Theorem efif1olem4 26605

Description: The exponential function of an imaginary number maps any interval of length 2π one-to-one onto the unit circle. (Contributed by Paul Chapman, 16-Mar-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
efif1o.1	⊢ 𝐹 = (𝑤 ∈ 𝐷 ↦ (exp‘(i · 𝑤)))
efif1o.2	⊢ 𝐶 = (◡abs “ {1})
efif1olem4.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℝ)
efif1olem4.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) → (abs‘(𝑥 − 𝑦)) < (2 · π))
efif1olem4.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐷 ((𝑧 − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ)
efif1olem4.6	⊢ 𝑆 = (sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2)))

Assertion

Ref	Expression
efif1olem4	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧   𝑤,𝐶,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝜑,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑦,𝑆,𝑧   𝑤,𝐷,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑧)   𝑆(𝑥,𝑤)   𝐹(𝑧,𝑤)

Proof of Theorem efif1olem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efif1olem4.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℝ)
2	1	sselda 4008	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) → 𝑤 ∈ ℝ)
3		ax-icn 11243	. . . . . . . . 9 ⊢ i ∈ ℂ
4		recn 11274	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ → 𝑤 ∈ ℂ)
5		mulcl 11268	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (i · 𝑤) ∈ ℂ)
6	3, 4, 5	sylancr 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ → (i · 𝑤) ∈ ℂ)
7		efcl 16130	. . . . . . . 8 ⊢ ((i · 𝑤) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝑤)) ∈ ℂ)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ → (exp‘(i · 𝑤)) ∈ ℂ)
9		absefi 16244	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ → (abs‘(exp‘(i · 𝑤))) = 1)
10		absf 15386	. . . . . . . . 9 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
11		ffn 6747	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ abs Fn ℂ
13		fniniseg 7093	. . . . . . . 8 ⊢ (abs Fn ℂ → ((exp‘(i · 𝑤)) ∈ (◡abs “ {1}) ↔ ((exp‘(i · 𝑤)) ∈ ℂ ∧ (abs‘(exp‘(i · 𝑤))) = 1)))
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((exp‘(i · 𝑤)) ∈ (◡abs “ {1}) ↔ ((exp‘(i · 𝑤)) ∈ ℂ ∧ (abs‘(exp‘(i · 𝑤))) = 1))
15	8, 9, 14	sylanbrc 582	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ → (exp‘(i · 𝑤)) ∈ (◡abs “ {1}))
16		efif1o.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (◡abs “ {1})
17	15, 16	eleqtrrdi 2855	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ → (exp‘(i · 𝑤)) ∈ 𝐶)
18	2, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) → (exp‘(i · 𝑤)) ∈ 𝐶)
19		efif1o.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑤 ∈ 𝐷 ↦ (exp‘(i · 𝑤)))
20	18, 19	fmptd 7148	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶𝐶)
21	1	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → 𝐷 ⊆ ℝ)
22		simplrl 776	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → 𝑥 ∈ 𝐷)
23	21, 22	sseldd 4009	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → 𝑥 ∈ ℝ)
24	23	recnd 11318	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → 𝑥 ∈ ℂ)
25		simplrr 777	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝐷)
26	21, 25	sseldd 4009	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ)
27	26	recnd 11318	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → 𝑦 ∈ ℂ)
28	24, 27	subcld 11647	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℂ)
29		2re 12367	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
30		pire 26518	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ π ∈ ℝ
31	29, 30	remulcli 11306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
32	31	recni 11304	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
33		2pos 12396	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 2
34		pipos 26520	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < π
35	29, 30, 33, 34	mulgt0ii 11423	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < (2 · π)
36	31, 35	gt0ne0ii 11826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · π) ≠ 0
37		divcl 11955	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 − 𝑦) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ≠ 0) → ((𝑥 − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℂ)
38	32, 36, 37	mp3an23 1453	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℂ → ((𝑥 − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℂ)
39	28, 38	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → ((𝑥 − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℂ)
40		absdiv 15344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 − 𝑦) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ≠ 0) → (abs‘((𝑥 − 𝑦) / (2 · π))) = ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / (abs‘(2 · π))))
41	32, 36, 40	mp3an23 1453	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℂ → (abs‘((𝑥 − 𝑦) / (2 · π))) = ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / (abs‘(2 · π))))
42	28, 41	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → (abs‘((𝑥 − 𝑦) / (2 · π))) = ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / (abs‘(2 · π))))
