Theorem fsumcube 16004

Description: Express the sum of cubes in closed terms. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fsumcube	⊢ (𝑇 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑇)(𝑘↑3) = (((𝑇↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)) / 4))

Distinct variable group:   𝑇,𝑘

Proof of Theorem fsumcube

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 12490	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
2		fsumkthpow 16000	. . 3 ⊢ ((3 ∈ ℕ0 ∧ 𝑇 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑇)(𝑘↑3) = ((((3 + 1) BernPoly (𝑇 + 1)) − ((3 + 1) BernPoly 0)) / (3 + 1)))
3	1, 2	mpan 689	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑇)(𝑘↑3) = ((((3 + 1) BernPoly (𝑇 + 1)) − ((3 + 1) BernPoly 0)) / (3 + 1)))
4		df-4 12277	. . . . . 6 ⊢ 4 = (3 + 1)
5	4	oveq1i 7419	. . . . 5 ⊢ (4 BernPoly (𝑇 + 1)) = ((3 + 1) BernPoly (𝑇 + 1))
6	4	oveq1i 7419	. . . . 5 ⊢ (4 BernPoly 0) = ((3 + 1) BernPoly 0)
7	5, 6	oveq12i 7421	. . . 4 ⊢ ((4 BernPoly (𝑇 + 1)) − (4 BernPoly 0)) = (((3 + 1) BernPoly (𝑇 + 1)) − ((3 + 1) BernPoly 0))
8	7, 4	oveq12i 7421	. . 3 ⊢ (((4 BernPoly (𝑇 + 1)) − (4 BernPoly 0)) / 4) = ((((3 + 1) BernPoly (𝑇 + 1)) − ((3 + 1) BernPoly 0)) / (3 + 1))
9		nn0cn 12482	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ ℕ0 → 𝑇 ∈ ℂ)
10		peano2cn 11386	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ ℂ → (𝑇 + 1) ∈ ℂ)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ ℕ0 → (𝑇 + 1) ∈ ℂ)
12		bpoly4 16003	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 + 1) ∈ ℂ → (4 BernPoly (𝑇 + 1)) = (((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) − (1 / ;30)))
13	11, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ ℕ0 → (4 BernPoly (𝑇 + 1)) = (((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) − (1 / ;30)))
14		4nn 12295	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 ∈ ℕ
15		0exp 14063	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (4 ∈ ℕ → (0↑4) = 0)
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0↑4) = 0
17		3nn 12291	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 ∈ ℕ
18		0exp 14063	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (3 ∈ ℕ → (0↑3) = 0)
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0↑3) = 0
20	19	oveq2i 7420	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 · (0↑3)) = (2 · 0)
21		2t0e0 12381	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 · 0) = 0
22	20, 21	eqtri 2761	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · (0↑3)) = 0
23	16, 22	oveq12i 7421	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0↑4) − (2 · (0↑3))) = (0 − 0)
24		0m0e0 12332	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 − 0) = 0
25	23, 24	eqtri 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0↑4) − (2 · (0↑3))) = 0
26		sq0 14156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0↑2) = 0
27	25, 26	oveq12i 7421	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((0↑4) − (2 · (0↑3))) + (0↑2)) = (0 + 0)
28		00id 11389	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + 0) = 0
29	27, 28	eqtri 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (((0↑4) − (2 · (0↑3))) + (0↑2)) = 0
30	29	oveq1i 7419	. . . . . . . 8 ⊢ ((((0↑4) − (2 · (0↑3))) + (0↑2)) − (1 / ;30)) = (0 − (1 / ;30))
31		0cn 11206	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℂ
32		bpoly4 16003	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℂ → (4 BernPoly 0) = ((((0↑4) − (2 · (0↑3))) + (0↑2)) − (1 / ;30)))
33	31, 32	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (4 BernPoly 0) = ((((0↑4) − (2 · (0↑3))) + (0↑2)) − (1 / ;30))
34		df-neg 11447	. . . . . . . 8 ⊢ -(1 / ;30) = (0 − (1 / ;30))
35	30, 33, 34	3eqtr4i 2771	. . . . . . 7 ⊢ (4 BernPoly 0) = -(1 / ;30)
36	35	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ ℕ0 → (4 BernPoly 0) = -(1 / ;30))
37	13, 36	oveq12d 7427	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ ℕ0 → ((4 BernPoly (𝑇 + 1)) − (4 BernPoly 0)) = ((((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) − (1 / ;30)) − -(1 / ;30)))
38		4nn0 12491	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 4 ∈ ℕ0
39		expcl 14045	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑇 + 1) ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0) → ((𝑇 + 1)↑4) ∈ ℂ)
