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Theorem sqreulem 15527

Description: Lemma for sqreu 15528: write a general complex square root in terms of the square root function over nonnegative reals. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
sqrteulem.1	⊢ 𝐵 = ((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))

**Assertion**
Ref	Expression
sqreulem	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ((𝐵↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐵) ∧ (i · 𝐵) ∉ ℝ⁺))

**Proof of Theorem sqreulem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrteulem.1	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = ((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))
2	1	oveq1i 7430	. . . 4 ⊢ (𝐵↑2) = (((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))↑2)
3		abscl 15445	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
4		absge0 15454	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
5		resqrtcl 15420	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)) → (√‘(abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
6	3, 4, 5	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
7	6	recnd 11337	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(abs‘𝐴)) ∈ ℂ)
8	7	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → (√‘(abs‘𝐴)) ∈ ℂ)
9	3	recnd 11337	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
10		addcl 11282	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) + 𝐴) ∈ ℂ)
11	9, 10	mpancom 701	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) + 𝐴) ∈ ℂ)
12	11	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ((abs‘𝐴) + 𝐴) ∈ ℂ)
13		abscl 15445	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs‘𝐴) + 𝐴) ∈ ℂ → (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) ∈ ℝ)
14	11, 13	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) ∈ ℝ)
15	14	recnd 11337	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) ∈ ℂ)
16	15	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) ∈ ℂ)
17	11	abs00ad 15457	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) = 0 ↔ ((abs‘𝐴) + 𝐴) = 0))
18	17	necon3bid 3000	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) ≠ 0 ↔ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0))
19	18	biimpar 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) ≠ 0)
20	12, 16, 19	divcld 12093	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) ∈ ℂ)
21	8, 20	sqmuld 14301	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → (((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))↑2) = (((√‘(abs‘𝐴))↑2) · ((((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))↑2)))
22	2, 21	eqtrid 2808	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → (𝐵↑2) = (((√‘(abs‘𝐴))↑2) · ((((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))↑2)))
23	3	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
24	4	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → 0 ≤ (abs‘𝐴))
25		resqrtth 15422	. . . . 5 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)) → ((√‘(abs‘𝐴))↑2) = (abs‘𝐴))
26	23, 24, 25	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ((√‘(abs‘𝐴))↑2) = (abs‘𝐴))
27	12, 16, 19	sqdivd 14302	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ((((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))↑2) = ((((abs‘𝐴) + 𝐴)↑2) / ((abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))↑2)))
28		absvalsq 15447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴)↑2) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
29		2cn 12418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℂ
30		mulass 11288	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((2 · (abs‘𝐴)) · 𝐴) = (2 · ((abs‘𝐴) · 𝐴)))
31	29, 30	mp3an1 1477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((2 · (abs‘𝐴)) · 𝐴) = (2 · ((abs‘𝐴) · 𝐴)))
32	9, 31	mpancom 701	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · (abs‘𝐴)) · 𝐴) = (2 · ((abs‘𝐴) · 𝐴)))
33		mulcl 11284	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℂ) → (2 · (abs‘𝐴)) ∈ ℂ)
34	29, 9, 33	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (abs‘𝐴)) ∈ ℂ)
35		mulcom 11286	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((2 · (abs‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((2 · (abs‘𝐴)) · 𝐴) = (𝐴 · (2 · (abs‘𝐴))))
36	34, 35	mpancom 701	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · (abs‘𝐴)) · 𝐴) = (𝐴 · (2 · (abs‘𝐴))))
