Theorem mulre 15034

Description: A product with a nonzero real multiplier is real iff the multiplicand is real. (Contributed by NM, 21-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
mulre	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (𝐵 · 𝐴) ∈ ℝ))

Proof of Theorem mulre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rereb 15033	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℜ‘𝐴) = 𝐴))
2	1	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℜ‘𝐴) = 𝐴))
3		recl 15023	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
4	3	recnd 11146	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
5	4	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
6		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
7		recn 11102	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
8	7	anim1i 615	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
9	8	3adant1 1130	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
10		mulcan 11760	. . 3 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐵 · (ℜ‘𝐴)) = (𝐵 · 𝐴) ↔ (ℜ‘𝐴) = 𝐴))
11	5, 6, 9, 10	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐵 · (ℜ‘𝐴)) = (𝐵 · 𝐴) ↔ (ℜ‘𝐴) = 𝐴))
12	7	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
13	4	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
14		ax-icn 11071	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ i ∈ ℂ
15		imcl 15024	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
16	15	recnd 11146	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
17		mulcl 11096	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
18	14, 16, 17	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
19	18	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
20	12, 13, 19	adddid 11142	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 · ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))) = ((𝐵 · (ℜ‘𝐴)) + (𝐵 · (i · (ℑ‘𝐴)))))
21		replim 15029	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
22	21	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
23	22	oveq2d 7368	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐴) = (𝐵 · ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))))
24		mul12 11284	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (𝐵 · (ℑ‘𝐴))) = (𝐵 · (i · (ℑ‘𝐴))))
25	14, 7, 16, 24	mp3an3an 1469	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · (𝐵 · (ℑ‘𝐴))) = (𝐵 · (i · (ℑ‘𝐴))))
26	25	oveq2d 7368	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐵 · (ℜ‘𝐴)) + (i · (𝐵 · (ℑ‘𝐴)))) = ((𝐵 · (ℜ‘𝐴)) + (𝐵 · (i · (ℑ‘𝐴)))))
27	20, 23, 26	3eqtr4d 2776	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐴) = ((𝐵 · (ℜ‘𝐴)) + (i · (𝐵 · (ℑ‘𝐴)))))
28	27	fveq2d 6832	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐵 · 𝐴)) = (ℜ‘((𝐵 · (ℜ‘𝐴)) + (i · (𝐵 · (ℑ‘𝐴))))))
29		remulcl 11097	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝐵 · (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ)
30	3, 29	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 · (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ)
31		remulcl 11097	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝐵 · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ)
32	15, 31	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ)
33		crre 15027	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 · (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐵 · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ) → (ℜ‘((𝐵 · (ℜ‘𝐴)) + (i · (𝐵 · (ℑ‘𝐴))))) = (𝐵 · (ℜ‘𝐴)))
34	30, 32, 33	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (ℜ‘((𝐵 · (ℜ‘𝐴)) + (i · (𝐵 · (ℑ‘𝐴))))) = (𝐵 · (ℜ‘𝐴)))
35	28, 34	eqtr2d 2767	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 · (ℜ‘𝐴)) = (ℜ‘(𝐵 · 𝐴)))
36	35	eqeq1d 2733	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐵 · (ℜ‘𝐴)) = (𝐵 · 𝐴) ↔ (ℜ‘(𝐵 · 𝐴)) = (𝐵 · 𝐴)))
37		mulcl 11096	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐴) ∈ ℂ)
38	7, 37	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐴) ∈ ℂ)
39		rereb 15033	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 · 𝐴) ∈ ℂ → ((𝐵 · 𝐴) ∈ ℝ ↔ (ℜ‘(𝐵 · 𝐴)) = (𝐵 · 𝐴)))
40	38, 39	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐵 · 𝐴) ∈ ℝ ↔ (ℜ‘(𝐵 · 𝐴)) = (𝐵 · 𝐴)))
41	36, 40	bitr4d 282	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐵 · (ℜ‘𝐴)) = (𝐵 · 𝐴) ↔ (𝐵 · 𝐴) ∈ ℝ))
42	41	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵 · (ℜ‘𝐴)) = (𝐵 · 𝐴) ↔ (𝐵 · 𝐴) ∈ ℝ))
43	42	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐵 · (ℜ‘𝐴)) = (𝐵 · 𝐴) ↔ (𝐵 · 𝐴) ∈ ℝ))
44	2, 11, 43	3bitr2d 307	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (𝐵 · 𝐴) ∈ ℝ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ‘cfv 6487  (class class class)co 7352  ℂcc 11010  ℝcr 11011  0cc0 11012  ici 11014   + caddc 11015   · cmul 11017  ℜcre 15010  ℑcim 15011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-div 11781  df-nn 12132  df-2 12194  df-cj 15012  df-re 15013  df-im 15014

This theorem is referenced by:  sineq0  26466  sineq0ALT  45034  recnmulnred  47410