40	38, 39	mpan2 690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑇 + 1) ∈ ℂ → ((𝑇 + 1)↑4) ∈ ℂ)
41		2cn 12287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℂ
42		expcl 14045	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑇 + 1) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → ((𝑇 + 1)↑3) ∈ ℂ)
43	1, 42	mpan2 690	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑇 + 1) ∈ ℂ → ((𝑇 + 1)↑3) ∈ ℂ)
44		mulcl 11194	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ ((𝑇 + 1)↑3) ∈ ℂ) → (2 · ((𝑇 + 1)↑3)) ∈ ℂ)
45	41, 43, 44	sylancr 588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑇 + 1) ∈ ℂ → (2 · ((𝑇 + 1)↑3)) ∈ ℂ)
46	40, 45	subcld 11571	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇 + 1) ∈ ℂ → (((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) ∈ ℂ)
47		sqcl 14083	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇 + 1) ∈ ℂ → ((𝑇 + 1)↑2) ∈ ℂ)
48	46, 47	addcld 11233	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 + 1) ∈ ℂ → ((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) ∈ ℂ)
49	10, 48	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ ℂ → ((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) ∈ ℂ)
50	9, 49	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ ℕ0 → ((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) ∈ ℂ)
51		0nn0 12487	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℕ0
52	1, 51	deccl 12692	. . . . . . . . 9 ⊢ ;30 ∈ ℕ0
53	52	nn0cni 12484	. . . . . . . 8 ⊢ ;30 ∈ ℂ
54	52	nn0rei 12483	. . . . . . . . 9 ⊢ ;30 ∈ ℝ
55		10pos 12694	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < ;10
56	17, 51, 51, 55	declti 12715	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < ;30
57	54, 56	gt0ne0ii 11750	. . . . . . . 8 ⊢ ;30 ≠ 0
58	53, 57	reccli 11944	. . . . . . 7 ⊢ (1 / ;30) ∈ ℂ
59		subcl 11459	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) ∈ ℂ ∧ (1 / ;30) ∈ ℂ) → (((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) − (1 / ;30)) ∈ ℂ)
60	50, 58, 59	sylancl 587	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ ℕ0 → (((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) − (1 / ;30)) ∈ ℂ)
61		subneg 11509	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) − (1 / ;30)) ∈ ℂ ∧ (1 / ;30) ∈ ℂ) → ((((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) − (1 / ;30)) − -(1 / ;30)) = ((((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) − (1 / ;30)) + (1 / ;30)))
62	60, 58, 61	sylancl 587	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ ℕ0 → ((((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) − (1 / ;30)) − -(1 / ;30)) = ((((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) − (1 / ;30)) + (1 / ;30)))
63		npcan 11469	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) ∈ ℂ ∧ (1 / ;30) ∈ ℂ) → ((((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) − (1 / ;30)) + (1 / ;30)) = ((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)))
64	49, 58, 63	sylancl 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ ℂ → ((((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) − (1 / ;30)) + (1 / ;30)) = ((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)))
65	9, 64	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ ℕ0 → ((((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) − (1 / ;30)) + (1 / ;30)) = ((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)))
66		2p2e4 12347	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 + 2) = 4
67	66	eqcomi 2742	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 = (2 + 2)
68	67	oveq2i 7420	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 + 1)↑4) = ((𝑇 + 1)↑(2 + 2))
69		df-3 12276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 = (2 + 1)
70	69	oveq2i 7420	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇 + 1)↑3) = ((𝑇 + 1)↑(2 + 1))
71	70	oveq2i 7420	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · ((𝑇 + 1)↑3)) = (2 · ((𝑇 + 1)↑(2 + 1)))
72	68, 71	oveq12i 7421	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) = (((𝑇 + 1)↑(2 + 2)) − (2 · ((𝑇 + 1)↑(2 + 1))))
73	72	oveq1i 7419	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) = ((((𝑇 + 1)↑(2 + 2)) − (2 · ((𝑇 + 1)↑(2 + 1)))) + ((𝑇 + 1)↑2))
74		2nn0 12489	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ0
