MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efif1olem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efif1olem4 24845
Description: The exponential function of an imaginary number maps any interval of length one-to-one onto the unit circle. (Contributed by Paul Chapman, 16-Mar-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
efif1o.1 𝐹 = (𝑤𝐷 ↦ (exp‘(i · 𝑤)))
efif1o.2 𝐶 = (abs “ {1})
efif1olem4.3 (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
efif1olem4.4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → (abs‘(𝑥𝑦)) < (2 · π))
efif1olem4.5 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → ∃𝑦𝐷 ((𝑧𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ)
efif1olem4.6 𝑆 = (sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2)))
Assertion
Ref Expression
efif1olem4 (𝜑𝐹:𝐷1-1-onto𝐶)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧   𝑤,𝐶,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝜑,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑦,𝑆,𝑧   𝑤,𝐷,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑧)   𝑆(𝑥,𝑤)   𝐹(𝑧,𝑤)

Proof of Theorem efif1olem4
StepHypRef Expression
1 efif1olem4.3 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
21sselda 3851 . . . . 5 ((𝜑𝑤𝐷) → 𝑤 ∈ ℝ)
3 ax-icn 10392 . . . . . . . . 9 i ∈ ℂ
4 recn 10423 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ ℝ → 𝑤 ∈ ℂ)
5 mulcl 10417 . . . . . . . . 9 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (i · 𝑤) ∈ ℂ)
63, 4, 5sylancr 579 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ ℝ → (i · 𝑤) ∈ ℂ)
7 efcl 15294 . . . . . . . 8 ((i · 𝑤) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝑤)) ∈ ℂ)
86, 7syl 17 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ ℝ → (exp‘(i · 𝑤)) ∈ ℂ)
9 absefi 15407 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ ℝ → (abs‘(exp‘(i · 𝑤))) = 1)
10 absf 14556 . . . . . . . . 9 abs:ℂ⟶ℝ
11 ffn 6341 . . . . . . . . 9 (abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ)
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . 8 abs Fn ℂ
13 fniniseg 6653 . . . . . . . 8 (abs Fn ℂ → ((exp‘(i · 𝑤)) ∈ (abs “ {1}) ↔ ((exp‘(i · 𝑤)) ∈ ℂ ∧ (abs‘(exp‘(i · 𝑤))) = 1)))
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . 7 ((exp‘(i · 𝑤)) ∈ (abs “ {1}) ↔ ((exp‘(i · 𝑤)) ∈ ℂ ∧ (abs‘(exp‘(i · 𝑤))) = 1))
158, 9, 14sylanbrc 575 . . . . . 6 (𝑤 ∈ ℝ → (exp‘(i · 𝑤)) ∈ (abs “ {1}))
16 efif1o.2 . . . . . 6 𝐶 = (abs “ {1})
1715, 16syl6eleqr 2870 . . . . 5 (𝑤 ∈ ℝ → (exp‘(i · 𝑤)) ∈ 𝐶)
182, 17syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑤𝐷) → (exp‘(i · 𝑤)) ∈ 𝐶)
19 efif1o.1 . . . 4 𝐹 = (𝑤𝐷 ↦ (exp‘(i · 𝑤)))
2018, 19fmptd 6699 . . 3 (𝜑𝐹:𝐷𝐶)
211ad2antrr 714 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → 𝐷 ⊆ ℝ)
22 simplrl 765 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → 𝑥𝐷)
2321, 22sseldd 3852 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → 𝑥 ∈ ℝ)
2423recnd 10466 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → 𝑥 ∈ ℂ)
25 simplrr 766 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → 𝑦𝐷)
2621, 25sseldd 3852 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ)
2726recnd 10466 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → 𝑦 ∈ ℂ)
2824, 27subcld 10796 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → (𝑥𝑦) ∈ ℂ)
29 2re 11512 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
30 pire 24762 . . . . . . . . . . . 12 π ∈ ℝ
3129, 30remulcli 10454 . . . . . . . . . . 11 (2 · π) ∈ ℝ
3231recni 10452 . . . . . . . . . 10 (2 · π) ∈ ℂ
33 2pos 11548 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
34 pipos 24764 . . . . . . . . . . . 12 0 < π
3529, 30, 33, 34mulgt0ii 10571 . . . . . . . . . . 11 0 < (2 · π)
3631, 35gt0ne0ii 10975 . . . . . . . . . 10 (2 · π) ≠ 0
37 divcl 11103 . . . . . . . . . 10 (((𝑥𝑦) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ≠ 0) → ((𝑥𝑦) / (2 · π)) ∈ ℂ)
3832, 36, 37mp3an23 1433 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝑦) ∈ ℂ → ((𝑥𝑦) / (2 · π)) ∈ ℂ)
3928, 38syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → ((𝑥𝑦) / (2 · π)) ∈ ℂ)
40 absdiv 14514 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥𝑦) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ≠ 0) → (abs‘((𝑥𝑦) / (2 · π))) = ((abs‘(𝑥𝑦)) / (abs‘(2 · π))))
4132, 36, 40mp3an23 1433 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝑦) ∈ ℂ → (abs‘((𝑥𝑦) / (2 · π))) = ((abs‘(𝑥𝑦)) / (abs‘(2 · π))))
4228, 41syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → (abs‘((𝑥𝑦) / (2 · π))) = ((abs‘(𝑥𝑦)) / (abs‘(2 · π))))
