MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sineq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sineq0 26409
Description: A complex number whose sine is zero is an integer multiple of Ο€. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
sineq0 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((sinβ€˜π΄) = 0 ↔ (𝐴 / Ο€) ∈ β„€))

Proof of Theorem sineq0
StepHypRef Expression
1 sinval 16070 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜π΄) = (((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴))) / (2 Β· i)))
21eqeq1d 2728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((sinβ€˜π΄) = 0 ↔ (((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴))) / (2 Β· i)) = 0))
3 ax-icn 11168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 i ∈ β„‚
4 mulcl 11193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚)
53, 4mpan 687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚)
6 efcl 16030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((i Β· 𝐴) ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(i Β· 𝐴)) ∈ β„‚)
75, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(i Β· 𝐴)) ∈ β„‚)
8 negicn 11462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 -i ∈ β„‚
9 mulcl 11193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((-i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (-i Β· 𝐴) ∈ β„‚)
108, 9mpan 687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (-i Β· 𝐴) ∈ β„‚)
11 efcl 16030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((-i Β· 𝐴) ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴)) ∈ β„‚)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴)) ∈ β„‚)
137, 12subcld 11572 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴))) ∈ β„‚)
14 2mulicn 12436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 Β· i) ∈ β„‚
15 2muline0 12437 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 Β· i) β‰  0
16 diveq0 11883 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴))) ∈ β„‚ ∧ (2 Β· i) ∈ β„‚ ∧ (2 Β· i) β‰  0) β†’ ((((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴))) / (2 Β· i)) = 0 ↔ ((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴))) = 0))
1714, 15, 16mp3an23 1449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴))) ∈ β„‚ β†’ ((((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴))) / (2 Β· i)) = 0 ↔ ((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴))) = 0))
1813, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴))) / (2 Β· i)) = 0 ↔ ((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴))) = 0))
197, 12subeq0ad 11582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((expβ€˜(i Β· 𝐴)) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· 𝐴))) = 0 ↔ (expβ€˜(i Β· 𝐴)) = (expβ€˜(-i Β· 𝐴))))
202, 18, 193bitrd 305 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((sinβ€˜π΄) = 0 ↔ (expβ€˜(i Β· 𝐴)) = (expβ€˜(-i Β· 𝐴))))
21 oveq2 7412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((expβ€˜(i Β· 𝐴)) = (expβ€˜(-i Β· 𝐴)) β†’ ((expβ€˜(i Β· 𝐴)) Β· (expβ€˜(i Β· 𝐴))) = ((expβ€˜(i Β· 𝐴)) Β· (expβ€˜(-i Β· 𝐴))))
22 2cn 12288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ β„‚
