MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablfacrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ablfacrp 19977
Description: A finite abelian group whose order factors into relatively prime integers, itself "factors" into two subgroups ๐พ, ๐ฟ that have trivial intersection and whose product is the whole group. Lemma 6.1C.2 of [Shapiro], p. 199. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfacrp.b ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
ablfacrp.o ๐‘‚ = (odโ€˜๐บ)
ablfacrp.k ๐พ = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘€}
ablfacrp.l ๐ฟ = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘}
ablfacrp.g (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Abel)
ablfacrp.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
ablfacrp.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
ablfacrp.1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1)
ablfacrp.2 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) = (๐‘€ ยท ๐‘))
ablfacrp.z 0 = (0gโ€˜๐บ)
ablfacrp.s โŠ• = (LSSumโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
ablfacrp (๐œ‘ โ†’ ((๐พ โˆฉ ๐ฟ) = { 0 } โˆง (๐พ โŠ• ๐ฟ) = ๐ต))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ต   ๐‘ฅ,๐บ   ๐‘ฅ,๐‘‚   ๐‘ฅ,๐‘€   ๐‘ฅ,๐‘   ๐œ‘,๐‘ฅ   ๐‘ฅ, 0
Allowed substitution hints:   โŠ• (๐‘ฅ)   ๐พ(๐‘ฅ)   ๐ฟ(๐‘ฅ)

Proof of Theorem ablfacrp
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ ๐‘” are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ablfacrp.k . . . . . 6 ๐พ = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘€}
2 ablfacrp.l . . . . . 6 ๐ฟ = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘}
31, 2ineq12i 4210 . . . . 5 (๐พ โˆฉ ๐ฟ) = ({๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘€} โˆฉ {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘})
4 inrab 4306 . . . . 5 ({๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘€} โˆฉ {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘}) = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ ((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘€ โˆง (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘)}
53, 4eqtri 2760 . . . 4 (๐พ โˆฉ ๐ฟ) = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ ((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘€ โˆง (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘)}
6 ablfacrp.b . . . . . . . . . . . . . 14 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
7 ablfacrp.o . . . . . . . . . . . . . 14 ๐‘‚ = (odโ€˜๐บ)
86, 7odcl 19445 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•0)
98adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•0)
109nn0zd 12588 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค)
11 ablfacrp.m . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
1211nnzd 12589 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
1312adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
14 ablfacrp.n . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
1514nnzd 12589 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
1615adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
17 dvdsgcd 16490 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘€ โˆง (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘€ gcd ๐‘)))
1810, 13, 16, 17syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘€ โˆง (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘€ gcd ๐‘)))
19183impia 1117 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘€ โˆง (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘€ gcd ๐‘))
20 ablfacrp.1 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1)
21203ad2ant1 1133 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘€ โˆง (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1)
2219, 21breqtrd 5174 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘€ โˆง (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ 1)
