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Theorem sqreulem 15267

Description: Lemma for sqreu 15268: write a general complex square root in terms of the square root function over nonnegative reals. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
sqrteulem.1	⊢ 𝐵 = ((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))

**Assertion**
Ref	Expression
sqreulem	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ((𝐵↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐵) ∧ (i · 𝐵) ∉ ℝ⁺))

**Proof of Theorem sqreulem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrteulem.1	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = ((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))
2	1	oveq1i 7359	. . . 4 ⊢ (𝐵↑2) = (((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))↑2)
3		abscl 15185	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
4		absge0 15194	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
5		resqrtcl 15160	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)) → (√‘(abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
6	3, 4, 5	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
7	6	recnd 11143	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(abs‘𝐴)) ∈ ℂ)
8	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → (√‘(abs‘𝐴)) ∈ ℂ)
9	3	recnd 11143	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
10		addcl 11091	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) + 𝐴) ∈ ℂ)
11	9, 10	mpancom 688	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) + 𝐴) ∈ ℂ)
12	11	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ((abs‘𝐴) + 𝐴) ∈ ℂ)
13		abscl 15185	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs‘𝐴) + 𝐴) ∈ ℂ → (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) ∈ ℝ)
14	11, 13	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) ∈ ℝ)
15	14	recnd 11143	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) ∈ ℂ)
16	15	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) ∈ ℂ)
17	11	abs00ad 15197	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) = 0 ↔ ((abs‘𝐴) + 𝐴) = 0))
18	17	necon3bid 2969	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) ≠ 0 ↔ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0))
19	18	biimpar 477	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) ≠ 0)
20	12, 16, 19	divcld 11900	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) ∈ ℂ)
21	8, 20	sqmuld 14065	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → (((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))↑2) = (((√‘(abs‘𝐴))↑2) · ((((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))↑2)))
22	2, 21	eqtrid 2776	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → (𝐵↑2) = (((√‘(abs‘𝐴))↑2) · ((((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))↑2)))
23	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
24	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → 0 ≤ (abs‘𝐴))
25		resqrtth 15162	. . . . 5 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)) → ((√‘(abs‘𝐴))↑2) = (abs‘𝐴))
26	23, 24, 25	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ((√‘(abs‘𝐴))↑2) = (abs‘𝐴))
27	12, 16, 19	sqdivd 14066	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ((((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))↑2) = ((((abs‘𝐴) + 𝐴)↑2) / ((abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))↑2)))
28		absvalsq 15187	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴)↑2) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
29		2cn 12203	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℂ
30		mulass 11097	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((2 · (abs‘𝐴)) · 𝐴) = (2 · ((abs‘𝐴) · 𝐴)))
31	29, 30	mp3an1 1450	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((2 · (abs‘𝐴)) · 𝐴) = (2 · ((abs‘𝐴) · 𝐴)))
32	9, 31	mpancom 688	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · (abs‘𝐴)) · 𝐴) = (2 · ((abs‘𝐴) · 𝐴)))
33		mulcl 11093	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℂ) → (2 · (abs‘𝐴)) ∈ ℂ)
34	29, 9, 33	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (abs‘𝐴)) ∈ ℂ)
35		mulcom 11095	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((2 · (abs‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((2 · (abs‘𝐴)) · 𝐴) = (𝐴 · (2 · (abs‘𝐴))))
36	34, 35	mpancom 688	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · (abs‘𝐴)) · 𝐴) = (𝐴 · (2 · (abs‘𝐴))))