43		0re 11292	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℝ
44	43, 31, 35	ltleii 11413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ≤ (2 · π)
45		absid 15345	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((2 · π) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · π)) → (abs‘(2 · π)) = (2 · π))
46	31, 44, 45	mp2an 691	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (abs‘(2 · π)) = (2 · π)
47	46	oveq2i 7459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / (abs‘(2 · π))) = ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / (2 · π))
48	42, 47	eqtrdi 2796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → (abs‘((𝑥 − 𝑦) / (2 · π))) = ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / (2 · π)))
49		efif1olem4.4	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) → (abs‘(𝑥 − 𝑦)) < (2 · π))
50	49	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → (abs‘(𝑥 − 𝑦)) < (2 · π))
51	32	mulridi 11294	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · π) · 1) = (2 · π)
52	50, 51	breqtrrdi 5208	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → (abs‘(𝑥 − 𝑦)) < ((2 · π) · 1))
53	28	abscld 15485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → (abs‘(𝑥 − 𝑦)) ∈ ℝ)
54		1re 11290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ
55	31, 35	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · π) ∈ ℝ ∧ 0 < (2 · π))
56		ltdivmul 12170	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((abs‘(𝑥 − 𝑦)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((2 · π) ∈ ℝ ∧ 0 < (2 · π))) → (((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / (2 · π)) < 1 ↔ (abs‘(𝑥 − 𝑦)) < ((2 · π) · 1)))
57	54, 55, 56	mp3an23 1453	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) ∈ ℝ → (((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / (2 · π)) < 1 ↔ (abs‘(𝑥 − 𝑦)) < ((2 · π) · 1)))
58	53, 57	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → (((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / (2 · π)) < 1 ↔ (abs‘(𝑥 − 𝑦)) < ((2 · π) · 1)))
59	52, 58	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / (2 · π)) < 1)
60	48, 59	eqbrtrd 5188	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → (abs‘((𝑥 − 𝑦) / (2 · π))) < 1)
61	32, 36	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 · π) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ≠ 0)
62		ine0 11725	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ i ≠ 0
63	3, 62	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0)
64		divcan5 11996	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 − 𝑦) ∈ ℂ ∧ ((2 · π) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ≠ 0) ∧ (i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0)) → ((i · (𝑥 − 𝑦)) / (i · (2 · π))) = ((𝑥 − 𝑦) / (2 · π)))
65	61, 63, 64	mp3an23 1453	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℂ → ((i · (𝑥 − 𝑦)) / (i · (2 · π))) = ((𝑥 − 𝑦) / (2 · π)))
66	28, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → ((i · (𝑥 − 𝑦)) / (i · (2 · π))) = ((𝑥 − 𝑦) / (2 · π)))
67	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → i ∈ ℂ)
68	67, 24, 27	subdid 11746	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → (i · (𝑥 − 𝑦)) = ((i · 𝑥) − (i · 𝑦)))
69	68	fveq2d 6924	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → (exp‘(i · (𝑥 − 𝑦))) = (exp‘((i · 𝑥) − (i · 𝑦))))
70		mulcl 11268	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (i · 𝑥) ∈ ℂ)
71	3, 24, 70	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → (i · 𝑥) ∈ ℂ)
72		mulcl 11268	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
73	3, 27, 72	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
74		efsub 16148	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((i · 𝑥) ∈ ℂ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℂ) → (exp‘((i · 𝑥) − (i · 𝑦))) = ((exp‘(i · 𝑥)) / (exp‘(i · 𝑦))))
75	71, 73, 74	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → (exp‘((i · 𝑥) − (i · 𝑦))) = ((exp‘(i · 𝑥)) / (exp‘(i · 𝑦))))
76		efcl 16130	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((i · 𝑦) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝑦)) ∈ ℂ)
77	73, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → (exp‘(i · 𝑦)) ∈ ℂ)
78		efne0 16145	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((i · 𝑦) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝑦)) ≠ 0)
79	73, 78	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → (exp‘(i · 𝑦)) ≠ 0)
80		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦))
81		oveq2 7456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (i · 𝑤) = (i · 𝑥))
82	81	fveq2d 6924	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (exp‘(i · 𝑤)) = (exp‘(i · 𝑥)))
83		fvex 6933	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (exp‘(i · 𝑥)) ∈ V
84	82, 19, 83	fvmpt 7029	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (𝐹‘𝑥) = (exp‘(i · 𝑥)))
85	22, 84	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → (𝐹‘𝑥) = (exp‘(i · 𝑥)))
86		oveq2 7456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (i · 𝑤) = (i · 𝑦))
