Theorem ablfacrp 19584

Description: A finite abelian group whose order factors into relatively prime integers, itself "factors" into two subgroups 𝐾, 𝐿 that have trivial intersection and whose product is the whole group. Lemma 6.1C.2 of [Shapiro], p. 199. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablfacrp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablfacrp.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
ablfacrp.k	⊢ 𝐾 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑀}
ablfacrp.l	⊢ 𝐿 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁}
ablfacrp.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablfacrp.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
ablfacrp.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
ablfacrp.1	⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
ablfacrp.2	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = (𝑀 · 𝑁))
ablfacrp.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
ablfacrp.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ablfacrp	⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∩ 𝐿) = { 0 } ∧ (𝐾 ⊕ 𝐿) = 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝑂   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥   𝑥, 0

Allowed substitution hints:   ⊕ (𝑥)   𝐾(𝑥)   𝐿(𝑥)

Proof of Theorem ablfacrp

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablfacrp.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑀}
2		ablfacrp.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁}
3	1, 2	ineq12i 4141	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∩ 𝐿) = ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑀} ∩ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁})
4		inrab 4237	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑀} ∩ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁}) = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((𝑂‘𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁)}
5	3, 4	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∩ 𝐿) = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((𝑂‘𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁)}
6		ablfacrp.b	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7		ablfacrp.o	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
8	6, 7	odcl 19059	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑂‘𝑥) ∈ ℕ0)
9	8	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑂‘𝑥) ∈ ℕ0)
10	9	nn0zd 12353	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑂‘𝑥) ∈ ℤ)
11		ablfacrp.m	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
12	11	nnzd 12354	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
13	12	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ ℤ)
14		ablfacrp.n	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
15	14	nnzd 12354	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
16	15	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ℤ)
17		dvdsgcd 16180	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑂‘𝑥) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑂‘𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁) → (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
18	10, 13, 16, 17	syl3anc 1369	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (((𝑂‘𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁) → (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
19	18	3impia 1115	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁)) → (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑀 gcd 𝑁))
20		ablfacrp.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
21	20	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁)) → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
22	19, 21	breqtrd 5096	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁)) → (𝑂‘𝑥) ∥ 1)
23		simp2 1135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
24		dvds1 15956	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑂‘𝑥) ∈ ℕ0 → ((𝑂‘𝑥) ∥ 1 ↔ (𝑂‘𝑥) = 1))
25	23, 8, 24	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁)) → ((𝑂‘𝑥) ∥ 1 ↔ (𝑂‘𝑥) = 1))
26	22, 25	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁)) → (𝑂‘𝑥) = 1)
27		ablfacrp.g	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
28		ablgrp 19306	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
30	29	3ad2ant1 1131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁)) → 𝐺 ∈ Grp)
