Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablfacrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ablfacrp 19185
 Description: A finite abelian group whose order factors into relatively prime integers, itself "factors" into two subgroups 𝐾, 𝐿 that have trivial intersection and whose product is the whole group. Lemma 6.1C.2 of [Shapiro], p. 199. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfacrp.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablfacrp.o 𝑂 = (od‘𝐺)
ablfacrp.k 𝐾 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀}
ablfacrp.l 𝐿 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁}
ablfacrp.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
ablfacrp.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
ablfacrp.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
ablfacrp.1 (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
ablfacrp.2 (𝜑 → (♯‘𝐵) = (𝑀 · 𝑁))
ablfacrp.z 0 = (0g𝐺)
ablfacrp.s = (LSSum‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
ablfacrp (𝜑 → ((𝐾𝐿) = { 0 } ∧ (𝐾 𝐿) = 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝑂   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥   𝑥, 0
Allowed substitution hints:   (𝑥)   𝐾(𝑥)   𝐿(𝑥)

Proof of Theorem ablfacrp
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ablfacrp.k . . . . . 6 𝐾 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀}
2 ablfacrp.l . . . . . 6 𝐿 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁}
31, 2ineq12i 4140 . . . . 5 (𝐾𝐿) = ({𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀} ∩ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁})
4 inrab 4230 . . . . 5 ({𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀} ∩ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁}) = {𝑥𝐵 ∣ ((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁)}
53, 4eqtri 2824 . . . 4 (𝐾𝐿) = {𝑥𝐵 ∣ ((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁)}
6 ablfacrp.b . . . . . . . . . . . . . 14 𝐵 = (Base‘𝐺)
7 ablfacrp.o . . . . . . . . . . . . . 14 𝑂 = (od‘𝐺)
86, 7odcl 18660 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐵 → (𝑂𝑥) ∈ ℕ0)
98adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑂𝑥) ∈ ℕ0)
109nn0zd 12077 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑂𝑥) ∈ ℤ)
11 ablfacrp.m . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
1211nnzd 12078 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
1312adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑀 ∈ ℤ)
14 ablfacrp.n . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
1514nnzd 12078 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
1615adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑁 ∈ ℤ)
17 dvdsgcd 15886 . . . . . . . . . . 11 (((𝑂𝑥) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁) → (𝑂𝑥) ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
1810, 13, 16, 17syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐵) → (((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁) → (𝑂𝑥) ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
19183impia 1114 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁)) → (𝑂𝑥) ∥ (𝑀 gcd 𝑁))
20 ablfacrp.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
21203ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁)) → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
2219, 21breqtrd 5059 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁)) → (𝑂𝑥) ∥ 1)
23 simp2 1134 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁)) → 𝑥𝐵)
24 dvds1 15665 . . . . . . . . 9 ((𝑂𝑥) ∈ ℕ0 → ((𝑂𝑥) ∥ 1 ↔ (𝑂𝑥) = 1))
2523, 8, 243syl 18 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁)) → ((𝑂𝑥) ∥ 1 ↔ (𝑂𝑥) = 1))
2622, 25mpbid 235 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁)) → (𝑂𝑥) = 1)
27 ablfacrp.g . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
28 ablgrp 18907 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
30293ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁)) → 𝐺 ∈ Grp)
31 ablfacrp.z . . . . . . . . 9 0 = (0g𝐺)
327, 31, 6odeq1 18683 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑂𝑥) = 1 ↔ 𝑥 = 0 ))
3330, 23, 32syl2anc 587 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁)) → ((𝑂𝑥) = 1 ↔ 𝑥 = 0 ))
