MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mul02 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mul02 11340
Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. Based on ideas by Eric Schmidt. (Contributed by NM, 10-Aug-1999.) (Revised by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
mul02 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (0 ยท ๐ด) = 0)

Proof of Theorem mul02
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnre 11159 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))
2 0cn 11154 . . . . . . 7 0 โˆˆ โ„‚
3 recn 11148 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
4 ax-icn 11117 . . . . . . . 8 i โˆˆ โ„‚
5 recn 11148 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
6 mulcl 11142 . . . . . . . 8 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
74, 5, 6sylancr 588 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†’ (i ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
8 adddi 11147 . . . . . . 7 ((0 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚) โ†’ (0 ยท (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) = ((0 ยท ๐‘ฅ) + (0 ยท (i ยท ๐‘ฆ))))
92, 3, 7, 8mp3an3an 1468 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (0 ยท (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) = ((0 ยท ๐‘ฅ) + (0 ยท (i ยท ๐‘ฆ))))
10 mul02lem2 11339 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†’ (0 ยท ๐‘ฅ) = 0)
11 mul12 11327 . . . . . . . . 9 ((0 โˆˆ โ„‚ โˆง i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (0 ยท (i ยท ๐‘ฆ)) = (i ยท (0 ยท ๐‘ฆ)))
122, 4, 5, 11mp3an12i 1466 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†’ (0 ยท (i ยท ๐‘ฆ)) = (i ยท (0 ยท ๐‘ฆ)))
13 mul02lem2 11339 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†’ (0 ยท ๐‘ฆ) = 0)
1413oveq2d 7378 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†’ (i ยท (0 ยท ๐‘ฆ)) = (i ยท 0))
1512, 14eqtrd 2777 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†’ (0 ยท (i ยท ๐‘ฆ)) = (i ยท 0))
1610, 15oveqan12d 7381 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ ((0 ยท ๐‘ฅ) + (0 ยท (i ยท ๐‘ฆ))) = (0 + (i ยท 0)))
179, 16eqtrd 2777 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (0 ยท (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) = (0 + (i ยท 0)))
18 cnre 11159 . . . . . . . 8 (0 โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ 0 = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))
192, 18ax-mp 5 . . . . . . 7 โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ 0 = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))
20 oveq2 7370 . . . . . . . . . 10 (0 = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†’ (0 ยท 0) = (0 ยท (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))))
2120eqeq1d 2739 . . . . . . . . 9 (0 = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†’ ((0 ยท 0) = (0 + (i ยท 0)) โ†” (0 ยท (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) = (0 + (i ยท 0))))
2217, 21syl5ibrcom 247 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (0 = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†’ (0 ยท 0) = (0 + (i ยท 0))))
2322rexlimivv 3197 . . . . . . 7 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ 0 = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†’ (0 ยท 0) = (0 + (i ยท 0)))
2419, 23ax-mp 5 . . . . . 6 (0 ยท 0) = (0 + (i ยท 0))
25 0re 11164 . . . . . . 7 0 โˆˆ โ„
26 mul02lem2 11339 . . . . . . 7 (0 โˆˆ โ„ โ†’ (0 ยท 0) = 0)
2725, 26ax-mp 5 . . . . . 6 (0 ยท 0) = 0
2824, 27eqtr3i 2767 . . . . 5 (0 + (i ยท 0)) = 0
2917, 28eqtrdi 2793 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (0 ยท (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) = 0)
30 oveq2 7370 . . . . 5 (๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†’ (0 ยท ๐ด) = (0 ยท (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))))
3130eqeq1d 2739 . . . 4 (๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†’ ((0 ยท ๐ด) = 0 โ†” (0 ยท (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) = 0))
3229, 31syl5ibrcom 247 . . 3 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†’ (0 ยท ๐ด) = 0))
3332rexlimivv 3197 . 2 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†’ (0 ยท ๐ด) = 0)
341, 33syl 17 1 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (0 ยท ๐ด) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆƒwrex 3074  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  โ„cr 11057  0cc0 11058  ici 11060   + caddc 11061   ยท cmul 11063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-ltxr 11201
This theorem is referenced by:  mul01  11341  cnegex2  11344  mul02i  11351  mul02d  11360  bcval5  14225  fsumconst  15682  demoivreALT  16090  nnnn0modprm0  16685  cnfldmulg  20845  itg2mulc  25128  dvcmulf  25325  coe0  25633  plymul0or  25657  sineq0  25896  jensen  26354  musumsum  26557  lgsne0  26699  brbtwn2  27896  ax5seglem4  27923  axeuclidlem  27953  axeuclid  27954  axcontlem2  27956  axcontlem4  27958  eulerpartlemb  33008  expgrowth  42689  dvcosax  44241
  Copyright terms: Public domain W3C validator