MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sineq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sineq0 24565
Description: A complex number whose sine is zero is an integer multiple of π. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
sineq0 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) = 0 ↔ (𝐴 / π) ∈ ℤ))

Proof of Theorem sineq0
StepHypRef Expression
1 sinval 15136 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))
21eqeq1d 2767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) = 0 ↔ (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)) = 0))
3 ax-icn 10248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 i ∈ ℂ
4 mulcl 10273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
53, 4mpan 681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
6 efcl 15097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
75, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
8 negicn 10536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 -i ∈ ℂ
9 mulcl 10273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((-i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
108, 9mpan 681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ ℂ → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
11 efcl 15097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((-i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
137, 12subcld 10646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ)
14 2mulicn 11501 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 · i) ∈ ℂ
15 2muline0 11502 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 · i) ≠ 0
16 diveq0 10949 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ ∧ (2 · i) ∈ ℂ ∧ (2 · i) ≠ 0) → ((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)) = 0 ↔ ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) = 0))
1714, 15, 16mp3an23 1577 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ → ((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)) = 0 ↔ ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) = 0))
1813, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)) = 0 ↔ ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) = 0))
197, 12subeq0ad 10656 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) = 0 ↔ (exp‘(i · 𝐴)) = (exp‘(-i · 𝐴))))
202, 18, 193bitrd 296 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) = 0 ↔ (exp‘(i · 𝐴)) = (exp‘(-i · 𝐴))))
21 oveq2 6850 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((exp‘(i · 𝐴)) = (exp‘(-i · 𝐴)) → ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴))))
22 2cn 11347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ ℂ
23 mul12 10456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((i ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · (2 · 𝐴)) = (2 · (i · 𝐴)))
243, 22, 23mp3an12 1575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (2 · 𝐴)) = (2 · (i · 𝐴)))
2552timesd 11521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (i · 𝐴)) = ((i · 𝐴) + (i · 𝐴)))
2624, 25eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (2 · 𝐴)) = ((i · 𝐴) + (i · 𝐴)))
2726fveq2d 6379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (2 · 𝐴))) = (exp‘((i · 𝐴) + (i · 𝐴))))
28 efadd 15108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (exp‘((i · 𝐴) + (i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))))
295, 5, 28syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘((i · 𝐴) + (i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))))
3027, 29eqtr2d 2800 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))) = (exp‘(i · (2 · 𝐴))))
31 efadd 15108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (-i · 𝐴) ∈ ℂ) → (exp‘((i · 𝐴) + (-i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴))))
325, 10, 31syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘((i · 𝐴) + (-i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴))))
333negidi 10604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (i + -i) = 0
3433oveq1i 6852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((i + -i) · 𝐴) = (0 · 𝐴)
35 adddir 10284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((i ∈ ℂ ∧ -i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((i + -i) · 𝐴) = ((i · 𝐴) + (-i · 𝐴)))
363, 8, 35mp3an12 1575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴 ∈ ℂ → ((i + -i) · 𝐴) = ((i · 𝐴) + (-i · 𝐴)))
37 mul02 10468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)
3834, 36, 373eqtr3a 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) + (-i · 𝐴)) = 0)