43 0re 10439 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ
4443, 31, 35ltleii 10561 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≤ (2 · π)
45 absid 14515 . . . . . . . . . . . . 13 (((2 · π) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · π)) → (abs‘(2 · π)) = (2 · π))
4631, 44, 45mp2an 680 . . . . . . . . . . . 12 (abs‘(2 · π)) = (2 · π)
4746oveq2i 6985 . . . . . . . . . . 11 ((abs‘(𝑥𝑦)) / (abs‘(2 · π))) = ((abs‘(𝑥𝑦)) / (2 · π))
4842, 47syl6eq 2823 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → (abs‘((𝑥𝑦) / (2 · π))) = ((abs‘(𝑥𝑦)) / (2 · π)))
49 efif1olem4.4 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → (abs‘(𝑥𝑦)) < (2 · π))
5049adantr 473 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → (abs‘(𝑥𝑦)) < (2 · π))
5132mulid1i 10442 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · π) · 1) = (2 · π)
5250, 51syl6breqr 4967 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → (abs‘(𝑥𝑦)) < ((2 · π) · 1))
5328abscld 14655 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → (abs‘(𝑥𝑦)) ∈ ℝ)
54 1re 10437 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℝ
5531, 35pm3.2i 463 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 · π) ∈ ℝ ∧ 0 < (2 · π))
56 ltdivmul 11314 . . . . . . . . . . . . 13 (((abs‘(𝑥𝑦)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((2 · π) ∈ ℝ ∧ 0 < (2 · π))) → (((abs‘(𝑥𝑦)) / (2 · π)) < 1 ↔ (abs‘(𝑥𝑦)) < ((2 · π) · 1)))
5754, 55, 56mp3an23 1433 . . . . . . . . . . . 12 ((abs‘(𝑥𝑦)) ∈ ℝ → (((abs‘(𝑥𝑦)) / (2 · π)) < 1 ↔ (abs‘(𝑥𝑦)) < ((2 · π) · 1)))
5853, 57syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → (((abs‘(𝑥𝑦)) / (2 · π)) < 1 ↔ (abs‘(𝑥𝑦)) < ((2 · π) · 1)))
5952, 58mpbird 249 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → ((abs‘(𝑥𝑦)) / (2 · π)) < 1)
6048, 59eqbrtrd 4947 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → (abs‘((𝑥𝑦) / (2 · π))) < 1)
6132, 36pm3.2i 463 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 · π) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ≠ 0)
62 ine0 10874 . . . . . . . . . . . . . . 15 i ≠ 0
633, 62pm3.2i 463 . . . . . . . . . . . . . 14 (i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0)
64 divcan5 11141 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥𝑦) ∈ ℂ ∧ ((2 · π) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ≠ 0) ∧ (i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0)) → ((i · (𝑥𝑦)) / (i · (2 · π))) = ((𝑥𝑦) / (2 · π)))
6561, 63, 64mp3an23 1433 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝑦) ∈ ℂ → ((i · (𝑥𝑦)) / (i · (2 · π))) = ((𝑥𝑦) / (2 · π)))
6628, 65syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → ((i · (𝑥𝑦)) / (i · (2 · π))) = ((𝑥𝑦) / (2 · π)))
673a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → i ∈ ℂ)
6867, 24, 27subdid 10895 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → (i · (𝑥𝑦)) = ((i · 𝑥) − (i · 𝑦)))
6968fveq2d 6500 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → (exp‘(i · (𝑥𝑦))) = (exp‘((i · 𝑥) − (i · 𝑦))))
70 mulcl 10417 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (i · 𝑥) ∈ ℂ)
713, 24, 70sylancr 579 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → (i · 𝑥) ∈ ℂ)
72 mulcl 10417 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
733, 27, 72sylancr 579 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
74 efsub 15311 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((i · 𝑥) ∈ ℂ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℂ) → (exp‘((i · 𝑥) − (i · 𝑦))) = ((exp‘(i · 𝑥)) / (exp‘(i · 𝑦))))
7571, 73, 74syl2anc 576 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → (exp‘((i · 𝑥) − (i · 𝑦))) = ((exp‘(i · 𝑥)) / (exp‘(i · 𝑦))))
76 efcl 15294 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((i · 𝑦) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝑦)) ∈ ℂ)
7773, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → (exp‘(i · 𝑦)) ∈ ℂ)
78 efne0 15308 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((i · 𝑦) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝑦)) ≠ 0)
7973, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → (exp‘(i · 𝑦)) ≠ 0)
80 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
81 oveq2 6982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 = 𝑥 → (i · 𝑤) = (i · 𝑥))
8281fveq2d 6500 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 = 𝑥 → (exp‘(i · 𝑤)) = (exp‘(i · 𝑥)))
83 fvex 6509 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (exp‘(i · 𝑥)) ∈ V
8482, 19, 83fvmpt 6593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥𝐷 → (𝐹𝑥) = (exp‘(i · 𝑥)))
