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Theorem ablfacrp 19756
Description: A finite abelian group whose order factors into relatively prime integers, itself "factors" into two subgroups 𝐾, 𝐿 that have trivial intersection and whose product is the whole group. Lemma 6.1C.2 of [Shapiro], p. 199. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfacrp.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablfacrp.o 𝑂 = (od‘𝐺)
ablfacrp.k 𝐾 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀}
ablfacrp.l 𝐿 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁}
ablfacrp.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
ablfacrp.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
ablfacrp.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
ablfacrp.1 (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
ablfacrp.2 (𝜑 → (♯‘𝐵) = (𝑀 · 𝑁))
ablfacrp.z 0 = (0g𝐺)
ablfacrp.s = (LSSum‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
ablfacrp (𝜑 → ((𝐾𝐿) = { 0 } ∧ (𝐾 𝐿) = 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝑂   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥   𝑥, 0
Allowed substitution hints:   (𝑥)   𝐾(𝑥)   𝐿(𝑥)

Proof of Theorem ablfacrp
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ablfacrp.k . . . . . 6 𝐾 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀}
2 ablfacrp.l . . . . . 6 𝐿 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁}
31, 2ineq12i 4156 . . . . 5 (𝐾𝐿) = ({𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀} ∩ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁})
4 inrab 4252 . . . . 5 ({𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀} ∩ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁}) = {𝑥𝐵 ∣ ((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁)}
53, 4eqtri 2764 . . . 4 (𝐾𝐿) = {𝑥𝐵 ∣ ((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁)}
6 ablfacrp.b . . . . . . . . . . . . . 14 𝐵 = (Base‘𝐺)
7 ablfacrp.o . . . . . . . . . . . . . 14 𝑂 = (od‘𝐺)
86, 7odcl 19232 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐵 → (𝑂𝑥) ∈ ℕ0)
98adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑂𝑥) ∈ ℕ0)
109nn0zd 12517 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑂𝑥) ∈ ℤ)
11 ablfacrp.m . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
1211nnzd 12518 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
1312adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑀 ∈ ℤ)
14 ablfacrp.n . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
1514nnzd 12518 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
1615adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑁 ∈ ℤ)
17 dvdsgcd 16343 . . . . . . . . . . 11 (((𝑂𝑥) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁) → (𝑂𝑥) ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
1810, 13, 16, 17syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐵) → (((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁) → (𝑂𝑥) ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
19183impia 1116 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁)) → (𝑂𝑥) ∥ (𝑀 gcd 𝑁))
20 ablfacrp.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
21203ad2ant1 1132 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁)) → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
2219, 21breqtrd 5115 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁)) → (𝑂𝑥) ∥ 1)
23 simp2 1136 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁)) → 𝑥𝐵)
24 dvds1 16119 . . . . . . . . 9 ((𝑂𝑥) ∈ ℕ0 → ((𝑂𝑥) ∥ 1 ↔ (𝑂𝑥) = 1))
2523, 8, 243syl 18 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁)) → ((𝑂𝑥) ∥ 1 ↔ (𝑂𝑥) = 1))
2622, 25mpbid 231 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁)) → (𝑂𝑥) = 1)
27 ablfacrp.g . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
28 ablgrp 19478 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
30293ad2ant1 1132 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁)) → 𝐺 ∈ Grp)
31 ablfacrp.z . . . . . . . . 9 0 = (0g𝐺)
327, 31, 6odeq1 19255 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑂𝑥) = 1 ↔ 𝑥 = 0 ))
3330, 23, 32syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁)) → ((𝑂𝑥) = 1 ↔ 𝑥 = 0 ))
3426, 33mpbid 231 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁)) → 𝑥 = 0 )
35 velsn 4588 . . . . . 6 (𝑥 ∈ { 0 } ↔ 𝑥 = 0 )
3634, 35sylibr 233 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁)) → 𝑥 ∈ { 0 })
