Proof of Theorem mulre
| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | rereb 15159 |
. . 3
⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔
(ℜ‘𝐴) = 𝐴)) |
| 2 | 1 | 3ad2ant1 1134 |
. 2
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 ∈ ℝ ↔
(ℜ‘𝐴) = 𝐴)) |
| 3 | | recl 15149 |
. . . . 5
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
(ℜ‘𝐴) ∈
ℝ) |
| 4 | 3 | recnd 11289 |
. . . 4
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
(ℜ‘𝐴) ∈
ℂ) |
| 5 | 4 | 3ad2ant1 1134 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) →
(ℜ‘𝐴) ∈
ℂ) |
| 6 | | simp1 1137 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐴 ∈
ℂ) |
| 7 | | recn 11245 |
. . . . 5
⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈
ℂ) |
| 8 | 7 | anim1i 615 |
. . . 4
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) |
| 9 | 8 | 3adant1 1131 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) |
| 10 | | mulcan 11900 |
. . 3
⊢
(((ℜ‘𝐴)
∈ ℂ ∧ 𝐴
∈ ℂ ∧ (𝐵
∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠
0)) → ((𝐵 ·
(ℜ‘𝐴)) = (𝐵 · 𝐴) ↔ (ℜ‘𝐴) = 𝐴)) |
| 11 | 5, 6, 9, 10 | syl3anc 1373 |
. 2
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐵 · (ℜ‘𝐴)) = (𝐵 · 𝐴) ↔ (ℜ‘𝐴) = 𝐴)) |
| 12 | 7 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈
ℂ) |
| 13 | 4 | adantl 481 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) →
(ℜ‘𝐴) ∈
ℂ) |
| 14 | | ax-icn 11214 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ i ∈
ℂ |
| 15 | | imcl 15150 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
(ℑ‘𝐴) ∈
ℝ) |
| 16 | 15 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
(ℑ‘𝐴) ∈
ℂ) |
| 17 | | mulcl 11239 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((i
∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i ·
(ℑ‘𝐴)) ∈
ℂ) |
| 18 | 14, 16, 17 | sylancr 587 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i
· (ℑ‘𝐴))
∈ ℂ) |
| 19 | 18 | adantl 481 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i
· (ℑ‘𝐴))
∈ ℂ) |
| 20 | 12, 13, 19 | adddid 11285 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 · ((ℜ‘𝐴) + (i ·
(ℑ‘𝐴)))) =
((𝐵 ·
(ℜ‘𝐴)) + (𝐵 · (i ·
(ℑ‘𝐴))))) |
| 21 | | replim 15155 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i ·
(ℑ‘𝐴)))) |
| 22 | 21 | adantl 481 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i ·
(ℑ‘𝐴)))) |
| 23 | 22 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐴) = (𝐵 · ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))) |
| 24 | | mul12 11426 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((i
∈ ℂ ∧ 𝐵
∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (𝐵 · (ℑ‘𝐴))) = (𝐵 · (i · (ℑ‘𝐴)))) |
| 25 | 14, 7, 16, 24 | mp3an3an 1469 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i
· (𝐵 ·
(ℑ‘𝐴))) =
(𝐵 · (i ·
(ℑ‘𝐴)))) |
| 26 | 25 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐵 · (ℜ‘𝐴)) + (i · (𝐵 · (ℑ‘𝐴)))) = ((𝐵 · (ℜ‘𝐴)) + (𝐵 · (i · (ℑ‘𝐴))))) |
| 27 | 20, 23, 26 | 3eqtr4d 2787 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐴) = ((𝐵 · (ℜ‘𝐴)) + (i · (𝐵 · (ℑ‘𝐴))))) |
| 28 | 27 | fveq2d 6910 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) →
(ℜ‘(𝐵 ·
𝐴)) = (ℜ‘((𝐵 · (ℜ‘𝐴)) + (i · (𝐵 · (ℑ‘𝐴)))))) |
| 29 | | remulcl 11240 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧
(ℜ‘𝐴) ∈
ℝ) → (𝐵 ·
(ℜ‘𝐴)) ∈
ℝ) |
| 30 | 3, 29 | sylan2 593 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 · (ℜ‘𝐴)) ∈
ℝ) |
| 31 | | remulcl 11240 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧
(ℑ‘𝐴) ∈
ℝ) → (𝐵 ·
(ℑ‘𝐴)) ∈
ℝ) |
| 32 | 15, 31 | sylan2 593 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 · (ℑ‘𝐴)) ∈
ℝ) |
| 33 | | crre 15153 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐵 · (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐵 · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ) →
(ℜ‘((𝐵 ·
(ℜ‘𝐴)) + (i
· (𝐵 ·
(ℑ‘𝐴))))) =
(𝐵 ·
(ℜ‘𝐴))) |
| 34 | 30, 32, 33 | syl2anc 584 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) →
(ℜ‘((𝐵 ·
(ℜ‘𝐴)) + (i
· (𝐵 ·
(ℑ‘𝐴))))) =
(𝐵 ·
(ℜ‘𝐴))) |
| 35 | 28, 34 | eqtr2d 2778 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 · (ℜ‘𝐴)) = (ℜ‘(𝐵 · 𝐴))) |
| 36 | 35 | eqeq1d 2739 |
. . . . 5
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐵 · (ℜ‘𝐴)) = (𝐵 · 𝐴) ↔ (ℜ‘(𝐵 · 𝐴)) = (𝐵 · 𝐴))) |
| 37 | | mulcl 11239 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐴) ∈ ℂ) |
| 38 | 7, 37 | sylan 580 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐴) ∈ ℂ) |
| 39 | | rereb 15159 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐵 · 𝐴) ∈ ℂ → ((𝐵 · 𝐴) ∈ ℝ ↔ (ℜ‘(𝐵 · 𝐴)) = (𝐵 · 𝐴))) |
| 40 | 38, 39 | syl 17 |
. . . . 5
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐵 · 𝐴) ∈ ℝ ↔ (ℜ‘(𝐵 · 𝐴)) = (𝐵 · 𝐴))) |
| 41 | 36, 40 | bitr4d 282 |
. . . 4
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐵 · (ℜ‘𝐴)) = (𝐵 · 𝐴) ↔ (𝐵 · 𝐴) ∈ ℝ)) |
| 42 | 41 | ancoms 458 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵 · (ℜ‘𝐴)) = (𝐵 · 𝐴) ↔ (𝐵 · 𝐴) ∈ ℝ)) |
| 43 | 42 | 3adant3 1133 |
. 2
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐵 · (ℜ‘𝐴)) = (𝐵 · 𝐴) ↔ (𝐵 · 𝐴) ∈ ℝ)) |
| 44 | 2, 11, 43 | 3bitr2d 307 |
1
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (𝐵 · 𝐴) ∈ ℝ)) |