8522, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → (𝐹𝑥) = (exp‘(i · 𝑥)))
86 oveq2 6982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 = 𝑦 → (i · 𝑤) = (i · 𝑦))
8786fveq2d 6500 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 = 𝑦 → (exp‘(i · 𝑤)) = (exp‘(i · 𝑦)))
88 fvex 6509 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (exp‘(i · 𝑦)) ∈ V
8987, 19, 88fvmpt 6593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦𝐷 → (𝐹𝑦) = (exp‘(i · 𝑦)))
9025, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → (𝐹𝑦) = (exp‘(i · 𝑦)))
9180, 85, 903eqtr3d 2815 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → (exp‘(i · 𝑥)) = (exp‘(i · 𝑦)))
9277, 79, 91diveq1bd 11263 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → ((exp‘(i · 𝑥)) / (exp‘(i · 𝑦))) = 1)
9369, 75, 923eqtrd 2811 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → (exp‘(i · (𝑥𝑦))) = 1)
94 mulcl 10417 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((i ∈ ℂ ∧ (𝑥𝑦) ∈ ℂ) → (i · (𝑥𝑦)) ∈ ℂ)
953, 28, 94sylancr 579 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → (i · (𝑥𝑦)) ∈ ℂ)
96 efeq1 24829 . . . . . . . . . . . . . 14 ((i · (𝑥𝑦)) ∈ ℂ → ((exp‘(i · (𝑥𝑦))) = 1 ↔ ((i · (𝑥𝑦)) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))
9795, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → ((exp‘(i · (𝑥𝑦))) = 1 ↔ ((i · (𝑥𝑦)) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))
9893, 97mpbid 224 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → ((i · (𝑥𝑦)) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ)
9966, 98eqeltrrd 2860 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → ((𝑥𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ)
100 nn0abscl 14531 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ → (abs‘((𝑥𝑦) / (2 · π))) ∈ ℕ0)
10199, 100syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → (abs‘((𝑥𝑦) / (2 · π))) ∈ ℕ0)
102 nn0lt10b 11855 . . . . . . . . . 10 ((abs‘((𝑥𝑦) / (2 · π))) ∈ ℕ0 → ((abs‘((𝑥𝑦) / (2 · π))) < 1 ↔ (abs‘((𝑥𝑦) / (2 · π))) = 0))
103101, 102syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → ((abs‘((𝑥𝑦) / (2 · π))) < 1 ↔ (abs‘((𝑥𝑦) / (2 · π))) = 0))
10460, 103mpbid 224 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → (abs‘((𝑥𝑦) / (2 · π))) = 0)
10539, 104abs00d 14665 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → ((𝑥𝑦) / (2 · π)) = 0)
106 diveq0 11107 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝑦) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ≠ 0) → (((𝑥𝑦) / (2 · π)) = 0 ↔ (𝑥𝑦) = 0))
10732, 36, 106mp3an23 1433 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑦) ∈ ℂ → (((𝑥𝑦) / (2 · π)) = 0 ↔ (𝑥𝑦) = 0))
10828, 107syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → (((𝑥𝑦) / (2 · π)) = 0 ↔ (𝑥𝑦) = 0))
109105, 108mpbid 224 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → (𝑥𝑦) = 0)
11024, 27, 109subeq0d 10804 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → 𝑥 = 𝑦)
111110ex 405 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
112111ralrimivva 3134 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐷𝑦𝐷 ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
113 dff13 6836 . . 3 (𝐹:𝐷1-1𝐶 ↔ (𝐹:𝐷𝐶 ∧ ∀𝑥𝐷𝑦𝐷 ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
11420, 112, 113sylanbrc 575 . 2 (𝜑𝐹:𝐷1-1𝐶)
115 oveq1 6981 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) → (𝑧𝑦) = ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦))
116115oveq1d 6989 . . . . . . . 8 (𝑧 = (2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) → ((𝑧𝑦) / (2 · π)) = (((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) / (2 · π)))
117116eleq1d 2843 . . . . . . 7 (𝑧 = (2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) → (((𝑧𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ ↔ (((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ))
118117rexbidv 3235 . . . . . 6 (𝑧 = (2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) → (∃𝑦𝐷 ((𝑧𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ ↔ ∃𝑦𝐷 (((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ))
119 efif1olem4.5 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → ∃𝑦𝐷 ((𝑧𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ)
120119ralrimiva 3125 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℝ ∃𝑦𝐷 ((𝑧𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ)
121120adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐶) → ∀𝑧 ∈ ℝ ∃𝑦𝐷 ((𝑧𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ)
122 neghalfpire 24769 . . . . . . . . 9 -(π / 2) ∈ ℝ
123 halfpire 24768 . . . . . . . . 9 (π / 2) ∈ ℝ
