Theorem crngmxidl 33976

Description: In a commutative ring, maximal ideals of the opposite ring coincide with maximal ideals. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
crngmxidl.i	⊢ 𝑀 = (MaxIdeal‘𝑅)
crngmxidl.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
crngmxidl	⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑀 = (MaxIdeal‘𝑂))

Proof of Theorem crngmxidl

Dummy variables 𝑚 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngmxidl.i	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (MaxIdeal‘𝑅)
2	1	eleq2i 2853	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑀 ↔ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
3		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
4		crngmxidl.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
5	3, 4	crngridl 21555	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑂))
6	5	eleq2d 2847	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↔ 𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑂)))
7	5	raleqdv 3320	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (∀𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)(𝑚 ⊆ 𝑗 → (𝑗 = 𝑚 ∨ 𝑗 = (Base‘𝑅))) ↔ ∀𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑂)(𝑚 ⊆ 𝑗 → (𝑗 = 𝑚 ∨ 𝑗 = (Base‘𝑅)))))
8	6, 7	3anbi13d 1466	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑚 ≠ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)(𝑚 ⊆ 𝑗 → (𝑗 = 𝑚 ∨ 𝑗 = (Base‘𝑅)))) ↔ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑂) ∧ 𝑚 ≠ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑂)(𝑚 ⊆ 𝑗 → (𝑗 = 𝑚 ∨ 𝑗 = (Base‘𝑅))))))
9		crngring 20452	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
10		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
11	10	ismxidl 33969	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ↔ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑚 ≠ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)(𝑚 ⊆ 𝑗 → (𝑗 = 𝑚 ∨ 𝑗 = (Base‘𝑅))))))
12	9, 11	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ↔ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑚 ≠ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)(𝑚 ⊆ 𝑗 → (𝑗 = 𝑚 ∨ 𝑗 = (Base‘𝑅))))))
13	4	opprring 20557	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑂 ∈ Ring)
14	4, 10	opprbas 20553	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
15	14	ismxidl 33969	. . . . 5 ⊢ (𝑂 ∈ Ring → (𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑂) ↔ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑂) ∧ 𝑚 ≠ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑂)(𝑚 ⊆ 𝑗 → (𝑗 = 𝑚 ∨ 𝑗 = (Base‘𝑅))))))
16	9, 13, 15	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑂) ↔ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑂) ∧ 𝑚 ≠ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑂)(𝑚 ⊆ 𝑗 → (𝑗 = 𝑚 ∨ 𝑗 = (Base‘𝑅))))))
17	8, 12, 16	3bitr4d 314	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ↔ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑂)))
18	2, 17	bitrid 286	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑚 ∈ 𝑀 ↔ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑂)))
19	18	eqrdv 2759	1 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑀 = (MaxIdeal‘𝑂))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6531  Basecbs 17367  Ringcrg 20439  CRingccrg 20440  opp_rcoppr 20546  LIdealclidl 21464  MaxIdealcmxidl 33966

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-2nd 7991  df-tpos 8227  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-sca 17424  df-vsca 17425  df-ip 17426  df-0g 17592  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-grp 19127  df-minusg 19128  df-cmn 19976  df-abl 19977  df-mgp 20341  df-rng 20355  df-ur 20388  df-ring 20441  df-cring 20442  df-oppr 20547  df-lss 21187  df-lsp 21227  df-sra 21428  df-rgmod 21429  df-lidl 21466  df-rsp 21467  df-mxidl 33967

This theorem is used by:  qsfld  34004  algextdeglem4  34334