23 simp2 1137 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘€ โˆง (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต)
24 dvds1 16266 . . . . . . . . 9 ((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ 1 โ†” (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) = 1))
2523, 8, 243syl 18 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘€ โˆง (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘)) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ 1 โ†” (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) = 1))
2622, 25mpbid 231 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘€ โˆง (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) = 1)
27 ablfacrp.g . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Abel)
28 ablgrp 19694 . . . . . . . . . 10 (๐บ โˆˆ Abel โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
30293ad2ant1 1133 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘€ โˆง (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
31 ablfacrp.z . . . . . . . . 9 0 = (0gโ€˜๐บ)
327, 31, 6odeq1 19469 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) = 1 โ†” ๐‘ฅ = 0 ))
3330, 23, 32syl2anc 584 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘€ โˆง (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘)) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) = 1 โ†” ๐‘ฅ = 0 ))
3426, 33mpbid 231 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘€ โˆง (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘ฅ = 0 )
35 velsn 4644 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ { 0 } โ†” ๐‘ฅ = 0 )
3634, 35sylibr 233 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘€ โˆง (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ { 0 })
3736rabssdv 4072 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ ((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘€ โˆง (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘)} โŠ† { 0 })
385, 37eqsstrid 4030 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐พ โˆฉ ๐ฟ) โŠ† { 0 })
397, 6oddvdssubg 19764 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘€} โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
4027, 12, 39syl2anc 584 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘€} โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
411, 40eqeltrid 2837 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
4231subg0cl 19050 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ 0 โˆˆ ๐พ)
4341, 42syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ ๐พ)
447, 6oddvdssubg 19764 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘} โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
4527, 15, 44syl2anc 584 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘} โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
462, 45eqeltrid 2837 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
4731subg0cl 19050 . . . . . 6 (๐ฟ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ 0 โˆˆ ๐ฟ)
4846, 47syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ ๐ฟ)
4943, 48elind 4194 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ (๐พ โˆฉ ๐ฟ))
5049snssd 4812 . . 3 (๐œ‘ โ†’ { 0 } โŠ† (๐พ โˆฉ ๐ฟ))
5138, 50eqssd 3999 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐พ โˆฉ ๐ฟ) = { 0 })
52 ablfacrp.s . . . . . 6 โŠ• = (LSSumโ€˜๐บ)
5352lsmsubg2 19768 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐พ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐ฟ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ (๐พ โŠ• ๐ฟ) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
5427, 41, 46, 53syl3anc 1371 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐พ โŠ• ๐ฟ) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
556subgss 19043 . . . 4 ((๐พ โŠ• ๐ฟ) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ (๐พ โŠ• ๐ฟ) โŠ† ๐ต)
5654, 55syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐พ โŠ• ๐ฟ) โŠ† ๐ต)