75		expadd 14070	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑇 + 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((𝑇 + 1)↑(2 + 2)) = (((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)))
76	74, 74, 75	mp3an23 1454	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑇 + 1) ∈ ℂ → ((𝑇 + 1)↑(2 + 2)) = (((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)))
77		1nn0 12488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℕ0
78		expadd 14070	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑇 + 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → ((𝑇 + 1)↑(2 + 1)) = (((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑1)))
79	74, 77, 78	mp3an23 1454	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑇 + 1) ∈ ℂ → ((𝑇 + 1)↑(2 + 1)) = (((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑1)))
80	79	oveq2d 7425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑇 + 1) ∈ ℂ → (2 · ((𝑇 + 1)↑(2 + 1))) = (2 · (((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑1))))
81	76, 80	oveq12d 7427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑇 + 1) ∈ ℂ → (((𝑇 + 1)↑(2 + 2)) − (2 · ((𝑇 + 1)↑(2 + 1)))) = ((((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)) − (2 · (((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑1)))))
82	10, 81	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∈ ℂ → (((𝑇 + 1)↑(2 + 2)) − (2 · ((𝑇 + 1)↑(2 + 1)))) = ((((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)) − (2 · (((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑1)))))
83	10	sqcld 14109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑇 ∈ ℂ → ((𝑇 + 1)↑2) ∈ ℂ)
84	83	mulridd 11231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ∈ ℂ → (((𝑇 + 1)↑2) · 1) = ((𝑇 + 1)↑2))
85	84	eqcomd 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∈ ℂ → ((𝑇 + 1)↑2) = (((𝑇 + 1)↑2) · 1))
86	82, 85	oveq12d 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ ℂ → ((((𝑇 + 1)↑(2 + 2)) − (2 · ((𝑇 + 1)↑(2 + 1)))) + ((𝑇 + 1)↑2)) = (((((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)) − (2 · (((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑1)))) + (((𝑇 + 1)↑2) · 1)))
87	10	exp1d 14106	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑇 ∈ ℂ → ((𝑇 + 1)↑1) = (𝑇 + 1))
88	87	oveq2d 7425	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑇 ∈ ℂ → (2 · ((𝑇 + 1)↑1)) = (2 · (𝑇 + 1)))
89	88	oveq2d 7425	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑇 ∈ ℂ → (((𝑇 + 1)↑2) · (2 · ((𝑇 + 1)↑1))) = (((𝑇 + 1)↑2) · (2 · (𝑇 + 1))))
90	89	oveq2d 7425	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑇 ∈ ℂ → ((((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)) − (((𝑇 + 1)↑2) · (2 · ((𝑇 + 1)↑1)))) = ((((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)) − (((𝑇 + 1)↑2) · (2 · (𝑇 + 1)))))
91	87, 10	eqeltrd 2834	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑇 ∈ ℂ → ((𝑇 + 1)↑1) ∈ ℂ)
92		mul12 11379	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ ((𝑇 + 1)↑2) ∈ ℂ ∧ ((𝑇 + 1)↑1) ∈ ℂ) → (2 · (((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑1))) = (((𝑇 + 1)↑2) · (2 · ((𝑇 + 1)↑1))))
93	41, 83, 91, 92	mp3an2i 1467	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑇 ∈ ℂ → (2 · (((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑1))) = (((𝑇 + 1)↑2) · (2 · ((𝑇 + 1)↑1))))
94	93	oveq2d 7425	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑇 ∈ ℂ → ((((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)) − (2 · (((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑1)))) = ((((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)) − (((𝑇 + 1)↑2) · (2 · ((𝑇 + 1)↑1)))))
95		mulcl 11194	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑇 + 1) ∈ ℂ) → (2 · (𝑇 + 1)) ∈ ℂ)
96	41, 10, 95	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑇 ∈ ℂ → (2 · (𝑇 + 1)) ∈ ℂ)
97	83, 83, 96	subdid 11670	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑇 ∈ ℂ → (((𝑇 + 1)↑2) · (((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1)))) = ((((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)) − (((𝑇 + 1)↑2) · (2 · (𝑇 + 1)))))
98	90, 94, 97	3eqtr4d 2783	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑇 ∈ ℂ → ((((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)) − (2 · (((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑1)))) = (((𝑇 + 1)↑2) · (((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1)))))