37	32, 36	eqtr3d 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · ((abs‘𝐴) · 𝐴)) = (𝐴 · (2 · (abs‘𝐴))))
38	28, 37	oveq12d 7367	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴)↑2) + (2 · ((abs‘𝐴) · 𝐴))) = ((𝐴 · (∗‘𝐴)) + (𝐴 · (2 · (abs‘𝐴)))))
39		cjcl 15012	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
40		adddi 11098	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (∗‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (2 · (abs‘𝐴)) ∈ ℂ) → (𝐴 · ((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴)))) = ((𝐴 · (∗‘𝐴)) + (𝐴 · (2 · (abs‘𝐴)))))
41	39, 34, 40	mpd3an23 1465	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · ((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴)))) = ((𝐴 · (∗‘𝐴)) + (𝐴 · (2 · (abs‘𝐴)))))
42	38, 41	eqtr4d 2767	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴)↑2) + (2 · ((abs‘𝐴) · 𝐴))) = (𝐴 · ((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴)))))
43		sqval 14021	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
44	42, 43	oveq12d 7367	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((abs‘𝐴)↑2) + (2 · ((abs‘𝐴) · 𝐴))) + (𝐴↑2)) = ((𝐴 · ((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴)))) + (𝐴 · 𝐴)))
45		binom2 14124	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((abs‘𝐴) + 𝐴)↑2) = ((((abs‘𝐴)↑2) + (2 · ((abs‘𝐴) · 𝐴))) + (𝐴↑2)))
46	9, 45	mpancom 688	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴) + 𝐴)↑2) = ((((abs‘𝐴)↑2) + (2 · ((abs‘𝐴) · 𝐴))) + (𝐴↑2)))
47		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
48	39, 34	addcld 11134	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) ∈ ℂ)
49	47, 48, 47	adddid 11139	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴)) = ((𝐴 · ((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴)))) + (𝐴 · 𝐴)))
50	44, 46, 49	3eqtr4d 2774	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴) + 𝐴)↑2) = (𝐴 · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴)))
51	9, 34	mulcld 11135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) · (2 · (abs‘𝐴))) ∈ ℂ)
52	9, 39	mulcld 11135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) · (∗‘𝐴)) ∈ ℂ)
53	51, 52	addcomd 11318	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴) · (2 · (abs‘𝐴))) + ((abs‘𝐴) · (∗‘𝐴))) = (((abs‘𝐴) · (∗‘𝐴)) + ((abs‘𝐴) · (2 · (abs‘𝐴)))))
54	9, 9	mulcld 11135	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)) ∈ ℂ)
55	54	2timesd 12367	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴))) = (((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)) + ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴))))
56		mul12 11281	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℂ) → (2 · ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴))) = ((abs‘𝐴) · (2 · (abs‘𝐴))))
57	29, 9, 9, 56	mp3an2i 1468	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴))) = ((abs‘𝐴) · (2 · (abs‘𝐴))))
58	9	sqvald 14050	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴)↑2) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)))
59		mulcom 11095	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (∗‘𝐴) ∈ ℂ) → (𝐴 · (∗‘𝐴)) = ((∗‘𝐴) · 𝐴))
60	39, 59	mpdan 687	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · (∗‘𝐴)) = ((∗‘𝐴) · 𝐴))
61	28, 58, 60	3eqtr3d 2772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)) = ((∗‘𝐴) · 𝐴))
62	61	oveq2d 7365	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)) + ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴))) = (((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)) + ((∗‘𝐴) · 𝐴)))
63	55, 57, 62	3eqtr3rd 2773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)) + ((∗‘𝐴) · 𝐴)) = ((abs‘𝐴) · (2 · (abs‘𝐴))))
64	63	oveq1d 7364	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)) + ((∗‘𝐴) · 𝐴)) + ((abs‘𝐴) · (∗‘𝐴))) = (((abs‘𝐴) · (2 · (abs‘𝐴))) + ((abs‘𝐴) · (∗‘𝐴))))
65	9, 39, 34	adddid 11139	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) · ((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴)))) = (((abs‘𝐴) · (∗‘𝐴)) + ((abs‘𝐴) · (2 · (abs‘𝐴)))))
66	53, 64, 65	3eqtr4d 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)) + ((∗‘𝐴) · 𝐴)) + ((abs‘𝐴) · (∗‘𝐴))) = ((abs‘𝐴) · ((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴)))))
