Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mxidlmaxv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mxidlmaxv 33496
Description: An ideal 𝐼 strictly containing a maximal ideal 𝑀 is the whole ring 𝐵. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
mxidlmaxv.1 𝐵 = (Base‘𝑅)
mxidlmaxv.2 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mxidlmaxv.3 (𝜑𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
mxidlmaxv.4 (𝜑𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
mxidlmaxv.5 (𝜑𝑀𝐼)
mxidlmaxv.6 (𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝑀))
Assertion
Ref Expression
mxidlmaxv (𝜑𝐼 = 𝐵)

Proof of Theorem mxidlmaxv
StepHypRef Expression
1 mxidlmaxv.2 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2 mxidlmaxv.3 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
3 mxidlmaxv.4 . . 3 (𝜑𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
4 mxidlmaxv.5 . . 3 (𝜑𝑀𝐼)
5 mxidlmaxv.1 . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
65mxidlmax 33493 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑀𝐼)) → (𝐼 = 𝑀𝐼 = 𝐵))
71, 2, 3, 4, 6syl22anc 839 . 2 (𝜑 → (𝐼 = 𝑀𝐼 = 𝐵))
8 mxidlmaxv.6 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝑀))
98eldifad 3963 . . . 4 (𝜑𝑋𝐼)
108eldifbd 3964 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑋𝑀)
11 nelne1 3039 . . . 4 ((𝑋𝐼 ∧ ¬ 𝑋𝑀) → 𝐼𝑀)
129, 10, 11syl2anc 584 . . 3 (𝜑𝐼𝑀)
1312neneqd 2945 . 2 (𝜑 → ¬ 𝐼 = 𝑀)
147, 13orcnd 879 1 (𝜑𝐼 = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  cdif 3948  wss 3951  cfv 6561  Basecbs 17247  Ringcrg 20230  LIdealclidl 21216  MaxIdealcmxidl 33487
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fv 6569  df-mxidl 33488
This theorem is referenced by:  mxidlirredi  33499  qsdrngilem  33522
  Copyright terms: Public domain W3C validator