Theorem sineq0 26718

Description: A complex number whose sine is zero is an integer multiple of π. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sineq0	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) = 0 ↔ (𝐴 / π) ∈ ℤ))

Proof of Theorem sineq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sinval 16195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))
2	1	eqeq1d 2767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) = 0 ↔ (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)) = 0))
3		ax-icn 11170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ i ∈ ℂ
4		mulcl 11195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
5	3, 4	mpan 703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
6		efcl 16153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
7	5, 6	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
8		negicn 11469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ -i ∈ ℂ
9		mulcl 11195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((-i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
10	8, 9	mpan 703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
11		efcl 16153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((-i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
12	10, 11	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
13	7, 12	subcld 11580	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ)
14		2mulicn 12479	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 · i) ∈ ℂ
15		2muline0 12480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 · i) ≠ 0
16		diveq0 11893	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ ∧ (2 · i) ∈ ℂ ∧ (2 · i) ≠ 0) → ((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)) = 0 ↔ ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) = 0))
17	14, 15, 16	mp3an23 1482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ → ((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)) = 0 ↔ ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) = 0))
18	13, 17	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)) = 0 ↔ ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) = 0))
19	7, 12	subeq0ad 11590	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) = 0 ↔ (exp‘(i · 𝐴)) = (exp‘(-i · 𝐴))))
20	2, 18, 19	3bitrd 308	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) = 0 ↔ (exp‘(i · 𝐴)) = (exp‘(-i · 𝐴))))
21		oveq2 7424	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((exp‘(i · 𝐴)) = (exp‘(-i · 𝐴)) → ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴))))
22		2cn 12327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 2 ∈ ℂ
23		mul12 11386	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · (2 · 𝐴)) = (2 · (i · 𝐴)))
24	3, 22, 23	mp3an12 1480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (2 · 𝐴)) = (2 · (i · 𝐴)))
25	5	2timesd 12498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (i · 𝐴)) = ((i · 𝐴) + (i · 𝐴)))
26	24, 25	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (2 · 𝐴)) = ((i · 𝐴) + (i · 𝐴)))
27	26	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (2 · 𝐴))) = (exp‘((i · 𝐴) + (i · 𝐴))))
28		efadd 16165	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (exp‘((i · 𝐴) + (i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))))
29	5, 5, 28	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘((i · 𝐴) + (i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))))
30	27, 29	eqtr2d 2801	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))) = (exp‘(i · (2 · 𝐴))))
31		efadd 16165	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (-i · 𝐴) ∈ ℂ) → (exp‘((i · 𝐴) + (-i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴))))
32	5, 10, 31	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘((i · 𝐴) + (-i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴))))
33	3	negidi 11538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (i + -i) = 0
34	33	oveq1i 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((i + -i) · 𝐴) = (0 · 𝐴)
35		adddir 11208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ -i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((i + -i) · 𝐴) = ((i · 𝐴) + (-i · 𝐴)))
36	3, 8, 35	mp3an12 1480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i + -i) · 𝐴) = ((i · 𝐴) + (-i · 𝐴)))
37		mul02 11399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)
38	34, 36, 37	3eqtr3a 2824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) + (-i · 𝐴)) = 0)
39	38	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘((i · 𝐴) + (-i · 𝐴))) = (exp‘0))
40		ef0 16162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (exp‘0) = 1
41	39, 40	eqtrdi 2816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘((i · 𝐴) + (-i · 𝐴))) = 1)
