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Theorem fsumcube 15943
Description: Express the sum of cubes in closed terms. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
fsumcube (𝑇 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑇)(𝑘↑3) = (((𝑇↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)) / 4))
Distinct variable group:   𝑇,𝑘

Proof of Theorem fsumcube
StepHypRef Expression
1 3nn0 12431 . . 3 3 ∈ ℕ0
2 fsumkthpow 15939 . . 3 ((3 ∈ ℕ0𝑇 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑇)(𝑘↑3) = ((((3 + 1) BernPoly (𝑇 + 1)) − ((3 + 1) BernPoly 0)) / (3 + 1)))
31, 2mpan 688 . 2 (𝑇 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑇)(𝑘↑3) = ((((3 + 1) BernPoly (𝑇 + 1)) − ((3 + 1) BernPoly 0)) / (3 + 1)))
4 df-4 12218 . . . . . 6 4 = (3 + 1)
54oveq1i 7367 . . . . 5 (4 BernPoly (𝑇 + 1)) = ((3 + 1) BernPoly (𝑇 + 1))
64oveq1i 7367 . . . . 5 (4 BernPoly 0) = ((3 + 1) BernPoly 0)
75, 6oveq12i 7369 . . . 4 ((4 BernPoly (𝑇 + 1)) − (4 BernPoly 0)) = (((3 + 1) BernPoly (𝑇 + 1)) − ((3 + 1) BernPoly 0))
87, 4oveq12i 7369 . . 3 (((4 BernPoly (𝑇 + 1)) − (4 BernPoly 0)) / 4) = ((((3 + 1) BernPoly (𝑇 + 1)) − ((3 + 1) BernPoly 0)) / (3 + 1))
9 nn0cn 12423 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ ℕ0𝑇 ∈ ℂ)
10 peano2cn 11327 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ ℂ → (𝑇 + 1) ∈ ℂ)
119, 10syl 17 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ ℕ0 → (𝑇 + 1) ∈ ℂ)
12 bpoly4 15942 . . . . . . 7 ((𝑇 + 1) ∈ ℂ → (4 BernPoly (𝑇 + 1)) = (((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) − (1 / 30)))
1311, 12syl 17 . . . . . 6 (𝑇 ∈ ℕ0 → (4 BernPoly (𝑇 + 1)) = (((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) − (1 / 30)))
14 4nn 12236 . . . . . . . . . . . . . 14 4 ∈ ℕ
15 0exp 14003 . . . . . . . . . . . . . 14 (4 ∈ ℕ → (0↑4) = 0)
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (0↑4) = 0
17 3nn 12232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ∈ ℕ
18 0exp 14003 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (3 ∈ ℕ → (0↑3) = 0)
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0↑3) = 0
2019oveq2i 7368 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 · (0↑3)) = (2 · 0)
21 2t0e0 12322 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 · 0) = 0
2220, 21eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · (0↑3)) = 0
2316, 22oveq12i 7369 . . . . . . . . . . . 12 ((0↑4) − (2 · (0↑3))) = (0 − 0)
24 0m0e0 12273 . . . . . . . . . . . 12 (0 − 0) = 0
2523, 24eqtri 2764 . . . . . . . . . . 11 ((0↑4) − (2 · (0↑3))) = 0
26 sq0 14096 . . . . . . . . . . 11 (0↑2) = 0
2725, 26oveq12i 7369 . . . . . . . . . 10 (((0↑4) − (2 · (0↑3))) + (0↑2)) = (0 + 0)
28 00id 11330 . . . . . . . . . 10 (0 + 0) = 0
2927, 28eqtri 2764 . . . . . . . . 9 (((0↑4) − (2 · (0↑3))) + (0↑2)) = 0
3029oveq1i 7367 . . . . . . . 8 ((((0↑4) − (2 · (0↑3))) + (0↑2)) − (1 / 30)) = (0 − (1 / 30))
31 0cn 11147 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℂ
32 bpoly4 15942 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℂ → (4 BernPoly 0) = ((((0↑4) − (2 · (0↑3))) + (0↑2)) − (1 / 30)))
3331, 32ax-mp 5 . . . . . . . 8 (4 BernPoly 0) = ((((0↑4) − (2 · (0↑3))) + (0↑2)) − (1 / 30))
34 df-neg 11388 . . . . . . . 8 -(1 / 30) = (0 − (1 / 30))
3530, 33, 343eqtr4i 2774 . . . . . . 7 (4 BernPoly 0) = -(1 / 30)
3635a1i 11 . . . . . 6 (𝑇 ∈ ℕ0 → (4 BernPoly 0) = -(1 / 30))
3713, 36oveq12d 7375 . . . . 5 (𝑇 ∈ ℕ0 → ((4 BernPoly (𝑇 + 1)) − (4 BernPoly 0)) = ((((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) − (1 / 30)) − -(1 / 30)))
38 4nn0 12432 . . . . . . . . . . . 12 4 ∈ ℕ0
39 expcl 13985 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑇 + 1) ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0) → ((𝑇 + 1)↑4) ∈ ℂ)
4038, 39mpan2 689 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 + 1) ∈ ℂ → ((𝑇 + 1)↑4) ∈ ℂ)
41 2cn 12228 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
42 expcl 13985 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑇 + 1) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → ((𝑇 + 1)↑3) ∈ ℂ)