3426, 33mpbid 235 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁)) → 𝑥 = 0 )
35 velsn 4544 . . . . . 6 (𝑥 ∈ { 0 } ↔ 𝑥 = 0 )
3634, 35sylibr 237 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁)) → 𝑥 ∈ { 0 })
3736rabssdv 4005 . . . 4 (𝜑 → {𝑥𝐵 ∣ ((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁)} ⊆ { 0 })
385, 37eqsstrid 3966 . . 3 (𝜑 → (𝐾𝐿) ⊆ { 0 })
397, 6oddvdssubg 18972 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀} ∈ (SubGrp‘𝐺))
4027, 12, 39syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀} ∈ (SubGrp‘𝐺))
411, 40eqeltrid 2897 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4231subg0cl 18283 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0𝐾)
4341, 42syl 17 . . . . 5 (𝜑0𝐾)
447, 6oddvdssubg 18972 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} ∈ (SubGrp‘𝐺))
4527, 15, 44syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} ∈ (SubGrp‘𝐺))
462, 45eqeltrid 2897 . . . . . 6 (𝜑𝐿 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4731subg0cl 18283 . . . . . 6 (𝐿 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0𝐿)
4846, 47syl 17 . . . . 5 (𝜑0𝐿)
4943, 48elind 4124 . . . 4 (𝜑0 ∈ (𝐾𝐿))
5049snssd 4705 . . 3 (𝜑 → { 0 } ⊆ (𝐾𝐿))
5138, 50eqssd 3935 . 2 (𝜑 → (𝐾𝐿) = { 0 })
52 ablfacrp.s . . . . . 6 = (LSSum‘𝐺)
5352lsmsubg2 18976 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐿 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐾 𝐿) ∈ (SubGrp‘𝐺))
5427, 41, 46, 53syl3anc 1368 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 𝐿) ∈ (SubGrp‘𝐺))
556subgss 18276 . . . 4 ((𝐾 𝐿) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐾 𝐿) ⊆ 𝐵)
5654, 55syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐾 𝐿) ⊆ 𝐵)
57 eqid 2801 . . . . . 6 (.g𝐺) = (.g𝐺)
586, 57mulg1 18231 . . . . 5 (𝑔𝐵 → (1(.g𝐺)𝑔) = 𝑔)
5958adantl 485 . . . 4 ((𝜑𝑔𝐵) → (1(.g𝐺)𝑔) = 𝑔)
60 bezout 15885 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏)))
6112, 15, 60syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏)))
6261adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝐵) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏)))
6320ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
6463eqeq1d 2803 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏)) ↔ 1 = ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏))))
6512ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℤ)
66 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℤ)
6765, 66zmulcld 12085 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑀 · 𝑎) ∈ ℤ)
6867zcnd 12080 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑀 · 𝑎) ∈ ℂ)
6915ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
70 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑏 ∈ ℤ)
7169, 70zmulcld 12085 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑁 · 𝑏) ∈ ℤ)
7271zcnd 12080 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑁 · 𝑏) ∈ ℂ)
7368, 72addcomd 10835 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏)) = ((𝑁 · 𝑏) + (𝑀 · 𝑎)))
7473oveq1d 7154 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏))(.g𝐺)𝑔) = (((𝑁 · 𝑏) + (𝑀 · 𝑎))(.g𝐺)𝑔))
7529ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝐺 ∈ Grp)
76 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑔𝐵)
77 eqid 2801 . . . . . . . . . . . 12 (+g𝐺) = (+g𝐺)
786, 57, 77mulgdir 18255 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑁 · 𝑏) ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑎) ∈ ℤ ∧ 𝑔𝐵)) → (((𝑁 · 𝑏) + (𝑀 · 𝑎))(.g𝐺)𝑔) = (((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔)(+g𝐺)((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔)))
7975, 71, 67, 76, 78syl13anc 1369 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑁 · 𝑏) + (𝑀 · 𝑎))(.g𝐺)𝑔) = (((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔)(+g𝐺)((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔)))
8074, 79eqtrd 2836 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏))(.g𝐺)𝑔) = (((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔)(+g𝐺)((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔)))
8141ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
8246ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝐿 ∈ (SubGrp‘𝐺))
836, 57mulgcl 18241 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 · 𝑏) ∈ ℤ ∧ 𝑔𝐵) → ((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔) ∈ 𝐵)
