MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mul02 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mul02 10807
Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. Based on ideas by Eric Schmidt. (Contributed by NM, 10-Aug-1999.) (Revised by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
mul02 (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)

Proof of Theorem mul02
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnre 10627 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
2 0cn 10622 . . . . . . 7 0 ∈ ℂ
3 recn 10616 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
4 ax-icn 10585 . . . . . . . 8 i ∈ ℂ
5 recn 10616 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
6 mulcl 10610 . . . . . . . 8 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
74, 5, 6sylancr 587 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
8 adddi 10615 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℂ) → (0 · (𝑥 + (i · 𝑦))) = ((0 · 𝑥) + (0 · (i · 𝑦))))
92, 3, 7, 8mp3an3an 1460 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (0 · (𝑥 + (i · 𝑦))) = ((0 · 𝑥) + (0 · (i · 𝑦))))
10 mul02lem2 10806 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → (0 · 𝑥) = 0)
11 mul12 10794 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (0 · (i · 𝑦)) = (i · (0 · 𝑦)))
122, 4, 5, 11mp3an12i 1458 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → (0 · (i · 𝑦)) = (i · (0 · 𝑦)))
13 mul02lem2 10806 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → (0 · 𝑦) = 0)
1413oveq2d 7164 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → (i · (0 · 𝑦)) = (i · 0))
1512, 14eqtrd 2861 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ → (0 · (i · 𝑦)) = (i · 0))
1610, 15oveqan12d 7167 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((0 · 𝑥) + (0 · (i · 𝑦))) = (0 + (i · 0)))
179, 16eqtrd 2861 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (0 · (𝑥 + (i · 𝑦))) = (0 + (i · 0)))
18 cnre 10627 . . . . . . . 8 (0 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 0 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
192, 18ax-mp 5 . . . . . . 7 𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 0 = (𝑥 + (i · 𝑦))
20 oveq2 7156 . . . . . . . . . 10 (0 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (0 · 0) = (0 · (𝑥 + (i · 𝑦))))
2120eqeq1d 2828 . . . . . . . . 9 (0 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ((0 · 0) = (0 + (i · 0)) ↔ (0 · (𝑥 + (i · 𝑦))) = (0 + (i · 0))))
2217, 21syl5ibrcom 248 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (0 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (0 · 0) = (0 + (i · 0))))
2322rexlimivv 3297 . . . . . . 7 (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 0 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (0 · 0) = (0 + (i · 0)))
2419, 23ax-mp 5 . . . . . 6 (0 · 0) = (0 + (i · 0))
25 0re 10632 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
26 mul02lem2 10806 . . . . . . 7 (0 ∈ ℝ → (0 · 0) = 0)
2725, 26ax-mp 5 . . . . . 6 (0 · 0) = 0
2824, 27eqtr3i 2851 . . . . 5 (0 + (i · 0)) = 0
2917, 28syl6eq 2877 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (0 · (𝑥 + (i · 𝑦))) = 0)
30 oveq2 7156 . . . . 5 (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (0 · 𝐴) = (0 · (𝑥 + (i · 𝑦))))
3130eqeq1d 2828 . . . 4 (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ((0 · 𝐴) = 0 ↔ (0 · (𝑥 + (i · 𝑦))) = 0))
3229, 31syl5ibrcom 248 . . 3 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (0 · 𝐴) = 0))
3332rexlimivv 3297 . 2 (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (0 · 𝐴) = 0)
341, 33syl 17 1 (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wrex 3144  (class class class)co 7148  cc 10524  cr 10525  0cc0 10526  ici 10528   + caddc 10529   · cmul 10531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-id 5459  df-po 5473  df-so 5474  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-ov 7151  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669
This theorem is referenced by:  mul01  10808  cnegex2  10811  mul02i  10818  mul02d  10827  bcval5  13668  fsumconst  15135  demoivreALT  15544  nnnn0modprm0  16133  cnfldmulg  20493  itg2mulc  24263  dvcmulf  24457  coe0  24761  plymul0or  24785  sineq0  25024  jensen  25480  musumsum  25683  lgsne0  25825  brbtwn2  26605  ax5seglem4  26632  axeuclidlem  26662  axeuclid  26663  axcontlem2  26665  axcontlem4  26667  eulerpartlemb  31512  expgrowth  40532  dvcosax  42076
  Copyright terms: Public domain W3C validator