3736rabssdv 4019 . . . 4 (𝜑 → {𝑥𝐵 ∣ ((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁)} ⊆ { 0 })
385, 37eqsstrid 3979 . . 3 (𝜑 → (𝐾𝐿) ⊆ { 0 })
397, 6oddvdssubg 19543 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀} ∈ (SubGrp‘𝐺))
4027, 12, 39syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀} ∈ (SubGrp‘𝐺))
411, 40eqeltrid 2841 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4231subg0cl 18851 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0𝐾)
4341, 42syl 17 . . . . 5 (𝜑0𝐾)
447, 6oddvdssubg 19543 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} ∈ (SubGrp‘𝐺))
4527, 15, 44syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} ∈ (SubGrp‘𝐺))
462, 45eqeltrid 2841 . . . . . 6 (𝜑𝐿 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4731subg0cl 18851 . . . . . 6 (𝐿 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0𝐿)
4846, 47syl 17 . . . . 5 (𝜑0𝐿)
4943, 48elind 4140 . . . 4 (𝜑0 ∈ (𝐾𝐿))
5049snssd 4755 . . 3 (𝜑 → { 0 } ⊆ (𝐾𝐿))
5138, 50eqssd 3948 . 2 (𝜑 → (𝐾𝐿) = { 0 })
52 ablfacrp.s . . . . . 6 = (LSSum‘𝐺)
5352lsmsubg2 19547 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐿 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐾 𝐿) ∈ (SubGrp‘𝐺))
5427, 41, 46, 53syl3anc 1370 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 𝐿) ∈ (SubGrp‘𝐺))
556subgss 18844 . . . 4 ((𝐾 𝐿) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐾 𝐿) ⊆ 𝐵)
5654, 55syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐾 𝐿) ⊆ 𝐵)
57 eqid 2736 . . . . . 6 (.g𝐺) = (.g𝐺)
586, 57mulg1 18799 . . . . 5 (𝑔𝐵 → (1(.g𝐺)𝑔) = 𝑔)
5958adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝑔𝐵) → (1(.g𝐺)𝑔) = 𝑔)
60 bezout 16342 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏)))
6112, 15, 60syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏)))
6261adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝐵) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏)))
6320ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
6463eqeq1d 2738 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏)) ↔ 1 = ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏))))
6512ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℤ)
66 simprl 768 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℤ)
6765, 66zmulcld 12525 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑀 · 𝑎) ∈ ℤ)
6867zcnd 12520 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑀 · 𝑎) ∈ ℂ)
6915ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
70 simprr 770 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑏 ∈ ℤ)
7169, 70zmulcld 12525 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑁 · 𝑏) ∈ ℤ)
7271zcnd 12520 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑁 · 𝑏) ∈ ℂ)
7368, 72addcomd 11270 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏)) = ((𝑁 · 𝑏) + (𝑀 · 𝑎)))
7473oveq1d 7344 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏))(.g𝐺)𝑔) = (((𝑁 · 𝑏) + (𝑀 · 𝑎))(.g𝐺)𝑔))
7529ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝐺 ∈ Grp)
76 simplr 766 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑔𝐵)
77 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (+g𝐺) = (+g𝐺)
786, 57, 77mulgdir 18823 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑁 · 𝑏) ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑎) ∈ ℤ ∧ 𝑔𝐵)) → (((𝑁 · 𝑏) + (𝑀 · 𝑎))(.g𝐺)𝑔) = (((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔)(+g𝐺)((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔)))
7975, 71, 67, 76, 78syl13anc 1371 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑁 · 𝑏) + (𝑀 · 𝑎))(.g𝐺)𝑔) = (((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔)(+g𝐺)((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔)))
8074, 79eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏))(.g𝐺)𝑔) = (((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔)(+g𝐺)((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔)))
8141ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
8246ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝐿 ∈ (SubGrp‘𝐺))
836, 57mulgcl 18809 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 · 𝑏) ∈ ℤ ∧ 𝑔𝐵) → ((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔) ∈ 𝐵)
8475, 71, 76, 83syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔) ∈ 𝐵)
856, 7odcl 19232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑔𝐵 → (𝑂𝑔) ∈ ℕ0)
8685ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑂𝑔) ∈ ℕ0)
8786nn0zd 12517 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑂𝑔) ∈ ℤ)