31		ablfacrp.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
32	7, 31, 6	odeq1 19082	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑂‘𝑥) = 1 ↔ 𝑥 = 0 ))
33	30, 23, 32	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁)) → ((𝑂‘𝑥) = 1 ↔ 𝑥 = 0 ))
34	26, 33	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁)) → 𝑥 = 0 )
35		velsn 4574	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ { 0 } ↔ 𝑥 = 0 )
36	34, 35	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁)) → 𝑥 ∈ { 0 })
37	36	rabssdv 4004	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ((𝑂‘𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁)} ⊆ { 0 })
38	5, 37	eqsstrid 3965	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∩ 𝐿) ⊆ { 0 })
39	7, 6	oddvdssubg 19371	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑀} ∈ (SubGrp‘𝐺))
40	27, 12, 39	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑀} ∈ (SubGrp‘𝐺))
41	1, 40	eqeltrid 2843	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
42	31	subg0cl 18678	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ 𝐾)
43	41, 42	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐾)
44	7, 6	oddvdssubg 19371	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ∈ (SubGrp‘𝐺))
45	27, 15, 44	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ∈ (SubGrp‘𝐺))
46	2, 45	eqeltrid 2843	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (SubGrp‘𝐺))
47	31	subg0cl 18678	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ 𝐿)
48	46, 47	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐿)
49	43, 48	elind 4124	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (𝐾 ∩ 𝐿))
50	49	snssd 4739	. . 3 ⊢ (𝜑 → { 0 } ⊆ (𝐾 ∩ 𝐿))
51	38, 50	eqssd 3934	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∩ 𝐿) = { 0 })
52		ablfacrp.s	. . . . . 6 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
53	52	lsmsubg2 19375	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐿 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐾 ⊕ 𝐿) ∈ (SubGrp‘𝐺))
54	27, 41, 46, 53	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ⊕ 𝐿) ∈ (SubGrp‘𝐺))
55	6	subgss 18671	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ⊕ 𝐿) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐾 ⊕ 𝐿) ⊆ 𝐵)
56	54, 55	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ⊕ 𝐿) ⊆ 𝐵)
57		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
58	6, 57	mulg1 18626	. . . . 5 ⊢ (𝑔 ∈ 𝐵 → (1(.g‘𝐺)𝑔) = 𝑔)
59	58	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → (1(.g‘𝐺)𝑔) = 𝑔)
60		bezout 16179	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏)))
61	12, 15, 60	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏)))
62	61	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏)))
63	20	ad2antrr 722	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
64	63	eqeq1d 2740	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏)) ↔ 1 = ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏))))
65	12	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℤ)
66		simprl 767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℤ)
67	65, 66	zmulcld 12361	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑀 · 𝑎) ∈ ℤ)
68	67	zcnd 12356	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑀 · 𝑎) ∈ ℂ)
69	15	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
70		simprr 769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑏 ∈ ℤ)
71	69, 70	zmulcld 12361	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑁 · 𝑏) ∈ ℤ)
72	71	zcnd 12356	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑁 · 𝑏) ∈ ℂ)
73	68, 72	addcomd 11107	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏)) = ((𝑁 · 𝑏) + (𝑀 · 𝑎)))
74	73	oveq1d 7270	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏))(.g‘𝐺)𝑔) = (((𝑁 · 𝑏) + (𝑀 · 𝑎))(.g‘𝐺)𝑔))
75	29	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝐺 ∈ Grp)
76		simplr 765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑔 ∈ 𝐵)
77		eqid 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
78	6, 57, 77	mulgdir 18650	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑁 · 𝑏) ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑎) ∈ ℤ ∧ 𝑔 ∈ 𝐵)) → (((𝑁 · 𝑏) + (𝑀 · 𝑎))(.g‘𝐺)𝑔) = (((𝑁 · 𝑏)(.g‘𝐺)𝑔)(+g‘𝐺)((𝑀 · 𝑎)(.g‘𝐺)𝑔)))
79	75, 71, 67, 76, 78	syl13anc 1370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑁 · 𝑏) + (𝑀 · 𝑎))(.g‘𝐺)𝑔) = (((𝑁 · 𝑏)(.g‘𝐺)𝑔)(+g‘𝐺)((𝑀 · 𝑎)(.g‘𝐺)𝑔)))
