Theorem sineq0 26373

Description: A complex number whose sine is zero is an integer multiple of π. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sineq0	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) = 0 ↔ (𝐴 / π) ∈ ℤ))

Proof of Theorem sineq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sinval 16072	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))
2	1	eqeq1d 2733	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) = 0 ↔ (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)) = 0))
3		ax-icn 11175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ i ∈ ℂ
4		mulcl 11200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
5	3, 4	mpan 687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
6		efcl 16033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
8		negicn 11468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ -i ∈ ℂ
9		mulcl 11200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((-i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
10	8, 9	mpan 687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
11		efcl 16033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((-i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
13	7, 12	subcld 11578	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ)
14		2mulicn 12442	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 · i) ∈ ℂ
15		2muline0 12443	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 · i) ≠ 0
16		diveq0 11889	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ ∧ (2 · i) ∈ ℂ ∧ (2 · i) ≠ 0) → ((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)) = 0 ↔ ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) = 0))
17	14, 15, 16	mp3an23 1452	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ → ((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)) = 0 ↔ ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) = 0))
18	13, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)) = 0 ↔ ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) = 0))
19	7, 12	subeq0ad 11588	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) = 0 ↔ (exp‘(i · 𝐴)) = (exp‘(-i · 𝐴))))
20	2, 18, 19	3bitrd 305	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) = 0 ↔ (exp‘(i · 𝐴)) = (exp‘(-i · 𝐴))))
21		oveq2 7420	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((exp‘(i · 𝐴)) = (exp‘(-i · 𝐴)) → ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴))))
22		2cn 12294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 2 ∈ ℂ
23		mul12 11386	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · (2 · 𝐴)) = (2 · (i · 𝐴)))
24	3, 22, 23	mp3an12 1450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (2 · 𝐴)) = (2 · (i · 𝐴)))
25	5	2timesd 12462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (i · 𝐴)) = ((i · 𝐴) + (i · 𝐴)))
26	24, 25	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (2 · 𝐴)) = ((i · 𝐴) + (i · 𝐴)))
27	26	fveq2d 6895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (2 · 𝐴))) = (exp‘((i · 𝐴) + (i · 𝐴))))
28		efadd 16044	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (exp‘((i · 𝐴) + (i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))))
29	5, 5, 28	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘((i · 𝐴) + (i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))))
30	27, 29	eqtr2d 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))) = (exp‘(i · (2 · 𝐴))))
31		efadd 16044	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (-i · 𝐴) ∈ ℂ) → (exp‘((i · 𝐴) + (-i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴))))
32	5, 10, 31	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘((i · 𝐴) + (-i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴))))
33	3	negidi 11536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (i + -i) = 0
34	33	oveq1i 7422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((i + -i) · 𝐴) = (0 · 𝐴)
35		adddir 11212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ -i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((i + -i) · 𝐴) = ((i · 𝐴) + (-i · 𝐴)))
36	3, 8, 35	mp3an12 1450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i + -i) · 𝐴) = ((i · 𝐴) + (-i · 𝐴)))
37		mul02 11399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)
38	34, 36, 37	3eqtr3a 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) + (-i · 𝐴)) = 0)
39	38	fveq2d 6895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘((i · 𝐴) + (-i · 𝐴))) = (exp‘0))
40		ef0 16041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (exp‘0) = 1
