Theorem efif1olem4 26588

Description: The exponential function of an imaginary number maps any interval of length 2π one-to-one onto the unit circle. (Contributed by Paul Chapman, 16-Mar-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
efif1o.1	⊢ 𝐹 = (𝑤 ∈ 𝐷 ↦ (exp‘(i · 𝑤)))
efif1o.2	⊢ 𝐶 = (◡abs “ {1})
efif1olem4.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℝ)
efif1olem4.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) → (abs‘(𝑥 − 𝑦)) < (2 · π))
efif1olem4.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐷 ((𝑧 − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ)
efif1olem4.6	⊢ 𝑆 = (sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2)))

Assertion

Ref	Expression
efif1olem4	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧   𝑤,𝐶,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝜑,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑦,𝑆,𝑧   𝑤,𝐷,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑧)   𝑆(𝑥,𝑤)   𝐹(𝑧,𝑤)

Proof of Theorem efif1olem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efif1olem4.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℝ)
2	1	sselda 3982	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) → 𝑤 ∈ ℝ)
3		ax-icn 11215	. . . . . . . . 9 ⊢ i ∈ ℂ
4		recn 11246	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ → 𝑤 ∈ ℂ)
5		mulcl 11240	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (i · 𝑤) ∈ ℂ)
6	3, 4, 5	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ → (i · 𝑤) ∈ ℂ)
7		efcl 16119	. . . . . . . 8 ⊢ ((i · 𝑤) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝑤)) ∈ ℂ)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ → (exp‘(i · 𝑤)) ∈ ℂ)
9		absefi 16233	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ → (abs‘(exp‘(i · 𝑤))) = 1)
10		absf 15377	. . . . . . . . 9 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
11		ffn 6735	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ abs Fn ℂ
13		fniniseg 7079	. . . . . . . 8 ⊢ (abs Fn ℂ → ((exp‘(i · 𝑤)) ∈ (◡abs “ {1}) ↔ ((exp‘(i · 𝑤)) ∈ ℂ ∧ (abs‘(exp‘(i · 𝑤))) = 1)))
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((exp‘(i · 𝑤)) ∈ (◡abs “ {1}) ↔ ((exp‘(i · 𝑤)) ∈ ℂ ∧ (abs‘(exp‘(i · 𝑤))) = 1))
15	8, 9, 14	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ → (exp‘(i · 𝑤)) ∈ (◡abs “ {1}))
16		efif1o.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (◡abs “ {1})
17	15, 16	eleqtrrdi 2851	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ → (exp‘(i · 𝑤)) ∈ 𝐶)
18	2, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) → (exp‘(i · 𝑤)) ∈ 𝐶)
19		efif1o.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑤 ∈ 𝐷 ↦ (exp‘(i · 𝑤)))
20	18, 19	fmptd 7133	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶𝐶)
21	1	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → 𝐷 ⊆ ℝ)
22		simplrl 776	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → 𝑥 ∈ 𝐷)
23	21, 22	sseldd 3983	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → 𝑥 ∈ ℝ)
24	23	recnd 11290	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → 𝑥 ∈ ℂ)
25		simplrr 777	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝐷)
26	21, 25	sseldd 3983	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ)
27	26	recnd 11290	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → 𝑦 ∈ ℂ)
28	24, 27	subcld 11621	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℂ)
29		2re 12341	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
30		pire 26501	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ π ∈ ℝ
31	29, 30	remulcli 11278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
32	31	recni 11276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
33		2pos 12370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 2
34		pipos 26503	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < π
35	29, 30, 33, 34	mulgt0ii 11395	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < (2 · π)
36	31, 35	gt0ne0ii 11800	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · π) ≠ 0
37		divcl 11929	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 − 𝑦) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ≠ 0) → ((𝑥 − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℂ)
38	32, 36, 37	mp3an23 1454	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℂ → ((𝑥 − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℂ)
39	28, 38	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → ((𝑥 − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℂ)
40		absdiv 15335	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 − 𝑦) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ≠ 0) → (abs‘((𝑥 − 𝑦) / (2 · π))) = ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / (abs‘(2 · π))))
41	32, 36, 40	mp3an23 1454	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℂ → (abs‘((𝑥 − 𝑦) / (2 · π))) = ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / (abs‘(2 · π))))
42	28, 41	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → (abs‘((𝑥 − 𝑦) / (2 · π))) = ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / (abs‘(2 · π))))
43		0re 11264	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℝ
