MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sineq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sineq0 24487
Description: A complex number whose sine is zero is an integer multiple of π. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
sineq0 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) = 0 ↔ (𝐴 / π) ∈ ℤ))

Proof of Theorem sineq0
StepHypRef Expression
1 sinval 15051 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))
21eqeq1d 2773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) = 0 ↔ (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)) = 0))
3 ax-icn 10195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 i ∈ ℂ
4 mulcl 10220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
53, 4mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
6 efcl 15012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
75, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
8 negicn 10482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 -i ∈ ℂ
9 mulcl 10220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((-i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
108, 9mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ ℂ → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
11 efcl 15012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((-i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
137, 12subcld 10592 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ)
14 2mulicn 11455 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 · i) ∈ ℂ
15 2muline0 11456 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 · i) ≠ 0
16 diveq0 10895 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ ∧ (2 · i) ∈ ℂ ∧ (2 · i) ≠ 0) → ((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)) = 0 ↔ ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) = 0))
1714, 15, 16mp3an23 1564 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ → ((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)) = 0 ↔ ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) = 0))
1813, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)) = 0 ↔ ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) = 0))
197, 12subeq0ad 10602 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) = 0 ↔ (exp‘(i · 𝐴)) = (exp‘(-i · 𝐴))))
202, 18, 193bitrd 294 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) = 0 ↔ (exp‘(i · 𝐴)) = (exp‘(-i · 𝐴))))
21 oveq2 6799 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((exp‘(i · 𝐴)) = (exp‘(-i · 𝐴)) → ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴))))
22 2cn 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ ℂ
23 mul12 10402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((i ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · (2 · 𝐴)) = (2 · (i · 𝐴)))
243, 22, 23mp3an12 1562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (2 · 𝐴)) = (2 · (i · 𝐴)))
2552timesd 11475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (i · 𝐴)) = ((i · 𝐴) + (i · 𝐴)))
2624, 25eqtrd 2805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (2 · 𝐴)) = ((i · 𝐴) + (i · 𝐴)))
2726fveq2d 6334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (2 · 𝐴))) = (exp‘((i · 𝐴) + (i · 𝐴))))
28 efadd 15023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (exp‘((i · 𝐴) + (i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))))
295, 5, 28syl2anc 573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘((i · 𝐴) + (i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))))
3027, 29eqtr2d 2806 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))) = (exp‘(i · (2 · 𝐴))))
31 efadd 15023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (-i · 𝐴) ∈ ℂ) → (exp‘((i · 𝐴) + (-i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴))))
325, 10, 31syl2anc 573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘((i · 𝐴) + (-i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴))))
333negidi 10550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (i + -i) = 0
3433oveq1i 6801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((i + -i) · 𝐴) = (0 · 𝐴)
35 adddir 10231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((i ∈ ℂ ∧ -i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((i + -i) · 𝐴) = ((i · 𝐴) + (-i · 𝐴)))
363, 8, 35mp3an12 1562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴 ∈ ℂ → ((i + -i) · 𝐴) = ((i · 𝐴) + (-i · 𝐴)))
37 mul02 10414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)
3834, 36, 373eqtr3a 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) + (-i · 𝐴)) = 0)
3938fveq2d 6334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘((i · 𝐴) + (-i · 𝐴))) = (exp‘0))
40 ef0 15020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (exp‘0) = 1
4139, 40syl6eq 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘((i · 𝐴) + (-i · 𝐴))) = 1)