124 iccssre 12632 . . . . . . . . 9 ((-(π / 2) ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → (-(π / 2)[,](π / 2)) ⊆ ℝ)
125122, 123, 124mp2an 680 . . . . . . . 8 (-(π / 2)[,](π / 2)) ⊆ ℝ
12619, 16efif1olem3 24844 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐶) → (ℑ‘(√‘𝑥)) ∈ (-1[,]1))
127 resinf1o 24836 . . . . . . . . . . . 12 (sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2))):(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(-1[,]1)
128 efif1olem4.6 . . . . . . . . . . . . 13 𝑆 = (sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2)))
129 f1oeq1 6430 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 = (sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2))) → (𝑆:(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(-1[,]1) ↔ (sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2))):(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(-1[,]1)))
130128, 129ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆:(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(-1[,]1) ↔ (sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2))):(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(-1[,]1))
131127, 130mpbir 223 . . . . . . . . . . 11 𝑆:(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(-1[,]1)
132 f1ocnv 6453 . . . . . . . . . . 11 (𝑆:(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(-1[,]1) → 𝑆:(-1[,]1)–1-1-onto→(-(π / 2)[,](π / 2)))
133 f1of 6441 . . . . . . . . . . 11 (𝑆:(-1[,]1)–1-1-onto→(-(π / 2)[,](π / 2)) → 𝑆:(-1[,]1)⟶(-(π / 2)[,](π / 2)))
134131, 132, 133mp2b 10 . . . . . . . . . 10 𝑆:(-1[,]1)⟶(-(π / 2)[,](π / 2))
135134ffvelrni 6673 . . . . . . . . 9 ((ℑ‘(√‘𝑥)) ∈ (-1[,]1) → (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)))
136126, 135syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐶) → (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)))
137125, 136sseldi 3849 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐶) → (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ∈ ℝ)
138 remulcl 10418 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ∈ ℝ) → (2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) ∈ ℝ)
13929, 137, 138sylancr 579 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐶) → (2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) ∈ ℝ)
140118, 121, 139rspcdva 3534 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐶) → ∃𝑦𝐷 (((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ)
141 oveq1 6981 . . . . . . . 8 ((exp‘(i · ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦))) = 1 → ((exp‘(i · ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦))) · (exp‘(i · 𝑦))) = (1 · (exp‘(i · 𝑦))))
1423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → i ∈ ℂ)
143139adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → (2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) ∈ ℝ)
144143recnd 10466 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → (2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) ∈ ℂ)
1451ad2antrr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → 𝐷 ⊆ ℝ)
146 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → 𝑦𝐷)
147145, 146sseldd 3852 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → 𝑦 ∈ ℝ)
148147recnd 10466 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → 𝑦 ∈ ℂ)
149142, 144, 148subdid 10895 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → (i · ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) = ((i · (2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))) − (i · 𝑦)))
150149oveq1d 6989 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → ((i · ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) + (i · 𝑦)) = (((i · (2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))) − (i · 𝑦)) + (i · 𝑦)))
151 mulcl 10417 . . . . . . . . . . . . . 14 ((i ∈ ℂ ∧ (2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) ∈ ℂ) → (i · (2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))) ∈ ℂ)
1523, 144, 151sylancr 579 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → (i · (2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))) ∈ ℂ)
1533, 148, 72sylancr 579 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
154152, 153npcand 10800 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → (((i · (2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))) − (i · 𝑦)) + (i · 𝑦)) = (i · (2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))))
155150, 154eqtrd 2807 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → ((i · ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) + (i · 𝑦)) = (i · (2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))))
