Theorem sinperlem 26537

Description: Lemma for sinper 26538 and cosper 26539. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
sinperlem.1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐹‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴))𝑂(exp‘(-i · 𝐴))) / 𝐷))
sinperlem.2	⊢ ((𝐴 + (𝐾 · (2 · π))) ∈ ℂ → (𝐹‘(𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))) = (((exp‘(i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))))𝑂(exp‘(-i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))))) / 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
sinperlem	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))) = (𝐹‘𝐴))

Proof of Theorem sinperlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12616	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
2		2cn 12339	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
3		picn 26516	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℂ
4	2, 3	mulcli 11266	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
5		mulcl 11237	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ (2 · π) ∈ ℂ) → (𝐾 · (2 · π)) ∈ ℂ)
6	1, 4, 5	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 · (2 · π)) ∈ ℂ)
7		ax-icn 11212	. . . . . . . . 9 ⊢ i ∈ ℂ
8		adddi 11242	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐾 · (2 · π)) ∈ ℂ) → (i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))) = ((i · 𝐴) + (i · (𝐾 · (2 · π)))))
9	7, 8	mp3an1 1447	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐾 · (2 · π)) ∈ ℂ) → (i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))) = ((i · 𝐴) + (i · (𝐾 · (2 · π)))))
10	6, 9	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))) = ((i · 𝐴) + (i · (𝐾 · (2 · π)))))
11		mul12 11424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ (2 · π) ∈ ℂ) → (i · (𝐾 · (2 · π))) = (𝐾 · (i · (2 · π))))
12	7, 4, 11	mp3an13 1451	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → (i · (𝐾 · (2 · π))) = (𝐾 · (i · (2 · π))))
13	1, 12	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (i · (𝐾 · (2 · π))) = (𝐾 · (i · (2 · π))))
14	7, 4	mulcli 11266	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i · (2 · π)) ∈ ℂ
15		mulcom 11239	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ (i · (2 · π)) ∈ ℂ) → (𝐾 · (i · (2 · π))) = ((i · (2 · π)) · 𝐾))
16	1, 14, 15	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 · (i · (2 · π))) = ((i · (2 · π)) · 𝐾))
17	13, 16	eqtrd 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (i · (𝐾 · (2 · π))) = ((i · (2 · π)) · 𝐾))
18	17	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (i · (𝐾 · (2 · π))) = ((i · (2 · π)) · 𝐾))
19	18	oveq2d 7447	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((i · 𝐴) + (i · (𝐾 · (2 · π)))) = ((i · 𝐴) + ((i · (2 · π)) · 𝐾)))
20	10, 19	eqtrd 2775	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))) = ((i · 𝐴) + ((i · (2 · π)) · 𝐾)))
21	20	fveq2d 6911	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (exp‘(i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π))))) = (exp‘((i · 𝐴) + ((i · (2 · π)) · 𝐾))))
22		mulcl 11237	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
23	7, 22	mpan 690	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
24		efper 26536	. . . . . 6 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (exp‘((i · 𝐴) + ((i · (2 · π)) · 𝐾))) = (exp‘(i · 𝐴)))
25	23, 24	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (exp‘((i · 𝐴) + ((i · (2 · π)) · 𝐾))) = (exp‘(i · 𝐴)))
26	21, 25	eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (exp‘(i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π))))) = (exp‘(i · 𝐴)))
27		negicn 11507	. . . . . . . . 9 ⊢ -i ∈ ℂ
28		adddi 11242	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐾 · (2 · π)) ∈ ℂ) → (-i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))) = ((-i · 𝐴) + (-i · (𝐾 · (2 · π)))))
29	27, 28	mp3an1 1447	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐾 · (2 · π)) ∈ ℂ) → (-i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))) = ((-i · 𝐴) + (-i · (𝐾 · (2 · π)))))
30	6, 29	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (-i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))) = ((-i · 𝐴) + (-i · (𝐾 · (2 · π)))))
31	17	negeqd 11500	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → -(i · (𝐾 · (2 · π))) = -((i · (2 · π)) · 𝐾))
32		mulneg1 11697	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (𝐾 · (2 · π)) ∈ ℂ) → (-i · (𝐾 · (2 · π))) = -(i · (𝐾 · (2 · π))))
33	7, 6, 32	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (-i · (𝐾 · (2 · π))) = -(i · (𝐾 · (2 · π))))
34		mulneg2 11698	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((i · (2 · π)) ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((i · (2 · π)) · -𝐾) = -((i · (2 · π)) · 𝐾))
35	14, 1, 34	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((i · (2 · π)) · -𝐾) = -((i · (2 · π)) · 𝐾))
36	31, 33, 35	3eqtr4d 2785	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (-i · (𝐾 · (2 · π))) = ((i · (2 · π)) · -𝐾))
37	36	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (-i · (𝐾 · (2 · π))) = ((i · (2 · π)) · -𝐾))
38	37	oveq2d 7447	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((-i · 𝐴) + (-i · (𝐾 · (2 · π)))) = ((-i · 𝐴) + ((i · (2 · π)) · -𝐾)))
39	30, 38	eqtrd 2775	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (-i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))) = ((-i · 𝐴) + ((i · (2 · π)) · -𝐾)))
40	39	fveq2d 6911	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (exp‘(-i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π))))) = (exp‘((-i · 𝐴) + ((i · (2 · π)) · -𝐾))))
41		mulcl 11237	. . . . . . 7 ⊢ ((-i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
42	27, 41	mpan 690	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
43		znegcl 12650	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → -𝐾 ∈ ℤ)
44		efper 26536	. . . . . 6 ⊢ (((-i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ -𝐾 ∈ ℤ) → (exp‘((-i · 𝐴) + ((i · (2 · π)) · -𝐾))) = (exp‘(-i · 𝐴)))
45	42, 43, 44	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (exp‘((-i · 𝐴) + ((i · (2 · π)) · -𝐾))) = (exp‘(-i · 𝐴)))
46	40, 45	eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (exp‘(-i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π))))) = (exp‘(-i · 𝐴)))
47	26, 46	oveq12d 7449	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((exp‘(i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))))𝑂(exp‘(-i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))))) = ((exp‘(i · 𝐴))𝑂(exp‘(-i · 𝐴))))
48	47	oveq1d 7446	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((exp‘(i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))))𝑂(exp‘(-i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))))) / 𝐷) = (((exp‘(i · 𝐴))𝑂(exp‘(-i · 𝐴))) / 𝐷))
49		addcl 11235	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐾 · (2 · π)) ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐾 · (2 · π))) ∈ ℂ)
50	6, 49	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐴 + (𝐾 · (2 · π))) ∈ ℂ)
51		sinperlem.2	. . 3 ⊢ ((𝐴 + (𝐾 · (2 · π))) ∈ ℂ → (𝐹‘(𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))) = (((exp‘(i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))))𝑂(exp‘(-i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))))) / 𝐷))
52	50, 51	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))) = (((exp‘(i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))))𝑂(exp‘(-i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))))) / 𝐷))
53		sinperlem.1	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐹‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴))𝑂(exp‘(-i · 𝐴))) / 𝐷))
54	53	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐹‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴))𝑂(exp‘(-i · 𝐴))) / 𝐷))
55	48, 52, 54	3eqtr4d 2785	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))) = (𝐹‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  ici 11155   + caddc 11156   · cmul 11158  -cneg 11491   / cdiv 11918  2c2 12319  ℤcz 12611  expce 16094  πcpi 16099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-ef 16100  df-sin 16102  df-cos 16103  df-pi 16105  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-limc 25916  df-dv 25917

This theorem is referenced by:  sinper  26538  cosper  26539