MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efif1olem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efif1olem4 25140
Description: The exponential function of an imaginary number maps any interval of length one-to-one onto the unit circle. (Contributed by Paul Chapman, 16-Mar-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
efif1o.1 𝐹 = (𝑤𝐷 ↦ (exp‘(i · 𝑤)))
efif1o.2 𝐶 = (abs “ {1})
efif1olem4.3 (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
efif1olem4.4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → (abs‘(𝑥𝑦)) < (2 · π))
efif1olem4.5 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → ∃𝑦𝐷 ((𝑧𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ)
efif1olem4.6 𝑆 = (sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2)))
Assertion
Ref Expression
efif1olem4 (𝜑𝐹:𝐷1-1-onto𝐶)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧   𝑤,𝐶,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝜑,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑦,𝑆,𝑧   𝑤,𝐷,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑧)   𝑆(𝑥,𝑤)   𝐹(𝑧,𝑤)

Proof of Theorem efif1olem4
StepHypRef Expression
1 efif1olem4.3 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
21sselda 3918 . . . . 5 ((𝜑𝑤𝐷) → 𝑤 ∈ ℝ)
3 ax-icn 10589 . . . . . . . . 9 i ∈ ℂ
4 recn 10620 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ ℝ → 𝑤 ∈ ℂ)
5 mulcl 10614 . . . . . . . . 9 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (i · 𝑤) ∈ ℂ)
63, 4, 5sylancr 590 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ ℝ → (i · 𝑤) ∈ ℂ)
7 efcl 15431 . . . . . . . 8 ((i · 𝑤) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝑤)) ∈ ℂ)
86, 7syl 17 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ ℝ → (exp‘(i · 𝑤)) ∈ ℂ)
9 absefi 15544 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ ℝ → (abs‘(exp‘(i · 𝑤))) = 1)
10 absf 14692 . . . . . . . . 9 abs:ℂ⟶ℝ
11 ffn 6491 . . . . . . . . 9 (abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ)
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . 8 abs Fn ℂ
13 fniniseg 6811 . . . . . . . 8 (abs Fn ℂ → ((exp‘(i · 𝑤)) ∈ (abs “ {1}) ↔ ((exp‘(i · 𝑤)) ∈ ℂ ∧ (abs‘(exp‘(i · 𝑤))) = 1)))
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . 7 ((exp‘(i · 𝑤)) ∈ (abs “ {1}) ↔ ((exp‘(i · 𝑤)) ∈ ℂ ∧ (abs‘(exp‘(i · 𝑤))) = 1))
158, 9, 14sylanbrc 586 . . . . . 6 (𝑤 ∈ ℝ → (exp‘(i · 𝑤)) ∈ (abs “ {1}))
16 efif1o.2 . . . . . 6 𝐶 = (abs “ {1})
1715, 16eleqtrrdi 2904 . . . . 5 (𝑤 ∈ ℝ → (exp‘(i · 𝑤)) ∈ 𝐶)
182, 17syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑤𝐷) → (exp‘(i · 𝑤)) ∈ 𝐶)
19 efif1o.1 . . . 4 𝐹 = (𝑤𝐷 ↦ (exp‘(i · 𝑤)))
2018, 19fmptd 6859 . . 3 (𝜑𝐹:𝐷𝐶)
211ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → 𝐷 ⊆ ℝ)
22 simplrl 776 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → 𝑥𝐷)
2321, 22sseldd 3919 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → 𝑥 ∈ ℝ)
2423recnd 10662 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → 𝑥 ∈ ℂ)
25 simplrr 777 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → 𝑦𝐷)
2621, 25sseldd 3919 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ)
2726recnd 10662 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → 𝑦 ∈ ℂ)
2824, 27subcld 10990 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → (𝑥𝑦) ∈ ℂ)
29 2re 11703 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
30 pire 25054 . . . . . . . . . . . 12 π ∈ ℝ
3129, 30remulcli 10650 . . . . . . . . . . 11 (2 · π) ∈ ℝ
3231recni 10648 . . . . . . . . . 10 (2 · π) ∈ ℂ
33 2pos 11732 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
34 pipos 25056 . . . . . . . . . . . 12 0 < π
3529, 30, 33, 34mulgt0ii 10766 . . . . . . . . . . 11 0 < (2 · π)
3631, 35gt0ne0ii 11169 . . . . . . . . . 10 (2 · π) ≠ 0
37 divcl 11297 . . . . . . . . . 10 (((𝑥𝑦) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ≠ 0) → ((𝑥𝑦) / (2 · π)) ∈ ℂ)
3832, 36, 37mp3an23 1450 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝑦) ∈ ℂ → ((𝑥𝑦) / (2 · π)) ∈ ℂ)
3928, 38syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → ((𝑥𝑦) / (2 · π)) ∈ ℂ)
40 absdiv 14650 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥𝑦) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ≠ 0) → (abs‘((𝑥𝑦) / (2 · π))) = ((abs‘(𝑥𝑦)) / (abs‘(2 · π))))
4132, 36, 40mp3an23 1450 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝑦) ∈ ℂ → (abs‘((𝑥𝑦) / (2 · π))) = ((abs‘(𝑥𝑦)) / (abs‘(2 · π))))
