkthpow 15069 . . 3 ((3 ∈ ℕ0𝑇 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑇)(𝑘↑3) = ((((3 + 1) BernPoly (𝑇 + 1)) − ((3 + 1) BernPoly 0)) / (3 + 1)))
31, 2mpan 681 . 2 (𝑇 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑇)(𝑘↑3) = ((((3 + 1) BernPoly (𝑇 + 1)) − ((3 + 1) BernPoly 0)) / (3 + 1)))
4 df-4 11337 . . . . . 6 4 = (3 + 1)
54oveq1i 6852 . . . . 5 (4 BernPoly (𝑇 + 1)) = ((3 + 1) BernPoly (𝑇 + 1))
64oveq1i 6852 . . . . 5 (4 BernPoly 0) = ((3 + 1) BernPoly 0)
75, 6oveq12i 6854 . . . 4 ((4 BernPoly (𝑇 + 1)) − (4 BernPoly 0)) = (((3 + 1) BernPoly (𝑇 + 1)) − ((3 + 1) BernPoly 0))
87, 4oveq12i 6854 . . 3 (((4 BernPoly (𝑇 + 1)) − (4 BernPoly 0)) / 4) = ((((3 + 1) BernPoly (𝑇 + 1)) − ((3 + 1) BernPoly 0)) / (3 + 1))
9 nn0cn 11549 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ ℕ0𝑇 ∈ ℂ)
10 peano2cn 10462 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ ℂ → (𝑇 + 1) ∈ ℂ)
119, 10syl 17 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ ℕ0 → (𝑇 + 1) ∈ ℂ)
12 bpoly4 15072 . . . . . . 7 ((𝑇 + 1) ∈ ℂ → (4 BernPoly (𝑇 + 1)) = (((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) − (1 / 30)))
1311, 12syl 17 . . . . . 6 (𝑇 ∈ ℕ0 → (4 BernPoly (𝑇 + 1)) = (((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) − (1 / 30)))
14 4nn 11356 . . . . . . . . . . . . . 14 4 ∈ ℕ
15 0exp 13102 . . . . . . . . . . . . . 14 (4 ∈ ℕ → (0↑4) = 0)
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (0↑4) = 0
17 3nn 11351 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ∈ ℕ
18 0exp 13102 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (3 ∈ ℕ → (0↑3) = 0)
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0↑3) = 0
2019oveq2i 6853 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 · (0↑3)) = (2 · 0)
21 2t0e0 11447 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 · 0) = 0
2220, 21eqtri 2787 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · (0↑3)) = 0
2316, 22oveq12i 6854 . . . . . . . . . . . 12 ((0↑4) − (2 · (0↑3))) = (0 − 0)
24 0m0e0 11399 . . . . . . . . . . . 12 (0 − 0) = 0
2523, 24eqtri 2787 . . . . . . . . . . 11 ((0↑4) − (2 · (0↑3))) = 0
26 sq0 13162 . . . . . . . . . . 11 (0↑2) = 0
2725, 26oveq12i 6854 . . . . . . . . . 10 (((0↑4) − (2 · (0↑3))) + (0↑2)) = (0 + 0)
28 00id 10465 . . . . . . . . . 10 (0 + 0) = 0
2927, 28eqtri 2787 . . . . . . . . 9 (((0↑4) − (2 · (0↑3))) + (0↑2)) = 0
3029oveq1i 6852 . . . . . . . 8 ((((0↑4) − (2 · (0↑3))) + (0↑2)) − (1 / 30)) = (0 − (1 / 30))
31 0cn 10285 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℂ
32 bpoly4 15072 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℂ → (4 BernPoly 0) = ((((0↑4) − (2 · (0↑3))) + (0↑2)) − (1 / 30)))
3331, 32ax-mp 5 . . . . . . . 8 (4 BernPoly 0) = ((((0↑4) − (2 · (0↑3))) + (0↑2)) − (1 / 30))
34 df-neg 10523 . . . . . . . 8 -(1 / 30) = (0 − (1 / 30))
3530, 33, 343eqtr4i 2797 . . . . . . 7 (4 BernPoly 0) = -(1 / 30)
3635a1i 11 . . . . . 6 (𝑇 ∈ ℕ0 → (4 BernPoly 0) = -(1 / 30))
3713, 36oveq12d 6860 . . . . 5 (𝑇 ∈ ℕ0 → ((4 BernPoly (𝑇 + 1)) − (4 BernPoly 0)) = ((((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) − (1 / 30)) − -(1 / 30)))
38 4nn0 11559 . . . . . . . . . . . 12 4 ∈ ℕ0
39 expcl 13085 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑇 + 1) ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0) → ((𝑇 + 1)↑4) ∈ ℂ)
4038, 39mpan2 682 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 + 1) ∈ ℂ → ((𝑇 + 1)↑4) ∈ ℂ)
41 2cn 11347 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
42 expcl 13085 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑇 + 1) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → ((𝑇 + 1)↑3) ∈ ℂ)
431, 42mpan2 682 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 + 1) ∈ ℂ → ((𝑇 + 1)↑3) ∈ ℂ)
44 mulcl 10273 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℂ ∧ ((𝑇 + 1)↑3) ∈ ℂ) → (2 · ((𝑇 + 1)↑3)) ∈ ℂ)
4541, 43, 44sylancr 581 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 + 1) ∈ ℂ → (2 · ((𝑇 + 1)↑3)) ∈ ℂ)
