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Theorem sinperlem 26370
Description: Lemma for sinper 26371 and cosper 26372. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
sinperlem.1 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐹𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴))𝑂(exp‘(-i · 𝐴))) / 𝐷))
sinperlem.2 ((𝐴 + (𝐾 · (2 · π))) ∈ ℂ → (𝐹‘(𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))) = (((exp‘(i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))))𝑂(exp‘(-i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))))) / 𝐷))
Assertion
Ref Expression
sinperlem ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))) = (𝐹𝐴))

Proof of Theorem sinperlem
StepHypRef Expression
1 zcn 12567 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
2 2cn 12291 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℂ
3 picn 26349 . . . . . . . . . 10 π ∈ ℂ
42, 3mulcli 11225 . . . . . . . . 9 (2 · π) ∈ ℂ
5 mulcl 11196 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ (2 · π) ∈ ℂ) → (𝐾 · (2 · π)) ∈ ℂ)
61, 4, 5sylancl 585 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 · (2 · π)) ∈ ℂ)
7 ax-icn 11171 . . . . . . . . 9 i ∈ ℂ
8 adddi 11201 . . . . . . . . 9 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐾 · (2 · π)) ∈ ℂ) → (i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))) = ((i · 𝐴) + (i · (𝐾 · (2 · π)))))
97, 8mp3an1 1444 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐾 · (2 · π)) ∈ ℂ) → (i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))) = ((i · 𝐴) + (i · (𝐾 · (2 · π)))))
106, 9sylan2 592 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))) = ((i · 𝐴) + (i · (𝐾 · (2 · π)))))
11 mul12 11383 . . . . . . . . . . . 12 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ (2 · π) ∈ ℂ) → (i · (𝐾 · (2 · π))) = (𝐾 · (i · (2 · π))))
127, 4, 11mp3an13 1448 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℂ → (i · (𝐾 · (2 · π))) = (𝐾 · (i · (2 · π))))
131, 12syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℤ → (i · (𝐾 · (2 · π))) = (𝐾 · (i · (2 · π))))
147, 4mulcli 11225 . . . . . . . . . . 11 (i · (2 · π)) ∈ ℂ
15 mulcom 11198 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ (i · (2 · π)) ∈ ℂ) → (𝐾 · (i · (2 · π))) = ((i · (2 · π)) · 𝐾))
161, 14, 15sylancl 585 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 · (i · (2 · π))) = ((i · (2 · π)) · 𝐾))
1713, 16eqtrd 2766 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℤ → (i · (𝐾 · (2 · π))) = ((i · (2 · π)) · 𝐾))
1817adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (i · (𝐾 · (2 · π))) = ((i · (2 · π)) · 𝐾))
1918oveq2d 7421 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((i · 𝐴) + (i · (𝐾 · (2 · π)))) = ((i · 𝐴) + ((i · (2 · π)) · 𝐾)))
2010, 19eqtrd 2766 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))) = ((i · 𝐴) + ((i · (2 · π)) · 𝐾)))
2120fveq2d 6889 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (exp‘(i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π))))) = (exp‘((i · 𝐴) + ((i · (2 · π)) · 𝐾))))
22 mulcl 11196 . . . . . . 7 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
237, 22mpan 687 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
24 efper 26369 . . . . . 6 (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (exp‘((i · 𝐴) + ((i · (2 · π)) · 𝐾))) = (exp‘(i · 𝐴)))
2523, 24sylan 579 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (exp‘((i · 𝐴) + ((i · (2 · π)) · 𝐾))) = (exp‘(i · 𝐴)))
2621, 25eqtrd 2766 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (exp‘(i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π))))) = (exp‘(i · 𝐴)))
27 negicn 11465 . . . . . . . . 9 -i ∈ ℂ
28 adddi 11201 . . . . . . . . 9 ((-i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐾 · (2 · π)) ∈ ℂ) → (-i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))) = ((-i · 𝐴) + (-i · (𝐾 · (2 · π)))))
2927, 28mp3an1 1444 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐾 · (2 · π)) ∈ ℂ) → (-i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))) = ((-i · 𝐴) + (-i · (𝐾 · (2 · π)))))
306, 29sylan2 592 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (-i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))) = ((-i · 𝐴) + (-i · (𝐾 · (2 · π)))))
