Theorem sinperlem 26814

Description: Lemma for sinper 26815 and cosper 26816. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
sinperlem.1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐹‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴))𝑂(exp‘( -i · 𝐴))) / 𝐷))
sinperlem.2	⊢ ((𝐴 + (𝐾 · (2 · π))) ∈ ℂ → (𝐹‘(𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))) = (((exp‘(i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))))𝑂(exp‘( -i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))))) / 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
sinperlem	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))) = (𝐹‘𝐴))

Proof of Theorem sinperlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12701	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
2		2cn 12421	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
3		picn 26790	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℂ
4	2, 3	mulcli 11319	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
5		mulcl 11287	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ (2 · π) ∈ ℂ) → (𝐾 · (2 · π)) ∈ ℂ)
6	1, 4, 5	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 · (2 · π)) ∈ ℂ)
7		ax-icn 11262	. . . . . . . . 9 ⊢ i ∈ ℂ
8		adddi 11292	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐾 · (2 · π)) ∈ ℂ) → (i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))) = ((i · 𝐴) + (i · (𝐾 · (2 · π)))))
9	7, 8	mp3an1 1477	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐾 · (2 · π)) ∈ ℂ) → (i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))) = ((i · 𝐴) + (i · (𝐾 · (2 · π)))))
10	6, 9	sylan2 605	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))) = ((i · 𝐴) + (i · (𝐾 · (2 · π)))))
11		mul12 11478	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ (2 · π) ∈ ℂ) → (i · (𝐾 · (2 · π))) = (𝐾 · (i · (2 · π))))
12	7, 4, 11	mp3an13 1481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → (i · (𝐾 · (2 · π))) = (𝐾 · (i · (2 · π))))
13	1, 12	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (i · (𝐾 · (2 · π))) = (𝐾 · (i · (2 · π))))
14	7, 4	mulcli 11319	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i · (2 · π)) ∈ ℂ
15		mulcom 11289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ (i · (2 · π)) ∈ ℂ) → (𝐾 · (i · (2 · π))) = ((i · (2 · π)) · 𝐾))
16	1, 14, 15	sylancl 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 · (i · (2 · π))) = ((i · (2 · π)) · 𝐾))
17	13, 16	eqtrd 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (i · (𝐾 · (2 · π))) = ((i · (2 · π)) · 𝐾))
18	17	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (i · (𝐾 · (2 · π))) = ((i · (2 · π)) · 𝐾))
19	18	oveq2d 7436	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((i · 𝐴) + (i · (𝐾 · (2 · π)))) = ((i · 𝐴) + ((i · (2 · π)) · 𝐾)))
20	10, 19	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))) = ((i · 𝐴) + ((i · (2 · π)) · 𝐾)))
21	20	fveq2d 6889	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (exp‘(i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π))))) = (exp‘((i · 𝐴) + ((i · (2 · π)) · 𝐾))))
22		mulcl 11287	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
23	7, 22	mpan 703	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
24		efper 26813	. . . . . 6 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (exp‘((i · 𝐴) + ((i · (2 · π)) · 𝐾))) = (exp‘(i · 𝐴)))
25	23, 24	sylan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (exp‘((i · 𝐴) + ((i · (2 · π)) · 𝐾))) = (exp‘(i · 𝐴)))
26	21, 25	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (exp‘(i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π))))) = (exp‘(i · 𝐴)))
27		negicn 11561	. . . . . . . . 9 ⊢ -i ∈ ℂ
28		adddi 11292	. . . . . . . . 9 ⊢ (( -i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐾 · (2 · π)) ∈ ℂ) → ( -i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))) = (( -i · 𝐴) + ( -i · (𝐾 · (2 · π)))))
29	27, 28	mp3an1 1477	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐾 · (2 · π)) ∈ ℂ) → ( -i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))) = (( -i · 𝐴) + ( -i · (𝐾 · (2 · π)))))
30	6, 29	sylan2 605	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ( -i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))) = (( -i · 𝐴) + ( -i · (𝐾 · (2 · π)))))
31	17	negeqd 11554	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → -(i · (𝐾 · (2 · π))) = -((i · (2 · π)) · 𝐾))
32		mulneg1 11755	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (𝐾 · (2 · π)) ∈ ℂ) → ( -i · (𝐾 · (2 · π))) = -(i · (𝐾 · (2 · π))))
33	7, 6, 32	sylancr 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ( -i · (𝐾 · (2 · π))) = -(i · (𝐾 · (2 · π))))
34		mulneg2 11756	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((i · (2 · π)) ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((i · (2 · π)) · -𝐾) = -((i · (2 · π)) · 𝐾))
35	14, 1, 34	sylancr 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((i · (2 · π)) · -𝐾) = -((i · (2 · π)) · 𝐾))
36	31, 33, 35	3eqtr4d 2805	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ( -i · (𝐾 · (2 · π))) = ((i · (2 · π)) · -𝐾))
37	36	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ( -i · (𝐾 · (2 · π))) = ((i · (2 · π)) · -𝐾))
38	37	oveq2d 7436	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (( -i · 𝐴) + ( -i · (𝐾 · (2 · π)))) = (( -i · 𝐴) + ((i · (2 · π)) · -𝐾)))
39	30, 38	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ( -i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))) = (( -i · 𝐴) + ((i · (2 · π)) · -𝐾)))
40	39	fveq2d 6889	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (exp‘( -i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π))))) = (exp‘(( -i · 𝐴) + ((i · (2 · π)) · -𝐾))))
41		mulcl 11287	. . . . . . 7 ⊢ (( -i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ( -i · 𝐴) ∈ ℂ)
42	27, 41	mpan 703	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -i · 𝐴) ∈ ℂ)
43		znegcl 12734	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → -𝐾 ∈ ℤ)
44		efper 26813	. . . . . 6 ⊢ ((( -i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ -𝐾 ∈ ℤ) → (exp‘(( -i · 𝐴) + ((i · (2 · π)) · -𝐾))) = (exp‘( -i · 𝐴)))
45	42, 43, 44	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (exp‘(( -i · 𝐴) + ((i · (2 · π)) · -𝐾))) = (exp‘( -i · 𝐴)))
46	40, 45	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (exp‘( -i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π))))) = (exp‘( -i · 𝐴)))
47	26, 46	oveq12d 7438	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((exp‘(i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))))𝑂(exp‘( -i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))))) = ((exp‘(i · 𝐴))𝑂(exp‘( -i · 𝐴))))
48	47	oveq1d 7435	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((exp‘(i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))))𝑂(exp‘( -i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))))) / 𝐷) = (((exp‘(i · 𝐴))𝑂(exp‘( -i · 𝐴))) / 𝐷))
49		addcl 11285	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐾 · (2 · π)) ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐾 · (2 · π))) ∈ ℂ)
50	6, 49	sylan2 605	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐴 + (𝐾 · (2 · π))) ∈ ℂ)
51		sinperlem.2	. . 3 ⊢ ((𝐴 + (𝐾 · (2 · π))) ∈ ℂ → (𝐹‘(𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))) = (((exp‘(i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))))𝑂(exp‘( -i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))))) / 𝐷))
52	50, 51	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))) = (((exp‘(i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))))𝑂(exp‘( -i · (𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))))) / 𝐷))
53		sinperlem.1	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐹‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴))𝑂(exp‘( -i · 𝐴))) / 𝐷))
54	53	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐹‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴))𝑂(exp‘( -i · 𝐴))) / 𝐷))
55	48, 52, 54	3eqtr4d 2805	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝐴 + (𝐾 · (2 · π)))) = (𝐹‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11201  ici 11205   + caddc 11206   · cmul 11208   -cneg 11545   / cdiv 11976  2c2 12400  ℤcz 12696  expce 16232  πcpi 16237