4640, 45subcld 10646 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 + 1) ∈ ℂ → (((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) ∈ ℂ)
47 sqcl 13132 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 + 1) ∈ ℂ → ((𝑇 + 1)↑2) ∈ ℂ)
4846, 47addcld 10313 . . . . . . . . 9 ((𝑇 + 1) ∈ ℂ → ((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) ∈ ℂ)
4910, 48syl 17 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ ℂ → ((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) ∈ ℂ)
509, 49syl 17 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ ℕ0 → ((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) ∈ ℂ)
51 0nn0 11555 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℕ0
521, 51deccl 11755 . . . . . . . . 9 30 ∈ ℕ0
5352nn0cni 11551 . . . . . . . 8 30 ∈ ℂ
5452nn0rei 11550 . . . . . . . . 9 30 ∈ ℝ
55 10pos 11757 . . . . . . . . . 10 0 < 10
5617, 51, 51, 55declti 11779 . . . . . . . . 9 0 < 30
5754, 56gt0ne0ii 10818 . . . . . . . 8 30 ≠ 0
5853, 57reccli 11009 . . . . . . 7 (1 / 30) ∈ ℂ
59 subcl 10534 . . . . . . 7 ((((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) ∈ ℂ ∧ (1 / 30) ∈ ℂ) → (((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) − (1 / 30)) ∈ ℂ)
6050, 58, 59sylancl 580 . . . . . 6 (𝑇 ∈ ℕ0 → (((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) − (1 / 30)) ∈ ℂ)
61 subneg 10584 . . . . . 6 (((((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) − (1 / 30)) ∈ ℂ ∧ (1 / 30) ∈ ℂ) → ((((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) − (1 / 30)) − -(1 / 30)) = ((((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) − (1 / 30)) + (1 / 30)))
6260, 58, 61sylancl 580 . . . . 5 (𝑇 ∈ ℕ0 → ((((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) − (1 / 30)) − -(1 / 30)) = ((((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) − (1 / 30)) + (1 / 30)))
63 npcan 10544 . . . . . . . 8 ((((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) ∈ ℂ ∧ (1 / 30) ∈ ℂ) → ((((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) − (1 / 30)) + (1 / 30)) = ((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)))
6449, 58, 63sylancl 580 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ ℂ → ((((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) − (1 / 30)) + (1 / 30)) = ((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)))
659, 64syl 17 . . . . . 6 (𝑇 ∈ ℕ0 → ((((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) − (1 / 30)) + (1 / 30)) = ((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)))
66 2p2e4 11414 . . . . . . . . . . 11 (2 + 2) = 4
6766eqcomi 2774 . . . . . . . . . 10 4 = (2 + 2)
6867oveq2i 6853 . . . . . . . . 9 ((𝑇 + 1)↑4) = ((𝑇 + 1)↑(2 + 2))
69 df-3 11336 . . . . . . . . . . 11 3 = (2 + 1)
7069oveq2i 6853 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 + 1)↑3) = ((𝑇 + 1)↑(2 + 1))
7170oveq2i 6853 . . . . . . . . 9 (2 · ((𝑇 + 1)↑3)) = (2 · ((𝑇 + 1)↑(2 + 1)))
7268, 71oveq12i 6854 . . . . . . . 8 (((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) = (((𝑇 + 1)↑(2 + 2)) − (2 · ((𝑇 + 1)↑(2 + 1))))
7372oveq1i 6852 . . . . . . 7 ((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) = ((((𝑇 + 1)↑(2 + 2)) − (2 · ((𝑇 + 1)↑(2 + 1)))) + ((𝑇 + 1)↑2))
74 2nn0 11557 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℕ0
75 expadd 13109 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑇 + 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((𝑇 + 1)↑(2 + 2)) = (((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)))
7674, 74, 75mp3an23 1577 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 + 1) ∈ ℂ → ((𝑇 + 1)↑(2 + 2)) = (((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)))
77 1nn0 11556 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℕ0
78 expadd 13109 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑇 + 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → ((𝑇 + 1)↑(2 + 1)) = (((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑1)))
