MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sineq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sineq0 25896
Description: A complex number whose sine is zero is an integer multiple of Ο€. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
sineq0 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((sinβ€˜π΄) = 0 ↔ (𝐴 / Ο€) ∈ β„€))

Proof of Theorem sineq0
StepHypRef Expression
1 sinval 16009 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜π΄) = (((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴))) / (2 Β· i)))
21eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((sinβ€˜π΄) = 0 ↔ (((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴))) / (2 Β· i)) = 0))
3 ax-icn 11115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 i ∈ β„‚
4 mulcl 11140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚)
53, 4mpan 689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚)
6 efcl 15970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((i Β· 𝐴) ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(i Β· 𝐴)) ∈ β„‚)
75, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(i Β· 𝐴)) ∈ β„‚)
8 negicn 11407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 -i ∈ β„‚
9 mulcl 11140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((-i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (-i Β· 𝐴) ∈ β„‚)
108, 9mpan 689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (-i Β· 𝐴) ∈ β„‚)
11 efcl 15970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((-i Β· 𝐴) ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴)) ∈ β„‚)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴)) ∈ β„‚)
137, 12subcld 11517 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴))) ∈ β„‚)
14 2mulicn 12381 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 Β· i) ∈ β„‚
15 2muline0 12382 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 Β· i) β‰  0
16 diveq0 11828 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴))) ∈ β„‚ ∧ (2 Β· i) ∈ β„‚ ∧ (2 Β· i) β‰  0) β†’ ((((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴))) / (2 Β· i)) = 0 ↔ ((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴))) = 0))
1714, 15, 16mp3an23 1454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴))) ∈ β„‚ β†’ ((((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴))) / (2 Β· i)) = 0 ↔ ((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴))) = 0))
1813, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴))) / (2 Β· i)) = 0 ↔ ((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴))) = 0))
197, 12subeq0ad 11527 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴))) = 0 ↔ (expβ€˜(i Β· 𝐴)) = (expβ€˜(-i Β· 𝐴))))
202, 18, 193bitrd 305 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((sinβ€˜π΄) = 0 ↔ (expβ€˜(i Β· 𝐴)) = (expβ€˜(-i Β· 𝐴))))
21 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((expβ€˜(i Β· 𝐴)) = (expβ€˜(-i Β· 𝐴)) β†’ ((expβ€˜(i Β· 𝐴)) Β· (expβ€˜(i Β· 𝐴))) = ((expβ€˜(i Β· 𝐴)) Β· (expβ€˜(-i Β· 𝐴))))
22 2cn 12233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ β„‚
