MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablfacrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ablfacrp 19852
Description: A finite abelian group whose order factors into relatively prime integers, itself "factors" into two subgroups ๐พ, ๐ฟ that have trivial intersection and whose product is the whole group. Lemma 6.1C.2 of [Shapiro], p. 199. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfacrp.b ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
ablfacrp.o ๐‘‚ = (odโ€˜๐บ)
ablfacrp.k ๐พ = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘€}
ablfacrp.l ๐ฟ = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘}
ablfacrp.g (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Abel)
ablfacrp.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
ablfacrp.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
ablfacrp.1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1)
ablfacrp.2 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) = (๐‘€ ยท ๐‘))
ablfacrp.z 0 = (0gโ€˜๐บ)
ablfacrp.s โŠ• = (LSSumโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
ablfacrp (๐œ‘ โ†’ ((๐พ โˆฉ ๐ฟ) = { 0 } โˆง (๐พ โŠ• ๐ฟ) = ๐ต))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ต   ๐‘ฅ,๐บ   ๐‘ฅ,๐‘‚   ๐‘ฅ,๐‘€   ๐‘ฅ,๐‘   ๐œ‘,๐‘ฅ   ๐‘ฅ, 0
Allowed substitution hints:   โŠ• (๐‘ฅ)   ๐พ(๐‘ฅ)   ๐ฟ(๐‘ฅ)

Proof of Theorem ablfacrp
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ ๐‘” are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ablfacrp.k . . . . . 6 ๐พ = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘€}
2 ablfacrp.l . . . . . 6 ๐ฟ = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘}
31, 2ineq12i 4175 . . . . 5 (๐พ โˆฉ ๐ฟ) = ({๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘€} โˆฉ {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘})
4 inrab 4271 . . . . 5 ({๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘€} โˆฉ {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘}) = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ ((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘€ โˆง (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘)}
53, 4eqtri 2765 . . . 4 (๐พ โˆฉ ๐ฟ) = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ ((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘€ โˆง (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘)}
6 ablfacrp.b . . . . . . . . . . . . . 14 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
7 ablfacrp.o . . . . . . . . . . . . . 14 ๐‘‚ = (odโ€˜๐บ)
86, 7odcl 19325 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•0)
98adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•0)
109nn0zd 12532 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค)
11 ablfacrp.m . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
1211nnzd 12533 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
1312adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
14 ablfacrp.n . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
1514nnzd 12533 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
1615adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
17 dvdsgcd 16432 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘€ โˆง (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘€ gcd ๐‘)))
1810, 13, 16, 17syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘€ โˆง (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘€ gcd ๐‘)))
19183impia 1118 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘€ โˆง (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘€ gcd ๐‘))
20 ablfacrp.1 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1)
21203ad2ant1 1134 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘€ โˆง (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1)
2219, 21breqtrd 5136 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘€ โˆง (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ 1)
