Theorem oe0lem 8546

Description: A helper lemma for oe0 8555 and others. (Contributed by NM, 6-Jan-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
oe0lem.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → 𝜓)
oe0lem.2	⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝜑) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → 𝜓)

Assertion

Ref	Expression
oe0lem	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝜑) → 𝜓)

Proof of Theorem oe0lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oe0lem.1	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → 𝜓)
2	1	ex 418	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = ∅ → 𝜓))
3	2	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝜑) → (𝐴 = ∅ → 𝜓))
4		on0eln0 6435	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
5	4	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝜑) → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
6		oe0lem.2	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝜑) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → 𝜓)
7	6	ex 418	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝜑) → (∅ ∈ 𝐴 → 𝜓))
8	5, 7	sylbird 263	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝜑) → (𝐴 ≠ ∅ → 𝜓))
9	3, 8	pm2.61dne 3045	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝜑) → 𝜓)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∅c0 4281  Oncon0 6377

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-pr 5395

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-tr 5216  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-ord 6380  df-on 6381

This theorem is used by:  oe0  8555  oev2  8556  oesuclem  8558  oecl  8570  odi  8612  oewordri  8626  oelim2  8629  oeoa  8631  oeoe  8633