23 mul12 11325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((i ∈ β„‚ ∧ 2 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (i Β· (2 Β· 𝐴)) = (2 Β· (i Β· 𝐴)))
243, 22, 23mp3an12 1452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (i Β· (2 Β· 𝐴)) = (2 Β· (i Β· 𝐴)))
2552timesd 12401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (2 Β· (i Β· 𝐴)) = ((i Β· 𝐴) + (i Β· 𝐴)))
2624, 25eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (i Β· (2 Β· 𝐴)) = ((i Β· 𝐴) + (i Β· 𝐴)))
2726fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(i Β· (2 Β· 𝐴))) = (expβ€˜((i Β· 𝐴) + (i Β· 𝐴))))
28 efadd 15981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((i Β· 𝐴) ∈ β„‚ ∧ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜((i Β· 𝐴) + (i Β· 𝐴))) = ((expβ€˜(i Β· 𝐴)) Β· (expβ€˜(i Β· 𝐴))))
295, 5, 28syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜((i Β· 𝐴) + (i Β· 𝐴))) = ((expβ€˜(i Β· 𝐴)) Β· (expβ€˜(i Β· 𝐴))))
3027, 29eqtr2d 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((expβ€˜(i Β· 𝐴)) Β· (expβ€˜(i Β· 𝐴))) = (expβ€˜(i Β· (2 Β· 𝐴))))
31 efadd 15981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((i Β· 𝐴) ∈ β„‚ ∧ (-i Β· 𝐴) ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜((i Β· 𝐴) + (-i Β· 𝐴))) = ((expβ€˜(i Β· 𝐴)) Β· (expβ€˜(-i Β· 𝐴))))
325, 10, 31syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜((i Β· 𝐴) + (-i Β· 𝐴))) = ((expβ€˜(i Β· 𝐴)) Β· (expβ€˜(-i Β· 𝐴))))
333negidi 11475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (i + -i) = 0
3433oveq1i 7368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((i + -i) Β· 𝐴) = (0 Β· 𝐴)
35 adddir 11151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((i ∈ β„‚ ∧ -i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((i + -i) Β· 𝐴) = ((i Β· 𝐴) + (-i Β· 𝐴)))
363, 8, 35mp3an12 1452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((i + -i) Β· 𝐴) = ((i Β· 𝐴) + (-i Β· 𝐴)))
37 mul02 11338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (0 Β· 𝐴) = 0)
3834, 36, 373eqtr3a 2797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((i Β· 𝐴) + (-i Β· 𝐴)) = 0)
3938fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜((i Β· 𝐴) + (-i Β· 𝐴))) = (expβ€˜0))
40 ef0 15978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (expβ€˜0) = 1
4139, 40eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜((i Β· 𝐴) + (-i Β· 𝐴))) = 1)
4232, 41eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((expβ€˜(i Β· 𝐴)) Β· (expβ€˜(-i Β· 𝐴))) = 1)
4330, 42eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((expβ€˜(i Β· 𝐴)) Β· (expβ€˜(i Β· 𝐴))) = ((expβ€˜(i Β· 𝐴)) Β· (expβ€˜(-i Β· 𝐴))) ↔ (expβ€˜(i Β· (2 Β· 𝐴))) = 1))
44 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((expβ€˜(i Β· (2 Β· 𝐴))) = 1 β†’ (absβ€˜(expβ€˜(i Β· (2 Β· 𝐴)))) = (absβ€˜1))
4543, 44syl6bi 253 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((expβ€˜(i Β· 𝐴)) Β· (expβ€˜(i Β· 𝐴))) = ((expβ€˜(i Β· 𝐴)) Β· (expβ€˜(-i Β· 𝐴))) β†’ (absβ€˜(expβ€˜(i Β· (2 Β· 𝐴)))) = (absβ€˜1)))
4621, 45syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((expβ€˜(i Β· 𝐴)) = (expβ€˜(-i Β· 𝐴)) β†’ (absβ€˜(expβ€˜(i Β· (2 Β· 𝐴)))) = (absβ€˜1)))
