Theorem demoivre 15545

Description: De Moivre's Formula. Proof by induction given at http://en.wikipedia.org/wiki/De_Moivre's_formula, but restricted to nonnegative integer powers. See also demoivreALT 15546 for an alternate longer proof not using the exponential function. (Contributed by NM, 24-Jul-2007.)

Assertion

Ref	Expression
demoivre	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑁) = ((cos‘(𝑁 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑁 · 𝐴)))))

Proof of Theorem demoivre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 10588	. . . 4 ⊢ i ∈ ℂ
2		mulcl 10613	. . . 4 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
3	1, 2	mpan 688	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
4		efexp 15446	. . 3 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (exp‘(𝑁 · (i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴))↑𝑁))
5	3, 4	sylan 582	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (exp‘(𝑁 · (i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴))↑𝑁))
6		zcn 11978	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
7		mul12 10797	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑁 · (i · 𝐴)) = (i · (𝑁 · 𝐴)))
8	1, 7	mp3an2 1442	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑁 · (i · 𝐴)) = (i · (𝑁 · 𝐴)))
9	8	fveq2d 6667	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (exp‘(𝑁 · (i · 𝐴))) = (exp‘(i · (𝑁 · 𝐴))))
10		mulcl 10613	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑁 · 𝐴) ∈ ℂ)
11		efival 15497	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · (𝑁 · 𝐴))) = ((cos‘(𝑁 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑁 · 𝐴)))))
12	10, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (exp‘(i · (𝑁 · 𝐴))) = ((cos‘(𝑁 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑁 · 𝐴)))))
13	9, 12	eqtrd 2854	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (exp‘(𝑁 · (i · 𝐴))) = ((cos‘(𝑁 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑁 · 𝐴)))))
14	13	ancoms 461	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (exp‘(𝑁 · (i · 𝐴))) = ((cos‘(𝑁 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑁 · 𝐴)))))
15	6, 14	sylan2 594	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (exp‘(𝑁 · (i · 𝐴))) = ((cos‘(𝑁 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑁 · 𝐴)))))
16		efival 15497	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))))
17	16	oveq1d 7163	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴))↑𝑁) = (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑁))
18	17	adantr 483	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((exp‘(i · 𝐴))↑𝑁) = (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑁))
19	5, 15, 18	3eqtr3rd 2863	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴)))↑𝑁) = ((cos‘(𝑁 · 𝐴)) + (i · (sin‘(𝑁 · 𝐴)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1530   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  ℂcc 10527  ici 10531   + caddc 10532   · cmul 10534  ℤcz 11973  ↑cexp 13421  expce 15407  sincsin 15409  cosccos 15410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-inf2 9096  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-pm 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-ico 12736  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-fl 13154  df-seq 13362  df-exp 13422  df-fac 13626  df-bc 13655  df-hash 13683  df-shft 14418  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-limsup 14820  df-clim 14837  df-rlim 14838  df-sum 15035  df-ef 15413  df-sin 15415  df-cos 15416

This theorem is referenced by:  basellem3  25652