Theorem crngmxidl 33561

Description: In a commutative ring, maximal ideals of the opposite ring coincide with maximal ideals. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
crngmxidl.i	⊢ 𝑀 = (MaxIdeal‘𝑅)
crngmxidl.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
crngmxidl	⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑀 = (MaxIdeal‘𝑂))

Proof of Theorem crngmxidl

Dummy variables 𝑚 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngmxidl.i	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (MaxIdeal‘𝑅)
2	1	eleq2i 2829	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑀 ↔ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
3		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
4		crngmxidl.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
5	3, 4	crngridl 21247	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑂))
6	5	eleq2d 2823	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↔ 𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑂)))
7	5	raleqdv 3298	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (∀𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)(𝑚 ⊆ 𝑗 → (𝑗 = 𝑚 ∨ 𝑗 = (Base‘𝑅))) ↔ ∀𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑂)(𝑚 ⊆ 𝑗 → (𝑗 = 𝑚 ∨ 𝑗 = (Base‘𝑅)))))
8	6, 7	3anbi13d 1441	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑚 ≠ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)(𝑚 ⊆ 𝑗 → (𝑗 = 𝑚 ∨ 𝑗 = (Base‘𝑅)))) ↔ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑂) ∧ 𝑚 ≠ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑂)(𝑚 ⊆ 𝑗 → (𝑗 = 𝑚 ∨ 𝑗 = (Base‘𝑅))))))
9		crngring 20192	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
10		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
11	10	ismxidl 33554	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ↔ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑚 ≠ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)(𝑚 ⊆ 𝑗 → (𝑗 = 𝑚 ∨ 𝑗 = (Base‘𝑅))))))
12	9, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ↔ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑚 ≠ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)(𝑚 ⊆ 𝑗 → (𝑗 = 𝑚 ∨ 𝑗 = (Base‘𝑅))))))
13	4	opprring 20295	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑂 ∈ Ring)
14	4, 10	opprbas 20291	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
15	14	ismxidl 33554	. . . . 5 ⊢ (𝑂 ∈ Ring → (𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑂) ↔ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑂) ∧ 𝑚 ≠ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑂)(𝑚 ⊆ 𝑗 → (𝑗 = 𝑚 ∨ 𝑗 = (Base‘𝑅))))))
16	9, 13, 15	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑂) ↔ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑂) ∧ 𝑚 ≠ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑂)(𝑚 ⊆ 𝑗 → (𝑗 = 𝑚 ∨ 𝑗 = (Base‘𝑅))))))
17	8, 12, 16	3bitr4d 311	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ↔ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑂)))
18	2, 17	bitrid 283	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑚 ∈ 𝑀 ↔ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑂)))
19	18	eqrdv 2735	1 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑀 = (MaxIdeal‘𝑂))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052   ⊆ wss 3903  ‘cfv 6500  Basecbs 17148  Ringcrg 20180  CRingccrg 20181  opp_rcoppr 20284  LIdealclidl 21173  MaxIdealcmxidl 33551

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-tpos 8178  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-oppr 20285  df-lss 20895  df-lsp 20935  df-sra 21137  df-rgmod 21138  df-lidl 21175  df-rsp 21176  df-mxidl 33552

This theorem is referenced by:  qsfld  33590  algextdeglem4  33897