87	86	fveq2d 6924	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (exp‘(i · 𝑤)) = (exp‘(i · 𝑦)))
88		fvex 6933	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (exp‘(i · 𝑦)) ∈ V
89	87, 19, 88	fvmpt 7029	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐷 → (𝐹‘𝑦) = (exp‘(i · 𝑦)))
90	25, 89	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → (𝐹‘𝑦) = (exp‘(i · 𝑦)))
91	80, 85, 90	3eqtr3d 2788	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → (exp‘(i · 𝑥)) = (exp‘(i · 𝑦)))
92	77, 79, 91	diveq1bd 12118	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → ((exp‘(i · 𝑥)) / (exp‘(i · 𝑦))) = 1)
93	69, 75, 92	3eqtrd 2784	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → (exp‘(i · (𝑥 − 𝑦))) = 1)
94		mulcl 11268	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝑦) ∈ ℂ) → (i · (𝑥 − 𝑦)) ∈ ℂ)
95	3, 28, 94	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → (i · (𝑥 − 𝑦)) ∈ ℂ)
96		efeq1 26588	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((i · (𝑥 − 𝑦)) ∈ ℂ → ((exp‘(i · (𝑥 − 𝑦))) = 1 ↔ ((i · (𝑥 − 𝑦)) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))
97	95, 96	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → ((exp‘(i · (𝑥 − 𝑦))) = 1 ↔ ((i · (𝑥 − 𝑦)) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))
98	93, 97	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → ((i · (𝑥 − 𝑦)) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ)
99	66, 98	eqeltrrd 2845	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → ((𝑥 − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ)
100		nn0abscl 15361	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ → (abs‘((𝑥 − 𝑦) / (2 · π))) ∈ ℕ0)
101	99, 100	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → (abs‘((𝑥 − 𝑦) / (2 · π))) ∈ ℕ0)
102		nn0lt10b 12705	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((abs‘((𝑥 − 𝑦) / (2 · π))) ∈ ℕ0 → ((abs‘((𝑥 − 𝑦) / (2 · π))) < 1 ↔ (abs‘((𝑥 − 𝑦) / (2 · π))) = 0))
103	101, 102	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → ((abs‘((𝑥 − 𝑦) / (2 · π))) < 1 ↔ (abs‘((𝑥 − 𝑦) / (2 · π))) = 0))
104	60, 103	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → (abs‘((𝑥 − 𝑦) / (2 · π))) = 0)
105	39, 104	abs00d 15495	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → ((𝑥 − 𝑦) / (2 · π)) = 0)
106		diveq0 11959	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 − 𝑦) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ≠ 0) → (((𝑥 − 𝑦) / (2 · π)) = 0 ↔ (𝑥 − 𝑦) = 0))
107	32, 36, 106	mp3an23 1453	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℂ → (((𝑥 − 𝑦) / (2 · π)) = 0 ↔ (𝑥 − 𝑦) = 0))
108	28, 107	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → (((𝑥 − 𝑦) / (2 · π)) = 0 ↔ (𝑥 − 𝑦) = 0))
109	105, 108	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → (𝑥 − 𝑦) = 0)
110	24, 27, 109	subeq0d 11655	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → 𝑥 = 𝑦)
111	110	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) → ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
112	111	ralrimivva 3208	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
113		dff13 7292	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐷–1-1→𝐶 ↔ (𝐹:𝐷⟶𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
114	20, 112, 113	sylanbrc 582	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷–1-1→𝐶)
115		oveq1 7455	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) → (𝑧 − 𝑦) = ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦))
116	115	oveq1d 7463	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) → ((𝑧 − 𝑦) / (2 · π)) = (((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) / (2 · π)))
117	116	eleq1d 2829	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) → (((𝑧 − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ ↔ (((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ))
118	117	rexbidv 3185	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) → (∃𝑦 ∈ 𝐷 ((𝑧 − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐷 (((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ))
119		efif1olem4.5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐷 ((𝑧 − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ)
120	119	ralrimiva 3152	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐷 ((𝑧 − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ)
121	120	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ∀𝑧 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐷 ((𝑧 − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ)
122		neghalfpire 26525	. . . . . . . . 9 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ
123		halfpire 26524	. . . . . . . . 9 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
124		iccssre 13489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-(π / 2) ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → (-(π / 2)[,](π / 2)) ⊆ ℝ)
125	122, 123, 124	mp2an 691	. . . . . . . 8 ⊢ (-(π / 2)[,](π / 2)) ⊆ ℝ
126	19, 16	efif1olem3 26604	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (ℑ‘(√‘𝑥)) ∈ (-1[,]1))
127		resinf1o 26596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2))):(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(-1[,]1)