4232, 41eqtr3d 2807 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴))) = 1)
4330, 42eqeq12d 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴))) ↔ (exp‘(i · (2 · 𝐴))) = 1))
44 fveq2 6330 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((exp‘(i · (2 · 𝐴))) = 1 → (abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = (abs‘1))
4543, 44syl6bi 243 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴))) → (abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = (abs‘1)))
4621, 45syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) = (exp‘(-i · 𝐴)) → (abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = (abs‘1)))
4720, 46sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) = 0 → (abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = (abs‘1)))
48 abs1 14238 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (abs‘1) = 1
4948eqeq2i 2783 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = (abs‘1) ↔ (abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = 1)
50 2re 11290 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℝ
51 2ne0 11313 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ≠ 0
52 mulre 14062 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 2 ≠ 0) → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (2 · 𝐴) ∈ ℝ))
5350, 51, 52mp3an23 1564 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (2 · 𝐴) ∈ ℝ))
54 mulcl 10220 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
5522, 54mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
56 absefib 15127 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 · 𝐴) ∈ ℂ → ((2 · 𝐴) ∈ ℝ ↔ (abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = 1))
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · 𝐴) ∈ ℝ ↔ (abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = 1))
5853, 57bitr2d 269 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = 1 ↔ 𝐴 ∈ ℝ))
5949, 58syl5bb 272 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = (abs‘1) ↔ 𝐴 ∈ ℝ))
6047, 59sylibd 229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) = 0 → 𝐴 ∈ ℝ))
6160imp 393 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
62 pirp 24427 . . . . . . . . . . . 12 π ∈ ℝ+
63 modval 12871 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+) → (𝐴 mod π) = (𝐴 − (π · (⌊‘(𝐴 / π)))))
6461, 62, 63sylancl 574 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 mod π) = (𝐴 − (π · (⌊‘(𝐴 / π)))))
65 picn 24425 . . . . . . . . . . . . 13 π ∈ ℂ
66 pire 24424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 π ∈ ℝ
67 pipos 24426 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 < π
6866, 67gt0ne0ii 10764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 π ≠ 0
69 redivcl 10944 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ π ≠ 0) → (𝐴 / π) ∈ ℝ)
7066, 68, 69mp3an23 1564 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / π) ∈ ℝ)
7161, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 / π) ∈ ℝ)
7271flcld 12800 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (⌊‘(𝐴 / π)) ∈ ℤ)
7372zcnd 11683 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (⌊‘(𝐴 / π)) ∈ ℂ)
74 mulcl 10220 . . . . . . . . . . . . 13 ((π ∈ ℂ ∧ (⌊‘(𝐴 / π)) ∈ ℂ) → (π · (⌊‘(𝐴 / π))) ∈ ℂ)
7565, 73, 74sylancr 575 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (π · (⌊‘(𝐴 / π))) ∈ ℂ)
76 negsub 10529 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (π · (⌊‘(𝐴 / π))) ∈ ℂ) → (𝐴 + -(π · (⌊‘(𝐴 / π)))) = (𝐴 − (π · (⌊‘(𝐴 / π)))))
7775, 76syldan 579 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 + -(π · (⌊‘(𝐴 / π)))) = (𝐴 − (π · (⌊‘(𝐴 / π)))))
78 mulcom 10222 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π ∈ ℂ ∧ (⌊‘(𝐴 / π)) ∈ ℂ) → (π · (⌊‘(𝐴 / π))) = ((⌊‘(𝐴 / π)) · π))
7965, 73, 78sylancr 575 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (π · (⌊‘(𝐴 / π))) = ((⌊‘(𝐴 / π)) · π))
8079negeqd 10475 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → -(π · (⌊‘(𝐴 / π))) = -((⌊‘(𝐴 / π)) · π))
81 mulneg1 10666 . . . . . . . . . . . . . 14 (((⌊‘(𝐴 / π)) ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π) = -((⌊‘(𝐴 / π)) · π))
8273, 65, 81sylancl 574 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π) = -((⌊‘(𝐴 / π)) · π))
8380, 82eqtr4d 2808 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → -(π · (⌊‘(𝐴 / π))) = (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π))
8483oveq2d 6807 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 + -(π · (⌊‘(𝐴 / π)))) = (𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π)))
8564, 77, 843eqtr2d 2811 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 mod π) = (𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π)))
8685fveq2d 6334 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (sin‘(𝐴 mod π)) = (sin‘(𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π))))
