Theorem coskpi 26512

Description: The absolute value of the cosine of an integer multiple of π is 1. (Contributed by NM, 19-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
coskpi	⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (abs‘(cos‘(𝐾 · π))) = 1)

Proof of Theorem coskpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12527	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
2		2cn 12254	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
3		picn 26447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π ∈ ℂ
4		mul12 11309	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → (𝐾 · (2 · π)) = (2 · (𝐾 · π)))
5	2, 3, 4	mp3an23 1461	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → (𝐾 · (2 · π)) = (2 · (𝐾 · π)))
6	1, 5	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 · (2 · π)) = (2 · (𝐾 · π)))
7	6	fveq2d 6838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (cos‘(𝐾 · (2 · π))) = (cos‘(2 · (𝐾 · π))))
8		cos2kpi 26473	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (cos‘(𝐾 · (2 · π))) = 1)
9		zre 12526	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
10		pire 26446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π ∈ ℝ
11		remulcl 11121	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (𝐾 · π) ∈ ℝ)
12	9, 10, 11	sylancl 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 · π) ∈ ℝ)
13	12	recnd 11171	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 · π) ∈ ℂ)
14		cos2t 16143	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 · π) ∈ ℂ → (cos‘(2 · (𝐾 · π))) = ((2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) − 1))
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (cos‘(2 · (𝐾 · π))) = ((2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) − 1))
16	7, 8, 15	3eqtr3rd 2784	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) − 1) = 1)
17	12	recoscld 16109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (cos‘(𝐾 · π)) ∈ ℝ)
18	17	recnd 11171	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (cos‘(𝐾 · π)) ∈ ℂ)
19	18	sqcld 14104	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((cos‘(𝐾 · π))↑2) ∈ ℂ)
20		mulcl 11120	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ ((cos‘(𝐾 · π))↑2) ∈ ℂ) → (2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) ∈ ℂ)
21	2, 19, 20	sylancr 593	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) ∈ ℂ)
22		ax-1cn 11094	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
23		subadd 11394	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) − 1) = 1 ↔ (1 + 1) = (2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2))))
24	22, 22, 23	mp3an23 1461	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) ∈ ℂ → (((2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) − 1) = 1 ↔ (1 + 1) = (2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2))))
25	21, 24	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (((2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) − 1) = 1 ↔ (1 + 1) = (2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2))))
26	16, 25	mpbid 233	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (1 + 1) = (2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)))
27		2t1e2 12337	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 1) = 2
28		df-2 12242	. . . . . . 7 ⊢ 2 = (1 + 1)
29	27, 28	eqtr2i 2764	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = (2 · 1)
30	26, 29	eqtr3di 2790	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) = (2 · 1))
31		2cnne0 12384	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
32		mulcan 11785	. . . . . . 7 ⊢ ((((cos‘(𝐾 · π))↑2) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) = (2 · 1) ↔ ((cos‘(𝐾 · π))↑2) = 1))
33	22, 31, 32	mp3an23 1461	. . . . . 6 ⊢ (((cos‘(𝐾 · π))↑2) ∈ ℂ → ((2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) = (2 · 1) ↔ ((cos‘(𝐾 · π))↑2) = 1))
34	19, 33	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((2 · ((cos‘(𝐾 · π))↑2)) = (2 · 1) ↔ ((cos‘(𝐾 · π))↑2) = 1))
35	30, 34	mpbid 233	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((cos‘(𝐾 · π))↑2) = 1)
36		sq1 14155	. . . 4 ⊢ (1↑2) = 1
37	35, 36	eqtr4di 2793	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((cos‘(𝐾 · π))↑2) = (1↑2))
38		1re 11142	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
39		sqabs 15267	. . . 4 ⊢ (((cos‘(𝐾 · π)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((cos‘(𝐾 · π))↑2) = (1↑2) ↔ (abs‘(cos‘(𝐾 · π))) = (abs‘1)))
40	17, 38, 39	sylancl 592	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (((cos‘(𝐾 · π))↑2) = (1↑2) ↔ (abs‘(cos‘(𝐾 · π))) = (abs‘1)))
41	37, 40	mpbid 233	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (abs‘(cos‘(𝐾 · π))) = (abs‘1))
42		abs1 15257	. 2 ⊢ (abs‘1) = 1
43	41, 42	eqtrdi 2791	1 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (abs‘(cos‘(𝐾 · π))) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  ℂcc 11034  ℝcr 11035  0cc0 11036  1c1 11037   + caddc 11039   · cmul 11041   − cmin 11375  2c2 12234  ℤcz 12522  ↑cexp 14021  abscabs 15194  cosccos 16027  πcpi 16029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-inf2 9560  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114  ax-addf 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-iin 4931  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-supp 8108  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-map 8772  df-pm 8773  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9272  df-fi 9321  df-sup 9352  df-inf 9353  df-oi 9422  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-q 12897  df-rp 12941  df-xneg 13061  df-xadd 13062  df-xmul 13063  df-ioo 13300  df-ioc 13301  df-ico 13302  df-icc 13303  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-fl 13749  df-seq 13962  df-exp 14022  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15027  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-limsup 15431  df-clim 15448  df-rlim 15449  df-sum 15647  df-ef 16030  df-sin 16032  df-cos 16033  df-pi 16035  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-hom 17242  df-cco 17243  df-rest 17383  df-topn 17384  df-0g 17402  df-gsum 17403  df-topgen 17404  df-pt 17405  df-prds 17408  df-xrs 17464  df-qtop 17469  df-imas 17470  df-xps 17472  df-mre 17546  df-mrc 17547  df-acs 17549  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-submnd 18750  df-mulg 19042  df-cntz 19290  df-cmn 19755  df-psmet 21346  df-xmet 21347  df-met 21348  df-bl 21349  df-mopn 21350  df-fbas 21351  df-fg 21352  df-cnfld 21355  df-top 22884  df-topon 22901  df-topsp 22923  df-bases 22936  df-cld 23009  df-ntr 23010  df-cls 23011  df-nei 23088  df-lp 23126  df-perf 23127  df-cn 23217  df-cnp 23218  df-haus 23305  df-tx 23552  df-hmeo 23745  df-fil 23836  df-fm 23928  df-flim 23929  df-flf 23930  df-xms 24310  df-ms 24311  df-tms 24312  df-cncf 24870  df-limc 25858  df-dv 25859

This theorem is referenced by: (None)