MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulre 15070
Description: A product with a nonzero real multiplier is real iff the multiplicand is real. (Contributed by NM, 21-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
mulre ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โ†” (๐ต ยท ๐ด) โˆˆ โ„))

Proof of Theorem mulre
StepHypRef Expression
1 rereb 15069 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โ†” (โ„œโ€˜๐ด) = ๐ด))
213ad2ant1 1130 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โ†” (โ„œโ€˜๐ด) = ๐ด))
3 recl 15059 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
43recnd 11241 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
543ad2ant1 1130 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
6 simp1 1133 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
7 recn 11197 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
87anim1i 614 . . . 4 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0))
983adant1 1127 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0))
10 mulcan 11850 . . 3 (((โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ((๐ต ยท (โ„œโ€˜๐ด)) = (๐ต ยท ๐ด) โ†” (โ„œโ€˜๐ด) = ๐ด))
115, 6, 9, 10syl3anc 1368 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ((๐ต ยท (โ„œโ€˜๐ด)) = (๐ต ยท ๐ด) โ†” (โ„œโ€˜๐ด) = ๐ด))
127adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
134adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
14 ax-icn 11166 . . . . . . . . . . . 12 i โˆˆ โ„‚
15 imcl 15060 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
1615recnd 11241 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
17 mulcl 11191 . . . . . . . . . . . 12 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
1814, 16, 17sylancr 586 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
1918adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
2012, 13, 19adddid 11237 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต ยท ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) = ((๐ต ยท (โ„œโ€˜๐ด)) + (๐ต ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))
21 replim 15065 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ๐ด = ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
2221adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ด = ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
2322oveq2d 7418 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต ยท ๐ด) = (๐ต ยท ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))
24 mul12 11378 . . . . . . . . . . 11 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (๐ต ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) = (๐ต ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
2514, 7, 16, 24mp3an3an 1463 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (๐ต ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) = (๐ต ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
2625oveq2d 7418 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ต ยท (โ„œโ€˜๐ด)) + (i ยท (๐ต ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) = ((๐ต ยท (โ„œโ€˜๐ด)) + (๐ต ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))
2720, 23, 263eqtr4d 2774 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต ยท ๐ด) = ((๐ต ยท (โ„œโ€˜๐ด)) + (i ยท (๐ต ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))
2827fveq2d 6886 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ต ยท ๐ด)) = (โ„œโ€˜((๐ต ยท (โ„œโ€˜๐ด)) + (i ยท (๐ต ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))
29 remulcl 11192 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต ยท (โ„œโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
303, 29sylan2 592 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต ยท (โ„œโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
31 remulcl 11192 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
3215, 31sylan2 592 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
33 crre 15063 . . . . . . . 8 (((๐ต ยท (โ„œโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„) โ†’ (โ„œโ€˜((๐ต ยท (โ„œโ€˜๐ด)) + (i ยท (๐ต ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) = (๐ต ยท (โ„œโ€˜๐ด)))
3430, 32, 33syl2anc 583 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜((๐ต ยท (โ„œโ€˜๐ด)) + (i ยท (๐ต ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) = (๐ต ยท (โ„œโ€˜๐ด)))
3528, 34eqtr2d 2765 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต ยท (โ„œโ€˜๐ด)) = (โ„œโ€˜(๐ต ยท ๐ด)))
3635eqeq1d 2726 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ต ยท (โ„œโ€˜๐ด)) = (๐ต ยท ๐ด) โ†” (โ„œโ€˜(๐ต ยท ๐ด)) = (๐ต ยท ๐ด)))
37 mulcl 11191 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
387, 37sylan 579 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
39 rereb 15069 . . . . . 6 ((๐ต ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ต ยท ๐ด) โˆˆ โ„ โ†” (โ„œโ€˜(๐ต ยท ๐ด)) = (๐ต ยท ๐ด)))
4038, 39syl 17 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ต ยท ๐ด) โˆˆ โ„ โ†” (โ„œโ€˜(๐ต ยท ๐ด)) = (๐ต ยท ๐ด)))
4136, 40bitr4d 282 . . . 4 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ต ยท (โ„œโ€˜๐ด)) = (๐ต ยท ๐ด) โ†” (๐ต ยท ๐ด) โˆˆ โ„))
4241ancoms 458 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ต ยท (โ„œโ€˜๐ด)) = (๐ต ยท ๐ด) โ†” (๐ต ยท ๐ด) โˆˆ โ„))
43423adant3 1129 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ((๐ต ยท (โ„œโ€˜๐ด)) = (๐ต ยท ๐ด) โ†” (๐ต ยท ๐ด) โˆˆ โ„))
442, 11, 433bitr2d 307 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โ†” (๐ต ยท ๐ด) โˆˆ โ„))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2932  โ€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  โ„‚cc 11105  โ„cr 11106  0cc0 11107  ici 11109   + caddc 11110   ยท cmul 11112  โ„œcre 15046  โ„‘cim 15047
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-po 5579  df-so 5580  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-2 12274  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050
This theorem is referenced by:  sineq0  26398  sineq0ALT  44247  recnmulnred  46558
  Copyright terms: Public domain W3C validator