156155fveq2d 6500 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → (exp‘((i · ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) + (i · 𝑦))) = (exp‘(i · (2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))))
157144, 148subcld 10796 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) ∈ ℂ)
158 mulcl 10417 . . . . . . . . . . . 12 ((i ∈ ℂ ∧ ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) ∈ ℂ) → (i · ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) ∈ ℂ)
1593, 157, 158sylancr 579 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → (i · ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) ∈ ℂ)
160 efadd 15305 . . . . . . . . . . 11 (((i · ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) ∈ ℂ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℂ) → (exp‘((i · ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) + (i · 𝑦))) = ((exp‘(i · ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦))) · (exp‘(i · 𝑦))))
161159, 153, 160syl2anc 576 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → (exp‘((i · ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) + (i · 𝑦))) = ((exp‘(i · ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦))) · (exp‘(i · 𝑦))))
162 2cn 11513 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℂ
163137recnd 10466 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐶) → (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ∈ ℂ)
164 mul12 10603 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((i ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ∈ ℂ) → (i · (2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))) = (2 · (i · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))))
1653, 162, 163, 164mp3an12i 1445 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐶) → (i · (2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))) = (2 · (i · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))))
166165fveq2d 6500 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐶) → (exp‘(i · (2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))) = (exp‘(2 · (i · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))))
167 mulcl 10417 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((i ∈ ℂ ∧ (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ∈ ℂ) → (i · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) ∈ ℂ)
1683, 163, 167sylancr 579 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐶) → (i · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) ∈ ℂ)
169 2z 11825 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℤ
170 efexp 15312 . . . . . . . . . . . . . 14 (((i · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℤ) → (exp‘(2 · (i · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))) = ((exp‘(i · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))↑2))
171168, 169, 170sylancl 578 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐶) → (exp‘(2 · (i · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))) = ((exp‘(i · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))↑2))
172166, 171eqtrd 2807 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐶) → (exp‘(i · (2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))) = ((exp‘(i · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))↑2))
173137recoscld 15355 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐶) → (cos‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) ∈ ℝ)
174 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝑥𝐶)
175174, 16syl6eleq 2869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝑥 ∈ (abs “ {1}))
176 fniniseg 6653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (abs Fn ℂ → (𝑥 ∈ (abs “ {1}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑥) = 1)))
17712, 176ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ (abs “ {1}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑥) = 1))
178175, 177sylib 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐶) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑥) = 1))
179178simpld 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝑥 ∈ ℂ)
180179sqrtcld 14656 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐶) → (√‘𝑥) ∈ ℂ)
181180recld 14412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐶) → (ℜ‘(√‘𝑥)) ∈ ℝ)
182 cosq14ge0 24815 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → 0 ≤ (cos‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))
183136, 182syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐶) → 0 ≤ (cos‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))
