MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablfacrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ablfacrp 18732
Description: A finite abelian group whose order factors into relatively prime integers, itself "factors" into two subgroups 𝐾, 𝐿 that have trivial intersection and whose product is the whole group. Lemma 6.1C.2 of [Shapiro], p. 199. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfacrp.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablfacrp.o 𝑂 = (od‘𝐺)
ablfacrp.k 𝐾 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀}
ablfacrp.l 𝐿 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁}
ablfacrp.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
ablfacrp.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
ablfacrp.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
ablfacrp.1 (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
ablfacrp.2 (𝜑 → (♯‘𝐵) = (𝑀 · 𝑁))
ablfacrp.z 0 = (0g𝐺)
ablfacrp.s = (LSSum‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
ablfacrp (𝜑 → ((𝐾𝐿) = { 0 } ∧ (𝐾 𝐿) = 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝑂   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥   𝑥, 0
Allowed substitution hints:   (𝑥)   𝐾(𝑥)   𝐿(𝑥)

Proof of Theorem ablfacrp
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ablfacrp.k . . . . . 6 𝐾 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀}
2 ablfacrp.l . . . . . 6 𝐿 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁}
31, 2ineq12i 3974 . . . . 5 (𝐾𝐿) = ({𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀} ∩ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁})
4 inrab 4063 . . . . 5 ({𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀} ∩ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁}) = {𝑥𝐵 ∣ ((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁)}
53, 4eqtri 2787 . . . 4 (𝐾𝐿) = {𝑥𝐵 ∣ ((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁)}
6 ablfacrp.b . . . . . . . . . . . . . 14 𝐵 = (Base‘𝐺)
7 ablfacrp.o . . . . . . . . . . . . . 14 𝑂 = (od‘𝐺)
86, 7odcl 18219 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐵 → (𝑂𝑥) ∈ ℕ0)
98adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑂𝑥) ∈ ℕ0)
109nn0zd 11727 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑂𝑥) ∈ ℤ)
11 ablfacrp.m . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
1211nnzd 11728 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
1312adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑀 ∈ ℤ)
14 ablfacrp.n . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
1514nnzd 11728 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
1615adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑁 ∈ ℤ)
17 dvdsgcd 15542 . . . . . . . . . . 11 (((𝑂𝑥) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁) → (𝑂𝑥) ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
1810, 13, 16, 17syl3anc 1490 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐵) → (((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁) → (𝑂𝑥) ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
19183impia 1145 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁)) → (𝑂𝑥) ∥ (𝑀 gcd 𝑁))
20 ablfacrp.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
21203ad2ant1 1163 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁)) → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
2219, 21breqtrd 4835 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁)) → (𝑂𝑥) ∥ 1)
23 simp2 1167 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁)) → 𝑥𝐵)
24 dvds1 15326 . . . . . . . . 9 ((𝑂𝑥) ∈ ℕ0 → ((𝑂𝑥) ∥ 1 ↔ (𝑂𝑥) = 1))
2523, 8, 243syl 18 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁)) → ((𝑂𝑥) ∥ 1 ↔ (𝑂𝑥) = 1))
2622, 25mpbid 223 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁)) → (𝑂𝑥) = 1)
27 ablfacrp.g . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
28 ablgrp 18464 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
30293ad2ant1 1163 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁)) → 𝐺 ∈ Grp)
31 ablfacrp.z . . . . . . . . 9 0 = (0g𝐺)
327, 31, 6odeq1 18241 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑂𝑥) = 1 ↔ 𝑥 = 0 ))
3330, 23, 32syl2anc 579 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁)) → ((𝑂𝑥) = 1 ↔ 𝑥 = 0 ))
3426, 33mpbid 223 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁)) → 𝑥 = 0 )
35 velsn 4350 . . . . . 6 (𝑥 ∈ { 0 } ↔ 𝑥 = 0 )
