Theorem mxidlmaxv 32435

Description: An ideal 𝐼 strictly containing a maximal ideal 𝑀 is the whole ring 𝐵. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mxidlmaxv.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mxidlmaxv.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mxidlmaxv.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
mxidlmaxv.4	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
mxidlmaxv.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ⊆ 𝐼)
mxidlmaxv.6	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐼 ∖ 𝑀))

Assertion

Ref	Expression
mxidlmaxv	⊢ (𝜑 → 𝐼 = 𝐵)

Proof of Theorem mxidlmaxv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mxidlmaxv.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		mxidlmaxv.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
3		mxidlmaxv.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
4		mxidlmaxv.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ⊆ 𝐼)
5		mxidlmaxv.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6	5	mxidlmax 32432	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑀 ⊆ 𝐼)) → (𝐼 = 𝑀 ∨ 𝐼 = 𝐵))
7	1, 2, 3, 4, 6	syl22anc 837	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 = 𝑀 ∨ 𝐼 = 𝐵))
8		mxidlmaxv.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐼 ∖ 𝑀))
9	8	eldifad 3956	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
10	8	eldifbd 3957	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑀)
11		nelne1 3038	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑀) → 𝐼 ≠ 𝑀)
12	9, 10, 11	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ 𝑀)
13	12	neneqd 2944	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐼 = 𝑀)
14	7, 13	orcnd 877	1 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939   ∖ cdif 3941   ⊆ wss 3944  ‘cfv 6532  Basecbs 17126  Ringcrg 20014  LIdealclidl 20732  MaxIdealcmxidl 32426

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4523  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fv 6540  df-mxidl 32427

This theorem is referenced by:  qsdrngilem  32454