23 mul12 11380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((i ∈ β„‚ ∧ 2 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (i Β· (2 Β· 𝐴)) = (2 Β· (i Β· 𝐴)))
243, 22, 23mp3an12 1447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (i Β· (2 Β· 𝐴)) = (2 Β· (i Β· 𝐴)))
2552timesd 12456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (2 Β· (i Β· 𝐴)) = ((i Β· 𝐴) + (i Β· 𝐴)))
2624, 25eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (i Β· (2 Β· 𝐴)) = ((i Β· 𝐴) + (i Β· 𝐴)))
2726fveq2d 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(i Β· (2 Β· 𝐴))) = (expβ€˜((i Β· 𝐴) + (i Β· 𝐴))))
28 efadd 16042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((i Β· 𝐴) ∈ β„‚ ∧ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜((i Β· 𝐴) + (i Β· 𝐴))) = ((expβ€˜(i Β· 𝐴)) Β· (expβ€˜(i Β· 𝐴))))
295, 5, 28syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜((i Β· 𝐴) + (i Β· 𝐴))) = ((expβ€˜(i Β· 𝐴)) Β· (expβ€˜(i Β· 𝐴))))
3027, 29eqtr2d 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((expβ€˜(i Β· 𝐴)) Β· (expβ€˜(i Β· 𝐴))) = (expβ€˜(i Β· (2 Β· 𝐴))))
31 efadd 16042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((i Β· 𝐴) ∈ β„‚ ∧ (-i Β· 𝐴) ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜((i Β· 𝐴) + (-i Β· 𝐴))) = ((expβ€˜(i Β· 𝐴)) Β· (expβ€˜(-i Β· 𝐴))))
325, 10, 31syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜((i Β· 𝐴) + (-i Β· 𝐴))) = ((expβ€˜(i Β· 𝐴)) Β· (expβ€˜(-i Β· 𝐴))))
333negidi 11530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (i + -i) = 0
3433oveq1i 7414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((i + -i) Β· 𝐴) = (0 Β· 𝐴)
35 adddir 11206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((i ∈ β„‚ ∧ -i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((i + -i) Β· 𝐴) = ((i Β· 𝐴) + (-i Β· 𝐴)))
363, 8, 35mp3an12 1447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((i + -i) Β· 𝐴) = ((i Β· 𝐴) + (-i Β· 𝐴)))
37 mul02 11393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (0 Β· 𝐴) = 0)
3834, 36, 373eqtr3a 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((i Β· 𝐴) + (-i Β· 𝐴)) = 0)
3938fveq2d 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜((i Β· 𝐴) + (-i Β· 𝐴))) = (expβ€˜0))
40 ef0 16039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (expβ€˜0) = 1
4139, 40eqtrdi 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜((i Β· 𝐴) + (-i Β· 𝐴))) = 1)
4232, 41eqtr3d 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((expβ€˜(i Β· 𝐴)) Β· (expβ€˜(-i Β· 𝐴))) = 1)
4330, 42eqeq12d 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((expβ€˜(i Β· 𝐴)) Β· (expβ€˜(i Β· 𝐴))) = ((expβ€˜(i Β· 𝐴)) Β· (expβ€˜(-i Β· 𝐴))) ↔ (expβ€˜(i Β· (2 Β· 𝐴))) = 1))
44 fveq2 6884 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((expβ€˜(i Β· (2 Β· 𝐴))) = 1 β†’ (absβ€˜(expβ€˜(i Β· (2 Β· 𝐴)))) = (absβ€˜1))
4543, 44syl6bi 253 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((expβ€˜(i Β· 𝐴)) Β· (expβ€˜(i Β· 𝐴))) = ((expβ€˜(i Β· 𝐴)) Β· (expβ€˜(-i Β· 𝐴))) β†’ (absβ€˜(expβ€˜(i Β· (2 Β· 𝐴)))) = (absβ€˜1)))
4621, 45syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((expβ€˜(i Β· 𝐴)) = (expβ€˜(-i Β· 𝐴)) β†’ (absβ€˜(expβ€˜(i Β· (2 Β· 𝐴)))) = (absβ€˜1)))
4720, 46sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((sinβ€˜π΄) = 0 β†’ (absβ€˜(expβ€˜(i Β· (2 Β· 𝐴)))) = (absβ€˜1)))
