MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mul02 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mul02 11376
Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. Based on ideas by Eric Schmidt. (Contributed by NM, 10-Aug-1999.) (Revised by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
mul02 (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)

Proof of Theorem mul02
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnre 11195 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
2 0cn 11190 . . . . . . 7 0 ∈ ℂ
3 recn 11184 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
4 ax-icn 11153 . . . . . . . 8 i ∈ ℂ
5 recn 11184 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
6 mulcl 11178 . . . . . . . 8 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
74, 5, 6sylancr 587 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
8 adddi 11183 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℂ) → (0 · (𝑥 + (i · 𝑦))) = ((0 · 𝑥) + (0 · (i · 𝑦))))
92, 3, 7, 8mp3an3an 1467 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (0 · (𝑥 + (i · 𝑦))) = ((0 · 𝑥) + (0 · (i · 𝑦))))
10 mul02lem2 11375 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → (0 · 𝑥) = 0)
11 mul12 11363 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (0 · (i · 𝑦)) = (i · (0 · 𝑦)))
122, 4, 5, 11mp3an12i 1465 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → (0 · (i · 𝑦)) = (i · (0 · 𝑦)))
13 mul02lem2 11375 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → (0 · 𝑦) = 0)
1413oveq2d 7410 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → (i · (0 · 𝑦)) = (i · 0))
1512, 14eqtrd 2772 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ → (0 · (i · 𝑦)) = (i · 0))
1610, 15oveqan12d 7413 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((0 · 𝑥) + (0 · (i · 𝑦))) = (0 + (i · 0)))
179, 16eqtrd 2772 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (0 · (𝑥 + (i · 𝑦))) = (0 + (i · 0)))
18 cnre 11195 . . . . . . . 8 (0 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 0 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
192, 18ax-mp 5 . . . . . . 7 𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 0 = (𝑥 + (i · 𝑦))
20 oveq2 7402 . . . . . . . . . 10 (0 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (0 · 0) = (0 · (𝑥 + (i · 𝑦))))
2120eqeq1d 2734 . . . . . . . . 9 (0 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ((0 · 0) = (0 + (i · 0)) ↔ (0 · (𝑥 + (i · 𝑦))) = (0 + (i · 0))))
2217, 21syl5ibrcom 246 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (0 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (0 · 0) = (0 + (i · 0))))
2322rexlimivv 3199 . . . . . . 7 (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 0 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (0 · 0) = (0 + (i · 0)))
2419, 23ax-mp 5 . . . . . 6 (0 · 0) = (0 + (i · 0))
25 0re 11200 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
26 mul02lem2 11375 . . . . . . 7 (0 ∈ ℝ → (0 · 0) = 0)
2725, 26ax-mp 5 . . . . . 6 (0 · 0) = 0
2824, 27eqtr3i 2762 . . . . 5 (0 + (i · 0)) = 0
2917, 28eqtrdi 2788 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (0 · (𝑥 + (i · 𝑦))) = 0)
30 oveq2 7402 . . . . 5 (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (0 · 𝐴) = (0 · (𝑥 + (i · 𝑦))))
3130eqeq1d 2734 . . . 4 (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ((0 · 𝐴) = 0 ↔ (0 · (𝑥 + (i · 𝑦))) = 0))
3229, 31syl5ibrcom 246 . . 3 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (0 · 𝐴) = 0))
3332rexlimivv 3199 . 2 (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (0 · 𝐴) = 0)
341, 33syl 17 1 (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wrex 3070  (class class class)co 7394  cc 11092  cr 11093  0cc0 11094  ici 11096   + caddc 11097   · cmul 11099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7709  ax-resscn 11151  ax-1cn 11152  ax-icn 11153  ax-addcl 11154  ax-addrcl 11155  ax-mulcl 11156  ax-mulrcl 11157  ax-mulcom 11158  ax-addass 11159  ax-mulass 11160  ax-distr 11161  ax-i2m1 11162  ax-1ne0 11163  ax-1rid 11164  ax-rnegex 11165  ax-rrecex 11166  ax-cnre 11167  ax-pre-lttri 11168  ax-pre-lttrn 11169  ax-pre-ltadd 11170
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4320  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5568  df-po 5582  df-so 5583  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7397  df-er 8688  df-en 8925  df-dom 8926  df-sdom 8927  df-pnf 11234  df-mnf 11235  df-ltxr 11237
This theorem is referenced by:  mul01  11377  cnegex2  11380  mul02i  11387  mul02d  11396  bcval5  14262  fsumconst  15720  demoivreALT  16128  nnnn0modprm0  16723  cnfldmulg  20913  itg2mulc  25196  dvcmulf  25393  coe0  25701  plymul0or  25725  sineq0  25964  jensen  26422  musumsum  26625  lgsne0  26767  brbtwn2  28092  ax5seglem4  28119  axeuclidlem  28149  axeuclid  28150  axcontlem2  28152  axcontlem4  28154  eulerpartlemb  33262  expgrowth  42929  dvcosax  44479
  Copyright terms: Public domain W3C validator