MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mul02 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mul02 11398
Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. Based on ideas by Eric Schmidt. (Contributed by NM, 10-Aug-1999.) (Revised by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
mul02 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (0 ยท ๐ด) = 0)

Proof of Theorem mul02
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnre 11217 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))
2 0cn 11212 . . . . . . 7 0 โˆˆ โ„‚
3 recn 11204 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
4 ax-icn 11173 . . . . . . . 8 i โˆˆ โ„‚
5 recn 11204 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
6 mulcl 11198 . . . . . . . 8 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
74, 5, 6sylancr 585 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†’ (i ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
8 adddi 11203 . . . . . . 7 ((0 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚) โ†’ (0 ยท (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) = ((0 ยท ๐‘ฅ) + (0 ยท (i ยท ๐‘ฆ))))
92, 3, 7, 8mp3an3an 1465 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (0 ยท (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) = ((0 ยท ๐‘ฅ) + (0 ยท (i ยท ๐‘ฆ))))
10 mul02lem2 11397 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†’ (0 ยท ๐‘ฅ) = 0)
11 mul12 11385 . . . . . . . . 9 ((0 โˆˆ โ„‚ โˆง i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (0 ยท (i ยท ๐‘ฆ)) = (i ยท (0 ยท ๐‘ฆ)))
122, 4, 5, 11mp3an12i 1463 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†’ (0 ยท (i ยท ๐‘ฆ)) = (i ยท (0 ยท ๐‘ฆ)))
13 mul02lem2 11397 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†’ (0 ยท ๐‘ฆ) = 0)
1413oveq2d 7429 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†’ (i ยท (0 ยท ๐‘ฆ)) = (i ยท 0))
1512, 14eqtrd 2770 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†’ (0 ยท (i ยท ๐‘ฆ)) = (i ยท 0))
1610, 15oveqan12d 7432 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ ((0 ยท ๐‘ฅ) + (0 ยท (i ยท ๐‘ฆ))) = (0 + (i ยท 0)))
179, 16eqtrd 2770 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (0 ยท (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) = (0 + (i ยท 0)))
18 cnre 11217 . . . . . . . 8 (0 โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ 0 = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))
192, 18ax-mp 5 . . . . . . 7 โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ 0 = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))
20 oveq2 7421 . . . . . . . . . 10 (0 = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†’ (0 ยท 0) = (0 ยท (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))))
2120eqeq1d 2732 . . . . . . . . 9 (0 = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†’ ((0 ยท 0) = (0 + (i ยท 0)) โ†” (0 ยท (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) = (0 + (i ยท 0))))
2217, 21syl5ibrcom 246 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (0 = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†’ (0 ยท 0) = (0 + (i ยท 0))))
2322rexlimivv 3197 . . . . . . 7 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ 0 = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†’ (0 ยท 0) = (0 + (i ยท 0)))
2419, 23ax-mp 5 . . . . . 6 (0 ยท 0) = (0 + (i ยท 0))
25 0re 11222 . . . . . . 7 0 โˆˆ โ„
26 mul02lem2 11397 . . . . . . 7 (0 โˆˆ โ„ โ†’ (0 ยท 0) = 0)
2725, 26ax-mp 5 . . . . . 6 (0 ยท 0) = 0
2824, 27eqtr3i 2760 . . . . 5 (0 + (i ยท 0)) = 0
2917, 28eqtrdi 2786 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (0 ยท (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) = 0)
30 oveq2 7421 . . . . 5 (๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†’ (0 ยท ๐ด) = (0 ยท (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))))
3130eqeq1d 2732 . . . 4 (๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†’ ((0 ยท ๐ด) = 0 โ†” (0 ยท (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) = 0))
3229, 31syl5ibrcom 246 . . 3 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†’ (0 ยท ๐ด) = 0))
3332rexlimivv 3197 . 2 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†’ (0 ยท ๐ด) = 0)
341, 33syl 17 1 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (0 ยท ๐ด) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  โˆƒwrex 3068  (class class class)co 7413  โ„‚cc 11112  โ„cr 11113  0cc0 11114  ici 11116   + caddc 11117   ยท cmul 11119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7416  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-ltxr 11259
This theorem is referenced by:  mul01  11399  cnegex2  11402  mul02i  11409  mul02d  11418  bcval5  14284  fsumconst  15742  demoivreALT  16150  nnnn0modprm0  16745  cnfldmulg  21179  itg2mulc  25499  dvcmulf  25696  coe0  26004  plymul0or  26028  sineq0  26267  jensen  26727  musumsum  26930  lgsne0  27072  brbtwn2  28428  ax5seglem4  28455  axeuclidlem  28485  axeuclid  28486  axcontlem2  28488  axcontlem4  28490  eulerpartlemb  33663  expgrowth  43398  dvcosax  44942
  Copyright terms: Public domain W3C validator