57 eqid 2732 . . . . . 6 (.gโ€˜๐บ) = (.gโ€˜๐บ)
586, 57mulg1 18997 . . . . 5 (๐‘” โˆˆ ๐ต โ†’ (1(.gโ€˜๐บ)๐‘”) = ๐‘”)
5958adantl 482 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โ†’ (1(.gโ€˜๐บ)๐‘”) = ๐‘”)
60 bezout 16489 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (๐‘€ gcd ๐‘) = ((๐‘€ ยท ๐‘Ž) + (๐‘ ยท ๐‘)))
6112, 15, 60syl2anc 584 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (๐‘€ gcd ๐‘) = ((๐‘€ ยท ๐‘Ž) + (๐‘ ยท ๐‘)))
6261adantr 481 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (๐‘€ gcd ๐‘) = ((๐‘€ ยท ๐‘Ž) + (๐‘ ยท ๐‘)))
6320ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1)
6463eqeq1d 2734 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘) = ((๐‘€ ยท ๐‘Ž) + (๐‘ ยท ๐‘)) โ†” 1 = ((๐‘€ ยท ๐‘Ž) + (๐‘ ยท ๐‘))))
6512ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
66 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„ค)
6765, 66zmulcld 12676 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘Ž) โˆˆ โ„ค)
6867zcnd 12671 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘Ž) โˆˆ โ„‚)
6915ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
70 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
7169, 70zmulcld 12676 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค)
7271zcnd 12671 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚)
7368, 72addcomd 11420 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘Ž) + (๐‘ ยท ๐‘)) = ((๐‘ ยท ๐‘) + (๐‘€ ยท ๐‘Ž)))
7473oveq1d 7426 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (((๐‘€ ยท ๐‘Ž) + (๐‘ ยท ๐‘))(.gโ€˜๐บ)๐‘”) = (((๐‘ ยท ๐‘) + (๐‘€ ยท ๐‘Ž))(.gโ€˜๐บ)๐‘”))
7529ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
76 simplr 767 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘” โˆˆ ๐ต)
77 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (+gโ€˜๐บ) = (+gโ€˜๐บ)
786, 57, 77mulgdir 19022 . . . . . . . . . . 11 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ((๐‘ ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘€ ยท ๐‘Ž) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต)) โ†’ (((๐‘ ยท ๐‘) + (๐‘€ ยท ๐‘Ž))(.gโ€˜๐บ)๐‘”) = (((๐‘ ยท ๐‘)(.gโ€˜๐บ)๐‘”)(+gโ€˜๐บ)((๐‘€ ยท ๐‘Ž)(.gโ€˜๐บ)๐‘”)))
7975, 71, 67, 76, 78syl13anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (((๐‘ ยท ๐‘) + (๐‘€ ยท ๐‘Ž))(.gโ€˜๐บ)๐‘”) = (((๐‘ ยท ๐‘)(.gโ€˜๐บ)๐‘”)(+gโ€˜๐บ)((๐‘€ ยท ๐‘Ž)(.gโ€˜๐บ)๐‘”)))
8074, 79eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (((๐‘€ ยท ๐‘Ž) + (๐‘ ยท ๐‘))(.gโ€˜๐บ)๐‘”) = (((๐‘ ยท ๐‘)(.gโ€˜๐บ)๐‘”)(+gโ€˜๐บ)((๐‘€ ยท ๐‘Ž)(.gโ€˜๐บ)๐‘”)))
8141ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐พ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
8246ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐ฟ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
836, 57mulgcl 19007 . . . . . . . . . . . 12 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘)(.gโ€˜๐บ)๐‘”) โˆˆ ๐ต)
8475, 71, 76, 83syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘)(.gโ€˜๐บ)๐‘”) โˆˆ ๐ต)
856, 7odcl 19445 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘” โˆˆ ๐ต โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘”) โˆˆ โ„•0)
8685ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘”) โˆˆ โ„•0)
8786nn0zd 12588 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘”) โˆˆ โ„ค)
8865, 69zmulcld 12676 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค)
89 ablfacrp.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) = (๐‘€ ยท ๐‘))
9011, 14nnmulcld 12269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„•)
9190nnnn0d 12536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„•0)
9289, 91eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„•0)
936fvexi 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ๐ต โˆˆ V
94 hashclb 14322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐ต โˆˆ V โ†’ (๐ต โˆˆ Fin โ†” (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„•0))