67	66	oveq1d 7364	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)) + ((∗‘𝐴) · 𝐴)) + ((abs‘𝐴) · (∗‘𝐴))) + ((abs‘𝐴) · 𝐴)) = (((abs‘𝐴) · ((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴)))) + ((abs‘𝐴) · 𝐴)))
68		cjadd 15048	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) = ((∗‘(abs‘𝐴)) + (∗‘𝐴)))
69	9, 68	mpancom 688	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) = ((∗‘(abs‘𝐴)) + (∗‘𝐴)))
70	3	cjred 15133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(abs‘𝐴)) = (abs‘𝐴))
71	70	oveq1d 7364	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((∗‘(abs‘𝐴)) + (∗‘𝐴)) = ((abs‘𝐴) + (∗‘𝐴)))
72	69, 71	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) = ((abs‘𝐴) + (∗‘𝐴)))
73	72	oveq2d 7365	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴) + 𝐴) · (∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) = (((abs‘𝐴) + 𝐴) · ((abs‘𝐴) + (∗‘𝐴))))
74	9, 47, 9, 39	muladdd 11578	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴) + 𝐴) · ((abs‘𝐴) + (∗‘𝐴))) = ((((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)) + ((∗‘𝐴) · 𝐴)) + (((abs‘𝐴) · (∗‘𝐴)) + ((abs‘𝐴) · 𝐴))))
75	73, 74	eqtrd 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴) + 𝐴) · (∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) = ((((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)) + ((∗‘𝐴) · 𝐴)) + (((abs‘𝐴) · (∗‘𝐴)) + ((abs‘𝐴) · 𝐴))))
76		absvalsq 15187	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((abs‘𝐴) + 𝐴) ∈ ℂ → ((abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))↑2) = (((abs‘𝐴) + 𝐴) · (∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))
77	11, 76	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))↑2) = (((abs‘𝐴) + 𝐴) · (∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))
78		mulcl 11093	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((∗‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((∗‘𝐴) · 𝐴) ∈ ℂ)
79	39, 78	mpancom 688	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((∗‘𝐴) · 𝐴) ∈ ℂ)
80	54, 79	addcld 11134	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)) + ((∗‘𝐴) · 𝐴)) ∈ ℂ)
81		mulcl 11093	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) · 𝐴) ∈ ℂ)
82	9, 81	mpancom 688	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) · 𝐴) ∈ ℂ)
83	80, 52, 82	addassd 11137	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)) + ((∗‘𝐴) · 𝐴)) + ((abs‘𝐴) · (∗‘𝐴))) + ((abs‘𝐴) · 𝐴)) = ((((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)) + ((∗‘𝐴) · 𝐴)) + (((abs‘𝐴) · (∗‘𝐴)) + ((abs‘𝐴) · 𝐴))))
84	75, 77, 83	3eqtr4d 2774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))↑2) = (((((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)) + ((∗‘𝐴) · 𝐴)) + ((abs‘𝐴) · (∗‘𝐴))) + ((abs‘𝐴) · 𝐴)))
85	9, 48, 47	adddid 11139	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴)) = (((abs‘𝐴) · ((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴)))) + ((abs‘𝐴) · 𝐴)))
86	67, 84, 85	3eqtr4d 2774	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))↑2) = ((abs‘𝐴) · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴)))
87	50, 86	oveq12d 7367	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((abs‘𝐴) + 𝐴)↑2) / ((abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))↑2)) = ((𝐴 · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴)) / ((abs‘𝐴) · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴))))
88	87	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ((((abs‘𝐴) + 𝐴)↑2) / ((abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))↑2)) = ((𝐴 · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴)) / ((abs‘𝐴) · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴))))
89	27, 88	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ((((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))↑2) = ((𝐴 · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴)) / ((abs‘𝐴) · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴))))
90	26, 89	oveq12d 7367	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → (((√‘(abs‘𝐴))↑2) · ((((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))↑2)) = ((abs‘𝐴) · ((𝐴 · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴)) / ((abs‘𝐴) · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴)))))
91		addcl 11091	. . . . . . . 8 ⊢ ((((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴) ∈ ℂ)
92	48, 91	mpancom 688	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴) ∈ ℂ)