431, 42mpan2 689 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 + 1) ∈ ℂ → ((𝑇 + 1)↑3) ∈ ℂ)
44 mulcl 11135 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℂ ∧ ((𝑇 + 1)↑3) ∈ ℂ) → (2 · ((𝑇 + 1)↑3)) ∈ ℂ)
4541, 43, 44sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 + 1) ∈ ℂ → (2 · ((𝑇 + 1)↑3)) ∈ ℂ)
4640, 45subcld 11512 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 + 1) ∈ ℂ → (((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) ∈ ℂ)
47 sqcl 14023 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 + 1) ∈ ℂ → ((𝑇 + 1)↑2) ∈ ℂ)
4846, 47addcld 11174 . . . . . . . . 9 ((𝑇 + 1) ∈ ℂ → ((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) ∈ ℂ)
4910, 48syl 17 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ ℂ → ((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) ∈ ℂ)
509, 49syl 17 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ ℕ0 → ((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) ∈ ℂ)
51 0nn0 12428 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℕ0
521, 51deccl 12633 . . . . . . . . 9 30 ∈ ℕ0
5352nn0cni 12425 . . . . . . . 8 30 ∈ ℂ
5452nn0rei 12424 . . . . . . . . 9 30 ∈ ℝ
55 10pos 12635 . . . . . . . . . 10 0 < 10
5617, 51, 51, 55declti 12656 . . . . . . . . 9 0 < 30
5754, 56gt0ne0ii 11691 . . . . . . . 8 30 ≠ 0
5853, 57reccli 11885 . . . . . . 7 (1 / 30) ∈ ℂ
59 subcl 11400 . . . . . . 7 ((((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) ∈ ℂ ∧ (1 / 30) ∈ ℂ) → (((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) − (1 / 30)) ∈ ℂ)
6050, 58, 59sylancl 586 . . . . . 6 (𝑇 ∈ ℕ0 → (((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) − (1 / 30)) ∈ ℂ)
61 subneg 11450 . . . . . 6 (((((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) − (1 / 30)) ∈ ℂ ∧ (1 / 30) ∈ ℂ) → ((((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) − (1 / 30)) − -(1 / 30)) = ((((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) − (1 / 30)) + (1 / 30)))
6260, 58, 61sylancl 586 . . . . 5 (𝑇 ∈ ℕ0 → ((((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) − (1 / 30)) − -(1 / 30)) = ((((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) − (1 / 30)) + (1 / 30)))
63 npcan 11410 . . . . . . . 8 ((((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) ∈ ℂ ∧ (1 / 30) ∈ ℂ) → ((((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) − (1 / 30)) + (1 / 30)) = ((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)))
6449, 58, 63sylancl 586 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ ℂ → ((((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) − (1 / 30)) + (1 / 30)) = ((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)))
659, 64syl 17 . . . . . 6 (𝑇 ∈ ℕ0 → ((((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) − (1 / 30)) + (1 / 30)) = ((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)))
66 2p2e4 12288 . . . . . . . . . . 11 (2 + 2) = 4
6766eqcomi 2745 . . . . . . . . . 10 4 = (2 + 2)
6867oveq2i 7368 . . . . . . . . 9 ((𝑇 + 1)↑4) = ((𝑇 + 1)↑(2 + 2))
69 df-3 12217 . . . . . . . . . . 11 3 = (2 + 1)
7069oveq2i 7368 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 + 1)↑3) = ((𝑇 + 1)↑(2 + 1))
7170oveq2i 7368 . . . . . . . . 9 (2 · ((𝑇 + 1)↑3)) = (2 · ((𝑇 + 1)↑(2 + 1)))
7268, 71oveq12i 7369 . . . . . . . 8 (((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) = (((𝑇 + 1)↑(2 + 2)) − (2 · ((𝑇 + 1)↑(2 + 1))))
7372oveq1i 7367 . . . . . . 7 ((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) = ((((𝑇 + 1)↑(2 + 2)) − (2 · ((𝑇 + 1)↑(2 + 1)))) + ((𝑇 + 1)↑2))
74 2nn0 12430 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℕ0
75 expadd 14010 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑇 + 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((𝑇 + 1)↑(2 + 2)) = (((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)))
7674, 74, 75mp3an23 1453 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 + 1) ∈ ℂ → ((𝑇 + 1)↑(2 + 2)) = (((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)))