37	32, 36	eqtr3d 2798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · ((abs‘𝐴) · 𝐴)) = (𝐴 · (2 · (abs‘𝐴))))
38	28, 37	oveq12d 7438	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴)↑2) + (2 · ((abs‘𝐴) · 𝐴))) = ((𝐴 · (∗‘𝐴)) + (𝐴 · (2 · (abs‘𝐴)))))
39		cjcl 15272	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
40		adddi 11289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (∗‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (2 · (abs‘𝐴)) ∈ ℂ) → (𝐴 · ((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴)))) = ((𝐴 · (∗‘𝐴)) + (𝐴 · (2 · (abs‘𝐴)))))
41	39, 34, 40	mpd3an23 1492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · ((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴)))) = ((𝐴 · (∗‘𝐴)) + (𝐴 · (2 · (abs‘𝐴)))))
42	38, 41	eqtr4d 2799	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴)↑2) + (2 · ((abs‘𝐴) · 𝐴))) = (𝐴 · ((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴)))))
43		sqval 14257	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
44	42, 43	oveq12d 7438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((abs‘𝐴)↑2) + (2 · ((abs‘𝐴) · 𝐴))) + (𝐴↑2)) = ((𝐴 · ((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴)))) + (𝐴 · 𝐴)))
45		binom2 14361	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((abs‘𝐴) + 𝐴)↑2) = ((((abs‘𝐴)↑2) + (2 · ((abs‘𝐴) · 𝐴))) + (𝐴↑2)))
46	9, 45	mpancom 701	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴) + 𝐴)↑2) = ((((abs‘𝐴)↑2) + (2 · ((abs‘𝐴) · 𝐴))) + (𝐴↑2)))
47		id 23	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
48	39, 34	addcld 11328	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) ∈ ℂ)
49	47, 48, 47	adddid 11333	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴)) = ((𝐴 · ((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴)))) + (𝐴 · 𝐴)))
50	44, 46, 49	3eqtr4d 2806	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴) + 𝐴)↑2) = (𝐴 · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴)))
51	9, 34	mulcld 11329	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) · (2 · (abs‘𝐴))) ∈ ℂ)
52	9, 39	mulcld 11329	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) · (∗‘𝐴)) ∈ ℂ)
53	51, 52	addcomd 11512	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴) · (2 · (abs‘𝐴))) + ((abs‘𝐴) · (∗‘𝐴))) = (((abs‘𝐴) · (∗‘𝐴)) + ((abs‘𝐴) · (2 · (abs‘𝐴)))))
54	9, 9	mulcld 11329	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)) ∈ ℂ)
55	54	2timesd 12589	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴))) = (((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)) + ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴))))
56		mul12 11475	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℂ) → (2 · ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴))) = ((abs‘𝐴) · (2 · (abs‘𝐴))))
57	29, 9, 9, 56	mp3an2i 1495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴))) = ((abs‘𝐴) · (2 · (abs‘𝐴))))
58	9	sqvald 14286	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴)↑2) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)))
59		mulcom 11286	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (∗‘𝐴) ∈ ℂ) → (𝐴 · (∗‘𝐴)) = ((∗‘𝐴) · 𝐴))
60	39, 59	mpdan 700	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · (∗‘𝐴)) = ((∗‘𝐴) · 𝐴))
61	28, 58, 60	3eqtr3d 2804	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)) = ((∗‘𝐴) · 𝐴))
62	61	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)) + ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴))) = (((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)) + ((∗‘𝐴) · 𝐴)))
63	55, 57, 62	3eqtr3rd 2805	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)) + ((∗‘𝐴) · 𝐴)) = ((abs‘𝐴) · (2 · (abs‘𝐴))))
64	63	oveq1d 7435	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)) + ((∗‘𝐴) · 𝐴)) + ((abs‘𝐴) · (∗‘𝐴))) = (((abs‘𝐴) · (2 · (abs‘𝐴))) + ((abs‘𝐴) · (∗‘𝐴))))
65	9, 39, 34	adddid 11333	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) · ((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴)))) = (((abs‘𝐴) · (∗‘𝐴)) + ((abs‘𝐴) · (2 · (abs‘𝐴)))))
66	53, 64, 65	3eqtr4d 2806	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)) + ((∗‘𝐴) · 𝐴)) + ((abs‘𝐴) · (∗‘𝐴))) = ((abs‘𝐴) · ((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴)))))
67	66	oveq1d 7435	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)) + ((∗‘𝐴) · 𝐴)) + ((abs‘𝐴) · (∗‘𝐴))) + ((abs‘𝐴) · 𝐴)) = (((abs‘𝐴) · ((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴)))) + ((abs‘𝐴) · 𝐴)))
