Theorem sineq0 26651

Description: A complex number whose sine is zero is an integer multiple of π. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sineq0	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) = 0 ↔ (𝐴 / π) ∈ ℤ))

Proof of Theorem sineq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sinval 16174	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))
2	1	eqeq1d 2771	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) = 0 ↔ (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)) = 0))
3		ax-icn 11155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ i ∈ ℂ
4		mulcl 11180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
5	3, 4	mpan 702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
6		efcl 16132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
7	5, 6	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
8		negicn 11454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ -i ∈ ℂ
9		mulcl 11180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((-i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
10	8, 9	mpan 702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
11		efcl 16132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((-i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
12	10, 11	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
13	7, 12	subcld 11565	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ)
14		2mulicn 12464	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 · i) ∈ ℂ
15		2muline0 12465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 · i) ≠ 0
16		diveq0 11878	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ ∧ (2 · i) ∈ ℂ ∧ (2 · i) ≠ 0) → ((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)) = 0 ↔ ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) = 0))
17	14, 15, 16	mp3an23 1479	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ → ((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)) = 0 ↔ ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) = 0))
18	13, 17	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)) = 0 ↔ ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) = 0))
19	7, 12	subeq0ad 11575	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) = 0 ↔ (exp‘(i · 𝐴)) = (exp‘(-i · 𝐴))))
20	2, 18, 19	3bitrd 308	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) = 0 ↔ (exp‘(i · 𝐴)) = (exp‘(-i · 𝐴))))
21		oveq2 7416	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((exp‘(i · 𝐴)) = (exp‘(-i · 𝐴)) → ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴))))
22		2cn 12312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 2 ∈ ℂ
23		mul12 11371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · (2 · 𝐴)) = (2 · (i · 𝐴)))
24	3, 22, 23	mp3an12 1477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (2 · 𝐴)) = (2 · (i · 𝐴)))
25	5	2timesd 12483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (i · 𝐴)) = ((i · 𝐴) + (i · 𝐴)))
26	24, 25	eqtrd 2804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (2 · 𝐴)) = ((i · 𝐴) + (i · 𝐴)))
27	26	fveq2d 6883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (2 · 𝐴))) = (exp‘((i · 𝐴) + (i · 𝐴))))
28		efadd 16144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (exp‘((i · 𝐴) + (i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))))
29	5, 5, 28	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘((i · 𝐴) + (i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))))
30	27, 29	eqtr2d 2805	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))) = (exp‘(i · (2 · 𝐴))))
31		efadd 16144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (-i · 𝐴) ∈ ℂ) → (exp‘((i · 𝐴) + (-i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴))))
32	5, 10, 31	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘((i · 𝐴) + (-i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴))))
33	3	negidi 11523	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (i + -i) = 0
34	33	oveq1i 7418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((i + -i) · 𝐴) = (0 · 𝐴)
35		adddir 11193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ -i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((i + -i) · 𝐴) = ((i · 𝐴) + (-i · 𝐴)))
36	3, 8, 35	mp3an12 1477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i + -i) · 𝐴) = ((i · 𝐴) + (-i · 𝐴)))
37		mul02 11384	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)
38	34, 36, 37	3eqtr3a 2828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) + (-i · 𝐴)) = 0)
39	38	fveq2d 6883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘((i · 𝐴) + (-i · 𝐴))) = (exp‘0))
40		ef0 16141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (exp‘0) = 1