128		efif1olem4.6	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑆 = (sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2)))
129		f1oeq1 6850	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 = (sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2))) → (𝑆:(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(-1[,]1) ↔ (sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2))):(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(-1[,]1)))
130	128, 129	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆:(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(-1[,]1) ↔ (sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2))):(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(-1[,]1))
131	127, 130	mpbir 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆:(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(-1[,]1)
132		f1ocnv 6874	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆:(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(-1[,]1) → ◡𝑆:(-1[,]1)–1-1-onto→(-(π / 2)[,](π / 2)))
133		f1of 6862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (◡𝑆:(-1[,]1)–1-1-onto→(-(π / 2)[,](π / 2)) → ◡𝑆:(-1[,]1)⟶(-(π / 2)[,](π / 2)))
134	131, 132, 133	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 ⊢ ◡𝑆:(-1[,]1)⟶(-(π / 2)[,](π / 2))
135	134	ffvelcdmi 7117	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℑ‘(√‘𝑥)) ∈ (-1[,]1) → (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)))
136	126, 135	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)))
137	125, 136	sselid 4006	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ∈ ℝ)
138		remulcl 11269	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ∈ ℝ) → (2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) ∈ ℝ)
139	29, 137, 138	sylancr 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) ∈ ℝ)
140	118, 121, 139	rspcdva 3636	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ∃𝑦 ∈ 𝐷 (((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ)
141		oveq1 7455	. . . . . . . 8 ⊢ ((exp‘(i · ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦))) = 1 → ((exp‘(i · ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦))) · (exp‘(i · 𝑦))) = (1 · (exp‘(i · 𝑦))))
142	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → i ∈ ℂ)
143	139	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) ∈ ℝ)
144	143	recnd 11318	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) ∈ ℂ)
145	1	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝐷 ⊆ ℝ)
146		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ 𝐷)
147	145, 146	sseldd 4009	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ ℝ)
148	147	recnd 11318	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ ℂ)
149	142, 144, 148	subdid 11746	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (i · ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) = ((i · (2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))) − (i · 𝑦)))
150	149	oveq1d 7463	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((i · ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) + (i · 𝑦)) = (((i · (2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))) − (i · 𝑦)) + (i · 𝑦)))
151		mulcl 11268	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) ∈ ℂ) → (i · (2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))) ∈ ℂ)
152	3, 144, 151	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (i · (2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))) ∈ ℂ)
153	3, 148, 72	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
154	152, 153	npcand 11651	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (((i · (2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))) − (i · 𝑦)) + (i · 𝑦)) = (i · (2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))))
155	150, 154	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((i · ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) + (i · 𝑦)) = (i · (2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))))
156	155	fveq2d 6924	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (exp‘((i · ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) + (i · 𝑦))) = (exp‘(i · (2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))))
157	144, 148	subcld 11647	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) ∈ ℂ)
158		mulcl 11268	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) ∈ ℂ) → (i · ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) ∈ ℂ)
159	3, 157, 158	sylancr 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (i · ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) ∈ ℂ)
160		efadd 16142	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((i · ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) ∈ ℂ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℂ) → (exp‘((i · ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) + (i · 𝑦))) = ((exp‘(i · ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦))) · (exp‘(i · 𝑦))))
