MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablfacrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ablfacrp 19117
Description: A finite abelian group whose order factors into relatively prime integers, itself "factors" into two subgroups 𝐾, 𝐿 that have trivial intersection and whose product is the whole group. Lemma 6.1C.2 of [Shapiro], p. 199. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfacrp.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablfacrp.o 𝑂 = (od‘𝐺)
ablfacrp.k 𝐾 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀}
ablfacrp.l 𝐿 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁}
ablfacrp.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
ablfacrp.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
ablfacrp.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
ablfacrp.1 (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
ablfacrp.2 (𝜑 → (♯‘𝐵) = (𝑀 · 𝑁))
ablfacrp.z 0 = (0g𝐺)
ablfacrp.s = (LSSum‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
ablfacrp (𝜑 → ((𝐾𝐿) = { 0 } ∧ (𝐾 𝐿) = 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝑂   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥   𝑥, 0
Allowed substitution hints:   (𝑥)   𝐾(𝑥)   𝐿(𝑥)

Proof of Theorem ablfacrp
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ablfacrp.k . . . . . 6 𝐾 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀}
2 ablfacrp.l . . . . . 6 𝐿 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁}
31, 2ineq12i 4184 . . . . 5 (𝐾𝐿) = ({𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀} ∩ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁})
4 inrab 4272 . . . . 5 ({𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀} ∩ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁}) = {𝑥𝐵 ∣ ((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁)}
53, 4eqtri 2841 . . . 4 (𝐾𝐿) = {𝑥𝐵 ∣ ((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁)}
6 ablfacrp.b . . . . . . . . . . . . . 14 𝐵 = (Base‘𝐺)
7 ablfacrp.o . . . . . . . . . . . . . 14 𝑂 = (od‘𝐺)
86, 7odcl 18593 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐵 → (𝑂𝑥) ∈ ℕ0)
98adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑂𝑥) ∈ ℕ0)
109nn0zd 12073 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑂𝑥) ∈ ℤ)
11 ablfacrp.m . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
1211nnzd 12074 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
1312adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑀 ∈ ℤ)
14 ablfacrp.n . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
1514nnzd 12074 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
1615adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑁 ∈ ℤ)
17 dvdsgcd 15880 . . . . . . . . . . 11 (((𝑂𝑥) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁) → (𝑂𝑥) ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
1810, 13, 16, 17syl3anc 1363 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐵) → (((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁) → (𝑂𝑥) ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
19183impia 1109 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁)) → (𝑂𝑥) ∥ (𝑀 gcd 𝑁))
20 ablfacrp.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
21203ad2ant1 1125 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁)) → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
2219, 21breqtrd 5083 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁)) → (𝑂𝑥) ∥ 1)
23 simp2 1129 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁)) → 𝑥𝐵)
24 dvds1 15657 . . . . . . . . 9 ((𝑂𝑥) ∈ ℕ0 → ((𝑂𝑥) ∥ 1 ↔ (𝑂𝑥) = 1))
2523, 8, 243syl 18 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁)) → ((𝑂𝑥) ∥ 1 ↔ (𝑂𝑥) = 1))
2622, 25mpbid 233 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁)) → (𝑂𝑥) = 1)
27 ablfacrp.g . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
28 ablgrp 18840 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
30293ad2ant1 1125 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁)) → 𝐺 ∈ Grp)
31 ablfacrp.z . . . . . . . . 9 0 = (0g𝐺)
327, 31, 6odeq1 18616 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑂𝑥) = 1 ↔ 𝑥 = 0 ))
3330, 23, 32syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁)) → ((𝑂𝑥) = 1 ↔ 𝑥 = 0 ))
3426, 33mpbid 233 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁)) → 𝑥 = 0 )
35 velsn 4573 . . . . . 6 (𝑥 ∈ { 0 } ↔ 𝑥 = 0 )
3634, 35sylibr 235 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁)) → 𝑥 ∈ { 0 })
3736rabssdv 4048 . . . 4 (𝜑 → {𝑥𝐵 ∣ ((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁)} ⊆ { 0 })
385, 37eqsstrid 4012 . . 3 (𝜑 → (𝐾𝐿) ⊆ { 0 })
397, 6oddvdssubg 18904 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀} ∈ (SubGrp‘𝐺))
4027, 12, 39syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀} ∈ (SubGrp‘𝐺))
411, 40eqeltrid 2914 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4231subg0cl 18225 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0𝐾)
4341, 42syl 17 . . . . 5 (𝜑0𝐾)
447, 6oddvdssubg 18904 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} ∈ (SubGrp‘𝐺))
4527, 15, 44syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} ∈ (SubGrp‘𝐺))
462, 45eqeltrid 2914 . . . . . 6 (𝜑𝐿 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4731subg0cl 18225 . . . . . 6 (𝐿 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0𝐿)
4846, 47syl 17 . . . . 5 (𝜑0𝐿)
4943, 48elind 4168 . . . 4 (𝜑0 ∈ (𝐾𝐿))
5049snssd 4734 . . 3 (𝜑 → { 0 } ⊆ (𝐾𝐿))
5138, 50eqssd 3981 . 2 (𝜑 → (𝐾𝐿) = { 0 })
52 ablfacrp.s . . . . . 6 = (LSSum‘𝐺)
5352lsmsubg2 18908 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐿 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐾 𝐿) ∈ (SubGrp‘𝐺))