48 abs1 15248 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (absβ€˜1) = 1
4948eqeq2i 2739 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((absβ€˜(expβ€˜(i Β· (2 Β· 𝐴)))) = (absβ€˜1) ↔ (absβ€˜(expβ€˜(i Β· (2 Β· 𝐴)))) = 1)
50 2re 12287 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℝ
51 2ne0 12317 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 β‰  0
52 mulre 15072 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 2 β‰  0) β†’ (𝐴 ∈ ℝ ↔ (2 Β· 𝐴) ∈ ℝ))
5350, 51, 52mp3an23 1449 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝐴 ∈ ℝ ↔ (2 Β· 𝐴) ∈ ℝ))
54 mulcl 11193 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (2 Β· 𝐴) ∈ β„‚)
5522, 54mpan 687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (2 Β· 𝐴) ∈ β„‚)
56 absefib 16146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 Β· 𝐴) ∈ β„‚ β†’ ((2 Β· 𝐴) ∈ ℝ ↔ (absβ€˜(expβ€˜(i Β· (2 Β· 𝐴)))) = 1))
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((2 Β· 𝐴) ∈ ℝ ↔ (absβ€˜(expβ€˜(i Β· (2 Β· 𝐴)))) = 1))
5853, 57bitr2d 280 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((absβ€˜(expβ€˜(i Β· (2 Β· 𝐴)))) = 1 ↔ 𝐴 ∈ ℝ))
5949, 58bitrid 283 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((absβ€˜(expβ€˜(i Β· (2 Β· 𝐴)))) = (absβ€˜1) ↔ 𝐴 ∈ ℝ))
6047, 59sylibd 238 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((sinβ€˜π΄) = 0 β†’ 𝐴 ∈ ℝ))
6160imp 406 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
62 pirp 26347 . . . . . . . . . . . 12 Ο€ ∈ ℝ+
63 modval 13839 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ+) β†’ (𝐴 mod Ο€) = (𝐴 βˆ’ (Ο€ Β· (βŒŠβ€˜(𝐴 / Ο€)))))
6461, 62, 63sylancl 585 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0) β†’ (𝐴 mod Ο€) = (𝐴 βˆ’ (Ο€ Β· (βŒŠβ€˜(𝐴 / Ο€)))))
65 picn 26345 . . . . . . . . . . . . 13 Ο€ ∈ β„‚
66 pire 26344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ο€ ∈ ℝ
67 pipos 26346 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 < Ο€
6866, 67gt0ne0ii 11751 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ο€ β‰  0
69 redivcl 11934 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ ∧ Ο€ β‰  0) β†’ (𝐴 / Ο€) ∈ ℝ)
7066, 68, 69mp3an23 1449 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (𝐴 / Ο€) ∈ ℝ)
7161, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0) β†’ (𝐴 / Ο€) ∈ ℝ)
7271flcld 13766 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0) β†’ (βŒŠβ€˜(𝐴 / Ο€)) ∈ β„€)
7372zcnd 12668 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0) β†’ (βŒŠβ€˜(𝐴 / Ο€)) ∈ β„‚)
74 mulcl 11193 . . . . . . . . . . . . 13 ((Ο€ ∈ β„‚ ∧ (βŒŠβ€˜(𝐴 / Ο€)) ∈ β„‚) β†’ (Ο€ Β· (βŒŠβ€˜(𝐴 / Ο€))) ∈ β„‚)
7565, 73, 74sylancr 586 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0) β†’ (Ο€ Β· (βŒŠβ€˜(𝐴 / Ο€))) ∈ β„‚)
76 negsub 11509 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (Ο€ Β· (βŒŠβ€˜(𝐴 / Ο€))) ∈ β„‚) β†’ (𝐴 + -(Ο€ Β· (βŒŠβ€˜(𝐴 / Ο€)))) = (𝐴 βˆ’ (Ο€ Β· (βŒŠβ€˜(𝐴 / Ο€)))))
7775, 76syldan 590 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0) β†’ (𝐴 + -(Ο€ Β· (βŒŠβ€˜(𝐴 / Ο€)))) = (𝐴 βˆ’ (Ο€ Β· (βŒŠβ€˜(𝐴 / Ο€)))))
78 mulcom 11195 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Ο€ ∈ β„‚ ∧ (βŒŠβ€˜(𝐴 / Ο€)) ∈ β„‚) β†’ (Ο€ Β· (βŒŠβ€˜(𝐴 / Ο€))) = ((βŒŠβ€˜(𝐴 / Ο€)) Β· Ο€))