7974, 77, 78mp3an23 1577 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 + 1) ∈ ℂ → ((𝑇 + 1)↑(2 + 1)) = (((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑1)))
8079oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 + 1) ∈ ℂ → (2 · ((𝑇 + 1)↑(2 + 1))) = (2 · (((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑1))))
8176, 80oveq12d 6860 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 + 1) ∈ ℂ → (((𝑇 + 1)↑(2 + 2)) − (2 · ((𝑇 + 1)↑(2 + 1)))) = ((((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)) − (2 · (((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑1)))))
8210, 81syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ ℂ → (((𝑇 + 1)↑(2 + 2)) − (2 · ((𝑇 + 1)↑(2 + 1)))) = ((((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)) − (2 · (((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑1)))))
8310sqcld 13213 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ ℂ → ((𝑇 + 1)↑2) ∈ ℂ)
8483mulid1d 10311 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ ℂ → (((𝑇 + 1)↑2) · 1) = ((𝑇 + 1)↑2))
8584eqcomd 2771 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ ℂ → ((𝑇 + 1)↑2) = (((𝑇 + 1)↑2) · 1))
8682, 85oveq12d 6860 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ ℂ → ((((𝑇 + 1)↑(2 + 2)) − (2 · ((𝑇 + 1)↑(2 + 1)))) + ((𝑇 + 1)↑2)) = (((((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)) − (2 · (((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑1)))) + (((𝑇 + 1)↑2) · 1)))
8710exp1d 13210 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑇 ∈ ℂ → ((𝑇 + 1)↑1) = (𝑇 + 1))
8887oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑇 ∈ ℂ → (2 · ((𝑇 + 1)↑1)) = (2 · (𝑇 + 1)))
8988oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑇 ∈ ℂ → (((𝑇 + 1)↑2) · (2 · ((𝑇 + 1)↑1))) = (((𝑇 + 1)↑2) · (2 · (𝑇 + 1))))
9089oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ ℂ → ((((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)) − (((𝑇 + 1)↑2) · (2 · ((𝑇 + 1)↑1)))) = ((((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)) − (((𝑇 + 1)↑2) · (2 · (𝑇 + 1)))))
9187, 10eqeltrd 2844 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑇 ∈ ℂ → ((𝑇 + 1)↑1) ∈ ℂ)
92 mul12 10456 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℂ ∧ ((𝑇 + 1)↑2) ∈ ℂ ∧ ((𝑇 + 1)↑1) ∈ ℂ) → (2 · (((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑1))) = (((𝑇 + 1)↑2) · (2 · ((𝑇 + 1)↑1))))
9341, 83, 91, 92mp3an2i 1590 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑇 ∈ ℂ → (2 · (((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑1))) = (((𝑇 + 1)↑2) · (2 · ((𝑇 + 1)↑1))))
9493oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ ℂ → ((((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)) − (2 · (((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑1)))) = ((((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)) − (((𝑇 + 1)↑2) · (2 · ((𝑇 + 1)↑1)))))
95 mulcl 10273 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑇 + 1) ∈ ℂ) → (2 · (𝑇 + 1)) ∈ ℂ)
9641, 10, 95sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑇 ∈ ℂ → (2 · (𝑇 + 1)) ∈ ℂ)
9783, 83, 96subdid 10740 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ ℂ → (((𝑇 + 1)↑2) · (((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1)))) = ((((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)) − (((𝑇 + 1)↑2) · (2 · (𝑇 + 1)))))
9890, 94, 973eqtr4d 2809 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ ℂ → ((((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)) − (2 · (((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑1)))) = (((𝑇 + 1)↑2) · (((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1)))))
9998oveq1d 6857 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ ℂ → (((((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)) − (2 · (((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑1)))) + (((𝑇 + 1)↑2) · 1)) = ((((𝑇 + 1)↑2) · (((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1)))) + (((𝑇 + 1)↑2) · 1)))
10083, 96subcld 10646 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ ℂ → (((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1))) ∈ ℂ)