3117negeqd 11458 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℤ → -(i · (𝐾 · (2 · π))) = -((i · (2 · π)) · 𝐾))
32 mulneg1 11654 . . . . . . . . . . 11 ((i ∈ ℂ ∧ (𝐾 · (2 · π)) ∈ ℂ) → (-i · (𝐾 · (2 · π))) = -(i · (𝐾 · (2 · π))))
337, 6, 32sylancr 586 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℤ → (-i · (𝐾 · (2 · π))) = -(i · (𝐾 · (2 · π))))
34 mulneg2 11655 . . . . . . . . . . 11 (((i · (2 · π)) ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((i · (2 · π)) · -𝐾) = -((i · (2 · π)) · 𝐾))
3514, 1, 34sylancr 586 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℤ → ((i · (2 · π)) · -𝐾) = -((i · (2 · π)) · 𝐾))
3631, 33, 353eqtr4d 2776 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℤ → (-i · (𝐾 · (2 · π))) = ((i · (2 · π)) · -𝐾))
3736adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (-i · (𝐾 · (2 · π))) = ((i · (2 · π)) · -𝐾))
3837oveq2d 7421 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((-i · 𝐴) + (-i · (𝐾 · (2 · π)))) = ((-i · 𝐴) + ((i · (2 · π)) · -𝐾)))
3930, 38eqtrd 2766 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (-i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))) = ((-i · 𝐴) + ((i · (2 · π)) · -𝐾)))
4039fveq2d 6889 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (exp‘(-i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π))))) = (exp‘((-i · 𝐴) + ((i · (2 · π)) · -𝐾))))
41 mulcl 11196 . . . . . . 7 ((-i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
4227, 41mpan 687 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
43 znegcl 12601 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℤ → -𝐾 ∈ ℤ)
44 efper 26369 . . . . . 6 (((-i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ -𝐾 ∈ ℤ) → (exp‘((-i · 𝐴) + ((i · (2 · π)) · -𝐾))) = (exp‘(-i · 𝐴)))
4542, 43, 44syl2an 595 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (exp‘((-i · 𝐴) + ((i · (2 · π)) · -𝐾))) = (exp‘(-i · 𝐴)))
4640, 45eqtrd 2766 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (exp‘(-i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π))))) = (exp‘(-i · 𝐴)))
4726, 46oveq12d 7423 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((exp‘(i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))))𝑂(exp‘(-i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))))) = ((exp‘(i · 𝐴))𝑂(exp‘(-i · 𝐴))))
4847oveq1d 7420 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((exp‘(i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))))𝑂(exp‘(-i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))))) / 𝐷) = (((exp‘(i · 𝐴))𝑂(exp‘(-i · 𝐴))) / 𝐷))
49 addcl 11194 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐾 · (2 · π)) ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐾 · (2 · π))) ∈ ℂ)
506, 49sylan2 592 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐴 + (𝐾 · (2 · π))) ∈ ℂ)
51 sinperlem.2 . . 3 ((𝐴 + (𝐾 · (2 · π))) ∈ ℂ → (𝐹‘(𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))) = (((exp‘(i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))))𝑂(exp‘(-i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))))) / 𝐷))
5250, 51syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))) = (((exp‘(i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))))𝑂(exp‘(-i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))))) / 𝐷))
53 sinperlem.1 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐹𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴))𝑂(exp‘(-i · 𝐴))) / 𝐷))
5453adantr 480 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐹𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴))𝑂(exp‘(-i · 𝐴))) / 𝐷))
5548, 52, 543eqtr4d 2776 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))) = (𝐹𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  cfv 6537  (class class class)co 7405  cc 11110  ici 11114   + caddc 11115   · cmul 11117  -cneg 11449   / cdiv 11875  2c2 12271  cz 12562  expce 16011  πcpi 16016
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-ef 16017  df-sin 16019  df-cos 16020  df-pi 16022  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-lp 22995  df-perf 22996  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-haus 23174  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cncf 24753  df-limc 25750  df-dv 25751
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