68		cjadd 15308	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) = ((∗‘(abs‘𝐴)) + (∗‘𝐴)))
69	9, 68	mpancom 701	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) = ((∗‘(abs‘𝐴)) + (∗‘𝐴)))
70	3	cjred 15393	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(abs‘𝐴)) = (abs‘𝐴))
71	70	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((∗‘(abs‘𝐴)) + (∗‘𝐴)) = ((abs‘𝐴) + (∗‘𝐴)))
72	69, 71	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) = ((abs‘𝐴) + (∗‘𝐴)))
73	72	oveq2d 7436	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴) + 𝐴) · (∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) = (((abs‘𝐴) + 𝐴) · ((abs‘𝐴) + (∗‘𝐴))))
74	9, 47, 9, 39	muladdd 11774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴) + 𝐴) · ((abs‘𝐴) + (∗‘𝐴))) = ((((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)) + ((∗‘𝐴) · 𝐴)) + (((abs‘𝐴) · (∗‘𝐴)) + ((abs‘𝐴) · 𝐴))))
75	73, 74	eqtrd 2796	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴) + 𝐴) · (∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) = ((((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)) + ((∗‘𝐴) · 𝐴)) + (((abs‘𝐴) · (∗‘𝐴)) + ((abs‘𝐴) · 𝐴))))
76		absvalsq 15447	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((abs‘𝐴) + 𝐴) ∈ ℂ → ((abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))↑2) = (((abs‘𝐴) + 𝐴) · (∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))
77	11, 76	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))↑2) = (((abs‘𝐴) + 𝐴) · (∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))
78		mulcl 11284	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((∗‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((∗‘𝐴) · 𝐴) ∈ ℂ)
79	39, 78	mpancom 701	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((∗‘𝐴) · 𝐴) ∈ ℂ)
80	54, 79	addcld 11328	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)) + ((∗‘𝐴) · 𝐴)) ∈ ℂ)
81		mulcl 11284	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) · 𝐴) ∈ ℂ)
82	9, 81	mpancom 701	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) · 𝐴) ∈ ℂ)
83	80, 52, 82	addassd 11331	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)) + ((∗‘𝐴) · 𝐴)) + ((abs‘𝐴) · (∗‘𝐴))) + ((abs‘𝐴) · 𝐴)) = ((((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)) + ((∗‘𝐴) · 𝐴)) + (((abs‘𝐴) · (∗‘𝐴)) + ((abs‘𝐴) · 𝐴))))
84	75, 77, 83	3eqtr4d 2806	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))↑2) = (((((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)) + ((∗‘𝐴) · 𝐴)) + ((abs‘𝐴) · (∗‘𝐴))) + ((abs‘𝐴) · 𝐴)))
85	9, 48, 47	adddid 11333	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴)) = (((abs‘𝐴) · ((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴)))) + ((abs‘𝐴) · 𝐴)))
86	67, 84, 85	3eqtr4d 2806	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))↑2) = ((abs‘𝐴) · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴)))
87	50, 86	oveq12d 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((abs‘𝐴) + 𝐴)↑2) / ((abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))↑2)) = ((𝐴 · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴)) / ((abs‘𝐴) · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴))))
88	87	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ((((abs‘𝐴) + 𝐴)↑2) / ((abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))↑2)) = ((𝐴 · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴)) / ((abs‘𝐴) · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴))))
89	27, 88	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ((((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))↑2) = ((𝐴 · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴)) / ((abs‘𝐴) · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴))))
90	26, 89	oveq12d 7438	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → (((√‘(abs‘𝐴))↑2) · ((((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))↑2)) = ((abs‘𝐴) · ((𝐴 · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴)) / ((abs‘𝐴) · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴)))))
91		addcl 11282	. . . . . . . 8 ⊢ ((((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴) ∈ ℂ)
92	48, 91	mpancom 701	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴) ∈ ℂ)
93	9, 47, 92	mul12d 11519	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) · (𝐴 · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴))) = (𝐴 · ((abs‘𝐴) · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴))))