99	98	oveq1d 7424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ∈ ℂ → (((((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)) − (2 · (((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑1)))) + (((𝑇 + 1)↑2) · 1)) = ((((𝑇 + 1)↑2) · (((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1)))) + (((𝑇 + 1)↑2) · 1)))
100	83, 96	subcld 11571	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑇 ∈ ℂ → (((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1))) ∈ ℂ)
101		ax-1cn 11168	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
102		adddi 11199	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑇 + 1)↑2) ∈ ℂ ∧ (((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1))) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑇 + 1)↑2) · ((((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1))) + 1)) = ((((𝑇 + 1)↑2) · (((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1)))) + (((𝑇 + 1)↑2) · 1)))
103	101, 102	mp3an3 1451	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑇 + 1)↑2) ∈ ℂ ∧ (((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1))) ∈ ℂ) → (((𝑇 + 1)↑2) · ((((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1))) + 1)) = ((((𝑇 + 1)↑2) · (((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1)))) + (((𝑇 + 1)↑2) · 1)))
104	83, 100, 103	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ∈ ℂ → (((𝑇 + 1)↑2) · ((((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1))) + 1)) = ((((𝑇 + 1)↑2) · (((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1)))) + (((𝑇 + 1)↑2) · 1)))
105	99, 104	eqtr4d 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∈ ℂ → (((((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)) − (2 · (((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑1)))) + (((𝑇 + 1)↑2) · 1)) = (((𝑇 + 1)↑2) · ((((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1))) + 1)))
106		adddi 11199	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (2 · (𝑇 + 1)) = ((2 · 𝑇) + (2 · 1)))
107	41, 101, 106	mp3an13 1453	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑇 ∈ ℂ → (2 · (𝑇 + 1)) = ((2 · 𝑇) + (2 · 1)))
108		2t1e2 12375	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 · 1) = 2
109	108	oveq2i 7420	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 · 𝑇) + (2 · 1)) = ((2 · 𝑇) + 2)
110	107, 109	eqtrdi 2789	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑇 ∈ ℂ → (2 · (𝑇 + 1)) = ((2 · 𝑇) + 2))
111	110	oveq1d 7424	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑇 ∈ ℂ → ((2 · (𝑇 + 1)) − 1) = (((2 · 𝑇) + 2) − 1))
112		mulcl 11194	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (2 · 𝑇) ∈ ℂ)
113	41, 112	mpan 689	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑇 ∈ ℂ → (2 · 𝑇) ∈ ℂ)
114		addsubass 11470	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((2 · 𝑇) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑇) + 2) − 1) = ((2 · 𝑇) + (2 − 1)))
115	41, 101, 114	mp3an23 1454	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 · 𝑇) ∈ ℂ → (((2 · 𝑇) + 2) − 1) = ((2 · 𝑇) + (2 − 1)))
116	113, 115	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑇 ∈ ℂ → (((2 · 𝑇) + 2) − 1) = ((2 · 𝑇) + (2 − 1)))
117		2m1e1 12338	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 − 1) = 1
118	117	oveq2i 7420	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 · 𝑇) + (2 − 1)) = ((2 · 𝑇) + 1)
119	116, 118	eqtrdi 2789	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑇 ∈ ℂ → (((2 · 𝑇) + 2) − 1) = ((2 · 𝑇) + 1))
120	111, 119	eqtrd 2773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑇 ∈ ℂ → ((2 · (𝑇 + 1)) − 1) = ((2 · 𝑇) + 1))
121	120	oveq2d 7425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑇 ∈ ℂ → (((𝑇 + 1)↑2) − ((2 · (𝑇 + 1)) − 1)) = (((𝑇 + 1)↑2) − ((2 · 𝑇) + 1)))
122		subsub 11490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑇 + 1)↑2) ∈ ℂ ∧ (2 · (𝑇 + 1)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑇 + 1)↑2) − ((2 · (𝑇 + 1)) − 1)) = ((((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1))) + 1))
123	101, 122	mp3an3 1451	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑇 + 1)↑2) ∈ ℂ ∧ (2 · (𝑇 + 1)) ∈ ℂ) → (((𝑇 + 1)↑2) − ((2 · (𝑇 + 1)) − 1)) = ((((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1))) + 1))