23 simp2 1138 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘€ โˆง (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต)
24 dvds1 16208 . . . . . . . . 9 ((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ 1 โ†” (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) = 1))
2523, 8, 243syl 18 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘€ โˆง (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘)) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ 1 โ†” (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) = 1))
2622, 25mpbid 231 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘€ โˆง (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) = 1)
27 ablfacrp.g . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Abel)
28 ablgrp 19574 . . . . . . . . . 10 (๐บ โˆˆ Abel โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
30293ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘€ โˆง (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
31 ablfacrp.z . . . . . . . . 9 0 = (0gโ€˜๐บ)
327, 31, 6odeq1 19349 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) = 1 โ†” ๐‘ฅ = 0 ))
3330, 23, 32syl2anc 585 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘€ โˆง (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘)) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) = 1 โ†” ๐‘ฅ = 0 ))
3426, 33mpbid 231 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘€ โˆง (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘ฅ = 0 )
35 velsn 4607 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ { 0 } โ†” ๐‘ฅ = 0 )
3634, 35sylibr 233 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘€ โˆง (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ { 0 })
3736rabssdv 4037 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ ((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘€ โˆง (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘)} โŠ† { 0 })
385, 37eqsstrid 3997 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐พ โˆฉ ๐ฟ) โŠ† { 0 })
397, 6oddvdssubg 19640 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘€} โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
4027, 12, 39syl2anc 585 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘€} โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
411, 40eqeltrid 2842 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
4231subg0cl 18943 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ 0 โˆˆ ๐พ)
4341, 42syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ ๐พ)
447, 6oddvdssubg 19640 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘} โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
4527, 15, 44syl2anc 585 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘} โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
462, 45eqeltrid 2842 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
4731subg0cl 18943 . . . . . 6 (๐ฟ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ 0 โˆˆ ๐ฟ)
4846, 47syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ ๐ฟ)
4943, 48elind 4159 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ (๐พ โˆฉ ๐ฟ))
5049snssd 4774 . . 3 (๐œ‘ โ†’ { 0 } โŠ† (๐พ โˆฉ ๐ฟ))
5138, 50eqssd 3966 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐พ โˆฉ ๐ฟ) = { 0 })
52 ablfacrp.s . . . . . 6 โŠ• = (LSSumโ€˜๐บ)
5352lsmsubg2 19644 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐พ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐ฟ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ (๐พ โŠ• ๐ฟ) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
5427, 41, 46, 53syl3anc 1372 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐พ โŠ• ๐ฟ) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
556subgss 18936 . . . 4 ((๐พ โŠ• ๐ฟ) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ (๐พ โŠ• ๐ฟ) โŠ† ๐ต)
5654, 55syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐พ โŠ• ๐ฟ) โŠ† ๐ต)