3634, 35sylibr 225 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁)) → 𝑥 ∈ { 0 })
3736rabssdv 3842 . . . 4 (𝜑 → {𝑥𝐵 ∣ ((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁)} ⊆ { 0 })
385, 37syl5eqss 3809 . . 3 (𝜑 → (𝐾𝐿) ⊆ { 0 })
397, 6oddvdssubg 18524 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀} ∈ (SubGrp‘𝐺))
4027, 12, 39syl2anc 579 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀} ∈ (SubGrp‘𝐺))
411, 40syl5eqel 2848 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4231subg0cl 17866 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0𝐾)
4341, 42syl 17 . . . . 5 (𝜑0𝐾)
447, 6oddvdssubg 18524 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} ∈ (SubGrp‘𝐺))
4527, 15, 44syl2anc 579 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} ∈ (SubGrp‘𝐺))
462, 45syl5eqel 2848 . . . . . 6 (𝜑𝐿 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4731subg0cl 17866 . . . . . 6 (𝐿 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0𝐿)
4846, 47syl 17 . . . . 5 (𝜑0𝐿)
4943, 48elind 3960 . . . 4 (𝜑0 ∈ (𝐾𝐿))
5049snssd 4494 . . 3 (𝜑 → { 0 } ⊆ (𝐾𝐿))
5138, 50eqssd 3778 . 2 (𝜑 → (𝐾𝐿) = { 0 })
52 ablfacrp.s . . . . . 6 = (LSSum‘𝐺)
5352lsmsubg2 18528 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐿 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐾 𝐿) ∈ (SubGrp‘𝐺))
5427, 41, 46, 53syl3anc 1490 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 𝐿) ∈ (SubGrp‘𝐺))
556subgss 17859 . . . 4 ((𝐾 𝐿) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐾 𝐿) ⊆ 𝐵)
5654, 55syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐾 𝐿) ⊆ 𝐵)
57 eqid 2765 . . . . . 6 (.g𝐺) = (.g𝐺)
586, 57mulg1 17815 . . . . 5 (𝑔𝐵 → (1(.g𝐺)𝑔) = 𝑔)
5958adantl 473 . . . 4 ((𝜑𝑔𝐵) → (1(.g𝐺)𝑔) = 𝑔)
60 bezout 15541 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏)))
6112, 15, 60syl2anc 579 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏)))
6261adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝐵) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏)))
6320ad2antrr 717 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
6463eqeq1d 2767 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏)) ↔ 1 = ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏))))
6512ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℤ)
66 simprl 787 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℤ)
6765, 66zmulcld 11735 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑀 · 𝑎) ∈ ℤ)
6867zcnd 11730 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑀 · 𝑎) ∈ ℂ)
6915ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
70 simprr 789 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑏 ∈ ℤ)
7169, 70zmulcld 11735 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑁 · 𝑏) ∈ ℤ)
7271zcnd 11730 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑁 · 𝑏) ∈ ℂ)
7368, 72addcomd 10492 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏)) = ((𝑁 · 𝑏) + (𝑀 · 𝑎)))
7473oveq1d 6857 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏))(.g𝐺)𝑔) = (((𝑁 · 𝑏) + (𝑀 · 𝑎))(.g𝐺)𝑔))
7529ad2antrr 717 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝐺 ∈ Grp)
76 simplr 785 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑔𝐵)
77 eqid 2765 . . . . . . . . . . . 12 (+g𝐺) = (+g𝐺)
786, 57, 77mulgdir 17838 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑁 · 𝑏) ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑎) ∈ ℤ ∧ 𝑔𝐵)) → (((𝑁 · 𝑏) + (𝑀 · 𝑎))(.g𝐺)𝑔) = (((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔)(+g𝐺)((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔)))
7975, 71, 67, 76, 78syl13anc 1491 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑁 · 𝑏) + (𝑀 · 𝑎))(.g𝐺)𝑔) = (((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔)(+g𝐺)((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔)))
8074, 79eqtrd 2799 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏))(.g𝐺)𝑔) = (((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔)(+g𝐺)((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔)))
8141ad2antrr 717 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
8246ad2antrr 717 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝐿 ∈ (SubGrp‘𝐺))
836, 57mulgcl 17825 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 · 𝑏) ∈ ℤ ∧ 𝑔𝐵) → ((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔) ∈ 𝐵)
8475, 71, 76, 83syl3anc 1490 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔) ∈ 𝐵)
85 ablfacrp.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (♯‘𝐵) = (𝑀 · 𝑁))