5427, 41, 46, 53syl3anc 1363 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 𝐿) ∈ (SubGrp‘𝐺))
556subgss 18218 . . . 4 ((𝐾 𝐿) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐾 𝐿) ⊆ 𝐵)
5654, 55syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐾 𝐿) ⊆ 𝐵)
57 eqid 2818 . . . . . 6 (.g𝐺) = (.g𝐺)
586, 57mulg1 18173 . . . . 5 (𝑔𝐵 → (1(.g𝐺)𝑔) = 𝑔)
5958adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝑔𝐵) → (1(.g𝐺)𝑔) = 𝑔)
60 bezout 15879 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏)))
6112, 15, 60syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏)))
6261adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝐵) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏)))
6320ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
6463eqeq1d 2820 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏)) ↔ 1 = ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏))))
6512ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℤ)
66 simprl 767 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℤ)
6765, 66zmulcld 12081 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑀 · 𝑎) ∈ ℤ)
6867zcnd 12076 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑀 · 𝑎) ∈ ℂ)
6915ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
70 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑏 ∈ ℤ)
7169, 70zmulcld 12081 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑁 · 𝑏) ∈ ℤ)
7271zcnd 12076 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑁 · 𝑏) ∈ ℂ)
7368, 72addcomd 10830 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏)) = ((𝑁 · 𝑏) + (𝑀 · 𝑎)))
7473oveq1d 7160 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏))(.g𝐺)𝑔) = (((𝑁 · 𝑏) + (𝑀 · 𝑎))(.g𝐺)𝑔))
7529ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝐺 ∈ Grp)
76 simplr 765 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑔𝐵)
77 eqid 2818 . . . . . . . . . . . 12 (+g𝐺) = (+g𝐺)
786, 57, 77mulgdir 18197 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑁 · 𝑏) ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑎) ∈ ℤ ∧ 𝑔𝐵)) → (((𝑁 · 𝑏) + (𝑀 · 𝑎))(.g𝐺)𝑔) = (((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔)(+g𝐺)((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔)))
7975, 71, 67, 76, 78syl13anc 1364 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑁 · 𝑏) + (𝑀 · 𝑎))(.g𝐺)𝑔) = (((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔)(+g𝐺)((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔)))
8074, 79eqtrd 2853 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏))(.g𝐺)𝑔) = (((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔)(+g𝐺)((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔)))
8141ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
8246ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝐿 ∈ (SubGrp‘𝐺))
836, 57mulgcl 18183 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 · 𝑏) ∈ ℤ ∧ 𝑔𝐵) → ((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔) ∈ 𝐵)
8475, 71, 76, 83syl3anc 1363 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔) ∈ 𝐵)
856, 7odcl 18593 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑔𝐵 → (𝑂𝑔) ∈ ℕ0)
8685ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑂𝑔) ∈ ℕ0)
8786nn0zd 12073 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑂𝑔) ∈ ℤ)
8865, 69zmulcld 12081 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
89 ablfacrp.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (♯‘𝐵) = (𝑀 · 𝑁))
9011, 14nnmulcld 11678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ)
9190nnnn0d 11943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)
9289, 91eqeltrd 2910 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
936fvexi 6677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐵 ∈ V
94 hashclb 13707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ Fin ↔ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0))
9593, 94ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐵 ∈ Fin ↔ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
9692, 95sylibr 235 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
9796ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ Fin)
986, 7oddvds2 18622 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑔𝐵) → (𝑂𝑔) ∥ (♯‘𝐵))
9975, 97, 76, 98syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑂𝑔) ∥ (♯‘𝐵))
10089ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (♯‘𝐵) = (𝑀 · 𝑁))
10199, 100breqtrd 5083 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑂𝑔) ∥ (𝑀 · 𝑁))
10287, 88, 70, 101dvdsmultr1d 15636 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑂𝑔) ∥ ((𝑀 · 𝑁) · 𝑏))
10365zcnd 12076 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℂ)
10469zcnd 12076 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
10570zcnd 12076 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑏 ∈ ℂ)
106103, 104, 105mulassd 10652 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑏) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑏)))
107102, 106breqtrd 5083 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑂𝑔) ∥ (𝑀 · (𝑁 · 𝑏)))
1086, 7, 57odmulgid 18610 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑔𝐵 ∧ (𝑁 · 𝑏) ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑂‘((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔)) ∥ 𝑀 ↔ (𝑂𝑔) ∥ (𝑀 · (𝑁 · 𝑏))))
10975, 76, 71, 65, 108syl31anc 1365 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔)) ∥ 𝑀 ↔ (𝑂𝑔) ∥ (𝑀 · (𝑁 · 𝑏))))
110107, 109mpbird 258 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑂‘((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔)) ∥ 𝑀)