41	39, 40	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘((i · 𝐴) + (-i · 𝐴))) = 1)
42	32, 41	eqtr3d 2773	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴))) = 1)
43	30, 42	eqeq12d 2747	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴))) ↔ (exp‘(i · (2 · 𝐴))) = 1))
44		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((exp‘(i · (2 · 𝐴))) = 1 → (abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = (abs‘1))
45	43, 44	syl6bi 253	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴))) → (abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = (abs‘1)))
46	21, 45	syl5 34	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) = (exp‘(-i · 𝐴)) → (abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = (abs‘1)))
47	20, 46	sylbid 239	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) = 0 → (abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = (abs‘1)))
48		abs1 15251	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (abs‘1) = 1
49	48	eqeq2i 2744	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = (abs‘1) ↔ (abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = 1)
50		2re 12293	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℝ
51		2ne0 12323	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ≠ 0
52		mulre 15075	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 2 ≠ 0) → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (2 · 𝐴) ∈ ℝ))
53	50, 51, 52	mp3an23 1452	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (2 · 𝐴) ∈ ℝ))
54		mulcl 11200	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
55	22, 54	mpan 687	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
56		absefib 16148	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 · 𝐴) ∈ ℂ → ((2 · 𝐴) ∈ ℝ ↔ (abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = 1))
57	55, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · 𝐴) ∈ ℝ ↔ (abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = 1))
58	53, 57	bitr2d 280	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = 1 ↔ 𝐴 ∈ ℝ))
59	49, 58	bitrid 283	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = (abs‘1) ↔ 𝐴 ∈ ℝ))
60	47, 59	sylibd 238	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) = 0 → 𝐴 ∈ ℝ))
61	60	imp 406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
62		pirp 26311	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ π ∈ ℝ+
63		modval 13843	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+) → (𝐴 mod π) = (𝐴 − (π · (⌊‘(𝐴 / π)))))
64	61, 62, 63	sylancl 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 mod π) = (𝐴 − (π · (⌊‘(𝐴 / π)))))
65		picn 26309	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ∈ ℂ
66		pire 26308	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ π ∈ ℝ
67		pipos 26310	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 < π
68	66, 67	gt0ne0ii 11757	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ π ≠ 0
69		redivcl 11940	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ π ≠ 0) → (𝐴 / π) ∈ ℝ)
70	66, 68, 69	mp3an23 1452	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / π) ∈ ℝ)
71	61, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 / π) ∈ ℝ)
72	71	flcld 13770	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (⌊‘(𝐴 / π)) ∈ ℤ)
73	72	zcnd 12674	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (⌊‘(𝐴 / π)) ∈ ℂ)
74		mulcl 11200	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((π ∈ ℂ ∧ (⌊‘(𝐴 / π)) ∈ ℂ) → (π · (⌊‘(𝐴 / π))) ∈ ℂ)
75	65, 73, 74	sylancr 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (π · (⌊‘(𝐴 / π))) ∈ ℂ)
76		negsub 11515	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (π · (⌊‘(𝐴 / π))) ∈ ℂ) → (𝐴 + -(π · (⌊‘(𝐴 / π)))) = (𝐴 − (π · (⌊‘(𝐴 / π)))))
77	75, 76	syldan 590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 + -(π · (⌊‘(𝐴 / π)))) = (𝐴 − (π · (⌊‘(𝐴 / π)))))
78		mulcom 11202	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((π ∈ ℂ ∧ (⌊‘(𝐴 / π)) ∈ ℂ) → (π · (⌊‘(𝐴 / π))) = ((⌊‘(𝐴 / π)) · π))
79	65, 73, 78	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (π · (⌊‘(𝐴 / π))) = ((⌊‘(𝐴 / π)) · π))
80	79	negeqd 11461	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → -(π · (⌊‘(𝐴 / π))) = -((⌊‘(𝐴 / π)) · π))
81		mulneg1 11657	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((⌊‘(𝐴 / π)) ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π) = -((⌊‘(𝐴 / π)) · π))
82	73, 65, 81	sylancl 585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π) = -((⌊‘(𝐴 / π)) · π))