4720, 46sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((sinβ€˜π΄) = 0 β†’ (absβ€˜(expβ€˜(i Β· (2 Β· 𝐴)))) = (absβ€˜1)))
48 abs1 15188 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (absβ€˜1) = 1
4948eqeq2i 2746 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((absβ€˜(expβ€˜(i Β· (2 Β· 𝐴)))) = (absβ€˜1) ↔ (absβ€˜(expβ€˜(i Β· (2 Β· 𝐴)))) = 1)
50 2re 12232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℝ
51 2ne0 12262 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 β‰  0
52 mulre 15012 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 2 β‰  0) β†’ (𝐴 ∈ ℝ ↔ (2 Β· 𝐴) ∈ ℝ))
5350, 51, 52mp3an23 1454 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝐴 ∈ ℝ ↔ (2 Β· 𝐴) ∈ ℝ))
54 mulcl 11140 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (2 Β· 𝐴) ∈ β„‚)
5522, 54mpan 689 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (2 Β· 𝐴) ∈ β„‚)
56 absefib 16085 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 Β· 𝐴) ∈ β„‚ β†’ ((2 Β· 𝐴) ∈ ℝ ↔ (absβ€˜(expβ€˜(i Β· (2 Β· 𝐴)))) = 1))
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((2 Β· 𝐴) ∈ ℝ ↔ (absβ€˜(expβ€˜(i Β· (2 Β· 𝐴)))) = 1))
5853, 57bitr2d 280 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((absβ€˜(expβ€˜(i Β· (2 Β· 𝐴)))) = 1 ↔ 𝐴 ∈ ℝ))
5949, 58bitrid 283 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((absβ€˜(expβ€˜(i Β· (2 Β· 𝐴)))) = (absβ€˜1) ↔ 𝐴 ∈ ℝ))
6047, 59sylibd 238 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((sinβ€˜π΄) = 0 β†’ 𝐴 ∈ ℝ))
6160imp 408 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
62 pirp 25834 . . . . . . . . . . . 12 Ο€ ∈ ℝ+
63 modval 13782 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ+) β†’ (𝐴 mod Ο€) = (𝐴 βˆ’ (Ο€ Β· (βŒŠβ€˜(𝐴 / Ο€)))))
6461, 62, 63sylancl 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0) β†’ (𝐴 mod Ο€) = (𝐴 βˆ’ (Ο€ Β· (βŒŠβ€˜(𝐴 / Ο€)))))
65 picn 25832 . . . . . . . . . . . . 13 Ο€ ∈ β„‚
66 pire 25831 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ο€ ∈ ℝ
67 pipos 25833 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 < Ο€
6866, 67gt0ne0ii 11696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ο€ β‰  0
69 redivcl 11879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ ∧ Ο€ β‰  0) β†’ (𝐴 / Ο€) ∈ ℝ)
7066, 68, 69mp3an23 1454 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (𝐴 / Ο€) ∈ ℝ)
7161, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0) β†’ (𝐴 / Ο€) ∈ ℝ)
7271flcld 13709 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0) β†’ (βŒŠβ€˜(𝐴 / Ο€)) ∈ β„€)
7372zcnd 12613 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0) β†’ (βŒŠβ€˜(𝐴 / Ο€)) ∈ β„‚)
74 mulcl 11140 . . . . . . . . . . . . 13 ((Ο€ ∈ β„‚ ∧ (βŒŠβ€˜(𝐴 / Ο€)) ∈ β„‚) β†’ (Ο€ Β· (βŒŠβ€˜(𝐴 / Ο€))) ∈ β„‚)
7565, 73, 74sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0) β†’ (Ο€ Β· (βŒŠβ€˜(𝐴 / Ο€))) ∈ β„‚)
76 negsub 11454 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (Ο€ Β· (βŒŠβ€˜(𝐴 / Ο€))) ∈ β„‚) β†’ (𝐴 + -(Ο€ Β· (βŒŠβ€˜(𝐴 / Ο€)))) = (𝐴 βˆ’ (Ο€ Β· (βŒŠβ€˜(𝐴 / Ο€)))))
7775, 76syldan 592 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0) β†’ (𝐴 + -(Ο€ Β· (βŒŠβ€˜(𝐴 / Ο€)))) = (𝐴 βˆ’ (Ο€ Β· (βŒŠβ€˜(𝐴 / Ο€)))))
