Theorem sinperlem 26522

Description: Lemma for sinper 26523 and cosper 26524. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
sinperlem.1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐹‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴))𝑂(exp‘(-i · 𝐴))) / 𝐷))
sinperlem.2	⊢ ((𝐴 + (𝐾 · (2 · π))) ∈ ℂ → (𝐹‘(𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))) = (((exp‘(i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))))𝑂(exp‘(-i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))))) / 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
sinperlem	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))) = (𝐹‘𝐴))

Proof of Theorem sinperlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12570	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
2		2cn 12290	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
3		picn 26498	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℂ
4	2, 3	mulcli 11186	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
5		mulcl 11154	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ (2 · π) ∈ ℂ) → (𝐾 · (2 · π)) ∈ ℂ)
6	1, 4, 5	sylancl 595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 · (2 · π)) ∈ ℂ)
7		ax-icn 11129	. . . . . . . . 9 ⊢ i ∈ ℂ
8		adddi 11159	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐾 · (2 · π)) ∈ ℂ) → (i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))) = ((i · 𝐴) + (i · (𝐾 · (2 · π)))))
9	7, 8	mp3an1 1468	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐾 · (2 · π)) ∈ ℂ) → (i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))) = ((i · 𝐴) + (i · (𝐾 · (2 · π)))))
10	6, 9	sylan2 602	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))) = ((i · 𝐴) + (i · (𝐾 · (2 · π)))))
11		mul12 11345	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ (2 · π) ∈ ℂ) → (i · (𝐾 · (2 · π))) = (𝐾 · (i · (2 · π))))
12	7, 4, 11	mp3an13 1472	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → (i · (𝐾 · (2 · π))) = (𝐾 · (i · (2 · π))))
13	1, 12	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (i · (𝐾 · (2 · π))) = (𝐾 · (i · (2 · π))))
14	7, 4	mulcli 11186	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i · (2 · π)) ∈ ℂ
15		mulcom 11156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ (i · (2 · π)) ∈ ℂ) → (𝐾 · (i · (2 · π))) = ((i · (2 · π)) · 𝐾))
16	1, 14, 15	sylancl 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 · (i · (2 · π))) = ((i · (2 · π)) · 𝐾))
17	13, 16	eqtrd 2796	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (i · (𝐾 · (2 · π))) = ((i · (2 · π)) · 𝐾))
18	17	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (i · (𝐾 · (2 · π))) = ((i · (2 · π)) · 𝐾))
19	18	oveq2d 7408	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((i · 𝐴) + (i · (𝐾 · (2 · π)))) = ((i · 𝐴) + ((i · (2 · π)) · 𝐾)))
20	10, 19	eqtrd 2796	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))) = ((i · 𝐴) + ((i · (2 · π)) · 𝐾)))
21	20	fveq2d 6867	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (exp‘(i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π))))) = (exp‘((i · 𝐴) + ((i · (2 · π)) · 𝐾))))
22		mulcl 11154	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
23	7, 22	mpan 700	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
24		efper 26521	. . . . . 6 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (exp‘((i · 𝐴) + ((i · (2 · π)) · 𝐾))) = (exp‘(i · 𝐴)))
25	23, 24	sylan 589	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (exp‘((i · 𝐴) + ((i · (2 · π)) · 𝐾))) = (exp‘(i · 𝐴)))
26	21, 25	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (exp‘(i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π))))) = (exp‘(i · 𝐴)))
27		negicn 11428	. . . . . . . . 9 ⊢ -i ∈ ℂ
28		adddi 11159	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐾 · (2 · π)) ∈ ℂ) → (-i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))) = ((-i · 𝐴) + (-i · (𝐾 · (2 · π)))))
29	27, 28	mp3an1 1468	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐾 · (2 · π)) ∈ ℂ) → (-i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))) = ((-i · 𝐴) + (-i · (𝐾 · (2 · π)))))
30	6, 29	sylan2 602	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (-i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))) = ((-i · 𝐴) + (-i · (𝐾 · (2 · π)))))
31	17	negeqd 11421	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → -(i · (𝐾 · (2 · π))) = -((i · (2 · π)) · 𝐾))
32		mulneg1 11620	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (𝐾 · (2 · π)) ∈ ℂ) → (-i · (𝐾 · (2 · π))) = -(i · (𝐾 · (2 · π))))
33	7, 6, 32	sylancr 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (-i · (𝐾 · (2 · π))) = -(i · (𝐾 · (2 · π))))
34		mulneg2 11621	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((i · (2 · π)) ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((i · (2 · π)) · -𝐾) = -((i · (2 · π)) · 𝐾))
35	14, 1, 34	sylancr 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((i · (2 · π)) · -𝐾) = -((i · (2 · π)) · 𝐾))
36	31, 33, 35	3eqtr4d 2806	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (-i · (𝐾 · (2 · π))) = ((i · (2 · π)) · -𝐾))
37	36	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (-i · (𝐾 · (2 · π))) = ((i · (2 · π)) · -𝐾))
38	37	oveq2d 7408	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((-i · 𝐴) + (-i · (𝐾 · (2 · π)))) = ((-i · 𝐴) + ((i · (2 · π)) · -𝐾)))
39	30, 38	eqtrd 2796	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (-i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))) = ((-i · 𝐴) + ((i · (2 · π)) · -𝐾)))
40	39	fveq2d 6867	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (exp‘(-i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π))))) = (exp‘((-i · 𝐴) + ((i · (2 · π)) · -𝐾))))
41		mulcl 11154	. . . . . . 7 ⊢ ((-i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
42	27, 41	mpan 700	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
43		znegcl 12603	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → -𝐾 ∈ ℤ)
44		efper 26521	. . . . . 6 ⊢ (((-i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ -𝐾 ∈ ℤ) → (exp‘((-i · 𝐴) + ((i · (2 · π)) · -𝐾))) = (exp‘(-i · 𝐴)))
45	42, 43, 44	syl2an 605	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (exp‘((-i · 𝐴) + ((i · (2 · π)) · -𝐾))) = (exp‘(-i · 𝐴)))
46	40, 45	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (exp‘(-i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π))))) = (exp‘(-i · 𝐴)))
47	26, 46	oveq12d 7410	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((exp‘(i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))))𝑂(exp‘(-i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))))) = ((exp‘(i · 𝐴))𝑂(exp‘(-i · 𝐴))))
48	47	oveq1d 7407	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((exp‘(i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))))𝑂(exp‘(-i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))))) / 𝐷) = (((exp‘(i · 𝐴))𝑂(exp‘(-i · 𝐴))) / 𝐷))
49		addcl 11152	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐾 · (2 · π)) ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐾 · (2 · π))) ∈ ℂ)
50	6, 49	sylan2 602	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐴 + (𝐾 · (2 · π))) ∈ ℂ)
51		sinperlem.2	. . 3 ⊢ ((𝐴 + (𝐾 · (2 · π))) ∈ ℂ → (𝐹‘(𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))) = (((exp‘(i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))))𝑂(exp‘(-i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))))) / 𝐷))
52	50, 51	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))) = (((exp‘(i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))))𝑂(exp‘(-i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))))) / 𝐷))
53		sinperlem.1	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐹‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴))𝑂(exp‘(-i · 𝐴))) / 𝐷))
54	53	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐹‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴))𝑂(exp‘(-i · 𝐴))) / 𝐷))
55	48, 52, 54	3eqtr4d 2806	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))) = (𝐹‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  ℂcc 11068  ici 11072   + caddc 11073   · cmul 11075  -cneg 11412   / cdiv 11841  2c2 12269  ℤcz 12565  expce 16074  πcpi 16079

