Theorem crngmxidl 33733

Description: In a commutative ring, maximal ideals of the opposite ring coincide with maximal ideals. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
crngmxidl.i	⊢ 𝑀 = (MaxIdeal‘𝑅)
crngmxidl.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
crngmxidl	⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑀 = (MaxIdeal‘𝑂))

Proof of Theorem crngmxidl

Dummy variables 𝑚 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngmxidl.i	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (MaxIdeal‘𝑅)
2	1	eleq2i 2855	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑀 ↔ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
3		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
4		crngmxidl.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
5	3, 4	crngridl 21400	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑂))
6	5	eleq2d 2849	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↔ 𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑂)))
7	5	raleqdv 3323	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (∀𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)(𝑚 ⊆ 𝑗 → (𝑗 = 𝑚 ∨ 𝑗 = (Base‘𝑅))) ↔ ∀𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑂)(𝑚 ⊆ 𝑗 → (𝑗 = 𝑚 ∨ 𝑗 = (Base‘𝑅)))))
8	6, 7	3anbi13d 1466	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑚 ≠ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)(𝑚 ⊆ 𝑗 → (𝑗 = 𝑚 ∨ 𝑗 = (Base‘𝑅)))) ↔ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑂) ∧ 𝑚 ≠ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑂)(𝑚 ⊆ 𝑗 → (𝑗 = 𝑚 ∨ 𝑗 = (Base‘𝑅))))))
9		crngring 20328	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
10		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
11	10	ismxidl 33726	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ↔ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑚 ≠ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)(𝑚 ⊆ 𝑗 → (𝑗 = 𝑚 ∨ 𝑗 = (Base‘𝑅))))))
12	9, 11	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ↔ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑚 ≠ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)(𝑚 ⊆ 𝑗 → (𝑗 = 𝑚 ∨ 𝑗 = (Base‘𝑅))))))
13	4	opprring 20430	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑂 ∈ Ring)
14	4, 10	opprbas 20426	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
15	14	ismxidl 33726	. . . . 5 ⊢ (𝑂 ∈ Ring → (𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑂) ↔ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑂) ∧ 𝑚 ≠ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑂)(𝑚 ⊆ 𝑗 → (𝑗 = 𝑚 ∨ 𝑗 = (Base‘𝑅))))))
16	9, 13, 15	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑂) ↔ (𝑚 ∈ (LIdeal‘𝑂) ∧ 𝑚 ≠ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑂)(𝑚 ⊆ 𝑗 → (𝑗 = 𝑚 ∨ 𝑗 = (Base‘𝑅))))))
17	8, 12, 16	3bitr4d 314	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ↔ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑂)))
18	2, 17	bitrid 286	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑚 ∈ 𝑀 ↔ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑂)))
19	18	eqrdv 2761	1 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑀 = (MaxIdeal‘𝑂))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∨ wo 860   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079   ⊆ wss 3906  ‘cfv 6538  Basecbs 17270  Ringcrg 20316  CRingccrg 20317  opp_rcoppr 20419  LIdealclidl 21311  MaxIdealcmxidl 33723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-tpos 8223  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-0g 17495  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-cmn 19853  df-abl 19854  df-mgp 20218  df-rng 20232  df-ur 20265  df-ring 20318  df-cring 20319  df-oppr 20420  df-lss 21034  df-lsp 21074  df-sra 21275  df-rgmod 21276  df-lidl 21313  df-rsp 21314  df-mxidl 33724

This theorem is referenced by:  qsfld  33761  algextdeglem4  34091