124	83, 96, 123	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑇 ∈ ℂ → (((𝑇 + 1)↑2) − ((2 · (𝑇 + 1)) − 1)) = ((((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1))) + 1))
125		sqcl 14083	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑇 ∈ ℂ → (𝑇↑2) ∈ ℂ)
126		peano2cn 11386	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 · 𝑇) ∈ ℂ → ((2 · 𝑇) + 1) ∈ ℂ)
127	113, 126	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑇 ∈ ℂ → ((2 · 𝑇) + 1) ∈ ℂ)
128		binom21 14182	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑇 ∈ ℂ → ((𝑇 + 1)↑2) = (((𝑇↑2) + (2 · 𝑇)) + 1))
129		addass 11197	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑇↑2) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑇) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑇↑2) + (2 · 𝑇)) + 1) = ((𝑇↑2) + ((2 · 𝑇) + 1)))
130	101, 129	mp3an3 1451	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑇↑2) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑇) ∈ ℂ) → (((𝑇↑2) + (2 · 𝑇)) + 1) = ((𝑇↑2) + ((2 · 𝑇) + 1)))
131	125, 113, 130	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑇 ∈ ℂ → (((𝑇↑2) + (2 · 𝑇)) + 1) = ((𝑇↑2) + ((2 · 𝑇) + 1)))
132	128, 131	eqtrd 2773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑇 ∈ ℂ → ((𝑇 + 1)↑2) = ((𝑇↑2) + ((2 · 𝑇) + 1)))
133	125, 127, 132	mvrraddd 11626	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑇 ∈ ℂ → (((𝑇 + 1)↑2) − ((2 · 𝑇) + 1)) = (𝑇↑2))
134	121, 124, 133	3eqtr3d 2781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ∈ ℂ → ((((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1))) + 1) = (𝑇↑2))
135	134	oveq2d 7425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∈ ℂ → (((𝑇 + 1)↑2) · ((((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1))) + 1)) = (((𝑇 + 1)↑2) · (𝑇↑2)))
136	83, 125	mulcomd 11235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∈ ℂ → (((𝑇 + 1)↑2) · (𝑇↑2)) = ((𝑇↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)))
137	105, 135, 136	3eqtrd 2777	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ ℂ → (((((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)) − (2 · (((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑1)))) + (((𝑇 + 1)↑2) · 1)) = ((𝑇↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)))
138	86, 137	eqtrd 2773	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ ℂ → ((((𝑇 + 1)↑(2 + 2)) − (2 · ((𝑇 + 1)↑(2 + 1)))) + ((𝑇 + 1)↑2)) = ((𝑇↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)))
139	9, 138	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ ℕ0 → ((((𝑇 + 1)↑(2 + 2)) − (2 · ((𝑇 + 1)↑(2 + 1)))) + ((𝑇 + 1)↑2)) = ((𝑇↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)))
140	73, 139	eqtrid 2785	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ ℕ0 → ((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) = ((𝑇↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)))
141	65, 140	eqtrd 2773	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ ℕ0 → ((((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) − (1 / ;30)) + (1 / ;30)) = ((𝑇↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)))
142	37, 62, 141	3eqtrd 2777	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ ℕ0 → ((4 BernPoly (𝑇 + 1)) − (4 BernPoly 0)) = ((𝑇↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)))
143	142	oveq1d 7424	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ ℕ0 → (((4 BernPoly (𝑇 + 1)) − (4 BernPoly 0)) / 4) = (((𝑇↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)) / 4))
144	8, 143	eqtr3id 2787	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ ℕ0 → ((((3 + 1) BernPoly (𝑇 + 1)) − ((3 + 1) BernPoly 0)) / (3 + 1)) = (((𝑇↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)) / 4))
145	3, 144	eqtrd 2773	1 ⊢ (𝑇 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑇)(𝑘↑3) = (((𝑇↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)) / 4))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7409  ℂcc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   · cmul 11115   − cmin 11444  -cneg 11445   / cdiv 11871  ℕcn 12212  2c2 12267  3c3 12268  4c4 12269  ℕ₀cn0 12472  ;cdc 12677  ...cfz 13484  ↑cexp 14027  Σcsu 15632   BernPoly cbp 15990

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-bpoly 15991

This theorem is referenced by: (None)