44	43, 31, 35	ltleii 11385	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ≤ (2 · π)
45		absid 15336	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((2 · π) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · π)) → (abs‘(2 · π)) = (2 · π))
46	31, 44, 45	mp2an 692	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (abs‘(2 · π)) = (2 · π)
47	46	oveq2i 7443	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / (abs‘(2 · π))) = ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / (2 · π))
48	42, 47	eqtrdi 2792	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → (abs‘((𝑥 − 𝑦) / (2 · π))) = ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / (2 · π)))
49		efif1olem4.4	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) → (abs‘(𝑥 − 𝑦)) < (2 · π))
50	49	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → (abs‘(𝑥 − 𝑦)) < (2 · π))
51	32	mulridi 11266	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · π) · 1) = (2 · π)
52	50, 51	breqtrrdi 5184	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → (abs‘(𝑥 − 𝑦)) < ((2 · π) · 1))
53	28	abscld 15476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → (abs‘(𝑥 − 𝑦)) ∈ ℝ)
54		1re 11262	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ
55	31, 35	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · π) ∈ ℝ ∧ 0 < (2 · π))
56		ltdivmul 12144	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((abs‘(𝑥 − 𝑦)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((2 · π) ∈ ℝ ∧ 0 < (2 · π))) → (((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / (2 · π)) < 1 ↔ (abs‘(𝑥 − 𝑦)) < ((2 · π) · 1)))
57	54, 55, 56	mp3an23 1454	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) ∈ ℝ → (((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / (2 · π)) < 1 ↔ (abs‘(𝑥 − 𝑦)) < ((2 · π) · 1)))
58	53, 57	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → (((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / (2 · π)) < 1 ↔ (abs‘(𝑥 − 𝑦)) < ((2 · π) · 1)))
59	52, 58	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / (2 · π)) < 1)
60	48, 59	eqbrtrd 5164	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → (abs‘((𝑥 − 𝑦) / (2 · π))) < 1)
61	32, 36	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 · π) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ≠ 0)
62		ine0 11699	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ i ≠ 0
63	3, 62	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0)
64		divcan5 11970	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 − 𝑦) ∈ ℂ ∧ ((2 · π) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ≠ 0) ∧ (i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0)) → ((i · (𝑥 − 𝑦)) / (i · (2 · π))) = ((𝑥 − 𝑦) / (2 · π)))
65	61, 63, 64	mp3an23 1454	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℂ → ((i · (𝑥 − 𝑦)) / (i · (2 · π))) = ((𝑥 − 𝑦) / (2 · π)))
66	28, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → ((i · (𝑥 − 𝑦)) / (i · (2 · π))) = ((𝑥 − 𝑦) / (2 · π)))
67	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → i ∈ ℂ)
68	67, 24, 27	subdid 11720	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → (i · (𝑥 − 𝑦)) = ((i · 𝑥) − (i · 𝑦)))
69	68	fveq2d 6909	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → (exp‘(i · (𝑥 − 𝑦))) = (exp‘((i · 𝑥) − (i · 𝑦))))
70		mulcl 11240	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (i · 𝑥) ∈ ℂ)
71	3, 24, 70	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → (i · 𝑥) ∈ ℂ)
72		mulcl 11240	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
73	3, 27, 72	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
74		efsub 16137	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((i · 𝑥) ∈ ℂ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℂ) → (exp‘((i · 𝑥) − (i · 𝑦))) = ((exp‘(i · 𝑥)) / (exp‘(i · 𝑦))))
75	71, 73, 74	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → (exp‘((i · 𝑥) − (i · 𝑦))) = ((exp‘(i · 𝑥)) / (exp‘(i · 𝑦))))
76		efcl 16119	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((i · 𝑦) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝑦)) ∈ ℂ)
77	73, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → (exp‘(i · 𝑦)) ∈ ℂ)
78		efne0 16134	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((i · 𝑦) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝑦)) ≠ 0)
79	73, 78	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → (exp‘(i · 𝑦)) ≠ 0)
80		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦))
81		oveq2 7440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (i · 𝑤) = (i · 𝑥))
82	81	fveq2d 6909	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (exp‘(i · 𝑤)) = (exp‘(i · 𝑥)))
83		fvex 6918	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (exp‘(i · 𝑥)) ∈ V
84	82, 19, 83	fvmpt 7015	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (𝐹‘𝑥) = (exp‘(i · 𝑥)))
85	22, 84	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → (𝐹‘𝑥) = (exp‘(i · 𝑥)))
86		oveq2 7440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (i · 𝑤) = (i · 𝑦))
87	86	fveq2d 6909	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (exp‘(i · 𝑤)) = (exp‘(i · 𝑦)))
