Theorem oe0lem 8454

Description: A helper lemma for oe0 8463 and others. (Contributed by NM, 6-Jan-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
oe0lem.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → 𝜓)
oe0lem.2	⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝜑) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → 𝜓)

Assertion

Ref	Expression
oe0lem	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝜑) → 𝜓)

Proof of Theorem oe0lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oe0lem.1	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → 𝜓)
2	1	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = ∅ → 𝜓))
3	2	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝜑) → (𝐴 = ∅ → 𝜓))
4		on0eln0 6377	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝜑) → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
6		oe0lem.2	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝜑) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → 𝜓)
7	6	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝜑) → (∅ ∈ 𝐴 → 𝜓))
8	5, 7	sylbird 260	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝜑) → (𝐴 ≠ ∅ → 𝜓))
9	3, 8	pm2.61dne 3011	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝜑) → 𝜓)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∅c0 4292  Oncon0 6320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-tr 5210  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-ord 6323  df-on 6324

This theorem is referenced by:  oe0  8463  oev2  8464  oesuclem  8466  oecl  8478  odi  8520  oewordri  8533  oelim2  8536  oeoa  8538  oeoe  8540