8611, 14nnmulcld 11325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ)
8786nnnn0d 11598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)
8885, 87eqeltrd 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
896fvexi 6389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐵 ∈ V
90 hashclb 13351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ Fin ↔ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0))
9189, 90ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐵 ∈ Fin ↔ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
9288, 91sylibr 225 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
9392ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ Fin)
946, 7oddvds2 18247 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑔𝐵) → (𝑂𝑔) ∥ (♯‘𝐵))
9575, 93, 76, 94syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑂𝑔) ∥ (♯‘𝐵))
9685ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (♯‘𝐵) = (𝑀 · 𝑁))
9795, 96breqtrd 4835 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑂𝑔) ∥ (𝑀 · 𝑁))
986, 7odcl 18219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑔𝐵 → (𝑂𝑔) ∈ ℕ0)
9998ad2antlr 718 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑂𝑔) ∈ ℕ0)
10099nn0zd 11727 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑂𝑔) ∈ ℤ)
10165, 69zmulcld 11735 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
102 dvdsmultr1 15304 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑂𝑔) ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((𝑂𝑔) ∥ (𝑀 · 𝑁) → (𝑂𝑔) ∥ ((𝑀 · 𝑁) · 𝑏)))
103100, 101, 70, 102syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑂𝑔) ∥ (𝑀 · 𝑁) → (𝑂𝑔) ∥ ((𝑀 · 𝑁) · 𝑏)))
10497, 103mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑂𝑔) ∥ ((𝑀 · 𝑁) · 𝑏))
10565zcnd 11730 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℂ)
10669zcnd 11730 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
10770zcnd 11730 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑏 ∈ ℂ)
108105, 106, 107mulassd 10317 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑏) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑏)))
109104, 108breqtrd 4835 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑂𝑔) ∥ (𝑀 · (𝑁 · 𝑏)))
1106, 7, 57odmulgid 18235 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑔𝐵 ∧ (𝑁 · 𝑏) ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑂‘((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔)) ∥ 𝑀 ↔ (𝑂𝑔) ∥ (𝑀 · (𝑁 · 𝑏))))
11175, 76, 71, 65, 110syl31anc 1492 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔)) ∥ 𝑀 ↔ (𝑂𝑔) ∥ (𝑀 · (𝑁 · 𝑏))))
112109, 111mpbird 248 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑂‘((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔)) ∥ 𝑀)
113 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = ((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔) → (𝑂𝑥) = (𝑂‘((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔)))
114113breq1d 4819 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔) → ((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ↔ (𝑂‘((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔)) ∥ 𝑀))
115114, 1elrab2 3523 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔) ∈ 𝐾 ↔ (((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔) ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔)) ∥ 𝑀))
11684, 112, 115sylanbrc 578 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔) ∈ 𝐾)
1176, 57mulgcl 17825 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 · 𝑎) ∈ ℤ ∧ 𝑔𝐵) → ((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔) ∈ 𝐵)
11875, 67, 76, 117syl3anc 1490 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔) ∈ 𝐵)
119 dvdsmultr1 15304 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑂𝑔) ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑂𝑔) ∥ (𝑀 · 𝑁) → (𝑂𝑔) ∥ ((𝑀 · 𝑁) · 𝑎)))
120100, 101, 66, 119syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑂𝑔) ∥ (𝑀 · 𝑁) → (𝑂𝑔) ∥ ((𝑀 · 𝑁) · 𝑎)))
12197, 120mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑂𝑔) ∥ ((𝑀 · 𝑁) · 𝑎))
122 zcn 11629 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
123122ad2antrl 719 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℂ)
124 mulass 10277 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑎) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑎)))
125 mul12 10456 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (𝑀 · (𝑁 · 𝑎)) = (𝑁 · (𝑀 · 𝑎)))
