Theorem efif1olem4 26525

Description: The exponential function of an imaginary number maps any interval of length 2π one-to-one onto the unit circle. (Contributed by Paul Chapman, 16-Mar-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
efif1o.1	⊢ 𝐹 = (𝑤 ∈ 𝐷 ↦ (exp‘(i · 𝑤)))
efif1o.2	⊢ 𝐶 = (◡abs “ {1})
efif1olem4.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℝ)
efif1olem4.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) → (abs‘(𝑥 − 𝑦)) < (2 · π))
efif1olem4.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐷 ((𝑧 − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ)
efif1olem4.6	⊢ 𝑆 = (sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2)))

Assertion

Ref	Expression
efif1olem4	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧   𝑤,𝐶,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝜑,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑦,𝑆,𝑧   𝑤,𝐷,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑧)   𝑆(𝑥,𝑤)   𝐹(𝑧,𝑤)

Proof of Theorem efif1olem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efif1olem4.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℝ)
2	1	sselda 3922	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) → 𝑤 ∈ ℝ)
3		ax-icn 11091	. . . . . . . . 9 ⊢ i ∈ ℂ
4		recn 11122	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ → 𝑤 ∈ ℂ)
5		mulcl 11116	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (i · 𝑤) ∈ ℂ)
6	3, 4, 5	sylancr 588	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ → (i · 𝑤) ∈ ℂ)
7		efcl 16041	. . . . . . . 8 ⊢ ((i · 𝑤) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝑤)) ∈ ℂ)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ → (exp‘(i · 𝑤)) ∈ ℂ)
9		absefi 16157	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ → (abs‘(exp‘(i · 𝑤))) = 1)
10		absf 15294	. . . . . . . . 9 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
11		ffn 6663	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ abs Fn ℂ
13		fniniseg 7007	. . . . . . . 8 ⊢ (abs Fn ℂ → ((exp‘(i · 𝑤)) ∈ (◡abs “ {1}) ↔ ((exp‘(i · 𝑤)) ∈ ℂ ∧ (abs‘(exp‘(i · 𝑤))) = 1)))
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((exp‘(i · 𝑤)) ∈ (◡abs “ {1}) ↔ ((exp‘(i · 𝑤)) ∈ ℂ ∧ (abs‘(exp‘(i · 𝑤))) = 1))
15	8, 9, 14	sylanbrc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ → (exp‘(i · 𝑤)) ∈ (◡abs “ {1}))
16		efif1o.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (◡abs “ {1})
17	15, 16	eleqtrrdi 2848	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ → (exp‘(i · 𝑤)) ∈ 𝐶)
18	2, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) → (exp‘(i · 𝑤)) ∈ 𝐶)
19		efif1o.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑤 ∈ 𝐷 ↦ (exp‘(i · 𝑤)))
20	18, 19	fmptd 7061	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶𝐶)
21	1	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → 𝐷 ⊆ ℝ)
22		simplrl 777	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → 𝑥 ∈ 𝐷)
23	21, 22	sseldd 3923	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → 𝑥 ∈ ℝ)
24	23	recnd 11167	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → 𝑥 ∈ ℂ)
25		simplrr 778	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝐷)
26	21, 25	sseldd 3923	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ)
27	26	recnd 11167	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → 𝑦 ∈ ℂ)
28	24, 27	subcld 11499	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℂ)
29		2re 12249	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
30		pire 26437	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ π ∈ ℝ
31	29, 30	remulcli 11155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
32	31	recni 11153	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
33		2pos 12278	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 2
34		pipos 26439	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < π
35	29, 30, 33, 34	mulgt0ii 11273	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < (2 · π)
36	31, 35	gt0ne0ii 11680	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · π) ≠ 0
37		divcl 11809	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 − 𝑦) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ≠ 0) → ((𝑥 − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℂ)
38	32, 36, 37	mp3an23 1456	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℂ → ((𝑥 − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℂ)
39	28, 38	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → ((𝑥 − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℂ)
40		absdiv 15251	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 − 𝑦) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ≠ 0) → (abs‘((𝑥 − 𝑦) / (2 · π))) = ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / (abs‘(2 · π))))
41	32, 36, 40	mp3an23 1456	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℂ → (abs‘((𝑥 − 𝑦) / (2 · π))) = ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / (abs‘(2 · π))))
42	28, 41	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → (abs‘((𝑥 − 𝑦) / (2 · π))) = ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / (abs‘(2 · π))))
43		0re 11140	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℝ
44	43, 31, 35	ltleii 11263	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ≤ (2 · π)
45		absid 15252	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((2 · π) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · π)) → (abs‘(2 · π)) = (2 · π))
46	31, 44, 45	mp2an 693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (abs‘(2 · π)) = (2 · π)
47	46	oveq2i 7372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / (abs‘(2 · π))) = ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / (2 · π))
48	42, 47	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → (abs‘((𝑥 − 𝑦) / (2 · π))) = ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / (2 · π)))
49		efif1olem4.4	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) → (abs‘(𝑥 − 𝑦)) < (2 · π))
50	49	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → (abs‘(𝑥 − 𝑦)) < (2 · π))
51	32	mulridi 11143	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · π) · 1) = (2 · π)
52	50, 51	breqtrrdi 5128	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → (abs‘(𝑥 − 𝑦)) < ((2 · π) · 1))
53	28	abscld 15395	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → (abs‘(𝑥 − 𝑦)) ∈ ℝ)
54		1re 11138	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ
55	31, 35	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · π) ∈ ℝ ∧ 0 < (2 · π))
56		ltdivmul 12025	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((abs‘(𝑥 − 𝑦)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((2 · π) ∈ ℝ ∧ 0 < (2 · π))) → (((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / (2 · π)) < 1 ↔ (abs‘(𝑥 − 𝑦)) < ((2 · π) · 1)))
57	54, 55, 56	mp3an23 1456	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) ∈ ℝ → (((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / (2 · π)) < 1 ↔ (abs‘(𝑥 − 𝑦)) < ((2 · π) · 1)))
58	53, 57	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → (((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / (2 · π)) < 1 ↔ (abs‘(𝑥 − 𝑦)) < ((2 · π) · 1)))
59	52, 58	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / (2 · π)) < 1)
60	48, 59	eqbrtrd 5108	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → (abs‘((𝑥 − 𝑦) / (2 · π))) < 1)
61	32, 36	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 · π) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ≠ 0)
62		ine0 11579	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ i ≠ 0
63	3, 62	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0)
64		divcan5 11851	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 − 𝑦) ∈ ℂ ∧ ((2 · π) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ≠ 0) ∧ (i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0)) → ((i · (𝑥 − 𝑦)) / (i · (2 · π))) = ((𝑥 − 𝑦) / (2 · π)))
65	61, 63, 64	mp3an23 1456	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℂ → ((i · (𝑥 − 𝑦)) / (i · (2 · π))) = ((𝑥 − 𝑦) / (2 · π)))
66	28, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → ((i · (𝑥 − 𝑦)) / (i · (2 · π))) = ((𝑥 − 𝑦) / (2 · π)))
67	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → i ∈ ℂ)
68	67, 24, 27	subdid 11600	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → (i · (𝑥 − 𝑦)) = ((i · 𝑥) − (i · 𝑦)))
69	68	fveq2d 6839	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → (exp‘(i · (𝑥 − 𝑦))) = (exp‘((i · 𝑥) − (i · 𝑦))))
70		mulcl 11116	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (i · 𝑥) ∈ ℂ)
71	3, 24, 70	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → (i · 𝑥) ∈ ℂ)
72		mulcl 11116	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
73	3, 27, 72	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
74		efsub 16061	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((i · 𝑥) ∈ ℂ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℂ) → (exp‘((i · 𝑥) − (i · 𝑦))) = ((exp‘(i · 𝑥)) / (exp‘(i · 𝑦))))
75	71, 73, 74	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → (exp‘((i · 𝑥) − (i · 𝑦))) = ((exp‘(i · 𝑥)) / (exp‘(i · 𝑦))))
76		efcl 16041	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((i · 𝑦) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝑦)) ∈ ℂ)
77	73, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → (exp‘(i · 𝑦)) ∈ ℂ)
78		efne0 16057	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((i · 𝑦) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝑦)) ≠ 0)
79	73, 78	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → (exp‘(i · 𝑦)) ≠ 0)
80		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦))
81		oveq2 7369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (i · 𝑤) = (i · 𝑥))
82	81	fveq2d 6839	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (exp‘(i · 𝑤)) = (exp‘(i · 𝑥)))
83		fvex 6848	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (exp‘(i · 𝑥)) ∈ V
84	82, 19, 83	fvmpt 6942	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (𝐹‘𝑥) = (exp‘(i · 𝑥)))
85	22, 84	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → (𝐹‘𝑥) = (exp‘(i · 𝑥)))
86		oveq2 7369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (i · 𝑤) = (i · 𝑦))
87	86	fveq2d 6839	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (exp‘(i · 𝑤)) = (exp‘(i · 𝑦)))
88		fvex 6848	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (exp‘(i · 𝑦)) ∈ V