94	93	oveq1d 7435	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴) · (𝐴 · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴))) / ((abs‘𝐴) · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴))) = ((𝐴 · ((abs‘𝐴) · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴))) / ((abs‘𝐴) · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴))))
95	94	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → (((abs‘𝐴) · (𝐴 · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴))) / ((abs‘𝐴) · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴))) = ((𝐴 · ((abs‘𝐴) · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴))) / ((abs‘𝐴) · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴))))
96	9	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
97		mulcl 11284	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴) ∈ ℂ) → (𝐴 · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴)) ∈ ℂ)
98	92, 97	mpdan 700	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴)) ∈ ℂ)
99	98	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → (𝐴 · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴)) ∈ ℂ)
100	9, 92	mulcld 11329	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴)) ∈ ℂ)
101	100	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ((abs‘𝐴) · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴)) ∈ ℂ)
102		sqeq0 14263	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) ∈ ℂ → (((abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))↑2) = 0 ↔ (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) = 0))
103	15, 102	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))↑2) = 0 ↔ (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) = 0))
104	86	eqeq1d 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))↑2) = 0 ↔ ((abs‘𝐴) · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴)) = 0))
105	103, 104, 17	3bitr3rd 313	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴) + 𝐴) = 0 ↔ ((abs‘𝐴) · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴)) = 0))
106	105	necon3bid 3000	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0 ↔ ((abs‘𝐴) · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴)) ≠ 0))
107	106	biimpa 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ((abs‘𝐴) · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴)) ≠ 0)
108	96, 99, 101, 107	divassd 12128	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → (((abs‘𝐴) · (𝐴 · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴))) / ((abs‘𝐴) · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴))) = ((abs‘𝐴) · ((𝐴 · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴)) / ((abs‘𝐴) · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴)))))
109		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
110	109, 101, 107	divcan4d 12099	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ((𝐴 · ((abs‘𝐴) · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴))) / ((abs‘𝐴) · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴))) = 𝐴)
111	95, 108, 110	3eqtr3d 2804	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ((abs‘𝐴) · ((𝐴 · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴)) / ((abs‘𝐴) · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴)))) = 𝐴)
112	22, 90, 111	3eqtrd 2800	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → (𝐵↑2) = 𝐴)
113	6	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → (√‘(abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
114	11	addcjd 15379	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴) + 𝐴) + (∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) = (2 · (ℜ‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))
115		2re 12417	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
116	11	recld 15361	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) ∈ ℝ)
117		remulcl 11285	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (ℜ‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) ∈ ℝ) → (2 · (ℜ‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) ∈ ℝ)
118	115, 116, 117	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (ℜ‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) ∈ ℝ)
119	114, 118	eqeltrd 2861	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴) + 𝐴) + (∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) ∈ ℝ)