77 1nn0 12429 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℕ0
78 expadd 14010 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑇 + 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → ((𝑇 + 1)↑(2 + 1)) = (((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑1)))
7974, 77, 78mp3an23 1453 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 + 1) ∈ ℂ → ((𝑇 + 1)↑(2 + 1)) = (((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑1)))
8079oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 + 1) ∈ ℂ → (2 · ((𝑇 + 1)↑(2 + 1))) = (2 · (((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑1))))
8176, 80oveq12d 7375 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 + 1) ∈ ℂ → (((𝑇 + 1)↑(2 + 2)) − (2 · ((𝑇 + 1)↑(2 + 1)))) = ((((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)) − (2 · (((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑1)))))
8210, 81syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ ℂ → (((𝑇 + 1)↑(2 + 2)) − (2 · ((𝑇 + 1)↑(2 + 1)))) = ((((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)) − (2 · (((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑1)))))
8310sqcld 14049 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ ℂ → ((𝑇 + 1)↑2) ∈ ℂ)
8483mulid1d 11172 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ ℂ → (((𝑇 + 1)↑2) · 1) = ((𝑇 + 1)↑2))
8584eqcomd 2742 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ ℂ → ((𝑇 + 1)↑2) = (((𝑇 + 1)↑2) · 1))
8682, 85oveq12d 7375 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ ℂ → ((((𝑇 + 1)↑(2 + 2)) − (2 · ((𝑇 + 1)↑(2 + 1)))) + ((𝑇 + 1)↑2)) = (((((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)) − (2 · (((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑1)))) + (((𝑇 + 1)↑2) · 1)))
8710exp1d 14046 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑇 ∈ ℂ → ((𝑇 + 1)↑1) = (𝑇 + 1))
8887oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑇 ∈ ℂ → (2 · ((𝑇 + 1)↑1)) = (2 · (𝑇 + 1)))
8988oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑇 ∈ ℂ → (((𝑇 + 1)↑2) · (2 · ((𝑇 + 1)↑1))) = (((𝑇 + 1)↑2) · (2 · (𝑇 + 1))))
9089oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ ℂ → ((((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)) − (((𝑇 + 1)↑2) · (2 · ((𝑇 + 1)↑1)))) = ((((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)) − (((𝑇 + 1)↑2) · (2 · (𝑇 + 1)))))
9187, 10eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑇 ∈ ℂ → ((𝑇 + 1)↑1) ∈ ℂ)
92 mul12 11320 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℂ ∧ ((𝑇 + 1)↑2) ∈ ℂ ∧ ((𝑇 + 1)↑1) ∈ ℂ) → (2 · (((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑1))) = (((𝑇 + 1)↑2) · (2 · ((𝑇 + 1)↑1))))
9341, 83, 91, 92mp3an2i 1466 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑇 ∈ ℂ → (2 · (((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑1))) = (((𝑇 + 1)↑2) · (2 · ((𝑇 + 1)↑1))))
9493oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ ℂ → ((((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)) − (2 · (((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑1)))) = ((((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)) − (((𝑇 + 1)↑2) · (2 · ((𝑇 + 1)↑1)))))
95 mulcl 11135 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑇 + 1) ∈ ℂ) → (2 · (𝑇 + 1)) ∈ ℂ)
9641, 10, 95sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑇 ∈ ℂ → (2 · (𝑇 + 1)) ∈ ℂ)
9783, 83, 96subdid 11611 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ ℂ → (((𝑇 + 1)↑2) · (((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1)))) = ((((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)) − (((𝑇 + 1)↑2) · (2 · (𝑇 + 1)))))
9890, 94, 973eqtr4d 2786 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ ℂ → ((((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)) − (2 · (((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑1)))) = (((𝑇 + 1)↑2) · (((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1)))))