42	32, 41	eqtr3d 2802	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴))) = 1)
43	30, 42	eqeq12d 2781	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴))) ↔ (exp‘(i · (2 · 𝐴))) = 1))
44		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((exp‘(i · (2 · 𝐴))) = 1 → (abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = (abs‘1))
45	43, 44	biimtrdi 256	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴))) → (abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = (abs‘1)))
46	21, 45	syl5 35	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) = (exp‘(-i · 𝐴)) → (abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = (abs‘1)))
47	20, 46	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) = 0 → (abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = (abs‘1)))
48		abs1 15367	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (abs‘1) = 1
49	48	eqeq2i 2778	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = (abs‘1) ↔ (abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = 1)
50		2re 12326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℝ
51		2ne0 12358	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ≠ 0
52		mulre 15191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 2 ≠ 0) → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (2 · 𝐴) ∈ ℝ))
53	50, 51, 52	mp3an23 1482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (2 · 𝐴) ∈ ℝ))
54		mulcl 11195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
55	22, 54	mpan 703	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
56		absefib 16271	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 · 𝐴) ∈ ℂ → ((2 · 𝐴) ∈ ℝ ↔ (abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = 1))
57	55, 56	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · 𝐴) ∈ ℝ ↔ (abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = 1))
58	53, 57	bitr2d 283	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = 1 ↔ 𝐴 ∈ ℝ))
59	49, 58	bitrid 286	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = (abs‘1) ↔ 𝐴 ∈ ℝ))
60	47, 59	sylibd 242	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) = 0 → 𝐴 ∈ ℝ))
61	60	imp 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
62		pirp 26655	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ π ∈ ℝ+
63		modval 13917	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+) → (𝐴 mod π) = (𝐴 − (π · (⌊‘(𝐴 / π)))))
64	61, 62, 63	sylancl 598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 mod π) = (𝐴 − (π · (⌊‘(𝐴 / π)))))
65		picn 26650	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ∈ ℂ
66		pire 26648	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ π ∈ ℝ
67		pipos 26652	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 < π
68	66, 67	gt0ne0ii 11761	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ π ≠ 0
69		redivcl 11945	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ π ≠ 0) → (𝐴 / π) ∈ ℝ)
70	66, 68, 69	mp3an23 1482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / π) ∈ ℝ)
71	61, 70	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 / π) ∈ ℝ)
72	71	flcld 13844	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (⌊‘(𝐴 / π)) ∈ ℤ)
73	72	zcnd 12712	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (⌊‘(𝐴 / π)) ∈ ℂ)
74		mulcl 11195	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((π ∈ ℂ ∧ (⌊‘(𝐴 / π)) ∈ ℂ) → (π · (⌊‘(𝐴 / π))) ∈ ℂ)
75	65, 73, 74	sylancr 599	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (π · (⌊‘(𝐴 / π))) ∈ ℂ)
76		negsub 11517	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (π · (⌊‘(𝐴 / π))) ∈ ℂ) → (𝐴 + -(π · (⌊‘(𝐴 / π)))) = (𝐴 − (π · (⌊‘(𝐴 / π)))))
77	75, 76	syldan 603	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 + -(π · (⌊‘(𝐴 / π)))) = (𝐴 − (π · (⌊‘(𝐴 / π)))))
78		mulcom 11197	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((π ∈ ℂ ∧ (⌊‘(𝐴 / π)) ∈ ℂ) → (π · (⌊‘(𝐴 / π))) = ((⌊‘(𝐴 / π)) · π))
79	65, 73, 78	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (π · (⌊‘(𝐴 / π))) = ((⌊‘(𝐴 / π)) · π))
80	79	negeqd 11462	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → -(π · (⌊‘(𝐴 / π))) = -((⌊‘(𝐴 / π)) · π))
81		mulneg1 11661	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((⌊‘(𝐴 / π)) ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π) = -((⌊‘(𝐴 / π)) · π))
82	73, 65, 81	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π) = -((⌊‘(𝐴 / π)) · π))
83	80, 82	eqtr4d 2803	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → -(π · (⌊‘(𝐴 / π))) = (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π))
84	83	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 + -(π · (⌊‘(𝐴 / π)))) = (𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π)))