93	9, 47, 92	mul12d 11325	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) · (𝐴 · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴))) = (𝐴 · ((abs‘𝐴) · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴))))
94	93	oveq1d 7364	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴) · (𝐴 · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴))) / ((abs‘𝐴) · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴))) = ((𝐴 · ((abs‘𝐴) · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴))) / ((abs‘𝐴) · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴))))
95	94	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → (((abs‘𝐴) · (𝐴 · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴))) / ((abs‘𝐴) · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴))) = ((𝐴 · ((abs‘𝐴) · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴))) / ((abs‘𝐴) · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴))))
96	9	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
97		mulcl 11093	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴) ∈ ℂ) → (𝐴 · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴)) ∈ ℂ)
98	92, 97	mpdan 687	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴)) ∈ ℂ)
99	98	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → (𝐴 · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴)) ∈ ℂ)
100	9, 92	mulcld 11135	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴)) ∈ ℂ)
101	100	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ((abs‘𝐴) · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴)) ∈ ℂ)
102		sqeq0 14027	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) ∈ ℂ → (((abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))↑2) = 0 ↔ (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) = 0))
103	15, 102	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))↑2) = 0 ↔ (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) = 0))
104	86	eqeq1d 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))↑2) = 0 ↔ ((abs‘𝐴) · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴)) = 0))
105	103, 104, 17	3bitr3rd 310	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴) + 𝐴) = 0 ↔ ((abs‘𝐴) · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴)) = 0))
106	105	necon3bid 2969	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0 ↔ ((abs‘𝐴) · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴)) ≠ 0))
107	106	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ((abs‘𝐴) · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴)) ≠ 0)
108	96, 99, 101, 107	divassd 11935	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → (((abs‘𝐴) · (𝐴 · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴))) / ((abs‘𝐴) · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴))) = ((abs‘𝐴) · ((𝐴 · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴)) / ((abs‘𝐴) · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴)))))
109		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
110	109, 101, 107	divcan4d 11906	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ((𝐴 · ((abs‘𝐴) · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴))) / ((abs‘𝐴) · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴))) = 𝐴)
111	95, 108, 110	3eqtr3d 2772	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ((abs‘𝐴) · ((𝐴 · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴)) / ((abs‘𝐴) · (((∗‘𝐴) + (2 · (abs‘𝐴))) + 𝐴)))) = 𝐴)
112	22, 90, 111	3eqtrd 2768	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → (𝐵↑2) = 𝐴)
113	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → (√‘(abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
114	11	addcjd 15119	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴) + 𝐴) + (∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) = (2 · (ℜ‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))
115		2re 12202	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
116	11	recld 15101	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) ∈ ℝ)
117		remulcl 11094	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (ℜ‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) ∈ ℝ) → (2 · (ℜ‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) ∈ ℝ)
118	115, 116, 117	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (ℜ‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) ∈ ℝ)