4228, 41syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → (abs‘((𝑥𝑦) / (2 · π))) = ((abs‘(𝑥𝑦)) / (abs‘(2 · π))))
43 0re 10636 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ
4443, 31, 35ltleii 10756 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≤ (2 · π)
45 absid 14651 . . . . . . . . . . . . 13 (((2 · π) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · π)) → (abs‘(2 · π)) = (2 · π))
4631, 44, 45mp2an 691 . . . . . . . . . . . 12 (abs‘(2 · π)) = (2 · π)
4746oveq2i 7150 . . . . . . . . . . 11 ((abs‘(𝑥𝑦)) / (abs‘(2 · π))) = ((abs‘(𝑥𝑦)) / (2 · π))
4842, 47eqtrdi 2852 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → (abs‘((𝑥𝑦) / (2 · π))) = ((abs‘(𝑥𝑦)) / (2 · π)))
49 efif1olem4.4 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → (abs‘(𝑥𝑦)) < (2 · π))
5049adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → (abs‘(𝑥𝑦)) < (2 · π))
5132mulid1i 10638 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · π) · 1) = (2 · π)
5250, 51breqtrrdi 5075 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → (abs‘(𝑥𝑦)) < ((2 · π) · 1))
5328abscld 14791 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → (abs‘(𝑥𝑦)) ∈ ℝ)
54 1re 10634 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℝ
5531, 35pm3.2i 474 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 · π) ∈ ℝ ∧ 0 < (2 · π))
56 ltdivmul 11508 . . . . . . . . . . . . 13 (((abs‘(𝑥𝑦)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((2 · π) ∈ ℝ ∧ 0 < (2 · π))) → (((abs‘(𝑥𝑦)) / (2 · π)) < 1 ↔ (abs‘(𝑥𝑦)) < ((2 · π) · 1)))
5754, 55, 56mp3an23 1450 . . . . . . . . . . . 12 ((abs‘(𝑥𝑦)) ∈ ℝ → (((abs‘(𝑥𝑦)) / (2 · π)) < 1 ↔ (abs‘(𝑥𝑦)) < ((2 · π) · 1)))
5853, 57syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → (((abs‘(𝑥𝑦)) / (2 · π)) < 1 ↔ (abs‘(𝑥𝑦)) < ((2 · π) · 1)))
5952, 58mpbird 260 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → ((abs‘(𝑥𝑦)) / (2 · π)) < 1)
6048, 59eqbrtrd 5055 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → (abs‘((𝑥𝑦) / (2 · π))) < 1)
6132, 36pm3.2i 474 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 · π) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ≠ 0)
62 ine0 11068 . . . . . . . . . . . . . . 15 i ≠ 0
633, 62pm3.2i 474 . . . . . . . . . . . . . 14 (i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0)
64 divcan5 11335 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥𝑦) ∈ ℂ ∧ ((2 · π) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ≠ 0) ∧ (i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0)) → ((i · (𝑥𝑦)) / (i · (2 · π))) = ((𝑥𝑦) / (2 · π)))
6561, 63, 64mp3an23 1450 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝑦) ∈ ℂ → ((i · (𝑥𝑦)) / (i · (2 · π))) = ((𝑥𝑦) / (2 · π)))
6628, 65syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → ((i · (𝑥𝑦)) / (i · (2 · π))) = ((𝑥𝑦) / (2 · π)))
673a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → i ∈ ℂ)
6867, 24, 27subdid 11089 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → (i · (𝑥𝑦)) = ((i · 𝑥) − (i · 𝑦)))
6968fveq2d 6653 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → (exp‘(i · (𝑥𝑦))) = (exp‘((i · 𝑥) − (i · 𝑦))))
70 mulcl 10614 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (i · 𝑥) ∈ ℂ)
713, 24, 70sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → (i · 𝑥) ∈ ℂ)
72 mulcl 10614 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
733, 27, 72sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
74 efsub 15448 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((i · 𝑥) ∈ ℂ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℂ) → (exp‘((i · 𝑥) − (i · 𝑦))) = ((exp‘(i · 𝑥)) / (exp‘(i · 𝑦))))
7571, 73, 74syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → (exp‘((i · 𝑥) − (i · 𝑦))) = ((exp‘(i · 𝑥)) / (exp‘(i · 𝑦))))
76 efcl 15431 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((i · 𝑦) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝑦)) ∈ ℂ)
7773, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → (exp‘(i · 𝑦)) ∈ ℂ)
78 efne0 15445 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((i · 𝑦) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝑦)) ≠ 0)
7973, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → (exp‘(i · 𝑦)) ≠ 0)
80 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
81 oveq2 7147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 = 𝑥 → (i · 𝑤) = (i · 𝑥))