83	80, 82	eqtr4d 2774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → -(π · (⌊‘(𝐴 / π))) = (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π))
84	83	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 + -(π · (⌊‘(𝐴 / π)))) = (𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π)))
85	64, 77, 84	3eqtr2d 2777	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 mod π) = (𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π)))
86	85	fveq2d 6895	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (sin‘(𝐴 mod π)) = (sin‘(𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π))))
87	86	fveq2d 6895	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))) = (abs‘(sin‘(𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π)))))
88	72	znegcld 12675	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → -(⌊‘(𝐴 / π)) ∈ ℤ)
89		abssinper 26370	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -(⌊‘(𝐴 / π)) ∈ ℤ) → (abs‘(sin‘(𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π)))) = (abs‘(sin‘𝐴)))
90	88, 89	syldan 590	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (abs‘(sin‘(𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π)))) = (abs‘(sin‘𝐴)))
91		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (sin‘𝐴) = 0)
92	91	fveq2d 6895	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (abs‘(sin‘𝐴)) = (abs‘0))
93	87, 90, 92	3eqtrd 2775	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))) = (abs‘0))
94		abs0 15239	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘0) = 0
95	93, 94	eqtrdi 2787	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))) = 0)
96		modcl 13845	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+) → (𝐴 mod π) ∈ ℝ)
97	61, 62, 96	sylancl 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 mod π) ∈ ℝ)
98		modlt 13852	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+) → (𝐴 mod π) < π)
99	61, 62, 98	sylancl 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 mod π) < π)
100	97, 99	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → ((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod π) < π))
101	100	biantrurd 532	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (0 < (𝐴 mod π) ↔ (((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod π) < π) ∧ 0 < (𝐴 mod π))))
102		0re 11223	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ
103		rexr 11267	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ*)
104		rexr 11267	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (π ∈ ℝ → π ∈ ℝ*)
105		elioo2 13372	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) ↔ ((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 mod π) ∧ (𝐴 mod π) < π)))
106	103, 104, 105	syl2an 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) ↔ ((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 mod π) ∧ (𝐴 mod π) < π)))
107	102, 66, 106	mp2an 689	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) ↔ ((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 mod π) ∧ (𝐴 mod π) < π))
108		3anan32 1096	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 mod π) ∧ (𝐴 mod π) < π) ↔ (((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod π) < π) ∧ 0 < (𝐴 mod π)))
109	107, 108	bitri 275	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) ↔ (((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod π) < π) ∧ 0 < (𝐴 mod π)))
110	101, 109	bitr4di 289	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (0 < (𝐴 mod π) ↔ (𝐴 mod π) ∈ (0(,)π)))
111		sinq12gt0 26357	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) → 0 < (sin‘(𝐴 mod π)))
112		elioore 13361	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) → (𝐴 mod π) ∈ ℝ)
113	112	resincld 16093	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) → (sin‘(𝐴 mod π)) ∈ ℝ)
114		ltle 11309	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (sin‘(𝐴 mod π)) ∈ ℝ) → (0 < (sin‘(𝐴 mod π)) → 0 ≤ (sin‘(𝐴 mod π))))
115	102, 113, 114	sylancr 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) → (0 < (sin‘(𝐴 mod π)) → 0 ≤ (sin‘(𝐴 mod π))))
116	111, 115	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) → 0 ≤ (sin‘(𝐴 mod π)))
117	113, 116	absidd 15376	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) → (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))) = (sin‘(𝐴 mod π)))
118	111, 117	breqtrrd 5176	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) → 0 < (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))))
119	110, 118	syl6bi 253	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (0 < (𝐴 mod π) → 0 < (abs‘(sin‘(𝐴 mod π)))))
