Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mxidlmaxv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mxidlmaxv 32542
Description: An ideal 𝐼 strictly containing a maximal ideal 𝑀 is the whole ring 𝐵. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
mxidlmaxv.1 𝐵 = (Base‘𝑅)
mxidlmaxv.2 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mxidlmaxv.3 (𝜑𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
mxidlmaxv.4 (𝜑𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
mxidlmaxv.5 (𝜑𝑀𝐼)
mxidlmaxv.6 (𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝑀))
Assertion
Ref Expression
mxidlmaxv (𝜑𝐼 = 𝐵)

Proof of Theorem mxidlmaxv
StepHypRef Expression
1 mxidlmaxv.2 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2 mxidlmaxv.3 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
3 mxidlmaxv.4 . . 3 (𝜑𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
4 mxidlmaxv.5 . . 3 (𝜑𝑀𝐼)
5 mxidlmaxv.1 . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
65mxidlmax 32539 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑀𝐼)) → (𝐼 = 𝑀𝐼 = 𝐵))
71, 2, 3, 4, 6syl22anc 838 . 2 (𝜑 → (𝐼 = 𝑀𝐼 = 𝐵))
8 mxidlmaxv.6 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝑀))
98eldifad 3959 . . . 4 (𝜑𝑋𝐼)
108eldifbd 3960 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑋𝑀)
11 nelne1 3040 . . . 4 ((𝑋𝐼 ∧ ¬ 𝑋𝑀) → 𝐼𝑀)
129, 10, 11syl2anc 585 . . 3 (𝜑𝐼𝑀)
1312neneqd 2946 . 2 (𝜑 → ¬ 𝐼 = 𝑀)
147, 13orcnd 878 1 (𝜑𝐼 = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 846   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  cdif 3944  wss 3947  cfv 6540  Basecbs 17140  Ringcrg 20047  LIdealclidl 20771  MaxIdealcmxidl 32533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fv 6548  df-mxidl 32534
This theorem is referenced by:  qsdrngilem  32561
  Copyright terms: Public domain W3C validator