Theorem sineq0 26501

Description: A complex number whose sine is zero is an integer multiple of π. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sineq0	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) = 0 ↔ (𝐴 / π) ∈ ℤ))

Proof of Theorem sineq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sinval 16080	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))
2	1	eqeq1d 2739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) = 0 ↔ (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)) = 0))
3		ax-icn 11088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ i ∈ ℂ
4		mulcl 11113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
5	3, 4	mpan 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
6		efcl 16038	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
8		negicn 11385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ -i ∈ ℂ
9		mulcl 11113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((-i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
10	8, 9	mpan 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
11		efcl 16038	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((-i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
13	7, 12	subcld 11496	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ)
14		2mulicn 12392	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 · i) ∈ ℂ
15		2muline0 12393	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 · i) ≠ 0
16		diveq0 11810	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ ∧ (2 · i) ∈ ℂ ∧ (2 · i) ≠ 0) → ((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)) = 0 ↔ ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) = 0))
17	14, 15, 16	mp3an23 1456	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ → ((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)) = 0 ↔ ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) = 0))
18	13, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)) = 0 ↔ ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) = 0))
19	7, 12	subeq0ad 11506	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) = 0 ↔ (exp‘(i · 𝐴)) = (exp‘(-i · 𝐴))))
20	2, 18, 19	3bitrd 305	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) = 0 ↔ (exp‘(i · 𝐴)) = (exp‘(-i · 𝐴))))
21		oveq2 7368	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((exp‘(i · 𝐴)) = (exp‘(-i · 𝐴)) → ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴))))
22		2cn 12247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 2 ∈ ℂ
23		mul12 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · (2 · 𝐴)) = (2 · (i · 𝐴)))
24	3, 22, 23	mp3an12 1454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (2 · 𝐴)) = (2 · (i · 𝐴)))
25	5	2timesd 12411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (i · 𝐴)) = ((i · 𝐴) + (i · 𝐴)))
26	24, 25	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (2 · 𝐴)) = ((i · 𝐴) + (i · 𝐴)))
27	26	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (2 · 𝐴))) = (exp‘((i · 𝐴) + (i · 𝐴))))
28		efadd 16050	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (exp‘((i · 𝐴) + (i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))))
29	5, 5, 28	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘((i · 𝐴) + (i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))))
30	27, 29	eqtr2d 2773	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))) = (exp‘(i · (2 · 𝐴))))
31		efadd 16050	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (-i · 𝐴) ∈ ℂ) → (exp‘((i · 𝐴) + (-i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴))))
32	5, 10, 31	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘((i · 𝐴) + (-i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴))))
33	3	negidi 11454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (i + -i) = 0
34	33	oveq1i 7370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((i + -i) · 𝐴) = (0 · 𝐴)
35		adddir 11126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ -i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((i + -i) · 𝐴) = ((i · 𝐴) + (-i · 𝐴)))
36	3, 8, 35	mp3an12 1454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i + -i) · 𝐴) = ((i · 𝐴) + (-i · 𝐴)))
37		mul02 11315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)
38	34, 36, 37	3eqtr3a 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) + (-i · 𝐴)) = 0)
39	38	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘((i · 𝐴) + (-i · 𝐴))) = (exp‘0))
40		ef0 16047	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (exp‘0) = 1
41	39, 40	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘((i · 𝐴) + (-i · 𝐴))) = 1)
42	32, 41	eqtr3d 2774	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴))) = 1)
43	30, 42	eqeq12d 2753	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴))) ↔ (exp‘(i · (2 · 𝐴))) = 1))
44		fveq2 6834	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((exp‘(i · (2 · 𝐴))) = 1 → (abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = (abs‘1))
45	43, 44	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴))) → (abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = (abs‘1)))
46	21, 45	syl5 34	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) = (exp‘(-i · 𝐴)) → (abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = (abs‘1)))
47	20, 46	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) = 0 → (abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = (abs‘1)))
48		abs1 15250	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (abs‘1) = 1
49	48	eqeq2i 2750	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = (abs‘1) ↔ (abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = 1)
50		2re 12246	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℝ
51		2ne0 12276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ≠ 0
52		mulre 15074	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 2 ≠ 0) → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (2 · 𝐴) ∈ ℝ))
53	50, 51, 52	mp3an23 1456	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (2 · 𝐴) ∈ ℝ))