119	114, 118	eqeltrd 2828	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴) + 𝐴) + (∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) ∈ ℝ)
120	119	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → (((abs‘𝐴) + 𝐴) + (∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) ∈ ℝ)
121	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) ∈ ℝ)
122	120, 121, 19	redivcld 11952	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ((((abs‘𝐴) + 𝐴) + (∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) ∈ ℝ)
123	113, 122	remulcld 11145	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ((√‘(abs‘𝐴)) · ((((abs‘𝐴) + 𝐴) + (∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) ∈ ℝ)
124		sqrtge0 15164	. . . . . . 7 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)) → 0 ≤ (√‘(abs‘𝐴)))
125	3, 4, 124	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (√‘(abs‘𝐴)))
126	125	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → 0 ≤ (√‘(abs‘𝐴)))
127		negcl 11363	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
128		releabs 15229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘-𝐴) ≤ (abs‘-𝐴))
129	127, 128	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘-𝐴) ≤ (abs‘-𝐴))
130		abscl 15185	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-𝐴 ∈ ℂ → (abs‘-𝐴) ∈ ℝ)
131	127, 130	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘-𝐴) ∈ ℝ)
132	127	recld 15101	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘-𝐴) ∈ ℝ)
133	131, 132	subge0d 11710	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 ≤ ((abs‘-𝐴) − (ℜ‘-𝐴)) ↔ (ℜ‘-𝐴) ≤ (abs‘-𝐴)))
134	129, 133	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ ((abs‘-𝐴) − (ℜ‘-𝐴)))
135		readd 15033	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (ℜ‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) = ((ℜ‘(abs‘𝐴)) + (ℜ‘𝐴)))
136	9, 135	mpancom 688	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) = ((ℜ‘(abs‘𝐴)) + (ℜ‘𝐴)))
137	3	rered 15131	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(abs‘𝐴)) = (abs‘𝐴))
138		absneg 15184	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘-𝐴) = (abs‘𝐴))
139	137, 138	eqtr4d 2767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(abs‘𝐴)) = (abs‘-𝐴))
140		negneg 11414	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → --𝐴 = 𝐴)
141	140	fveq2d 6826	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘--𝐴) = (ℜ‘𝐴))
142	127	renegd 15116	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘--𝐴) = -(ℜ‘-𝐴))
143	141, 142	eqtr3d 2766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) = -(ℜ‘-𝐴))
144	139, 143	oveq12d 7367	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘(abs‘𝐴)) + (ℜ‘𝐴)) = ((abs‘-𝐴) + -(ℜ‘-𝐴)))
145	131	recnd 11143	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘-𝐴) ∈ ℂ)
146	132	recnd 11143	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘-𝐴) ∈ ℂ)
147	145, 146	negsubd 11481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘-𝐴) + -(ℜ‘-𝐴)) = ((abs‘-𝐴) − (ℜ‘-𝐴)))
148	136, 144, 147	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) = ((abs‘-𝐴) − (ℜ‘-𝐴)))
149	134, 148	breqtrrd 5120	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (ℜ‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))
150		0le2 12230	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 2
151		mulge0 11638	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) ∧ ((ℜ‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (ℜ‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) → 0 ≤ (2 · (ℜ‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))
152	115, 150, 151	mpanl12 702	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ℜ‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (ℜ‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) → 0 ≤ (2 · (ℜ‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))
153	116, 149, 152	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (2 · (ℜ‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))
154	153, 114	breqtrrd 5120	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (((abs‘𝐴) + 𝐴) + (∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))
155	154	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → 0 ≤ (((abs‘𝐴) + 𝐴) + (∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))
156		absge0 15194	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs‘𝐴) + 𝐴) ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))
