Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mxidlmaxv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mxidlmaxv 33019
Description: An ideal 𝐼 strictly containing a maximal ideal 𝑀 is the whole ring 𝐡. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
mxidlmaxv.1 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
mxidlmaxv.2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
mxidlmaxv.3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…))
mxidlmaxv.4 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
mxidlmaxv.5 (πœ‘ β†’ 𝑀 βŠ† 𝐼)
mxidlmaxv.6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝐼 βˆ– 𝑀))
Assertion
Ref Expression
mxidlmaxv (πœ‘ β†’ 𝐼 = 𝐡)

Proof of Theorem mxidlmaxv
StepHypRef Expression
1 mxidlmaxv.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2 mxidlmaxv.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…))
3 mxidlmaxv.4 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
4 mxidlmaxv.5 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 βŠ† 𝐼)
5 mxidlmaxv.1 . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
65mxidlmax 33016 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ (𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ 𝑀 βŠ† 𝐼)) β†’ (𝐼 = 𝑀 ∨ 𝐼 = 𝐡))
71, 2, 3, 4, 6syl22anc 836 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐼 = 𝑀 ∨ 𝐼 = 𝐡))
8 mxidlmaxv.6 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝐼 βˆ– 𝑀))
98eldifad 3952 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐼)
108eldifbd 3953 . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑀)
11 nelne1 3031 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑀) β†’ 𝐼 β‰  𝑀)
129, 10, 11syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 β‰  𝑀)
1312neneqd 2937 . 2 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐼 = 𝑀)
147, 13orcnd 875 1 (πœ‘ β†’ 𝐼 = 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932   βˆ– cdif 3937   βŠ† wss 3940  β€˜cfv 6533  Basecbs 17142  Ringcrg 20127  LIdealclidl 21054  MaxIdealcmxidl 33010
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pr 5417
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fv 6541  df-mxidl 33011
This theorem is referenced by:  mxidlirredi  33022  qsdrngilem  33043
  Copyright terms: Public domain W3C validator