78 mulcom 11142 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Ο€ ∈ β„‚ ∧ (βŒŠβ€˜(𝐴 / Ο€)) ∈ β„‚) β†’ (Ο€ Β· (βŒŠβ€˜(𝐴 / Ο€))) = ((βŒŠβ€˜(𝐴 / Ο€)) Β· Ο€))
7965, 73, 78sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0) β†’ (Ο€ Β· (βŒŠβ€˜(𝐴 / Ο€))) = ((βŒŠβ€˜(𝐴 / Ο€)) Β· Ο€))
8079negeqd 11400 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0) β†’ -(Ο€ Β· (βŒŠβ€˜(𝐴 / Ο€))) = -((βŒŠβ€˜(𝐴 / Ο€)) Β· Ο€))
81 mulneg1 11596 . . . . . . . . . . . . . 14 (((βŒŠβ€˜(𝐴 / Ο€)) ∈ β„‚ ∧ Ο€ ∈ β„‚) β†’ (-(βŒŠβ€˜(𝐴 / Ο€)) Β· Ο€) = -((βŒŠβ€˜(𝐴 / Ο€)) Β· Ο€))
8273, 65, 81sylancl 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0) β†’ (-(βŒŠβ€˜(𝐴 / Ο€)) Β· Ο€) = -((βŒŠβ€˜(𝐴 / Ο€)) Β· Ο€))
8380, 82eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0) β†’ -(Ο€ Β· (βŒŠβ€˜(𝐴 / Ο€))) = (-(βŒŠβ€˜(𝐴 / Ο€)) Β· Ο€))
8483oveq2d 7374 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0) β†’ (𝐴 + -(Ο€ Β· (βŒŠβ€˜(𝐴 / Ο€)))) = (𝐴 + (-(βŒŠβ€˜(𝐴 / Ο€)) Β· Ο€)))
8564, 77, 843eqtr2d 2779 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0) β†’ (𝐴 mod Ο€) = (𝐴 + (-(βŒŠβ€˜(𝐴 / Ο€)) Β· Ο€)))
8685fveq2d 6847 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0) β†’ (sinβ€˜(𝐴 mod Ο€)) = (sinβ€˜(𝐴 + (-(βŒŠβ€˜(𝐴 / Ο€)) Β· Ο€))))
8786fveq2d 6847 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0) β†’ (absβ€˜(sinβ€˜(𝐴 mod Ο€))) = (absβ€˜(sinβ€˜(𝐴 + (-(βŒŠβ€˜(𝐴 / Ο€)) Β· Ο€)))))
8872znegcld 12614 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0) β†’ -(βŒŠβ€˜(𝐴 / Ο€)) ∈ β„€)
89 abssinper 25893 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ -(βŒŠβ€˜(𝐴 / Ο€)) ∈ β„€) β†’ (absβ€˜(sinβ€˜(𝐴 + (-(βŒŠβ€˜(𝐴 / Ο€)) Β· Ο€)))) = (absβ€˜(sinβ€˜π΄)))
9088, 89syldan 592 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0) β†’ (absβ€˜(sinβ€˜(𝐴 + (-(βŒŠβ€˜(𝐴 / Ο€)) Β· Ο€)))) = (absβ€˜(sinβ€˜π΄)))
91 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0) β†’ (sinβ€˜π΄) = 0)
9291fveq2d 6847 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0) β†’ (absβ€˜(sinβ€˜π΄)) = (absβ€˜0))
9387, 90, 923eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0) β†’ (absβ€˜(sinβ€˜(𝐴 mod Ο€))) = (absβ€˜0))
94 abs0 15176 . . . . . . 7 (absβ€˜0) = 0
9593, 94eqtrdi 2789 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0) β†’ (absβ€˜(sinβ€˜(𝐴 mod Ο€))) = 0)
96 modcl 13784 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ+) β†’ (𝐴 mod Ο€) ∈ ℝ)
9761, 62, 96sylancl 587 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0) β†’ (𝐴 mod Ο€) ∈ ℝ)
98 modlt 13791 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ+) β†’ (𝐴 mod Ο€) < Ο€)
9961, 62, 98sylancl 587 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0) β†’ (𝐴 mod Ο€) < Ο€)
10097, 99jca 513 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0) β†’ ((𝐴 mod Ο€) ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod Ο€) < Ο€))
101100biantrurd 534 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0) β†’ (0 < (𝐴 mod Ο€) ↔ (((𝐴 mod Ο€) ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod Ο€) < Ο€) ∧ 0 < (𝐴 mod Ο€))))
102 0re 11162 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