8281fveq2d 6653 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 = 𝑥 → (exp‘(i · 𝑤)) = (exp‘(i · 𝑥)))
83 fvex 6662 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (exp‘(i · 𝑥)) ∈ V
8482, 19, 83fvmpt 6749 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥𝐷 → (𝐹𝑥) = (exp‘(i · 𝑥)))
8522, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → (𝐹𝑥) = (exp‘(i · 𝑥)))
86 oveq2 7147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 = 𝑦 → (i · 𝑤) = (i · 𝑦))
8786fveq2d 6653 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 = 𝑦 → (exp‘(i · 𝑤)) = (exp‘(i · 𝑦)))
88 fvex 6662 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (exp‘(i · 𝑦)) ∈ V
8987, 19, 88fvmpt 6749 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦𝐷 → (𝐹𝑦) = (exp‘(i · 𝑦)))
9025, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → (𝐹𝑦) = (exp‘(i · 𝑦)))
9180, 85, 903eqtr3d 2844 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → (exp‘(i · 𝑥)) = (exp‘(i · 𝑦)))
9277, 79, 91diveq1bd 11457 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → ((exp‘(i · 𝑥)) / (exp‘(i · 𝑦))) = 1)
9369, 75, 923eqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → (exp‘(i · (𝑥𝑦))) = 1)
94 mulcl 10614 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((i ∈ ℂ ∧ (𝑥𝑦) ∈ ℂ) → (i · (𝑥𝑦)) ∈ ℂ)
953, 28, 94sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → (i · (𝑥𝑦)) ∈ ℂ)
96 efeq1 25123 . . . . . . . . . . . . . 14 ((i · (𝑥𝑦)) ∈ ℂ → ((exp‘(i · (𝑥𝑦))) = 1 ↔ ((i · (𝑥𝑦)) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))
9795, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → ((exp‘(i · (𝑥𝑦))) = 1 ↔ ((i · (𝑥𝑦)) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))
9893, 97mpbid 235 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → ((i · (𝑥𝑦)) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ)
9966, 98eqeltrrd 2894 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → ((𝑥𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ)
100 nn0abscl 14667 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ → (abs‘((𝑥𝑦) / (2 · π))) ∈ ℕ0)
10199, 100syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → (abs‘((𝑥𝑦) / (2 · π))) ∈ ℕ0)
102 nn0lt10b 12036 . . . . . . . . . 10 ((abs‘((𝑥𝑦) / (2 · π))) ∈ ℕ0 → ((abs‘((𝑥𝑦) / (2 · π))) < 1 ↔ (abs‘((𝑥𝑦) / (2 · π))) = 0))
103101, 102syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → ((abs‘((𝑥𝑦) / (2 · π))) < 1 ↔ (abs‘((𝑥𝑦) / (2 · π))) = 0))
10460, 103mpbid 235 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → (abs‘((𝑥𝑦) / (2 · π))) = 0)
10539, 104abs00d 14801 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → ((𝑥𝑦) / (2 · π)) = 0)
106 diveq0 11301 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝑦) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ≠ 0) → (((𝑥𝑦) / (2 · π)) = 0 ↔ (𝑥𝑦) = 0))
10732, 36, 106mp3an23 1450 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑦) ∈ ℂ → (((𝑥𝑦) / (2 · π)) = 0 ↔ (𝑥𝑦) = 0))
10828, 107syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → (((𝑥𝑦) / (2 · π)) = 0 ↔ (𝑥𝑦) = 0))
109105, 108mpbid 235 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → (𝑥𝑦) = 0)
11024, 27, 109subeq0d 10998 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → 𝑥 = 𝑦)
111110ex 416 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
112111ralrimivva 3159 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐷𝑦𝐷 ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
113 dff13 6995 . . 3 (𝐹:𝐷1-1𝐶 ↔ (𝐹:𝐷𝐶 ∧ ∀𝑥𝐷𝑦𝐷 ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
11420, 112, 113sylanbrc 586 . 2 (𝜑𝐹:𝐷1-1𝐶)
115 oveq1 7146 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) → (𝑧𝑦) = ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦))
116115oveq1d 7154 . . . . . . . 8 (𝑧 = (2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) → ((𝑧𝑦) / (2 · π)) = (((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) / (2 · π)))
117116eleq1d 2877 . . . . . . 7 (𝑧 = (2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) → (((𝑧𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ ↔ (((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ))
118117rexbidv 3259 . . . . . 6 (𝑧 = (2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) → (∃𝑦𝐷 ((𝑧𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ ↔ ∃𝑦𝐷 (((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ))
