Theorem mulre 15160

Description: A product with a nonzero real multiplier is real iff the multiplicand is real. (Contributed by NM, 21-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
mulre	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (𝐵 · 𝐴) ∈ ℝ))

Proof of Theorem mulre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rereb 15159	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℜ‘𝐴) = 𝐴))
2	1	3ad2ant1 1149	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℜ‘𝐴) = 𝐴))
3		recl 15149	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
4	3	recnd 11225	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
5	4	3ad2ant1 1149	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
6		simp1 1152	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
7		recn 11178	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
8	7	anim1i 626	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
9	8	3adant1 1146	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
10		mulcan 11839	. . 3 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐵 · (ℜ‘𝐴)) = (𝐵 · 𝐴) ↔ (ℜ‘𝐴) = 𝐴))
11	5, 6, 9, 10	syl3anc 1394	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐵 · (ℜ‘𝐴)) = (𝐵 · 𝐴) ↔ (ℜ‘𝐴) = 𝐴))
12	7	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
13	4	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
14		ax-icn 11147	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ i ∈ ℂ
15		imcl 15150	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
16	15	recnd 11225	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
17		mulcl 11172	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
18	14, 16, 17	sylancr 598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
19	18	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
20	12, 13, 19	adddid 11221	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 · ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))) = ((𝐵 · (ℜ‘𝐴)) + (𝐵 · (i · (ℑ‘𝐴)))))
21		replim 15155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
22	21	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
23	22	oveq2d 7416	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐴) = (𝐵 · ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))))
24		mul12 11363	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (𝐵 · (ℑ‘𝐴))) = (𝐵 · (i · (ℑ‘𝐴))))
25	14, 7, 16, 24	mp3an3an 1491	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · (𝐵 · (ℑ‘𝐴))) = (𝐵 · (i · (ℑ‘𝐴))))
26	25	oveq2d 7416	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐵 · (ℜ‘𝐴)) + (i · (𝐵 · (ℑ‘𝐴)))) = ((𝐵 · (ℜ‘𝐴)) + (𝐵 · (i · (ℑ‘𝐴)))))
27	20, 23, 26	3eqtr4d 2810	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐴) = ((𝐵 · (ℜ‘𝐴)) + (i · (𝐵 · (ℑ‘𝐴)))))
28	27	fveq2d 6875	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐵 · 𝐴)) = (ℜ‘((𝐵 · (ℜ‘𝐴)) + (i · (𝐵 · (ℑ‘𝐴))))))
29		remulcl 11173	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝐵 · (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ)
30	3, 29	sylan2 604	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 · (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ)
31		remulcl 11173	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝐵 · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ)
32	15, 31	sylan2 604	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ)
33		crre 15153	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 · (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐵 · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ) → (ℜ‘((𝐵 · (ℜ‘𝐴)) + (i · (𝐵 · (ℑ‘𝐴))))) = (𝐵 · (ℜ‘𝐴)))
34	30, 32, 33	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (ℜ‘((𝐵 · (ℜ‘𝐴)) + (i · (𝐵 · (ℑ‘𝐴))))) = (𝐵 · (ℜ‘𝐴)))
35	28, 34	eqtr2d 2801	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 · (ℜ‘𝐴)) = (ℜ‘(𝐵 · 𝐴)))
36	35	eqeq1d 2767	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐵 · (ℜ‘𝐴)) = (𝐵 · 𝐴) ↔ (ℜ‘(𝐵 · 𝐴)) = (𝐵 · 𝐴)))
37		mulcl 11172	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐴) ∈ ℂ)
38	7, 37	sylan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐴) ∈ ℂ)
39		rereb 15159	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 · 𝐴) ∈ ℂ → ((𝐵 · 𝐴) ∈ ℝ ↔ (ℜ‘(𝐵 · 𝐴)) = (𝐵 · 𝐴)))
40	38, 39	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐵 · 𝐴) ∈ ℝ ↔ (ℜ‘(𝐵 · 𝐴)) = (𝐵 · 𝐴)))
41	36, 40	bitr4d 285	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐵 · (ℜ‘𝐴)) = (𝐵 · 𝐴) ↔ (𝐵 · 𝐴) ∈ ℝ))
42	41	ancoms 463	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵 · (ℜ‘𝐴)) = (𝐵 · 𝐴) ↔ (𝐵 · 𝐴) ∈ ℝ))
43	42	3adant3 1148	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐵 · (ℜ‘𝐴)) = (𝐵 · 𝐴) ↔ (𝐵 · 𝐴) ∈ ℝ))
44	2, 11, 43	3bitr2d 310	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (𝐵 · 𝐴) ∈ ℝ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℂcc 11086  ℝcr 11087  0cc0 11088  ici 11090   + caddc 11091   · cmul 11093  ℜcre 15136  ℑcim 15137

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12222  df-2 12291  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140

This theorem is referenced by:  sineq0  26643  sineq0ALT  45504  recnmulnred  47898