89	87, 19, 88	fvmpt 6942	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐷 → (𝐹‘𝑦) = (exp‘(i · 𝑦)))
90	25, 89	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → (𝐹‘𝑦) = (exp‘(i · 𝑦)))
91	80, 85, 90	3eqtr3d 2780	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → (exp‘(i · 𝑥)) = (exp‘(i · 𝑦)))
92	77, 79, 91	diveq1bd 11973	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → ((exp‘(i · 𝑥)) / (exp‘(i · 𝑦))) = 1)
93	69, 75, 92	3eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → (exp‘(i · (𝑥 − 𝑦))) = 1)
94		mulcl 11116	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝑦) ∈ ℂ) → (i · (𝑥 − 𝑦)) ∈ ℂ)
95	3, 28, 94	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → (i · (𝑥 − 𝑦)) ∈ ℂ)
96		efeq1 26508	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((i · (𝑥 − 𝑦)) ∈ ℂ → ((exp‘(i · (𝑥 − 𝑦))) = 1 ↔ ((i · (𝑥 − 𝑦)) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))
97	95, 96	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → ((exp‘(i · (𝑥 − 𝑦))) = 1 ↔ ((i · (𝑥 − 𝑦)) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))
98	93, 97	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → ((i · (𝑥 − 𝑦)) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ)
99	66, 98	eqeltrrd 2838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → ((𝑥 − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ)
100		nn0abscl 15268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ → (abs‘((𝑥 − 𝑦) / (2 · π))) ∈ ℕ0)
101	99, 100	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → (abs‘((𝑥 − 𝑦) / (2 · π))) ∈ ℕ0)
102		nn0lt10b 12585	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((abs‘((𝑥 − 𝑦) / (2 · π))) ∈ ℕ0 → ((abs‘((𝑥 − 𝑦) / (2 · π))) < 1 ↔ (abs‘((𝑥 − 𝑦) / (2 · π))) = 0))
103	101, 102	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → ((abs‘((𝑥 − 𝑦) / (2 · π))) < 1 ↔ (abs‘((𝑥 − 𝑦) / (2 · π))) = 0))
104	60, 103	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → (abs‘((𝑥 − 𝑦) / (2 · π))) = 0)
105	39, 104	abs00d 15405	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → ((𝑥 − 𝑦) / (2 · π)) = 0)
106		diveq0 11813	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 − 𝑦) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ≠ 0) → (((𝑥 − 𝑦) / (2 · π)) = 0 ↔ (𝑥 − 𝑦) = 0))
107	32, 36, 106	mp3an23 1456	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℂ → (((𝑥 − 𝑦) / (2 · π)) = 0 ↔ (𝑥 − 𝑦) = 0))
108	28, 107	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → (((𝑥 − 𝑦) / (2 · π)) = 0 ↔ (𝑥 − 𝑦) = 0))
109	105, 108	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → (𝑥 − 𝑦) = 0)
110	24, 27, 109	subeq0d 11507	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → 𝑥 = 𝑦)
111	110	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) → ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
112	111	ralrimivva 3181	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
113		dff13 7203	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐷–1-1→𝐶 ↔ (𝐹:𝐷⟶𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
114	20, 112, 113	sylanbrc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷–1-1→𝐶)
115		oveq1 7368	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) → (𝑧 − 𝑦) = ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦))
116	115	oveq1d 7376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) → ((𝑧 − 𝑦) / (2 · π)) = (((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) / (2 · π)))
117	116	eleq1d 2822	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) → (((𝑧 − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ ↔ (((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ))
118	117	rexbidv 3162	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) → (∃𝑦 ∈ 𝐷 ((𝑧 − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐷 (((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ))
119		efif1olem4.5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐷 ((𝑧 − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ)
120	119	ralrimiva 3130	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐷 ((𝑧 − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ)
121	120	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ∀𝑧 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐷 ((𝑧 − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ)
122		neghalfpire 26445	. . . . . . . . 9 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ
123		halfpire 26444	. . . . . . . . 9 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
124		iccssre 13376	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-(π / 2) ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → (-(π / 2)[,](π / 2)) ⊆ ℝ)
125	122, 123, 124	mp2an 693	. . . . . . . 8 ⊢ (-(π / 2)[,](π / 2)) ⊆ ℝ
126	19, 16	efif1olem3 26524	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (ℑ‘(√‘𝑥)) ∈ (-1[,]1))
127		resinf1o 26516	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2))):(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(-1[,]1)
128		efif1olem4.6	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑆 = (sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2)))