54		mulcl 11113	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
55	22, 54	mpan 691	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
56		absefib 16156	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 · 𝐴) ∈ ℂ → ((2 · 𝐴) ∈ ℝ ↔ (abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = 1))
57	55, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · 𝐴) ∈ ℝ ↔ (abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = 1))
58	53, 57	bitr2d 280	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = 1 ↔ 𝐴 ∈ ℝ))
59	49, 58	bitrid 283	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = (abs‘1) ↔ 𝐴 ∈ ℝ))
60	47, 59	sylibd 239	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) = 0 → 𝐴 ∈ ℝ))
61	60	imp 406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
62		pirp 26438	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ π ∈ ℝ+
63		modval 13821	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+) → (𝐴 mod π) = (𝐴 − (π · (⌊‘(𝐴 / π)))))
64	61, 62, 63	sylancl 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 mod π) = (𝐴 − (π · (⌊‘(𝐴 / π)))))
65		picn 26435	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ∈ ℂ
66		pire 26434	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ π ∈ ℝ
67		pipos 26436	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 < π
68	66, 67	gt0ne0ii 11677	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ π ≠ 0
69		redivcl 11865	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ π ≠ 0) → (𝐴 / π) ∈ ℝ)
70	66, 68, 69	mp3an23 1456	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / π) ∈ ℝ)
71	61, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 / π) ∈ ℝ)
72	71	flcld 13748	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (⌊‘(𝐴 / π)) ∈ ℤ)
73	72	zcnd 12625	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (⌊‘(𝐴 / π)) ∈ ℂ)
74		mulcl 11113	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((π ∈ ℂ ∧ (⌊‘(𝐴 / π)) ∈ ℂ) → (π · (⌊‘(𝐴 / π))) ∈ ℂ)
75	65, 73, 74	sylancr 588	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (π · (⌊‘(𝐴 / π))) ∈ ℂ)
76		negsub 11433	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (π · (⌊‘(𝐴 / π))) ∈ ℂ) → (𝐴 + -(π · (⌊‘(𝐴 / π)))) = (𝐴 − (π · (⌊‘(𝐴 / π)))))
77	75, 76	syldan 592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 + -(π · (⌊‘(𝐴 / π)))) = (𝐴 − (π · (⌊‘(𝐴 / π)))))
78		mulcom 11115	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((π ∈ ℂ ∧ (⌊‘(𝐴 / π)) ∈ ℂ) → (π · (⌊‘(𝐴 / π))) = ((⌊‘(𝐴 / π)) · π))
79	65, 73, 78	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (π · (⌊‘(𝐴 / π))) = ((⌊‘(𝐴 / π)) · π))
80	79	negeqd 11378	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → -(π · (⌊‘(𝐴 / π))) = -((⌊‘(𝐴 / π)) · π))
81		mulneg1 11577	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((⌊‘(𝐴 / π)) ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π) = -((⌊‘(𝐴 / π)) · π))
82	73, 65, 81	sylancl 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π) = -((⌊‘(𝐴 / π)) · π))
83	80, 82	eqtr4d 2775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → -(π · (⌊‘(𝐴 / π))) = (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π))
84	83	oveq2d 7376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 + -(π · (⌊‘(𝐴 / π)))) = (𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π)))
85	64, 77, 84	3eqtr2d 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 mod π) = (𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π)))
86	85	fveq2d 6838	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (sin‘(𝐴 mod π)) = (sin‘(𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π))))
87	86	fveq2d 6838	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))) = (abs‘(sin‘(𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π)))))
88	72	znegcld 12626	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → -(⌊‘(𝐴 / π)) ∈ ℤ)
89		abssinper 26498	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -(⌊‘(𝐴 / π)) ∈ ℤ) → (abs‘(sin‘(𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π)))) = (abs‘(sin‘𝐴)))
90	88, 89	syldan 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (abs‘(sin‘(𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π)))) = (abs‘(sin‘𝐴)))
91		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (sin‘𝐴) = 0)
92	91	fveq2d 6838	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (abs‘(sin‘𝐴)) = (abs‘0))
93	87, 90, 92	3eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))) = (abs‘0))
94		abs0 15238	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘0) = 0
95	93, 94	eqtrdi 2788	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))) = 0)
96		modcl 13823	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+) → (𝐴 mod π) ∈ ℝ)
97	61, 62, 96	sylancl 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 mod π) ∈ ℝ)
98		modlt 13830	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+) → (𝐴 mod π) < π)
99	61, 62, 98	sylancl 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 mod π) < π)
100	97, 99	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → ((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod π) < π))
101	100	biantrurd 532	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (0 < (𝐴 mod π) ↔ (((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod π) < π) ∧ 0 < (𝐴 mod π))))
102		0re 11137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ
103		rexr 11182	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ*)
104		rexr 11182	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (π ∈ ℝ → π ∈ ℝ*)
105		elioo2 13330	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) ↔ ((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 mod π) ∧ (𝐴 mod π) < π)))
106	103, 104, 105	syl2an 597	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) ↔ ((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 mod π) ∧ (𝐴 mod π) < π)))
107	102, 66, 106	mp2an 693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) ↔ ((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 mod π) ∧ (𝐴 mod π) < π))