3938fveq2d 6379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘((i · 𝐴) + (-i · 𝐴))) = (exp‘0))
40 ef0 15105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (exp‘0) = 1
4139, 40syl6eq 2815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘((i · 𝐴) + (-i · 𝐴))) = 1)
4232, 41eqtr3d 2801 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴))) = 1)
4330, 42eqeq12d 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴))) ↔ (exp‘(i · (2 · 𝐴))) = 1))
44 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((exp‘(i · (2 · 𝐴))) = 1 → (abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = (abs‘1))
4543, 44syl6bi 244 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(-i · 𝐴))) → (abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = (abs‘1)))
4621, 45syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) = (exp‘(-i · 𝐴)) → (abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = (abs‘1)))
4720, 46sylbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) = 0 → (abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = (abs‘1)))
48 abs1 14324 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (abs‘1) = 1
4948eqeq2i 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = (abs‘1) ↔ (abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = 1)
50 2re 11346 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℝ
51 2ne0 11383 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ≠ 0
52 mulre 14148 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 2 ≠ 0) → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (2 · 𝐴) ∈ ℝ))
5350, 51, 52mp3an23 1577 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (2 · 𝐴) ∈ ℝ))
54 mulcl 10273 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
5522, 54mpan 681 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
56 absefib 15212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 · 𝐴) ∈ ℂ → ((2 · 𝐴) ∈ ℝ ↔ (abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = 1))
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · 𝐴) ∈ ℝ ↔ (abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = 1))
5853, 57bitr2d 271 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = 1 ↔ 𝐴 ∈ ℝ))
5949, 58syl5bb 274 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘(exp‘(i · (2 · 𝐴)))) = (abs‘1) ↔ 𝐴 ∈ ℝ))
6047, 59sylibd 230 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) = 0 → 𝐴 ∈ ℝ))
6160imp 395 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
62 pirp 24505 . . . . . . . . . . . 12 π ∈ ℝ+
63 modval 12878 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+) → (𝐴 mod π) = (𝐴 − (π · (⌊‘(𝐴 / π)))))
6461, 62, 63sylancl 580 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 mod π) = (𝐴 − (π · (⌊‘(𝐴 / π)))))
65 picn 24503 . . . . . . . . . . . . 13 π ∈ ℂ
66 pire 24502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 π ∈ ℝ
67 pipos 24504 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 < π
6866, 67gt0ne0ii 10818 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 π ≠ 0
69 redivcl 10998 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ π ≠ 0) → (𝐴 / π) ∈ ℝ)
7066, 68, 69mp3an23 1577 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / π) ∈ ℝ)
7161, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 / π) ∈ ℝ)
7271flcld 12807 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (⌊‘(𝐴 / π)) ∈ ℤ)
7372zcnd 11730 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (⌊‘(𝐴 / π)) ∈ ℂ)
74 mulcl 10273 . . . . . . . . . . . . 13 ((π ∈ ℂ ∧ (⌊‘(𝐴 / π)) ∈ ℂ) → (π · (⌊‘(𝐴 / π))) ∈ ℂ)
7565, 73, 74sylancr 581 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (π · (⌊‘(𝐴 / π))) ∈ ℂ)
76 negsub 10583 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (π · (⌊‘(𝐴 / π))) ∈ ℂ) → (𝐴 + -(π · (⌊‘(𝐴 / π)))) = (𝐴 − (π · (⌊‘(𝐴 / π)))))
7775, 76syldan 585 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 + -(π · (⌊‘(𝐴 / π)))) = (𝐴 − (π · (⌊‘(𝐴 / π)))))
78 mulcom 10275 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π ∈ ℂ ∧ (⌊‘(𝐴 / π)) ∈ ℂ) → (π · (⌊‘(𝐴 / π))) = ((⌊‘(𝐴 / π)) · π))
7965, 73, 78sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (π · (⌊‘(𝐴 / π))) = ((⌊‘(𝐴 / π)) · π))
8079negeqd 10529 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → -(π · (⌊‘(𝐴 / π))) = -((⌊‘(𝐴 / π)) · π))
81 mulneg1 10720 . . . . . . . . . . . . . 14 (((⌊‘(𝐴 / π)) ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π) = -((⌊‘(𝐴 / π)) · π))
8273, 65, 81sylancl 580 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π) = -((⌊‘(𝐴 / π)) · π))