88		fvex 6918	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (exp‘(i · 𝑦)) ∈ V
89	87, 19, 88	fvmpt 7015	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐷 → (𝐹‘𝑦) = (exp‘(i · 𝑦)))
90	25, 89	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → (𝐹‘𝑦) = (exp‘(i · 𝑦)))
91	80, 85, 90	3eqtr3d 2784	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → (exp‘(i · 𝑥)) = (exp‘(i · 𝑦)))
92	77, 79, 91	diveq1bd 12092	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → ((exp‘(i · 𝑥)) / (exp‘(i · 𝑦))) = 1)
93	69, 75, 92	3eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → (exp‘(i · (𝑥 − 𝑦))) = 1)
94		mulcl 11240	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝑦) ∈ ℂ) → (i · (𝑥 − 𝑦)) ∈ ℂ)
95	3, 28, 94	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → (i · (𝑥 − 𝑦)) ∈ ℂ)
96		efeq1 26571	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((i · (𝑥 − 𝑦)) ∈ ℂ → ((exp‘(i · (𝑥 − 𝑦))) = 1 ↔ ((i · (𝑥 − 𝑦)) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))
97	95, 96	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → ((exp‘(i · (𝑥 − 𝑦))) = 1 ↔ ((i · (𝑥 − 𝑦)) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))
98	93, 97	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → ((i · (𝑥 − 𝑦)) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ)
99	66, 98	eqeltrrd 2841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → ((𝑥 − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ)
100		nn0abscl 15352	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ → (abs‘((𝑥 − 𝑦) / (2 · π))) ∈ ℕ0)
101	99, 100	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → (abs‘((𝑥 − 𝑦) / (2 · π))) ∈ ℕ0)
102		nn0lt10b 12682	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((abs‘((𝑥 − 𝑦) / (2 · π))) ∈ ℕ0 → ((abs‘((𝑥 − 𝑦) / (2 · π))) < 1 ↔ (abs‘((𝑥 − 𝑦) / (2 · π))) = 0))
103	101, 102	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → ((abs‘((𝑥 − 𝑦) / (2 · π))) < 1 ↔ (abs‘((𝑥 − 𝑦) / (2 · π))) = 0))
104	60, 103	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → (abs‘((𝑥 − 𝑦) / (2 · π))) = 0)
105	39, 104	abs00d 15486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → ((𝑥 − 𝑦) / (2 · π)) = 0)
106		diveq0 11933	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 − 𝑦) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ≠ 0) → (((𝑥 − 𝑦) / (2 · π)) = 0 ↔ (𝑥 − 𝑦) = 0))
107	32, 36, 106	mp3an23 1454	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℂ → (((𝑥 − 𝑦) / (2 · π)) = 0 ↔ (𝑥 − 𝑦) = 0))
108	28, 107	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → (((𝑥 − 𝑦) / (2 · π)) = 0 ↔ (𝑥 − 𝑦) = 0))
109	105, 108	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → (𝑥 − 𝑦) = 0)
110	24, 27, 109	subeq0d 11629	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) ∧ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) → 𝑥 = 𝑦)
111	110	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) → ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
112	111	ralrimivva 3201	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
113		dff13 7276	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐷–1-1→𝐶 ↔ (𝐹:𝐷⟶𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
114	20, 112, 113	sylanbrc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷–1-1→𝐶)
115		oveq1 7439	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) → (𝑧 − 𝑦) = ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦))
116	115	oveq1d 7447	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) → ((𝑧 − 𝑦) / (2 · π)) = (((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) / (2 · π)))
117	116	eleq1d 2825	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) → (((𝑧 − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ ↔ (((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ))
118	117	rexbidv 3178	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) → (∃𝑦 ∈ 𝐷 ((𝑧 − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐷 (((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ))
119		efif1olem4.5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ 𝐷 ((𝑧 − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ)
120	119	ralrimiva 3145	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐷 ((𝑧 − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ)
121	120	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ∀𝑧 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐷 ((𝑧 − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ)
122		neghalfpire 26508	. . . . . . . . 9 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ
123		halfpire 26507	. . . . . . . . 9 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
124		iccssre 13470	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-(π / 2) ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → (-(π / 2)[,](π / 2)) ⊆ ℝ)
125	122, 123, 124	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ (-(π / 2)[,](π / 2)) ⊆ ℝ
126	19, 16	efif1olem3 26587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (ℑ‘(√‘𝑥)) ∈ (-1[,]1))
127		resinf1o 26579	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2))):(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(-1[,]1)