108		3anan32 1097	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 mod π) ∧ (𝐴 mod π) < π) ↔ (((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod π) < π) ∧ 0 < (𝐴 mod π)))
109	107, 108	bitri 275	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) ↔ (((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod π) < π) ∧ 0 < (𝐴 mod π)))
110	101, 109	bitr4di 289	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (0 < (𝐴 mod π) ↔ (𝐴 mod π) ∈ (0(,)π)))
111		sinq12gt0 26484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) → 0 < (sin‘(𝐴 mod π)))
112		elioore 13319	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) → (𝐴 mod π) ∈ ℝ)
113	112	resincld 16101	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) → (sin‘(𝐴 mod π)) ∈ ℝ)
114		ltle 11225	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (sin‘(𝐴 mod π)) ∈ ℝ) → (0 < (sin‘(𝐴 mod π)) → 0 ≤ (sin‘(𝐴 mod π))))
115	102, 113, 114	sylancr 588	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) → (0 < (sin‘(𝐴 mod π)) → 0 ≤ (sin‘(𝐴 mod π))))
116	111, 115	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) → 0 ≤ (sin‘(𝐴 mod π)))
117	113, 116	absidd 15376	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) → (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))) = (sin‘(𝐴 mod π)))
118	111, 117	breqtrrd 5114	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) → 0 < (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))))
119	110, 118	biimtrdi 253	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (0 < (𝐴 mod π) → 0 < (abs‘(sin‘(𝐴 mod π)))))
120		ltne 11234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < (abs‘(sin‘(𝐴 mod π)))) → (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))) ≠ 0)
121	102, 120	mpan 691	. . . . . . . 8 ⊢ (0 < (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))) → (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))) ≠ 0)
122	119, 121	syl6 35	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (0 < (𝐴 mod π) → (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))) ≠ 0))
123	122	necon2bd 2949	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → ((abs‘(sin‘(𝐴 mod π))) = 0 → ¬ 0 < (𝐴 mod π)))
124	95, 123	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → ¬ 0 < (𝐴 mod π))
125		modge0 13829	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝐴 mod π))
126	61, 62, 125	sylancl 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → 0 ≤ (𝐴 mod π))
127		leloe 11223	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod π) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 mod π) ↔ (0 < (𝐴 mod π) ∨ 0 = (𝐴 mod π))))
128	102, 97, 127	sylancr 588	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (0 ≤ (𝐴 mod π) ↔ (0 < (𝐴 mod π) ∨ 0 = (𝐴 mod π))))
129	126, 128	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (0 < (𝐴 mod π) ∨ 0 = (𝐴 mod π)))
130	129	ord 865	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (¬ 0 < (𝐴 mod π) → 0 = (𝐴 mod π)))
131	124, 130	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → 0 = (𝐴 mod π))
132	131	eqcomd 2743	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 mod π) = 0)
133		mod0 13826	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod π) = 0 ↔ (𝐴 / π) ∈ ℤ))
134	61, 62, 133	sylancl 587	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → ((𝐴 mod π) = 0 ↔ (𝐴 / π) ∈ ℤ))
135	132, 134	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 / π) ∈ ℤ)
136		divcan1 11809	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0) → ((𝐴 / π) · π) = 𝐴)
137	65, 68, 136	mp3an23 1456	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 / π) · π) = 𝐴)
138	137	fveq2d 6838	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘((𝐴 / π) · π)) = (sin‘𝐴))
139		sinkpi 26499	. . 3 ⊢ ((𝐴 / π) ∈ ℤ → (sin‘((𝐴 / π) · π)) = 0)
140	138, 139	sylan9req 2793	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 / π) ∈ ℤ) → (sin‘𝐴) = 0)
141	135, 140	impbida 801	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) = 0 ↔ (𝐴 / π) ∈ ℤ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030  ici 11031   + caddc 11032   · cmul 11034  ℝ^*cxr 11169   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368  -cneg 11369   / cdiv 11798  2c2 12227  ℤcz 12515  ℝ⁺crp 12933  (,)cioo 13289  ⌊cfl 13740   mod cmo 13819  abscabs 15187  expce 16017  sincsin 16019  πcpi 16022

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-fi 9317  df-sup 9348  df-inf 9349  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-ioc 13294  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-exp 14015  df-fac 14227  df-bc 14256  df-hash 14284  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15424  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-sum 15640  df-ef 16023  df-sin 16025  df-cos 16026  df-pi 16028  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-rest 17376  df-topn 17377  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-topgen 17397  df-pt 17398  df-prds 17401  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-mulg 19035  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-psmet 21336  df-xmet 21337  df-met 21338  df-bl 21339  df-mopn 21340  df-fbas 21341  df-fg 21342  df-cnfld 21345  df-top 22869  df-topon 22886  df-topsp 22908  df-bases 22921  df-cld 22994  df-ntr 22995  df-cls 22996  df-nei 23073  df-lp 23111  df-perf 23112  df-cn 23202  df-cnp 23203  df-haus 23290  df-tx 23537  df-hmeo 23730  df-fil 23821  df-fm 23913  df-flim 23914  df-flf 23915  df-xms 24295  df-ms 24296  df-tms 24297  df-cncf 24855  df-limc 25843  df-dv 25844

This theorem is referenced by:  coseq1  26502  efeq1  26505  cosne0  26506  logf1o2  26627  coseq0  46310  sinaover2ne0  46314  dirker2re  46538  dirkerdenne0  46539  dirkertrigeqlem3  46546  dirkertrigeq  46547  dirkercncflem1  46549  dirkercncflem2  46550  dirkercncflem4  46552  fourierdlem103  46655  fourierdlem104  46656