80	74, 79	eqtrd 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏))(.g‘𝐺)𝑔) = (((𝑁 · 𝑏)(.g‘𝐺)𝑔)(+g‘𝐺)((𝑀 · 𝑎)(.g‘𝐺)𝑔)))
81	41	ad2antrr 722	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
82	46	ad2antrr 722	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝐿 ∈ (SubGrp‘𝐺))
83	6, 57	mulgcl 18636	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 · 𝑏) ∈ ℤ ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → ((𝑁 · 𝑏)(.g‘𝐺)𝑔) ∈ 𝐵)
84	75, 71, 76, 83	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑁 · 𝑏)(.g‘𝐺)𝑔) ∈ 𝐵)
85	6, 7	odcl 19059	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑔 ∈ 𝐵 → (𝑂‘𝑔) ∈ ℕ0)
86	85	ad2antlr 723	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑂‘𝑔) ∈ ℕ0)
87	86	nn0zd 12353	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑂‘𝑔) ∈ ℤ)
88	65, 69	zmulcld 12361	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
89		ablfacrp.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = (𝑀 · 𝑁))
90	11, 14	nnmulcld 11956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ)
91	90	nnnn0d 12223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)
92	89, 91	eqeltrd 2839	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
93	6	fvexi 6770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐵 ∈ V
94		hashclb 14001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ Fin ↔ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0))
95	93, 94	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐵 ∈ Fin ↔ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
96	92, 95	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
97	96	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ Fin)
98	6, 7	oddvds2 19088	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → (𝑂‘𝑔) ∥ (♯‘𝐵))
99	75, 97, 76, 98	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑂‘𝑔) ∥ (♯‘𝐵))
100	89	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (♯‘𝐵) = (𝑀 · 𝑁))
101	99, 100	breqtrd 5096	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑂‘𝑔) ∥ (𝑀 · 𝑁))
102	87, 88, 70, 101	dvdsmultr1d 15934	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑂‘𝑔) ∥ ((𝑀 · 𝑁) · 𝑏))
103	65	zcnd 12356	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℂ)
104	69	zcnd 12356	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
105	70	zcnd 12356	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑏 ∈ ℂ)
106	103, 104, 105	mulassd 10929	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑏) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑏)))
107	102, 106	breqtrd 5096	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑂‘𝑔) ∥ (𝑀 · (𝑁 · 𝑏)))
108	6, 7, 57	odmulgid 19076	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑔 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁 · 𝑏) ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑂‘((𝑁 · 𝑏)(.g‘𝐺)𝑔)) ∥ 𝑀 ↔ (𝑂‘𝑔) ∥ (𝑀 · (𝑁 · 𝑏))))
109	75, 76, 71, 65, 108	syl31anc 1371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘((𝑁 · 𝑏)(.g‘𝐺)𝑔)) ∥ 𝑀 ↔ (𝑂‘𝑔) ∥ (𝑀 · (𝑁 · 𝑏))))
110	107, 109	mpbird 256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑂‘((𝑁 · 𝑏)(.g‘𝐺)𝑔)) ∥ 𝑀)
111		fveq2 6756	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = ((𝑁 · 𝑏)(.g‘𝐺)𝑔) → (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘((𝑁 · 𝑏)(.g‘𝐺)𝑔)))
112	111	breq1d 5080	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ((𝑁 · 𝑏)(.g‘𝐺)𝑔) → ((𝑂‘𝑥) ∥ 𝑀 ↔ (𝑂‘((𝑁 · 𝑏)(.g‘𝐺)𝑔)) ∥ 𝑀))
113	112, 1	elrab2 3620	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 · 𝑏)(.g‘𝐺)𝑔) ∈ 𝐾 ↔ (((𝑁 · 𝑏)(.g‘𝐺)𝑔) ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘((𝑁 · 𝑏)(.g‘𝐺)𝑔)) ∥ 𝑀))
114	84, 110, 113	sylanbrc 582	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑁 · 𝑏)(.g‘𝐺)𝑔) ∈ 𝐾)
115	6, 57	mulgcl 18636	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 · 𝑎) ∈ ℤ ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → ((𝑀 · 𝑎)(.g‘𝐺)𝑔) ∈ 𝐵)
116	75, 67, 76, 115	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑀 · 𝑎)(.g‘𝐺)𝑔) ∈ 𝐵)
117	87, 88, 66, 101	dvdsmultr1d 15934	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑂‘𝑔) ∥ ((𝑀 · 𝑁) · 𝑎))
118		zcn 12254	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
119	118	ad2antrl 724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℂ)
120		mulass 10890	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑎) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑎)))