129		f1oeq1 6763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 = (sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2))) → (𝑆:(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(-1[,]1) ↔ (sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2))):(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(-1[,]1)))
130	128, 129	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆:(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(-1[,]1) ↔ (sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2))):(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(-1[,]1))
131	127, 130	mpbir 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆:(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(-1[,]1)
132		f1ocnv 6787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆:(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(-1[,]1) → ◡𝑆:(-1[,]1)–1-1-onto→(-(π / 2)[,](π / 2)))
133		f1of 6775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (◡𝑆:(-1[,]1)–1-1-onto→(-(π / 2)[,](π / 2)) → ◡𝑆:(-1[,]1)⟶(-(π / 2)[,](π / 2)))
134	131, 132, 133	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 ⊢ ◡𝑆:(-1[,]1)⟶(-(π / 2)[,](π / 2))
135	134	ffvelcdmi 7030	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℑ‘(√‘𝑥)) ∈ (-1[,]1) → (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)))
136	126, 135	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)))
137	125, 136	sselid 3920	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ∈ ℝ)
138		remulcl 11117	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ∈ ℝ) → (2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) ∈ ℝ)
139	29, 137, 138	sylancr 588	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) ∈ ℝ)
140	118, 121, 139	rspcdva 3566	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ∃𝑦 ∈ 𝐷 (((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ)
141		oveq1 7368	. . . . . . . 8 ⊢ ((exp‘(i · ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦))) = 1 → ((exp‘(i · ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦))) · (exp‘(i · 𝑦))) = (1 · (exp‘(i · 𝑦))))
142	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → i ∈ ℂ)
143	139	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) ∈ ℝ)
144	143	recnd 11167	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) ∈ ℂ)
145	1	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝐷 ⊆ ℝ)
146		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ 𝐷)
147	145, 146	sseldd 3923	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ ℝ)
148	147	recnd 11167	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ ℂ)
149	142, 144, 148	subdid 11600	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (i · ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) = ((i · (2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))) − (i · 𝑦)))
150	149	oveq1d 7376	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((i · ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) + (i · 𝑦)) = (((i · (2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))) − (i · 𝑦)) + (i · 𝑦)))
151		mulcl 11116	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) ∈ ℂ) → (i · (2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))) ∈ ℂ)
152	3, 144, 151	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (i · (2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))) ∈ ℂ)
153	3, 148, 72	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
154	152, 153	npcand 11503	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (((i · (2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))) − (i · 𝑦)) + (i · 𝑦)) = (i · (2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))))
155	150, 154	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((i · ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) + (i · 𝑦)) = (i · (2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))))
156	155	fveq2d 6839	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (exp‘((i · ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) + (i · 𝑦))) = (exp‘(i · (2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))))
157	144, 148	subcld 11499	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) ∈ ℂ)
158		mulcl 11116	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) ∈ ℂ) → (i · ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) ∈ ℂ)
159	3, 157, 158	sylancr 588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (i · ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) ∈ ℂ)
160		efadd 16053	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((i · ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) ∈ ℂ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℂ) → (exp‘((i · ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) + (i · 𝑦))) = ((exp‘(i · ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦))) · (exp‘(i · 𝑦))))
161	159, 153, 160	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (exp‘((i · ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) + (i · 𝑦))) = ((exp‘(i · ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦))) · (exp‘(i · 𝑦))))
162		2cn 12250	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℂ
163	137	recnd 11167	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ∈ ℂ)