184179sqrtrege0d 14657 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐶) → 0 ≤ (ℜ‘(√‘𝑥)))
185 sincossq 15387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ∈ ℂ → (((sin‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2) + ((cos‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2)) = 1)
186163, 185syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐶) → (((sin‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2) + ((cos‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2)) = 1)
187179sqsqrtd 14658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥𝐶) → ((√‘𝑥)↑2) = 𝑥)
188187fveq2d 6500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝐶) → (abs‘((√‘𝑥)↑2)) = (abs‘𝑥))
189 2nn0 11724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 ∈ ℕ0
190 absexp 14523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((√‘𝑥) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (abs‘((√‘𝑥)↑2)) = ((abs‘(√‘𝑥))↑2))
191180, 189, 190sylancl 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝐶) → (abs‘((√‘𝑥)↑2)) = ((abs‘(√‘𝑥))↑2))
192178simprd 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝐶) → (abs‘𝑥) = 1)
193188, 191, 1923eqtr3d 2815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐶) → ((abs‘(√‘𝑥))↑2) = 1)
194180absvalsq2d 14662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐶) → ((abs‘(√‘𝑥))↑2) = (((ℜ‘(√‘𝑥))↑2) + ((ℑ‘(√‘𝑥))↑2)))
195186, 193, 1943eqtr2d 2813 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐶) → (((sin‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2) + ((cos‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2)) = (((ℜ‘(√‘𝑥))↑2) + ((ℑ‘(√‘𝑥))↑2)))
196128fveq1i 6497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑆‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) = ((sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2)))‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))
197136fvresd 6516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥𝐶) → ((sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2)))‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) = (sin‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))
198196, 197syl5eq 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝐶) → (𝑆‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) = (sin‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))
199 f1ocnvfv2 6857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑆:(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(-1[,]1) ∧ (ℑ‘(√‘𝑥)) ∈ (-1[,]1)) → (𝑆‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) = (ℑ‘(√‘𝑥)))
200131, 126, 199sylancr 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝐶) → (𝑆‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) = (ℑ‘(√‘𝑥)))
201198, 200eqtr3d 2809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐶) → (sin‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) = (ℑ‘(√‘𝑥)))
202201oveq1d 6989 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐶) → ((sin‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2) = ((ℑ‘(√‘𝑥))↑2))
203195, 202oveq12d 6992 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐶) → ((((sin‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2) + ((cos‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2)) − ((sin‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2)) = ((((ℜ‘(√‘𝑥))↑2) + ((ℑ‘(√‘𝑥))↑2)) − ((ℑ‘(√‘𝑥))↑2)))
204163sincld 15341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐶) → (sin‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) ∈ ℂ)
205204sqcld 13321 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐶) → ((sin‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2) ∈ ℂ)
206163coscld 15342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐶) → (cos‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) ∈ ℂ)
207206sqcld 13321 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐶) → ((cos‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2) ∈ ℂ)
208205, 207pncan2d 10798 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐶) → ((((sin‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2) + ((cos‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2)) − ((sin‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2)) = ((cos‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2))
209181recnd 10466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐶) → (ℜ‘(√‘𝑥)) ∈ ℂ)
210209sqcld 13321 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐶) → ((ℜ‘(√‘𝑥))↑2) ∈ ℂ)