121		mul12 11070	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (𝑀 · (𝑁 · 𝑎)) = (𝑁 · (𝑀 · 𝑎)))
122	120, 121	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑎) = (𝑁 · (𝑀 · 𝑎)))
123	103, 104, 119, 122	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑎) = (𝑁 · (𝑀 · 𝑎)))
124	117, 123	breqtrd 5096	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑂‘𝑔) ∥ (𝑁 · (𝑀 · 𝑎)))
125	6, 7, 57	odmulgid 19076	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑔 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑎) ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑂‘((𝑀 · 𝑎)(.g‘𝐺)𝑔)) ∥ 𝑁 ↔ (𝑂‘𝑔) ∥ (𝑁 · (𝑀 · 𝑎))))
126	75, 76, 67, 69, 125	syl31anc 1371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘((𝑀 · 𝑎)(.g‘𝐺)𝑔)) ∥ 𝑁 ↔ (𝑂‘𝑔) ∥ (𝑁 · (𝑀 · 𝑎))))
127	124, 126	mpbird 256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑂‘((𝑀 · 𝑎)(.g‘𝐺)𝑔)) ∥ 𝑁)
128		fveq2 6756	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = ((𝑀 · 𝑎)(.g‘𝐺)𝑔) → (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘((𝑀 · 𝑎)(.g‘𝐺)𝑔)))
129	128	breq1d 5080	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ((𝑀 · 𝑎)(.g‘𝐺)𝑔) → ((𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁 ↔ (𝑂‘((𝑀 · 𝑎)(.g‘𝐺)𝑔)) ∥ 𝑁))
130	129, 2	elrab2 3620	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 · 𝑎)(.g‘𝐺)𝑔) ∈ 𝐿 ↔ (((𝑀 · 𝑎)(.g‘𝐺)𝑔) ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘((𝑀 · 𝑎)(.g‘𝐺)𝑔)) ∥ 𝑁))
131	116, 127, 130	sylanbrc 582	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑀 · 𝑎)(.g‘𝐺)𝑔) ∈ 𝐿)
132	77, 52	lsmelvali 19170	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐿 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (((𝑁 · 𝑏)(.g‘𝐺)𝑔) ∈ 𝐾 ∧ ((𝑀 · 𝑎)(.g‘𝐺)𝑔) ∈ 𝐿)) → (((𝑁 · 𝑏)(.g‘𝐺)𝑔)(+g‘𝐺)((𝑀 · 𝑎)(.g‘𝐺)𝑔)) ∈ (𝐾 ⊕ 𝐿))
133	81, 82, 114, 131, 132	syl22anc 835	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑁 · 𝑏)(.g‘𝐺)𝑔)(+g‘𝐺)((𝑀 · 𝑎)(.g‘𝐺)𝑔)) ∈ (𝐾 ⊕ 𝐿))
134	80, 133	eqeltrd 2839	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏))(.g‘𝐺)𝑔) ∈ (𝐾 ⊕ 𝐿))
135		oveq1 7262	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 = ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏)) → (1(.g‘𝐺)𝑔) = (((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏))(.g‘𝐺)𝑔))
136	135	eleq1d 2823	. . . . . . . 8 ⊢ (1 = ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏)) → ((1(.g‘𝐺)𝑔) ∈ (𝐾 ⊕ 𝐿) ↔ (((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏))(.g‘𝐺)𝑔) ∈ (𝐾 ⊕ 𝐿)))
137	134, 136	syl5ibrcom 246	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (1 = ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏)) → (1(.g‘𝐺)𝑔) ∈ (𝐾 ⊕ 𝐿)))
138	64, 137	sylbid 239	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏)) → (1(.g‘𝐺)𝑔) ∈ (𝐾 ⊕ 𝐿)))
139	138	rexlimdvva 3222	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏)) → (1(.g‘𝐺)𝑔) ∈ (𝐾 ⊕ 𝐿)))
140	62, 139	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → (1(.g‘𝐺)𝑔) ∈ (𝐾 ⊕ 𝐿))
141	59, 140	eqeltrrd 2840	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) → 𝑔 ∈ (𝐾 ⊕ 𝐿))
142	56, 141	eqelssd 3938	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ⊕ 𝐿) = 𝐵)
143	51, 142	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∩ 𝐿) = { 0 } ∧ (𝐾 ⊕ 𝐿) = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3064  {crab 3067  Vcvv 3422   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  {csn 4558   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Fincfn 8691  ℂcc 10800  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807  ℕcn 11903  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249  ♯chash 13972   ∥ cdvds 15891   gcd cgcd 16129  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  0_gc0g 17067  Grpcgrp 18492  ._gcmg 18615  SubGrpcsubg 18664  odcod 19047  LSSumclsm 19154  Abelcabl 19302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-disj 5036  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-oadd 8271  df-omul 8272  df-er 8456  df-ec 8458  df-qs 8462  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-acn 9631  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-sum 15326  df-dvds 15892  df-gcd 16130  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-mulg 18616  df-subg 18667  df-eqg 18669  df-cntz 18838  df-od 19051  df-lsm 19156  df-cmn 19303  df-abl 19304

This theorem is referenced by:  ablfacrp2  19585  ablfac1b  19588