111 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = ((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔) → (𝑂𝑥) = (𝑂‘((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔)))
112111breq1d 5067 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔) → ((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ↔ (𝑂‘((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔)) ∥ 𝑀))
113112, 1elrab2 3680 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔) ∈ 𝐾 ↔ (((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔) ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔)) ∥ 𝑀))
11484, 110, 113sylanbrc 583 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔) ∈ 𝐾)
1156, 57mulgcl 18183 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 · 𝑎) ∈ ℤ ∧ 𝑔𝐵) → ((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔) ∈ 𝐵)
11675, 67, 76, 115syl3anc 1363 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔) ∈ 𝐵)
11787, 88, 66, 101dvdsmultr1d 15636 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑂𝑔) ∥ ((𝑀 · 𝑁) · 𝑎))
118 zcn 11974 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
119118ad2antrl 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℂ)
120 mulass 10613 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑎) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑎)))
121 mul12 10793 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (𝑀 · (𝑁 · 𝑎)) = (𝑁 · (𝑀 · 𝑎)))
122120, 121eqtrd 2853 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑎) = (𝑁 · (𝑀 · 𝑎)))
123103, 104, 119, 122syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑎) = (𝑁 · (𝑀 · 𝑎)))
124117, 123breqtrd 5083 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑂𝑔) ∥ (𝑁 · (𝑀 · 𝑎)))
1256, 7, 57odmulgid 18610 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑔𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑎) ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑂‘((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔)) ∥ 𝑁 ↔ (𝑂𝑔) ∥ (𝑁 · (𝑀 · 𝑎))))
12675, 76, 67, 69, 125syl31anc 1365 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔)) ∥ 𝑁 ↔ (𝑂𝑔) ∥ (𝑁 · (𝑀 · 𝑎))))
127124, 126mpbird 258 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑂‘((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔)) ∥ 𝑁)
128 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = ((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔) → (𝑂𝑥) = (𝑂‘((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔)))
129128breq1d 5067 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔) → ((𝑂𝑥) ∥ 𝑁 ↔ (𝑂‘((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔)) ∥ 𝑁))
130129, 2elrab2 3680 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔) ∈ 𝐿 ↔ (((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔) ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔)) ∥ 𝑁))
131116, 127, 130sylanbrc 583 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔) ∈ 𝐿)
13277, 52lsmelvali 18704 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐿 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔) ∈ 𝐾 ∧ ((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔) ∈ 𝐿)) → (((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔)(+g𝐺)((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔)) ∈ (𝐾 𝐿))
13381, 82, 114, 131, 132syl22anc 834 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔)(+g𝐺)((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔)) ∈ (𝐾 𝐿))
13480, 133eqeltrd 2910 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏))(.g𝐺)𝑔) ∈ (𝐾 𝐿))
135 oveq1 7152 . . . . . . . . 9 (1 = ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏)) → (1(.g𝐺)𝑔) = (((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏))(.g𝐺)𝑔))
136135eleq1d 2894 . . . . . . . 8 (1 = ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏)) → ((1(.g𝐺)𝑔) ∈ (𝐾 𝐿) ↔ (((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏))(.g𝐺)𝑔) ∈ (𝐾 𝐿)))
137134, 136syl5ibrcom 248 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (1 = ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏)) → (1(.g𝐺)𝑔) ∈ (𝐾 𝐿)))
13864, 137sylbid 241 . . . . . 6 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏)) → (1(.g𝐺)𝑔) ∈ (𝐾 𝐿)))
139138rexlimdvva 3291 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝐵) → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏)) → (1(.g𝐺)𝑔) ∈ (𝐾 𝐿)))
14062, 139mpd 15 . . . 4 ((𝜑𝑔𝐵) → (1(.g𝐺)𝑔) ∈ (𝐾 𝐿))
14159, 140eqeltrrd 2911 . . 3 ((𝜑𝑔𝐵) → 𝑔 ∈ (𝐾 𝐿))
14256, 141eqelssd 3985 . 2 (𝜑 → (𝐾 𝐿) = 𝐵)
14351, 142jca 512 1 (𝜑 → ((𝐾𝐿) = { 0 } ∧ (𝐾 𝐿) = 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wrex 3136  {crab 3139  Vcvv 3492  cin 3932  wss 3933  {csn 4557   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  Fincfn 8497  cc 10523  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530  cn 11626  0cn0 11885  cz 11969  chash 13678  cdvds 15595   gcd cgcd 15831  Basecbs 16471  +gcplusg 16553  0gc0g 16701  Grpcgrp 18041  .gcmg 18162  SubGrpcsubg 18211  odcod 18581  LSSumclsm 18688  Abelcabl 18836
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-disj 5023  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-omul 8096  df-er 8278  df-ec 8280  df-qs 8284  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-acn 9359  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-sum 15031  df-dvds 15596  df-gcd 15832  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-0g 16703  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-mulg 18163  df-subg 18214  df-eqg 18216  df-cntz 18385  df-od 18585  df-lsm 18690  df-cmn 18837  df-abl 18838
This theorem is referenced by:  ablfacrp2  19118  ablfac1b  19121
  Copyright terms: Public domain W3C validator