211202, 205eqeltrrd 2860 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐶) → ((ℑ‘(√‘𝑥))↑2) ∈ ℂ)
212210, 211pncand 10797 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐶) → ((((ℜ‘(√‘𝑥))↑2) + ((ℑ‘(√‘𝑥))↑2)) − ((ℑ‘(√‘𝑥))↑2)) = ((ℜ‘(√‘𝑥))↑2))
213203, 208, 2123eqtr3d 2815 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐶) → ((cos‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2) = ((ℜ‘(√‘𝑥))↑2))
214173, 181, 183, 184, 213sq11d 13434 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐶) → (cos‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) = (ℜ‘(√‘𝑥)))
215201oveq2d 6990 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐶) → (i · (sin‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))) = (i · (ℑ‘(√‘𝑥))))
216214, 215oveq12d 6992 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐶) → ((cos‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) + (i · (sin‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))) = ((ℜ‘(√‘𝑥)) + (i · (ℑ‘(√‘𝑥)))))
217 efival 15363 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ∈ ℂ → (exp‘(i · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))) = ((cos‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) + (i · (sin‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))))
218163, 217syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐶) → (exp‘(i · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))) = ((cos‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) + (i · (sin‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))))
219180replimd 14415 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐶) → (√‘𝑥) = ((ℜ‘(√‘𝑥)) + (i · (ℑ‘(√‘𝑥)))))
220216, 218, 2193eqtr4d 2817 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐶) → (exp‘(i · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))) = (√‘𝑥))
221220oveq1d 6989 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐶) → ((exp‘(i · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))↑2) = ((√‘𝑥)↑2))
222172, 221, 1873eqtrd 2811 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐶) → (exp‘(i · (2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))) = 𝑥)
223222adantr 473 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → (exp‘(i · (2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))) = 𝑥)
224156, 161, 2233eqtr3d 2815 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → ((exp‘(i · ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦))) · (exp‘(i · 𝑦))) = 𝑥)
225153, 76syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → (exp‘(i · 𝑦)) ∈ ℂ)
226225mulid2d 10456 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → (1 · (exp‘(i · 𝑦))) = (exp‘(i · 𝑦)))
227224, 226eqeq12d 2786 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → (((exp‘(i · ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦))) · (exp‘(i · 𝑦))) = (1 · (exp‘(i · 𝑦))) ↔ 𝑥 = (exp‘(i · 𝑦))))
228141, 227syl5ib 236 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → ((exp‘(i · ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦))) = 1 → 𝑥 = (exp‘(i · 𝑦))))
229 efeq1 24829 . . . . . . . . 9 ((i · ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) ∈ ℂ → ((exp‘(i · ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦))) = 1 ↔ ((i · ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))
230159, 229syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → ((exp‘(i · ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦))) = 1 ↔ ((i · ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))
231 divcan5 11141 . . . . . . . . . . 11 ((((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) ∈ ℂ ∧ ((2 · π) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ≠ 0) ∧ (i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0)) → ((i · ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) / (i · (2 · π))) = (((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) / (2 · π)))
23261, 63, 231mp3an23 1433 . . . . . . . . . 10 (((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) ∈ ℂ → ((i · ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) / (i · (2 · π))) = (((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) / (2 · π)))
233157, 232syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → ((i · ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) / (i · (2 · π))) = (((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) / (2 · π)))
234233eleq1d 2843 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → (((i · ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ ↔ (((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ))
