MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulre 15160
Description: A product with a nonzero real multiplier is real iff the multiplicand is real. (Contributed by NM, 21-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
mulre ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (𝐵 · 𝐴) ∈ ℝ))

Proof of Theorem mulre
StepHypRef Expression
1 rereb 15159 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℜ‘𝐴) = 𝐴))
213ad2ant1 1134 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℜ‘𝐴) = 𝐴))
3 recl 15149 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
43recnd 11289 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
543ad2ant1 1134 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
6 simp1 1137 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
7 recn 11245 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
87anim1i 615 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
983adant1 1131 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
10 mulcan 11900 . . 3 (((ℜ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐵 · (ℜ‘𝐴)) = (𝐵 · 𝐴) ↔ (ℜ‘𝐴) = 𝐴))
115, 6, 9, 10syl3anc 1373 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐵 · (ℜ‘𝐴)) = (𝐵 · 𝐴) ↔ (ℜ‘𝐴) = 𝐴))
127adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
134adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
14 ax-icn 11214 . . . . . . . . . . . 12 i ∈ ℂ
15 imcl 15150 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
1615recnd 11289 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
17 mulcl 11239 . . . . . . . . . . . 12 ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
1814, 16, 17sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
1918adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
2012, 13, 19adddid 11285 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 · ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))) = ((𝐵 · (ℜ‘𝐴)) + (𝐵 · (i · (ℑ‘𝐴)))))
21 replim 15155 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
2221adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
2322oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐴) = (𝐵 · ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))))
24 mul12 11426 . . . . . . . . . . 11 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (𝐵 · (ℑ‘𝐴))) = (𝐵 · (i · (ℑ‘𝐴))))
2514, 7, 16, 24mp3an3an 1469 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · (𝐵 · (ℑ‘𝐴))) = (𝐵 · (i · (ℑ‘𝐴))))
2625oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐵 · (ℜ‘𝐴)) + (i · (𝐵 · (ℑ‘𝐴)))) = ((𝐵 · (ℜ‘𝐴)) + (𝐵 · (i · (ℑ‘𝐴)))))
2720, 23, 263eqtr4d 2787 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐴) = ((𝐵 · (ℜ‘𝐴)) + (i · (𝐵 · (ℑ‘𝐴)))))
2827fveq2d 6910 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐵 · 𝐴)) = (ℜ‘((𝐵 · (ℜ‘𝐴)) + (i · (𝐵 · (ℑ‘𝐴))))))
29 remulcl 11240 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝐵 · (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ)
303, 29sylan2 593 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 · (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ)
31 remulcl 11240 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝐵 · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ)
3215, 31sylan2 593 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ)
33 crre 15153 . . . . . . . 8 (((𝐵 · (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐵 · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ) → (ℜ‘((𝐵 · (ℜ‘𝐴)) + (i · (𝐵 · (ℑ‘𝐴))))) = (𝐵 · (ℜ‘𝐴)))
3430, 32, 33syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (ℜ‘((𝐵 · (ℜ‘𝐴)) + (i · (𝐵 · (ℑ‘𝐴))))) = (𝐵 · (ℜ‘𝐴)))
3528, 34eqtr2d 2778 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 · (ℜ‘𝐴)) = (ℜ‘(𝐵 · 𝐴)))
3635eqeq1d 2739 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐵 · (ℜ‘𝐴)) = (𝐵 · 𝐴) ↔ (ℜ‘(𝐵 · 𝐴)) = (𝐵 · 𝐴)))
37 mulcl 11239 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐴) ∈ ℂ)
387, 37sylan 580 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐴) ∈ ℂ)
39 rereb 15159 . . . . . 6 ((𝐵 · 𝐴) ∈ ℂ → ((𝐵 · 𝐴) ∈ ℝ ↔ (ℜ‘(𝐵 · 𝐴)) = (𝐵 · 𝐴)))
4038, 39syl 17 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐵 · 𝐴) ∈ ℝ ↔ (ℜ‘(𝐵 · 𝐴)) = (𝐵 · 𝐴)))
4136, 40bitr4d 282 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐵 · (ℜ‘𝐴)) = (𝐵 · 𝐴) ↔ (𝐵 · 𝐴) ∈ ℝ))
4241ancoms 458 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵 · (ℜ‘𝐴)) = (𝐵 · 𝐴) ↔ (𝐵 · 𝐴) ∈ ℝ))
43423adant3 1133 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐵 · (ℜ‘𝐴)) = (𝐵 · 𝐴) ↔ (𝐵 · 𝐴) ∈ ℝ))
442, 11, 433bitr2d 307 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (𝐵 · 𝐴) ∈ ℝ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  ici 11157   + caddc 11158   · cmul 11160  cre 15136  cim 15137
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-2 12329  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140
This theorem is referenced by:  sineq0  26566  sineq0ALT  44957  recnmulnred  47317
  Copyright terms: Public domain W3C validator