103 rexr 11206 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ∈ ℝ β†’ 0 ∈ ℝ*)
104 rexr 11206 . . . . . . . . . . . . 13 (Ο€ ∈ ℝ β†’ Ο€ ∈ ℝ*)
105 elioo2 13311 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ* ∧ Ο€ ∈ ℝ*) β†’ ((𝐴 mod Ο€) ∈ (0(,)Ο€) ↔ ((𝐴 mod Ο€) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 mod Ο€) ∧ (𝐴 mod Ο€) < Ο€)))
106103, 104, 105syl2an 597 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ) β†’ ((𝐴 mod Ο€) ∈ (0(,)Ο€) ↔ ((𝐴 mod Ο€) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 mod Ο€) ∧ (𝐴 mod Ο€) < Ο€)))
107102, 66, 106mp2an 691 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 mod Ο€) ∈ (0(,)Ο€) ↔ ((𝐴 mod Ο€) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 mod Ο€) ∧ (𝐴 mod Ο€) < Ο€))
108 3anan32 1098 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 mod Ο€) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 mod Ο€) ∧ (𝐴 mod Ο€) < Ο€) ↔ (((𝐴 mod Ο€) ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod Ο€) < Ο€) ∧ 0 < (𝐴 mod Ο€)))
109107, 108bitri 275 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 mod Ο€) ∈ (0(,)Ο€) ↔ (((𝐴 mod Ο€) ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod Ο€) < Ο€) ∧ 0 < (𝐴 mod Ο€)))
110101, 109bitr4di 289 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0) β†’ (0 < (𝐴 mod Ο€) ↔ (𝐴 mod Ο€) ∈ (0(,)Ο€)))
111 sinq12gt0 25880 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 mod Ο€) ∈ (0(,)Ο€) β†’ 0 < (sinβ€˜(𝐴 mod Ο€)))
112 elioore 13300 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 mod Ο€) ∈ (0(,)Ο€) β†’ (𝐴 mod Ο€) ∈ ℝ)
113112resincld 16030 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 mod Ο€) ∈ (0(,)Ο€) β†’ (sinβ€˜(𝐴 mod Ο€)) ∈ ℝ)
114 ltle 11248 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ (sinβ€˜(𝐴 mod Ο€)) ∈ ℝ) β†’ (0 < (sinβ€˜(𝐴 mod Ο€)) β†’ 0 ≀ (sinβ€˜(𝐴 mod Ο€))))
115102, 113, 114sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 mod Ο€) ∈ (0(,)Ο€) β†’ (0 < (sinβ€˜(𝐴 mod Ο€)) β†’ 0 ≀ (sinβ€˜(𝐴 mod Ο€))))
116111, 115mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 mod Ο€) ∈ (0(,)Ο€) β†’ 0 ≀ (sinβ€˜(𝐴 mod Ο€)))
117113, 116absidd 15313 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 mod Ο€) ∈ (0(,)Ο€) β†’ (absβ€˜(sinβ€˜(𝐴 mod Ο€))) = (sinβ€˜(𝐴 mod Ο€)))
118111, 117breqtrrd 5134 . . . . . . . . 9 ((𝐴 mod Ο€) ∈ (0(,)Ο€) β†’ 0 < (absβ€˜(sinβ€˜(𝐴 mod Ο€))))
119110, 118syl6bi 253 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0) β†’ (0 < (𝐴 mod Ο€) β†’ 0 < (absβ€˜(sinβ€˜(𝐴 mod Ο€)))))
120 ltne 11257 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < (absβ€˜(sinβ€˜(𝐴 mod Ο€)))) β†’ (absβ€˜(sinβ€˜(𝐴 mod Ο€))) β‰  0)
121102, 120mpan 689 . . . . . . . 8 (0 < (absβ€˜(sinβ€˜(𝐴 mod Ο€))) β†’ (absβ€˜(sinβ€˜(𝐴 mod Ο€))) β‰  0)
122119, 121syl6 35 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0) β†’ (0 < (𝐴 mod Ο€) β†’ (absβ€˜(sinβ€˜(𝐴 mod Ο€))) β‰  0))
123122necon2bd 2956 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0) β†’ ((absβ€˜(sinβ€˜(𝐴 mod Ο€))) = 0 β†’ Β¬ 0 < (𝐴 mod Ο€)))
12495, 123mpd 15 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0) β†’ Β¬ 0 < (𝐴 mod Ο€))