235230, 234bitr2d 272 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → ((((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ ↔ (exp‘(i · ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦))) = 1))
23689adantl 474 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → (𝐹𝑦) = (exp‘(i · 𝑦)))
237236eqeq2d 2781 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → (𝑥 = (𝐹𝑦) ↔ 𝑥 = (exp‘(i · 𝑦))))
238228, 235, 2373imtr4d 286 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → ((((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ → 𝑥 = (𝐹𝑦)))
239238reximdva 3212 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐶) → (∃𝑦𝐷 (((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ → ∃𝑦𝐷 𝑥 = (𝐹𝑦)))
240140, 239mpd 15 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐶) → ∃𝑦𝐷 𝑥 = (𝐹𝑦))
241240ralrimiva 3125 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐶𝑦𝐷 𝑥 = (𝐹𝑦))
242 dffo3 6689 . . 3 (𝐹:𝐷onto𝐶 ↔ (𝐹:𝐷𝐶 ∧ ∀𝑥𝐶𝑦𝐷 𝑥 = (𝐹𝑦)))
24320, 241, 242sylanbrc 575 . 2 (𝜑𝐹:𝐷onto𝐶)
244 df-f1o 6192 . 2 (𝐹:𝐷1-1-onto𝐶 ↔ (𝐹:𝐷1-1𝐶𝐹:𝐷onto𝐶))
245114, 243, 244sylanbrc 575 1 (𝜑𝐹:𝐷1-1-onto𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1508  wcel 2051  wne 2960  wral 3081  wrex 3082  wss 3822  {csn 4435   class class class wbr 4925  cmpt 5004  ccnv 5402  cres 5405  cima 5406   Fn wfn 6180  wf 6181  1-1wf1 6182  ontowfo 6183  1-1-ontowf1o 6184  cfv 6185  (class class class)co 6974  cc 10331  cr 10332  0cc0 10333  1c1 10334  ici 10335   + caddc 10336   · cmul 10338   < clt 10472  cle 10473  cmin 10668  -cneg 10669   / cdiv 11096  2c2 11493  0cn0 11705  cz 11791  [,]cicc 12555  cexp 13242  cre 14315  cim 14316  csqrt 14451  abscabs 14452  expce 15273  sincsin 15275  cosccos 15276  πcpi 15278
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-inf2 8896  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410  ax-pre-sup 10411  ax-addf 10412  ax-mulf 10413
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-fal 1521  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rmo 3089  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-iin 4791  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-se 5363  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-isom 6194  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-of 7225  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-supp 7632  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-1o 7903  df-2o 7904  df-oadd 7907  df-er 8087  df-map 8206  df-pm 8207  df-ixp 8258  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-fin 8308  df-fsupp 8627  df-fi 8668  df-sup 8699  df-inf 8700  df-oi 8767  df-card 9160  df-cda 9386  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-div 11097  df-nn 11438  df-2 11501  df-3 11502  df-4 11503  df-5 11504  df-6 11505  df-7 11506  df-8 11507  df-9 11508  df-n0 11706  df-z 11792  df-dec 11910  df-uz 12057  df-q 12161  df-rp 12203  df-xneg 12322  df-xadd 12323  df-xmul 12324  df-ioo 12556  df-ioc 12557  df-ico 12558  df-icc 12559  df-fz 12707  df-fzo 12848  df-fl 12975  df-mod 13051  df-seq 13183  df-exp 13243  df-fac 13447  df-bc 13476  df-hash 13504  df-shft 14285  df-cj 14317  df-re 14318  df-im 14319  df-sqrt 14453  df-abs 14454  df-limsup 14687  df-clim 14704  df-rlim 14705  df-sum 14902  df-ef 15279  df-sin 15281  df-cos 15282  df-pi 15284  df-struct 16339  df-ndx 16340  df-slot 16341  df-base 16343  df-sets 16344  df-ress 16345  df-plusg 16432  df-mulr 16433  df-starv 16434  df-sca 16435  df-vsca 16436  df-ip 16437  df-tset 16438  df-ple 16439  df-ds 16441  df-unif 16442  df-hom 16443  df-cco 16444  df-rest 16550  df-topn 16551  df-0g 16569  df-gsum 16570  df-topgen 16571  df-pt 16572  df-prds 16575  df-xrs 16629  df-qtop 16634  df-imas 16635  df-xps 16637  df-mre 16727  df-mrc 16728  df-acs 16730  df-mgm 17722  df-sgrp 17764  df-mnd 17775  df-submnd 17816  df-mulg 18024  df-cntz 18230  df-cmn 18680  df-psmet 20254  df-xmet 20255  df-met 20256  df-bl 20257  df-mopn 20258  df-fbas 20259  df-fg 20260  df-cnfld 20263  df-top 21221  df-topon 21238  df-topsp 21260  df-bases 21273  df-cld 21346  df-ntr 21347  df-cls 21348  df-nei 21425  df-lp 21463  df-perf 21464  df-cn 21554  df-cnp 21555  df-haus 21642  df-tx 21889  df-hmeo 22082  df-fil 22173  df-fm 22265  df-flim 22266  df-flf 22267  df-xms 22648  df-ms 22649  df-tms 22650  df-cncf 23204  df-limc 24182  df-dv 24183
This theorem is referenced by:  efif1o  24846  eff1olem  24848
  Copyright terms: Public domain W3C validator