Theorem mul02 11312

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. Based on ideas by Eric Schmidt. (Contributed by NM, 10-Aug-1999.) (Revised by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
mul02	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)

Proof of Theorem mul02

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre 11131	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
2		0cn 11126	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℂ
3		recn 11118	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
4		ax-icn 11087	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
5		recn 11118	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
6		mulcl 11112	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
7	4, 5, 6	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
8		adddi 11117	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℂ) → (0 · (𝑥 + (i · 𝑦))) = ((0 · 𝑥) + (0 · (i · 𝑦))))
9	2, 3, 7, 8	mp3an3an 1469	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (0 · (𝑥 + (i · 𝑦))) = ((0 · 𝑥) + (0 · (i · 𝑦))))
10		mul02lem2 11311	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (0 · 𝑥) = 0)
11		mul12 11299	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (0 · (i · 𝑦)) = (i · (0 · 𝑦)))
12	2, 4, 5, 11	mp3an12i 1467	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (0 · (i · 𝑦)) = (i · (0 · 𝑦)))
13		mul02lem2 11311	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (0 · 𝑦) = 0)
14	13	oveq2d 7369	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (i · (0 · 𝑦)) = (i · 0))
15	12, 14	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (0 · (i · 𝑦)) = (i · 0))
16	10, 15	oveqan12d 7372	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((0 · 𝑥) + (0 · (i · 𝑦))) = (0 + (i · 0)))
17	9, 16	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (0 · (𝑥 + (i · 𝑦))) = (0 + (i · 0)))
18		cnre 11131	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 0 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
19	2, 18	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 0 = (𝑥 + (i · 𝑦))
20		oveq2 7361	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (0 · 0) = (0 · (𝑥 + (i · 𝑦))))
21	20	eqeq1d 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ((0 · 0) = (0 + (i · 0)) ↔ (0 · (𝑥 + (i · 𝑦))) = (0 + (i · 0))))
22	17, 21	syl5ibrcom 247	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (0 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (0 · 0) = (0 + (i · 0))))
23	22	rexlimivv 3171	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 0 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (0 · 0) = (0 + (i · 0)))
24	19, 23	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (0 · 0) = (0 + (i · 0))
25		0re 11136	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
26		mul02lem2 11311	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℝ → (0 · 0) = 0)
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (0 · 0) = 0
28	24, 27	eqtr3i 2754	. . . . 5 ⊢ (0 + (i · 0)) = 0
29	17, 28	eqtrdi 2780	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (0 · (𝑥 + (i · 𝑦))) = 0)
30		oveq2 7361	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (0 · 𝐴) = (0 · (𝑥 + (i · 𝑦))))
31	30	eqeq1d 2731	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ((0 · 𝐴) = 0 ↔ (0 · (𝑥 + (i · 𝑦))) = 0))
32	29, 31	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (0 · 𝐴) = 0))
33	32	rexlimivv 3171	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (0 · 𝐴) = 0)
34	1, 33	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  ℝcr 11027  0cc0 11028  ici 11030   + caddc 11031   · cmul 11033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7356  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-ltxr 11173

This theorem is referenced by:  mul01  11313  cnegex2  11316  mul02i  11323  mul02d  11332  bcval5  14243  fsumconst  15715  demoivreALT  16128  nnnn0modprm0  16736  cnfldmulg  21328  itg2mulc  25664  dvcmulf  25864  coe0  26177  plymul0or  26204  sineq0  26449  jensen  26915  musumsum  27118  lgsne0  27262  brbtwn2  28868  ax5seglem4  28895  axeuclidlem  28925  axeuclid  28926  axcontlem2  28928  axcontlem4  28930  eulerpartlemb  34335  expgrowth  44308  dvcosax  45908