101 ax-1cn 10247 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
102 adddi 10278 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑇 + 1)↑2) ∈ ℂ ∧ (((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1))) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑇 + 1)↑2) · ((((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1))) + 1)) = ((((𝑇 + 1)↑2) · (((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1)))) + (((𝑇 + 1)↑2) · 1)))
103101, 102mp3an3 1574 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑇 + 1)↑2) ∈ ℂ ∧ (((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1))) ∈ ℂ) → (((𝑇 + 1)↑2) · ((((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1))) + 1)) = ((((𝑇 + 1)↑2) · (((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1)))) + (((𝑇 + 1)↑2) · 1)))
10483, 100, 103syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ ℂ → (((𝑇 + 1)↑2) · ((((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1))) + 1)) = ((((𝑇 + 1)↑2) · (((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1)))) + (((𝑇 + 1)↑2) · 1)))
10599, 104eqtr4d 2802 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ ℂ → (((((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)) − (2 · (((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑1)))) + (((𝑇 + 1)↑2) · 1)) = (((𝑇 + 1)↑2) · ((((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1))) + 1)))
106 adddi 10278 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (2 · (𝑇 + 1)) = ((2 · 𝑇) + (2 · 1)))
10741, 101, 106mp3an13 1576 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑇 ∈ ℂ → (2 · (𝑇 + 1)) = ((2 · 𝑇) + (2 · 1)))
108 2t1e2 11441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 · 1) = 2
109108oveq2i 6853 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 · 𝑇) + (2 · 1)) = ((2 · 𝑇) + 2)
110107, 109syl6eq 2815 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑇 ∈ ℂ → (2 · (𝑇 + 1)) = ((2 · 𝑇) + 2))
111110oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑇 ∈ ℂ → ((2 · (𝑇 + 1)) − 1) = (((2 · 𝑇) + 2) − 1))
112 mulcl 10273 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (2 · 𝑇) ∈ ℂ)
11341, 112mpan 681 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑇 ∈ ℂ → (2 · 𝑇) ∈ ℂ)
114 addsubass 10545 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((2 · 𝑇) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑇) + 2) − 1) = ((2 · 𝑇) + (2 − 1)))
11541, 101, 114mp3an23 1577 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 · 𝑇) ∈ ℂ → (((2 · 𝑇) + 2) − 1) = ((2 · 𝑇) + (2 − 1)))
116113, 115syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑇 ∈ ℂ → (((2 · 𝑇) + 2) − 1) = ((2 · 𝑇) + (2 − 1)))
117 2m1e1 11405 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 − 1) = 1
118117oveq2i 6853 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 · 𝑇) + (2 − 1)) = ((2 · 𝑇) + 1)
119116, 118syl6eq 2815 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑇 ∈ ℂ → (((2 · 𝑇) + 2) − 1) = ((2 · 𝑇) + 1))
120111, 119eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ ℂ → ((2 · (𝑇 + 1)) − 1) = ((2 · 𝑇) + 1))
121120oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ ℂ → (((𝑇 + 1)↑2) − ((2 · (𝑇 + 1)) − 1)) = (((𝑇 + 1)↑2) − ((2 · 𝑇) + 1)))
122 subsub 10565 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑇 + 1)↑2) ∈ ℂ ∧ (2 · (𝑇 + 1)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑇 + 1)↑2) − ((2 · (𝑇 + 1)) − 1)) = ((((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1))) + 1))
123101, 122mp3an3 1574 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑇 + 1)↑2) ∈ ℂ ∧ (2 · (𝑇 + 1)) ∈ ℂ) → (((𝑇 + 1)↑2) − ((2 · (𝑇 + 1)) − 1)) = ((((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1))) + 1))
12483, 96, 123syl2anc 579 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ ℂ → (((𝑇 + 1)↑2) − ((2 · (𝑇 + 1)) − 1)) = ((((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1))) + 1))
125 sqcl 13132 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ ℂ → (𝑇↑2) ∈ ℂ)