125 modge0 13790 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ+) β†’ 0 ≀ (𝐴 mod Ο€))
12661, 62, 125sylancl 587 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0) β†’ 0 ≀ (𝐴 mod Ο€))
127 leloe 11246 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod Ο€) ∈ ℝ) β†’ (0 ≀ (𝐴 mod Ο€) ↔ (0 < (𝐴 mod Ο€) ∨ 0 = (𝐴 mod Ο€))))
128102, 97, 127sylancr 588 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0) β†’ (0 ≀ (𝐴 mod Ο€) ↔ (0 < (𝐴 mod Ο€) ∨ 0 = (𝐴 mod Ο€))))
129126, 128mpbid 231 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0) β†’ (0 < (𝐴 mod Ο€) ∨ 0 = (𝐴 mod Ο€)))
130129ord 863 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0) β†’ (Β¬ 0 < (𝐴 mod Ο€) β†’ 0 = (𝐴 mod Ο€)))
131124, 130mpd 15 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0) β†’ 0 = (𝐴 mod Ο€))
132131eqcomd 2739 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0) β†’ (𝐴 mod Ο€) = 0)
133 mod0 13787 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ+) β†’ ((𝐴 mod Ο€) = 0 ↔ (𝐴 / Ο€) ∈ β„€))
13461, 62, 133sylancl 587 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0) β†’ ((𝐴 mod Ο€) = 0 ↔ (𝐴 / Ο€) ∈ β„€))
135132, 134mpbid 231 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0) β†’ (𝐴 / Ο€) ∈ β„€)
136 divcan1 11827 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ Ο€ ∈ β„‚ ∧ Ο€ β‰  0) β†’ ((𝐴 / Ο€) Β· Ο€) = 𝐴)
13765, 68, 136mp3an23 1454 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((𝐴 / Ο€) Β· Ο€) = 𝐴)
138137fveq2d 6847 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜((𝐴 / Ο€) Β· Ο€)) = (sinβ€˜π΄))
139 sinkpi 25894 . . 3 ((𝐴 / Ο€) ∈ β„€ β†’ (sinβ€˜((𝐴 / Ο€) Β· Ο€)) = 0)
140138, 139sylan9req 2794 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝐴 / Ο€) ∈ β„€) β†’ (sinβ€˜π΄) = 0)
141135, 140impbida 800 1 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((sinβ€˜π΄) = 0 ↔ (𝐴 / Ο€) ∈ β„€))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11054  β„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057  ici 11058   + caddc 11059   Β· cmul 11061  β„*cxr 11193   < clt 11194   ≀ cle 11195   βˆ’ cmin 11390  -cneg 11391   / cdiv 11817  2c2 12213  β„€cz 12504  β„+crp 12920  (,)cioo 13270  βŒŠcfl 13701   mod cmo 13780  abscabs 15125  expce 15949  sincsin 15951  Ο€cpi 15954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ioc 13275  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180  df-bc 14209  df-hash 14237  df-shft 14958  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-limsup 15359  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-ef 15955  df-sin 15957  df-cos 15958  df-pi 15960  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-mulg 18878  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247
This theorem is referenced by:  coseq1  25897  efeq1  25900  cosne0  25901  logf1o2  26021  coseq0  44191  sinaover2ne0  44195  dirker2re  44419  dirkerdenne0  44420  dirkertrigeqlem3  44427  dirkertrigeq  44428  dirkercncflem1  44430  dirkercncflem2  44431  dirkercncflem4  44433  fourierdlem103  44536  fourierdlem104  44537
  Copyright terms: Public domain W3C validator