119 efif1olem4.5 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → ∃𝑦𝐷 ((𝑧𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ)
120119ralrimiva 3152 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℝ ∃𝑦𝐷 ((𝑧𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ)
121120adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐶) → ∀𝑧 ∈ ℝ ∃𝑦𝐷 ((𝑧𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ)
122 neghalfpire 25061 . . . . . . . . 9 -(π / 2) ∈ ℝ
123 halfpire 25060 . . . . . . . . 9 (π / 2) ∈ ℝ
124 iccssre 12811 . . . . . . . . 9 ((-(π / 2) ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → (-(π / 2)[,](π / 2)) ⊆ ℝ)
125122, 123, 124mp2an 691 . . . . . . . 8 (-(π / 2)[,](π / 2)) ⊆ ℝ
12619, 16efif1olem3 25139 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐶) → (ℑ‘(√‘𝑥)) ∈ (-1[,]1))
127 resinf1o 25131 . . . . . . . . . . . 12 (sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2))):(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(-1[,]1)
128 efif1olem4.6 . . . . . . . . . . . . 13 𝑆 = (sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2)))
129 f1oeq1 6583 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 = (sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2))) → (𝑆:(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(-1[,]1) ↔ (sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2))):(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(-1[,]1)))
130128, 129ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆:(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(-1[,]1) ↔ (sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2))):(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(-1[,]1))
131127, 130mpbir 234 . . . . . . . . . . 11 𝑆:(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(-1[,]1)
132 f1ocnv 6606 . . . . . . . . . . 11 (𝑆:(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(-1[,]1) → 𝑆:(-1[,]1)–1-1-onto→(-(π / 2)[,](π / 2)))
133 f1of 6594 . . . . . . . . . . 11 (𝑆:(-1[,]1)–1-1-onto→(-(π / 2)[,](π / 2)) → 𝑆:(-1[,]1)⟶(-(π / 2)[,](π / 2)))
134131, 132, 133mp2b 10 . . . . . . . . . 10 𝑆:(-1[,]1)⟶(-(π / 2)[,](π / 2))
135134ffvelrni 6831 . . . . . . . . 9 ((ℑ‘(√‘𝑥)) ∈ (-1[,]1) → (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)))
136126, 135syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐶) → (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)))
137125, 136sseldi 3916 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐶) → (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ∈ ℝ)
138 remulcl 10615 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ∈ ℝ) → (2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) ∈ ℝ)
13929, 137, 138sylancr 590 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐶) → (2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) ∈ ℝ)
140118, 121, 139rspcdva 3576 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐶) → ∃𝑦𝐷 (((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ)
141 oveq1 7146 . . . . . . . 8 ((exp‘(i · ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦))) = 1 → ((exp‘(i · ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦))) · (exp‘(i · 𝑦))) = (1 · (exp‘(i · 𝑦))))
1423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → i ∈ ℂ)
143139adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → (2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) ∈ ℝ)
144143recnd 10662 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → (2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) ∈ ℂ)
1451ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → 𝐷 ⊆ ℝ)
146 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → 𝑦𝐷)
147145, 146sseldd 3919 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → 𝑦 ∈ ℝ)
148147recnd 10662 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → 𝑦 ∈ ℂ)
149142, 144, 148subdid 11089 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → (i · ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) = ((i · (2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))) − (i · 𝑦)))
150149oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → ((i · ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) + (i · 𝑦)) = (((i · (2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))) − (i · 𝑦)) + (i · 𝑦)))
151 mulcl 10614 . . . . . . . . . . . . . 14 ((i ∈ ℂ ∧ (2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) ∈ ℂ) → (i · (2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))) ∈ ℂ)