128		efif1olem4.6	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑆 = (sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2)))
129		f1oeq1 6835	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 = (sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2))) → (𝑆:(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(-1[,]1) ↔ (sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2))):(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(-1[,]1)))
130	128, 129	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆:(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(-1[,]1) ↔ (sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2))):(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(-1[,]1))
131	127, 130	mpbir 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆:(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(-1[,]1)
132		f1ocnv 6859	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆:(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(-1[,]1) → ◡𝑆:(-1[,]1)–1-1-onto→(-(π / 2)[,](π / 2)))
133		f1of 6847	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (◡𝑆:(-1[,]1)–1-1-onto→(-(π / 2)[,](π / 2)) → ◡𝑆:(-1[,]1)⟶(-(π / 2)[,](π / 2)))
134	131, 132, 133	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 ⊢ ◡𝑆:(-1[,]1)⟶(-(π / 2)[,](π / 2))
135	134	ffvelcdmi 7102	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℑ‘(√‘𝑥)) ∈ (-1[,]1) → (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)))
136	126, 135	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)))
137	125, 136	sselid 3980	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ∈ ℝ)
138		remulcl 11241	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ∈ ℝ) → (2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) ∈ ℝ)
139	29, 137, 138	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) ∈ ℝ)
140	118, 121, 139	rspcdva 3622	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ∃𝑦 ∈ 𝐷 (((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ)
141		oveq1 7439	. . . . . . . 8 ⊢ ((exp‘(i · ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦))) = 1 → ((exp‘(i · ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦))) · (exp‘(i · 𝑦))) = (1 · (exp‘(i · 𝑦))))
142	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → i ∈ ℂ)
143	139	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) ∈ ℝ)
144	143	recnd 11290	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) ∈ ℂ)
145	1	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝐷 ⊆ ℝ)
146		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ 𝐷)
147	145, 146	sseldd 3983	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ ℝ)
148	147	recnd 11290	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ ℂ)
149	142, 144, 148	subdid 11720	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (i · ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) = ((i · (2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))) − (i · 𝑦)))
150	149	oveq1d 7447	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((i · ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) + (i · 𝑦)) = (((i · (2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))) − (i · 𝑦)) + (i · 𝑦)))
151		mulcl 11240	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) ∈ ℂ) → (i · (2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))) ∈ ℂ)
152	3, 144, 151	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (i · (2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))) ∈ ℂ)
153	3, 148, 72	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
154	152, 153	npcand 11625	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (((i · (2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))) − (i · 𝑦)) + (i · 𝑦)) = (i · (2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))))
155	150, 154	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((i · ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) + (i · 𝑦)) = (i · (2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))))
156	155	fveq2d 6909	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (exp‘((i · ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) + (i · 𝑦))) = (exp‘(i · (2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))))
157	144, 148	subcld 11621	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) ∈ ℂ)
158		mulcl 11240	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) ∈ ℂ) → (i · ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) ∈ ℂ)
159	3, 157, 158	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (i · ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) ∈ ℂ)
160		efadd 16131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((i · ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) ∈ ℂ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℂ) → (exp‘((i · ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) + (i · 𝑦))) = ((exp‘(i · ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦))) · (exp‘(i · 𝑦))))