157	12, 156	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → 0 ≤ (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))
158	121, 157, 19	ne0gt0d 11253	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → 0 < (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))
159		divge0 11994	. . . . . 6 ⊢ ((((((abs‘𝐴) + 𝐴) + (∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((abs‘𝐴) + 𝐴) + (∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) ∧ ((abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 < (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) → 0 ≤ ((((abs‘𝐴) + 𝐴) + (∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))
160	120, 155, 121, 158, 159	syl22anc 838	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → 0 ≤ ((((abs‘𝐴) + 𝐴) + (∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))
161	113, 122, 126, 160	mulge0d 11697	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → 0 ≤ ((√‘(abs‘𝐴)) · ((((abs‘𝐴) + 𝐴) + (∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))))
162		2pos 12231	. . . . 5 ⊢ 0 < 2
163		divge0 11994	. . . . 5 ⊢ (((((√‘(abs‘𝐴)) · ((((abs‘𝐴) + 𝐴) + (∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((√‘(abs‘𝐴)) · ((((abs‘𝐴) + 𝐴) + (∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → 0 ≤ (((√‘(abs‘𝐴)) · ((((abs‘𝐴) + 𝐴) + (∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) / 2))
164	115, 162, 163	mpanr12 705	. . . 4 ⊢ ((((√‘(abs‘𝐴)) · ((((abs‘𝐴) + 𝐴) + (∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((√‘(abs‘𝐴)) · ((((abs‘𝐴) + 𝐴) + (∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))) → 0 ≤ (((√‘(abs‘𝐴)) · ((((abs‘𝐴) + 𝐴) + (∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) / 2))
165	123, 161, 164	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → 0 ≤ (((√‘(abs‘𝐴)) · ((((abs‘𝐴) + 𝐴) + (∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) / 2))
166	8, 20	mulcld 11135	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) ∈ ℂ)
167	1, 166	eqeltrid 2832	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
168		reval 15013	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐵) = ((𝐵 + (∗‘𝐵)) / 2))
169	167, 168	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → (ℜ‘𝐵) = ((𝐵 + (∗‘𝐵)) / 2))
170	1	oveq1i 7359	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 + ((√‘(abs‘𝐴)) · ((∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))) = (((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) + ((√‘(abs‘𝐴)) · ((∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))))
171	1	fveq2i 6825	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∗‘𝐵) = (∗‘((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))))
172	8, 20	cjmuld 15128	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → (∗‘((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))) = ((∗‘(√‘(abs‘𝐴))) · (∗‘(((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))))
173	171, 172	eqtrid 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → (∗‘𝐵) = ((∗‘(√‘(abs‘𝐴))) · (∗‘(((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))))
174	6	cjred 15133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(√‘(abs‘𝐴))) = (√‘(abs‘𝐴)))
175	174	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → (∗‘(√‘(abs‘𝐴))) = (√‘(abs‘𝐴)))
176	12, 16, 19	cjdivd 15130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → (∗‘(((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) = ((∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) / (∗‘(abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))))
177	121	cjred 15133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → (∗‘(abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) = (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))
178	177	oveq2d 7365	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ((∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) / (∗‘(abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) = ((∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))
179	176, 178	eqtrd 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → (∗‘(((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) = ((∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))