1523, 144, 151sylancr 590 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → (i · (2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))) ∈ ℂ)
1533, 148, 72sylancr 590 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
154152, 153npcand 10994 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → (((i · (2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))) − (i · 𝑦)) + (i · 𝑦)) = (i · (2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))))
155150, 154eqtrd 2836 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → ((i · ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) + (i · 𝑦)) = (i · (2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))))
156155fveq2d 6653 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → (exp‘((i · ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) + (i · 𝑦))) = (exp‘(i · (2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))))
157144, 148subcld 10990 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) ∈ ℂ)
158 mulcl 10614 . . . . . . . . . . . 12 ((i ∈ ℂ ∧ ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) ∈ ℂ) → (i · ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) ∈ ℂ)
1593, 157, 158sylancr 590 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → (i · ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) ∈ ℂ)
160 efadd 15442 . . . . . . . . . . 11 (((i · ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) ∈ ℂ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℂ) → (exp‘((i · ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) + (i · 𝑦))) = ((exp‘(i · ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦))) · (exp‘(i · 𝑦))))
161159, 153, 160syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → (exp‘((i · ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) + (i · 𝑦))) = ((exp‘(i · ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦))) · (exp‘(i · 𝑦))))
162 2cn 11704 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℂ
163137recnd 10662 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐶) → (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ∈ ℂ)
164 mul12 10798 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((i ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ∈ ℂ) → (i · (2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))) = (2 · (i · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))))
1653, 162, 163, 164mp3an12i 1462 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐶) → (i · (2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))) = (2 · (i · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))))
166165fveq2d 6653 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐶) → (exp‘(i · (2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))) = (exp‘(2 · (i · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))))
167 mulcl 10614 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((i ∈ ℂ ∧ (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ∈ ℂ) → (i · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) ∈ ℂ)
1683, 163, 167sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐶) → (i · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) ∈ ℂ)
169 2z 12006 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℤ
170 efexp 15449 . . . . . . . . . . . . . 14 (((i · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℤ) → (exp‘(2 · (i · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))) = ((exp‘(i · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))↑2))
171168, 169, 170sylancl 589 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐶) → (exp‘(2 · (i · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))) = ((exp‘(i · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))↑2))
172166, 171eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐶) → (exp‘(i · (2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))) = ((exp‘(i · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))↑2))
173137recoscld 15492 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐶) → (cos‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) ∈ ℝ)
174 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝑥𝐶)
175174, 16eleqtrdi 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝑥 ∈ (abs “ {1}))