8865, 69zmulcld 12525 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
89 ablfacrp.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (♯‘𝐵) = (𝑀 · 𝑁))
9011, 14nnmulcld 12119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ)
9190nnnn0d 12386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)
9289, 91eqeltrd 2837 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
936fvexi 6833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐵 ∈ V
94 hashclb 14165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ Fin ↔ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0))
9593, 94ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐵 ∈ Fin ↔ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
9692, 95sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
9796ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ Fin)
986, 7oddvds2 19261 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑔𝐵) → (𝑂𝑔) ∥ (♯‘𝐵))
9975, 97, 76, 98syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑂𝑔) ∥ (♯‘𝐵))
10089ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (♯‘𝐵) = (𝑀 · 𝑁))
10199, 100breqtrd 5115 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑂𝑔) ∥ (𝑀 · 𝑁))
10287, 88, 70, 101dvdsmultr1d 16097 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑂𝑔) ∥ ((𝑀 · 𝑁) · 𝑏))
10365zcnd 12520 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℂ)
10469zcnd 12520 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
10570zcnd 12520 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑏 ∈ ℂ)
106103, 104, 105mulassd 11091 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑏) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑏)))
107102, 106breqtrd 5115 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑂𝑔) ∥ (𝑀 · (𝑁 · 𝑏)))
1086, 7, 57odmulgid 19249 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑔𝐵 ∧ (𝑁 · 𝑏) ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑂‘((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔)) ∥ 𝑀 ↔ (𝑂𝑔) ∥ (𝑀 · (𝑁 · 𝑏))))
10975, 76, 71, 65, 108syl31anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔)) ∥ 𝑀 ↔ (𝑂𝑔) ∥ (𝑀 · (𝑁 · 𝑏))))
110107, 109mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑂‘((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔)) ∥ 𝑀)
111 fveq2 6819 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = ((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔) → (𝑂𝑥) = (𝑂‘((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔)))
112111breq1d 5099 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔) → ((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ↔ (𝑂‘((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔)) ∥ 𝑀))
113112, 1elrab2 3637 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔) ∈ 𝐾 ↔ (((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔) ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔)) ∥ 𝑀))
11484, 110, 113sylanbrc 583 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔) ∈ 𝐾)
1156, 57mulgcl 18809 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 · 𝑎) ∈ ℤ ∧ 𝑔𝐵) → ((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔) ∈ 𝐵)
11675, 67, 76, 115syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔) ∈ 𝐵)
11787, 88, 66, 101dvdsmultr1d 16097 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑂𝑔) ∥ ((𝑀 · 𝑁) · 𝑎))
118 zcn 12417 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
119118ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℂ)
120 mulass 11052 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑎) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑎)))
121 mul12 11233 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (𝑀 · (𝑁 · 𝑎)) = (𝑁 · (𝑀 · 𝑎)))
122120, 121eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑎) = (𝑁 · (𝑀 · 𝑎)))
123103, 104, 119, 122syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑎) = (𝑁 · (𝑀 · 𝑎)))
124117, 123breqtrd 5115 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑂𝑔) ∥ (𝑁 · (𝑀 · 𝑎)))
1256, 7, 57odmulgid 19249 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑔𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑎) ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑂‘((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔)) ∥ 𝑁 ↔ (𝑂𝑔) ∥ (𝑁 · (𝑀 · 𝑎))))
12675, 76, 67, 69, 125syl31anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔)) ∥ 𝑁 ↔ (𝑂𝑔) ∥ (𝑁 · (𝑀 · 𝑎))))