41	39, 40	eqtrdi 2820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘((i · 𝐴) + (-i · 𝐴))) = 1)
42	32, 41	eqtr3d 2806	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴))) = 1)
43	30, 42	eqeq12d 2785	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴))) ↔ (exp‘(i · (2 · 𝐴))) = 1))
44		fveq2 6879	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((exp‘(i · (2 · 𝐴))) = 1 → (abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = (abs‘1))
45	43, 44	biimtrdi 256	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴))) → (abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = (abs‘1)))
46	21, 45	syl5 35	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) = (exp‘(-i · 𝐴)) → (abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = (abs‘1)))
47	20, 46	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) = 0 → (abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = (abs‘1)))
48		abs1 15344	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (abs‘1) = 1
49	48	eqeq2i 2782	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = (abs‘1) ↔ (abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = 1)
50		2re 12311	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℝ
51		2ne0 12343	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ≠ 0
52		mulre 15168	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 2 ≠ 0) → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (2 · 𝐴) ∈ ℝ))
53	50, 51, 52	mp3an23 1479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (2 · 𝐴) ∈ ℝ))
54		mulcl 11180	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
55	22, 54	mpan 702	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
56		absefib 16250	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 · 𝐴) ∈ ℂ → ((2 · 𝐴) ∈ ℝ ↔ (abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = 1))
57	55, 56	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · 𝐴) ∈ ℝ ↔ (abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = 1))
58	53, 57	bitr2d 283	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = 1 ↔ 𝐴 ∈ ℝ))
59	49, 58	bitrid 286	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = (abs‘1) ↔ 𝐴 ∈ ℝ))
60	47, 59	sylibd 242	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) = 0 → 𝐴 ∈ ℝ))
61	60	imp 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
62		pirp 26588	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ π ∈ ℝ+
63		modval 13900	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+) → (𝐴 mod π) = (𝐴 − (π · (⌊‘(𝐴 / π)))))
64	61, 62, 63	sylancl 597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 mod π) = (𝐴 − (π · (⌊‘(𝐴 / π)))))
65		picn 26583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ∈ ℂ
66		pire 26581	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ π ∈ ℝ
67		pipos 26585	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 < π
68	66, 67	gt0ne0ii 11746	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ π ≠ 0
69		redivcl 11930	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ π ≠ 0) → (𝐴 / π) ∈ ℝ)
70	66, 68, 69	mp3an23 1479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / π) ∈ ℝ)
71	61, 70	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 / π) ∈ ℝ)
72	71	flcld 13827	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (⌊‘(𝐴 / π)) ∈ ℤ)
73	72	zcnd 12697	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (⌊‘(𝐴 / π)) ∈ ℂ)
74		mulcl 11180	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((π ∈ ℂ ∧ (⌊‘(𝐴 / π)) ∈ ℂ) → (π · (⌊‘(𝐴 / π))) ∈ ℂ)
75	65, 73, 74	sylancr 598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (π · (⌊‘(𝐴 / π))) ∈ ℂ)
76		negsub 11502	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (π · (⌊‘(𝐴 / π))) ∈ ℂ) → (𝐴 + -(π · (⌊‘(𝐴 / π)))) = (𝐴 − (π · (⌊‘(𝐴 / π)))))
77	75, 76	syldan 602	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 + -(π · (⌊‘(𝐴 / π)))) = (𝐴 − (π · (⌊‘(𝐴 / π)))))
78		mulcom 11182	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((π ∈ ℂ ∧ (⌊‘(𝐴 / π)) ∈ ℂ) → (π · (⌊‘(𝐴 / π))) = ((⌊‘(𝐴 / π)) · π))
79	65, 73, 78	sylancr 598	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (π · (⌊‘(𝐴 / π))) = ((⌊‘(𝐴 / π)) · π))
80	79	negeqd 11447	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → -(π · (⌊‘(𝐴 / π))) = -((⌊‘(𝐴 / π)) · π))
81		mulneg1 11646	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((⌊‘(𝐴 / π)) ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π) = -((⌊‘(𝐴 / π)) · π))
82	73, 65, 81	sylancl 597	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π) = -((⌊‘(𝐴 / π)) · π))
83	80, 82	eqtr4d 2807	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → -(π · (⌊‘(𝐴 / π))) = (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π))