176 fniniseg 6811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (abs Fn ℂ → (𝑥 ∈ (abs “ {1}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑥) = 1)))
17712, 176ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ (abs “ {1}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑥) = 1))
178175, 177sylib 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐶) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑥) = 1))
179178simpld 498 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝑥 ∈ ℂ)
180179sqrtcld 14792 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐶) → (√‘𝑥) ∈ ℂ)
181180recld 14548 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐶) → (ℜ‘(√‘𝑥)) ∈ ℝ)
182 cosq14ge0 25107 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → 0 ≤ (cos‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))
183136, 182syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐶) → 0 ≤ (cos‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))
184179sqrtrege0d 14793 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐶) → 0 ≤ (ℜ‘(√‘𝑥)))
185 sincossq 15524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ∈ ℂ → (((sin‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2) + ((cos‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2)) = 1)
186163, 185syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐶) → (((sin‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2) + ((cos‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2)) = 1)
187179sqsqrtd 14794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥𝐶) → ((√‘𝑥)↑2) = 𝑥)
188187fveq2d 6653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝐶) → (abs‘((√‘𝑥)↑2)) = (abs‘𝑥))
189 2nn0 11906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 ∈ ℕ0
190 absexp 14659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((√‘𝑥) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (abs‘((√‘𝑥)↑2)) = ((abs‘(√‘𝑥))↑2))
191180, 189, 190sylancl 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝐶) → (abs‘((√‘𝑥)↑2)) = ((abs‘(√‘𝑥))↑2))
192178simprd 499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝐶) → (abs‘𝑥) = 1)
193188, 191, 1923eqtr3d 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐶) → ((abs‘(√‘𝑥))↑2) = 1)
194180absvalsq2d 14798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐶) → ((abs‘(√‘𝑥))↑2) = (((ℜ‘(√‘𝑥))↑2) + ((ℑ‘(√‘𝑥))↑2)))
195186, 193, 1943eqtr2d 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐶) → (((sin‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2) + ((cos‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2)) = (((ℜ‘(√‘𝑥))↑2) + ((ℑ‘(√‘𝑥))↑2)))
196128fveq1i 6650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑆‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) = ((sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2)))‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))
197136fvresd 6669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥𝐶) → ((sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2)))‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) = (sin‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))
198196, 197syl5eq 2848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝐶) → (𝑆‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) = (sin‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))
199 f1ocnvfv2 7016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑆:(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(-1[,]1) ∧ (ℑ‘(√‘𝑥)) ∈ (-1[,]1)) → (𝑆‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) = (ℑ‘(√‘𝑥)))
200131, 126, 199sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝐶) → (𝑆‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) = (ℑ‘(√‘𝑥)))
201198, 200eqtr3d 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐶) → (sin‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) = (ℑ‘(√‘𝑥)))
202201oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐶) → ((sin‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2) = ((ℑ‘(√‘𝑥))↑2))
203195, 202oveq12d 7157 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐶) → ((((sin‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2) + ((cos‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2)) − ((sin‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2)) = ((((ℜ‘(√‘𝑥))↑2) + ((ℑ‘(√‘𝑥))↑2)) − ((ℑ‘(√‘𝑥))↑2)))