161	159, 153, 160	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (exp‘((i · ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) + (i · 𝑦))) = ((exp‘(i · ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦))) · (exp‘(i · 𝑦))))
162		2cn 12368	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℂ
163	137	recnd 11318	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ∈ ℂ)
164		mul12 11455	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ∈ ℂ) → (i · (2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))) = (2 · (i · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))))
165	3, 162, 163, 164	mp3an12i 1465	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (i · (2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))) = (2 · (i · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))))
166	165	fveq2d 6924	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (exp‘(i · (2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))) = (exp‘(2 · (i · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))))
167		mulcl 11268	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ∈ ℂ) → (i · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) ∈ ℂ)
168	3, 163, 167	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (i · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) ∈ ℂ)
169		2z 12675	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℤ
170		efexp 16149	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((i · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℤ) → (exp‘(2 · (i · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))) = ((exp‘(i · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))↑2))
171	168, 169, 170	sylancl 585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (exp‘(2 · (i · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))) = ((exp‘(i · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))↑2))
172	166, 171	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (exp‘(i · (2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))) = ((exp‘(i · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))↑2))
173	137	recoscld 16192	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (cos‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) ∈ ℝ)
174		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐶)
175	174, 16	eleqtrdi 2854	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ (◡abs “ {1}))
176		fniniseg 7093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (abs Fn ℂ → (𝑥 ∈ (◡abs “ {1}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑥) = 1)))
177	12, 176	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ (◡abs “ {1}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑥) = 1))
178	175, 177	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑥) = 1))
179	178	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ ℂ)
180	179	sqrtcld 15486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (√‘𝑥) ∈ ℂ)
181	180	recld 15243	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (ℜ‘(√‘𝑥)) ∈ ℝ)
182		cosq14ge0 26571	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → 0 ≤ (cos‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))
183	136, 182	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 0 ≤ (cos‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))
184	179	sqrtrege0d 15487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 0 ≤ (ℜ‘(√‘𝑥)))
185		sincossq 16224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ∈ ℂ → (((sin‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2) + ((cos‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2)) = 1)
186	163, 185	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (((sin‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2) + ((cos‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2)) = 1)
187	179	sqsqrtd 15488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((√‘𝑥)↑2) = 𝑥)
188	187	fveq2d 6924	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (abs‘((√‘𝑥)↑2)) = (abs‘𝑥))
189		2nn0 12570	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 2 ∈ ℕ0
190		absexp 15353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((√‘𝑥) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (abs‘((√‘𝑥)↑2)) = ((abs‘(√‘𝑥))↑2))
191	180, 189, 190	sylancl 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (abs‘((√‘𝑥)↑2)) = ((abs‘(√‘𝑥))↑2))
192	178	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (abs‘𝑥) = 1)
193	188, 191, 192	3eqtr3d 2788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((abs‘(√‘𝑥))↑2) = 1)
194	180	absvalsq2d 15492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((abs‘(√‘𝑥))↑2) = (((ℜ‘(√‘𝑥))↑2) + ((ℑ‘(√‘𝑥))↑2)))
195	186, 193, 194	3eqtr2d 2786	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (((sin‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2) + ((cos‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2)) = (((ℜ‘(√‘𝑥))↑2) + ((ℑ‘(√‘𝑥))↑2)))
196	128	fveq1i 6921	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑆‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) = ((sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2)))‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))