84	83	oveq2d 7424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 + -(π · (⌊‘(𝐴 / π)))) = (𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π)))
85	64, 77, 84	3eqtr2d 2810	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 mod π) = (𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π)))
86	85	fveq2d 6883	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (sin‘(𝐴 mod π)) = (sin‘(𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π))))
87	86	fveq2d 6883	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))) = (abs‘(sin‘(𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π)))))
88	72	znegcld 12698	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → -(⌊‘(𝐴 / π)) ∈ ℤ)
89		abssinper 26648	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -(⌊‘(𝐴 / π)) ∈ ℤ) → (abs‘(sin‘(𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π)))) = (abs‘(sin‘𝐴)))
90	88, 89	syldan 602	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (abs‘(sin‘(𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π)))) = (abs‘(sin‘𝐴)))
91		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (sin‘𝐴) = 0)
92	91	fveq2d 6883	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (abs‘(sin‘𝐴)) = (abs‘0))
93	87, 90, 92	3eqtrd 2808	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))) = (abs‘0))
94		abs0 15332	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘0) = 0
95	93, 94	eqtrdi 2820	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))) = 0)
96		modcl 13902	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+) → (𝐴 mod π) ∈ ℝ)
97	61, 62, 96	sylancl 597	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 mod π) ∈ ℝ)
98		modlt 13909	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+) → (𝐴 mod π) < π)
99	61, 62, 98	sylancl 597	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 mod π) < π)
100	97, 99	jca 520	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → ((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod π) < π))
101	100	biantrurd 541	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (0 < (𝐴 mod π) ↔ (((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod π) < π) ∧ 0 < (𝐴 mod π))))
102		0re 11206	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ
103		rexr 11251	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ*)
104		rexr 11251	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (π ∈ ℝ → π ∈ ℝ*)
105		elioo2 13409	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) ↔ ((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 mod π) ∧ (𝐴 mod π) < π)))
106	103, 104, 105	syl2an 607	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) ↔ ((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 mod π) ∧ (𝐴 mod π) < π)))
107	102, 66, 106	mp2an 704	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) ↔ ((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 mod π) ∧ (𝐴 mod π) < π))
108		3anan32 1111	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 mod π) ∧ (𝐴 mod π) < π) ↔ (((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod π) < π) ∧ 0 < (𝐴 mod π)))
109	107, 108	bitri 278	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) ↔ (((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod π) < π) ∧ 0 < (𝐴 mod π)))
110	101, 109	bitr4di 292	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (0 < (𝐴 mod π) ↔ (𝐴 mod π) ∈ (0(,)π)))
111		sinq12gt0 26634	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) → 0 < (sin‘(𝐴 mod π)))
112		elioore 13398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) → (𝐴 mod π) ∈ ℝ)
113	112	resincld 16195	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) → (sin‘(𝐴 mod π)) ∈ ℝ)
114		ltle 11294	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (sin‘(𝐴 mod π)) ∈ ℝ) → (0 < (sin‘(𝐴 mod π)) → 0 ≤ (sin‘(𝐴 mod π))))
115	102, 113, 114	sylancr 598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) → (0 < (sin‘(𝐴 mod π)) → 0 ≤ (sin‘(𝐴 mod π))))
116	111, 115	mpd 16	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) → 0 ≤ (sin‘(𝐴 mod π)))
117	113, 116	absidd 15470	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) → (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))) = (sin‘(𝐴 mod π)))
118	111, 117	breqtrrd 5140	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) → 0 < (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))))
119	110, 118	biimtrdi 256	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (0 < (𝐴 mod π) → 0 < (abs‘(sin‘(𝐴 mod π)))))
120		ltne 11303	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < (abs‘(sin‘(𝐴 mod π)))) → (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))) ≠ 0)
121	102, 120	mpan 702	. . . . . . . 8 ⊢ (0 < (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))) → (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))) ≠ 0)