85	64, 77, 84	3eqtr2d 2806	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 mod π) = (𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π)))
86	85	fveq2d 6889	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (sin‘(𝐴 mod π)) = (sin‘(𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π))))
87	86	fveq2d 6889	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))) = (abs‘(sin‘(𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π)))))
88	72	znegcld 12713	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → -(⌊‘(𝐴 / π)) ∈ ℤ)
89		abssinper 26715	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -(⌊‘(𝐴 / π)) ∈ ℤ) → (abs‘(sin‘(𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π)))) = (abs‘(sin‘𝐴)))
90	88, 89	syldan 603	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (abs‘(sin‘(𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π)))) = (abs‘(sin‘𝐴)))
91		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (sin‘𝐴) = 0)
92	91	fveq2d 6889	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (abs‘(sin‘𝐴)) = (abs‘0))
93	87, 90, 92	3eqtrd 2804	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))) = (abs‘0))
94		abs0 15355	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘0) = 0
95	93, 94	eqtrdi 2816	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))) = 0)
96		modcl 13919	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+) → (𝐴 mod π) ∈ ℝ)
97	61, 62, 96	sylancl 598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 mod π) ∈ ℝ)
98		modlt 13926	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+) → (𝐴 mod π) < π)
99	61, 62, 98	sylancl 598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 mod π) < π)
100	97, 99	jca 521	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → ((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod π) < π))
101	100	biantrurd 542	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (0 < (𝐴 mod π) ↔ (((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod π) < π) ∧ 0 < (𝐴 mod π))))
102		0re 11221	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ
103		rexr 11266	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ*)
104		rexr 11266	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (π ∈ ℝ → π ∈ ℝ*)
105		elioo2 13424	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) ↔ ((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 mod π) ∧ (𝐴 mod π) < π)))
106	103, 104, 105	syl2an 608	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) ↔ ((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 mod π) ∧ (𝐴 mod π) < π)))
107	102, 66, 106	mp2an 705	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) ↔ ((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 mod π) ∧ (𝐴 mod π) < π))
108		3anan32 1113	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 mod π) ∧ (𝐴 mod π) < π) ↔ (((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod π) < π) ∧ 0 < (𝐴 mod π)))
109	107, 108	bitri 278	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) ↔ (((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod π) < π) ∧ 0 < (𝐴 mod π)))
110	101, 109	bitr4di 292	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (0 < (𝐴 mod π) ↔ (𝐴 mod π) ∈ (0(,)π)))
111		sinq12gt0 26701	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) → 0 < (sin‘(𝐴 mod π)))
112		elioore 13413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) → (𝐴 mod π) ∈ ℝ)
113	112	resincld 16216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) → (sin‘(𝐴 mod π)) ∈ ℝ)
114		ltle 11309	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (sin‘(𝐴 mod π)) ∈ ℝ) → (0 < (sin‘(𝐴 mod π)) → 0 ≤ (sin‘(𝐴 mod π))))
115	102, 113, 114	sylancr 599	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) → (0 < (sin‘(𝐴 mod π)) → 0 ≤ (sin‘(𝐴 mod π))))
116	111, 115	mpd 16	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) → 0 ≤ (sin‘(𝐴 mod π)))
117	113, 116	absidd 15493	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) → (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))) = (sin‘(𝐴 mod π)))
118	111, 117	breqtrrd 5141	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) → 0 < (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))))
119	110, 118	biimtrdi 256	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (0 < (𝐴 mod π) → 0 < (abs‘(sin‘(𝐴 mod π)))))
120		ltne 11318	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < (abs‘(sin‘(𝐴 mod π)))) → (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))) ≠ 0)
121	102, 120	mpan 703	. . . . . . . 8 ⊢ (0 < (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))) → (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))) ≠ 0)
