Theorem mul02 11358

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. Based on ideas by Eric Schmidt. (Contributed by NM, 10-Aug-1999.) (Revised by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
mul02	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)

Proof of Theorem mul02

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre 11175	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
2		0cn 11168	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℂ
3		recn 11160	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
4		ax-icn 11129	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
5		recn 11160	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
6		mulcl 11154	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
7	4, 5, 6	sylancr 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
8		adddi 11159	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℂ) → (0 · (𝑥 + (i · 𝑦))) = ((0 · 𝑥) + (0 · (i · 𝑦))))
9	2, 3, 7, 8	mp3an3an 1487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (0 · (𝑥 + (i · 𝑦))) = ((0 · 𝑥) + (0 · (i · 𝑦))))
10		mul02lem2 11357	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (0 · 𝑥) = 0)
11		mul12 11345	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (0 · (i · 𝑦)) = (i · (0 · 𝑦)))
12	2, 4, 5, 11	mp3an12i 1485	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (0 · (i · 𝑦)) = (i · (0 · 𝑦)))
13		mul02lem2 11357	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (0 · 𝑦) = 0)
14	13	oveq2d 7408	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (i · (0 · 𝑦)) = (i · 0))
15	12, 14	eqtrd 2796	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (0 · (i · 𝑦)) = (i · 0))
16	10, 15	oveqan12d 7411	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((0 · 𝑥) + (0 · (i · 𝑦))) = (0 + (i · 0)))
17	9, 16	eqtrd 2796	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (0 · (𝑥 + (i · 𝑦))) = (0 + (i · 0)))
18		cnre 11175	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 0 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
19	2, 18	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 0 = (𝑥 + (i · 𝑦))
20		oveq2 7400	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (0 · 0) = (0 · (𝑥 + (i · 𝑦))))
21	20	eqeq1d 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ((0 · 0) = (0 + (i · 0)) ↔ (0 · (𝑥 + (i · 𝑦))) = (0 + (i · 0))))
22	17, 21	syl5ibrcom 249	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (0 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (0 · 0) = (0 + (i · 0))))
23	22	rexlimivv 3203	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 0 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (0 · 0) = (0 + (i · 0)))
24	19, 23	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (0 · 0) = (0 + (i · 0))
25		0re 11180	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
26		mul02lem2 11357	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℝ → (0 · 0) = 0)
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (0 · 0) = 0
28	24, 27	eqtr3i 2786	. . . . 5 ⊢ (0 + (i · 0)) = 0
29	17, 28	eqtrdi 2812	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (0 · (𝑥 + (i · 𝑦))) = 0)
30		oveq2 7400	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (0 · 𝐴) = (0 · (𝑥 + (i · 𝑦))))
31	30	eqeq1d 2763	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ((0 · 𝐴) = 0 ↔ (0 · (𝑥 + (i · 𝑦))) = 0))
32	29, 31	syl5ibrcom 249	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (0 · 𝐴) = 0))
33	32	rexlimivv 3203	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (0 · 𝐴) = 0)
34	1, 33	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∃wrex 3085  (class class class)co 7392  ℂcc 11068  ℝcr 11069  0cc0 11070  ici 11072   + caddc 11073   · cmul 11075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-po 5553  df-so 5554  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-ov 7395  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-ltxr 11218

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