8786fveq2d 6334 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))) = (abs‘(sin‘(𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π)))))
8872znegcld 11684 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → -(⌊‘(𝐴 / π)) ∈ ℤ)
89 abssinper 24484 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -(⌊‘(𝐴 / π)) ∈ ℤ) → (abs‘(sin‘(𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π)))) = (abs‘(sin‘𝐴)))
9088, 89syldan 579 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (abs‘(sin‘(𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π)))) = (abs‘(sin‘𝐴)))
91 simpr 471 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (sin‘𝐴) = 0)
9291fveq2d 6334 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (abs‘(sin‘𝐴)) = (abs‘0))
9387, 90, 923eqtrd 2809 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))) = (abs‘0))
94 abs0 14226 . . . . . . 7 (abs‘0) = 0
9593, 94syl6eq 2821 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))) = 0)
96 modcl 12873 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+) → (𝐴 mod π) ∈ ℝ)
9761, 62, 96sylancl 574 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 mod π) ∈ ℝ)
98 modlt 12880 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+) → (𝐴 mod π) < π)
9961, 62, 98sylancl 574 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 mod π) < π)
10097, 99jca 501 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → ((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod π) < π))
101100biantrurd 522 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (0 < (𝐴 mod π) ↔ (((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod π) < π) ∧ 0 < (𝐴 mod π))))
102 0re 10240 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
103 rexr 10285 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ*)
104 rexr 10285 . . . . . . . . . . . . 13 (π ∈ ℝ → π ∈ ℝ*)
105 elioo2 12414 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) ↔ ((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 mod π) ∧ (𝐴 mod π) < π)))
106103, 104, 105syl2an 583 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) ↔ ((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 mod π) ∧ (𝐴 mod π) < π)))
107102, 66, 106mp2an 672 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) ↔ ((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 mod π) ∧ (𝐴 mod π) < π))
108 3anan32 1082 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 mod π) ∧ (𝐴 mod π) < π) ↔ (((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod π) < π) ∧ 0 < (𝐴 mod π)))
109107, 108bitri 264 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) ↔ (((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod π) < π) ∧ 0 < (𝐴 mod π)))
110101, 109syl6bbr 278 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (0 < (𝐴 mod π) ↔ (𝐴 mod π) ∈ (0(,)π)))
111 sinq12gt0 24473 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) → 0 < (sin‘(𝐴 mod π)))
112 elioore 12403 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) → (𝐴 mod π) ∈ ℝ)
113112resincld 15072 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) → (sin‘(𝐴 mod π)) ∈ ℝ)
114 ltle 10326 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ (sin‘(𝐴 mod π)) ∈ ℝ) → (0 < (sin‘(𝐴 mod π)) → 0 ≤ (sin‘(𝐴 mod π))))
115102, 113, 114sylancr 575 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) → (0 < (sin‘(𝐴 mod π)) → 0 ≤ (sin‘(𝐴 mod π))))
116111, 115mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) → 0 ≤ (sin‘(𝐴 mod π)))
117113, 116absidd 14362 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) → (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))) = (sin‘(𝐴 mod π)))
118111, 117breqtrrd 4814 . . . . . . . . 9 ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) → 0 < (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))))
119110, 118syl6bi 243 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (0 < (𝐴 mod π) → 0 < (abs‘(sin‘(𝐴 mod π)))))
120 ltne 10334 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < (abs‘(sin‘(𝐴 mod π)))) → (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))) ≠ 0)
121102, 120mpan 670 . . . . . . . 8 (0 < (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))) → (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))) ≠ 0)
122119, 121syl6 35 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (0 < (𝐴 mod π) → (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))) ≠ 0))
123122necon2bd 2959 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → ((abs‘(sin‘(𝐴 mod π))) = 0 → ¬ 0 < (𝐴 mod π)))
12495, 123mpd 15 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → ¬ 0 < (𝐴 mod π))
125 modge0 12879 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝐴 mod π))
12661, 62, 125sylancl 574 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → 0 ≤ (𝐴 mod π))
