Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mxidlnzr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mxidlnzr 30999
Description: A ring with a maximal ideal is a nonzero ring. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2011.) (Revised by Thierry Arnoux, 19-Jan-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
mxidlval.1 𝐵 = (Base‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
mxidlnzr ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → 𝑅 ∈ NzRing)

Proof of Theorem mxidlnzr
StepHypRef Expression
1 mxidlval.1 . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
21mxidlidl 30995 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → 𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑅))
3 eqid 2824 . . . . . 6 (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
4 eqid 2824 . . . . . 6 (0g𝑅) = (0g𝑅)
53, 4lidl0cl 19973 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → (0g𝑅) ∈ 𝑀)
62, 5syldan 594 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → (0g𝑅) ∈ 𝑀)
7 eqid 2824 . . . . 5 (1r𝑅) = (1r𝑅)
81, 7mxidln1 30998 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → ¬ (1r𝑅) ∈ 𝑀)
9 nelne2 3110 . . . 4 (((0g𝑅) ∈ 𝑀 ∧ ¬ (1r𝑅) ∈ 𝑀) → (0g𝑅) ≠ (1r𝑅))
106, 8, 9syl2anc 587 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → (0g𝑅) ≠ (1r𝑅))
1110necomd 3068 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → (1r𝑅) ≠ (0g𝑅))
127, 4isnzr 20020 . . 3 (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)))
1312biimpri 231 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → 𝑅 ∈ NzRing)
1411, 13syldan 594 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → 𝑅 ∈ NzRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3013  cfv 6338  Basecbs 16474  0gc0g 16704  1rcur 19242  Ringcrg 19288  LIdealclidl 19930  NzRingcnzr 20018  MaxIdealcmxidl 30991
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5173  ax-sep 5186  ax-nul 5193  ax-pow 5249  ax-pr 5313  ax-un 7446  ax-cnex 10580  ax-resscn 10581  ax-1cn 10582  ax-icn 10583  ax-addcl 10584  ax-addrcl 10585  ax-mulcl 10586  ax-mulrcl 10587  ax-mulcom 10588  ax-addass 10589  ax-mulass 10590  ax-distr 10591  ax-i2m1 10592  ax-1ne0 10593  ax-1rid 10594  ax-rnegex 10595  ax-rrecex 10596  ax-cnre 10597  ax-pre-lttri 10598  ax-pre-lttrn 10599  ax-pre-ltadd 10600  ax-pre-mulgt0 10601
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4822  df-iun 4904  df-br 5050  df-opab 5112  df-mpt 5130  df-tr 5156  df-id 5443  df-eprel 5448  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5497  df-we 5499  df-xp 5544  df-rel 5545  df-cnv 5546  df-co 5547  df-dm 5548  df-rn 5549  df-res 5550  df-ima 5551  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6297  df-fun 6340  df-fn 6341  df-f 6342  df-f1 6343  df-fo 6344  df-f1o 6345  df-fv 6346  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-er 8274  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-pnf 10664  df-mnf 10665  df-xr 10666  df-ltxr 10667  df-le 10668  df-sub 10859  df-neg 10860  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-ip 16574  df-0g 16706  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-grp 18097  df-minusg 18098  df-sbg 18099  df-subg 18267  df-mgp 19231  df-ur 19243  df-ring 19290  df-subrg 19521  df-lmod 19624  df-lss 19692  df-sra 19932  df-rgmod 19933  df-lidl 19934  df-nzr 20019  df-mxidl 30992
This theorem is referenced by:  mxidlnzrb  31004
  Copyright terms: Public domain W3C validator