57 eqid 2737 . . . . . 6 (.gโ€˜๐บ) = (.gโ€˜๐บ)
586, 57mulg1 18890 . . . . 5 (๐‘” โˆˆ ๐ต โ†’ (1(.gโ€˜๐บ)๐‘”) = ๐‘”)
5958adantl 483 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โ†’ (1(.gโ€˜๐บ)๐‘”) = ๐‘”)
60 bezout 16431 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (๐‘€ gcd ๐‘) = ((๐‘€ ยท ๐‘Ž) + (๐‘ ยท ๐‘)))
6112, 15, 60syl2anc 585 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (๐‘€ gcd ๐‘) = ((๐‘€ ยท ๐‘Ž) + (๐‘ ยท ๐‘)))
6261adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (๐‘€ gcd ๐‘) = ((๐‘€ ยท ๐‘Ž) + (๐‘ ยท ๐‘)))
6320ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1)
6463eqeq1d 2739 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘) = ((๐‘€ ยท ๐‘Ž) + (๐‘ ยท ๐‘)) โ†” 1 = ((๐‘€ ยท ๐‘Ž) + (๐‘ ยท ๐‘))))
6512ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
66 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„ค)
6765, 66zmulcld 12620 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘Ž) โˆˆ โ„ค)
6867zcnd 12615 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘Ž) โˆˆ โ„‚)
6915ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
70 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
7169, 70zmulcld 12620 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค)
7271zcnd 12615 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚)
7368, 72addcomd 11364 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘Ž) + (๐‘ ยท ๐‘)) = ((๐‘ ยท ๐‘) + (๐‘€ ยท ๐‘Ž)))
7473oveq1d 7377 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (((๐‘€ ยท ๐‘Ž) + (๐‘ ยท ๐‘))(.gโ€˜๐บ)๐‘”) = (((๐‘ ยท ๐‘) + (๐‘€ ยท ๐‘Ž))(.gโ€˜๐บ)๐‘”))
7529ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
76 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘” โˆˆ ๐ต)
77 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (+gโ€˜๐บ) = (+gโ€˜๐บ)
786, 57, 77mulgdir 18915 . . . . . . . . . . 11 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ((๐‘ ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘€ ยท ๐‘Ž) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต)) โ†’ (((๐‘ ยท ๐‘) + (๐‘€ ยท ๐‘Ž))(.gโ€˜๐บ)๐‘”) = (((๐‘ ยท ๐‘)(.gโ€˜๐บ)๐‘”)(+gโ€˜๐บ)((๐‘€ ยท ๐‘Ž)(.gโ€˜๐บ)๐‘”)))
7975, 71, 67, 76, 78syl13anc 1373 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (((๐‘ ยท ๐‘) + (๐‘€ ยท ๐‘Ž))(.gโ€˜๐บ)๐‘”) = (((๐‘ ยท ๐‘)(.gโ€˜๐บ)๐‘”)(+gโ€˜๐บ)((๐‘€ ยท ๐‘Ž)(.gโ€˜๐บ)๐‘”)))
8074, 79eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (((๐‘€ ยท ๐‘Ž) + (๐‘ ยท ๐‘))(.gโ€˜๐บ)๐‘”) = (((๐‘ ยท ๐‘)(.gโ€˜๐บ)๐‘”)(+gโ€˜๐บ)((๐‘€ ยท ๐‘Ž)(.gโ€˜๐บ)๐‘”)))
8141ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐พ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
8246ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐ฟ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
836, 57mulgcl 18900 . . . . . . . . . . . 12 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘)(.gโ€˜๐บ)๐‘”) โˆˆ ๐ต)
8475, 71, 76, 83syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘)(.gโ€˜๐บ)๐‘”) โˆˆ ๐ต)
856, 7odcl 19325 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘” โˆˆ ๐ต โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘”) โˆˆ โ„•0)
8685ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘”) โˆˆ โ„•0)
8786nn0zd 12532 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘”) โˆˆ โ„ค)
8865, 69zmulcld 12620 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค)
89 ablfacrp.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) = (๐‘€ ยท ๐‘))
9011, 14nnmulcld 12213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„•)
9190nnnn0d 12480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„•0)
9289, 91eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„•0)
936fvexi 6861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ๐ต โˆˆ V
94 hashclb 14265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐ต โˆˆ V โ†’ (๐ต โˆˆ Fin โ†” (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„•0))