204163sincld 15478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐶) → (sin‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) ∈ ℂ)
205204sqcld 13508 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐶) → ((sin‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2) ∈ ℂ)
206163coscld 15479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐶) → (cos‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) ∈ ℂ)
207206sqcld 13508 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐶) → ((cos‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2) ∈ ℂ)
208205, 207pncan2d 10992 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐶) → ((((sin‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2) + ((cos‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2)) − ((sin‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2)) = ((cos‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2))
209181recnd 10662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐶) → (ℜ‘(√‘𝑥)) ∈ ℂ)
210209sqcld 13508 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐶) → ((ℜ‘(√‘𝑥))↑2) ∈ ℂ)
211202, 205eqeltrrd 2894 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐶) → ((ℑ‘(√‘𝑥))↑2) ∈ ℂ)
212210, 211pncand 10991 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐶) → ((((ℜ‘(√‘𝑥))↑2) + ((ℑ‘(√‘𝑥))↑2)) − ((ℑ‘(√‘𝑥))↑2)) = ((ℜ‘(√‘𝑥))↑2))
213203, 208, 2123eqtr3d 2844 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐶) → ((cos‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2) = ((ℜ‘(√‘𝑥))↑2))
214173, 181, 183, 184, 213sq11d 13621 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐶) → (cos‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) = (ℜ‘(√‘𝑥)))
215201oveq2d 7155 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐶) → (i · (sin‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))) = (i · (ℑ‘(√‘𝑥))))
216214, 215oveq12d 7157 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐶) → ((cos‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) + (i · (sin‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))) = ((ℜ‘(√‘𝑥)) + (i · (ℑ‘(√‘𝑥)))))
217 efival 15500 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ∈ ℂ → (exp‘(i · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))) = ((cos‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) + (i · (sin‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))))
218163, 217syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐶) → (exp‘(i · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))) = ((cos‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) + (i · (sin‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))))
219180replimd 14551 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐶) → (√‘𝑥) = ((ℜ‘(√‘𝑥)) + (i · (ℑ‘(√‘𝑥)))))
220216, 218, 2193eqtr4d 2846 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐶) → (exp‘(i · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))) = (√‘𝑥))
221220oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐶) → ((exp‘(i · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))↑2) = ((√‘𝑥)↑2))
222172, 221, 1873eqtrd 2840 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐶) → (exp‘(i · (2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))) = 𝑥)
223222adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → (exp‘(i · (2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))) = 𝑥)
224156, 161, 2233eqtr3d 2844 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → ((exp‘(i · ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦))) · (exp‘(i · 𝑦))) = 𝑥)
225153, 76syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → (exp‘(i · 𝑦)) ∈ ℂ)
226225mulid2d 10652 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → (1 · (exp‘(i · 𝑦))) = (exp‘(i · 𝑦)))
227224, 226eqeq12d 2817 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → (((exp‘(i · ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦))) · (exp‘(i · 𝑦))) = (1 · (exp‘(i · 𝑦))) ↔ 𝑥 = (exp‘(i · 𝑦))))
228141, 227syl5ib 247 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → ((exp‘(i · ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦))) = 1 → 𝑥 = (exp‘(i · 𝑦))))
229 efeq1 25123 . . . . . . . . 9 ((i · ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) ∈ ℂ → ((exp‘(i · ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦))) = 1 ↔ ((i · ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))