161	159, 153, 160	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (exp‘((i · ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) + (i · 𝑦))) = ((exp‘(i · ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦))) · (exp‘(i · 𝑦))))
162		2cn 12342	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℂ
163	137	recnd 11290	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ∈ ℂ)
164		mul12 11427	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ∈ ℂ) → (i · (2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))) = (2 · (i · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))))
165	3, 162, 163, 164	mp3an12i 1466	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (i · (2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))) = (2 · (i · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))))
166	165	fveq2d 6909	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (exp‘(i · (2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))) = (exp‘(2 · (i · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))))
167		mulcl 11240	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ∈ ℂ) → (i · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) ∈ ℂ)
168	3, 163, 167	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (i · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) ∈ ℂ)
169		2z 12651	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℤ
170		efexp 16138	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((i · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℤ) → (exp‘(2 · (i · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))) = ((exp‘(i · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))↑2))
171	168, 169, 170	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (exp‘(2 · (i · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))) = ((exp‘(i · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))↑2))
172	166, 171	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (exp‘(i · (2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))) = ((exp‘(i · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))↑2))
173	137	recoscld 16181	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (cos‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) ∈ ℝ)
174		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐶)
175	174, 16	eleqtrdi 2850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ (◡abs “ {1}))
176		fniniseg 7079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (abs Fn ℂ → (𝑥 ∈ (◡abs “ {1}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑥) = 1)))
177	12, 176	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ (◡abs “ {1}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑥) = 1))
178	175, 177	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑥) = 1))
179	178	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ ℂ)
180	179	sqrtcld 15477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (√‘𝑥) ∈ ℂ)
181	180	recld 15234	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (ℜ‘(√‘𝑥)) ∈ ℝ)
182		cosq14ge0 26554	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → 0 ≤ (cos‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))
183	136, 182	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 0 ≤ (cos‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))
184	179	sqrtrege0d 15478	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 0 ≤ (ℜ‘(√‘𝑥)))
185		sincossq 16213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ∈ ℂ → (((sin‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2) + ((cos‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2)) = 1)
186	163, 185	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (((sin‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2) + ((cos‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2)) = 1)
187	179	sqsqrtd 15479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((√‘𝑥)↑2) = 𝑥)
188	187	fveq2d 6909	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (abs‘((√‘𝑥)↑2)) = (abs‘𝑥))
189		2nn0 12545	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 2 ∈ ℕ0
190		absexp 15344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((√‘𝑥) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (abs‘((√‘𝑥)↑2)) = ((abs‘(√‘𝑥))↑2))
191	180, 189, 190	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (abs‘((√‘𝑥)↑2)) = ((abs‘(√‘𝑥))↑2))
192	178	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (abs‘𝑥) = 1)
193	188, 191, 192	3eqtr3d 2784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((abs‘(√‘𝑥))↑2) = 1)
194	180	absvalsq2d 15483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((abs‘(√‘𝑥))↑2) = (((ℜ‘(√‘𝑥))↑2) + ((ℑ‘(√‘𝑥))↑2)))
195	186, 193, 194	3eqtr2d 2782	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (((sin‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2) + ((cos‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2)) = (((ℜ‘(√‘𝑥))↑2) + ((ℑ‘(√‘𝑥))↑2)))
196	128	fveq1i 6906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑆‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) = ((sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2)))‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))