127 leloe 10324 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod π) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 mod π) ↔ (0 < (𝐴 mod π) ∨ 0 = (𝐴 mod π))))
128102, 97, 127sylancr 575 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (0 ≤ (𝐴 mod π) ↔ (0 < (𝐴 mod π) ∨ 0 = (𝐴 mod π))))
129126, 128mpbid 222 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (0 < (𝐴 mod π) ∨ 0 = (𝐴 mod π)))
130129ord 853 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (¬ 0 < (𝐴 mod π) → 0 = (𝐴 mod π)))
131124, 130mpd 15 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → 0 = (𝐴 mod π))
132131eqcomd 2777 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 mod π) = 0)
133 mod0 12876 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod π) = 0 ↔ (𝐴 / π) ∈ ℤ))
13461, 62, 133sylancl 574 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → ((𝐴 mod π) = 0 ↔ (𝐴 / π) ∈ ℤ))
135132, 134mpbid 222 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 / π) ∈ ℤ)
136 divcan1 10894 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0) → ((𝐴 / π) · π) = 𝐴)
13765, 68, 136mp3an23 1564 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 / π) · π) = 𝐴)
138137fveq2d 6334 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘((𝐴 / π) · π)) = (sin‘𝐴))
139 sinkpi 24485 . . 3 ((𝐴 / π) ∈ ℤ → (sin‘((𝐴 / π) · π)) = 0)
140138, 139sylan9req 2826 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 / π) ∈ ℤ) → (sin‘𝐴) = 0)
141135, 140impbida 802 1 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) = 0 ↔ (𝐴 / π) ∈ ℤ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  wo 836  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943   class class class wbr 4786  cfv 6029  (class class class)co 6791  cc 10134  cr 10135  0cc0 10136  1c1 10137  ici 10138   + caddc 10139   · cmul 10141  *cxr 10273   < clt 10274  cle 10275  cmin 10466  -cneg 10467   / cdiv 10884  2c2 11270  cz 11577  +crp 12028  (,)cioo 12373  cfl 12792   mod cmo 12869  abscabs 14175  expce 14991  sincsin 14993  πcpi 14996
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-inf2 8700  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213  ax-pre-sup 10214  ax-addf 10215  ax-mulf 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-isom 6038  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-of 7042  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-supp 7445  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-2o 7712  df-oadd 7715  df-er 7894  df-map 8009  df-pm 8010  df-ixp 8061  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-fsupp 8430  df-fi 8471  df-sup 8502  df-inf 8503  df-oi 8569  df-card 8963  df-cda 9190  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-div 10885  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-4 11281  df-5 11282  df-6 11283  df-7 11284  df-8 11285  df-9 11286  df-n0 11493  df-z 11578  df-dec 11694  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12144  df-xadd 12145  df-xmul 12146  df-ioo 12377  df-ioc 12378  df-ico 12379  df-icc 12380  df-fz 12527  df-fzo 12667  df-fl 12794  df-mod 12870  df-seq 13002  df-exp 13061  df-fac 13258  df-bc 13287  df-hash 13315  df-shft 14008  df-cj 14040  df-re 14041  df-im 14042  df-sqrt 14176  df-abs 14177  df-limsup 14403  df-clim 14420  df-rlim 14421  df-sum 14618  df-ef 14997  df-sin 14999  df-cos 15000  df-pi 15002  df-struct 16059  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-sets 16064  df-ress 16065  df-plusg 16155  df-mulr 16156  df-starv 16157  df-sca 16158  df-vsca 16159  df-ip 16160  df-tset 16161  df-ple 16162  df-ds 16165  df-unif 16166  df-hom 16167  df-cco 16168  df-rest 16284  df-topn 16285  df-0g 16303  df-gsum 16304  df-topgen 16305  df-pt 16306  df-prds 16309  df-xrs 16363  df-qtop 16368  df-imas 16369  df-xps 16371  df-mre 16447  df-mrc 16448  df-acs 16450  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-psmet 19946  df-xmet 19947  df-met 19948  df-bl 19949  df-mopn 19950  df-fbas 19951  df-fg 19952  df-cnfld 19955  df-top 20912  df-topon 20929  df-topsp 20951  df-bases 20964  df-cld 21037  df-ntr 21038  df-cls 21039  df-nei 21116  df-lp 21154  df-perf 21155  df-cn 21245  df-cnp 21246  df-haus 21333  df-tx 21579  df-hmeo 21772  df-fil 21863  df-fm 21955  df-flim 21956  df-flf 21957  df-xms 22338  df-ms 22339  df-tms 22340  df-cncf 22894  df-limc 23843  df-dv 23844
This theorem is referenced by:  coseq1  24488  efeq1  24489  cosne0  24490  logf1o2  24610  coseq0  40586  sinaover2ne0  40590  dirker2re  40819  dirkerdenne0  40820  dirkertrigeqlem3  40827  dirkertrigeq  40828  dirkercncflem1  40830  dirkercncflem2  40831  dirkercncflem4  40833  fourierdlem103  40936  fourierdlem104  40937
  Copyright terms: Public domain W3C validator