180	175, 179	oveq12d 7367	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ((∗‘(√‘(abs‘𝐴))) · (∗‘(((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))) = ((√‘(abs‘𝐴)) · ((∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))))
181	173, 180	eqtrd 2764	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → (∗‘𝐵) = ((√‘(abs‘𝐴)) · ((∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))))
182	181	oveq2d 7365	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → (𝐵 + (∗‘𝐵)) = (𝐵 + ((√‘(abs‘𝐴)) · ((∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))))
183	12	cjcld 15103	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → (∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) ∈ ℂ)
184	183, 16, 19	divcld 11900	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ((∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) ∈ ℂ)
185	8, 20, 184	adddid 11139	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ((√‘(abs‘𝐴)) · ((((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) + ((∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))) = (((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) + ((√‘(abs‘𝐴)) · ((∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))))
186	170, 182, 185	3eqtr4a 2790	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → (𝐵 + (∗‘𝐵)) = ((√‘(abs‘𝐴)) · ((((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) + ((∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))))
187	12, 183, 16, 19	divdird 11938	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ((((abs‘𝐴) + 𝐴) + (∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) = ((((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) + ((∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))))
188	187	oveq2d 7365	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ((√‘(abs‘𝐴)) · ((((abs‘𝐴) + 𝐴) + (∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) = ((√‘(abs‘𝐴)) · ((((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) + ((∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))))
189	186, 188	eqtr4d 2767	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → (𝐵 + (∗‘𝐵)) = ((√‘(abs‘𝐴)) · ((((abs‘𝐴) + 𝐴) + (∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))))
190	189	oveq1d 7364	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ((𝐵 + (∗‘𝐵)) / 2) = (((√‘(abs‘𝐴)) · ((((abs‘𝐴) + 𝐴) + (∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) / 2))
191	169, 190	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → (ℜ‘𝐵) = (((√‘(abs‘𝐴)) · ((((abs‘𝐴) + 𝐴) + (∗‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) / 2))
192	165, 191	breqtrrd 5120	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → 0 ≤ (ℜ‘𝐵))
193		subneg 11413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) − -𝐴) = ((abs‘𝐴) + 𝐴))
194	9, 193	mpancom 688	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) − -𝐴) = ((abs‘𝐴) + 𝐴))
195	194	eqeq1d 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴) − -𝐴) = 0 ↔ ((abs‘𝐴) + 𝐴) = 0))
196	9, 127	subeq0ad 11485	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴) − -𝐴) = 0 ↔ (abs‘𝐴) = -𝐴))
197	195, 196	bitr3d 281	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴) + 𝐴) = 0 ↔ (abs‘𝐴) = -𝐴))
198	197	necon3bid 2969	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0 ↔ (abs‘𝐴) ≠ -𝐴))
199	198	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → (abs‘𝐴) ≠ -𝐴)
200		resqcl 14031	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i · 𝐵) ∈ ℝ → ((i · 𝐵)↑2) ∈ ℝ)
201		ax-icn 11068	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ i ∈ ℂ
202		sqmul 14026	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((i · 𝐵)↑2) = ((i↑2) · (𝐵↑2)))
203	201, 167, 202	sylancr 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ((i · 𝐵)↑2) = ((i↑2) · (𝐵↑2)))
204		i2 14109	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (i↑2) = -1
205	204	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → (i↑2) = -1)
206	205, 112	oveq12d 7367	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ((i↑2) · (𝐵↑2)) = (-1 · 𝐴))
207		mulm1 11561	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
208	207	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
209	203, 206, 208	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ((i · 𝐵)↑2) = -𝐴)
210	209	eleq1d 2813	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → (((i · 𝐵)↑2) ∈ ℝ ↔ -𝐴 ∈ ℝ))
