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Theorem sineq0 26566
Description: A complex number whose sine is zero is an integer multiple of π. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
sineq0 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) = 0 ↔ (𝐴 / π) ∈ ℤ))

Proof of Theorem sineq0
StepHypRef Expression
1 sinval 16158 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))
21eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) = 0 ↔ (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)) = 0))
3 ax-icn 11214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 i ∈ ℂ
4 mulcl 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
53, 4mpan 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
6 efcl 16118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
75, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
8 negicn 11509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 -i ∈ ℂ
9 mulcl 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((-i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
108, 9mpan 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ ℂ → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
11 efcl 16118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((-i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
137, 12subcld 11620 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ)
14 2mulicn 12489 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 · i) ∈ ℂ
15 2muline0 12490 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 · i) ≠ 0
16 diveq0 11932 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ ∧ (2 · i) ∈ ℂ ∧ (2 · i) ≠ 0) → ((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)) = 0 ↔ ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) = 0))
1714, 15, 16mp3an23 1455 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ → ((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)) = 0 ↔ ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) = 0))
1813, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)) = 0 ↔ ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) = 0))
197, 12subeq0ad 11630 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) = 0 ↔ (exp‘(i · 𝐴)) = (exp‘(-i · 𝐴))))
202, 18, 193bitrd 305 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) = 0 ↔ (exp‘(i · 𝐴)) = (exp‘(-i · 𝐴))))
21 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((exp‘(i · 𝐴)) = (exp‘(-i · 𝐴)) → ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴))))
22 2cn 12341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ ℂ
23 mul12 11426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((i ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · (2 · 𝐴)) = (2 · (i · 𝐴)))
243, 22, 23mp3an12 1453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (2 · 𝐴)) = (2 · (i · 𝐴)))
2552timesd 12509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (i · 𝐴)) = ((i · 𝐴) + (i · 𝐴)))
2624, 25eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (2 · 𝐴)) = ((i · 𝐴) + (i · 𝐴)))
2726fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (2 · 𝐴))) = (exp‘((i · 𝐴) + (i · 𝐴))))
28 efadd 16130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (exp‘((i · 𝐴) + (i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))))
295, 5, 28syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘((i · 𝐴) + (i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))))
3027, 29eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))) = (exp‘(i · (2 · 𝐴))))
31 efadd 16130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (-i · 𝐴) ∈ ℂ) → (exp‘((i · 𝐴) + (-i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴))))
325, 10, 31syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘((i · 𝐴) + (-i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴))))
333negidi 11578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (i + -i) = 0
3433oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((i + -i) · 𝐴) = (0 · 𝐴)
35 adddir 11252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((i ∈ ℂ ∧ -i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((i + -i) · 𝐴) = ((i · 𝐴) + (-i · 𝐴)))
363, 8, 35mp3an12 1453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴 ∈ ℂ → ((i + -i) · 𝐴) = ((i · 𝐴) + (-i · 𝐴)))
37 mul02 11439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)
3834, 36, 373eqtr3a 2801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) + (-i · 𝐴)) = 0)
3938fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘((i · 𝐴) + (-i · 𝐴))) = (exp‘0))
40 ef0 16127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (exp‘0) = 1
4139, 40eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘((i · 𝐴) + (-i · 𝐴))) = 1)
4232, 41eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴))) = 1)
4330, 42eqeq12d 2753 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴))) ↔ (exp‘(i · (2 · 𝐴))) = 1))
44 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((exp‘(i · (2 · 𝐴))) = 1 → (abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = (abs‘1))
4543, 44biimtrdi 253 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴))) → (abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = (abs‘1)))
4621, 45syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) = (exp‘(-i · 𝐴)) → (abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = (abs‘1)))
4720, 46sylbid 240 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) = 0 → (abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = (abs‘1)))