8380, 82eqtr4d 2802 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → -(π · (⌊‘(𝐴 / π))) = (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π))
8483oveq2d 6858 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 + -(π · (⌊‘(𝐴 / π)))) = (𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π)))
8564, 77, 843eqtr2d 2805 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 mod π) = (𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π)))
8685fveq2d 6379 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (sin‘(𝐴 mod π)) = (sin‘(𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π))))
8786fveq2d 6379 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))) = (abs‘(sin‘(𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π)))))
8872znegcld 11731 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → -(⌊‘(𝐴 / π)) ∈ ℤ)
89 abssinper 24562 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -(⌊‘(𝐴 / π)) ∈ ℤ) → (abs‘(sin‘(𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π)))) = (abs‘(sin‘𝐴)))
9088, 89syldan 585 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (abs‘(sin‘(𝐴 + (-(⌊‘(𝐴 / π)) · π)))) = (abs‘(sin‘𝐴)))
91 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (sin‘𝐴) = 0)
9291fveq2d 6379 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (abs‘(sin‘𝐴)) = (abs‘0))
9387, 90, 923eqtrd 2803 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))) = (abs‘0))
94 abs0 14312 . . . . . . 7 (abs‘0) = 0
9593, 94syl6eq 2815 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))) = 0)
96 modcl 12880 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+) → (𝐴 mod π) ∈ ℝ)
9761, 62, 96sylancl 580 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 mod π) ∈ ℝ)
98 modlt 12887 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+) → (𝐴 mod π) < π)
9961, 62, 98sylancl 580 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 mod π) < π)
10097, 99jca 507 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → ((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod π) < π))
101100biantrurd 528 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (0 < (𝐴 mod π) ↔ (((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod π) < π) ∧ 0 < (𝐴 mod π))))
102 0re 10295 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
103 rexr 10339 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ*)
104 rexr 10339 . . . . . . . . . . . . 13 (π ∈ ℝ → π ∈ ℝ*)
105 elioo2 12418 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) ↔ ((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 mod π) ∧ (𝐴 mod π) < π)))
106103, 104, 105syl2an 589 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) ↔ ((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 mod π) ∧ (𝐴 mod π) < π)))
107102, 66, 106mp2an 683 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) ↔ ((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 mod π) ∧ (𝐴 mod π) < π))
108 3anan32 1118 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 mod π) ∧ (𝐴 mod π) < π) ↔ (((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod π) < π) ∧ 0 < (𝐴 mod π)))
109107, 108bitri 266 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) ↔ (((𝐴 mod π) ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod π) < π) ∧ 0 < (𝐴 mod π)))
110101, 109syl6bbr 280 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (0 < (𝐴 mod π) ↔ (𝐴 mod π) ∈ (0(,)π)))
111 sinq12gt0 24551 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) → 0 < (sin‘(𝐴 mod π)))
112 elioore 12407 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) → (𝐴 mod π) ∈ ℝ)
113112resincld 15157 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) → (sin‘(𝐴 mod π)) ∈ ℝ)
114 ltle 10380 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ (sin‘(𝐴 mod π)) ∈ ℝ) → (0 < (sin‘(𝐴 mod π)) → 0 ≤ (sin‘(𝐴 mod π))))
115102, 113, 114sylancr 581 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) → (0 < (sin‘(𝐴 mod π)) → 0 ≤ (sin‘(𝐴 mod π))))
116111, 115mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) → 0 ≤ (sin‘(𝐴 mod π)))
117113, 116absidd 14448 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) → (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))) = (sin‘(𝐴 mod π)))
118111, 117breqtrrd 4837 . . . . . . . . 9 ((𝐴 mod π) ∈ (0(,)π) → 0 < (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))))
119110, 118syl6bi 244 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (0 < (𝐴 mod π) → 0 < (abs‘(sin‘(𝐴 mod π)))))
120 ltne 10388 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < (abs‘(sin‘(𝐴 mod π)))) → (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))) ≠ 0)