7965, 73, 78sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0) β†’ (Ο€ Β· (βŒŠβ€˜(𝐴 / Ο€))) = ((βŒŠβ€˜(𝐴 / Ο€)) Β· Ο€))
8079negeqd 11455 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0) β†’ -(Ο€ Β· (βŒŠβ€˜(𝐴 / Ο€))) = -((βŒŠβ€˜(𝐴 / Ο€)) Β· Ο€))
81 mulneg1 11651 . . . . . . . . . . . . . 14 (((βŒŠβ€˜(𝐴 / Ο€)) ∈ β„‚ ∧ Ο€ ∈ β„‚) β†’ (-(βŒŠβ€˜(𝐴 / Ο€)) Β· Ο€) = -((βŒŠβ€˜(𝐴 / Ο€)) Β· Ο€))
8273, 65, 81sylancl 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0) β†’ (-(βŒŠβ€˜(𝐴 / Ο€)) Β· Ο€) = -((βŒŠβ€˜(𝐴 / Ο€)) Β· Ο€))
8380, 82eqtr4d 2769 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0) β†’ -(Ο€ Β· (βŒŠβ€˜(𝐴 / Ο€))) = (-(βŒŠβ€˜(𝐴 / Ο€)) Β· Ο€))
8483oveq2d 7420 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0) β†’ (𝐴 + -(Ο€ Β· (βŒŠβ€˜(𝐴 / Ο€)))) = (𝐴 + (-(βŒŠβ€˜(𝐴 / Ο€)) Β· Ο€)))
8564, 77, 843eqtr2d 2772 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0) β†’ (𝐴 mod Ο€) = (𝐴 + (-(βŒŠβ€˜(𝐴 / Ο€)) Β· Ο€)))
8685fveq2d 6888 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0) β†’ (sinβ€˜(𝐴 mod Ο€)) = (sinβ€˜(𝐴 + (-(βŒŠβ€˜(𝐴 / Ο€)) Β· Ο€))))
8786fveq2d 6888 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0) β†’ (absβ€˜(sinβ€˜(𝐴 mod Ο€))) = (absβ€˜(sinβ€˜(𝐴 + (-(βŒŠβ€˜(𝐴 / Ο€)) Β· Ο€)))))
8872znegcld 12669 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0) β†’ -(βŒŠβ€˜(𝐴 / Ο€)) ∈ β„€)
89 abssinper 26406 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ -(βŒŠβ€˜(𝐴 / Ο€)) ∈ β„€) β†’ (absβ€˜(sinβ€˜(𝐴 + (-(βŒŠβ€˜(𝐴 / Ο€)) Β· Ο€)))) = (absβ€˜(sinβ€˜π΄)))
9088, 89syldan 590 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0) β†’ (absβ€˜(sinβ€˜(𝐴 + (-(βŒŠβ€˜(𝐴 / Ο€)) Β· Ο€)))) = (absβ€˜(sinβ€˜π΄)))
91 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0) β†’ (sinβ€˜π΄) = 0)
9291fveq2d 6888 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0) β†’ (absβ€˜(sinβ€˜π΄)) = (absβ€˜0))
9387, 90, 923eqtrd 2770 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0) β†’ (absβ€˜(sinβ€˜(𝐴 mod Ο€))) = (absβ€˜0))
94 abs0 15236 . . . . . . 7 (absβ€˜0) = 0
9593, 94eqtrdi 2782 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0) β†’ (absβ€˜(sinβ€˜(𝐴 mod Ο€))) = 0)
96 modcl 13841 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ+) β†’ (𝐴 mod Ο€) ∈ ℝ)
9761, 62, 96sylancl 585 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0) β†’ (𝐴 mod Ο€) ∈ ℝ)
98 modlt 13848 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ+) β†’ (𝐴 mod Ο€) < Ο€)
9961, 62, 98sylancl 585 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0) β†’ (𝐴 mod Ο€) < Ο€)
10097, 99jca 511 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0) β†’ ((𝐴 mod Ο€) ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod Ο€) < Ο€))
101100biantrurd 532 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0) β†’ (0 < (𝐴 mod Ο€) ↔ (((𝐴 mod Ο€) ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod Ο€) < Ο€) ∧ 0 < (𝐴 mod Ο€))))
102 0re 11217 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
103 rexr 11261 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ∈ ℝ β†’ 0 ∈ ℝ*)
104 rexr 11261 . . . . . . . . . . . . 13 (Ο€ ∈ ℝ β†’ Ο€ ∈ ℝ*)
105 elioo2 13368 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ* ∧ Ο€ ∈ ℝ*) β†’ ((𝐴 mod Ο€) ∈ (0(,)Ο€) ↔ ((𝐴 mod Ο€) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 mod Ο€) ∧ (𝐴 mod Ο€) < Ο€)))