9593, 94ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐ต โˆˆ Fin โ†” (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„•0)
9692, 95sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)
9796ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)
986, 7oddvds2 19475 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ต โˆˆ Fin โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘”) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต))
9975, 97, 76, 98syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘”) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต))
10089ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) = (๐‘€ ยท ๐‘))
10199, 100breqtrd 5174 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘”) โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘))
10287, 88, 70, 101dvdsmultr1d 16244 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘”) โˆฅ ((๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘))
10365zcnd 12671 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
10469zcnd 12671 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
10570zcnd 12671 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
106103, 104, 105mulassd 11241 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘) = (๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘)))
107102, 106breqtrd 5174 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘”) โˆฅ (๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘)))
1086, 7, 57odmulgid 19463 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘ ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘‚โ€˜((๐‘ ยท ๐‘)(.gโ€˜๐บ)๐‘”)) โˆฅ ๐‘€ โ†” (๐‘‚โ€˜๐‘”) โˆฅ (๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘))))
10975, 76, 71, 65, 108syl31anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘‚โ€˜((๐‘ ยท ๐‘)(.gโ€˜๐บ)๐‘”)) โˆฅ ๐‘€ โ†” (๐‘‚โ€˜๐‘”) โˆฅ (๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘))))
110107, 109mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘‚โ€˜((๐‘ ยท ๐‘)(.gโ€˜๐บ)๐‘”)) โˆฅ ๐‘€)
111 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = ((๐‘ ยท ๐‘)(.gโ€˜๐บ)๐‘”) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‚โ€˜((๐‘ ยท ๐‘)(.gโ€˜๐บ)๐‘”)))
112111breq1d 5158 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = ((๐‘ ยท ๐‘)(.gโ€˜๐บ)๐‘”) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘€ โ†” (๐‘‚โ€˜((๐‘ ยท ๐‘)(.gโ€˜๐บ)๐‘”)) โˆฅ ๐‘€))
113112, 1elrab2 3686 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ ยท ๐‘)(.gโ€˜๐บ)๐‘”) โˆˆ ๐พ โ†” (((๐‘ ยท ๐‘)(.gโ€˜๐บ)๐‘”) โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘‚โ€˜((๐‘ ยท ๐‘)(.gโ€˜๐บ)๐‘”)) โˆฅ ๐‘€))
11484, 110, 113sylanbrc 583 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘)(.gโ€˜๐บ)๐‘”) โˆˆ ๐พ)
1156, 57mulgcl 19007 . . . . . . . . . . . 12 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ ยท ๐‘Ž) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘Ž)(.gโ€˜๐บ)๐‘”) โˆˆ ๐ต)
11675, 67, 76, 115syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘Ž)(.gโ€˜๐บ)๐‘”) โˆˆ ๐ต)
11787, 88, 66, 101dvdsmultr1d 16244 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘”) โˆฅ ((๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘Ž))
118 zcn 12567 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„‚)
119118ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„‚)
120 mulass 11200 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘Ž) = (๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘Ž)))
121 mul12 11383 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘Ž)) = (๐‘ ยท (๐‘€ ยท ๐‘Ž)))
122120, 121eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘Ž) = (๐‘ ยท (๐‘€ ยท ๐‘Ž)))
123103, 104, 119, 122syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘Ž) = (๐‘ ยท (๐‘€ ยท ๐‘Ž)))
124117, 123breqtrd 5174 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘”) โˆฅ (๐‘ ยท (๐‘€ ยท ๐‘Ž)))