9593, 94ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐ต โˆˆ Fin โ†” (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„•0)
9692, 95sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)
9796ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)
986, 7oddvds2 19355 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ต โˆˆ Fin โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘”) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต))
9975, 97, 76, 98syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘”) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ต))
10089ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) = (๐‘€ ยท ๐‘))
10199, 100breqtrd 5136 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘”) โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘))
10287, 88, 70, 101dvdsmultr1d 16186 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘”) โˆฅ ((๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘))
10365zcnd 12615 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
10469zcnd 12615 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
10570zcnd 12615 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
106103, 104, 105mulassd 11185 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘) = (๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘)))
107102, 106breqtrd 5136 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘”) โˆฅ (๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘)))
1086, 7, 57odmulgid 19343 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘ ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘‚โ€˜((๐‘ ยท ๐‘)(.gโ€˜๐บ)๐‘”)) โˆฅ ๐‘€ โ†” (๐‘‚โ€˜๐‘”) โˆฅ (๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘))))
10975, 76, 71, 65, 108syl31anc 1374 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘‚โ€˜((๐‘ ยท ๐‘)(.gโ€˜๐บ)๐‘”)) โˆฅ ๐‘€ โ†” (๐‘‚โ€˜๐‘”) โˆฅ (๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘))))
110107, 109mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘‚โ€˜((๐‘ ยท ๐‘)(.gโ€˜๐บ)๐‘”)) โˆฅ ๐‘€)
111 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = ((๐‘ ยท ๐‘)(.gโ€˜๐บ)๐‘”) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‚โ€˜((๐‘ ยท ๐‘)(.gโ€˜๐บ)๐‘”)))
112111breq1d 5120 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = ((๐‘ ยท ๐‘)(.gโ€˜๐บ)๐‘”) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘€ โ†” (๐‘‚โ€˜((๐‘ ยท ๐‘)(.gโ€˜๐บ)๐‘”)) โˆฅ ๐‘€))
113112, 1elrab2 3653 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ ยท ๐‘)(.gโ€˜๐บ)๐‘”) โˆˆ ๐พ โ†” (((๐‘ ยท ๐‘)(.gโ€˜๐บ)๐‘”) โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘‚โ€˜((๐‘ ยท ๐‘)(.gโ€˜๐บ)๐‘”)) โˆฅ ๐‘€))
11484, 110, 113sylanbrc 584 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘)(.gโ€˜๐บ)๐‘”) โˆˆ ๐พ)
1156, 57mulgcl 18900 . . . . . . . . . . . 12 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘€ ยท ๐‘Ž) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘Ž)(.gโ€˜๐บ)๐‘”) โˆˆ ๐ต)
11675, 67, 76, 115syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘Ž)(.gโ€˜๐บ)๐‘”) โˆˆ ๐ต)
11787, 88, 66, 101dvdsmultr1d 16186 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘”) โˆฅ ((๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘Ž))
118 zcn 12511 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„‚)
119118ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„‚)
120 mulass 11146 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘Ž) = (๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘Ž)))
121 mul12 11327 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘Ž)) = (๐‘ ยท (๐‘€ ยท ๐‘Ž)))
122120, 121eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘Ž) = (๐‘ ยท (๐‘€ ยท ๐‘Ž)))
123103, 104, 119, 122syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘Ž) = (๐‘ ยท (๐‘€ ยท ๐‘Ž)))
124117, 123breqtrd 5136 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘”) โˆฅ (๐‘ ยท (๐‘€ ยท ๐‘Ž)))