106103, 104, 105syl2an 595 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ) β†’ ((𝐴 mod Ο€) ∈ (0(,)Ο€) ↔ ((𝐴 mod Ο€) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 mod Ο€) ∧ (𝐴 mod Ο€) < Ο€)))
107102, 66, 106mp2an 689 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 mod Ο€) ∈ (0(,)Ο€) ↔ ((𝐴 mod Ο€) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 mod Ο€) ∧ (𝐴 mod Ο€) < Ο€))
108 3anan32 1094 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 mod Ο€) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 mod Ο€) ∧ (𝐴 mod Ο€) < Ο€) ↔ (((𝐴 mod Ο€) ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod Ο€) < Ο€) ∧ 0 < (𝐴 mod Ο€)))
109107, 108bitri 275 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 mod Ο€) ∈ (0(,)Ο€) ↔ (((𝐴 mod Ο€) ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod Ο€) < Ο€) ∧ 0 < (𝐴 mod Ο€)))
110101, 109bitr4di 289 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0) β†’ (0 < (𝐴 mod Ο€) ↔ (𝐴 mod Ο€) ∈ (0(,)Ο€)))
111 sinq12gt0 26393 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 mod Ο€) ∈ (0(,)Ο€) β†’ 0 < (sinβ€˜(𝐴 mod Ο€)))
112 elioore 13357 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 mod Ο€) ∈ (0(,)Ο€) β†’ (𝐴 mod Ο€) ∈ ℝ)
113112resincld 16091 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 mod Ο€) ∈ (0(,)Ο€) β†’ (sinβ€˜(𝐴 mod Ο€)) ∈ ℝ)
114 ltle 11303 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ (sinβ€˜(𝐴 mod Ο€)) ∈ ℝ) β†’ (0 < (sinβ€˜(𝐴 mod Ο€)) β†’ 0 ≀ (sinβ€˜(𝐴 mod Ο€))))
115102, 113, 114sylancr 586 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 mod Ο€) ∈ (0(,)Ο€) β†’ (0 < (sinβ€˜(𝐴 mod Ο€)) β†’ 0 ≀ (sinβ€˜(𝐴 mod Ο€))))
116111, 115mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 mod Ο€) ∈ (0(,)Ο€) β†’ 0 ≀ (sinβ€˜(𝐴 mod Ο€)))
117113, 116absidd 15373 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 mod Ο€) ∈ (0(,)Ο€) β†’ (absβ€˜(sinβ€˜(𝐴 mod Ο€))) = (sinβ€˜(𝐴 mod Ο€)))
118111, 117breqtrrd 5169 . . . . . . . . 9 ((𝐴 mod Ο€) ∈ (0(,)Ο€) β†’ 0 < (absβ€˜(sinβ€˜(𝐴 mod Ο€))))
119110, 118syl6bi 253 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0) β†’ (0 < (𝐴 mod Ο€) β†’ 0 < (absβ€˜(sinβ€˜(𝐴 mod Ο€)))))
120 ltne 11312 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < (absβ€˜(sinβ€˜(𝐴 mod Ο€)))) β†’ (absβ€˜(sinβ€˜(𝐴 mod Ο€))) β‰  0)
121102, 120mpan 687 . . . . . . . 8 (0 < (absβ€˜(sinβ€˜(𝐴 mod Ο€))) β†’ (absβ€˜(sinβ€˜(𝐴 mod Ο€))) β‰  0)
122119, 121syl6 35 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0) β†’ (0 < (𝐴 mod Ο€) β†’ (absβ€˜(sinβ€˜(𝐴 mod Ο€))) β‰  0))
123122necon2bd 2950 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0) β†’ ((absβ€˜(sinβ€˜(𝐴 mod Ο€))) = 0 β†’ Β¬ 0 < (𝐴 mod Ο€)))
12495, 123mpd 15 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0) β†’ Β¬ 0 < (𝐴 mod Ο€))
125 modge0 13847 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ+) β†’ 0 ≀ (𝐴 mod Ο€))
12661, 62, 125sylancl 585 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0) β†’ 0 ≀ (𝐴 mod Ο€))
127 leloe 11301 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod Ο€) ∈ ℝ) β†’ (0 ≀ (𝐴 mod Ο€) ↔ (0 < (𝐴 mod Ο€) ∨ 0 = (𝐴 mod Ο€))))
128102, 97, 127sylancr 586 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0) β†’ (0 ≀ (𝐴 mod Ο€) ↔ (0 < (𝐴 mod Ο€) ∨ 0 = (𝐴 mod Ο€))))