230159, 229syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → ((exp‘(i · ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦))) = 1 ↔ ((i · ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))
231 divcan5 11335 . . . . . . . . . . 11 ((((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) ∈ ℂ ∧ ((2 · π) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ≠ 0) ∧ (i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0)) → ((i · ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) / (i · (2 · π))) = (((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) / (2 · π)))
23261, 63, 231mp3an23 1450 . . . . . . . . . 10 (((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) ∈ ℂ → ((i · ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) / (i · (2 · π))) = (((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) / (2 · π)))
233157, 232syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → ((i · ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) / (i · (2 · π))) = (((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) / (2 · π)))
234233eleq1d 2877 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → (((i · ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ ↔ (((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ))
235230, 234bitr2d 283 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → ((((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ ↔ (exp‘(i · ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦))) = 1))
23689adantl 485 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → (𝐹𝑦) = (exp‘(i · 𝑦)))
237236eqeq2d 2812 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → (𝑥 = (𝐹𝑦) ↔ 𝑥 = (exp‘(i · 𝑦))))
238228, 235, 2373imtr4d 297 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → ((((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ → 𝑥 = (𝐹𝑦)))
239238reximdva 3236 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐶) → (∃𝑦𝐷 (((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ → ∃𝑦𝐷 𝑥 = (𝐹𝑦)))
240140, 239mpd 15 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐶) → ∃𝑦𝐷 𝑥 = (𝐹𝑦))
241240ralrimiva 3152 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐶𝑦𝐷 𝑥 = (𝐹𝑦))
242 dffo3 6849 . . 3 (𝐹:𝐷onto𝐶 ↔ (𝐹:𝐷𝐶 ∧ ∀𝑥𝐶𝑦𝐷 𝑥 = (𝐹𝑦)))
24320, 241, 242sylanbrc 586 . 2 (𝜑𝐹:𝐷onto𝐶)
244 df-f1o 6335 . 2 (𝐹:𝐷1-1-onto𝐶 ↔ (𝐹:𝐷1-1𝐶𝐹:𝐷onto𝐶))
245114, 243, 244sylanbrc 586 1 (𝜑𝐹:𝐷1-1-onto𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990  wral 3109  wrex 3110  wss 3884  {csn 4528   class class class wbr 5033  cmpt 5113  ccnv 5522  cres 5525  cima 5526   Fn wfn 6323  wf 6324  1-1wf1 6325  ontowfo 6326  1-1-ontowf1o 6327  cfv 6328  (class class class)co 7139  cc 10528  cr 10529  0cc0 10530  1c1 10531  ici 10532   + caddc 10533   · cmul 10535   < clt 10668  cle 10669  cmin 10863  -cneg 10864   / cdiv 11290  2c2 11684  0cn0 11889  cz 11973  [,]cicc 12733  cexp 13429  cre 14451  cim 14452  csqrt 14587  abscabs 14588  expce 15410  sincsin 15412  cosccos 15413  πcpi 15415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609  ax-mulf 10610
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ioc 12735  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-mod 13237  df-seq 13369  df-exp 13430  df-fac 13634  df-bc 13663  df-hash 13691  df-shft 14421  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-limsup 14823  df-clim 14840  df-rlim 14841  df-sum 15038  df-ef 15416  df-sin 15418  df-cos 15419  df-pi 15421  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-hom 16584  df-cco 16585  df-rest 16691  df-topn 16692  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-topgen 16712  df-pt 16713  df-prds 16716  df-xrs 16770  df-qtop 16775  df-imas 16776  df-xps 16778  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-mulg 18220  df-cntz 18442  df-cmn 18903  df-psmet 20086  df-xmet 20087  df-met 20088  df-bl 20089  df-mopn 20090  df-fbas 20091  df-fg 20092  df-cnfld 20095  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-cld 21627  df-ntr 21628  df-cls 21629  df-nei 21706  df-lp 21744  df-perf 21745  df-cn 21835  df-cnp 21836  df-haus 21923  df-tx 22170  df-hmeo 22363  df-fil 22454  df-fm 22546  df-flim 22547  df-flf 22548  df-xms 22930  df-ms 22931  df-tms 22932  df-cncf 23486  df-limc 24472  df-dv 24473
This theorem is referenced by:  efif1o  25141  eff1olem  25143
  Copyright terms: Public domain W3C validator