122	119, 121	syl6 36	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (0 < (𝐴 mod π) → (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))) ≠ 0))
123	122	necon2bd 2980	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → ((abs‘(sin‘(𝐴 mod π))) = 0 → ¬ 0 < (𝐴 mod π)))
124	95, 123	mpd 16	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → ¬ 0 < (𝐴 mod π))
125		modge0 13908	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝐴 mod π))
126	61, 62, 125	sylancl 597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → 0 ≤ (𝐴 mod π))
127		leloe 11292	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod π) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 mod π) ↔ (0 < (𝐴 mod π) ∨ 0 = (𝐴 mod π))))
128	102, 97, 127	sylancr 598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (0 ≤ (𝐴 mod π) ↔ (0 < (𝐴 mod π) ∨ 0 = (𝐴 mod π))))
129	126, 128	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (0 < (𝐴 mod π) ∨ 0 = (𝐴 mod π)))
130	129	ord 877	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (¬ 0 < (𝐴 mod π) → 0 = (𝐴 mod π)))
131	124, 130	mpd 16	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → 0 = (𝐴 mod π))
132	131	eqcomd 2775	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 mod π) = 0)
133		mod0 13905	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod π) = 0 ↔ (𝐴 / π) ∈ ℤ))
134	61, 62, 133	sylancl 597	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → ((𝐴 mod π) = 0 ↔ (𝐴 / π) ∈ ℤ))
135	132, 134	mpbid 235	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 / π) ∈ ℤ)
136		divcan1 11877	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0) → ((𝐴 / π) · π) = 𝐴)
137	65, 68, 136	mp3an23 1479	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 / π) · π) = 𝐴)
138	137	fveq2d 6883	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘((𝐴 / π) · π)) = (sin‘𝐴))
139		sinkpi 26649	. . 3 ⊢ ((𝐴 / π) ∈ ℤ → (sin‘((𝐴 / π) · π)) = 0)
140	138, 139	sylan9req 2825	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 / π) ∈ ℤ) → (sin‘𝐴) = 0)
141	135, 140	impbida 812	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) = 0 ↔ (𝐴 / π) ∈ ℤ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964   class class class wbr 5110  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  ℂcc 11094  ℝcr 11095  0cc0 11096  1c1 11097  ici 11098   + caddc 11099   · cmul 11101  ℝ^*cxr 11238   < clt 11239   ≤ cle 11240   − cmin 11437  -cneg 11438   / cdiv 11867  2c2 12291  ℤcz 12587  ℝ⁺crp 13012  (,)cioo 13368  ⌊cfl 13819   mod cmo 13898  abscabs 15281  expce 16111  sincsin 16113  πcpi 16116

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-inf2 9606  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174  ax-addf 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7672  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-q 12969  df-rp 13013  df-xneg 13133  df-xadd 13134  df-xmul 13135  df-ioo 13372  df-ioc 13373  df-ico 13374  df-icc 13375  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-mod 13899  df-seq 14034  df-exp 14094  df-fac 14306  df-bc 14335  df-hash 14363  df-shft 15100  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-limsup 15518  df-clim 15535  df-rlim 15536  df-sum 15734  df-ef 16117  df-sin 16119  df-cos 16120  df-pi 16122  df-struct 17203  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-starv 17321  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-ip 17324  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-unif 17329  df-hom 17330  df-cco 17331  df-rest 17471  df-topn 17472  df-0g 17490  df-gsum 17491  df-topgen 17492  df-pt 17493  df-prds 17496  df-xrs 17552  df-qtop 17557  df-imas 17558  df-xps 17560  df-mre 17634  df-mrc 17635  df-acs 17637  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-submnd 18838  df-mulg 19130  df-cntz 19383  df-cmn 19848  df-psmet 21479  df-xmet 21480  df-met 21481  df-bl 21482  df-mopn 21483  df-fbas 21484  df-fg 21485  df-cnfld 21488  df-top 23016  df-topon 23033  df-topsp 23055  df-bases 23068  df-cld 23141  df-ntr 23142  df-cls 23143  df-nei 23220  df-lp 23258  df-perf 23259  df-cn 23349  df-cnp 23350  df-haus 23437  df-tx 23684  df-hmeo 23877  df-fil 23968  df-fm 24060  df-flim 24061  df-flf 24062  df-xms 24442  df-ms 24443  df-tms 24444  df-cncf 25002  df-limc 25990  df-dv 25991

This theorem is referenced by:  coseq1  26652  efeq1  26655  cosne0  26656  logf1o2  26777  coseq0  46463  sinaover2ne0  46467  dirker2re  46691  dirkerdenne0  46692  dirkertrigeqlem3  46699  dirkertrigeq  46700  dirkercncflem1  46702  dirkercncflem2  46703  dirkercncflem4  46705  fourierdlem103  46808  fourierdlem104  46809