120	119	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → (((abs‘𝐴) + 𝐴) + (∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) ∈ ℝ)
121	14	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) ∈ ℝ)
122	120, 121, 19	redivcld 12145	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ((((abs‘𝐴) + 𝐴) + (∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) ∈ ℝ)
123	113, 122	remulcld 11339	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ((√‘(abs‘𝐴)) · ((((abs‘𝐴) + 𝐴) + (∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) ∈ ℝ)
124		sqrtge0 15424	. . . . . . 7 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)) → 0 ≤ (√‘(abs‘𝐴)))
125	3, 4, 124	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (√‘(abs‘𝐴)))
126	125	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → 0 ≤ (√‘(abs‘𝐴)))
127		negcl 11557	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
128		releabs 15489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( -𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘ -𝐴) ≤ (abs‘ -𝐴))
129	127, 128	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘ -𝐴) ≤ (abs‘ -𝐴))
130		abscl 15445	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ( -𝐴 ∈ ℂ → (abs‘ -𝐴) ∈ ℝ)
131	127, 130	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘ -𝐴) ∈ ℝ)
132	127	recld 15361	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘ -𝐴) ∈ ℝ)
133	131, 132	subge0d 11906	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 ≤ ((abs‘ -𝐴) − (ℜ‘ -𝐴)) ↔ (ℜ‘ -𝐴) ≤ (abs‘ -𝐴)))
134	129, 133	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ ((abs‘ -𝐴) − (ℜ‘ -𝐴)))
135		readd 15293	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (ℜ‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) = ((ℜ‘(abs‘𝐴)) + (ℜ‘𝐴)))
136	9, 135	mpancom 701	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) = ((ℜ‘(abs‘𝐴)) + (ℜ‘𝐴)))
137	3	rered 15391	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(abs‘𝐴)) = (abs‘𝐴))
138		absneg 15444	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘ -𝐴) = (abs‘𝐴))
139	137, 138	eqtr4d 2799	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(abs‘𝐴)) = (abs‘ -𝐴))
140		negneg 11608	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → - -𝐴 = 𝐴)
141	140	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘ - -𝐴) = (ℜ‘𝐴))
142	127	renegd 15376	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘ - -𝐴) = -(ℜ‘ -𝐴))
143	141, 142	eqtr3d 2798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) = -(ℜ‘ -𝐴))
144	139, 143	oveq12d 7438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘(abs‘𝐴)) + (ℜ‘𝐴)) = ((abs‘ -𝐴) + -(ℜ‘ -𝐴)))
145	131	recnd 11337	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘ -𝐴) ∈ ℂ)
146	132	recnd 11337	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘ -𝐴) ∈ ℂ)
147	145, 146	negsubd 11675	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘ -𝐴) + -(ℜ‘ -𝐴)) = ((abs‘ -𝐴) − (ℜ‘ -𝐴)))
148	136, 144, 147	3eqtrd 2800	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) = ((abs‘ -𝐴) − (ℜ‘ -𝐴)))
149	134, 148	breqtrrd 5133	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (ℜ‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))
150		0le2 12445	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 2
151		mulge0 11834	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) ∧ ((ℜ‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (ℜ‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) → 0 ≤ (2 · (ℜ‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))
152	115, 150, 151	mpanl12 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ℜ‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (ℜ‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) → 0 ≤ (2 · (ℜ‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))
153	116, 149, 152	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (2 · (ℜ‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))
154	153, 114	breqtrrd 5133	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (((abs‘𝐴) + 𝐴) + (∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))
155	154	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → 0 ≤ (((abs‘𝐴) + 𝐴) + (∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))
156		absge0 15454	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs‘𝐴) + 𝐴) ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))