164		mul12 11305	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ∈ ℂ) → (i · (2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))) = (2 · (i · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))))
165	3, 162, 163, 164	mp3an12i 1468	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (i · (2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))) = (2 · (i · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))))
166	165	fveq2d 6839	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (exp‘(i · (2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))) = (exp‘(2 · (i · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))))
167		mulcl 11116	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ∈ ℂ) → (i · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) ∈ ℂ)
168	3, 163, 167	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (i · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) ∈ ℂ)
169		2z 12553	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℤ
170		efexp 16062	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((i · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℤ) → (exp‘(2 · (i · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))) = ((exp‘(i · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))↑2))
171	168, 169, 170	sylancl 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (exp‘(2 · (i · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))) = ((exp‘(i · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))↑2))
172	166, 171	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (exp‘(i · (2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))) = ((exp‘(i · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))↑2))
173	137	recoscld 16105	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (cos‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) ∈ ℝ)
174		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐶)
175	174, 16	eleqtrdi 2847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ (◡abs “ {1}))
176		fniniseg 7007	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (abs Fn ℂ → (𝑥 ∈ (◡abs “ {1}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑥) = 1)))
177	12, 176	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ (◡abs “ {1}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑥) = 1))
178	175, 177	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑥) = 1))
179	178	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ ℂ)
180	179	sqrtcld 15396	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (√‘𝑥) ∈ ℂ)
181	180	recld 15150	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (ℜ‘(√‘𝑥)) ∈ ℝ)
182		cosq14ge0 26491	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → 0 ≤ (cos‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))
183	136, 182	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 0 ≤ (cos‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))
184	179	sqrtrege0d 15397	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 0 ≤ (ℜ‘(√‘𝑥)))
185		sincossq 16137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ∈ ℂ → (((sin‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2) + ((cos‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2)) = 1)
186	163, 185	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (((sin‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2) + ((cos‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2)) = 1)
187	179	sqsqrtd 15398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((√‘𝑥)↑2) = 𝑥)
188	187	fveq2d 6839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (abs‘((√‘𝑥)↑2)) = (abs‘𝑥))
189		2nn0 12448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 2 ∈ ℕ0
190		absexp 15260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((√‘𝑥) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (abs‘((√‘𝑥)↑2)) = ((abs‘(√‘𝑥))↑2))
191	180, 189, 190	sylancl 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (abs‘((√‘𝑥)↑2)) = ((abs‘(√‘𝑥))↑2))
192	178	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (abs‘𝑥) = 1)
193	188, 191, 192	3eqtr3d 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((abs‘(√‘𝑥))↑2) = 1)
194	180	absvalsq2d 15402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((abs‘(√‘𝑥))↑2) = (((ℜ‘(√‘𝑥))↑2) + ((ℑ‘(√‘𝑥))↑2)))
195	186, 193, 194	3eqtr2d 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (((sin‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2) + ((cos‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2)) = (((ℜ‘(√‘𝑥))↑2) + ((ℑ‘(√‘𝑥))↑2)))
196	128	fveq1i 6836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑆‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) = ((sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2)))‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))
197	136	fvresd 6855	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2)))‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) = (sin‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))
198	196, 197	eqtrid 2784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑆‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) = (sin‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))
