Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mxidlnzr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mxidlnzr 33213
Description: A ring with a maximal ideal is a nonzero ring. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2011.) (Revised by Thierry Arnoux, 19-Jan-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
mxidlval.1 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
mxidlnzr ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) β†’ 𝑅 ∈ NzRing)

Proof of Theorem mxidlnzr
StepHypRef Expression
1 mxidlval.1 . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
21mxidlidl 33209 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) β†’ 𝑀 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
3 eqid 2728 . . . . . 6 (LIdealβ€˜π‘…) = (LIdealβ€˜π‘…)
4 eqid 2728 . . . . . 6 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
53, 4lidl0cl 21130 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ 𝑀)
62, 5syldan 589 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ 𝑀)
7 eqid 2728 . . . . 5 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
81, 7mxidln1 33212 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) β†’ Β¬ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝑀)
9 nelne2 3037 . . . 4 (((0gβ€˜π‘…) ∈ 𝑀 ∧ Β¬ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝑀) β†’ (0gβ€˜π‘…) β‰  (1rβ€˜π‘…))
106, 8, 9syl2anc 582 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) β†’ (0gβ€˜π‘…) β‰  (1rβ€˜π‘…))
1110necomd 2993 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) β†’ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…))
127, 4isnzr 20467 . . 3 (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…)))
1312biimpri 227 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ 𝑅 ∈ NzRing)
1411, 13syldan 589 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) β†’ 𝑅 ∈ NzRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  β€˜cfv 6553  Basecbs 17189  0gc0g 17430  1rcur 20135  Ringcrg 20187  NzRingcnzr 20465  LIdealclidl 21116  MaxIdealcmxidl 33205
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-ip 17260  df-0g 17432  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-subg 19092  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20089  df-rng 20107  df-ur 20136  df-ring 20189  df-nzr 20466  df-subrg 20522  df-lmod 20759  df-lss 20830  df-sra 21072  df-rgmod 21073  df-lidl 21118  df-mxidl 33206
This theorem is referenced by:  mxidlnzrb  33225  mxidlprmALT  33243
  Copyright terms: Public domain W3C validator