9998oveq1d 7372 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ ℂ → (((((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)) − (2 · (((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑1)))) + (((𝑇 + 1)↑2) · 1)) = ((((𝑇 + 1)↑2) · (((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1)))) + (((𝑇 + 1)↑2) · 1)))
10083, 96subcld 11512 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ ℂ → (((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1))) ∈ ℂ)
101 ax-1cn 11109 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
102 adddi 11140 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑇 + 1)↑2) ∈ ℂ ∧ (((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1))) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑇 + 1)↑2) · ((((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1))) + 1)) = ((((𝑇 + 1)↑2) · (((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1)))) + (((𝑇 + 1)↑2) · 1)))
103101, 102mp3an3 1450 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑇 + 1)↑2) ∈ ℂ ∧ (((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1))) ∈ ℂ) → (((𝑇 + 1)↑2) · ((((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1))) + 1)) = ((((𝑇 + 1)↑2) · (((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1)))) + (((𝑇 + 1)↑2) · 1)))
10483, 100, 103syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ ℂ → (((𝑇 + 1)↑2) · ((((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1))) + 1)) = ((((𝑇 + 1)↑2) · (((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1)))) + (((𝑇 + 1)↑2) · 1)))
10599, 104eqtr4d 2779 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ ℂ → (((((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)) − (2 · (((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑1)))) + (((𝑇 + 1)↑2) · 1)) = (((𝑇 + 1)↑2) · ((((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1))) + 1)))
106 adddi 11140 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (2 · (𝑇 + 1)) = ((2 · 𝑇) + (2 · 1)))
10741, 101, 106mp3an13 1452 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑇 ∈ ℂ → (2 · (𝑇 + 1)) = ((2 · 𝑇) + (2 · 1)))
108 2t1e2 12316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 · 1) = 2
109108oveq2i 7368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 · 𝑇) + (2 · 1)) = ((2 · 𝑇) + 2)
110107, 109eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑇 ∈ ℂ → (2 · (𝑇 + 1)) = ((2 · 𝑇) + 2))
111110oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑇 ∈ ℂ → ((2 · (𝑇 + 1)) − 1) = (((2 · 𝑇) + 2) − 1))
112 mulcl 11135 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (2 · 𝑇) ∈ ℂ)
11341, 112mpan 688 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑇 ∈ ℂ → (2 · 𝑇) ∈ ℂ)
114 addsubass 11411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((2 · 𝑇) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑇) + 2) − 1) = ((2 · 𝑇) + (2 − 1)))
11541, 101, 114mp3an23 1453 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 · 𝑇) ∈ ℂ → (((2 · 𝑇) + 2) − 1) = ((2 · 𝑇) + (2 − 1)))
116113, 115syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑇 ∈ ℂ → (((2 · 𝑇) + 2) − 1) = ((2 · 𝑇) + (2 − 1)))
117 2m1e1 12279 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 − 1) = 1
118117oveq2i 7368 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 · 𝑇) + (2 − 1)) = ((2 · 𝑇) + 1)
119116, 118eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑇 ∈ ℂ → (((2 · 𝑇) + 2) − 1) = ((2 · 𝑇) + 1))
120111, 119eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ ℂ → ((2 · (𝑇 + 1)) − 1) = ((2 · 𝑇) + 1))
121120oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ ℂ → (((𝑇 + 1)↑2) − ((2 · (𝑇 + 1)) − 1)) = (((𝑇 + 1)↑2) − ((2 · 𝑇) + 1)))
122 subsub 11431 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑇 + 1)↑2) ∈ ℂ ∧ (2 · (𝑇 + 1)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑇 + 1)↑2) − ((2 · (𝑇 + 1)) − 1)) = ((((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1))) + 1))
123101, 122mp3an3 1450 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑇 + 1)↑2) ∈ ℂ ∧ (2 · (𝑇 + 1)) ∈ ℂ) → (((𝑇 + 1)↑2) − ((2 · (𝑇 + 1)) − 1)) = ((((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1))) + 1))