157	12, 156	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → 0 ≤ (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))
158	121, 157, 19	ne0gt0d 11447	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → 0 < (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))
159		divge0 12186	. . . . . 6 ⊢ ((((((abs‘𝐴) + 𝐴) + (∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((abs‘𝐴) + 𝐴) + (∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) ∧ ((abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 < (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) → 0 ≤ ((((abs‘𝐴) + 𝐴) + (∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))
160	120, 155, 121, 158, 159	syl22anc 852	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → 0 ≤ ((((abs‘𝐴) + 𝐴) + (∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))
161	113, 122, 126, 160	mulge0d 11893	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → 0 ≤ ((√‘(abs‘𝐴)) · ((((abs‘𝐴) + 𝐴) + (∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))))
162		2pos 12447	. . . . 5 ⊢ 0 < 2
163		divge0 12186	. . . . 5 ⊢ (((((√‘(abs‘𝐴)) · ((((abs‘𝐴) + 𝐴) + (∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((√‘(abs‘𝐴)) · ((((abs‘𝐴) + 𝐴) + (∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → 0 ≤ (((√‘(abs‘𝐴)) · ((((abs‘𝐴) + 𝐴) + (∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) / 2))
164	115, 162, 163	mpanr12 718	. . . 4 ⊢ ((((√‘(abs‘𝐴)) · ((((abs‘𝐴) + 𝐴) + (∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((√‘(abs‘𝐴)) · ((((abs‘𝐴) + 𝐴) + (∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))) → 0 ≤ (((√‘(abs‘𝐴)) · ((((abs‘𝐴) + 𝐴) + (∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) / 2))
165	123, 161, 164	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → 0 ≤ (((√‘(abs‘𝐴)) · ((((abs‘𝐴) + 𝐴) + (∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) / 2))
166	8, 20	mulcld 11329	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) ∈ ℂ)
167	1, 166	eqeltrid 2865	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
168		reval 15273	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐵) = ((𝐵 + (∗‘𝐵)) / 2))
169	167, 168	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → (ℜ‘𝐵) = ((𝐵 + (∗‘𝐵)) / 2))
170	1	oveq1i 7430	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 + ((√‘(abs‘𝐴)) · ((∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))) = (((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) + ((√‘(abs‘𝐴)) · ((∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))))
171	1	fveq2i 6888	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∗‘𝐵) = (∗‘((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))))
172	8, 20	cjmuld 15388	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → (∗‘((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))) = ((∗‘(√‘(abs‘𝐴))) · (∗‘(((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))))
173	171, 172	eqtrid 2808	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → (∗‘𝐵) = ((∗‘(√‘(abs‘𝐴))) · (∗‘(((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))))
174	6	cjred 15393	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(√‘(abs‘𝐴))) = (√‘(abs‘𝐴)))
175	174	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → (∗‘(√‘(abs‘𝐴))) = (√‘(abs‘𝐴)))
176	12, 16, 19	cjdivd 15390	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → (∗‘(((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) = ((∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) / (∗‘(abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))))
177	121	cjred 15393	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → (∗‘(abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) = (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))
178	177	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ((∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) / (∗‘(abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) = ((∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))
179	176, 178	eqtrd 2796	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → (∗‘(((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) = ((∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))
180	175, 179	oveq12d 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ((∗‘(√‘(abs‘𝐴))) · (∗‘(((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))) = ((√‘(abs‘𝐴)) · ((∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))))