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9645  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281  ax-addf 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8180  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-er 8720  df-map 8852  df-pm 8853  df-ixp 8929  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-fsupp 9357  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9507  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-z 12697  df-dec 12818  df-uz 12969  df-q 13079  df-rp 13124  df-xneg 13244  df-xadd 13245  df-xmul 13246  df-ioo 13483  df-ioc 13484  df-ico 13485  df-icc 13486  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-fl 13935  df-seq 14148  df-exp 14208  df-fac 14421  df-bc 14450  df-hash 14478  df-shft 15225  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-limsup 15643  df-clim 15660  df-rlim 15661  df-sum 15859  df-ef 16238  df-sin 16240  df-cos 16241  df-pi 16243  df-struct 17330  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-ress 17414  df-plusg 17446  df-mulr 17447  df-starv 17448  df-sca 17449  df-vsca 17450  df-ip 17451  df-tset 17452  df-ple 17453  df-ds 17455  df-unif 17456  df-hom 17457  df-cco 17458  df-rest 17598  df-topn 17599  df-0g 17617  df-gsum 17618  df-topgen 17619  df-pt 17620  df-prds 17623  df-xrs 17679  df-qtop 17684  df-imas 17685  df-xps 17687  df-mre 17761  df-mrc 17762  df-acs 17764  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-submnd 18984  df-mulg 19283  df-cntz 19536  df-cmn 20001  df-psmet 21675  df-xmet 21676  df-met 21677  df-bl 21678  df-mopn 21679  df-fbas 21680  df-fg 21681  df-cnfld 21684  df-top 23217  df-topon 23234  df-topsp 23256  df-bases 23269  df-cld 23342  df-ntr 23343  df-cls 23344  df-nei 23421  df-lp 23459  df-perf 23460  df-cn 23550  df-cnp 23551  df-haus 23638  df-tx 23886  df-hmeo 24079  df-fil 24170  df-fm 24262  df-flim 24263  df-flf 24264  df-xms 24644  df-ms 24645  df-tms 24646  df-cncf 25204  df-limc 26191  df-dv 26192

This theorem is used by:  sinper  26815  cosper  26816