127124, 126mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑂‘((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔)) ∥ 𝑁)
128 fveq2 6819 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = ((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔) → (𝑂𝑥) = (𝑂‘((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔)))
129128breq1d 5099 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔) → ((𝑂𝑥) ∥ 𝑁 ↔ (𝑂‘((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔)) ∥ 𝑁))
130129, 2elrab2 3637 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔) ∈ 𝐿 ↔ (((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔) ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔)) ∥ 𝑁))
131116, 127, 130sylanbrc 583 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔) ∈ 𝐿)
13277, 52lsmelvali 19343 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐿 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔) ∈ 𝐾 ∧ ((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔) ∈ 𝐿)) → (((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔)(+g𝐺)((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔)) ∈ (𝐾 𝐿))
13381, 82, 114, 131, 132syl22anc 836 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔)(+g𝐺)((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔)) ∈ (𝐾 𝐿))
13480, 133eqeltrd 2837 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏))(.g𝐺)𝑔) ∈ (𝐾 𝐿))
135 oveq1 7336 . . . . . . . . 9 (1 = ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏)) → (1(.g𝐺)𝑔) = (((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏))(.g𝐺)𝑔))
136135eleq1d 2821 . . . . . . . 8 (1 = ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏)) → ((1(.g𝐺)𝑔) ∈ (𝐾 𝐿) ↔ (((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏))(.g𝐺)𝑔) ∈ (𝐾 𝐿)))
137134, 136syl5ibrcom 246 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (1 = ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏)) → (1(.g𝐺)𝑔) ∈ (𝐾 𝐿)))
13864, 137sylbid 239 . . . . . 6 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏)) → (1(.g𝐺)𝑔) ∈ (𝐾 𝐿)))
139138rexlimdvva 3201 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝐵) → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏)) → (1(.g𝐺)𝑔) ∈ (𝐾 𝐿)))
14062, 139mpd 15 . . . 4 ((𝜑𝑔𝐵) → (1(.g𝐺)𝑔) ∈ (𝐾 𝐿))
14159, 140eqeltrrd 2838 . . 3 ((𝜑𝑔𝐵) → 𝑔 ∈ (𝐾 𝐿))
14256, 141eqelssd 3952 . 2 (𝜑 → (𝐾 𝐿) = 𝐵)
14351, 142jca 512 1 (𝜑 → ((𝐾𝐿) = { 0 } ∧ (𝐾 𝐿) = 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wrex 3070  {crab 3403  Vcvv 3441  cin 3896  wss 3897  {csn 4572   class class class wbr 5089  cfv 6473  (class class class)co 7329  Fincfn 8796  cc 10962  1c1 10965   + caddc 10967   · cmul 10969  cn 12066  0cn0 12326  cz 12412  chash 14137  cdvds 16054   gcd cgcd 16292  Basecbs 17001  +gcplusg 17051  0gc0g 17239  Grpcgrp 18665  .gcmg 18788  SubGrpcsubg 18837  odcod 19220  LSSumclsm 19327  Abelcabl 19474
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5226  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-inf2 9490  ax-cnex 11020  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040  ax-pre-mulgt0 11041  ax-pre-sup 11042
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4852  df-int 4894  df-iun 4940  df-disj 5055  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-isom 6482  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-om 7773  df-1st 7891  df-2nd 7892  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-1o 8359  df-oadd 8363  df-omul 8364  df-er 8561  df-ec 8563  df-qs 8567  df-map 8680  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-fin 8800  df-sup 9291  df-inf 9292  df-oi 9359  df-card 9788  df-acn 9791  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-le 11108  df-sub 11300  df-neg 11301  df-div 11726  df-nn 12067  df-2 12129  df-3 12130  df-n0 12327  df-z 12413  df-uz 12676  df-rp 12824  df-fz 13333  df-fzo 13476  df-fl 13605  df-mod 13683  df-seq 13815  df-exp 13876  df-hash 14138  df-cj 14901  df-re 14902  df-im 14903  df-sqrt 15037  df-abs 15038  df-clim 15288  df-sum 15489  df-dvds 16055  df-gcd 16293  df-sets 16954  df-slot 16972  df-ndx 16984  df-base 17002  df-ress 17031  df-plusg 17064  df-0g 17241  df-mgm 18415  df-sgrp 18464  df-mnd 18475  df-submnd 18520  df-grp 18668  df-minusg 18669  df-sbg 18670  df-mulg 18789  df-subg 18840  df-eqg 18842  df-cntz 19011  df-od 19224  df-lsm 19329  df-cmn 19475  df-abl 19476
This theorem is referenced by:  ablfacrp2  19757  ablfac1b  19760
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