48 abs1 15336 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (abs‘1) = 1
4948eqeq2i 2750 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = (abs‘1) ↔ (abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = 1)
50 2re 12340 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℝ
51 2ne0 12370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ≠ 0
52 mulre 15160 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 2 ≠ 0) → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (2 · 𝐴) ∈ ℝ))
5350, 51, 52mp3an23 1455 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (2 · 𝐴) ∈ ℝ))
54 mulcl 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
5522, 54mpan 690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
56 absefib 16234 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 · 𝐴) ∈ ℂ → ((2 · 𝐴) ∈ ℝ ↔ (abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = 1))
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · 𝐴) ∈ ℝ ↔ (abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = 1))
5853, 57bitr2d 280 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = 1 ↔ 𝐴 ∈ ℝ))
5949, 58bitrid 283 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = (abs‘1) ↔ 𝐴 ∈ ℝ))
6047, 59sylibd 239 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) = 0 → 𝐴 ∈ ℝ))
6160imp 406 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
62 pirp 26503 . . . . . . . . . . . 12 π ∈ ℝ+
63 modval 13911 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+) → (𝐴 mod π) = (𝐴 − (π · (⌊‘(𝐴 / π)))))
6461, 62, 63sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 mod π) = (𝐴 − (π · (⌊‘(𝐴 / π)))))
65 picn 26501 . . . . . . . . . . . . 13 π ∈ ℂ
66 pire 26500 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 π ∈ ℝ
67 pipos 26502 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 < π
6866, 67gt0ne0ii 11799 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 π ≠ 0
69 redivcl 11986 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ π ≠ 0) → (𝐴 / π) ∈ ℝ)
7066, 68, 69mp3an23 1455 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / π) ∈ ℝ)
7161, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 / π) ∈ ℝ)
7271flcld 13838 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (⌊‘(𝐴 / π)) ∈ ℤ)
7372zcnd 12723 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (⌊‘(𝐴 / π)) ∈ ℂ)
74 mulcl 11239 . . . . . . . . . . . . 13 ((π ∈ ℂ ∧ (⌊‘(𝐴 / π)) ∈ ℂ) → (π · (⌊‘(𝐴 / π))) ∈ ℂ)
7565, 73, 74sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (π · (⌊‘(𝐴 / π))) ∈ ℂ)
76 negsub 11557 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (π · (⌊‘(𝐴 / π))) ∈ ℂ) → (𝐴 + -(π · (⌊‘(𝐴 / π)))) = (𝐴 − (π · (⌊‘(𝐴 / π)))))
7775, 76syldan 591 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 + -(π · (⌊‘(𝐴 / π)))) = (𝐴 − (π · (⌊‘(𝐴 / π)))))
78 mulcom 11241 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π ∈ ℂ ∧ (⌊‘(𝐴 / π)) ∈ ℂ) → (π · (⌊‘(𝐴 / π))) = ((⌊‘(𝐴 / π)) · π))
7965, 73, 78sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (π · (⌊‘(𝐴 / π))) = ((⌊‘(𝐴 / π)) · π))
8079negeqd 11502 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → -(π · (⌊‘(𝐴 / π))) = -((⌊‘(𝐴 / π)) · π))
81 mulneg1 11699 . . . . . . . . . . . . . 14 (((⌊‘(𝐴 / π)) ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π) = -((⌊‘(𝐴 / π)) · π))
8273, 65, 81sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π) = -((⌊‘(𝐴 / π)) · π))
8380, 82eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → -(π · (⌊‘(𝐴 / π))) = (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π))
8483oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 + -(π · (⌊‘(𝐴 / π)))) = (𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π)))
8564, 77, 843eqtr2d 2783 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 mod π) = (𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π)))
8685fveq2d 6910 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (sin‘(𝐴 mod π)) = (sin‘(𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π))))
8786fveq2d 6910 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))) = (abs‘(sin‘(𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π)))))
8872znegcld 12724 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → -(⌊‘(𝐴 / π)) ∈ ℤ)
89 abssinper 26563 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -(⌊‘(𝐴 / π)) ∈ ℤ) → (abs‘(sin‘(𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π)))) = (abs‘(sin‘𝐴)))
9088, 89syldan 591 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (abs‘(sin‘(𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π)))) = (abs‘(sin‘𝐴)))
91 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (sin‘𝐴) = 0)
9291fveq2d 6910 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (abs‘(sin‘𝐴)) = (abs‘0))
9387, 90, 923eqtrd 2781 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))) = (abs‘0))
94 abs0 15324 . . . . . . 7 (abs‘0) = 0
9593, 94eqtrdi 2793 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))) = 0)
96 modcl 13913 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+) → (𝐴 mod π) ∈ ℝ)
9761, 62, 96sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 mod π) ∈ ℝ)
98 modlt 13920 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+) → (𝐴 mod π) < π)
9961, 62, 98sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 mod π) < π)
10097, 99jca 511 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → ((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod π) < π))
101100biantrurd 532 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (0 < (𝐴 mod π) ↔ (((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod π) < π) ∧ 0 < (𝐴 mod π))))