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-inf2 9593  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148  ax-addf 11149

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-se 5599  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-isom 6526  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-of 7656  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-supp 8136  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-er 8673  df-map 8805  df-pm 8806  df-ixp 8876  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-fsupp 9305  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9455  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12479  df-z 12566  df-dec 12686  df-uz 12837  df-q 12947  df-rp 12991  df-xneg 13111  df-xadd 13112  df-xmul 13113  df-ioo 13350  df-ioc 13351  df-ico 13352  df-icc 13353  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-fl 13799  df-seq 14012  df-exp 14072  df-fac 14284  df-bc 14313  df-hash 14341  df-shft 15077  df-cj 15109  df-re 15110  df-im 15111  df-sqrt 15245  df-abs 15246  df-limsup 15481  df-clim 15498  df-rlim 15499  df-sum 15697  df-ef 16080  df-sin 16082  df-cos 16083  df-pi 16085  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-starv 17284  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-ip 17287  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-unif 17292  df-hom 17293  df-cco 17294  df-rest 17434  df-topn 17435  df-0g 17453  df-gsum 17454  df-topgen 17455  df-pt 17456  df-prds 17459  df-xrs 17515  df-qtop 17520  df-imas 17521  df-xps 17523  df-mre 17597  df-mrc 17598  df-acs 17600  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-submnd 18801  df-mulg 19093  df-cntz 19340  df-cmn 19805  df-psmet 21396  df-xmet 21397  df-met 21398  df-bl 21399  df-mopn 21400  df-fbas 21401  df-fg 21402  df-cnfld 21405  df-top 22934  df-topon 22951  df-topsp 22973  df-bases 22986  df-cld 23059  df-ntr 23060  df-cls 23061  df-nei 23138  df-lp 23176  df-perf 23177  df-cn 23267  df-cnp 23268  df-haus 23355  df-tx 23602  df-hmeo 23795  df-fil 23886  df-fm 23978  df-flim 23979  df-flf 23980  df-xms 24360  df-ms 24361  df-tms 24362  df-cncf 24920  df-limc 25908  df-dv 25909

This theorem is referenced by:  sinper  26523  cosper  26524