211	200, 210	imbitrid 244	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ((i · 𝐵) ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ))
212		renegcl 11427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ → --𝐴 ∈ ℝ)
213	140	eleq1d 2813	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (--𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝐴 ∈ ℝ))
214	212, 213	imbitrid 244	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ))
215	109, 211, 214	sylsyld 61	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ((i · 𝐵) ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ))
216		sqge0 14043	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i · 𝐵) ∈ ℝ → 0 ≤ ((i · 𝐵)↑2))
217	209	breq2d 5104	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → (0 ≤ ((i · 𝐵)↑2) ↔ 0 ≤ -𝐴))
218	216, 217	imbitrid 244	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ((i · 𝐵) ∈ ℝ → 0 ≤ -𝐴))
219		le0neg1 11628	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐴))
220	219	biimprcd 250	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ≤ -𝐴 → (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ 0))
221	218, 215, 220	syl6c 70	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ((i · 𝐵) ∈ ℝ → 𝐴 ≤ 0))
222	215, 221	jcad 512	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ((i · 𝐵) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0)))
223		absnid 15205	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (abs‘𝐴) = -𝐴)
224	222, 223	syl6 35	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ((i · 𝐵) ∈ ℝ → (abs‘𝐴) = -𝐴))
225	224	necon3ad 2938	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ((abs‘𝐴) ≠ -𝐴 → ¬ (i · 𝐵) ∈ ℝ))
226	199, 225	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ¬ (i · 𝐵) ∈ ℝ)
227		rpre 12902	. . . 4 ⊢ ((i · 𝐵) ∈ ℝ⁺ → (i · 𝐵) ∈ ℝ)
228	226, 227	nsyl 140	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ¬ (i · 𝐵) ∈ ℝ⁺)
229		df-nel 3030	. . 3 ⊢ ((i · 𝐵) ∉ ℝ⁺ ↔ ¬ (i · 𝐵) ∈ ℝ⁺)
230	228, 229	sylibr 234	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → (i · 𝐵) ∉ ℝ⁺)
231	112, 192, 230	3jca 1128	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ((𝐵↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐵) ∧ (i · 𝐵) ∉ ℝ⁺))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1540 ∈ wcel 2109 ≠ wne 2925 ∉ wnel 3029 class class class wbr 5092 ‘cfv 6482 (class class class)co 7349 ℂcc 11007 ℝcr 11008 0cc0 11009 1c1 11010 ici 11011 + caddc 11012 · cmul 11014 < clt 11149 ≤ cle 11150 − cmin 11347 -cneg 11348 / cdiv 11777 2c2 12183 ℝ⁺crp 12893 ↑cexp 13968 ∗ccj 15003 ℜcre 15004 √csqrt 15140 abscabs 15141

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2701 ax-sep 5235 ax-nul 5245 ax-pow 5304 ax-pr 5371 ax-un 7671 ax-cnex 11065 ax-resscn 11066 ax-1cn 11067 ax-icn 11068 ax-addcl 11069 ax-addrcl 11070 ax-mulcl 11071 ax-mulrcl 11072 ax-mulcom 11073 ax-addass 11074 ax-mulass 11075 ax-distr 11076 ax-i2m1 11077 ax-1ne0 11078 ax-1rid 11079 ax-rnegex 11080 ax-rrecex 11081 ax-cnre 11082 ax-pre-lttri 11083 ax-pre-lttrn 11084 ax-pre-ltadd 11085 ax-pre-mulgt0 11086 ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2708 df-cleq 2721 df-clel 2803 df-nfc 2878 df-ne 2926 df-nel 3030 df-ral 3045 df-rex 3054 df-rmo 3343 df-reu 3344 df-rab 3395 df-v 3438 df-sbc 3743 df-csb 3852 df-dif 3906 df-un 3908 df-in 3910 df-ss 3920 df-pss 3923 df-nul 4285 df-if 4477 df-pw 4553 df-sn 4578 df-pr 4580 df-op 4584 df-uni 4859 df-iun 4943 df-br 5093 df-opab 5155 df-mpt 5174 df-tr 5200 df-id 5514 df-eprel 5519 df-po 5527 df-so 5528 df-fr 5572 df-we 5574 df-xp 5625 df-rel 5626 df-cnv 5627 df-co 5628 df-dm 5629 df-rn 5630 df-res 5631 df-ima 5632 df-pred 6249 df-ord 6310 df-on 6311 df-lim 6312 df-suc 6313 df-iota 6438 df-fun 6484 df-fn 6485 df-f 6486 df-f1 6487 df-fo 6488 df-f1o 6489 df-fv 6490 df-riota 7306 df-ov 7352 df-oprab 7353 df-mpo 7354 df-om 7800 df-2nd 7925 df-frecs 8214 df-wrecs 8245 df-recs 8294 df-rdg 8332 df-er 8625 df-en 8873 df-dom 8874 df-sdom 8875 df-sup 9332 df-pnf 11151 df-mnf 11152 df-xr 11153 df-ltxr 11154 df-le 11155 df-sub 11349 df-neg 11350 df-div 11778 df-nn 12129 df-2 12191 df-3 12192 df-n0 12385 df-z 12472 df-uz 12736 df-rp 12894 df-seq 13909 df-exp 13969 df-cj 15006 df-re 15007 df-im 15008 df-sqrt 15142 df-abs 15143

This theorem is referenced by: sqreu 15268 cphsqrtcl2 25084 constrsqrtcl 33752

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