12483, 96, 123syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ ℂ → (((𝑇 + 1)↑2) − ((2 · (𝑇 + 1)) − 1)) = ((((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1))) + 1))
125 sqcl 14023 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ ℂ → (𝑇↑2) ∈ ℂ)
126 peano2cn 11327 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 · 𝑇) ∈ ℂ → ((2 · 𝑇) + 1) ∈ ℂ)
127113, 126syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ ℂ → ((2 · 𝑇) + 1) ∈ ℂ)
128 binom21 14122 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑇 ∈ ℂ → ((𝑇 + 1)↑2) = (((𝑇↑2) + (2 · 𝑇)) + 1))
129 addass 11138 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑇↑2) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑇) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑇↑2) + (2 · 𝑇)) + 1) = ((𝑇↑2) + ((2 · 𝑇) + 1)))
130101, 129mp3an3 1450 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑇↑2) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑇) ∈ ℂ) → (((𝑇↑2) + (2 · 𝑇)) + 1) = ((𝑇↑2) + ((2 · 𝑇) + 1)))
131125, 113, 130syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑇 ∈ ℂ → (((𝑇↑2) + (2 · 𝑇)) + 1) = ((𝑇↑2) + ((2 · 𝑇) + 1)))
132128, 131eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ ℂ → ((𝑇 + 1)↑2) = ((𝑇↑2) + ((2 · 𝑇) + 1)))
133125, 127, 132mvrraddd 11567 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ ℂ → (((𝑇 + 1)↑2) − ((2 · 𝑇) + 1)) = (𝑇↑2))
134121, 124, 1333eqtr3d 2784 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ ℂ → ((((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1))) + 1) = (𝑇↑2))
135134oveq2d 7373 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ ℂ → (((𝑇 + 1)↑2) · ((((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1))) + 1)) = (((𝑇 + 1)↑2) · (𝑇↑2)))
13683, 125mulcomd 11176 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ ℂ → (((𝑇 + 1)↑2) · (𝑇↑2)) = ((𝑇↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)))
137105, 135, 1363eqtrd 2780 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ ℂ → (((((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)) − (2 · (((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑1)))) + (((𝑇 + 1)↑2) · 1)) = ((𝑇↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)))
13886, 137eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ ℂ → ((((𝑇 + 1)↑(2 + 2)) − (2 · ((𝑇 + 1)↑(2 + 1)))) + ((𝑇 + 1)↑2)) = ((𝑇↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)))
1399, 138syl 17 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ ℕ0 → ((((𝑇 + 1)↑(2 + 2)) − (2 · ((𝑇 + 1)↑(2 + 1)))) + ((𝑇 + 1)↑2)) = ((𝑇↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)))
14073, 139eqtrid 2788 . . . . . 6 (𝑇 ∈ ℕ0 → ((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) = ((𝑇↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)))
14165, 140eqtrd 2776 . . . . 5 (𝑇 ∈ ℕ0 → ((((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) − (1 / 30)) + (1 / 30)) = ((𝑇↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)))
14237, 62, 1413eqtrd 2780 . . . 4 (𝑇 ∈ ℕ0 → ((4 BernPoly (𝑇 + 1)) − (4 BernPoly 0)) = ((𝑇↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)))
143142oveq1d 7372 . . 3 (𝑇 ∈ ℕ0 → (((4 BernPoly (𝑇 + 1)) − (4 BernPoly 0)) / 4) = (((𝑇↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)) / 4))
1448, 143eqtr3id 2790 . 2 (𝑇 ∈ ℕ0 → ((((3 + 1) BernPoly (𝑇 + 1)) − ((3 + 1) BernPoly 0)) / (3 + 1)) = (((𝑇↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)) / 4))
1453, 144eqtrd 2776 1 (𝑇 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑇)(𝑘↑3) = (((𝑇↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)) / 4))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106  (class class class)co 7357  cc 11049  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  cmin 11385  -cneg 11386   / cdiv 11812  cn 12153  2c2 12208  3c3 12209  4c4 12210  0cn0 12413  cdc 12618  ...cfz 13424  cexp 13967  Σcsu 15570   BernPoly cbp 15929
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-bpoly 15930
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