MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulre 15100
Description: A product with a nonzero real multiplier is real iff the multiplicand is real. (Contributed by NM, 21-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
mulre ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โ†” (๐ต ยท ๐ด) โˆˆ โ„))

Proof of Theorem mulre
StepHypRef Expression
1 rereb 15099 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โ†” (โ„œโ€˜๐ด) = ๐ด))
213ad2ant1 1131 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โ†” (โ„œโ€˜๐ด) = ๐ด))
3 recl 15089 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
43recnd 11272 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
543ad2ant1 1131 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
6 simp1 1134 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
7 recn 11228 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
87anim1i 614 . . . 4 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0))
983adant1 1128 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0))
10 mulcan 11881 . . 3 (((โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ((๐ต ยท (โ„œโ€˜๐ด)) = (๐ต ยท ๐ด) โ†” (โ„œโ€˜๐ด) = ๐ด))
115, 6, 9, 10syl3anc 1369 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ((๐ต ยท (โ„œโ€˜๐ด)) = (๐ต ยท ๐ด) โ†” (โ„œโ€˜๐ด) = ๐ด))
127adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
134adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
14 ax-icn 11197 . . . . . . . . . . . 12 i โˆˆ โ„‚
15 imcl 15090 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
1615recnd 11272 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
17 mulcl 11222 . . . . . . . . . . . 12 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
1814, 16, 17sylancr 586 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
1918adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
2012, 13, 19adddid 11268 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต ยท ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) = ((๐ต ยท (โ„œโ€˜๐ด)) + (๐ต ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))
21 replim 15095 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ๐ด = ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
2221adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ด = ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
2322oveq2d 7436 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต ยท ๐ด) = (๐ต ยท ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))
24 mul12 11409 . . . . . . . . . . 11 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (๐ต ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) = (๐ต ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
2514, 7, 16, 24mp3an3an 1464 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (๐ต ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) = (๐ต ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
2625oveq2d 7436 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ต ยท (โ„œโ€˜๐ด)) + (i ยท (๐ต ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) = ((๐ต ยท (โ„œโ€˜๐ด)) + (๐ต ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))
2720, 23, 263eqtr4d 2778 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต ยท ๐ด) = ((๐ต ยท (โ„œโ€˜๐ด)) + (i ยท (๐ต ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))
2827fveq2d 6901 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ต ยท ๐ด)) = (โ„œโ€˜((๐ต ยท (โ„œโ€˜๐ด)) + (i ยท (๐ต ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))
29 remulcl 11223 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต ยท (โ„œโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
303, 29sylan2 592 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต ยท (โ„œโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
31 remulcl 11223 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
3215, 31sylan2 592 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
33 crre 15093 . . . . . . . 8 (((๐ต ยท (โ„œโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„) โ†’ (โ„œโ€˜((๐ต ยท (โ„œโ€˜๐ด)) + (i ยท (๐ต ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) = (๐ต ยท (โ„œโ€˜๐ด)))
3430, 32, 33syl2anc 583 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜((๐ต ยท (โ„œโ€˜๐ด)) + (i ยท (๐ต ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) = (๐ต ยท (โ„œโ€˜๐ด)))
3528, 34eqtr2d 2769 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต ยท (โ„œโ€˜๐ด)) = (โ„œโ€˜(๐ต ยท ๐ด)))
3635eqeq1d 2730 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ต ยท (โ„œโ€˜๐ด)) = (๐ต ยท ๐ด) โ†” (โ„œโ€˜(๐ต ยท ๐ด)) = (๐ต ยท ๐ด)))
37 mulcl 11222 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
387, 37sylan 579 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
39 rereb 15099 . . . . . 6 ((๐ต ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ต ยท ๐ด) โˆˆ โ„ โ†” (โ„œโ€˜(๐ต ยท ๐ด)) = (๐ต ยท ๐ด)))
4038, 39syl 17 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ต ยท ๐ด) โˆˆ โ„ โ†” (โ„œโ€˜(๐ต ยท ๐ด)) = (๐ต ยท ๐ด)))
4136, 40bitr4d 282 . . . 4 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ต ยท (โ„œโ€˜๐ด)) = (๐ต ยท ๐ด) โ†” (๐ต ยท ๐ด) โˆˆ โ„))
4241ancoms 458 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ต ยท (โ„œโ€˜๐ด)) = (๐ต ยท ๐ด) โ†” (๐ต ยท ๐ด) โˆˆ โ„))
43423adant3 1130 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ((๐ต ยท (โ„œโ€˜๐ด)) = (๐ต ยท ๐ด) โ†” (๐ต ยท ๐ด) โˆˆ โ„))
442, 11, 433bitr2d 307 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โ†” (๐ต ยท ๐ด) โˆˆ โ„))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2937  โ€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  โ„‚cc 11136  โ„cr 11137  0cc0 11138  ici 11140   + caddc 11141   ยท cmul 11143  โ„œcre 15076  โ„‘cim 15077
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-2 12305  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080
This theorem is referenced by:  sineq0  26457  sineq0ALT  44376  recnmulnred  46685
  Copyright terms: Public domain W3C validator