MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulre 15013
Description: A product with a nonzero real multiplier is real iff the multiplicand is real. (Contributed by NM, 21-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
mulre ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โ†” (๐ต ยท ๐ด) โˆˆ โ„))

Proof of Theorem mulre
StepHypRef Expression
1 rereb 15012 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โ†” (โ„œโ€˜๐ด) = ๐ด))
213ad2ant1 1134 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โ†” (โ„œโ€˜๐ด) = ๐ด))
3 recl 15002 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
43recnd 11190 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
543ad2ant1 1134 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
6 simp1 1137 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
7 recn 11148 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
87anim1i 616 . . . 4 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0))
983adant1 1131 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0))
10 mulcan 11799 . . 3 (((โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ((๐ต ยท (โ„œโ€˜๐ด)) = (๐ต ยท ๐ด) โ†” (โ„œโ€˜๐ด) = ๐ด))
115, 6, 9, 10syl3anc 1372 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ((๐ต ยท (โ„œโ€˜๐ด)) = (๐ต ยท ๐ด) โ†” (โ„œโ€˜๐ด) = ๐ด))
127adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
134adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
14 ax-icn 11117 . . . . . . . . . . . 12 i โˆˆ โ„‚
15 imcl 15003 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
1615recnd 11190 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
17 mulcl 11142 . . . . . . . . . . . 12 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
1814, 16, 17sylancr 588 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
1918adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
2012, 13, 19adddid 11186 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต ยท ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) = ((๐ต ยท (โ„œโ€˜๐ด)) + (๐ต ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))
21 replim 15008 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ๐ด = ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
2221adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ด = ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
2322oveq2d 7378 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต ยท ๐ด) = (๐ต ยท ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))
24 mul12 11327 . . . . . . . . . . 11 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (๐ต ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) = (๐ต ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
2514, 7, 16, 24mp3an3an 1468 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (๐ต ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) = (๐ต ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
2625oveq2d 7378 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ต ยท (โ„œโ€˜๐ด)) + (i ยท (๐ต ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) = ((๐ต ยท (โ„œโ€˜๐ด)) + (๐ต ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))
2720, 23, 263eqtr4d 2787 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต ยท ๐ด) = ((๐ต ยท (โ„œโ€˜๐ด)) + (i ยท (๐ต ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))
2827fveq2d 6851 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ต ยท ๐ด)) = (โ„œโ€˜((๐ต ยท (โ„œโ€˜๐ด)) + (i ยท (๐ต ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))))
29 remulcl 11143 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต ยท (โ„œโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
303, 29sylan2 594 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต ยท (โ„œโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
31 remulcl 11143 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
3215, 31sylan2 594 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
33 crre 15006 . . . . . . . 8 (((๐ต ยท (โ„œโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„) โ†’ (โ„œโ€˜((๐ต ยท (โ„œโ€˜๐ด)) + (i ยท (๐ต ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) = (๐ต ยท (โ„œโ€˜๐ด)))
3430, 32, 33syl2anc 585 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜((๐ต ยท (โ„œโ€˜๐ด)) + (i ยท (๐ต ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))) = (๐ต ยท (โ„œโ€˜๐ด)))
3528, 34eqtr2d 2778 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต ยท (โ„œโ€˜๐ด)) = (โ„œโ€˜(๐ต ยท ๐ด)))
3635eqeq1d 2739 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ต ยท (โ„œโ€˜๐ด)) = (๐ต ยท ๐ด) โ†” (โ„œโ€˜(๐ต ยท ๐ด)) = (๐ต ยท ๐ด)))
37 mulcl 11142 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
387, 37sylan 581 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
39 rereb 15012 . . . . . 6 ((๐ต ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ต ยท ๐ด) โˆˆ โ„ โ†” (โ„œโ€˜(๐ต ยท ๐ด)) = (๐ต ยท ๐ด)))
4038, 39syl 17 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ต ยท ๐ด) โˆˆ โ„ โ†” (โ„œโ€˜(๐ต ยท ๐ด)) = (๐ต ยท ๐ด)))
4136, 40bitr4d 282 . . . 4 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ต ยท (โ„œโ€˜๐ด)) = (๐ต ยท ๐ด) โ†” (๐ต ยท ๐ด) โˆˆ โ„))
4241ancoms 460 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ต ยท (โ„œโ€˜๐ด)) = (๐ต ยท ๐ด) โ†” (๐ต ยท ๐ด) โˆˆ โ„))
43423adant3 1133 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ((๐ต ยท (โ„œโ€˜๐ด)) = (๐ต ยท ๐ด) โ†” (๐ต ยท ๐ด) โˆˆ โ„))
442, 11, 433bitr2d 307 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โ†” (๐ต ยท ๐ด) โˆˆ โ„))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  โ„cr 11057  0cc0 11058  ici 11060   + caddc 11061   ยท cmul 11063  โ„œcre 14989  โ„‘cim 14990
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-2 12223  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993
This theorem is referenced by:  sineq0  25896  sineq0ALT  43293  recnmulnred  45611
  Copyright terms: Public domain W3C validator