129126, 128mpbid 231 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0) β†’ (0 < (𝐴 mod Ο€) ∨ 0 = (𝐴 mod Ο€)))
130129ord 861 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0) β†’ (Β¬ 0 < (𝐴 mod Ο€) β†’ 0 = (𝐴 mod Ο€)))
131124, 130mpd 15 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0) β†’ 0 = (𝐴 mod Ο€))
132131eqcomd 2732 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0) β†’ (𝐴 mod Ο€) = 0)
133 mod0 13844 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ+) β†’ ((𝐴 mod Ο€) = 0 ↔ (𝐴 / Ο€) ∈ β„€))
13461, 62, 133sylancl 585 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0) β†’ ((𝐴 mod Ο€) = 0 ↔ (𝐴 / Ο€) ∈ β„€))
135132, 134mpbid 231 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0) β†’ (𝐴 / Ο€) ∈ β„€)
136 divcan1 11882 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ Ο€ ∈ β„‚ ∧ Ο€ β‰  0) β†’ ((𝐴 / Ο€) Β· Ο€) = 𝐴)
13765, 68, 136mp3an23 1449 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((𝐴 / Ο€) Β· Ο€) = 𝐴)
138137fveq2d 6888 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜((𝐴 / Ο€) Β· Ο€)) = (sinβ€˜π΄))
139 sinkpi 26407 . . 3 ((𝐴 / Ο€) ∈ β„€ β†’ (sinβ€˜((𝐴 / Ο€) Β· Ο€)) = 0)
140138, 139sylan9req 2787 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝐴 / Ο€) ∈ β„€) β†’ (sinβ€˜π΄) = 0)
141135, 140impbida 798 1 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((sinβ€˜π΄) = 0 ↔ (𝐴 / Ο€) ∈ β„€))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  β„‚cc 11107  β„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110  ici 11111   + caddc 11112   Β· cmul 11114  β„*cxr 11248   < clt 11249   ≀ cle 11250   βˆ’ cmin 11445  -cneg 11446   / cdiv 11872  2c2 12268  β„€cz 12559  β„+crp 12977  (,)cioo 13327  βŒŠcfl 13758   mod cmo 13837  abscabs 15185  expce 16009  sincsin 16011  Ο€cpi 16014
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-ioo 13331  df-ioc 13332  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13970  df-exp 14031  df-fac 14237  df-bc 14266  df-hash 14294  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-ef 16015  df-sin 16017  df-cos 16018  df-pi 16020  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-rest 17375  df-topn 17376  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-topgen 17396  df-pt 17397  df-prds 17400  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-mulg 18994  df-cntz 19231  df-cmn 19700  df-psmet 21228  df-xmet 21229  df-met 21230  df-bl 21231  df-mopn 21232  df-fbas 21233  df-fg 21234  df-cnfld 21237  df-top 22747  df-topon 22764  df-topsp 22786  df-bases 22800  df-cld 22874  df-ntr 22875  df-cls 22876  df-nei 22953  df-lp 22991  df-perf 22992  df-cn 23082  df-cnp 23083  df-haus 23170  df-tx 23417  df-hmeo 23610  df-fil 23701  df-fm 23793  df-flim 23794  df-flf 23795  df-xms 24177  df-ms 24178  df-tms 24179  df-cncf 24749  df-limc 25746  df-dv 25747
This theorem is referenced by:  coseq1  26410  efeq1  26413  cosne0  26414  logf1o2  26535  coseq0  45133  sinaover2ne0  45137  dirker2re  45361  dirkerdenne0  45362  dirkertrigeqlem3  45369  dirkertrigeq  45370  dirkercncflem1  45372  dirkercncflem2  45373  dirkercncflem4  45375  fourierdlem103  45478  fourierdlem104  45479
  Copyright terms: Public domain W3C validator