MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mul02 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mul02 11392
Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. Based on ideas by Eric Schmidt. (Contributed by NM, 10-Aug-1999.) (Revised by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
mul02 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (0 ยท ๐ด) = 0)

Proof of Theorem mul02
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnre 11211 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))
2 0cn 11206 . . . . . . 7 0 โˆˆ โ„‚
3 recn 11200 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
4 ax-icn 11169 . . . . . . . 8 i โˆˆ โ„‚
5 recn 11200 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
6 mulcl 11194 . . . . . . . 8 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
74, 5, 6sylancr 588 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†’ (i ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
8 adddi 11199 . . . . . . 7 ((0 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚) โ†’ (0 ยท (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) = ((0 ยท ๐‘ฅ) + (0 ยท (i ยท ๐‘ฆ))))
92, 3, 7, 8mp3an3an 1468 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (0 ยท (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) = ((0 ยท ๐‘ฅ) + (0 ยท (i ยท ๐‘ฆ))))
10 mul02lem2 11391 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†’ (0 ยท ๐‘ฅ) = 0)
11 mul12 11379 . . . . . . . . 9 ((0 โˆˆ โ„‚ โˆง i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (0 ยท (i ยท ๐‘ฆ)) = (i ยท (0 ยท ๐‘ฆ)))
122, 4, 5, 11mp3an12i 1466 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†’ (0 ยท (i ยท ๐‘ฆ)) = (i ยท (0 ยท ๐‘ฆ)))
13 mul02lem2 11391 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†’ (0 ยท ๐‘ฆ) = 0)
1413oveq2d 7425 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†’ (i ยท (0 ยท ๐‘ฆ)) = (i ยท 0))
1512, 14eqtrd 2773 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†’ (0 ยท (i ยท ๐‘ฆ)) = (i ยท 0))
1610, 15oveqan12d 7428 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ ((0 ยท ๐‘ฅ) + (0 ยท (i ยท ๐‘ฆ))) = (0 + (i ยท 0)))
179, 16eqtrd 2773 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (0 ยท (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) = (0 + (i ยท 0)))
18 cnre 11211 . . . . . . . 8 (0 โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ 0 = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))
192, 18ax-mp 5 . . . . . . 7 โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ 0 = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))
20 oveq2 7417 . . . . . . . . . 10 (0 = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†’ (0 ยท 0) = (0 ยท (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))))
2120eqeq1d 2735 . . . . . . . . 9 (0 = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†’ ((0 ยท 0) = (0 + (i ยท 0)) โ†” (0 ยท (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) = (0 + (i ยท 0))))
2217, 21syl5ibrcom 246 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (0 = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†’ (0 ยท 0) = (0 + (i ยท 0))))
2322rexlimivv 3200 . . . . . . 7 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ 0 = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†’ (0 ยท 0) = (0 + (i ยท 0)))
2419, 23ax-mp 5 . . . . . 6 (0 ยท 0) = (0 + (i ยท 0))
25 0re 11216 . . . . . . 7 0 โˆˆ โ„
26 mul02lem2 11391 . . . . . . 7 (0 โˆˆ โ„ โ†’ (0 ยท 0) = 0)
2725, 26ax-mp 5 . . . . . 6 (0 ยท 0) = 0
2824, 27eqtr3i 2763 . . . . 5 (0 + (i ยท 0)) = 0
2917, 28eqtrdi 2789 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (0 ยท (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) = 0)
30 oveq2 7417 . . . . 5 (๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†’ (0 ยท ๐ด) = (0 ยท (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))))
3130eqeq1d 2735 . . . 4 (๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†’ ((0 ยท ๐ด) = 0 โ†” (0 ยท (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) = 0))
3229, 31syl5ibrcom 246 . . 3 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†’ (0 ยท ๐ด) = 0))
3332rexlimivv 3200 . 2 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†’ (0 ยท ๐ด) = 0)
341, 33syl 17 1 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (0 ยท ๐ด) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆƒwrex 3071  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110  ici 11112   + caddc 11113   ยท cmul 11115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-ltxr 11253
This theorem is referenced by:  mul01  11393  cnegex2  11396  mul02i  11403  mul02d  11412  bcval5  14278  fsumconst  15736  demoivreALT  16144  nnnn0modprm0  16739  cnfldmulg  20977  itg2mulc  25265  dvcmulf  25462  coe0  25770  plymul0or  25794  sineq0  26033  jensen  26493  musumsum  26696  lgsne0  26838  brbtwn2  28163  ax5seglem4  28190  axeuclidlem  28220  axeuclid  28221  axcontlem2  28223  axcontlem4  28225  eulerpartlemb  33367  expgrowth  43094  dvcosax  44642
  Copyright terms: Public domain W3C validator