1256, 7, 57odmulgid 19343 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘Ž) โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘‚โ€˜((๐‘€ ยท ๐‘Ž)(.gโ€˜๐บ)๐‘”)) โˆฅ ๐‘ โ†” (๐‘‚โ€˜๐‘”) โˆฅ (๐‘ ยท (๐‘€ ยท ๐‘Ž))))
12675, 76, 67, 69, 125syl31anc 1374 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘‚โ€˜((๐‘€ ยท ๐‘Ž)(.gโ€˜๐บ)๐‘”)) โˆฅ ๐‘ โ†” (๐‘‚โ€˜๐‘”) โˆฅ (๐‘ ยท (๐‘€ ยท ๐‘Ž))))
127124, 126mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘‚โ€˜((๐‘€ ยท ๐‘Ž)(.gโ€˜๐บ)๐‘”)) โˆฅ ๐‘)
128 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = ((๐‘€ ยท ๐‘Ž)(.gโ€˜๐บ)๐‘”) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‚โ€˜((๐‘€ ยท ๐‘Ž)(.gโ€˜๐บ)๐‘”)))
129128breq1d 5120 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = ((๐‘€ ยท ๐‘Ž)(.gโ€˜๐บ)๐‘”) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ๐‘ โ†” (๐‘‚โ€˜((๐‘€ ยท ๐‘Ž)(.gโ€˜๐บ)๐‘”)) โˆฅ ๐‘))
130129, 2elrab2 3653 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘€ ยท ๐‘Ž)(.gโ€˜๐บ)๐‘”) โˆˆ ๐ฟ โ†” (((๐‘€ ยท ๐‘Ž)(.gโ€˜๐บ)๐‘”) โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘‚โ€˜((๐‘€ ยท ๐‘Ž)(.gโ€˜๐บ)๐‘”)) โˆฅ ๐‘))
131116, 127, 130sylanbrc 584 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘Ž)(.gโ€˜๐บ)๐‘”) โˆˆ ๐ฟ)
13277, 52lsmelvali 19439 . . . . . . . . . 10 (((๐พ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐ฟ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โˆง (((๐‘ ยท ๐‘)(.gโ€˜๐บ)๐‘”) โˆˆ ๐พ โˆง ((๐‘€ ยท ๐‘Ž)(.gโ€˜๐บ)๐‘”) โˆˆ ๐ฟ)) โ†’ (((๐‘ ยท ๐‘)(.gโ€˜๐บ)๐‘”)(+gโ€˜๐บ)((๐‘€ ยท ๐‘Ž)(.gโ€˜๐บ)๐‘”)) โˆˆ (๐พ โŠ• ๐ฟ))
13381, 82, 114, 131, 132syl22anc 838 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (((๐‘ ยท ๐‘)(.gโ€˜๐บ)๐‘”)(+gโ€˜๐บ)((๐‘€ ยท ๐‘Ž)(.gโ€˜๐บ)๐‘”)) โˆˆ (๐พ โŠ• ๐ฟ))
13480, 133eqeltrd 2838 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (((๐‘€ ยท ๐‘Ž) + (๐‘ ยท ๐‘))(.gโ€˜๐บ)๐‘”) โˆˆ (๐พ โŠ• ๐ฟ))
135 oveq1 7369 . . . . . . . . 9 (1 = ((๐‘€ ยท ๐‘Ž) + (๐‘ ยท ๐‘)) โ†’ (1(.gโ€˜๐บ)๐‘”) = (((๐‘€ ยท ๐‘Ž) + (๐‘ ยท ๐‘))(.gโ€˜๐บ)๐‘”))
136135eleq1d 2823 . . . . . . . 8 (1 = ((๐‘€ ยท ๐‘Ž) + (๐‘ ยท ๐‘)) โ†’ ((1(.gโ€˜๐บ)๐‘”) โˆˆ (๐พ โŠ• ๐ฟ) โ†” (((๐‘€ ยท ๐‘Ž) + (๐‘ ยท ๐‘))(.gโ€˜๐บ)๐‘”) โˆˆ (๐พ โŠ• ๐ฟ)))
137134, 136syl5ibrcom 247 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (1 = ((๐‘€ ยท ๐‘Ž) + (๐‘ ยท ๐‘)) โ†’ (1(.gโ€˜๐บ)๐‘”) โˆˆ (๐พ โŠ• ๐ฟ)))
13864, 137sylbid 239 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘) = ((๐‘€ ยท ๐‘Ž) + (๐‘ ยท ๐‘)) โ†’ (1(.gโ€˜๐บ)๐‘”) โˆˆ (๐พ โŠ• ๐ฟ)))
139138rexlimdvva 3206 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (๐‘€ gcd ๐‘) = ((๐‘€ ยท ๐‘Ž) + (๐‘ ยท ๐‘)) โ†’ (1(.gโ€˜๐บ)๐‘”) โˆˆ (๐พ โŠ• ๐ฟ)))
14062, 139mpd 15 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โ†’ (1(.gโ€˜๐บ)๐‘”) โˆˆ (๐พ โŠ• ๐ฟ))
14159, 140eqeltrrd 2839 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘” โˆˆ (๐พ โŠ• ๐ฟ))
14256, 141eqelssd 3970 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐พ โŠ• ๐ฟ) = ๐ต)
14351, 142jca 513 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐พ โˆฉ ๐ฟ) = { 0 } โˆง (๐พ โŠ• ๐ฟ) = ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆƒwrex 3074  {crab 3410  Vcvv 3448   โˆฉ cin 3914   โŠ† wss 3915  {csn 4591   class class class wbr 5110  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Fincfn 8890  โ„‚cc 11056  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063  โ„•cn 12160  โ„•0cn0 12420  โ„คcz 12506  โ™ฏchash 14237   โˆฅ cdvds 16143   gcd cgcd 16381  Basecbs 17090  +gcplusg 17140  0gc0g 17328  Grpcgrp 18755  .gcmg 18879  SubGrpcsubg 18929  odcod 19313  LSSumclsm 19423  Abelcabl 19570
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-ec 8657  df-qs 8661  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-acn 9885  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-0g 17330  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-eqg 18934  df-cntz 19104  df-od 19317  df-lsm 19425  df-cmn 19571  df-abl 19572
This theorem is referenced by:  ablfacrp2  19853  ablfac1b  19856
  Copyright terms: Public domain W3C validator