102 0re 11263 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
103 rexr 11307 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ*)
104 rexr 11307 . . . . . . . . . . . . 13 (π ∈ ℝ → π ∈ ℝ*)
105 elioo2 13428 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) ↔ ((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 mod π) ∧ (𝐴 mod π) < π)))
106103, 104, 105syl2an 596 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) ↔ ((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 mod π) ∧ (𝐴 mod π) < π)))
107102, 66, 106mp2an 692 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) ↔ ((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 mod π) ∧ (𝐴 mod π) < π))
108 3anan32 1097 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 mod π) ∧ (𝐴 mod π) < π) ↔ (((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod π) < π) ∧ 0 < (𝐴 mod π)))
109107, 108bitri 275 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) ↔ (((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod π) < π) ∧ 0 < (𝐴 mod π)))
110101, 109bitr4di 289 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (0 < (𝐴 mod π) ↔ (𝐴 mod π) ∈ (0(,)π)))
111 sinq12gt0 26549 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) → 0 < (sin‘(𝐴 mod π)))
112 elioore 13417 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) → (𝐴 mod π) ∈ ℝ)
113112resincld 16179 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) → (sin‘(𝐴 mod π)) ∈ ℝ)
114 ltle 11349 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ (sin‘(𝐴 mod π)) ∈ ℝ) → (0 < (sin‘(𝐴 mod π)) → 0 ≤ (sin‘(𝐴 mod π))))
115102, 113, 114sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) → (0 < (sin‘(𝐴 mod π)) → 0 ≤ (sin‘(𝐴 mod π))))
116111, 115mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) → 0 ≤ (sin‘(𝐴 mod π)))
117113, 116absidd 15461 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) → (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))) = (sin‘(𝐴 mod π)))
118111, 117breqtrrd 5171 . . . . . . . . 9 ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) → 0 < (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))))
119110, 118biimtrdi 253 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (0 < (𝐴 mod π) → 0 < (abs‘(sin‘(𝐴 mod π)))))
120 ltne 11358 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < (abs‘(sin‘(𝐴 mod π)))) → (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))) ≠ 0)
121102, 120mpan 690 . . . . . . . 8 (0 < (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))) → (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))) ≠ 0)
122119, 121syl6 35 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (0 < (𝐴 mod π) → (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))) ≠ 0))
123122necon2bd 2956 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → ((abs‘(sin‘(𝐴 mod π))) = 0 → ¬ 0 < (𝐴 mod π)))
12495, 123mpd 15 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → ¬ 0 < (𝐴 mod π))
125 modge0 13919 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝐴 mod π))
12661, 62, 125sylancl 586 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → 0 ≤ (𝐴 mod π))
127 leloe 11347 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod π) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 mod π) ↔ (0 < (𝐴 mod π) ∨ 0 = (𝐴 mod π))))
128102, 97, 127sylancr 587 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (0 ≤ (𝐴 mod π) ↔ (0 < (𝐴 mod π) ∨ 0 = (𝐴 mod π))))
129126, 128mpbid 232 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (0 < (𝐴 mod π) ∨ 0 = (𝐴 mod π)))
130129ord 865 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (¬ 0 < (𝐴 mod π) → 0 = (𝐴 mod π)))
131124, 130mpd 15 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → 0 = (𝐴 mod π))
132131eqcomd 2743 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 mod π) = 0)
133 mod0 13916 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod π) = 0 ↔ (𝐴 / π) ∈ ℤ))
13461, 62, 133sylancl 586 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → ((𝐴 mod π) = 0 ↔ (𝐴 / π) ∈ ℤ))
135132, 134mpbid 232 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 / π) ∈ ℤ)
136 divcan1 11931 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0) → ((𝐴 / π) · π) = 𝐴)
13765, 68, 136mp3an23 1455 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 / π) · π) = 𝐴)
138137fveq2d 6910 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘((𝐴 / π) · π)) = (sin‘𝐴))
139 sinkpi 26564 . . 3 ((𝐴 / π) ∈ ℤ → (sin‘((𝐴 / π) · π)) = 0)
140138, 139sylan9req 2798 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 / π) ∈ ℤ) → (sin‘𝐴) = 0)
141135, 140impbida 801 1 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) = 0 ↔ (𝐴 / π) ∈ ℤ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156  ici 11157   + caddc 11158   · cmul 11160  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  -cneg 11493   / cdiv 11920  2c2 12321  cz 12613  +crp 13034  (,)cioo 13387  cfl 13830   mod cmo 13909  abscabs 15273  expce 16097  sincsin 16099  πcpi 16102
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902
This theorem is referenced by:  coseq1  26567  efeq1  26570  cosne0  26571  logf1o2  26692  coseq0  45879  sinaover2ne0  45883  dirker2re  46107  dirkerdenne0  46108  dirkertrigeqlem3  46115  dirkertrigeq  46116  dirkercncflem1  46118  dirkercncflem2  46119  dirkercncflem4  46121  fourierdlem103  46224  fourierdlem104  46225
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