8475, 71, 76, 83syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔) ∈ 𝐵)
856, 7odcl 18660 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑔𝐵 → (𝑂𝑔) ∈ ℕ0)
8685ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑂𝑔) ∈ ℕ0)
8786nn0zd 12077 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑂𝑔) ∈ ℤ)
8865, 69zmulcld 12085 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
89 ablfacrp.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (♯‘𝐵) = (𝑀 · 𝑁))
9011, 14nnmulcld 11682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ)
9190nnnn0d 11947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)
9289, 91eqeltrd 2893 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
936fvexi 6663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐵 ∈ V
94 hashclb 13719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ Fin ↔ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0))
9593, 94ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐵 ∈ Fin ↔ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
9692, 95sylibr 237 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
9796ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ Fin)
986, 7oddvds2 18689 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑔𝐵) → (𝑂𝑔) ∥ (♯‘𝐵))
9975, 97, 76, 98syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑂𝑔) ∥ (♯‘𝐵))
10089ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (♯‘𝐵) = (𝑀 · 𝑁))
10199, 100breqtrd 5059 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑂𝑔) ∥ (𝑀 · 𝑁))
10287, 88, 70, 101dvdsmultr1d 15644 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑂𝑔) ∥ ((𝑀 · 𝑁) · 𝑏))
10365zcnd 12080 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℂ)
10469zcnd 12080 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
10570zcnd 12080 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑏 ∈ ℂ)
106103, 104, 105mulassd 10657 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑏) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑏)))
107102, 106breqtrd 5059 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑂𝑔) ∥ (𝑀 · (𝑁 · 𝑏)))
1086, 7, 57odmulgid 18677 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑔𝐵 ∧ (𝑁 · 𝑏) ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑂‘((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔)) ∥ 𝑀 ↔ (𝑂𝑔) ∥ (𝑀 · (𝑁 · 𝑏))))
10975, 76, 71, 65, 108syl31anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔)) ∥ 𝑀 ↔ (𝑂𝑔) ∥ (𝑀 · (𝑁 · 𝑏))))
110107, 109mpbird 260 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑂‘((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔)) ∥ 𝑀)
111 fveq2 6649 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = ((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔) → (𝑂𝑥) = (𝑂‘((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔)))
112111breq1d 5043 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔) → ((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ↔ (𝑂‘((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔)) ∥ 𝑀))
113112, 1elrab2 3634 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔) ∈ 𝐾 ↔ (((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔) ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔)) ∥ 𝑀))
11484, 110, 113sylanbrc 586 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔) ∈ 𝐾)
1156, 57mulgcl 18241 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 · 𝑎) ∈ ℤ ∧ 𝑔𝐵) → ((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔) ∈ 𝐵)
11675, 67, 76, 115syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔) ∈ 𝐵)
11787, 88, 66, 101dvdsmultr1d 15644 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑂𝑔) ∥ ((𝑀 · 𝑁) · 𝑎))
118 zcn 11978 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
119118ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℂ)
120 mulass 10618 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑎) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑎)))
121 mul12 10798 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (𝑀 · (𝑁 · 𝑎)) = (𝑁 · (𝑀 · 𝑎)))
122120, 121eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑎) = (𝑁 · (𝑀 · 𝑎)))
123103, 104, 119, 122syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑎) = (𝑁 · (𝑀 · 𝑎)))