199		f1ocnvfv2 7226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑆:(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(-1[,]1) ∧ (ℑ‘(√‘𝑥)) ∈ (-1[,]1)) → (𝑆‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) = (ℑ‘(√‘𝑥)))
200	131, 126, 199	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑆‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) = (ℑ‘(√‘𝑥)))
201	198, 200	eqtr3d 2774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (sin‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) = (ℑ‘(√‘𝑥)))
202	201	oveq1d 7376	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((sin‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2) = ((ℑ‘(√‘𝑥))↑2))
203	195, 202	oveq12d 7379	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((((sin‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2) + ((cos‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2)) − ((sin‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2)) = ((((ℜ‘(√‘𝑥))↑2) + ((ℑ‘(√‘𝑥))↑2)) − ((ℑ‘(√‘𝑥))↑2)))
204	163	sincld 16091	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (sin‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) ∈ ℂ)
205	204	sqcld 14100	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((sin‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2) ∈ ℂ)
206	163	coscld 16092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (cos‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) ∈ ℂ)
207	206	sqcld 14100	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((cos‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2) ∈ ℂ)
208	205, 207	pncan2d 11501	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((((sin‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2) + ((cos‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2)) − ((sin‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2)) = ((cos‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2))
209	181	recnd 11167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (ℜ‘(√‘𝑥)) ∈ ℂ)
210	209	sqcld 14100	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((ℜ‘(√‘𝑥))↑2) ∈ ℂ)
211	202, 205	eqeltrrd 2838	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((ℑ‘(√‘𝑥))↑2) ∈ ℂ)
212	210, 211	pncand 11500	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((((ℜ‘(√‘𝑥))↑2) + ((ℑ‘(√‘𝑥))↑2)) − ((ℑ‘(√‘𝑥))↑2)) = ((ℜ‘(√‘𝑥))↑2))
213	203, 208, 212	3eqtr3d 2780	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((cos‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2) = ((ℜ‘(√‘𝑥))↑2))
214	173, 181, 183, 184, 213	sq11d 14214	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (cos‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) = (ℜ‘(√‘𝑥)))
215	201	oveq2d 7377	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (i · (sin‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))) = (i · (ℑ‘(√‘𝑥))))
216	214, 215	oveq12d 7379	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((cos‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) + (i · (sin‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))) = ((ℜ‘(√‘𝑥)) + (i · (ℑ‘(√‘𝑥)))))
217		efival 16113	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ∈ ℂ → (exp‘(i · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))) = ((cos‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) + (i · (sin‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))))
218	163, 217	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (exp‘(i · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))) = ((cos‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) + (i · (sin‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))))
219	180	replimd 15153	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (√‘𝑥) = ((ℜ‘(√‘𝑥)) + (i · (ℑ‘(√‘𝑥)))))
220	216, 218, 219	3eqtr4d 2782	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (exp‘(i · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))) = (√‘𝑥))
221	220	oveq1d 7376	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((exp‘(i · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))↑2) = ((√‘𝑥)↑2))
222	172, 221, 187	3eqtrd 2776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (exp‘(i · (2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))) = 𝑥)
223	222	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (exp‘(i · (2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))) = 𝑥)
224	156, 161, 223	3eqtr3d 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((exp‘(i · ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦))) · (exp‘(i · 𝑦))) = 𝑥)
225	153, 76	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (exp‘(i · 𝑦)) ∈ ℂ)
226	225	mullidd 11157	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (1 · (exp‘(i · 𝑦))) = (exp‘(i · 𝑦)))
227	224, 226	eqeq12d 2753	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (((exp‘(i · ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦))) · (exp‘(i · 𝑦))) = (1 · (exp‘(i · 𝑦))) ↔ 𝑥 = (exp‘(i · 𝑦))))
228	141, 227	imbitrid 244	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((exp‘(i · ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦))) = 1 → 𝑥 = (exp‘(i · 𝑦))))