181	173, 180	eqtrd 2796	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → (∗‘𝐵) = ((√‘(abs‘𝐴)) · ((∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))))
182	181	oveq2d 7436	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → (𝐵 + (∗‘𝐵)) = (𝐵 + ((√‘(abs‘𝐴)) · ((∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))))
183	12	cjcld 15363	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → (∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) ∈ ℂ)
184	183, 16, 19	divcld 12093	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ((∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) ∈ ℂ)
185	8, 20, 184	adddid 11333	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ((√‘(abs‘𝐴)) · ((((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) + ((∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))) = (((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) + ((√‘(abs‘𝐴)) · ((∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))))
186	170, 182, 185	3eqtr4a 2822	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → (𝐵 + (∗‘𝐵)) = ((√‘(abs‘𝐴)) · ((((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) + ((∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))))
187	12, 183, 16, 19	divdird 12131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ((((abs‘𝐴) + 𝐴) + (∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) = ((((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) + ((∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))))
188	187	oveq2d 7436	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ((√‘(abs‘𝐴)) · ((((abs‘𝐴) + 𝐴) + (∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) = ((√‘(abs‘𝐴)) · ((((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) + ((∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))))
189	186, 188	eqtr4d 2799	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → (𝐵 + (∗‘𝐵)) = ((√‘(abs‘𝐴)) · ((((abs‘𝐴) + 𝐴) + (∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))))
190	189	oveq1d 7435	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ((𝐵 + (∗‘𝐵)) / 2) = (((√‘(abs‘𝐴)) · ((((abs‘𝐴) + 𝐴) + (∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) / 2))
191	169, 190	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → (ℜ‘𝐵) = (((√‘(abs‘𝐴)) · ((((abs‘𝐴) + 𝐴) + (∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) / 2))
192	165, 191	breqtrrd 5133	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → 0 ≤ (ℜ‘𝐵))
193		subneg 11607	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) − -𝐴) = ((abs‘𝐴) + 𝐴))
194	9, 193	mpancom 701	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) − -𝐴) = ((abs‘𝐴) + 𝐴))
195	194	eqeq1d 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴) − -𝐴) = 0 ↔ ((abs‘𝐴) + 𝐴) = 0))
196	9, 127	subeq0ad 11677	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴) − -𝐴) = 0 ↔ (abs‘𝐴) = -𝐴))
197	195, 196	bitr3d 284	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴) + 𝐴) = 0 ↔ (abs‘𝐴) = -𝐴))
198	197	necon3bid 3000	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0 ↔ (abs‘𝐴) ≠ -𝐴))
199	198	biimpa 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → (abs‘𝐴) ≠ -𝐴)
200		resqcl 14267	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i · 𝐵) ∈ ℝ → ((i · 𝐵)↑2) ∈ ℝ)
201		ax-icn 11259	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ i ∈ ℂ
202		sqmul 14262	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((i · 𝐵)↑2) = ((i↑2) · (𝐵↑2)))
203	201, 167, 202	sylancr 599	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ((i · 𝐵)↑2) = ((i↑2) · (𝐵↑2)))
204		i2 14346	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (i↑2) = -1
205	204	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → (i↑2) = -1)
206	205, 112	oveq12d 7438	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ((i↑2) · (𝐵↑2)) = ( -1 · 𝐴))
207		mulm1 11757	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -1 · 𝐴) = -𝐴)
208	207	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ( -1 · 𝐴) = -𝐴)
209	203, 206, 208	3eqtrd 2800	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ((i · 𝐵)↑2) = -𝐴)
210	209	eleq1d 2846	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → (((i · 𝐵)↑2) ∈ ℝ ↔ -𝐴 ∈ ℝ))
211	200, 210	imbitrid 247	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ((i · 𝐵) ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ))
