Theorem crngmxidl 34041

Description: In a commutative ring, maximal ideals of the opposite ring coincide with maximal ideals. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
crngmxidl.i	⊢ 𝑀 = (MaxIdeal‘𝑅)
crngmxidl.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
crngmxidl	⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑀 = (MaxIdeal‘𝑂))

Proof of Theorem crngmxidl

Dummy variables 𝑚 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngmxidl.i	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (MaxIdeal‘𝑅)
2	1	eleq2i 2852	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑀 ↔ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
3		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
4		crngmxidl.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
5	3, 4	crngridl 21581	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑂))
6	5	eleq2d 2846	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↔ 𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑂)))
7	5	raleqdv 3319	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (∀𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)(𝑚 ⊆ 𝑗 → (𝑗 = 𝑚 ∨ 𝑗 = (Base‘𝑅))) ↔ ∀𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑂)(𝑚 ⊆ 𝑗 → (𝑗 = 𝑚 ∨ 𝑗 = (Base‘𝑅)))))
8	6, 7	3anbi13d 1466	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑚 ≠ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)(𝑚 ⊆ 𝑗 → (𝑗 = 𝑚 ∨ 𝑗 = (Base‘𝑅)))) ↔ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑂) ∧ 𝑚 ≠ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑂)(𝑚 ⊆ 𝑗 → (𝑗 = 𝑚 ∨ 𝑗 = (Base‘𝑅))))))
9		crngring 20478	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
10		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
11	10	ismxidl 34034	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ↔ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑚 ≠ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)(𝑚 ⊆ 𝑗 → (𝑗 = 𝑚 ∨ 𝑗 = (Base‘𝑅))))))
12	9, 11	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ↔ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑚 ≠ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)(𝑚 ⊆ 𝑗 → (𝑗 = 𝑚 ∨ 𝑗 = (Base‘𝑅))))))
13	4	opprring 20583	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑂 ∈ Ring)
14	4, 10	opprbas 20579	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
15	14	ismxidl 34034	. . . . 5 ⊢ (𝑂 ∈ Ring → (𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑂) ↔ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑂) ∧ 𝑚 ≠ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑂)(𝑚 ⊆ 𝑗 → (𝑗 = 𝑚 ∨ 𝑗 = (Base‘𝑅))))))
16	9, 13, 15	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑂) ↔ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑂) ∧ 𝑚 ≠ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑂)(𝑚 ⊆ 𝑗 → (𝑗 = 𝑚 ∨ 𝑗 = (Base‘𝑅))))))
17	8, 12, 16	3bitr4d 314	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ↔ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑂)))
18	2, 17	bitrid 286	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑚 ∈ 𝑀 ↔ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑂)))
19	18	eqrdv 2758	1 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑀 = (MaxIdeal‘𝑂))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076   ⊆ wss 3895  ‘cfv 6539  Basecbs 17393  Ringcrg 20465  CRingccrg 20466  opp_rcoppr 20572  LIdealclidl 21490  MaxIdealcmxidl 34031

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-2nd 8003  df-tpos 8247  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-ress 17415  df-plusg 17447  df-mulr 17448  df-sca 17450  df-vsca 17451  df-ip 17452  df-0g 17618  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-grp 19153  df-minusg 19154  df-cmn 20002  df-abl 20003  df-mgp 20367  df-rng 20381  df-ur 20414  df-ring 20467  df-cring 20468  df-oppr 20573  df-lss 21213  df-lsp 21253  df-sra 21454  df-rgmod 21455  df-lidl 21492  df-rsp 21493  df-mxidl 34032

This theorem is used by:  qsfld  34069  algextdeglem4  34399