229		efeq1 26508	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i · ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) ∈ ℂ → ((exp‘(i · ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦))) = 1 ↔ ((i · ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))
230	159, 229	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((exp‘(i · ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦))) = 1 ↔ ((i · ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))
231		divcan5 11851	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) ∈ ℂ ∧ ((2 · π) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ≠ 0) ∧ (i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0)) → ((i · ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) / (i · (2 · π))) = (((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) / (2 · π)))
232	61, 63, 231	mp3an23 1456	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) ∈ ℂ → ((i · ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) / (i · (2 · π))) = (((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) / (2 · π)))
233	157, 232	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((i · ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) / (i · (2 · π))) = (((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) / (2 · π)))
234	233	eleq1d 2822	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (((i · ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ ↔ (((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ))
235	230, 234	bitr2d 280	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ ↔ (exp‘(i · ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦))) = 1))
236	89	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑦) = (exp‘(i · 𝑦)))
237	236	eqeq2d 2748	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑥 = (𝐹‘𝑦) ↔ 𝑥 = (exp‘(i · 𝑦))))
238	228, 235, 237	3imtr4d 294	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ → 𝑥 = (𝐹‘𝑦)))
239	238	reximdva 3151	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (∃𝑦 ∈ 𝐷 (((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ → ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = (𝐹‘𝑦)))
240	140, 239	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = (𝐹‘𝑦))
241	240	ralrimiva 3130	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐶 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = (𝐹‘𝑦))
242		dffo3 7049	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐷–onto→𝐶 ↔ (𝐹:𝐷⟶𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐶 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = (𝐹‘𝑦)))
243	20, 241, 242	sylanbrc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷–onto→𝐶)
244		df-f1o 6500	. 2 ⊢ (𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐶 ↔ (𝐹:𝐷–1-1→𝐶 ∧ 𝐹:𝐷–onto→𝐶))
245	114, 243, 244	sylanbrc 584	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3890  {csn 4568   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ^◡ccnv 5624   ↾ cres 5627   “ cima 5628   Fn wfn 6488  ⟶wf 6489  –1-1→wf1 6490  –onto→wfo 6491  –1-1-onto→wf1o 6492  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  ℂcc 11030  ℝcr 11031  0cc0 11032  1c1 11033  ici 11034   + caddc 11035   · cmul 11037   < clt 11173   ≤ cle 11174   − cmin 11371  -cneg 11372   / cdiv 11801  2c2 12230  ℕ₀cn0 12431  ℤcz 12518  [,]cicc 13295  ↑cexp 14017  ℜcre 15053  ℑcim 15054  √csqrt 15189  abscabs 15190  expce 16020  sincsin 16022  cosccos 16023  πcpi 16025

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-inf2 9556  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110  ax-addf 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7625  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-fi 9318  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-q 12893  df-rp 12937  df-xneg 13057  df-xadd 13058  df-xmul 13059  df-ioo 13296  df-ioc 13297  df-ico 13298  df-icc 13299  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-fl 13745  df-mod 13823  df-seq 13958  df-exp 14018  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15023  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192  df-limsup 15427  df-clim 15444  df-rlim 15445  df-sum 15643  df-ef 16026  df-sin 16028  df-cos 16029  df-pi 16031  df-struct 17111  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-starv 17229  df-sca 17230  df-vsca 17231  df-ip 17232  df-tset 17233  df-ple 17234  df-ds 17236  df-unif 17237  df-hom 17238  df-cco 17239  df-rest 17379  df-topn 17380  df-0g 17398  df-gsum 17399  df-topgen 17400  df-pt 17401  df-prds 17404  df-xrs 17460  df-qtop 17465  df-imas 17466  df-xps 17468  df-mre 17542  df-mrc 17543  df-acs 17545  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-submnd 18746  df-mulg 19038  df-cntz 19286  df-cmn 19751  df-psmet 21339  df-xmet 21340  df-met 21341  df-bl 21342  df-mopn 21343  df-fbas 21344  df-fg 21345  df-cnfld 21348  df-top 22872  df-topon 22889  df-topsp 22911  df-bases 22924  df-cld 22997  df-ntr 22998  df-cls 22999  df-nei 23076  df-lp 23114  df-perf 23115  df-cn 23205  df-cnp 23206  df-haus 23293  df-tx 23540  df-hmeo 23733  df-fil 23824  df-fm 23916  df-flim 23917  df-flf 23918  df-xms 24298  df-ms 24299  df-tms 24300  df-cncf 24858  df-limc 25846  df-dv 25847

This theorem is referenced by:  efif1o  26526  eff1olem  26528