197	136	fvresd 6940	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2)))‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) = (sin‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))
198	196, 197	eqtrid 2792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑆‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) = (sin‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))
199		f1ocnvfv2 7313	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑆:(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(-1[,]1) ∧ (ℑ‘(√‘𝑥)) ∈ (-1[,]1)) → (𝑆‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) = (ℑ‘(√‘𝑥)))
200	131, 126, 199	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑆‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) = (ℑ‘(√‘𝑥)))
201	198, 200	eqtr3d 2782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (sin‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) = (ℑ‘(√‘𝑥)))
202	201	oveq1d 7463	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((sin‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2) = ((ℑ‘(√‘𝑥))↑2))
203	195, 202	oveq12d 7466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((((sin‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2) + ((cos‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2)) − ((sin‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2)) = ((((ℜ‘(√‘𝑥))↑2) + ((ℑ‘(√‘𝑥))↑2)) − ((ℑ‘(√‘𝑥))↑2)))
204	163	sincld 16178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (sin‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) ∈ ℂ)
205	204	sqcld 14194	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((sin‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2) ∈ ℂ)
206	163	coscld 16179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (cos‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) ∈ ℂ)
207	206	sqcld 14194	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((cos‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2) ∈ ℂ)
208	205, 207	pncan2d 11649	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((((sin‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2) + ((cos‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2)) − ((sin‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2)) = ((cos‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2))
209	181	recnd 11318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (ℜ‘(√‘𝑥)) ∈ ℂ)
210	209	sqcld 14194	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((ℜ‘(√‘𝑥))↑2) ∈ ℂ)
211	202, 205	eqeltrrd 2845	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((ℑ‘(√‘𝑥))↑2) ∈ ℂ)
212	210, 211	pncand 11648	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((((ℜ‘(√‘𝑥))↑2) + ((ℑ‘(√‘𝑥))↑2)) − ((ℑ‘(√‘𝑥))↑2)) = ((ℜ‘(√‘𝑥))↑2))
213	203, 208, 212	3eqtr3d 2788	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((cos‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2) = ((ℜ‘(√‘𝑥))↑2))
214	173, 181, 183, 184, 213	sq11d 14307	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (cos‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) = (ℜ‘(√‘𝑥)))
215	201	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (i · (sin‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))) = (i · (ℑ‘(√‘𝑥))))
216	214, 215	oveq12d 7466	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((cos‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) + (i · (sin‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))) = ((ℜ‘(√‘𝑥)) + (i · (ℑ‘(√‘𝑥)))))
217		efival 16200	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ∈ ℂ → (exp‘(i · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))) = ((cos‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) + (i · (sin‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))))
218	163, 217	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (exp‘(i · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))) = ((cos‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) + (i · (sin‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))))
219	180	replimd 15246	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (√‘𝑥) = ((ℜ‘(√‘𝑥)) + (i · (ℑ‘(√‘𝑥)))))
220	216, 218, 219	3eqtr4d 2790	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (exp‘(i · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))) = (√‘𝑥))
221	220	oveq1d 7463	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((exp‘(i · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))↑2) = ((√‘𝑥)↑2))
222	172, 221, 187	3eqtrd 2784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (exp‘(i · (2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))) = 𝑥)
223	222	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (exp‘(i · (2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))) = 𝑥)
224	156, 161, 223	3eqtr3d 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((exp‘(i · ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦))) · (exp‘(i · 𝑦))) = 𝑥)
225	153, 76	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (exp‘(i · 𝑦)) ∈ ℂ)
