Theorem mxidlnzr 33452

Description: A ring with a maximal ideal is a nonzero ring. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2011.) (Revised by Thierry Arnoux, 19-Jan-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
mxidlval.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mxidlnzr	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → 𝑅 ∈ NzRing)

Proof of Theorem mxidlnzr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mxidlval.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2	1	mxidlidl 33448	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → 𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑅))
3		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
4		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
5	3, 4	lidl0cl 21247	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → (0g‘𝑅) ∈ 𝑀)
6	2, 5	syldan 590	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → (0g‘𝑅) ∈ 𝑀)
7		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
8	1, 7	mxidln1 33451	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → ¬ (1r‘𝑅) ∈ 𝑀)
9		nelne2 3046	. . . 4 ⊢ (((0g‘𝑅) ∈ 𝑀 ∧ ¬ (1r‘𝑅) ∈ 𝑀) → (0g‘𝑅) ≠ (1r‘𝑅))
10	6, 8, 9	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → (0g‘𝑅) ≠ (1r‘𝑅))
11	10	necomd 3002	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
12	7, 4	isnzr 20534	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
13	12	biimpri 228	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑅 ∈ NzRing)
14	11, 13	syldan 590	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → 𝑅 ∈ NzRing)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ‘cfv 6568  Basecbs 17252  0_gc0g 17493  1_rcur 20202  Ringcrg 20254  NzRingcnzr 20532  LIdealclidl 21233  MaxIdealcmxidl 33444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7764  ax-cnex 11234  ax-resscn 11235  ax-1cn 11236  ax-icn 11237  ax-addcl 11238  ax-addrcl 11239  ax-mulcl 11240  ax-mulrcl 11241  ax-mulcom 11242  ax-addass 11243  ax-mulass 11244  ax-distr 11245  ax-i2m1 11246  ax-1ne0 11247  ax-1rid 11248  ax-rnegex 11249  ax-rrecex 11250  ax-cnre 11251  ax-pre-lttri 11252  ax-pre-lttrn 11253  ax-pre-ltadd 11254  ax-pre-mulgt0 11255

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5650  df-we 5652  df-xp 5701  df-rel 5702  df-cnv 5703  df-co 5704  df-dm 5705  df-rn 5706  df-res 5707  df-ima 5708  df-pred 6327  df-ord 6393  df-on 6394  df-lim 6395  df-suc 6396  df-iota 6520  df-fun 6570  df-fn 6571  df-f 6572  df-f1 6573  df-fo 6574  df-f1o 6575  df-fv 6576  df-riota 7399  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7898  df-1st 8024  df-2nd 8025  df-frecs 8316  df-wrecs 8347  df-recs 8421  df-rdg 8460  df-er 8757  df-en 8998  df-dom 8999  df-sdom 9000  df-pnf 11320  df-mnf 11321  df-xr 11322  df-ltxr 11323  df-le 11324  df-sub 11516  df-neg 11517  df-nn 12288  df-2 12350  df-3 12351  df-4 12352  df-5 12353  df-6 12354  df-7 12355  df-8 12356  df-sets 17205  df-slot 17223  df-ndx 17235  df-base 17253  df-ress 17282  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-0g 17495  df-mgm 18672  df-sgrp 18751  df-mnd 18767  df-grp 18970  df-minusg 18971  df-sbg 18972  df-subg 19157  df-cmn 19818  df-abl 19819  df-mgp 20156  df-rng 20174  df-ur 20203  df-ring 20256  df-nzr 20533  df-subrg 20591  df-lmod 20876  df-lss 20947  df-sra 21189  df-rgmod 21190  df-lidl 21235  df-mxidl 33445

This theorem is referenced by:  mxidlnzrb  33465  mxidlprmALT  33484