Theorem crngmxidl 33429

Description: In a commutative ring, maximal ideals of the opposite ring coincide with maximal ideals. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
crngmxidl.i	⊢ 𝑀 = (MaxIdeal‘𝑅)
crngmxidl.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
crngmxidl	⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑀 = (MaxIdeal‘𝑂))

Proof of Theorem crngmxidl

Dummy variables 𝑚 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngmxidl.i	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (MaxIdeal‘𝑅)
2	1	eleq2i 2823	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑀 ↔ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
3		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
4		crngmxidl.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
5	3, 4	crngridl 21215	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑂))
6	5	eleq2d 2817	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↔ 𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑂)))
7	5	raleqdv 3292	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (∀𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)(𝑚 ⊆ 𝑗 → (𝑗 = 𝑚 ∨ 𝑗 = (Base‘𝑅))) ↔ ∀𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑂)(𝑚 ⊆ 𝑗 → (𝑗 = 𝑚 ∨ 𝑗 = (Base‘𝑅)))))
8	6, 7	3anbi13d 1440	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑚 ≠ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)(𝑚 ⊆ 𝑗 → (𝑗 = 𝑚 ∨ 𝑗 = (Base‘𝑅)))) ↔ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑂) ∧ 𝑚 ≠ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑂)(𝑚 ⊆ 𝑗 → (𝑗 = 𝑚 ∨ 𝑗 = (Base‘𝑅))))))
9		crngring 20161	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
10		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
11	10	ismxidl 33422	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ↔ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑚 ≠ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)(𝑚 ⊆ 𝑗 → (𝑗 = 𝑚 ∨ 𝑗 = (Base‘𝑅))))))
12	9, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ↔ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑚 ≠ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)(𝑚 ⊆ 𝑗 → (𝑗 = 𝑚 ∨ 𝑗 = (Base‘𝑅))))))
13	4	opprring 20263	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑂 ∈ Ring)
14	4, 10	opprbas 20259	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
15	14	ismxidl 33422	. . . . 5 ⊢ (𝑂 ∈ Ring → (𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑂) ↔ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑂) ∧ 𝑚 ≠ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑂)(𝑚 ⊆ 𝑗 → (𝑗 = 𝑚 ∨ 𝑗 = (Base‘𝑅))))))
16	9, 13, 15	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑂) ↔ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑂) ∧ 𝑚 ≠ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑂)(𝑚 ⊆ 𝑗 → (𝑗 = 𝑚 ∨ 𝑗 = (Base‘𝑅))))))
17	8, 12, 16	3bitr4d 311	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ↔ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑂)))
18	2, 17	bitrid 283	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑚 ∈ 𝑀 ↔ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑂)))
19	18	eqrdv 2729	1 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑀 = (MaxIdeal‘𝑂))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047   ⊆ wss 3902  ‘cfv 6481  Basecbs 17117  Ringcrg 20149  CRingccrg 20150  opp_rcoppr 20252  LIdealclidl 21141  MaxIdealcmxidl 33419

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-tpos 8156  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-7 12190  df-8 12191  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-ress 17139  df-plusg 17171  df-mulr 17172  df-sca 17174  df-vsca 17175  df-ip 17176  df-0g 17342  df-mgm 18545  df-sgrp 18624  df-mnd 18640  df-grp 18846  df-minusg 18847  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-cring 20152  df-oppr 20253  df-lss 20863  df-lsp 20903  df-sra 21105  df-rgmod 21106  df-lidl 21143  df-rsp 21144  df-mxidl 33420

This theorem is referenced by:  qsfld  33458  algextdeglem4  33728