122	119, 121	syl6 36	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (0 < (𝐴 mod π) → (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))) ≠ 0))
123	122	necon2bd 2976	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → ((abs‘(sin‘(𝐴 mod π))) = 0 → ¬ 0 < (𝐴 mod π)))
124	95, 123	mpd 16	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → ¬ 0 < (𝐴 mod π))
125		modge0 13925	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝐴 mod π))
126	61, 62, 125	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → 0 ≤ (𝐴 mod π))
127		leloe 11307	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod π) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 mod π) ↔ (0 < (𝐴 mod π) ∨ 0 = (𝐴 mod π))))
128	102, 97, 127	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (0 ≤ (𝐴 mod π) ↔ (0 < (𝐴 mod π) ∨ 0 = (𝐴 mod π))))
129	126, 128	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (0 < (𝐴 mod π) ∨ 0 = (𝐴 mod π)))
130	129	ord 878	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (¬ 0 < (𝐴 mod π) → 0 = (𝐴 mod π)))
131	124, 130	mpd 16	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → 0 = (𝐴 mod π))
132	131	eqcomd 2771	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 mod π) = 0)
133		mod0 13922	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod π) = 0 ↔ (𝐴 / π) ∈ ℤ))
134	61, 62, 133	sylancl 598	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → ((𝐴 mod π) = 0 ↔ (𝐴 / π) ∈ ℤ))
135	132, 134	mpbid 235	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 / π) ∈ ℤ)
136		divcan1 11892	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0) → ((𝐴 / π) · π) = 𝐴)
137	65, 68, 136	mp3an23 1482	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 / π) · π) = 𝐴)
138	137	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘((𝐴 / π) · π)) = (sin‘𝐴))
139		sinkpi 26716	. . 3 ⊢ ((𝐴 / π) ∈ ℤ → (sin‘((𝐴 / π) · π)) = 0)
140	138, 139	sylan9req 2821	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 / π) ∈ ℤ) → (sin‘𝐴) = 0)
141	135, 140	impbida 813	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) = 0 ↔ (𝐴 / π) ∈ ℤ))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  ℂcc 11109  ℝcr 11110  0cc0 11111  1c1 11112  ici 11113   + caddc 11114   · cmul 11116  ℝ^*cxr 11253   < clt 11254   ≤ cle 11255   − cmin 11452  -cneg 11453   / cdiv 11882  2c2 12306  ℤcz 12602  ℝ⁺crp 13027  (,)cioo 13383  ⌊cfl 13836   mod cmo 13915  abscabs 15304  expce 16132  sincsin 16134  πcpi 16137

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-inf2 9613  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189  ax-addf 11190

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7680  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9325  df-fi 9374  df-sup 9405  df-inf 9406  df-oi 9475  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-z 12603  df-dec 12723  df-uz 12874  df-q 12984  df-rp 13028  df-xneg 13148  df-xadd 13149  df-xmul 13150  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13547  df-fzo 13695  df-fl 13838  df-mod 13916  df-seq 14051  df-exp 14111  df-fac 14323  df-bc 14352  df-hash 14380  df-shft 15123  df-cj 15169  df-re 15170  df-im 15171  df-sqrt 15305  df-abs 15306  df-limsup 15541  df-clim 15558  df-rlim 15559  df-sum 15757  df-ef 16138  df-sin 16140  df-cos 16141  df-pi 16143  df-struct 17224  df-sets 17241  df-slot 17259  df-ndx 17271  df-base 17287  df-ress 17308  df-plusg 17340  df-mulr 17341  df-starv 17342  df-sca 17343  df-vsca 17344  df-ip 17345  df-tset 17346  df-ple 17347  df-ds 17349  df-unif 17350  df-hom 17351  df-cco 17352  df-rest 17492  df-topn 17493  df-0g 17511  df-gsum 17512  df-topgen 17513  df-pt 17514  df-prds 17517  df-xrs 17573  df-qtop 17578  df-imas 17579  df-xps 17581  df-mre 17655  df-mrc 17656  df-acs 17658  df-mgm 18715  df-sgrp 18798  df-mnd 18814  df-submnd 18865  df-mulg 19157  df-cntz 19410  df-cmn 19875  df-psmet 21543  df-xmet 21544  df-met 21545  df-bl 21546  df-mopn 21547  df-fbas 21548  df-fg 21549  df-cnfld 21552  df-top 23080  df-topon 23097  df-topsp 23119  df-bases 23132  df-cld 23205  df-ntr 23206  df-cls 23207  df-nei 23284  df-lp 23322  df-perf 23323  df-cn 23413  df-cnp 23414  df-haus 23501  df-tx 23748  df-hmeo 23941  df-fil 24032  df-fm 24124  df-flim 24125  df-flf 24126  df-xms 24506  df-ms 24507  df-tms 24508  df-cncf 25066  df-limc 26054  df-dv 26055

This theorem is used by:  coseq1  26719  efeq1  26722  cosne0  26723  logf1o2  26844  coseq0  46611  sinaover2ne0  46615  dirker2re  46839  dirkerdenne0  46840  dirkertrigeqlem3  46847  dirkertrigeq  46848  dirkercncflem1  46850  dirkercncflem2  46851  dirkercncflem4  46853  fourierdlem103  46956  fourierdlem104  46957