197	136	fvresd 6925	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2)))‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) = (sin‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))
198	196, 197	eqtrid 2788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑆‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) = (sin‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))
199		f1ocnvfv2 7298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑆:(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(-1[,]1) ∧ (ℑ‘(√‘𝑥)) ∈ (-1[,]1)) → (𝑆‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) = (ℑ‘(√‘𝑥)))
200	131, 126, 199	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑆‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) = (ℑ‘(√‘𝑥)))
201	198, 200	eqtr3d 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (sin‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) = (ℑ‘(√‘𝑥)))
202	201	oveq1d 7447	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((sin‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2) = ((ℑ‘(√‘𝑥))↑2))
203	195, 202	oveq12d 7450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((((sin‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2) + ((cos‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2)) − ((sin‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2)) = ((((ℜ‘(√‘𝑥))↑2) + ((ℑ‘(√‘𝑥))↑2)) − ((ℑ‘(√‘𝑥))↑2)))
204	163	sincld 16167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (sin‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) ∈ ℂ)
205	204	sqcld 14185	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((sin‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2) ∈ ℂ)
206	163	coscld 16168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (cos‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) ∈ ℂ)
207	206	sqcld 14185	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((cos‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2) ∈ ℂ)
208	205, 207	pncan2d 11623	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((((sin‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2) + ((cos‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2)) − ((sin‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2)) = ((cos‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2))
209	181	recnd 11290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (ℜ‘(√‘𝑥)) ∈ ℂ)
210	209	sqcld 14185	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((ℜ‘(√‘𝑥))↑2) ∈ ℂ)
211	202, 205	eqeltrrd 2841	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((ℑ‘(√‘𝑥))↑2) ∈ ℂ)
212	210, 211	pncand 11622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((((ℜ‘(√‘𝑥))↑2) + ((ℑ‘(√‘𝑥))↑2)) − ((ℑ‘(√‘𝑥))↑2)) = ((ℜ‘(√‘𝑥))↑2))
213	203, 208, 212	3eqtr3d 2784	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((cos‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2) = ((ℜ‘(√‘𝑥))↑2))
214	173, 181, 183, 184, 213	sq11d 14298	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (cos‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) = (ℜ‘(√‘𝑥)))
215	201	oveq2d 7448	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (i · (sin‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))) = (i · (ℑ‘(√‘𝑥))))
216	214, 215	oveq12d 7450	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((cos‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) + (i · (sin‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))) = ((ℜ‘(√‘𝑥)) + (i · (ℑ‘(√‘𝑥)))))
217		efival 16189	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ∈ ℂ → (exp‘(i · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))) = ((cos‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) + (i · (sin‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))))
218	163, 217	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (exp‘(i · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))) = ((cos‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) + (i · (sin‘(◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))))
219	180	replimd 15237	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (√‘𝑥) = ((ℜ‘(√‘𝑥)) + (i · (ℑ‘(√‘𝑥)))))
220	216, 218, 219	3eqtr4d 2786	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (exp‘(i · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))) = (√‘𝑥))
221	220	oveq1d 7447	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((exp‘(i · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))↑2) = ((√‘𝑥)↑2))
222	172, 221, 187	3eqtrd 2780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (exp‘(i · (2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))) = 𝑥)
223	222	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (exp‘(i · (2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))) = 𝑥)
224	156, 161, 223	3eqtr3d 2784	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((exp‘(i · ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦))) · (exp‘(i · 𝑦))) = 𝑥)
225	153, 76	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (exp‘(i · 𝑦)) ∈ ℂ)
226	225	mullidd 11280	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (1 · (exp‘(i · 𝑦))) = (exp‘(i · 𝑦)))
