Theorem demoivre 16176

Description: De Moivre's Formula. Proof by induction given at http://en.wikipedia.org/wiki/De_Moivre's_formula, but restricted to nonnegative integer powers. See also demoivreALT 16177 for an alternate longer proof not using the exponential function. (Contributed by NM, 24-Jul-2007.)

Assertion

Ref	Expression
demoivre	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑁) = ((cos‘(𝑁 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑁 · 𝐴)))))

Proof of Theorem demoivre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 11197	. . . 4 ⊢ i ∈ ℂ
2		mulcl 11222	. . . 4 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
3	1, 2	mpan 688	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
4		efexp 16077	. . 3 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (exp‘(𝑁 · (i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴))↑𝑁))
5	3, 4	sylan 578	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (exp‘(𝑁 · (i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴))↑𝑁))
6		zcn 12593	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
7		mul12 11409	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑁 · (i · 𝐴)) = (i · (𝑁 · 𝐴)))
8	1, 7	mp3an2 1445	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑁 · (i · 𝐴)) = (i · (𝑁 · 𝐴)))
9	8	fveq2d 6896	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (exp‘(𝑁 · (i · 𝐴))) = (exp‘(i · (𝑁 · 𝐴))))
10		mulcl 11222	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑁 · 𝐴) ∈ ℂ)
11		efival 16128	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · (𝑁 · 𝐴))) = ((cos‘(𝑁 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑁 · 𝐴)))))
12	10, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (exp‘(i · (𝑁 · 𝐴))) = ((cos‘(𝑁 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑁 · 𝐴)))))
13	9, 12	eqtrd 2765	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (exp‘(𝑁 · (i · 𝐴))) = ((cos‘(𝑁 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑁 · 𝐴)))))
14	13	ancoms 457	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (exp‘(𝑁 · (i · 𝐴))) = ((cos‘(𝑁 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑁 · 𝐴)))))
15	6, 14	sylan2 591	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (exp‘(𝑁 · (i · 𝐴))) = ((cos‘(𝑁 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑁 · 𝐴)))))
16		efival 16128	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))))
17	16	oveq1d 7431	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴))↑𝑁) = (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑁))
18	17	adantr 479	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((exp‘(i · 𝐴))↑𝑁) = (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑁))
19	5, 15, 18	3eqtr3rd 2774	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑁) = ((cos‘(𝑁 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑁 · 𝐴)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6543  (class class class)co 7416  ℂcc 11136  ici 11140   + caddc 11141   · cmul 11143  ℤcz 12588  ↑cexp 14058  expce 16037  sincsin 16039  cosccos 16040

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-pm 8846  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-ico 13362  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-seq 13999  df-exp 14059  df-fac 14265  df-bc 14294  df-hash 14322  df-shft 15046  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-limsup 15447  df-clim 15464  df-rlim 15465  df-sum 15665  df-ef 16043  df-sin 16045  df-cos 16046

This theorem is referenced by:  basellem3  27033