121102, 120mpan 681 . . . . . . . 8 (0 < (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))) → (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))) ≠ 0)
122119, 121syl6 35 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (0 < (𝐴 mod π) → (abs‘(sin‘(𝐴 mod π))) ≠ 0))
123122necon2bd 2953 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → ((abs‘(sin‘(𝐴 mod π))) = 0 → ¬ 0 < (𝐴 mod π)))
12495, 123mpd 15 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → ¬ 0 < (𝐴 mod π))
125 modge0 12886 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝐴 mod π))
12661, 62, 125sylancl 580 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → 0 ≤ (𝐴 mod π))
127 leloe 10378 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod π) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 mod π) ↔ (0 < (𝐴 mod π) ∨ 0 = (𝐴 mod π))))
128102, 97, 127sylancr 581 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (0 ≤ (𝐴 mod π) ↔ (0 < (𝐴 mod π) ∨ 0 = (𝐴 mod π))))
129126, 128mpbid 223 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (0 < (𝐴 mod π) ∨ 0 = (𝐴 mod π)))
130129ord 890 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (¬ 0 < (𝐴 mod π) → 0 = (𝐴 mod π)))
131124, 130mpd 15 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → 0 = (𝐴 mod π))
132131eqcomd 2771 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 mod π) = 0)
133 mod0 12883 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod π) = 0 ↔ (𝐴 / π) ∈ ℤ))
13461, 62, 133sylancl 580 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → ((𝐴 mod π) = 0 ↔ (𝐴 / π) ∈ ℤ))
135132, 134mpbid 223 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0) → (𝐴 / π) ∈ ℤ)
136 divcan1 10948 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0) → ((𝐴 / π) · π) = 𝐴)
13765, 68, 136mp3an23 1577 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 / π) · π) = 𝐴)
138137fveq2d 6379 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘((𝐴 / π) · π)) = (sin‘𝐴))
139 sinkpi 24563 . . 3 ((𝐴 / π) ∈ ℤ → (sin‘((𝐴 / π) · π)) = 0)
140138, 139sylan9req 2820 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 / π) ∈ ℤ) → (sin‘𝐴) = 0)
141135, 140impbida 835 1 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) = 0 ↔ (𝐴 / π) ∈ ℤ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  wo 873  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937   class class class wbr 4809  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190  ici 10191   + caddc 10192   · cmul 10194  *cxr 10327   < clt 10328  cle 10329  cmin 10520  -cneg 10521   / cdiv 10938  2c2 11327  cz 11624  +crp 12028  (,)cioo 12377  cfl 12799   mod cmo 12876  abscabs 14261  expce 15076  sincsin 15078  πcpi 15081
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-fi 8524  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-ioo 12381  df-ioc 12382  df-ico 12383  df-icc 12384  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-shft 14094  df-cj 14126  df-re 14127  df-im 14128  df-sqrt 14262  df-abs 14263  df-limsup 14489  df-clim 14506  df-rlim 14507  df-sum 14704  df-ef 15082  df-sin 15084  df-cos 15085  df-pi 15087  df-struct 16134  df-ndx 16135  df-slot 16136  df-base 16138  df-sets 16139  df-ress 16140  df-plusg 16229  df-mulr 16230  df-starv 16231  df-sca 16232  df-vsca 16233  df-ip 16234  df-tset 16235  df-ple 16236  df-ds 16238  df-unif 16239  df-hom 16240  df-cco 16241  df-rest 16351  df-topn 16352  df-0g 16370  df-gsum 16371  df-topgen 16372  df-pt 16373  df-prds 16376  df-xrs 16430  df-qtop 16435  df-imas 16436  df-xps 16438  df-mre 16514  df-mrc 16515  df-acs 16517  df-mgm 17510  df-sgrp 17552  df-mnd 17563  df-submnd 17604  df-mulg 17810  df-cntz 18015  df-cmn 18461  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-fbas 20016  df-fg 20017  df-cnfld 20020  df-top 20978  df-topon 20995  df-topsp 21017  df-bases 21030  df-cld 21103  df-ntr 21104  df-cls 21105  df-nei 21182  df-lp 21220  df-perf 21221  df-cn 21311  df-cnp 21312  df-haus 21399  df-tx 21645  df-hmeo 21838  df-fil 21929  df-fm 22021  df-flim 22022  df-flf 22023  df-xms 22404  df-ms 22405  df-tms 22406  df-cncf 22960  df-limc 23921  df-dv 23922
This theorem is referenced by:  coseq1  24566  efeq1  24567  cosne0  24568  logf1o2  24687  coseq0  40645  sinaover2ne0  40649  dirker2re  40878  dirkerdenne0  40879  dirkertrigeqlem3  40886  dirkertrigeq  40887  dirkercncflem1  40889  dirkercncflem2  40890  dirkercncflem4  40892  fourierdlem103  40995  fourierdlem104  40996
  Copyright terms: Public domain W3C validator