227	224, 226	eqeq12d 2752	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (((exp‘(i · ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦))) · (exp‘(i · 𝑦))) = (1 · (exp‘(i · 𝑦))) ↔ 𝑥 = (exp‘(i · 𝑦))))
228	141, 227	imbitrid 244	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((exp‘(i · ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦))) = 1 → 𝑥 = (exp‘(i · 𝑦))))
229		efeq1 26571	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i · ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) ∈ ℂ → ((exp‘(i · ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦))) = 1 ↔ ((i · ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))
230	159, 229	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((exp‘(i · ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦))) = 1 ↔ ((i · ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))
231		divcan5 11970	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) ∈ ℂ ∧ ((2 · π) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ≠ 0) ∧ (i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0)) → ((i · ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) / (i · (2 · π))) = (((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) / (2 · π)))
232	61, 63, 231	mp3an23 1454	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) ∈ ℂ → ((i · ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) / (i · (2 · π))) = (((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) / (2 · π)))
233	157, 232	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((i · ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) / (i · (2 · π))) = (((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) / (2 · π)))
234	233	eleq1d 2825	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (((i · ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ ↔ (((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ))
235	230, 234	bitr2d 280	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ ↔ (exp‘(i · ((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦))) = 1))
236	89	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑦) = (exp‘(i · 𝑦)))
237	236	eqeq2d 2747	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑥 = (𝐹‘𝑦) ↔ 𝑥 = (exp‘(i · 𝑦))))
238	228, 235, 237	3imtr4d 294	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ → 𝑥 = (𝐹‘𝑦)))
239	238	reximdva 3167	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (∃𝑦 ∈ 𝐷 (((2 · (◡𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ → ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = (𝐹‘𝑦)))
240	140, 239	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = (𝐹‘𝑦))
241	240	ralrimiva 3145	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐶 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = (𝐹‘𝑦))
242		dffo3 7121	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐷–onto→𝐶 ↔ (𝐹:𝐷⟶𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐶 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = (𝐹‘𝑦)))
243	20, 241, 242	sylanbrc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷–onto→𝐶)
244		df-f1o 6567	. 2 ⊢ (𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐶 ↔ (𝐹:𝐷–1-1→𝐶 ∧ 𝐹:𝐷–onto→𝐶))
245	114, 243, 244	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939  ∀wral 3060  ∃wrex 3069   ⊆ wss 3950  {csn 4625   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5224  ^◡ccnv 5683   ↾ cres 5686   “ cima 5687   Fn wfn 6555  ⟶wf 6556  –1-1→wf1 6557  –onto→wfo 6558  –1-1-onto→wf1o 6559  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  ℂcc 11154  ℝcr 11155  0cc0 11156  1c1 11157  ici 11158   + caddc 11159   · cmul 11161   < clt 11296   ≤ cle 11297   − cmin 11493  -cneg 11494   / cdiv 11921  2c2 12322  ℕ₀cn0 12528  ℤcz 12615  [,]cicc 13391  ↑cexp 14103  ℜcre 15137  ℑcim 15138  √csqrt 15273  abscabs 15274  expce 16098  sincsin 16100  cosccos 16101  πcpi 16103

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234  ax-addf 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-fi 9452  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13392  df-ioc 13393  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-mod 13911  df-seq 14044  df-exp 14104  df-fac 14314  df-bc 14343  df-hash 14371  df-shft 15107  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-limsup 15508  df-clim 15525  df-rlim 15526  df-sum 15724  df-ef 16104  df-sin 16106  df-cos 16107  df-pi 16109  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-submnd 18798  df-mulg 19087  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-psmet 21357  df-xmet 21358  df-met 21359  df-bl 21360  df-mopn 21361  df-fbas 21362  df-fg 21363  df-cnfld 21366  df-top 22901  df-topon 22918  df-topsp 22940  df-bases 22954  df-cld 23028  df-ntr 23029  df-cls 23030  df-nei 23107  df-lp 23145  df-perf 23146  df-cn 23236  df-cnp 23237  df-haus 23324  df-tx 23571  df-hmeo 23764  df-fil 23855  df-fm 23947  df-flim 23948  df-flf 23949  df-xms 24331  df-ms 24332  df-tms 24333  df-cncf 24905  df-limc 25902  df-dv 25903

This theorem is referenced by:  efif1o  26589  eff1olem  26591