1256, 7, 57odmulgid 19463 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘Ž) โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘‚โ€˜((๐‘€ ยท ๐‘Ž)(.gโ€˜๐บ)๐‘”)) โˆฅ ๐‘ โ†” (๐‘‚โ€˜๐‘”) โˆฅ (๐‘ ยท (๐‘€ ยท ๐‘Ž))))
12675, 76, 67, 69, 125syl31anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘‚โ€˜((๐‘€ ยท ๐‘Ž)(.gโ€˜๐บ)๐‘”)) โˆฅ ๐‘ โ†” (๐‘‚โ€˜๐‘”) โˆฅ (๐‘ ยท (๐‘€ ยท ๐‘Ž))))
127124, 126mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘‚โ€˜((๐‘€ ยท ๐‘Ž)(.gโ€˜๐บ)๐‘”)) โˆฅ ๐‘)
128 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = ((๐‘€ ยท ๐‘Ž)(.gโ€˜๐บ)๐‘”) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‚โ€˜((๐‘€ ยท ๐‘Ž)(.gโ€˜๐บ)๐‘”)))
129128breq1d 5158 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = ((๐‘€ ยท ๐‘Ž)(.gโ€˜๐บ)๐‘”) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘ โ†” (๐‘‚โ€˜((๐‘€ ยท ๐‘Ž)(.gโ€˜๐บ)๐‘”)) โˆฅ ๐‘))
130129, 2elrab2 3686 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘€ ยท ๐‘Ž)(.gโ€˜๐บ)๐‘”) โˆˆ ๐ฟ โ†” (((๐‘€ ยท ๐‘Ž)(.gโ€˜๐บ)๐‘”) โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘‚โ€˜((๐‘€ ยท ๐‘Ž)(.gโ€˜๐บ)๐‘”)) โˆฅ ๐‘))
131116, 127, 130sylanbrc 583 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘Ž)(.gโ€˜๐บ)๐‘”) โˆˆ ๐ฟ)
13277, 52lsmelvali 19559 . . . . . . . . . 10 (((๐พ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐ฟ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โˆง (((๐‘ ยท ๐‘)(.gโ€˜๐บ)๐‘”) โˆˆ ๐พ โˆง ((๐‘€ ยท ๐‘Ž)(.gโ€˜๐บ)๐‘”) โˆˆ ๐ฟ)) โ†’ (((๐‘ ยท ๐‘)(.gโ€˜๐บ)๐‘”)(+gโ€˜๐บ)((๐‘€ ยท ๐‘Ž)(.gโ€˜๐บ)๐‘”)) โˆˆ (๐พ โŠ• ๐ฟ))
13381, 82, 114, 131, 132syl22anc 837 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (((๐‘ ยท ๐‘)(.gโ€˜๐บ)๐‘”)(+gโ€˜๐บ)((๐‘€ ยท ๐‘Ž)(.gโ€˜๐บ)๐‘”)) โˆˆ (๐พ โŠ• ๐ฟ))
13480, 133eqeltrd 2833 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (((๐‘€ ยท ๐‘Ž) + (๐‘ ยท ๐‘))(.gโ€˜๐บ)๐‘”) โˆˆ (๐พ โŠ• ๐ฟ))
135 oveq1 7418 . . . . . . . . 9 (1 = ((๐‘€ ยท ๐‘Ž) + (๐‘ ยท ๐‘)) โ†’ (1(.gโ€˜๐บ)๐‘”) = (((๐‘€ ยท ๐‘Ž) + (๐‘ ยท ๐‘))(.gโ€˜๐บ)๐‘”))
136135eleq1d 2818 . . . . . . . 8 (1 = ((๐‘€ ยท ๐‘Ž) + (๐‘ ยท ๐‘)) โ†’ ((1(.gโ€˜๐บ)๐‘”) โˆˆ (๐พ โŠ• ๐ฟ) โ†” (((๐‘€ ยท ๐‘Ž) + (๐‘ ยท ๐‘))(.gโ€˜๐บ)๐‘”) โˆˆ (๐พ โŠ• ๐ฟ)))
137134, 136syl5ibrcom 246 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (1 = ((๐‘€ ยท ๐‘Ž) + (๐‘ ยท ๐‘)) โ†’ (1(.gโ€˜๐บ)๐‘”) โˆˆ (๐พ โŠ• ๐ฟ)))
13864, 137sylbid 239 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘) = ((๐‘€ ยท ๐‘Ž) + (๐‘ ยท ๐‘)) โ†’ (1(.gโ€˜๐บ)๐‘”) โˆˆ (๐พ โŠ• ๐ฟ)))
139138rexlimdvva 3211 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (๐‘€ gcd ๐‘) = ((๐‘€ ยท ๐‘Ž) + (๐‘ ยท ๐‘)) โ†’ (1(.gโ€˜๐บ)๐‘”) โˆˆ (๐พ โŠ• ๐ฟ)))
14062, 139mpd 15 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โ†’ (1(.gโ€˜๐บ)๐‘”) โˆˆ (๐พ โŠ• ๐ฟ))
14159, 140eqeltrrd 2834 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘” โˆˆ (๐พ โŠ• ๐ฟ))
14256, 141eqelssd 4003 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐พ โŠ• ๐ฟ) = ๐ต)
14351, 142jca 512 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐พ โˆฉ ๐ฟ) = { 0 } โˆง (๐พ โŠ• ๐ฟ) = ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆƒwrex 3070  {crab 3432  Vcvv 3474   โˆฉ cin 3947   โŠ† wss 3948  {csn 4628   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  โ„‚cc 11110  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117  โ„•cn 12216  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  โ™ฏchash 14294   โˆฅ cdvds 16201   gcd cgcd 16439  Basecbs 17148  +gcplusg 17201  0gc0g 17389  Grpcgrp 18855  .gcmg 18986  SubGrpcsubg 19036  odcod 19433  LSSumclsm 19543  Abelcabl 19690
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-ec 8707  df-qs 8711  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-dvds 16202  df-gcd 16440  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-0g 17391  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-mulg 18987  df-subg 19039  df-eqg 19041  df-cntz 19222  df-od 19437  df-lsm 19545  df-cmn 19691  df-abl 19692
This theorem is referenced by:  ablfacrp2  19978  ablfac1b  19981
  Copyright terms: Public domain W3C validator