126124, 125eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑎) = (𝑁 · (𝑀 · 𝑎)))
127105, 106, 123, 126syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑎) = (𝑁 · (𝑀 · 𝑎)))
128121, 127breqtrd 4835 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑂𝑔) ∥ (𝑁 · (𝑀 · 𝑎)))
1296, 7, 57odmulgid 18235 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑔𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑎) ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑂‘((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔)) ∥ 𝑁 ↔ (𝑂𝑔) ∥ (𝑁 · (𝑀 · 𝑎))))
13075, 76, 67, 69, 129syl31anc 1492 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔)) ∥ 𝑁 ↔ (𝑂𝑔) ∥ (𝑁 · (𝑀 · 𝑎))))
131128, 130mpbird 248 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑂‘((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔)) ∥ 𝑁)
132 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = ((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔) → (𝑂𝑥) = (𝑂‘((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔)))
133132breq1d 4819 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔) → ((𝑂𝑥) ∥ 𝑁 ↔ (𝑂‘((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔)) ∥ 𝑁))
134133, 2elrab2 3523 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔) ∈ 𝐿 ↔ (((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔) ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔)) ∥ 𝑁))
135118, 131, 134sylanbrc 578 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔) ∈ 𝐿)
13677, 52lsmelvali 18329 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐿 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔) ∈ 𝐾 ∧ ((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔) ∈ 𝐿)) → (((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔)(+g𝐺)((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔)) ∈ (𝐾 𝐿))
13781, 82, 116, 135, 136syl22anc 867 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔)(+g𝐺)((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔)) ∈ (𝐾 𝐿))
13880, 137eqeltrd 2844 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏))(.g𝐺)𝑔) ∈ (𝐾 𝐿))
139 oveq1 6849 . . . . . . . . 9 (1 = ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏)) → (1(.g𝐺)𝑔) = (((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏))(.g𝐺)𝑔))
140139eleq1d 2829 . . . . . . . 8 (1 = ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏)) → ((1(.g𝐺)𝑔) ∈ (𝐾 𝐿) ↔ (((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏))(.g𝐺)𝑔) ∈ (𝐾 𝐿)))
141138, 140syl5ibrcom 238 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (1 = ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏)) → (1(.g𝐺)𝑔) ∈ (𝐾 𝐿)))
14264, 141sylbid 231 . . . . . 6 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏)) → (1(.g𝐺)𝑔) ∈ (𝐾 𝐿)))
143142rexlimdvva 3185 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝐵) → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏)) → (1(.g𝐺)𝑔) ∈ (𝐾 𝐿)))
14462, 143mpd 15 . . . 4 ((𝜑𝑔𝐵) → (1(.g𝐺)𝑔) ∈ (𝐾 𝐿))
14559, 144eqeltrrd 2845 . . 3 ((𝜑𝑔𝐵) → 𝑔 ∈ (𝐾 𝐿))
14656, 145eqelssd 3782 . 2 (𝜑 → (𝐾 𝐿) = 𝐵)
14751, 146jca 507 1 (𝜑 → ((𝐾𝐿) = { 0 } ∧ (𝐾 𝐿) = 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wrex 3056  {crab 3059  Vcvv 3350  cin 3731  wss 3732  {csn 4334   class class class wbr 4809  cfv 6068  (class class class)co 6842  Fincfn 8160  cc 10187  1c1 10190   + caddc 10192   · cmul 10194  cn 11274  0cn0 11538  cz 11624  chash 13321  cdvds 15265   gcd cgcd 15497  Basecbs 16130  +gcplusg 16214  0gc0g 16366  Grpcgrp 17689  .gcmg 17807  SubGrpcsubg 17852  odcod 18208  LSSumclsm 18313  Abelcabl 18460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-disj 4778  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-omul 7769  df-er 7947  df-ec 7949  df-qs 7953  df-map 8062  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-acn 9019  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-rp 12029  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-clim 14504  df-sum 14702  df-dvds 15266  df-gcd 15498  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-sets 16137  df-ress 16138  df-plusg 16227  df-0g 16368  df-mgm 17508  df-sgrp 17550  df-mnd 17561  df-submnd 17602  df-grp 17692  df-minusg 17693  df-sbg 17694  df-mulg 17808  df-subg 17855  df-eqg 17857  df-cntz 18013  df-od 18212  df-lsm 18315  df-cmn 18461  df-abl 18462
This theorem is referenced by:  ablfacrp2  18733  ablfac1b  18736
  Copyright terms: Public domain W3C validator