Theorem oe0lem 8480

Description: A helper lemma for oe0 8489 and others. (Contributed by NM, 6-Jan-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
oe0lem.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → 𝜓)
oe0lem.2	⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝜑) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → 𝜓)

Assertion

Ref	Expression
oe0lem	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝜑) → 𝜓)

Proof of Theorem oe0lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oe0lem.1	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → 𝜓)
2	1	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = ∅ → 𝜓))
3	2	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝜑) → (𝐴 = ∅ → 𝜓))
4		on0eln0 6392	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝜑) → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
6		oe0lem.2	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝜑) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → 𝜓)
7	6	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝜑) → (∅ ∈ 𝐴 → 𝜓))
8	5, 7	sylbird 260	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝜑) → (𝐴 ≠ ∅ → 𝜓))
9	3, 8	pm2.61dne 3012	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝜑) → 𝜓)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∅c0 4299  Oncon0 6335

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-tr 5218  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-ord 6338  df-on 6339

This theorem is referenced by:  oe0  8489  oev2  8490  oesuclem  8492  oecl  8504  odi  8546  oewordri  8559  oelim2  8562  oeoa  8564  oeoe  8566