Theorem mxidlnzr 33694

Description: A ring with a maximal ideal is a nonzero ring. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2011.) (Revised by Thierry Arnoux, 19-Jan-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
mxidlval.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mxidlnzr	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → 𝑅 ∈ NzRing)

Proof of Theorem mxidlnzr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mxidlval.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2	1	mxidlidl 33690	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → 𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑅))
3		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
4		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
5	3, 4	lidl0cl 21322	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → (0g‘𝑅) ∈ 𝑀)
6	2, 5	syldan 602	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → (0g‘𝑅) ∈ 𝑀)
7		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
8	1, 7	mxidln1 33693	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → ¬ (1r‘𝑅) ∈ 𝑀)
9		nelne2 3062	. . . 4 ⊢ (((0g‘𝑅) ∈ 𝑀 ∧ ¬ (1r‘𝑅) ∈ 𝑀) → (0g‘𝑅) ≠ (1r‘𝑅))
10	6, 8, 9	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → (0g‘𝑅) ≠ (1r‘𝑅))
11	10	necomd 3019	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
12	7, 4	isnzr 20596	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
13	12	biimpri 231	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑅 ∈ NzRing)
14	11, 13	syldan 602	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → 𝑅 ∈ NzRing)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ‘cfv 6537  Basecbs 17268  0_gc0g 17491  1_rcur 20262  Ringcrg 20314  NzRingcnzr 20594  LIdealclidl 21307  MaxIdealcmxidl 33686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-0g 17493  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-sbg 19004  df-subg 19188  df-cmn 19851  df-abl 19852  df-mgp 20216  df-rng 20230  df-ur 20263  df-ring 20316  df-nzr 20595  df-subrg 20654  df-lmod 20960  df-lss 21030  df-sra 21271  df-rgmod 21272  df-lidl 21309  df-mxidl 33687

This theorem is referenced by:  mxidlnzrb  33706  mxidlprmALT  33725  dflring3  33731