126 peano2cn 10462 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 · 𝑇) ∈ ℂ → ((2 · 𝑇) + 1) ∈ ℂ)
127113, 126syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ ℂ → ((2 · 𝑇) + 1) ∈ ℂ)
128 binom21 13187 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑇 ∈ ℂ → ((𝑇 + 1)↑2) = (((𝑇↑2) + (2 · 𝑇)) + 1))
129 addass 10276 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑇↑2) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑇) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑇↑2) + (2 · 𝑇)) + 1) = ((𝑇↑2) + ((2 · 𝑇) + 1)))
130101, 129mp3an3 1574 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑇↑2) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑇) ∈ ℂ) → (((𝑇↑2) + (2 · 𝑇)) + 1) = ((𝑇↑2) + ((2 · 𝑇) + 1)))
131125, 113, 130syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑇 ∈ ℂ → (((𝑇↑2) + (2 · 𝑇)) + 1) = ((𝑇↑2) + ((2 · 𝑇) + 1)))
132128, 131eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ ℂ → ((𝑇 + 1)↑2) = ((𝑇↑2) + ((2 · 𝑇) + 1)))
133125, 127, 132mvrraddd 10699 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ ℂ → (((𝑇 + 1)↑2) − ((2 · 𝑇) + 1)) = (𝑇↑2))
134121, 124, 1333eqtr3d 2807 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ ℂ → ((((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1))) + 1) = (𝑇↑2))
135134oveq2d 6858 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ ℂ → (((𝑇 + 1)↑2) · ((((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1))) + 1)) = (((𝑇 + 1)↑2) · (𝑇↑2)))
13683, 125mulcomd 10315 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ ℂ → (((𝑇 + 1)↑2) · (𝑇↑2)) = ((𝑇↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)))
137105, 135, 1363eqtrd 2803 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ ℂ → (((((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)) − (2 · (((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑1)))) + (((𝑇 + 1)↑2) · 1)) = ((𝑇↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)))
13886, 137eqtrd 2799 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ ℂ → ((((𝑇 + 1)↑(2 + 2)) − (2 · ((𝑇 + 1)↑(2 + 1)))) + ((𝑇 + 1)↑2)) = ((𝑇↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)))
1399, 138syl 17 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ ℕ0 → ((((𝑇 + 1)↑(2 + 2)) − (2 · ((𝑇 + 1)↑(2 + 1)))) + ((𝑇 + 1)↑2)) = ((𝑇↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)))
14073, 139syl5eq 2811 . . . . . 6 (𝑇 ∈ ℕ0 → ((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) = ((𝑇↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)))
14165, 140eqtrd 2799 . . . . 5 (𝑇 ∈ ℕ0 → ((((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) − (1 / 30)) + (1 / 30)) = ((𝑇↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)))
14237, 62, 1413eqtrd 2803 . . . 4 (𝑇 ∈ ℕ0 → ((4 BernPoly (𝑇 + 1)) − (4 BernPoly 0)) = ((𝑇↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)))
143142oveq1d 6857 . . 3 (𝑇 ∈ ℕ0 → (((4 BernPoly (𝑇 + 1)) − (4 BernPoly 0)) / 4) = (((𝑇↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)) / 4))
1448, 143syl5eqr 2813 . 2 (𝑇 ∈ ℕ0 → ((((3 + 1) BernPoly (𝑇 + 1)) − ((3 + 1) BernPoly 0)) / (3 + 1)) = (((𝑇↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)) / 4))
1453, 144eqtrd 2799 1 (𝑇 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑇)(𝑘↑3) = (((𝑇↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)) / 4))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1652  wcel 2155  (class class class)co 6842  cc 10187  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192   · cmul 10194  cmin 10520  -cneg 10521   / cdiv 10938  cn 11274  2c2 11327  3c3 11328  4c4 11329  0cn0 11538  cdc 11740  ...cfz 12533  cexp 13067  Σcsu 14701   BernPoly cbp 15059
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-sup 8555  df-oi 8622  df-card 9016  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-rp 12029  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-clim 14504  df-sum 14702  df-bpoly 15060
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