226	225	mullidd 11308	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (1 · (exp‘(i · 𝑦))) = (exp‘(i · 𝑦)))
227	224, 226	eqeq12d 2756	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (((exp‘(i · ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦))) · (exp‘(i · 𝑦))) = (1 · (exp‘(i · 𝑦))) ↔ 𝑥 = (exp‘(i · 𝑦))))
228	141, 227	imbitrid 244	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((exp‘(i · ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦))) = 1 → 𝑥 = (exp‘(i · 𝑦))))
229		efeq1 26588	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i · ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) ∈ ℂ → ((exp‘(i · ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦))) = 1 ↔ ((i · ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))
230	159, 229	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((exp‘(i · ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦))) = 1 ↔ ((i · ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))
231		divcan5 11996	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) ∈ ℂ ∧ ((2 · π) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ≠ 0) ∧ (i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0)) → ((i · ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) / (i · (2 · π))) = (((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) / (2 · π)))
232	61, 63, 231	mp3an23 1453	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) ∈ ℂ → ((i · ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) / (i · (2 · π))) = (((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) / (2 · π)))
233	157, 232	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((i · ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) / (i · (2 · π))) = (((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) / (2 · π)))
234	233	eleq1d 2829	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (((i · ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ ↔ (((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ))
235	230, 234	bitr2d 280	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ ↔ (exp‘(i · ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦))) = 1))
236	89	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑦) = (exp‘(i · 𝑦)))
237	236	eqeq2d 2751	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑥 = (𝐹‘𝑦) ↔ 𝑥 = (exp‘(i · 𝑦))))
238	228, 235, 237	3imtr4d 294	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ → 𝑥 = (𝐹‘𝑦)))
239	238	reximdva 3174	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (∃𝑦 ∈ 𝐷 (((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ → ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = (𝐹‘𝑦)))
240	140, 239	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = (𝐹‘𝑦))
241	240	ralrimiva 3152	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐶 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = (𝐹‘𝑦))
242		dffo3 7136	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐷–onto→𝐶 ↔ (𝐹:𝐷⟶𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐶 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = (𝐹‘𝑦)))
243	20, 241, 242	sylanbrc 582	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷–onto→𝐶)
244		df-f1o 6580	. 2 ⊢ (𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐶 ↔ (𝐹:𝐷–1-1→𝐶 ∧ 𝐹:𝐷–onto→𝐶))
245	114, 243, 244	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  ∃wrex 3076   ⊆ wss 3976  {csn 4648   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249  ^◡ccnv 5699   ↾ cres 5702   “ cima 5703   Fn wfn 6568  ⟶wf 6569  –1-1→wf1 6570  –onto→wfo 6571  –1-1-onto→wf1o 6572  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185  ici 11186   + caddc 11187   · cmul 11189   < clt 11324   ≤ cle 11325   − cmin 11520  -cneg 11521   / cdiv 11947  2c2 12348  ℕ₀cn0 12553  ℤcz 12639  [,]cicc 13410  ↑cexp 14112  ℜcre 15146  ℑcim 15147  √csqrt 15282  abscabs 15283  expce 16109  sincsin 16111  cosccos 16112  πcpi 16114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-addf 11263

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ioo 13411  df-ioc 13412  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14053  df-exp 14113  df-fac 14323  df-bc 14352  df-hash 14380  df-shft 15116  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-limsup 15517  df-clim 15534  df-rlim 15535  df-sum 15735  df-ef 16115  df-sin 16117  df-cos 16118  df-pi 16120  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17482  df-topn 17483  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-topgen 17503  df-pt 17504  df-prds 17507  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-mulg 19108  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-fbas 21384  df-fg 21385  df-cnfld 21388  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-cld 23048  df-ntr 23049  df-cls 23050  df-nei 23127  df-lp 23165  df-perf 23166  df-cn 23256  df-cnp 23257  df-haus 23344  df-tx 23591  df-hmeo 23784  df-fil 23875  df-fm 23967  df-flim 23968  df-flf 23969  df-xms 24351  df-ms 24352  df-tms 24353  df-cncf 24923  df-limc 25921  df-dv 25922

This theorem is referenced by:  efif1o  26606  eff1olem  26608