120		ltne 11318	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < (abs‘(sin‘(𝐴 mod π)))) → (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))) ≠ 0)
121	102, 120	mpan 687	. . . . . . . 8 ⊢ (0 < (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))) → (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))) ≠ 0)
122	119, 121	syl6 35	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (0 < (𝐴 mod π) → (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))) ≠ 0))
123	122	necon2bd 2955	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → ((abs‘(sin‘(𝐴 mod π))) = 0 → ¬ 0 < (𝐴 mod π)))
124	95, 123	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → ¬ 0 < (𝐴 mod π))
125		modge0 13851	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝐴 mod π))
126	61, 62, 125	sylancl 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → 0 ≤ (𝐴 mod π))
127		leloe 11307	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod π) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 mod π) ↔ (0 < (𝐴 mod π) ∨ 0 = (𝐴 mod π))))
128	102, 97, 127	sylancr 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (0 ≤ (𝐴 mod π) ↔ (0 < (𝐴 mod π) ∨ 0 = (𝐴 mod π))))
129	126, 128	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (0 < (𝐴 mod π) ∨ 0 = (𝐴 mod π)))
130	129	ord 861	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (¬ 0 < (𝐴 mod π) → 0 = (𝐴 mod π)))
131	124, 130	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → 0 = (𝐴 mod π))
132	131	eqcomd 2737	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 mod π) = 0)
133		mod0 13848	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod π) = 0 ↔ (𝐴 / π) ∈ ℤ))
134	61, 62, 133	sylancl 585	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → ((𝐴 mod π) = 0 ↔ (𝐴 / π) ∈ ℤ))
135	132, 134	mpbid 231	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 / π) ∈ ℤ)
136		divcan1 11888	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0) → ((𝐴 / π) · π) = 𝐴)
137	65, 68, 136	mp3an23 1452	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 / π) · π) = 𝐴)
138	137	fveq2d 6895	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘((𝐴 / π) · π)) = (sin‘𝐴))
139		sinkpi 26371	. . 3 ⊢ ((𝐴 / π) ∈ ℤ → (sin‘((𝐴 / π) · π)) = 0)
140	138, 139	sylan9req 2792	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 / π) ∈ ℤ) → (sin‘𝐴) = 0)
141	135, 140	impbida 798	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) = 0 ↔ (𝐴 / π) ∈ ℤ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  ℂcc 11114  ℝcr 11115  0cc0 11116  1c1 11117  ici 11118   + caddc 11119   · cmul 11121  ℝ^*cxr 11254   < clt 11255   ≤ cle 11256   − cmin 11451  -cneg 11452   / cdiv 11878  2c2 12274  ℤcz 12565  ℝ⁺crp 12981  (,)cioo 13331  ⌊cfl 13762   mod cmo 13841  abscabs 15188  expce 16012  sincsin 16014  πcpi 16017

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194  ax-addf 11195

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-fi 9412  df-sup 9443  df-inf 9444  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-ioo 13335  df-ioc 13336  df-ico 13337  df-icc 13338  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-fl 13764  df-mod 13842  df-seq 13974  df-exp 14035  df-fac 14241  df-bc 14270  df-hash 14298  df-shft 15021  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-limsup 15422  df-clim 15439  df-rlim 15440  df-sum 15640  df-ef 16018  df-sin 16020  df-cos 16021  df-pi 16023  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-rest 17375  df-topn 17376  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-topgen 17396  df-pt 17397  df-prds 17400  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-mulg 18994  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-psmet 21225  df-xmet 21226  df-met 21227  df-bl 21228  df-mopn 21229  df-fbas 21230  df-fg 21231  df-cnfld 21234  df-top 22716  df-topon 22733  df-topsp 22755  df-bases 22769  df-cld 22843  df-ntr 22844  df-cls 22845  df-nei 22922  df-lp 22960  df-perf 22961  df-cn 23051  df-cnp 23052  df-haus 23139  df-tx 23386  df-hmeo 23579  df-fil 23670  df-fm 23762  df-flim 23763  df-flf 23764  df-xms 24146  df-ms 24147  df-tms 24148  df-cncf 24718  df-limc 25715  df-dv 25716

This theorem is referenced by:  coseq1  26374  efeq1  26377  cosne0  26378  logf1o2  26498  coseq0  45041  sinaover2ne0  45045  dirker2re  45269  dirkerdenne0  45270  dirkertrigeqlem3  45277  dirkertrigeq  45278  dirkercncflem1  45280  dirkercncflem2  45281  dirkercncflem4  45283  fourierdlem103  45386  fourierdlem104  45387