212		renegcl 11621	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( -𝐴 ∈ ℝ → - -𝐴 ∈ ℝ)
213	140	eleq1d 2846	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( - -𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝐴 ∈ ℝ))
214	212, 213	imbitrid 247	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ))
215	109, 211, 214	sylsyld 62	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ((i · 𝐵) ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ))
216		sqge0 14279	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i · 𝐵) ∈ ℝ → 0 ≤ ((i · 𝐵)↑2))
217	209	breq2d 5115	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → (0 ≤ ((i · 𝐵)↑2) ↔ 0 ≤ -𝐴))
218	216, 217	imbitrid 247	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ((i · 𝐵) ∈ ℝ → 0 ≤ -𝐴))
219		le0neg1 11824	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐴))
220	219	biimprcd 253	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ≤ -𝐴 → (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ 0))
221	218, 215, 220	syl6c 71	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ((i · 𝐵) ∈ ℝ → 𝐴 ≤ 0))
222	215, 221	jcad 522	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ((i · 𝐵) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0)))
223		absnid 15465	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (abs‘𝐴) = -𝐴)
224	222, 223	syl6 36	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ((i · 𝐵) ∈ ℝ → (abs‘𝐴) = -𝐴))
225	224	necon3ad 2969	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ((abs‘𝐴) ≠ -𝐴 → ¬ (i · 𝐵) ∈ ℝ))
226	199, 225	mpd 16	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ¬ (i · 𝐵) ∈ ℝ)
227		rpre 13129	. . . 4 ⊢ ((i · 𝐵) ∈ ℝ⁺ → (i · 𝐵) ∈ ℝ)
228	226, 227	nsyl 141	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ¬ (i · 𝐵) ∈ ℝ⁺)
229		df-nel 3063	. . 3 ⊢ ((i · 𝐵) ∉ ℝ⁺ ↔ ¬ (i · 𝐵) ∈ ℝ⁺)
230	228, 229	sylibr 237	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → (i · 𝐵) ∉ ℝ⁺)
231	112, 192, 230	3jca 1146	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ((𝐵↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐵) ∧ (i · 𝐵) ∉ ℝ⁺))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 ∧ w3a 1103 = wceq 1570 ∈ wcel 2145 ≠ wne 2956 ∉ wnel 3062 class class class wbr 5103 ‘cfv 6538 (class class class)co 7420 ℂcc 11198 ℝcr 11199 0cc0 11200 1c1 11201 ici 11202 + caddc 11203 · cmul 11205 < clt 11343 ≤ cle 11344 − cmin 11541 -cneg 11542 / cdiv 11973 2c2 12397 ℝ⁺crp 13120 ↑cexp 14204 ∗ccj 15263 ℜcre 15264 √csqrt 15400 abscabs 15401

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2147 ax-9 2155 ax-10 2178 ax-11 2194 ax-12 2213 ax-ext 2733 ax-sep 5249 ax-nul 5260 ax-pow 5327 ax-pr 5391 ax-un 7751 ax-cnex 11256 ax-resscn 11257 ax-1cn 11258 ax-icn 11259 ax-addcl 11260 ax-addrcl 11261 ax-mulcl 11262 ax-mulrcl 11263 ax-mulcom 11264 ax-addass 11265 ax-mulass 11266 ax-distr 11267 ax-i2m1 11268 ax-1ne0 11269 ax-1rid 11270 ax-rnegex 11271 ax-rrecex 11272 ax-cnre 11273 ax-pre-lttri 11274 ax-pre-lttrn 11275 ax-pre-ltadd 11276 ax-pre-mulgt0 11277 ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2565 df-eu 2595 df-clab 2740 df-cleq 2753 df-clel 2836 df-nfc 2910 df-ne 2957 df-nel 3063 df-ral 3078 df-rex 3088 df-rmo 3366 df-reu 3367 df-rab 3414 df-v 3453 df-sbc 3740 df-csb 3848 df-dif 3902 df-un 3904 df-in 3906 df-ss 3916 df-pss 3919 df-nul 4280 df-if 4483 df-pw 4559 df-sn 4585 df-pr 4587 df-op 4591 df-uni 4868 df-iun 4953 df-br 5104 df-opab 5168 df-mpt 5187 df-tr 5213 df-id 5546 df-eprel 5551 df-po 5559 df-so 5560 df-fr 5604 df-we 5606 df-xp 5657 df-rel 5658 df-cnv 5659 df-co 5660 df-dm 5661 df-rn 5662 df-res 5663 df-ima 5664 df-pred 6304 df-ord 6365 df-on 6366 df-lim 6367 df-suc 6368 df-iota 6494 df-fun 6540 df-fn 6541 df-f 6542 df-f1 6543 df-fo 6544 df-f1o 6545 df-fv 6546 df-riota 7377 df-ov 7423 df-oprab 7424 df-mpo 7425 df-om 7878 df-2nd 8002 df-frecs 8299 df-wrecs 8330 df-recs 8379 df-rdg 8418 df-er 8717 df-en 8974 df-dom 8975 df-sdom 8976 df-sup 9434 df-pnf 11345 df-mnf 11346 df-xr 11347 df-ltxr 11348 df-le 11349 df-sub 11543 df-neg 11544 df-div 11974 df-nn 12336 df-2 12405 df-3 12406 df-n0 12607 df-z 12694 df-uz 12966 df-rp 13121 df-seq 14145 df-exp 14205 df-cj 15266 df-re 15267 df-im 15268 df-sqrt 15402 df-abs 15403

This theorem is used by: sqreu 15528 cphsqrtcl2 25507 constrsqrtcl 34411

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