124117, 123breqtrd 5059 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑂𝑔) ∥ (𝑁 · (𝑀 · 𝑎)))
1256, 7, 57odmulgid 18677 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑔𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑎) ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑂‘((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔)) ∥ 𝑁 ↔ (𝑂𝑔) ∥ (𝑁 · (𝑀 · 𝑎))))
12675, 76, 67, 69, 125syl31anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔)) ∥ 𝑁 ↔ (𝑂𝑔) ∥ (𝑁 · (𝑀 · 𝑎))))
127124, 126mpbird 260 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑂‘((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔)) ∥ 𝑁)
128 fveq2 6649 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = ((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔) → (𝑂𝑥) = (𝑂‘((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔)))
129128breq1d 5043 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔) → ((𝑂𝑥) ∥ 𝑁 ↔ (𝑂‘((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔)) ∥ 𝑁))
130129, 2elrab2 3634 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔) ∈ 𝐿 ↔ (((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔) ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔)) ∥ 𝑁))
131116, 127, 130sylanbrc 586 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔) ∈ 𝐿)
13277, 52lsmelvali 18771 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐿 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔) ∈ 𝐾 ∧ ((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔) ∈ 𝐿)) → (((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔)(+g𝐺)((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔)) ∈ (𝐾 𝐿))
13381, 82, 114, 131, 132syl22anc 837 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔)(+g𝐺)((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔)) ∈ (𝐾 𝐿))
13480, 133eqeltrd 2893 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏))(.g𝐺)𝑔) ∈ (𝐾 𝐿))
135 oveq1 7146 . . . . . . . . 9 (1 = ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏)) → (1(.g𝐺)𝑔) = (((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏))(.g𝐺)𝑔))
136135eleq1d 2877 . . . . . . . 8 (1 = ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏)) → ((1(.g𝐺)𝑔) ∈ (𝐾 𝐿) ↔ (((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏))(.g𝐺)𝑔) ∈ (𝐾 𝐿)))
137134, 136syl5ibrcom 250 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (1 = ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏)) → (1(.g𝐺)𝑔) ∈ (𝐾 𝐿)))
13864, 137sylbid 243 . . . . . 6 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏)) → (1(.g𝐺)𝑔) ∈ (𝐾 𝐿)))
139138rexlimdvva 3256 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝐵) → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏)) → (1(.g𝐺)𝑔) ∈ (𝐾 𝐿)))
14062, 139mpd 15 . . . 4 ((𝜑𝑔𝐵) → (1(.g𝐺)𝑔) ∈ (𝐾 𝐿))
14159, 140eqeltrrd 2894 . . 3 ((𝜑𝑔𝐵) → 𝑔 ∈ (𝐾 𝐿))
14256, 141eqelssd 3939 . 2 (𝜑 → (𝐾 𝐿) = 𝐵)
14351, 142jca 515 1 (𝜑 → ((𝐾𝐿) = { 0 } ∧ (𝐾 𝐿) = 𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ∃wrex 3110  {crab 3113  Vcvv 3444   ∩ cin 3883   ⊆ wss 3884  {csn 4528   class class class wbr 5033  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  Fincfn 8496  ℂcc 10528  1c1 10531   + caddc 10533   · cmul 10535  ℕcn 11629  ℕ0cn0 11889  ℤcz 11973  ♯chash 13690   ∥ cdvds 15603   gcd cgcd 15837  Basecbs 16479  +gcplusg 16561  0gc0g 16709  Grpcgrp 18099  .gcmg 18220  SubGrpcsubg 18269  odcod 18648  LSSumclsm 18755  Abelcabl 18903 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-disj 4999  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-omul 8094  df-er 8276  df-ec 8278  df-qs 8282  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-acn 9359  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-mod 13237  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-clim 14841  df-sum 15039  df-dvds 15604  df-gcd 15838  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-0g 16711  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-submnd 17953  df-grp 18102  df-minusg 18103  df-sbg 18104  df-mulg 18221  df-subg 18272  df-eqg 18274  df-cntz 18443  df-od 18652  df-lsm 18757  df-cmn 18904  df-abl 18905 This theorem is referenced by:  ablfacrp2  19186  ablfac1b  19189
 Copyright terms: Public domain W3C validator